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Systmes dquations linaires
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Bachelor 1 2iE 2009-2010 Algbre linaire
C Systmes dquations linaires
I. Dfinitions Un systme linaire de m quations n inconnues est un
ensemble de m quations de la forme :
(S)
Les (aij ) sont appels les coefficients du systme (S). Si bi =
0, i=1,, m, le systme est appel systme homogne (non homogne sinon)
Une solution de (S) est un vecteur X = (x1, x2, , xn ) dont les
composantes vrifient les m
quations de (S). En particulier, une solution triviale du systme
homogne est le vecteur nul.
II. Ecriture matricielle Le systme (S) peut scrire sous la forme
matricielle AX = B o :
est la matrice des coefficients de (S) format de A : (m, n).
est le vecteur colonne des inconnues. format de X : (n ,1 ).
est le vecteur colonne des rsultats ; format de B : (m, 1 ).
Matrice augmente
La matrice [A| b]= est la matrice augmente du systme (S). Elle
dfinit entirement se systme (S).
[A| b] =
Exemple 1 : (S) 2 3 26 2 123 1 Sous forme matricielle : (S) AX =
b, avec 2 3 01 2 13 0 1, X=
et b = 26121
La matrice augmente de (S) est [A| b] = 2 3 01 2 13 0
1!26121".
a11x1 + a12x2+ + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2+ + a2nxn = b2
am1x1 + am2x2+ + amnxn = bm
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III Oprations lmentaires et systmes quivalent
Soit (S) un systme dquations linaires et [A| b] la matrice
augmente de (S) a) Oprations lmentaires sur les lignes de la
matrice augmente [A| b]
o Interchanger 2 lignes de [A| b] o Ajouter la combinaison
linaire dautres lignes une ligne de [A| b] o Multiplier une ligne
de [A| B] par un scalaire non nul.
Toutes ces oprations ne changent pas lensemble des solutions du
systme dquations linaires (S).
b) Systmes quivalents
Dfinition :
Soit (S) un systme dquations linaires et(S) un autre systme
linaire. (S) est dit quivalent (S) sil est obtenu en appliquant un
nombre fini doprations lmentaires (S).
Thorme 1 Deux systmes quivalents (S) et (S) ont le mme ensemble
de solutions.
IV Rsolution de systmes dquations linaires
1 Mthode du pivot de Gauss
Elimination de Gauss (Principe) : On considre la matrice
augmente du systme et on procde par limination en appliquant des
oprations lmentaires sur les lignes de la matrice augment. La ligne
pivot nest pas transforme Le processus est ritr jusqu ce que lon
obtienne une matrice triangulaire.
Exemple 2 : Soit (S) 2 23 6 3 4 4 Ecriture matricielle : (S) :
AX = b, avec 1 1 23 1 11 3 4, X=
et b = 264
Matrice augmente de (S) : [A| b] = 1 1 23 1 11 3 4!264".
Elimination de Gauss
1 1 23 1 11 3 4!264"
$$$%. $$ 3$$% $
1 1 20 2 70 2 2!2122 "
1 1 20 ' 70 2 2!2122 "
$$$% $$$% $
1 1 20 ' 70 0 5!21210"
Pivot 1
Pivot 2
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On en dduit alors que ) +2 , 2- 22 +7 , 2- 12 10/5 2 / ) +2 1 4-
1 01 1 2
(S) admet une unique solution X = 112 .
Gnralisation de la mthode du pivot de Gauss Soit (S) un systme
de m quations linaires n inconnues. La mthode dlimination de Gauss
permet dobtenir un systme quivalent (S) dont la matrice augmente
est chelonne (triangulaire) et pour lequel 3 types de solutions
sont possibles.
(a) Si r < m : pas de solutions (exemple 4) (b) Si r = n :
solution unique ( exemple 2) (c) Si r < n : infinit de solutions
( exemple 3)
Exemple 3 : Systmes admettant une infinit de solutions
Soit (S1) 3 2 2 52 80.6 1.5 1.5 5.42 2.71.2 0.3 0.3 2.42 2.1
Matrice augmente de (S1) : [A| b] = 3 2 20.6 1.5 1.51.2 0.3 0.3
55.42.4 ! 82.72.1 ".
Elimination de Gauss
3 2 20.6 1.5 1.51.2 0.3 0.3 55.42.4 !
82.72.1 " 5 $$ 0.2$$% 0.4$
3 2 20 1.1 1.10 1.1 1.1 54.44.4 !
81.11.1 ".
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1
c22x2 + . + c2nxn = b2 . . . ...
krr xr +.. + krnxn = br
0 = br+1
.
.
.
0 = bm
avec r m, a11 0 , c220, , krr 0.
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5 $$$%$ 3 2 20 6. 6 1.10 0 0
54.40 ! 81.10 "
Le systme admet une infinit de solutions.
Exemple 4 : Systme nadmettant pas de solution
Soit (S1) 3 2 32 06 2 4 6 Matrice augmente de (S1) : [A| b] = 3
2 12 1 16 2 4 !
306 ". Elimination de Gauss
$$ 23 $$% 2$ 73 2 10 13 130 2 2
320 8
$$$% 6$ 73 2 10 13 130 0 0
3212 8 5 9: ;< :=>?2@=A
2 Rgle de Cramer
Thorme : On considre un systme linaire (S) de n quations n
inconnues
(2) En particulier si le systme est homogne et D 0, 0 est
lunique solution triviale du systme. Si D = 0, le systme homogne
admet aussi des solutions non nulles.
V. Applications : rseau lectrique
Soit le circuit lectrique suivant :
a11x1 + a12x2+ + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2+ + a2nxn = b2
an1x1 + an2x2+ + annxn = bn
Soit A = (aij ) est la matrice carre dordre n des coefficients
de (S).
(1) Si le dterminant D = det A 0, alors (S) admet une unique
solution donne par B6 C6C , B' C'C , . . , BE CEC
o Dk est le dterminant obtenu partir de D en remplaant les
lments de sa kme colonne par les b1, b2, , bn.
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On veut dterminer les intensits dterminer dcoulent des lois de
Kirchoff.
Loi de Kirchoff pour le courant lectriqueest gale la somme des
intensits de courant sortant par le mme nud
o Nud P : i1 + i3 = io Nud Q : i2 = i1 +
Loi des mailles : la somme algbrique d
o Maille gauche : 80 = 20 io Maille droite : 90 = 10 i2
On cherche i1, i3, i2 tels que :
Elimination de Gauss
Autres applications : Production
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eut dterminer les intensits i1, i2 et i3 de courant dans le
circuit. Les quations permettant de dterminer dcoulent des lois de
Kirchoff.
irchoff pour le courant lectrique : la somme des intensits de
courant entrant par un nudest gale la somme des intensits de
courant sortant par le mme nud
i2 + i3
a somme algbrique des tensions le long dune maille est nulle
i1 + 10 i2 2 + 25 i3
. On a: (A| b ) =
Production consommation Statistiques ; Mthodes numriques
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de courant dans le circuit. Les quations permettant de
: la somme des intensits de courant entrant par un nud
Mthodes numriques
