Universit de Boumerds-Facult des sciences-Dpartement de physique Recueil dexamens de Mcanique rationnelle de 1999 2009 :A.KADI ; A.HADI

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Universit de Boumerds Anne 2008-2009 Facult des sciences Dpt. De Physique

Mcanique rationnelle : TCT

SYNTHESE Dure : 02h 15Juin 2009 Exercice 1 :(05 pts) Deux cylindres (S1) et (S2) homognes, de rayons respectifs R et 2R, de poids P1 et P2 respectivement sont en quilibre statique lintrieur dun canal de section rectangulaire, de largeur 4R comme le montre la figure1. On considre tous les contacts sans frottement. 1) Calculer la valeur de langle 0 ; 2) Ecrire les quations scalaires dquilibre pour le systme : (S1) + (S2) ; 3) En dduire les ractions du canal sur les cylindres (S1) et (S2) en fonction de P1 et P2. Exercice2 : (08 pts) Un hmisphre homogne de centre gomtrique C, de rayon R, est en mouvement plan sur un plan

horizontal fixe, auquel on associe le repre ),,,(: 0000zyxOR figure2. On dsigne par I le point de

contact entre lhmisphre et le plan horizontal, tel que : = 0)( ytyOI .

),,,(: 1111zyxCR est le repre li lhmisphre.

Les caractristiques dinertie de lhmisphre : - masse : M

- G centre dinertie donn par : = 1zaCG

- Matrice dinertie par rapport au repre ),,,(: 1111zyxCR :

100

0000

R

C

AA

AI

==

1) Calculer la vitesse du point C par rapport au repre 0R ; 2) Dterminer les coordonnes du centre instantan de rotation J ; 3) En dduire la vitesse du point I de lhmisphre par rapport au repre 0R ;

4) Calculer le moment cintique ( )

0C de lhmisphre au point C .

Exercice3 : (07 pts) Un solide homogne est constitu par deux tiges liniques soudes OA et OB, perpendiculaires, de masses respectives m et 2m, de longueurs L et 2L, respectivement figure3. Calculer :

1) Les coordonnes du centre dinertie du solide par rapport au repre ),,,( 1111zyxOR ,

2) Laire de la surface de rvolution obtenue par rotation du solide autour de laxe ),( 0xO ;

3) La matrice dinertie du solide par rapport au repre ),,,( 1111zyxOR , en fonction de m et L ;

4) La matrice dinertie du solide par rapport au repre ),,,( 0000zyxOR en fonction de m et L .

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figure1 Figure2 Figure3

1y

0z

C

O I

y(t)

0y

1z

Y

R2

R

R5

2G

1G

X

0A

O B

C

1y

0y

0x 4

L , m

O

2L , 2m

1x

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Corrig Synthse Juin 2009 Exercice 1 :(06 pts) Systme : ensemble des deux cylindres

1) valeur de langle 0 : On a : === 2,48

32

3225cos 0

210 R

RGG

RRR

( )35cos1sin 0

20 ==

2) Equations scalaires dquilibre :

Le principe fondamental de la statique donne :

=i

iF 0 =++++ 021 PPRRR CBA (1)

=i

GiFM 0)(

/ 1 =++++ 0221111111 PGGPGGRCGRBGRAG CBA (2)

Projetons ces deux quations vectorielles sur les axes (O, X), (O, Y) et (O, Z) :

( ) ( )( )

==

4030

121 PPR

RR

B

CA

( ) 0cossin2 0212021 = GGPGGRC (5)

3) Ractions sur les deux cylindres :

( ) 202 552cot5 PgPRC ==

( ) 25523 PRR CA ==

( ) 214 PPRB += Exercice 2 :(06 pts)

1) Vitesse du point C par rapport au repre 0R :

On a : += 00)( zRytyOC

== 0

)0()0( yy

dtOCdVC

2) Coordonnes du centre instantan de rotation J :

On a : += JCVV JC 01)0()0(

1

1

1

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5 1

0.5

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avec : = 0)0(JV ;

= 001 x ; ( ) ( ) += 00 zzRyyyJC JJ

( )( )

===

==

=

=

yRz

yyx

yy

zRyzRyyy

J

J

J

J

J

J

J

0

0

000

00

0

0

3) Vitesse du point I de lhmisphre par rapport au repre 0R

On a : =+=

JIVV JI01

)0()0( =

0

0

0

0

00

Ry

yR

yy

4) Moment cintique ( )

0C de lhmisphre au point C :

( ) ( )

01

111

1

00

cos

00

cos

sin

cos0

00

00

000000

)( 00120

RR

RRR

R

CCC

yMaAyMaA

y

ya

MA

AA

VCGMIS

+=

+=

+

=

+=

=

Exercice 3 :(08 pts)

1) coordonnes du centre dinertie du solide par rapport au repre ),,,( 1111zyxOR ,

On a : 21

2211

MMOGMOGM

OG ++=

, o 1G et 2G sont les centres de masse respectifs des tiges.

11

1103

26

0220

2

022

0

0;

002

21

RR

RR

L

L

mmmLm

mm

mmL

OGLOG

L

OG

=

++ +

+

=

=

=

1

0.5 1

0.5

0.5

0.5

0.5 0.5 0.5

0.5

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2) Aire de la surface de rvolution obtenue par rotation du solide autour de laxe ),( 0xO

Le 1er thorme de Guldin donne :

2.5

2

2

22

.2.2

2

2

1

2121

2

1

21

LS

LLLL

Ly

Ly

yLyLSSS

G

G

GG

=

===

=+=+=

3) Matrice dinertie du solide par rapport au repre ),,,( 1111zyxOR , en fonction de m et L

( )

( )1

11

2

2

2

2

2

2

2

300

03

0

003

8

32200

000

00322

300

03

0

000

)1()1(

RR

R

OOO

mL

mL

mL

Lm

Lm

mL

mLIII

=

+

=+= ===

4) Matrice dinertie du solide par rapport au repre ),,,( 0000zyxOR en fonction de m et L :

On a :

[ ] [ ]01,01, 10 == = PIPI ROtRO , avec [ ]

=100

02

12

1

02

12

1

01P : la matrice de passage du repre 1R vers

le repre 0R

0.5

0.5

0.5 0.5

0.5

0.5 0.5 0.5

0.5 0.5

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=

==

2

22

22

2

2

2

,

300

02

3.6

7

06

72

3

100

02

12

1

02

12

1

.

300

03

0

003

8

.

100

02

12

1

02

12

1

0

mL

mLmL

mLmL

mL

mL

mL

I RO

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