Embed Size (px)
Citation preview
SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES
Jean Paul TRUCProfesseur de Mathématiques Spéciales
E.P.A
4 décembre 2017
1 Exemples et Définitions
1.1 De l’usage des systèmes différentiels en modélisation
De nombreux problèmes de mécanique, d’éléctromagnétisme, de biologie, d’éco-nomie conduisent à des systèmes différentiels linéaires, qui permettent d’étudierl’évolution de ces phénomènes au cours du temps. Nous commencerons ici parétudier les systèmes différentiels linéaires à coefficients constants. Par exemplec’est le cas pour les oscillateurs couplés :
FIG. 1 – oscillateurs couplés
Nous orientons l’axe vers la droite et les xi désigne les abscisses des massesmi repérées par rapport à leur position d’équilibre respective. Pour simplifier nousprendrons k1 = k2 = k et m1 = m2 = 1. On a alors le système différentiellinéaire du second ordre : {
x1 = −2kx1 + kx2x2 = kx1 − 2kx2
1
En introduisant comme variables les quantités de mouvement pi = mixi = xi, onse ramène à un système linéaire du premier ordre de quatre équations :
x1 = p1x2 = p2p1 = −2kx1 + kx2p2 = kx1 − 2kx2
Nous rappelons très rapidement ici quelques notions sur les fonctions vecto-rielles qui seront utiles au lecteur pour étudier les systèmes différentiels. Noussupposons en outre le lecteur familiarisé avec le calcul matriciel et la réduction desmatrices et des applications linéaires (diagonalisation et trigonalisation).
1.2 Fonctions vectorielles
Désignons par E un espace vectoriel réel de dimension finie n et par B ={e1,...,en} une base de E. Une fonction vectorielle à valeurs dans E est une appli-cation ~x : t → ~x(t) d’un intervalle I ⊂ R dans E. Relativement à la base B, il
existe n fonctions scalaires xi : I → R telles que: ∀t ∈ I : ~x(t) =
n∑i=1
xi(t)ei.
Ces fonctions sont les fonctions coordonnées de la fonction vectorielle dans la baseB. Dans le cas où les fonctions coordonnées sont dérivables, la dérivée de la fonc-
tion vectorielle sera définie par: ∀t ∈ I :d
dt~x(t) =
n∑i=1
d
dtxi(t)ei. (Cette définition
est indépendante de la base choisie).Les propriétés de la fonction vectorielle sont celles de ses fonctions coordon-
nées ; par exemple on dira que ~x est de classe Ck sur I si ses n fonctions coordon-nées sont de classeCk sur I . (On peut montrer que cette définition est indépendantede la base choisie).
1.3 Quelques définitions
Définition 1 On appelle système différentiel linéaire du premier ordre à coeffi-cients constants tout système de n équations différentielles linéaires du premierordre de la forme :
.x1 = a1,1x1 +... +a1,nxn +b1(t).x2 = a2,1x1 +... +a2,nxn +b2(t)... ... ... ... ....xn = an,1x1 +... +an,nxn +bn(t)
(1)
où t désigne une variable réelle, où les xi sont des fonctions de la variable t declasse C1 sur un intervalle I de R, à valeurs dans R ou C, où les ai sont des réelsou des complexes, et les bi des fonctions de la variable t continues sur I, à valeursdans R ou C. Le point au dessus de xi est une notation pratique pour la dérivéepremière ; cette notation est dûe à Newton.
2
Il est commode d’utiliser la notation matrices-colonnes pour exprimer un systèmedifférentiel :
Définition - Proposition 2 En notant A = (ai,j) ∈ Mn(K), et X(t),.
X(t), B(t)les matrices colonnes :
X(t) =
x1(t)...
xn(t)
.
X(t)=
.x1 (t)....xn (t)
B(t) =
b1(t)...bn(t)
le système (1) s’écrit :
.
X(t)= AX(t) +B(t) (2)
La matrice A est la matrice du système. Le système :.
X(t)= AX(t) (3)
est le système différentiel sans second membre associé à (2).
On peut également faire appel aux endomorphismes et aux fonctions vectoriellespour écrire le système :
Proposition 1 En notant f l’endomorphisme de Kn de matrice A en base cano-nique et
−−→x(t),
−−→b(t), les vecteurs de coordonnées xi(t) et bi(t) en base canonique,
les sytèmes précédents s’écrivent respectivement :
−→dx
dt(t) = f(
−−→x(t)) +
−−→b(t) (4)
−→dx
dt(t) = f(
−−→x(t)) (5)
On utilise ici des fonctions vectorielles t −→ −−→x(t) et t −→ −−→b(t) de I dans Kn,ainsi que leurs fonctions dérivées.
Définition 3 Une fonction vectorielle satisfaisant à (4) pour tout t ∈ I sera ap-pelée une solution de (4) sur l’intervalle I ; il nous arrivera également de dire quela fonction t → X(t) est une solution du système (2) en confondant la fonctionvectorielle et sa colonne de coordonnées.
1.4 Exemple
Considérons le système:{ dxdt = x +2y +1dydt = 2x +y
Il s’écrit sous forme matricielle:( dxdtdydt
)=
(1 22 1
)(xy
)+
(10
)
3
1.5 Equation différentielle linéaire scalaire d’ordre n
Définition 4 On appelle Equation différentielle linéaire scalaire d’ordre n à coef-ficients constants une équation différentielle de la forme :
y(n)(t) + an−1y(n−1)(t) + ...+ a1y
′(t) + a0y(t) = c(t) (6)
où la fonction inconnue y : I ⊂ R → K est supposée n fois dérivable sur l’inter-valle I , et où ∀i ∈ [[0,n− 1]] : ai ∈ K. La fonction c : I ⊂ R→ K est supposéecontinue sur I . L’équation sans second membre associée est :
y(n)(t) + an−1y(n−1)(t) + ...+ a1y
′(t) + a0y(t) = 0 (7)
Ces équations peuvent s’écrire comme des systèmes linéaires de n équationsdu premier ordre.
Examinons par exemple le cas de l’équation :
y′′(t) + by′(t) + cy(t) = g(t) (8)
Elle s’écrit : (y′(t)y′′(t)
)=
(0 1−c −b
)(y(t)y′(t)
)+
(0g(t)
)et plus généralement (7) s’écrira:
y′(t)y′′(t)...
y(n)(t)
=
0 1 0 ... 00 0 1 ... 00 0 0 ... 0... ... ... ... 1−a0 −a1 ... ... −an−1
y(t)y′(t)...
y(n−1)(t)
(9)
ou encore:.Y= AY en notant:
Y (t) =
y(t)y′(t)...
y(n−1)(t)
A =
0 1 0 ... 00 0 1 ... 00 0 0 ... 0... ... ... ... 1−a0 −a1 ... ... −an−1
Plus précisément on peut dire que:
Proposition 2 Si la fonction y est solution de (7) alors Y (t) est solution de (9) ; ré-ciproquement siX est solution de (9) alors sa première coordonnée x1 est solutionde (7).
Remarque
On reconnait ici une matrice compagnon dont le polynôme caractéristique secalcule facilement:
PA(X) = (−1)n(Xn + an−1X
n−1 + ...+ a1X + a0
)4
1.5.1 Résolution d’un système par substitution
Inversement, un système différentiel de petite dimension (2 ou 3 par exemple)peut se résoudre en se ramenant à une équation différentielle. Examinons par exemplele cas du système : { dx
dt = x +2y −1dydt = 2x +y
La première équation nous permet de calculer y en fonction de x et de sa dérivée
première:dx
dt−x+1 = 2y. En dérivant il vient:
d2x
dt2− dxdt
= 2dy
dt. Nous pouvons
alors remplacer y et sa dérivée première dans la deuxième équation pour obtenirune équation différentielle du second ordre:
d2x
dt2− 2
dx
dt− 3x = 1
Cette équation admet la solution particulière constante x = −1
3. Pour la solution
de l’équation sans second membre on résout l’équation caractéristique associée :r2 − 2r − 3 = 0. Les racines sont r = −1 et r = 3. Finalement on obtient:
x(t) = −1
3+ λe−t + µe3t
et nous en déduisons: y(t) = −λe−t+µe3t+ 2
3. Le système est donc résolu. La fi-
gure 2 montre quelques trajectoires de ce système. Ce sont des courbes paramétréespar t→ (x(t),y(t)).
FIG. 2 – Trajectoires
5
2 Existence et Unicité de la solution
2.1 Conditions initiales
Définition 5 On appelle condition initiale un point de I ×Kn de la forme :(t0,α1,...,αn). Résoudre le système pour une condition initiale donnée c’est cher-cher une solution X(t) telle que : ∀i ∈ [[1,n]] : xi(t0) = αi. On peut aussi écrireles conditions initiales sous la forme X(t0) = X0, en posant :
X0 =
α1
...
...αn
2.2 Théorème d’existence et d’unicité de la solution
Théorème 1 Théorème de CauchyPour tout choix de conditions initiales dans I × Kn (respectivement: dans R ×Kn) le système (4) (respectivement le système sans second membre (5)) admet unesolution unique, définie sur I (respectivement: définie sur R).
Ce théorème est admis dans le cas général ; il découle en fait d’un théorèmeplus général, le théorème de Cauchy-Lipschitz sur les équations différentielles dupremier ordre (cf. [1]). Nous en donnerons toutefois plus loin une démonstrationdans le cas où la matrice est diagonalisable. Nous allons maintenant examiner lastructure des espaces des solutions des systèmes (4) et (5).
3 Structure des espaces de solutions d’un système diffé-rentiel linéaire
Proposition 3 L’ensemble des solutions du système (5) est un sous espace vecto-riel de dimension n de l’espace des fonctions vectorielles de classe C1 sur R, quenous noterons SH.
Preuve:On notera que la dimension de l’espace des solutions provient du théorème
d’existence et d’unicité de Cauchy. En effet , fixons par exemple t0 = 0 . L’appli-cation de Kn dans SH qui à un vecteur y de conditions initiales associe la solutiontelle que
−−→x(0) = y est alors un isomorphisme (Exercice ). Or un isomorphisme
conserve les dimensions. �
Proposition 4 On obtient la solution générale de (S) en ajoutant à la solutiongénérale de (5) une solution particulière de (4).
Preuve: Soit ~u une solution particulière de (4) ; on a donc:
−→du
dt(t) = f(
−−→u(t)) +
−−→b(t)
6
Une fonction vectorielle ~x est solution de (4) si et seulement si on a pour tout t ∈ I:
−→dx
dt(t) = f(
−−→x(t)) +
−→du
dt(t)− f(−−→u(t))
ou encore, compte tenu de la linéarité de f :
d
dt(−→x (t)−−−→u(t)) = f(
−−→x(t)−−−→u(t))
On a donc montré que ~x est solution de (4) si et seulement si ~x − ~u est solutionde (5). Les solutions de (4) sont donc bien les fonctions de la forme ~x = ~u + ~y,ou ~y ∈ SH. On peut également exprimer ceci en disant que S est un sous espaceaffine de C1(I,Kn) de direction le sous espace vectoriel SH.
4 Structure de l’espace des solutions de l’équation linéairescalaire d’ordre n
Les résultats précédents s’appliquent bien sûr à l’équation différentielle sca-laire (6) , écrite comme un système différentiel; on obtient alors :
Proposition 5 Les solutions de l’équation linéaire scalaire sans second membred’ordre n (7) forment un sous espace vectoriel de dimension n de l’espace des fonc-tions Cn(R,K). La solution générale de l’équation complète s’obtient en ajoutantà la solution générale de (7) une solution particulière de (6).
5 Système fondamental de solutions
5.1 Utilité d’un système fondamental
définition 6 On appelle système fondamental de solutions de (5) une famille librede n fonctions vectorielles solutions du système :
{−→φ1,...,−→φn}
Proposition 6 un système fondamental est une base de SH et la solution généralede (5) s’écrit alors :
−→x (t) =n∑i=1
αi−→φi(t)
avec (α1,...,αn) ∈ Kn.
Preuve: C’est immédiat puisqu’on a une partie libre de SH, dont le nombre d’élé-ments est égal à la dimension de SH. C’est donc une base.�
7
5.2 Wronskien
Les déterminants vont nous permettre de caractériser facilement un systèmefondamental.Définition 7 On appelle Wronskien d’une famille de n fonctions vectorielles
{−→φ1,...,−→φn}
la fonction :t→ det
B(−→φ1(t),...,
−→φn(t))
où B désigne la base canonique de Kn .Pour une famille de solutions de (5) on a le résulat suivant :
Théorème 2 Etant donnée une famille de n fonctions vectorielles solutions de (5) :
A = {−→φ1,...,−→φn}
Les propositions suivantes sont équivalentes :– i) A est un système fondamental.– ii) Le wronskien W ne s’annule pas sur I .– iii) Il existe un point t0 de I tel que W (t0) 6= 0.
Preuve:
Il est évident que ii) =⇒ iii), et que si A est liée alors le wronskien est identi-quement nul, ce qui par contraposée montre que iii) =⇒ i). Il nous reste à prouverque i) =⇒ ii). Nous allons le démontrer par l’absurde; supposons qu’il existe unpoint t0 où le wronskien W s’annule. On a donc:
detB
(−→φ1(t0),...,
−→φn(t0)) = 0
Ces n vecteurs sont donc liés et on peut trouver des scalaires αi non tous nuls telsque:
n∑i=1
αi−→φi(t0) = ~0
La fonction vectorielle:
~y =
n∑i=1
αi−→φi
est alors solution du système (5) pour les conditions initiales ~y(t0) = ~0. D’après lethéorème d’existence et d’unicité de Cauchy on peut en déduire que ~y est la fonc-tion nulle: ~y = ~0. Ceci est impossible puisque les fonctions forment un systèmefondamental, donc libre! �
8
5.3 Méthode de variation des constantes
Proposition 7 Etant donné un système fondamental de solutions de (5) :
A = {−→φ1,...,−→φn}
il est possible de chercher la solution générale de (4) ou une solution particulière,par la méthode de variation des constantes, c’est à dire sous la forme :
−→x (t) =n∑i=1
αi(t)−→φ (t)
Preuve
Nous nous limiterons au cas n = 2, mais la démonstration s’adapte très faci-lement au cas général. Supposons que nous disposons d’un système fondamentalA = {−→φ1,
−→φ2} de solutions du système :
−→dx
dt(t) = f(
−−→x(t))
Nous voulons chercher la solution générale du système avec second membre :
Il faut donc trouver des fonctions α et β telles que:
α′(t)−→φ1(t) + β′(t)
−→φ2(t) =
−−→b(t)
Nous noterons−−→b(t) = (u(t),v(t)). L’équation équivaut alors au système:{
u(t) = α′(t)x1(t) + β′(t)x2(t)v(t) = α′(t)y1(t) + β′(t)y2(t)
C’est un système linéaire dont le déterminant n’est autre que le wronskien du sys-tème fondamental:
w(t) =
∣∣∣∣x1(t) x2(t)y1(t) y2(t)
∣∣∣∣ = x1(t)y2(t)− y1(t)x2(t)
D’après le théorème 2 ce wronskien ne s’annule jamais sur I donc le système cidessus est toujours de Cramer et possède toujours une solution unique donnée parles formules de Cramer:
α′(t) =u(t)y2(t)− v(t)x2(t)
w(t)β′(t) =
x1(t)v(t)− y1(t)u(t)w(t)
Ces formules montrent également que les dérivées α′,β′ sont des fonctions conti-nues sur I , ce qui légitime l’existence des primitives:
α(t) =
∫u(t)y2(t)− v(t)x2(t)
w(t)dt β(t) =
∫x1(t)v(t)− y1(t)u(t)
w(t)dt
et justifie a posteriori le fait que les fonctions α et β sont dérivables et même declasse C1.
9
6 Le théorème de Liouville
Théorème 3 Etant donné un système fondamental de solutions de (SH):
A = {−→φ1,...,−→φn}
alors leur wronskien w est solution de l’équation différentielle:dw
dt= Tr(A)w(t)
Preuve du Théorème: Considérons un système fondamental de n fonctions vec-torielles
{−→φ1,...,−→φn}
de wronskien:w : t→ det
B(−→φ1(t),...,
−→φn(t))
oùB désigne la base canonique de Kn. Le déterminant étant multilinéaire se dérivecomme un produit, colonne par colonne. Nous aurons:
∀t ∈ R :dw
dt=
n∑i=1
detB
(−→φ1(t),...,
d
dt
−→φi(t)),...,
−→φn(t))
ce qui, comme les fonctions vectorielles sont solution du système différentiel ,estencore égal à:
∀t ∈ R :dw
dt=
n∑i=1
detB
(−→φ1(t),...,f(
−→φi(t))),...,
−→φn(t))
Nous avons vu dans l’étude des propriétés du déterminant que ceci est encore égalà
dw
dt= Tr(f) det
B(−→φ1(t),...,
−→φn(t)) = Tr(A)w(t)
�
Remarque
Ce résultat éclaire le théorème 2. L’équation différentielle obtenue s’intègretrès facilement; Il existe donc une constante C telle que le Wronskien soit de laforme:
∀t ∈ R : w(t) = CeTr(A)t
On comprend alors bien que si une telle fonction ne s’annule pas en un point t0,alors C 6= 0 et la fonction ne s’annule jamais.
10
7 Etude du cas où la matrice du système est diagonali-sable
7.1 Point de vue vectoriel
Théorème 4 On considère le système sans second membre sous forme vectorielle:
(SH)d
dt
−−→x(t) = f(
−−→x(t)
et on suppose que l’endomorphisme f ∈ L(Kn) est diagonalisable. Soit {−→V1,...,−→Vn}
une base de vecteurs propre de f , respectivement associés aux valeurs propresλ1,...,λn. Alors les fonctions vectorielles
−→φi définies par:
∀i ∈ [[1,n]] ,∀t ∈ R :−→φi(t) = eλit
−→Vi
forment un système fondamental de solutions de (SH).
Preuve: Il suffit de trouver un réel t0 où le wronskien de ces fonctions vecto-rielles ne s’annule pas; prenons t0 = 0. On a alors
∀i ∈ [[1,n]]−→φi(t) = ~Vi
Le wronskien en zéro est donc égal à:
w(0) = detB
(−→V1,...,
−→Vn)
déterminant qui est bien non nul puisque les −→Vi forment une base.�
Corollaire 5 La solution générale du système
(SH)d
dt
−−→x(t) = f(
−−→x(t))
où l’endomorphisme f ∈ L(Kn) est diagonalisable, s’écrit:
−−→x(t) =
n∑i=1
Cieλit−→ei
avec (C1,...,Cn) ∈ Kn.
Corollaire 6 La solution générale du système
(S)d
dt
−−→x(t) = f(
−−→x(t)) +
−−→b(t)
où l’endomorphisme f ∈ L(Kn) est diagonalisable, s’écrit:
−−→x(t) =
−−→u(t) +
n∑i=1
Cieλit−→ei
avec (C1,...,Cn) ∈ Kn et où−−→u(t) est une solution particulière de (S).
11
Exemple
Résolvons avec cette méthode le système:( dxdtdydt
)=
(1 22 1
)(xy
)Nous diagonalisons la matrice:
A =
(1 22 1
)La somme des lignes valant 3, on a que 3 est valeur propre associée au vecteurpropre ~u1 = (1,1). La trace donne la deuxième valeur propre µ, car Tr(A) = 2 =3 + µ, d’où µ = −1; la matrice étant symétrique, le deuxième vecteur propre estorthogonal au premier; ce sera ~u2 = (1,− 1). La solution du système est donc:
(x(t),y(t)) = αe3t ~u1 + βe−t ~u2
ou encore: {x(t) = αe3t + βe−t
y(t) = αe3t − βe−t
avec (α,β) ∈ R2 si on cherche des solutions réelles. Nous avons représenté ci-dessous quelques trajectoires au voisinage de l’équilibre avec Python.
FIG. 3 – Point selle
12
7.2 Résolution matricielle par changement d’inconnues
7.2.1 Indications sur la méthode à suivre
Dans la pratique, si la matrice du système se diagonalise, on a : A = PDP−1
avecD ∈Mn(K) diagonale et P ∈ Gln(K). On peut alors transformer le système :.
X(t)= AX(t) en posant X(t) = PX1(t), ce qui conduit au système :.
X1(t)=DX1(t). La solution est de la forme :
X1(t) =
C1e
λ1t
...
...Cne
λnt
et on peut retourner à X(t) par : X(t) = PX1(t).
8 Etude du cas où la matrice n’est pas diagonalisable
8.1 Utilisation d’une réduite triangulaire
8.1.1 Indications sur la méthode à suivre
Dans le cas où la matrice ne se diagonalise pas on peut toujours la triangula-riser ( sur C, ou sur R si elle est réelle et si son spectre est réel). A = PTP−1
avec T ∈ Mn(K) triangulaire supérieure et P ∈ Gln(K). On peut alors trans-former le système :
.
X(t)= AX(t) en posant X(t) = PZ(t), ce qui conduit ausystème :
.
Z(t)= TZ(t). Ce système est plus simple que le précédent; en parti-culier sa dernière équation est
.
zn(t)= λnzn(t), qui se résout immédiatement enzn(t) = Cne
λnt. On continue ensuite la résolution du système en déterminant deproche en proche zn−1(t),...,z1(t). Le fin du fin est d’utiliser la réduite de JordanJ de la matrice A.
8.1.2 un exemple résolu
Résolvons avec cette méthode le système:( dxdtdydt
)=
(−1 −41 3
)(xy
)+
(t2t
)Nous considérons la matrice:
A =
(−1 −41 3
)Son polynôme caractéristique est (1 −X)2 est 1 est valeur propre double; la ma-trice n’est pas diagonalisable. Le sous espace propre est réduit à une droite devecteur directeur ~u1 = (−2,1). Soit f l’endomorphisme de R2 de matrice A en
13
base canonique. Nous cherchons à construire une base où l’endomorphisme aurapour matrice la réduite de Jordan:
J =
(1 10 1
)En résolvant f( ~u2) = ~u1 + ~u2, on détermine que ~u2 = (1,0) convient. La matricede passage est:
P =
(−2 11 0
)Nous résolvons tout d’abord le système homogène associé qui s’écrit matricielle-ment
.
X(t)= AX(t). Nous posonsX(t) = PX1(t) ce qui donne:.
X1(t)= JX1(t).
Si X1(t) =
(u(t)v(t)
), ce système s’écrit:{ du
dt = u + vdvdt = v
La deuxième équation a pour solution v(t) = λet et il reste à résoudredu
dt=
u + λet, dont la solution est u(t) = (λt + µ)et. ici, λ et µ sont deux constantesréelles arbitraires. Le calcul de X = PX1 nous donne finalement la solution dusystème sans second membre:{
x(t) = (−2λt+ λ− 2µ)et
y(t) = (λt+ µ)et
avec (λ,µ) ∈ R2 si on cherche des solutions réelles. Il faut ensuite déterminer unesolution particulière du système avec second membre. Etant donné la forme dusecond membre, nous chercherons une solution particulière affine:
x(t) = at+ b y(t) = ct+ d
En reportant ces expressions dans le système, nous calculons que:
x(t) = −11t− 21 y(t) = 3t+ 8
La solution du système est donc:{x(t) = (−2λt+ λ− 2µ)et − 11t− 21y(t) = (λt+ µ)et + 3t+ 8
avec (λ,µ) ∈ R2 si on cherche des solutions réelles.
9 Résolution approchée par la méthode d’Euler avec Py-thon
9.1 L’algorithme
Il s’agit d’une méthode de résolution numérique à pas constant analogue àcelle utilisée pour les équations différentielles. Si M(t) est le point courant de la
14
trajectoire du système, le déplacement entre les instant t et t+ h peut être assimiléau premier ordre près à
−−→dM =M(t) + h
−−→dM
dt.
Si on suppose le temps discrétisé en une suite d’instants (tn) de pas tn+1− tn = h,le point Mn+1 s’obtient à partir de Mn par la relation Mn+1 = Mn + hf(Mn) +
h~b(tn), dans le cas où le système (S) s’écrit :~
φ)′(t) = f(~
φ)(t)) +~b(t).
9.2 Réalisation en Python
# −∗− co d i ng : u t f −8 −∗−" " "C r e a t e d on Wed Jan 11 1 8 : 0 1 : 2 4 2017R e s o l u t i o n d ’ un sys t eme d i f f à l’ r e n t i e l d ’ o r d r e n=2p o r t r a i t de phase@author : JPTruc" " "i m p o r t numpy as npi m p o r t m a t p l o t l i b . p y p l o t a s p l t# m a t r i c e du sys t emen=2A=np . a r r a y ( [ [ −1 , −1] , [1 , −1] ] )# i n t e r v a l l e d ’ i n t e g r a t i o n en tempst 1 =0t 2 =20h =0.01numpoin t s = i n t ( f l o o r ( ( t2−t 1 ) / h ) )# v a l e u r s i n i t i a l e sp=7 # nombre de c o u r b e sB=np . a r r a y ( [ [1 ,2 ,−1 ,−2 ,0 ,2 ,−2] , [1 ,2 ,−1 ,−1 ,−1 ,0 ,0 ] ] )f o r k i n r a n g e ( p ) :
X=np . z e r o s ( ( n , numpoin t s ) )V=np . a r r a y ( [ B[ 0 , k ] ,B[ 1 , k ] ] )[X[ 0 , 0 ] ,X[ 1 , 0 ] ] =Vf o r k i n r a n g e ( 1 , numpoin t s ) :
S=V+h∗np . d o t (A,V)X[ 0 , k ]=S [ 0 ]X[ 1 , k ]=S [ 1 ]V=S
p l t . p l o t (X[ 0 , : ] ,X[ 1 , : ] , l i n e w i d t h =4)p l t . show ( )
15
FIG. 4 – Portrait de phase obtenu avec le script
10 Portraits de phase de systèmes différentiels
10.1 Introduction
Dans cette partie nous nous plaçons en dimension deux et nous nous interes-sons au système différentiel:
.
X(t)=
( .
x(t).
y(t)
)=
(a bc d
)(x(t)y(t)
)avec (a,b,c,d) ∈ R4. Les solutions t → (x(t),y(t)) du système déterminent descourbes paramétrées de R2, les trajectoires du système. R2 est appelé ici l’espacedes phases. L’ensemble des trajectoires est appelé le portrait de phase du système.Remarquons que comme l’endomorphisme f vérifie toujours f(~0) = ~0, la fonc-tion vectorielle constante t → ~0 est toujours solution de (SH). Nous dirons quel’origine O = (0; 0) est un point d’équilibre du système. Nous allons essayer depréciser l’allure que peut avoir le portrait de phase du système (S) au voisinage del’origine. Le lecteur désireux d’approfondir le sujet peut consulter [1] ou citeBraun.
10.2 Différentes allures du portrait de phase du système
Le polynôme caractéristique de la matrice A s’écrit:
PA(X) = X2 − Tr(A)X + detA
Le discriminant de ce trinôme du second degré est: δ = Tr(A)2 − 4 detA.
16
10.2.1 Etude du cas où δ > 0
Dans ce cas la matrice (et l’endomorphisme) a deux valeurs propres réelles dis-tinctes λ,µ et elle est diagonalisable sur R. Nous considérons une base de vecteurspropres B′ = {~u,~v}. Dans cette base, en posant X = PX1, le système devient:{ dx1
dt = λx1dy1dt = µy1
dont les solutions sont les: {x1(t) = Ceλt
y1(t) = Deµt
Ce qui constitue une représentation paramétrique des trajectoires. Différents souscas se présentent:
a) Deux valeurs propres de même signe - Noeud attractif ou répulsif.
Supposons par exemple µ < λ < 0. Dans ce cas les coordonnées x1 et y1tendent vers zéro quand t tend vers +∞ et l’origine est un point asymptote auxtrajectoires quand t tend vers +∞. Une trajectoire à laquelle on adjoint l’origine Oadmet en ce point l’axe O~u comme tangente; en effet le rapport:
y1x1
=D
Ce(µ−λ)t
tend vers zéro quand t tend vers +∞. Par contre quand t tend vers −∞, les deuxcoordonnées tendent vers l’infini et la courbe admet une branche infinie. Le rapporty1x1
tend cette fois vers l’infini; il y a donc une branche parabolique de directionl’axe O~v. Considérons un exemple: La figure 1 représente le tracé de quelques
FIG. 5 – Noeud attractif
trajectoires du système différentiel:( dxdtdydt
)=
(1 −32 4
)(xy
)17
La matrice du système est
A =
(1 −32 −4
)Le spectre de cette matrice est :
sp(A) = {−1,− 2}
Il est constitué de deux valeurs propres réelles négatives. Le portrait de phase ob-tenu est caractéristique d’un noeud, qui est situé à l’origine. Les trajectoires sontparcourues en se rapprochant de l’origine, qui est donc un équilibre stable. Lenoeud est attractif; quand les valeurs propres sont positives le noeud est répulsif(équilibre instable).
b) Deux valeurs propres de signe contraire - Point selle.
FIG. 6 – Point selle
La figure 2 représente le tracé de quelques trajectoires du système différentiel:( dxdtdydt
)=
(1 11 −1
)(xy
)La matrice du système est
A =
(1 11 −1
)Le spectre de cette matrice est :
sp(A) = {−√2,√2}
Il est constitué de valeurs propres réelles de signe opposés. Le portrait de phaseobtenu est caractéristique d’un point selle, qui est situé à l’origine. Les trajectoiressont parcourues en se rapprochant puis en s’éloignant du point selle.
18
10.2.2 Etude du cas ou δ < 0
Dans ce cas la matrice (et l’endomorphisme) a deux valeurs propres complexesconjuguées λ = α+ iβ,µ = α− iβ et elle n’est pas diagonalisable sur R. Nous nedétaillerons pas ici l’étude des trajectoires, mais on rencontre les cas suivants:
a) La partie réelle α est non nulle - Foyer attractif ou répulsif.
FIG. 7 – Foyer
La figure 3 représente le tracé de quelques trajectoires du système différentiel:( dxdtdydt
)=
(2 −21 3
)(xy
)La matrice du système est
A =
(2 −21 3
)Le spectre de cette matrice est :
sp(A) ={5− i√7
2,5 + i
√7
2
}Il est constitué de valeurs propres complexes conjuguées. Le portrait de phase ob-tenu est caractéristique d’un foyer, qui est situé ici à l’origine; les trajectoires sontdes spirales qui s’enroulent autour de O (Voir exercice 1, première série). Il s’agitici d’un foyer répulsif car les trajectoires sont parcourues en s’éloignant du foyer,comme le montrent les flèches visibles sur le dessin. L’origine est ici un pointd’équilibre instable. On rencontre cette figure chaque fois que la matrice possèdedeux valeurs propres complexes conjuguées λ = α + iβ et µ = α − iβ de par-tie réelle α > 0; Si α > 0 le foyer est attractif et les trajectoires sont cette foisparcourues en se rapprochant de l’origine ( Equilibre stable).
19
b) α = 0 - Centre
FIG. 8 – Centre
La figure 4 représente le tracé de quelques trajectoires du système différentiel:( dxdtdydt
)=
(1 −21 −1
)(xy
)La matrice du système est
A =
(1 −21 −1
)Le spectre de cette matrice est :
sp(A) = {i,− i}
Il est constitué de valeurs propres complexes conjuguées imaginaires pures. Leportrait de phase obtenu est caractéristique d’un centre situé ici à l’origine; lesflèches visibles sur le dessin indiquent le sens de parcours des trajectoires qui sontici fermées et correspondent à des mouvements de rotation périodiques autour ducentre. On rencontre cette figure chaque fois que la matrice que la matrice possèdedeux valeurs propres imaginaires pures λ = iβ, µ = −iβ (la démonstration estvoisine de celle donnée à l’exercice 1, première série pour le foyer).
20
11 Exercices - Première série
Exercice 1
Pour (a,b) ∈ R2, a 6= 0,b 6= 0, on considère le système différentiel homogène:( dxdtdydt
)=
(a −bb a
)(xy
)On considère la fonction complexe t → z(t) = x(t) + iy(t), où x et y sontsolutions du système. Montrer que la fonction z vérifie une équation différentiellesimple. Calculer z(t). Le plan étant rapporté à un repère orthonormé, montrer quele pointM d’affixe z(t) décrit un cercle ou une spirale logarithmique quand t varie.
Exercice 2 (Centrale PSI)
Trouver les solutions réelles du système différentiel :x′ = x+ yy′ = −x+ 2y + zz′ = x+ z
Exercice 3
On considère le système différentiel :x′ = 2xy′ = 2x+ 2yz′ = y + 2z
– Ecrire la matriceA du système et déterminer les puissancesAn pour n entier.– Déterminer la matrice résolvante du système :
R(t) =
+∞∑0
tn
n!An
définie par :
R(t) = limN→+∞
N∑0
tn
n!An
– PourX0 =
abc
CalculerR(t)X0 et vérifier qu’on obtient ainsi la solution
du système différentiel pour les conditions initiales X0.Remarque : On note souvent R(t) = etA comme une exponentielle de matrice.
21
Exercice 4
On considère le système différentiel :{x′ = 3x− 4yy′ = 2x− 3y
– Ecrire la matrice A et déterminer ses éléments propres.– Donner la solution générale du système.– Préciser la solution pour les conditions initiales x(0) = 3, y(0) = 2. Montrer
que la trajectoire obtenue est une conique. Préciser les asymptotes.– Montrer que les trajectoires sont constituées d’une familled’hyperboles et de
deux droites se coupant à la position d’équilibre.
22
12 Exercices - deuxième série
Exercice 1
On considère le système différentiel :x′ = xy′ = y + zz′ = x+ z
– Ecrire la matriceA du système et déterminer les puissancesAn pour n entier.– Déterminer la matrice résolvante du système :
R(t) =
+∞∑0
tn
n!An
définie par :
R(t) = limN→+∞
N∑0
tn
n!An
– PourX0 =
abc
CalculerR(t)X0 et vérifier qu’on obtient ainsi la solution
du système différentiel pour les conditions initiales X0.Remarque : On note souvent R(t) = etA comme une exponentielle de matrice.
Exercice 2
Soit f l’endomorphisme de R3 de matrice en base canonique:
A =
4 −1 00 2 24 −2 0
– f est il diagonalisable? trigonalisable?– Déterminer une base de R3 où la matrice de f soit:
J =
a 1 00 a 10 0 a
où a est un réel que l’on précisera.
– On considère le système différentiel:.x (t) = 4x− y.y (t) = 2y + 2z.z (t) = 4x− 2y
(1)
Déterminer la solution générale de (1).– Déterminer la solution particulière satisfaisant à la condition initiale: x(0) =y(0) = 1 et z(0) = 0.
23
Exercice 3
Résoudre le système différentiel suivant :{x = x− yy = −x+ y
On donnera la solution générale puis la solution pour les conditions initiales
x(0) = 2, y(0) = −2, x′(0) = 0, y′(0) = 0.
24
13 Solutions des exercices - Première série
Exercice 1
Nous calculons : z′(t) = x′(t)+ iy′(t) = (a+ ib)(x(t)+ iy(t)) = (a+ ib)z(t)Les solutions de cette équation différentielle classique sont :
z(t) = Ce(a+ib)t = ρeiαeateibt
avec (ρ,α) ∈ R+ × [0,2π[. Nous calculons que :
r = |z(t)| = ρeat θ = arg(z(t) = bt+ α
On en tire :r = Rekθ (10)
avec :R = ρe−
aαb k =
a
b
Avec Maple nous avons tracé la trajectoire du système correspondant aux valeursa = 0.1,b = 1 et aux conditions initiales x(0) = y(0) = 1, pour −12 ≤ t ≤ 5.
FIG. 9 – Spirale logarithmique
Exercice 3
La matrice du système est :
A =
2 0 02 2 00 1 2
= 2I + J
25
avec J =
0 0 02 0 00 1 0
. on vérifie facilement que J3 = 0. Appliquant alors la
formule du binôme de Sir Isaac Newton, nous obtenons :
An =
n∑p=0
(n
p
)Jp(2I)n−p = 2nI + n2n−1J +
n(n− 1)
22n−2J2
ou encore :
An =
2n 0 0n2n 2 0
n(n− 1)2n−2 n2n−1 2n
On calcule alors que :
R(t) =
e2t 0 02te2t e2t 0t2e2t te2t e2t
Puis :
X(t) = R(t)X0 =
ae2t
(2at+ b)e2t
(at2 + bt+ c)e2t
.
et on vérifie facilement que t→ X(t) est solution du système et X(0) = X0.
4
La matrice du système est
A =
(3 −42 −3
).
La somme des lignes S = −1 et la trace permettent de calculer les valeurs propres-1 et 1 associées respectivement à (1,1) et (2,1). puis la solution générale :
x(t) = ae−t + 2bet (11)
y(t) = ae−t + bet (12)
(13)
et la solution pour les cdts initiales correspond à a = b = 1. Les courbes intégralessont des hyperboles car on a : x = y + bet d’où bet = x − y, et en reportant dansla deuxième équation :
y =ab
x− y+ x− y
qui donne une équation de degré deux, donc conique, et comme elle est non bornéeet admet les asymptotes y = x/2 et y = x c’est une hyperbole.
26
14 Solutions des exercices - Deuxième série
1
La matrice du système est :
A =
1 0 00 1 11 0 1
= I + J
avec J =
0 0 00 0 11 0 0
. on vérifie facilement que J3 = 0. Appliquant alors la
formule du binôme de Sir Isaac Newton, nous obtenons :
An =n∑p=0
(n
p
)JpIn−p = I + nJ +
n(n− 1)
2J2
ou encore :
An =
1 0 0n(n−1)
2 1 nn 0 1
On calcule alors que :
R(t) =
et 0 0t2
2 et et tet
tet 0 et
Puis :
X(t) = R(t)X0 =
aet
(a t2
2 + ct+ b)et
(at+ c)et
.
et on vérifie facilement que t→ X(t) est solution du système et X(0) = X0.
2
– Nous calculons le polynôme caractéristique de f :
Pf (x) =
∣∣∣∣∣∣4− x −1 00 2− x 24 −2 −x
∣∣∣∣∣∣Nous développons ce déterminant par rapport à la deuxième ligne:
Pf (x) = (2− x)∣∣∣∣ 4− x 0
4 −x
∣∣∣∣ce qui donne: Pf (X) = (2 − X)3. La matrice A admet une seule valeurpropre et ne peut donc être diagonalisable.
27
– Le réel a ne peut être que la valeur propre triple de f . Cherchons une basede R3 où la matrice de f soit:
J =
2 1 00 2 10 0 2
Pour cela nous commençons par déterminer le noyau ker(f − 2idE)
2. Nouscalculons que:
(A− 2I)2 =
4 −2 −28 −4 −40 0 0
Le noyau est donc le plan F d’équation 2x − y − z = 0. Nous choisissonsalors V3 /∈ F , par exemple V3 = (0,0,1). et nous considérons les vecteurs:
V2 = (f − 2idE)(V3) V1 = (f − 2idE)(V2)
Ces vecteurs se calculent facilement par:
(A− 2I)
001
=
02−2
d’où : V2 = (0,2, − 2). De même: V1 = (−2, − 4,0). Par construction, cesvecteurs vérifient:
f(V3) = 2V3 + V2 (14)
f(V2) = 2V2 + V1 (15)
f(V1) = 2V1 (16)
et on vérifie facilement qu’ils forment une partie libre; on a donc bien construitune base de R3 dans laquelle f a pour matrice J . La matrice de passage est:
P =
−2 0 0−4 2 00 −2 1
– Le système différentiel:
.x (t) = 4x− y.y (t) = 2y + 2z.z (t) = 4x− 2y
(1)
s’écrit matriciellement.
X(t)= AX(t). Nous posons: X(t) = PX1(t), ce
qui donne:.
X1(t)= JX1(t). Si X1(t) =
u(t)v(t)w(t)
, ce système s’écrit:
dudt = 2u + vdvdt = 2v + wdwdt = 2w
28
On en tire:
u(t) =(12γt2 + βt+ α
)e2t (17)
v(t) =(γt+ β
)e2t (18)
w(t) = γe2t (19)
puis X(t) = PX1(t) permet de calculer:
x(t) =(− γt2 − 2βt− 2α
)e2t (20)
y(t) =(− 2γt2 + (2γ − 4β)t− 4α+ 2β
)e2t (21)
z(t) =(− 2γt− 2β + γ
)e2t (22)
– La solution particulière satisfaisant à la condition initiale: x(0) = y(0) = 1et z(0) = 0. est :
x(t) =(t2 + t+ 1
)e2t (23)
y(t) =(2t2 + 1
)e2t (24)
z(t) = 2te2t (25)
Exercice 3
Le système différentiel : {x = x− yy = −x+ y
se met sous la forme : X = AX , avec X =
(xy
)et A =
(1 −1−1 1
). Les
valeurs propres de A sont 0 et 2 associés respectivement aux vecteurs propres
u1 = (1,1) et u2 = (1, − 1). La matrice de passage est P =
(1 11 −1
)et la
réduite diagonale : D =
(0 00 2
). On pose X = PY avec Y =
(uv
)et le
système devient : Y = DY soit :{u = 0v = 2v(t)
. On en tire :
{u(t) = at+ b
v(t) = ce√2t + de−
√2t
Puis grâce à X = PY , il vient :{x(t) = at+ b+ ce
√2t + de−
√2t
y(t) = at+ b− ce√2t − de−
√2t
29
avec (a,b,c,d) ∈ R4. Les conditions initiales x(0) = 2, y(0) = −2, x′(0) =0, y′(0) = 0 donnent :{
x(t) = e√2t + e−
√2t = 2 cosh(
√2t)
y(t) = −e√2t − e−
√2t = −2 cosh(
√2t)
La trajectoire est portée par la droite d’équation x + y = 0. Quand t varie de−infty à zéro, x(t) décroit de +∞ à 2 et y croit de −∞ à −2. Le mobile s’arrêteau point A(2,− 2) puis x(t) croit de nouveau vers +∞ pendant que y(t) redécroitvers −∞. La trajectoire est une demi-droite parcourue deux fois dans deux sensopposés.
Références
[1] Jean Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, Pug.[2] Martin Braun , Differential Equations and Their applications, Springer.
30
