Surfaces Telles Que la Somme des Rayons de Courbure Principaux est Proportionnelle à la Distance d'un Point Fixe au Plan Tangent

Surfaces Telles Que la Somme des Rayons de Courbure Principaux est Proportionnelle àlaDistance d'un Point Fixe au Plan TangentAuthor(s): E. GoursatSource: American Journal of Mathematics, Vol. 10, No. 3 (Apr., 1888), pp. 187-204Published by: The Johns Hopkins University PressStable URL: http://www.jstor.org/stable/2369337 .

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&irfaces teltes que la somme des rayons de courbure princippaux est proportionnetle 'a la distance

d'un potnt fixe au pltan tangent.

PAR E. GOURSAT.

1. Dans un M6emoire recent, publie dans l'American Journal of Mathemnaties, Vol. X, No. 2, p. 175, M. Appell a etudie les surfaces telles qu'un point fixe se projette sur chaque nornmale au milieu des centres de courbure principaux. J'etudie dans ce travail des surfaces jouissant d'une propri6et1e un peu plus gen6- rale; la determination de ces surfaces depend de l'integration d'uile' equation lineaire aux derivees partielles, qui peut etre integree sous forme explicite par la m'thode de Laplace dans un nombre illimite de cas, dont les plus simples four- nissent precisement les surfaces minima et les surfaces 6tudiees par M. Appell. De chaque surface de cette espece on peut en d6duire une nouvelle par une construction geomnetrique, qui comprend comme cas particulier la construction donnee par M. Appell.

Je montre en terminalnt comment on peut ramener ua Ui probl6me resolu par Riemann la recherche des surfaces de cette nature tangentes a une developpable donnee le long d'une courbe donnee.

2. Considerons un systeme de trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz et une sphare S de rayon egal a l'unite ayant pour centre l'origine. Soit 2 une surface non developpable, M un point de cette surface, a, b, c les cosinus directeurs d'une direction determinee MN sur la normale a la surface 2 an point Mi. Si par l'origine onn mene une parallele a cette direction, cette droite rencontre la sphere en un point bien determin6e m, dont les coordonnees rectangulaires sont a, b, c, qui est dit l'image sphgrique du point Mi. A chaque courbe tracee sur :? correspond ainsi une courbe tracee sur Ia sphere qui sera appelee image sph6rique de la premiere.

VOL. X.



188 GOURSAT: Surfaces telles que la somme des rayons de courbure principaux

Pour representer la position du point m de la sphbre, on exprime les coordonnees a, b, c en fonction de deux parametres. La sphere S

a2 + 62 + el= 1

pouvant etre conlsideree comme une surface regl6e, on sait que par chaque point passent deux generatrices rectilignes imiaginaires. Nous prendrons comme variables independantes deux quantites restant constantes respectivement sur les generatrices de chaque systeme. L'equation de la sphere pouvant s'ecrire

(a + ib)(a-ib) (1 + c)(1 -c), (1)

nous avons immediatement les deux systemes de generatrices

a+ib_ 1+G - 1-c a-ib 2' a-ib 1+e (2) 1-c a+ib

so designant la quantite imaginiaire conjuguee de s lorsque a, b, c sont reels. La signification geometrique de ces quantites s, sO est bien connue; si a, b, c sont reels et si on fait la projection stereographique du point' m de la sphAre sur le plan des xy, le point de vue etalnt le point de la sphere situe sur la partie posi- tive de l'axe Oz, la quantite imaginaire s est l'afflxe de la projection. Des equations (2) on tire inversement

+80 '

so + 8 (3) +8 ss 1

1+ sso

L'equation du plan tangent a la suirface 2 au point M pourra s'ecrire

x (s + so) + iy (so - s) + z (sso 1) = u, (4)

en posant, pour abreger, i = (1 + sso) 3, 8 designant la distance de l'origine 'a

ce plan. Si dans cette equation on regarde u comme une fonction donnee de s

et de so, le plan represente par cette equation enveloppe une certaine surface et

on peut regarder la relation UP (s, so)



est proportionnelle 'a la distance d'un point fixe au plan tangent. 189

coinrne l'equation d'une surface dans le systeme de variables adopt/. Les coordonnees du point de contact M du plan (4) avec la surface z sont donn'ees par les equations suivantes

+su-2 at as0 as

1 + SS Z6-

au + St= _ S2 aub

_ as aso ( - iy = su

5- +s1 + SSO U

z= - as aso

Dans ce systeme, les equations diff6rentielles des lignes de courbure et des lignes asymptotiques sont les suivantes:

lignes de courbure: a2 a2 ? (6) ds2 s 6 as2 as 20

lignes asymptotiques:

a2u a,U a2U U - 8 --~- r 80 q-F a2u d2 + a3 dso + 2dsds0 a U6 aS 0 as _ (7)

as, s Lss0+ 1+0 14 s

Les formules donnant le rayon de courbure principal RI' et les coordonnees X', Y', Z' du centre de courbure deviennent:

au ? au 1?~ aou __ua2 as aso - sso) [aaa + a au au [aou a2u aou-

2Z'=- +S a- S +a 0 o as aSJ 2

27-iY'= au [2 aUa2U (8 X' + y t = a%- [s0S + 9'93' (8

X/_ty/=~au S [a2 + a2U a2Ut0@

On trouvera ces formules dans les Le9rons sutr la theeorie generale des surfaces de M. G. Darboux, t. T, pages 245-246; les variables s, so, - u sont appelees par M. Darboux a , i. Ces formules se trotivent aussi reproduites au debut du Mlemoire deja cite de M. Appell.

Etant donnees plusieurs surfaces N, ', ".... considerons les poinits mn M', " . ... de ces surfaces oiu les plans tangents sont paralleles et la r'sul-



190 GOURSAT: Surfaces telles que la somme des ragyons de courbure -principaux

tante geometrique OM des - droites om, om', om", . . . . Le point A decrit une surface qui est dite la r6sultante geometrique des surfaces ;, t, "/, -.. Si u, ut, ut/, . . sont les fonctions de s et de so qui definissent respectivement les surfaces Y, 5', Y".. la fonction U qui fournit la surface resultante sera

U- u + u' + U!' +

La somme des rayons de courbure principaux R' + R" etant une fonction au au a2n

lineaire de u et de ses derivees , , , on voit immediateinent que la

somnme des rayons de courbure principaux de la surface resultante est egale a la somme des rayons de courbure principaux de toutes les surfaces composantes aux points correspondants. En particulier, si on a coinnie surfaces composantes une sphere et une surface miniima, la surface obtenue, qui sera parallele a une surface minima, jouira de cette propriete que la somnme des rayons de courbure principaux sera constante, et inversement toute surface possedant cette propriete sera parallele 'a une surface minima.

3. J'arrive maintenant a l'objet de ce M6emoire, qui est d'etudier les surfaces telles que la somme des rayons de courabure principaux est proportionnelle

a la di,stance d'zun point; fixe a plan tangent. Supposons que nous ayons pris ce point fixe pour origine. La distance de l'origine au plan tanigent est egale, nous l'avons vu, au signe pres, 'a

+ sso

si nous appelons X1, Y1, Z1 les coordonnees du point milieu des centres de courbure prlncipaux, on a

aso asas0' an a2u

X,

- -

a, - 8Oa

-ES O)u2 aub au as2 asaso 8 as-

et la distance de ce point au plan tangent est egale, au signe pres, a

1 a2o au au -- - 'so as + 2 c e+eao) dsasons de cor e ip , m lt

c'est-'a-dire 'a la demi-somme des rayons de courbure principaux, comme il 'etailt



est proportionnelle c la distance d'un point fixe au plan tangent. 191

evident a priori. L'equation differentielle des surfaces cherchees sera par consequent 0) +au a( 9 2K ) l a)s I + SaS0 +LS + s o(

Il est aise de voir que la constante K represente le rapport des distances du point milieu des centres de courbure principaux et de l'origine au plan tangent, ce rapport etant pris positivement lorsque l'origine et le point milieu des centres de courbure principaux sont de cotes diff6rents du plan tangent.

Pour K= 0 l'6quation (9) se r6duit a l'equation des surfaces minima; pour K= - 1, on retrouve l'equation diff6rentielle des surfaces 6tudiees par M. Appell. Dans ces deux cas, l'integrale generale de l'equation (9) peut etre obtenue sous forme explicite; on peut l'obtenir en particulier par l'application de la methode de Laplace. Nous allons voir qu'il existe une infinite de valeurs de K pour lesquelles l'application de cette methode fournit sous forme explicite l'int6grale gen6rale de l'equation (9).

De la forme lineaire de l'equation (9) on conclut que, si l'on a plusieurs integrales, leur somme sera aussi une integrale. En d'autres termes, si on a plusieurs surfaces repondant a la question, leur surface r6sultante jouira de la meme propriete. C'est, coimme on voit, l'extension a nos surfaces d'une propriete bien connue des surfaces minima. Il serait d'ailleurs facile de l'etablir geom6triquement d'apres ce qui a ete dit plus haut sur les surfaces resultantes.

4. Dans l'equation (9) faisons le changement de variables

s= a 80=- ;

on aura a &a au auf3O aSU a ___

et l'equation devient a2 au au g (1 +2K)-a a l3) aa a gla + l303+ u6 z-

Posons ensuite u = A; on trouve la nouvelle equation

( ' ) aaad+ 0.DB+ -: ? (1 0) a3 + a + a2K -07

du reste, on obtiendrait immediatement cette 6quation en employant le premier syst8me de variables a, l3, g employe par M. Darboux (Legons sur la the1orie generale des surfaces, t. I, pages 244-245). Posons encore

f = (a - i3)Xv;




l'equation (10) devient

(a-)3aV(g ) +a + ( 1) + -a-z 2+ =K0

Choisissons pour X une racine de l'equation

X2 3 - 2K=? (11)

et posons X -1 + m; la nouvelle equation prend la forme tres-simple

a2v ___ av (a - g) -

m 0 + m a0= (12)

En reunissant les trois transformations precedentes, on voit qu'on passe de l'equation (9) a l'equation (12) en posant:

S =a sso - P (a = (13)

ou X designe une racine de l'equation (11) et o'u X 1 + m; la constante K est donnee en fonction de m par la formule

K= (m+1)(m -2) (14)

Inversement, si on connailt une integrale de l'equation (12), les formules (13) permettront d'en deduire une fonction u de s et de so verifiant l'equation (9). En general cette fonction u ainsi obtenue ne prendra pas de valeurs reelles lorsque les variables s et so prendront des valeurs imaginaires conljuguees et, par consequent, ne fournira pas une surface reelle. Mais il est facile d'eviter cet inconvenient. Soit, en effet,

u-f(s s80)

une premiere integrale de l'equation (9); comme cette equation ne change pas quand on y echange les variables s, so et que tous les coefficients sont reels, la fonction fo (so, s), oiu fo designe la fonction conjuguee de f, sera aussi une integrale de la nietme equation. Il en sera encore de meme de la somme

f (s, o) + fo (so, s),

et il est clair que cette derniere fonction est reelle lorsque s et so prennent des valeurs imaginaires conjuguees.

5. L'equation (12), a laquelle nous sommes conduits, s'est deja present6e, sous des formes un peu diff6rentes, dans un grand nombre de recherches d'Analyse ou de Physique Mathematique. Etudiee d'abord par Euler dans le tome III de



est proportionnelle ' la distance d'un _point fixe au _plan tangent. 193

son Calcul int6gral, puis generalisee par Laplace,* elle a ete l'objet de travaux tres importants de Poisson,t de Riemann,t et plus recemment de M. Darboux,? qui l'a etudiee en detail, ainsi qu'une equation plus generale, dans ses lepons de la Faculte des Sciences de Paris pendant le semestre d'hiver 1887-1888. Je ne me servirai ici que des proprietes les plus simples de cette equation, en indiquant comment on peut les etablir.

Lorsque m est quelconque, on ne peut pas obtenir pour l'integrale g6nerale de l'equation (12) uile formule generale oiu figurent explicitement les fonctions arbitraires et leurs derivees jusqu'a un ordre determine; dans le Memoire deja cite, Poisson a donn6 une forme generale de l'integrale qui conitient deux fonctions arbitraires sous des signes d'integration definie. Mais on peut toujours obtenir, quelle que soit la constante in, tine infinit6 d'integrales particulieres. Ainsi, en cherchant les solutions de l'equation (1 2) qui sont homogenes en B et a, on est conduit 'a l'equation diff6rentielle lineaire "a laquelle satisfait la serie hyper- geometrique, et on trouve ainsi que les fonctions

v=oTmfP?IF(m,21-m+-c+m+5a, , (15)

V = a-mg3m+/1F(m, 2m + y, 1+m+y

oiu F designe la serie hypergeom6etrique de Gauss, verifient, pour toute valeur de ,

l'equation (12). Pour avoir des solutions entieres, il suffira de prendre pour yI

un nombre entier positif. De meme, en cherchant si l'equation (12) admet des integrales qui soient le produit d'une fonction de a par une fonction de 3, on trouve que la fonction

V = (a - 7?,)-m( h)-m (16)

satisfait, pour toute valeur de h, 'a l'eqtation (12). Enfin on verifie sans difficulte que, si p (o, ,) est une integrale, il en sera encore de me^me de la fonction

(aa + b) (a3 + b) mp(a + d +d) (17)

* Recherches sur le calcul integral aux diff6rences partielles, par M. DE LA PLACE. Memoires de Mathe- matique et de Physique de l'Academie des Sciences pour 1773, p. 341-403.

t POISSON, M]moire sur l'integration des equations lineaires aux derivees partielles. (Journal de l'Ecole Polytechnique, t. XII, XIXWme Cahier, p. 215; 1823.)

X RIEMANN, Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite. (Gesammelte Werke, p. 145.)

Q DARBOUX, Sur une equation lineaire aux derivees partielles. (Comptes rendus t. xav, p. 69; juillet 1880.)



194 GOURSAT: Surfaces telles que la somnme des rayons de courbure jprincipacux

quelles que soient les constantes a, b, c, d. On voit donc qu'on pourra toujours obtenir unle infinite de surfaces reelles repondant 'a la question, quelle que soit la valeur de la constante K, et meine de surfaces algebriques pourvu que la valeur de X fournie par l'equation (11) soit commensurable.

Pour abr'eger je designerai dans la suite par E(m) l'equation (12) et par X, une quelconque de nos surfaces correspondant a cette valeur de m. Comme a chaque valeur de K l'equation (14) fait correspondre deux valeurs de m dont la somme est egale a l'unite, on voit que les surfaces X,, et Xlm sont identiques. D'ailleurs on passe immediatement de l'equation E(m) a l'equatioin E(1 - m) en multipliant les integrales par

(a- 2n-1

Si on designe, d'une rianikre generale, par V", une integrale quelconque de l'equation E (m), on peut ecrire

Vl-m- (O Bm m. ( 18 )

Je dirai que deux equations E(m) et E(m') sont contigiies quand elles correspondent a des valeurs de m qui diff6rent d'une unite; les surfaces `

correspondantes seront dites aussi contigiies. A une serie de surfaces Xm ou E1-m correspondent deux series de surfaces contiguies X+[1 ou X-nl, et Xm-j Ou

-m Je supposerai dans ce qui suit que les valeurs de in, racines de l'equation

(14), sont reelles, c'est-a-dire que la constante K est superieure a - - On 8 pourra meme supposer, si l'on veut, que la valeur de m est superieure a2 1 ~~~~~~~~~~~~~~~2

6. Laissant de cote ces gene6ralites, je considere maintenant le cas o"i l'equation (12) peut etre integree par la methode de Laplace; pour qu'il en soit ainsi, il faitt et il suffit que m soit un nombre entier. On a donc une suite illimitee de cas d'integrabilite. Puisque les valeurs m et 1 - mi ne donnent pas des surfaces differentes. on pourrait se borner a prendre les valeurs positives de n; mais il vaut mieux, pour la suite, considerer la suite des valeurs entieres, tant negatives que positives, de in avec la suite des valeurs correspondantes de K

m .... 5, --4, -3, - 2, -1, 0, 1 , 2, 3, 4, 57 6 ... K.... 14, 9, 5, 2, 0, -1, -1, 0, 2, 5, 9, 14.

Chaque valeur de Kse presente deux fois dans cette suite. Ainsi pour m = 0 et m = 1, on a K= - 1, et on obtient les surfaces 6tudiees par M. Appell dans le



est proportionnelle 4 la distance d,'un point fixe au plan tangent. 195

travail cite plus haut. Pour m =2, et m= - 1, on retrouve les surfaces minima. Pour m =3, et m n-2, on a K=2; les surfaces obtenues sont telles que la somme des rayons de courbure principaux est egale a quatre fois la distance de l'origine au plan tangent, et ainsi de suite.

Il nous reste a montrer comment on peut dans ce cas obtenir effectiveinent l'integrale generale de l'equation (12) et par suite de l'equation (9). On peut evidelnment supposer pour cela que m est un entier positif. En diff6rentiant le premier membre de lequation (12) par rapport a a et 'a 3 successivement, et en

posant W -- aaad'

on trouve que W verifie l'equation

(a aw . awiw v9 (a-aa - + 1) + (m + 1)- ? (19)

qui n'est autre que 1'equation E (m + 1). Si donc Vm designe une integrale de l'equation E (m), la fonction

vm+l - aaap' (20)

sera une integrale de l'equation E (m + 1). Mais il n'en resulte pas qu'en prenant pour V. l'integrale generale de l'equation E (n) on obtienne de cette fa9on l'integrale generale de I'equation E (n + 1). Pour examiner ce point essentiel, je considere l'equation intermediaire qui est satisfaite par la fonction

ai - aaa, Mf -Da + (m' + 1) TaV = O. (21)

Soit vi une integrale quelconque de l'equation (21); cherchons s'il existe une int6grale de l'equation (12) telle que l'on ait

_-? -V1.

L'equation (12) peut alors s'ecrire

(a l3avl nv+mav (oc -B ai-mVj+ m ad -O

av ~~~~~~~~av av et on en tirera y,, pourvu que mi ne soit pas nul. Les valeurs de a et de aj3 ainsi obtenues satisfont a la condition d'integrabilite, d'apres l'equation (21). Par consequent, si mn n'est pas nul, on obtient l'integrale generale de l'equation

VOL. X.



196 GOURSAT: Surfaces telles que la somme des rayons de courbure principau,x

(21) en prenant v1= h,av v designant l'integrale ge6nerale de l'6quation (12). On

demontrera de la meme manielre que la formule

w-avl

ou v1 designe l'int6grale generale de l'equation (21), represente l'int6grale generale de l'equation (19), pourvu que m ne soit pas nul. Ainsi, tant que m est diff6rent de zero, la formule (20) permet de deduire l'integrale generale de l'equation E (m + 1) de l'integrale genrerale de l'equation E (mn).

Si nous supposons que mn soit un nombre entier positif l'application repetee de la formule (20) nous donne pour l'integrale generale de l'equation E(in)

Vnm = V1 (22)

aam-iajm-l~

V1 designant l'integrale generale de l'equation E(1). Or cette equation E(1) s'integre immediatement, car on peut l'ecrire

a2 [(a - ,) v] -O

aaoJ on en tire f(a)= - ( 0)

a --J

f (a) designant une fonction quelconque de a et p (p) une fonction quelconque

de 3, et par suite a2m -2 f (a)-5(-)] (

vn ~~~a,2-idh1 ( 23) Vm

Si dans cette formule on fait maintenant le changement de variables (13), on obtiendra, pour represeniter l'integrale generale de l'equation (9), une formule o'i les variables s, so n'entreront pas symetriquement. Pour eviter cet inconvenient, on pourra operer comme il suit. Dans la formule geilerale (23) prenons la partie qui contient la fonction arbitraire de a

a2m-2[ f(a)1

Vio=- a

D -lSn- ' aam -laTm?-fl

et faisons dans cette partie le changemeint de variables. Nous obtenons ainsi une integrale de l'equation (9) de la forme

ff=Afm' (s) + BfJ' -2 (s) + ... . + Lf (s) (24)



est proportionnelle 'a la distance d'utn _point fixe au plan tangent. 197

A, B, C, . L designant des fonctiolns determinees de s et de sO, f(s) une fonction arbitraire de s, et f'(s) 7 . . . fm- (s) ses derivees. Designons par

AOI Bo0 IoI .... Lo ce que deviennent les fonctions A, B, C7 ... L quand on y permute les lettres s et so, par Jo (s) une fonction arbitraire de so. L'integrale generale de l'equatioin (9) sera alors

'I = Afm-1(s) + Bfm2 (s) + .. . + Lf (s) ( + Aof-1(so) + BOf0n- 2(so) + . . + Lofo(so) 3 (25)

et, pour obtenir des surfaces reelles, il suffira de prendre pour f et fo des fonctions conljuguees. Si on porte ensuite cette valeur de u dans les formules (5), on aura les coordonnees d'un point de la surface exprimees en fonction des deux parametres variables s, so.

Appliquons cette methode aux cas les plus simples:

K= --1, m= 1, in = 0, Surfaces 2,0 o&t a:K de A. Appell: u = (1 + ss0) [f (s) + fo (so)];

K= O, m =2, mn = - 1, Surfaces minima ou surfaces 522 et - U = (1 + sso)[f' (s) +.f/0 (so)] - 2sof (s) - 2-sfo (so);

K- 2 m= 3, m- 2 , Surfaces ;3 o? 2

u ( + sso) [/" (s) + fo (so)] - 6 [sfo' (8o) + sof (s)] + 12 8 (so) + of (s) 1 +880

On peut remarquer que le coefficient A de la plus haute derivee de la fonction arbitraire est toujours egal a 1 + sso. 11 ne serait pas difficile d'ailleurs de former l'expression generale des coefficients A, B, C, . L, mais la forinule generale ainsi obtenue parait compliquee.

Supposons, par exemple, que dans la derniere des formules precedentes on prenne f= fo = 1; oni aura pour u, en negligeant un facteur constant,

82= + So0 + 880

Les equations diff6rentielles des lignes de courbure et des lignes asymptotiques de la surface obtenue seront respectivement

(1 + S4) ds2 = (1 + S4) d,

(1 + s4)ds2 + (1 + s4)ds2-4(s2+s2)dsdso = O;

on voit que la recherche des lignes de courbure se ramene 'a l'integration de l'equation d'Euler. Ces lignes seront par consequent algebriques.




7. Dans le Memoire deja cite plusieurs fois, M. Appell a rattache d'une

fagon tres reinarquable les surfaces E0 ou ZS aux surfaces minima. Etant donnee en general une de nos surfaces S, correspondant a une valeur quelconque de m, nous allons voir qu'on peut en deduire deux surfaces contigiues par une construction geometrique, qui comprend comme cas particulier la construction donn6ee par M. Appell. Voici comment on est conduit 'a ce resultat; nous avons vu qu'en designant par V. l'integrale generale de 1'equation E (m), l'integrale generale de 1'equation E (m + 1) etait donnee par la formule

Vm1- a2TVm b+-aaa,3,

sauf le cas oiu m etait nul; mais si l'on ecrit la relation precedente a Dm a Vm

vrn+&1 a ad (26)

on reconnait immediatement qu'elle s'applique encore lorsque m = 0. On peut remarquer que les formules (18) et (26) permettent de ramener l'integration de 1'equation generale E(m) au cas oiu m est compris entre 0 et 1.

Cela pose, soit v une integrale quelconque de l'equation (12) et u l'integrale de 1'equation (9) qui lui correspond par le changement de variables defini par les formules (13). Au moyen de la formule (26) on deduira de v une integrale v1 de l'equation contiguie, puis une fonction ul qui verifiera une nouvelle equation analogue a 1'equation (9). En traiisformant convenablemnent la relation qui permet de deduire u1 de ut par le procede qui nous a deja servi plusieurs fois, on arrive a definir une construction geomretrique analogue a celle de M. Appell. Mais on peut supprimer ces intermnediaires et partir directement de l'equation (9).

De 1'equation (9)

+ sS a2u - 8 -au -_ au+ _+ 2 u = O (9)

(1+ss~) -s as 8o + l++Ju=o(9

on tire, en diff6rentiant le premier membre par rapport a l'uine quelconque des variables,

a8 u a2u 2K sr u u ) (1 +sso)aSa2S=S aS2 + 1+sso Li+ss 883 (27)

a3u a2u 2K r__ au }

+ 0~ ~Ds + +8 PosonsL-s+aU82 aS (28aso

Poson-s U= - u 83 e0 au+XSO(8 U

_ M6 s 5 s,,~~ + X 6 88)



est proportionnelle 'a la distance d'un point fixe au plan tangent. 199

% designant une constante quelconque. A l'aide des relations (9) et (27) on verifie sans difficulte que la fonction U satisfait a l'equation suivante

a2U au au 88o+1+2(K+2-1) (1+so)a-aS aS O asO + 1+Sso (29)

2(8sso-1) 2K1 (1 + SSO)2 [ ; 9

si on prend pour X une racine de l'equation (11) deja obtenue

%2- 3 2K= ,

on voit que la fonction U satisfait a une equation de meme forme que l'equation (9)

aSa au au SS8+l+2(K+-1)u0 (1+ss0) - --s o-a+ 0 1+ , (30) asao 8aso S

qui se deduit de l'equation (9) en rernpla?cant K par K+ X-1.

Soient X', a" les deux racines de l'equation (11), que je suppose reelles et distinctes, et in', Mn" les valeurs correspondantes de m,

m =x'- 1, m"=/ = - 1, m' + m"1;

changer K en K+ a' - 1, cela revient, d'apres la relation (14), a remplacer m' par in' + 1, et de meme changer K en K+ 2w"- 1 revient a remnplacer ml" par m" + 1. Par consequent, si la fonction u d'ou l'on est parti definit une surface

m les deux fonctions Uque l'on vient d'obtenir definiront respectivement une surface 2m-{- et une surface m Pour avoir la signification geometrique de la formule (28) ecrivons la comnme il suit:

aub a?b u _ S aS s So S sO-l t

1+sso 1 +u + +s 1 + 880

X ayant une des deux valeurs m + 1, 2- m, et reportons-nous aux formules

(3), (4), (5). L'expression ___+ anb

a8 +5o0 1 + 8So

represente la coordonnee z du point de la surface oiu le plan tangent coincide




avec le plan (4), 1 + est egal au cosinus de l'angle que fait la normale en ce + ssO

point avec l'axe Oz; enfin Ub U

1 +ssO' 1+550

sont les distances de l'origine aux deux plans consideres. On a done la construction suivante: Soit u une quelconque de nos surfaces, P un plan tangent 'a cette surface et 1 le point de contact. Menons un plan parallele P1 a une distance de l'origine 6gale 'a la distance du point -ll au plan x Oy, diminu&e de la projection sur l'axe Oz de

la distance de l'origine au plan P multipli'ee par le facteur constant + (m - 4),

ce plan P1 enveloppera une surface ,m+ 7, ou une surface m

Si on suppose m 2, ou n = - 1, une des valeurs de X sera nulle, la construction se simplifie, et on retrouve la construction de M. Appell pour passer d'une surface minimna a une surface Y0 ou E. C'est d'ailleurs le seul cas oui la construction se simplifie.

Reciproquement, on obtient toutes les surfaces ,+ 1, ainsi que toutes les surfaces -7rn-1, en appliquant la construction qui precede a toutes les surfaces Z . I1 suffit evidemment de le d6emontrer pour les surfaces m par exemple. Soit U une integrale de l'equation (30); il nous faut examiner si on peut trouver une fonction u verifiant a la fois les equations (9) et (28). Ces equations peuvent

s 'ecrire a3u au SSO-1

s as +8o ao -Iu+ + u-U, ,31 + (sso -1)-2K ( 3)

(1+s8)asaso) 1+880 u-U'

De l'equation (28) on tire en diff6rentiant

a U a2U a2U 8 80 --1 au 2)280u _ _ __ "0 a8 8 1 + s ( + 8 )2 as=- asp asas@o ++sso as + 1SSOj2

et on deduit de ces equations les valeurs de ? aou a2u en fonction de

au U, U,) ,s , as au au)

a2 - a a-gso =a q, ,S so,

=a2 U aU,s,s0,



est proportionnelle 'a la distance d'un pointfixe au plan tangent. 201

et, en posant a= u, et ; seront determin6ees par un syst'eme d'equations aux 7 ~~as diff6rentielles totales

duz = Zds + (p (u6, U, s, s0, ,) dso, ld;_=7(u, U, s, 9,, ;) ds3+ Jt (ul, U, s, 30, ;) ds,3

et, la fonction U etant supposee verifier 1'equation (30), les conditions d'integrabilite seront satisfaites.

8. Si on applique aux surfaces Xm+, les deux constructions precedentes, en

remplapant mn par m + 1, on obtiendra les surfaces Z1m et les surfaces Xm+2. On peut done deduire les surfaces E,, des surfaces m comme on deduit les surfaces Zm?+ des surfaces XZ. Mais il est a remarquer qu'il n'y a pas reciprocite entre ces surfaces prises individuellemnent. Etant donnee une surface particu- liere X., la construction precedente appliquee a cette surface donne une surface bien deterrnin6e Zem et une nouvelle construction appliquee 'a X.+, donnera une nouvelle surface X/ qui sera en geienral diff6rente de X,,. On le verifiera plus loin sur des exemples.

On voit maintenant comment on pourra faire deriver, par des constructions geomentriques successives, toutes nos surfaces X. des surfaces pour lesquelles l'indice m est compris entre zero et l'unite. On pourra niueme, ein remarquant que les surfaces Xrn et X,-m sont identiques, diminuer cet intervalle de moitie.

Considerons en particulier les surfaces dont l'indice est un nombre entier. Attribuons 'a la constante mn toutes les valeurs entieres, tault negatives que positives; on a vu que chaque serie de surfaces se presentait deux fois, pour les va,leurs 1 - m et m de l'indice. On peut alors se borner a considerer les constructions qui permettent de passer d'une serie de surfaces 'a la serie suivante. Chaque serie de surfaces se deduira de la precedente par une construction bien determinee et on peut faire deriver toutes ces surfaces d'une seule serie, par exemple des surfaces minima.

Prenons en particulier les surfaces Xo ou X,; la valeur generale de u est, comme on l'a vu plus haut,

u _ (1 + sso) [f (S) + fo (8o)];

1'equationi (11) est ici X'- 32 + 2 = 0.



202 GOURSAT: Surfaces telles que la somme des rayons de coutrbure principaux

Si on prend X = 1, on trouve U_= - (1 + sso) Esf' (s) + sof0i (so)],

qui convienit encore aux surfaces 20; on s'explique aisement ce fait en remarquant que ces surfaces sont contigiles a elles-memes. Si on prend ensuite X = 2, on trouve

UTJ 2sosf (s) + 2ssofo (so) - (1 + sso)[f(s) + sf' (s) + sofol (so) +fo (so)]; c'est, avec un changement de nlotations, la valeur generale de u qui convient aux surfaces minima. Prenons encore les surfaces minima; la valeur generale de u est de la forme

u = 2sfo (s,) + 2sof(s) - (1 + sso)[f' (s) + fo/ (so)].

L'equation en X est ici X2 - 3 - = 0. Pour X = 0, on a U (1 + sso) [sf" (s) - f' (s) + sofJo (so) - fo (so)];

c'est la forme qui convient aux surfaces 50. Pour X = 3, on trouve

U = (1 + sso) [Es" (s) + 2f' (s) + solo" (so) + 2fo' (so)] - 6so [sf (s) + f(s)]

6s [sofol (so) + fo (so)] + 1 + ss [sof (s) + sfo (so)].

Cette valeur de U peut s'ecrire, en posant sf (s) =p (s), s,fo (so) = cpo (so),

U= (1 + sso) [E" (s) + cPMO(so)] 6 [sq0(s0) + so(P(s)] + 12 ?((1)+s? ( );

c'est precisement la valeur generale de u trouvee plus haut qui convient aux surfaces 53.

9. Etant donne6es une courbe gauche analytique C et une developpable A passant par cette courbe, il existe en gen6ral une surface minima et une seule tangente a la developpable A le long de la courbe C; les coordonnees d'un point de cette surface peuvent 8tre exprim6es en fonction de deux parametres par des formules ne renfermant que des quadratures. Cette importante question a 6t, comme on sait, posee et resolue pour la premiere fois par E. G. Bjorling.* M. Appell a r6solu le ni'ene probleme pour les surfaces ,o .t Au moyen d'un tres- beau r6sultat du' a Riemann, on peut traiter la meme question pour une surface quelconque satisfaisant a lequation (9), quelle que soit la valeur de la constante I.

Iinaginons que par l'origine on mAne des perpendiculaires a tous les plans

* Archives de Grunert, t. IV, p. 290; 1844. t Memwire sur les deblais et les remblais. Voyez Mlmoires pr4sentes par divers savants a I 'Academie

des Sciences, t. XXIX, No. 3, p. 137.



est proportionnelle c', la distance d'un point fixe ati plan tangent. 203

tangents de la developpable A; ces droites forment un cone, qui coupe la sphere S de rayon egal a l'unite suivant une certaine courbe c, qui sera definie par une relation de la forme

p(s, s0) = 0;

la developpable A etant donnee, la fonction cherchee it prendra des valeurs connues pour les systemes de valeurs de s et de s0 qui verifient la relation precedente. D'un autre cote, la courbe C etant donnee, oil connaitra aussi la valeur de z pour ces systemes de valeurs de s et de s%, c'est-a-dire qu'on connaitra, le lolng de la courbe c, la fonction aD am

S, + 80 - U. S aS + So0

Cette relation, jointe a la relation

du a= ds + a

ds8,

nous fera coninaitre les valeurs des derivees partielles de la fonction inconnue

au ' asu , le long de c, 'a noins que l'on ait

sdso - s0ds = 0.

Je laisse de cote ce cas singulier, qui ne se presentera pas si la courbe C et la developpable A sont reelles. Le probleme de Geometrie pose plus haut est done rainene au probleme d'Analyse suivant:

De6terminer une fonction u satisfai,sant 'a l'equation (9) et prenant, ainsi que ses am au

d6rivees premiteres a , , des valeurs dolnenes 'a l'avance le long d'utne coturbe c

representee par 1'equtation cp (s, s0) = 0.

I1 suffit d'ailleurs de se donner l'une des derivees 2D4 , , car la relation ecrite as as

plus haut du am as a-s+ adso,

appliquee a un deplacement le long de cette courbe, fera connaitre celle des deux d6erivees partielles qui n'est pas donnee a prtori. Au moyen des formnules (13), ce probleme se ramene eui-meme au problreme analogue relatif 'a l'equation (1 2), car la relation q (s, so) = 0 se change en une certaine relation

q/(a ) = 0; et, si la fonction it et ses derivees partielles du premier ordre par rapport a s

VOL. X.



204 GOURSAT: Surfaces telles que la somme des rayons de courbure, etc.

et a so sont supposees connues pour tous les systemes de valeurs de s et de so verifiant I'equation (s, s0) , -il en sera evidemment de meme de la fonction v et de ses derivees partielles prises par rapport 'a a et 'a pour tous les systemes de valeurs de a et de fi verifiant la relation nouvelle -k (a, 1) = 0- .

Ce dernier problene se trouve resolu, sous une forme un peu diff6rente, dans le Memoire deja cite de Riemann (Gesamnmelte Werke, p. 145). Le grand

geometre etablit que l'on peut obtenir la fonction v, satisfaisant aux conditions precedentes, par des quadratures seulement.

PARIS, Janvier 1888.



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Surfaces Telles Que la Somme des Rayons de Courbure Principaux est Proportionnelle à la Distance d'un Point Fixe au Plan Tangent