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T ES DEVOIR SURVEILLE° 5 14 MARS 2014
Durée : 3h Calculatrice autorisée
NOM : Prénom :
« Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. » Aucun prêt n’est autorisé entre les élèves.
Exercice 1 - 2,5 points -
1. Résoudre l'équation suivante dans ℝ (𝑒𝑥 − 0,9)(5 + ln 𝑥) = 0
2. Résoudre l'inéquation suivante dans ℝ 𝑒3𝑥−1 ≤ 2 Exercice 2 - 5 points -
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie.
Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Aucune justification n'est attendue.
1. On définit la suite (𝑢𝑛) par 𝑢0 = 4et, pour tout entier naturel , par 𝑢𝑛+1 = −0,4 𝑢𝑛 + 1750 .
On définit la suite (𝑣𝑛) par, pour tout entier naturel , 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 1250 .. Alors :
a) La suite (𝑣𝑛) est arithmétique.
b) La suite (𝑣𝑛) est géométrique.
c) La suite (𝑢𝑛) est géométrique.
2. En 2011, la facture de gaz d'une entreprise s'élève à 148 000 euros. À partir de 2011, la facture de gaz augmente de 5% par an. À partir de quelle année, cette facture dépassera-t-elle 200 000 euros ?
a) 2020 b) 2018 c) 2017
3. On définit la suite (𝑢𝑛) par, pour tout entier naturel , 𝑢𝑛 = −2 × (0,5)𝑛 + 2. Cette suite a pour limite :
a) –2 b) 0 c) 2
4. On définit la suite (𝑢𝑛) par, pour tout entier naturel , 𝑢𝑛 = −4 × (0,3)𝑛 + 2. Alors :
a) La suite (𝑢𝑛) est croissante.
b) La suite (𝑢𝑛) est décroissante.
c) La suite (𝑢𝑛) est constante.
5. On pose 𝑆 = 1 +2
3+
4
9+
8
27+ ⋯ +
256
6561, alors 𝑆 =…
a) 3 b) 3 (1 − (2
3)
8
) c) 3 (1 − (2
3)
9
)
Exercice 3 - 5 points -
Un fournisseur d’accès wifi effectue une enquête de satisfaction sur un panel de 2 000 clients, dont l’abonnement a plus de 12 mois d’ancienneté.
Parmi eux :
• 900 n’ont jamais subi de coupure prolongée de connexion.
• 500 clients ont connu leur dernière coupure prolongée de connexion dans les 12 derniers mois.
• les autres clients ont connu leur dernière coupure prolongée de connexion il y a plus d’un an.
L’enquête révèle que :
• 95% des clients n’ayant jamais subi de coupure prolongée se déclarent satisfaits du service fourni.
• 50% des clients ayant subi une coupure prolongée de connexion dans les douze derniers mois se déclarent satisfaits du service fourni.
• 70% des clients ayant subi une coupure prolongée de connexion il y a plus d’un an se déclarent satisfaits du service fourni.
On choisit au hasard un client parmi ceux qui ont été interrogés. On considère les évènements suivants :
𝐽 : « le client n’a jamais subi de coupure prolongée de connexion »
𝑅 : « la dernière coupure prolongée de connexion du client est survenue au cours des douze derniers mois » (elle est « récente »)
𝐴 : « la dernière coupure prolongée de connexion du client date d’il y a plus d’un an » (elle est « ancienne »)
𝑆 : « le client se déclare satisfait »
𝑆 ̅désigne l’évènement contraire de 𝑆.
1. a) Calculer les probabilités des évènements J, R et A.
b) Construire un arbre pondéré décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
2. Calculer la valeur exacte de la probabilité que le client soit satisfait et n’ait jamais subi de coupure prolongée de connexion.
3. Démontrer que la probabilité que le client choisi se déclare satisfait est égale à 0,7625.
4. Le client choisi se déclare satisfait du service fourni. Quelle est la probabilité qu’il ait subi une coupure prolongée de connexion au cours des douze derniers mois ?
(on donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième)
Exercice 4 - 9 points -
Le coût total d’une production, en millier d’euros, est donné par 𝐶(𝑥) = 2𝑥 + 𝑥 𝑒−𝑥+2 + 10, où la
quantité 𝑥 en tonnes, est comprise entre 0,5 tonne et 5 tonnes.
On rappelle que pour une production de 𝑥 tonnes :
▪ Le coût marginal 𝐶𝑚(𝑥) est assimilé au nombre dérivé 𝐶’(𝑥), en millier d’euros par tonne.
▪ Le coût moyen 𝐶𝑀(𝑥) est 𝐶𝑀(𝑥) =𝐶(𝑥)
𝑥
Partie A Coût marginal
1. a) Montrer que 𝐶𝑚(𝑥) = 𝑒−𝑥+2(1 − 𝑥) + 2
b) Quelle est la valeur du coût marginal pour une production de 2 tonnes ?
2. Montrer que la dérivée du coût marginal est donnée par 𝐶′𝑚(𝑥) = (𝑥 − 2)𝑒−𝑥+2
3. Etudier le signe de 𝐶′𝑚(𝑥) sur [0,5; 5].
4. Préciser le signe de 𝐶𝑚(𝑥) sur [0,5; 5], en justifiant.
Partie B Point d’inflexion du coût total
1. Justifier que la fonction de coût total 𝐶 est croissante sur l’intervalle [0,5; 5].
2. En remarquant que la dérivée seconde du coût total est la dérivée du coût marginal, c’est-à-dire : 𝐶’’(𝑥) = 𝐶𝑚
′ (𝑥), justifier que la courbe C a un point d’inflexion et préciser ses
coordonnées.
Partie C Coût moyen
1. Exprimer 𝐶𝑀(𝑥) en fonction de 𝑥.
2. Démontrer que le coût moyen est décroissant sur l’intervalle [0,5; 5].
Exercice 5 - 8,5 points -
Soit 𝑓 la fonction définie pour tout réel 𝑥 appartenant à l'intervalle ]0; +∞[ par
𝑓(𝑥) =2𝑥2 + 𝑥 − 1
𝑥2
On note 𝐶𝑓 sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection éventuels de la courbe 𝐶𝑓 avec l'axe
des abscisses.
2. On note 𝑓′ la dérivée de la fonction 𝑓.
a) Montrer que pour tout réel 𝑥 appartenant à l'intervalle ]0; +∞[, 𝑓′(𝑥) =2−𝑥
𝑥3 .
b) Donner le tableau des variations de 𝑓.
3. a) Étudier la convexité de la fonction 𝑓.
b) La courbe représentative de la fonction 𝑓 a-t-elle un point d'inflexion ?
4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Montrer que l'équation 𝑓′(𝑥) =1
2 admet une solution unique α dans l'intervalle [1; 2]. À l'aide
de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 10−2 près, de α.
5. a) Vérifier que pour tout réel 𝑥 appartenant à l'intervalle ]0; +∞[ 𝑓(𝑥) = 2 +1
𝑥−
1
𝑥2 .
b) Déterminer sur ]0; +∞[ une primitive F de la fonction 𝑓.
c) Déterminer, en unités d’aire, l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe 𝐶𝑓 et les droites d’équation 𝑥 = 1 et 𝑥 = 𝑒.
T ES CORRECTION DEVOIR SURVEILLE° 5 14 / 03 / 2014
Exercice 1 - 2,5 points -
1. Résoudre l'équation suivante dans ℝ (𝒆𝒙 − 𝟎, 𝟗)(𝟓 +ln 𝒙) = 𝟎 Ensemble de définition : ]0; +∞[ 𝑥 > 0 Alors 𝐼2 =]0; +∞[ Résolution :
(𝑒𝑥 − 0,9)(5 + 𝑙𝑛𝑥) = 0 Alors soit 𝑒𝑥 − 0,9 = 0 soit 5 + ln 𝑥 = 0 soit 𝑒𝑥 = 0,9 soit ln 𝑥 = −5
soit ln (𝑒𝑥) = ln (0,9) soit ln 𝑥 = ln ( 𝑒−5) soit 𝑥 = ln (0,9) soit 𝑥 = 𝑒−5
Conclusion :
On a ln(0,9) < 0 donc ln 0,9 ∉]0; +∞[ Et 𝑒−5 > 0
Donc 𝑆 = {𝑒−5}
2. Résoudre l'inéquation suivante dans ℝ 𝒆𝟑𝒙−𝟏 ≤ 𝟐 Ensemble de définition : ℝ Résolution :
𝑒3𝑥−1 ≤ 2 équivaut à ln (𝑒3𝑥−1) ≤ ln 2
équivaut à 3𝑥 − 1 ≤ ln 2
équivaut à 3𝑥 ≤ 1 + ln 2
équivaut à 𝑥 ≤1+ln 2
3
Conclusion : 𝑆 = ]−∞;1+ln 2
3]
Exercice 2 - 5 points -
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie. Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Aucune justification n'est attendue. 1. On définit la suite (𝒖𝒏) par 𝒖𝟎 = 𝟒et, pour tout entier naturel , par 𝒖𝒏+𝟏 = −𝟎, 𝟒 𝒖𝒏 +𝟏𝟕𝟓𝟎 . On définit la suite (𝒗𝒏) par, pour tout entier naturel , 𝒗𝒏 = 𝒖𝒏 − 𝟏𝟐𝟓𝟎 .. Alors :
a) La suite (𝒗𝒏) est arithmétique. b) La suite (𝒗𝒏) est géométrique. c) La suite (𝒖𝒏) est géométrique.
On sait que, pour tout 𝑢𝑛+1 = −0,4 𝑢𝑛 + 1750 et 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 1250 On a donc : 𝑣𝑛+1 = (−0,4 𝑢𝑛 + 1750) − 1250 = −0,4 𝑢𝑛 + 500 = 0,4 (𝑢𝑛 −1250) Donc pour tout 𝑛, 𝑣𝑛+1 = −0,4𝑣𝑛
La suite (𝑣𝑛) est une suite géométrique de raison −0,4. Réponse : b
2. En 2011, la facture de gaz d'une entreprise s'élève à 148 000 euros. À partir de 2011, la facture de gaz augmente de 5% par an. À partir de quelle année, cette facture dépassera-t-elle 200 000 euros ?
a) 2020 b) 2018 c) 2017
On sait que (𝑢𝑛) est une suite géométrique de raison 1,05
Avec la calculatrice, on trouve que 𝑢𝑛 > 200000 si 𝑛 ≥ 7 Donc la réponse est 2018 Réponse : b
3. On définit la suite (𝒖𝒏) par, pour tout entier naturel , 𝒖𝒏 = −𝟐 × (𝟎, 𝟓)𝒏 + 𝟐. Cette suite a pour limite :
a) –2 b) 0 c) 2
On pose la suite (𝑣𝑛) tel que 𝑣𝑛 = −2 × (0,5)𝑛
Alors (𝑣𝑛)est une suite géométrique de raison 0,5 Comme 0,5<1 Donc lim
𝑛→∞0,5𝑛 = 0 d’où lim
𝑛→∞𝑣𝑛 = 0
Alors lim𝑛→∞
𝑢𝑛 = lim𝑛→∞
𝑣𝑛 + 2 = 2
Réponse : c 4. On définit la suite (𝒖𝒏) par, pour tout entier naturel , 𝒖𝒏 = −𝟒 × (𝟎, 𝟑)𝒏 + 𝟐. Alors :
a) La suite (𝒖𝒏) est croissante b) La suite (𝒖𝒏) est décroissante c) La suite (𝒖𝒏) est constante
On pose la suite (𝑣𝑛) tel que 𝑣𝑛 = −4 × (0,3)𝑛
Alors (𝑣𝑛)est une suite géométrique de raison 0,3 et de premier terme −4 Comme 0 < 0,3 < 1 et 𝑣0 = −4 < 0 Donc la suite (𝑣𝑛) est croissante
Comme 𝑢𝑛 = 𝑣𝑛 + 2 Alors la suite (𝑢𝑛) est également croissante Réponse : a
5. On pose 𝑺 = 𝟏 +𝟐
𝟑+
𝟒
𝟗+
𝟖
𝟐𝟕+ ⋯ +
𝟐𝟓𝟔
𝟔𝟓𝟔𝟏, alors 𝑺 =…
a) 3 b) 𝟑 (𝟏 − (𝟐
𝟑)
𝟖
) c) 𝟑 (𝟏 − (𝟐
𝟑)
𝟗
)
On pose la suite (𝑢𝑛) tel que 𝑢𝑛 = (2
3)
𝑛
Alors 𝑆 = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢8 = 𝑢𝑜
1−(2
3)
8+1
1−2
3
= 1 ×1−(
2
3)
9
1
3
= 3 (1 − (2
3)
9
)
Réponse : c
Exercice 3 - 5 points - (Pondichéry - Avril 2012)
Un fournisseur d’accès wifi effectue une enquête de satisfaction sur un panel de 2 000 clients, dont l’abonnement a plus de 12 mois d’ancienneté. Parmi eux :
• 900 n’ont jamais subi de coupure prolongée de connexion. • 500 clients ont connu leur dernière coupure prolongée de connexion dans les 12 derniers mois. • les autres clients ont connu leur dernière coupure prolongée de connexion il y a plus d’un an.
L’enquête révèle que :
• 95% des clients n’ayant jamais subi de coupure prolongée se déclarent satisfaits du service fourni. • 50% des clients ayant subi une coupure prolongée de connexion dans les douze derniers mois se déclarent satisfaits du service fourni. • 70% des clients ayant subi une coupure prolongée de connexion il y a plus d’un an se déclarent satisfaits du service fourni.
On choisit au hasard un client parmi ceux qui ont été interrogés. On considère les évènements suivants :
𝑱 : « le client n’a jamais subi de coupure prolongée de connexion » 𝑹 : « la dernière coupure prolongée de connexion du client est survenue au cours des douze derniers mois » (elle est « récente »)
𝑨 : « la dernière coupure prolongée de connexion du client date d’il y a plus d’un an » (elle est « ancienne »)
𝑺 : « le client se déclare satisfait »
𝑺 ̅désigne l’évènement contraire de 𝑺.
1. a) Calculer les probabilités des évènements J, R et A. Parmi les 2 000 clients, dont l'abonnement a plus de 12 mois d'ancienneté :
▪ 900 clients n'ont jamais subi de coupure prolongée de connexion, d'où 𝑝(𝐽) =900
2000= 0,45
▪ 500 clients ont connu leur dernière coupure prolongée de connexion dans les 12
derniers mois, d'où 𝑝(𝑅) =500
2000= 0,25
▪ les autres clients ont connu leur dernière coupure prolongée de connexion il y a
plus d'un an, d'où 𝑝(𝐴) =2000−(900+500)
2000= 0,3
Ainsi, 𝑝(𝐽) = 0,45 , 𝑝(𝑅) = 0,25 et 𝑝(𝐴) = 0,3
b) Construire un arbre pondéré décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
L'enquête a révélé que :
▪ 95 % des clients n'ayant jamais subi de coupure prolongée se déclarent satisfaits du service fourni d'où 𝑝𝐽(𝑆) = 0,95.
▪ 50 % des clients ayant subi une coupure prolongée de connexion dans les douze derniers mois se déclarent satisfaits du service fourni d'où 𝑝𝑅(𝑆) = 0,5.
▪ 70 % des clients ayant subi une coupure prolongée de connexion il y a plus d'un an se déclarent satisfaits du service fourni d'où 𝑝𝐴(𝑆) = 0,7.
D'où l'arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé :
2. Calculer la valeur exacte de la probabilité que le client soit satisfait et n’ait jamais subi de coupure prolongée de connexion.
On a 𝑝(𝑆 ∩ 𝐽) = 𝑝𝐽(𝑆) × 𝑝(𝐽) = 0,95 × 0,45 = 0,4275 La probabilité que le client soit satisfait et n'ait jamais subi de coupure prolongée de connexion est égale à 0,4275.
3. Démontrer que la probabilité que le client choisi se déclare satisfait est égale à 0,7625.
Les évènements J, R et A forment une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales : 𝑝(𝑆) = 𝑝(𝐽 ∩ 𝑆) + 𝑝(𝑅 ∩ 𝑆) + 𝑝(𝐴 ∩ 𝑆)
Or 𝑝(𝑅 ∩ 𝑆) = 𝑝𝑅(𝑆) × 𝑝(𝑅) = 0,25 × 0,5 = 0,125 et 𝑝(𝐴 ∩ 𝑆) = 𝑝𝐴(𝑆) × 𝑝(𝐴) = 0,3 × 0,7 = 0,21 Donc 𝑝(𝑆) = 0,4275 + 0,125 + 0,21 = 0,7625 Ainsi, la probabilité que le client choisi se déclare satisfait est égale à 0,7625.
4. Le client choisi se déclare satisfait du service fourni. Quelle est la probabilité qu’il ait
subi une coupure prolongée de connexion au cours des douze derniers mois ? (on donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième)
On a 𝑝𝑆(𝑅) =𝑝(𝑆∩𝑅)
𝑝(𝑆)=
0,125
0,7625≈ 0,16
Arrondie au centième, la probabilité qu'un client satisfait ait subi une coupure prolongée de connexion au cours des douze derniers mois est 0,16.
Exercice 4 - 9 points -
Le coût total d’une production, en millier d’euros, est donné par 𝑪(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝒙 𝒆−𝒙+𝟐 + 𝟏𝟎, où la quantité 𝒙 en tonnes, est comprise entre 0,5 tonne et 5 tonnes.
On rappelle que pour une production de 𝒙 tonnes : ▪ Le coût marginal 𝑪𝒎(𝒙) est assimilé au nombre dérivé 𝑪’(𝒙), en millier d’euros par
tonne.
▪ Le coût moyen 𝑪𝑴(𝒙) est 𝑪𝑴(𝒙) =𝑪(𝒙)
𝒙
Partie A Coût marginal
1. a) Montrer que 𝑪𝒎(𝒙) = 𝒆−𝒙+𝟐(𝟏 − 𝒙) + 𝟐
On sait que 𝐶(𝑥) = 2𝑥 + 𝑥 𝑒−𝑥+2 + 10 D’où 𝐶 est dérivable sur [0,5; 5] comme somme de produit de fonctions
dérivables sur [0,5; 5] . Alors 𝐶 = 𝑢 + 𝑣 × 𝑤 + 10
Avec 𝑢(𝑥) = 2𝑥 𝑢′(𝑥) = 2 𝑣(𝑥) = 𝑥 𝑣′(𝑥) = 1
𝑤(𝑥) = 𝑒−𝑥+2 𝑤′(𝑥) = −𝑒−𝑥+2 Donc 𝐶′ = 𝑢′ + 𝑣′ × 𝑤 + 𝑣 × 𝑤′ + 0 D’où 𝐶′(𝑥) = 2 + 1 × 𝑒−𝑥+2 + 𝑥 × (−𝑒−𝑥+2)
𝐶′(𝑥) = 2 + (1 − 𝑥) × 𝑒−𝑥+2
Comme 𝐶′(𝑥) = 𝐶𝑚(𝑥)
Donc 𝑪𝒎(𝒙) = 𝟐 + (𝟏 − 𝒙) × 𝒆−𝒙+𝟐
b) Quelle est la valeur du coût marginal pour une production de 2 tonnes ?
On sait que 𝐶𝑚(𝑥) = 2 + (1 − 𝑥) × 𝑒−𝑥+2
Alors 𝐶𝑚(2) = 2 + (1 − 2) × 𝑒−2+2 = 2 − 𝑒0 = 2 − 1 = 1 Donc pour une production de 2 tonnes, le coût marginal est de 1000€
2. Montrer que la dérivée du coût marginal est donnée par 𝑪′𝒎(𝒙) = (𝒙 − 𝟐)𝒆−𝒙+𝟐
On sait que 𝐶𝑚(𝑥) = 2 + (1 − 𝑥) × 𝑒−𝑥+2 D’où 𝐶𝑚 est dérivable sur [0,5; 5] comme somme de produit de fonctions dérivables sur [0,5; 5] . Alors 𝐶𝑚 = 2 + 𝑢 × 𝑣
Avec 𝑢(𝑥) = 1 − 𝑥 𝑢′(𝑥) = −1
𝑣(𝑥) = 𝑒−𝑥+2 𝑣′(𝑥) = −𝑒−𝑥+2
Donc 𝐶𝑚′ = 0 + 𝑢′ × 𝑣 + 𝑢 × 𝑣′
D’où 𝐶𝑚′ (𝑥) = 0 + (−1) × 𝑒−𝑥+2 + (1 − 𝑥) × (−𝑒−𝑥+2)
𝐶𝑚′ (𝑥) = −𝑒−𝑥+2 − (1 − 𝑥)𝑒−𝑥+2
𝐶𝑚′ (𝑥) = (−1 − 1 + 𝑥)𝑒−𝑥+2
Donc 𝑪′𝒎(𝒙) = (𝒙 − 𝟐) × 𝒆−𝒙+𝟐 3. Etudier le signe de 𝑪′𝒎(𝒙) sur [𝟎, 𝟓; 𝟓].
On sait que 𝐶′𝑚(𝑥) = (𝑥 − 2) × 𝑒−𝑥+2
Or pour tout 𝑥, 𝑒−𝑥+2 > 0 D’où 𝐶𝑚
′ est du signe de 𝑥 − 2 Donc
𝑥 0,5 2 5 Signe de 𝑥 − 2 − 0 + Signe de 𝐶𝑚
′ (𝑥) − 0 +
4. Préciser le signe de 𝑪𝒎(𝒙) sur [𝟎, 𝟓; 𝟓], en justifiant. D’après la question précédente, on peut étudier les variations de la fonction
𝐶𝑚
𝑥 0,5 2 5 Signe de 𝐶𝑚
′ (𝑥) − 0 +
Variation de 𝐶𝑚
𝐶𝑚(0,5) 𝐶𝑚(5) 1
Sur [0,5; 5], la fonction 𝐶𝑚 atteint son minimum en 2 qui vaut 1 Donc pour tout 𝒙 ∊ [𝟎, 𝟓; 𝟓], 𝑪𝒎(𝒙) > 0
Partie B Point d’inflexion du coût total
1. Justifier que la fonction de coût total 𝑪 est croissante sur l’intervalle [𝟎, 𝟓; 𝟓]. On sait que 𝐶(𝑥) = 2𝑥 + 𝑥 𝑒−𝑥+2 + 10 Et 𝐶′(𝑥) = 𝐶𝑚(𝑥) Or d’après la partie A, pour tout 𝑥 ∊ [0,5; 5], 𝐶𝑚(𝑥) > 0 Donc pour tout 𝑥 ∊ [0,5; 5], 𝐶′(𝑥) > 0
D’où la fonction 𝑪 est croissante sur [𝟎, 𝟓; 𝟓]
2. En remarquant que la dérivée seconde du coût total est la dérivée du coût marginal, c’est-à-dire : 𝑪’’(𝒙) = 𝑪𝒎
′ (𝒙), justifier que la courbe C a un point d’inflexion
et préciser ses coordonnées.
On sait que 𝐶′(𝑥) = 𝐶𝑚(𝑥) Alors 𝐶′′(𝑥) = 𝐶′𝑚(𝑥) De plus
𝑥 0,5 2 5 Signe de 𝐶𝑚
′ (𝑥) + 0 − Signe de 𝐶′′(𝑥) + 0 −
Donc 𝐶′′ s’annule et change de signe en 2 Donc le point d’abscisse 2 est un point d’inflexion la courbe C
Partie C Coût moyen
1. Exprimer 𝑪𝑴(𝒙) en fonction de 𝒙.
On sait que le coût moyen 𝐶𝑀(𝑥) est 𝐶𝑀(𝑥) =𝐶(𝑥)
𝑥
Or 𝐶(𝑥) = 2𝑥 + 𝑥 𝑒−𝑥+2 + 10
D’où 𝐶𝑀(𝑥) =2𝑥+𝑥 𝑒−𝑥+2+10
𝑥
Donc 𝐶𝑀(𝑥) = 2 + 𝑒−𝑥+2 +10
𝑥
2. Démontrer que le coût moyen est décroissant sur l’intervalle [𝟎, 𝟓; 𝟓].
On calcule la dérivée du coût moyen : 𝐶𝑀(𝑥) = 2 + 𝑒−𝑥+2 +10
𝑥
Alors 𝐶′𝑀(𝑥) = −𝑒−𝑥+2 −10
𝑥²
D’où 𝐶′𝑀(𝑥) = − (𝑒−𝑥+2 +10
𝑥²)
Comme pour tout 𝑥 ∊ [0,5; 5], 𝑒−𝑥+2 > 0 et 10
𝑥2> 0
Alors pour tout 𝑥 ∊ [0,5; 5], 𝐶𝑀(𝑥) < 0
Or 𝐶(𝑥) = 2𝑥 + 𝑥 𝑒−𝑥+2 + 10 D’où 𝐶𝑀 décroissant sur l’intervalle [0,5; 5]
Exercice 5 - 8,5 points -
Soit 𝒇 la fonction définie pour tout réel 𝒙 appartenant à l'intervalle ]𝟎; +∞[ par
𝒇(𝒙) =𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏
𝒙𝟐
On note 𝑪𝒇 sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection éventuels de la courbe 𝑪𝒇 avec
l'axe des abscisses. Les abscisses des points d'intersection de la courbe 𝐶𝑓 avec l'axe des abscisses
sont les solutions de l'équation 𝑓(𝑥) = 0.
Soit les réels 𝑥 ∈]0; +∞[ tels que 2𝑥² + 𝑥 − 1 = 0.
Cherchons les solutions de l'équation du second degré 2𝑥² + 𝑥 − 1 = 0 avec 𝑎 = 2,
𝑏 = 1 et 𝑐 = −1.
Le discriminant du trinôme est 𝛥 = 𝑏² − 4𝑎𝑐 = 1 + 8 = 9 Δ>0 donc l'équation a deux solutions :
𝑥1 =−𝑏−√𝛥
2𝑎=
−1−3
4= −1 et 𝑥2 =
−𝑏+√𝛥
2𝑎=
−1+3
4=
1
2
Or −1 ∉]0; +∞[ Donc la courbe courbe 𝐶𝑓 coupe l'axe des abscisses en un seul point de
coordonnées (1
2; 0)
2. On note 𝒇′ la dérivée de la fonction 𝒇.
a) Montrer que pour tout réel 𝒙 appartenant à l'intervalle ]𝟎; +∞[, 𝒇′(𝒙) =𝟐−𝒙
𝒙𝟑 .
On a 𝑓(𝑥) =2𝑥2+𝑥−1
𝑥2
D’où 𝑓 est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.
Alors 𝑓 =𝑢
𝑣 avec 𝑢(𝑥) = 2𝑥² + 𝑥 − 1 𝑢′(𝑥) = 4𝑥 + 1
𝑣(𝑥) = 𝑥² 𝑣′(𝑥) = 2𝑥
D’où 𝑓′ =𝑢′𝑣−𝑣′𝑢
𝑣²
𝑓′(𝑥) =(4𝑥+1)×𝑥2−(2𝑥2+𝑥−1)×2𝑥
(𝑥²)2 =4𝑥3+𝑥2−4𝑥3−2𝑥2+2𝑥
𝑥4 =2𝑥−𝑥2
𝑥4 =𝑥(2−𝑥)
𝑥4 =2−𝑥
𝑥3
Donc tout réel 𝑥 appartenant à l'intervalle ]0; +∞[ 𝑓′(𝑥) =2−𝑥
𝑥3
b) Donner le tableau des variations de 𝒇.
Les variations de la fonction 𝑓 se déduisent du signe de sa dérivée.
Comme sur l'intervalle ]0;+∞[ 𝑥3 > 0 Alors le signe de 𝑓′(𝑥) est le même que celui de 2 − 𝑥
𝑥 0
2
+ ∞
Signe de 𝑓′(𝑥)
+ 0 −
Variation de 𝑓
9
4
Calcul du maximum 𝑓(2) =2×4+2−1
4=
9
4
3. a) Étudier la convexité de la fonction 𝒇. La convexité de la fonction 𝑓 se déduit du signe de sa dérivée seconde 𝑓′′ définie sur l'intervalle ]0; +∞[ par :
On a 𝑓′(𝑥) =2−𝑥
𝑥3
D’où 𝑓′ est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.
Alors 𝑓′ =𝑢
𝑣 avec 𝑢(𝑥) = 2 − 𝑥 𝑢′(𝑥) = −1
𝑣(𝑥) = 𝑥3 𝑣′(𝑥) = 3𝑥²
D’où 𝑓′′ =𝑢′𝑣−𝑣′𝑢
𝑣²
𝑓′(𝑥) =(−1)×𝑥3−(2−𝑥)×3𝑥²
(𝑥3)2 =−𝑥3−6𝑥2+3𝑥3
𝑥6 =2𝑥3−6𝑥2
𝑥6 =𝑥²(2𝑥−6)
𝑥6 =2𝑥−6
𝑥4
Donc tout réel 𝑥 appartenant à l'intervalle ]0; +∞[ 𝑓′′(𝑥) =2𝑥−6
𝑥4
Comme sur l'intervalle ]0;+∞[ 𝑥4 > 0 Alors le signe de 𝑓′′(𝑥) est le même que celui de 2𝑥 − 6
𝑥 0
3 + ∞
Signe de 𝑓′′(𝑥)
− 0 +
Convexité de 𝑓
𝑓 est concave
𝑓 est convexe
Donc La fonction 𝑓 est concave sur l'intervalle ]0; 3] et convexe sur l'intervalle
[3; +∞[.
b) La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d'inflexion ?
La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour 𝑥 = 3 Donc la courbe 𝐶𝑓 admet un point d'inflexion d'abscisse 3.
4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Montrer que l'équation 𝒇′(𝒙) =𝟏
𝟐 admet une solution unique α dans l'intervalle [𝟏; 𝟐].
À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 10−2 près, de α.
Sur l'intervalle [1;2], 𝑓′′(𝑥) < 0 donc la fonction 𝑓′ est continue et strictement décroissante. D'autre part, 𝑓′(1) = 1 et 𝑓′(2) = 0
Sur l'intervalle [1;2], la fonction 𝑓′ est continue, strictement décroissante
et 𝑓′(2) <1
2< 𝑓′(1)
alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :
L'équation 𝑓′(𝑥) =1
2 admet une unique solution 𝛼 ∈ [1; 2].
À l'aide de la calculatrice, on trouve 𝛼 ≈ 1,18
5. a) Vérifier que pour tout réel 𝒙 appartenant à l'intervalle ]𝟎; +∞[ 𝒇(𝒙) = 𝟐 +𝟏
𝒙−
𝟏
𝒙𝟐 .
On a 𝑓(𝑥) =2𝑥2+𝑥−1
𝑥2 =2𝑥2
𝑥2 +𝑥
𝑥2 −1
𝑥²= 2 +
1
𝑥−
1
𝑥2
b) Déterminer sur ]𝟎; +∞[ une primitive F de la fonction 𝒇.
On a 𝑓(𝑥) = 2 +1
𝑥−
1
𝑥2*
Alors 𝐹(𝑥) = 2𝑥 + ln 𝑥 +1
𝑥 Vérification : 𝐹′(𝑥) = 2 +
1
𝑥−
1
𝑥²
c) Déterminer, en unités d’aire, l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la
courbe 𝑪𝒇 et les droites d’équation 𝒙 = 𝟏 et 𝒙 = 𝒆.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]1𝑒
𝑒
1
= 𝐹(𝑒) − 𝐹(1) = (2 × 𝑒 + ln 𝑒 +1
𝑒) − ( 2 × 1 + ln 1 +
1
1)
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑒
1
2𝑒 + 1 −1
𝑒− 2 + 0 − 1 = 2𝑒 − 2 +
1
𝑒≈ 3,80
Donc l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe 𝐶𝑓 et les droites
d’équation 𝑥 = 1 et 𝑥 = 𝑒 est de 2𝑒 − 2 −1
𝑒 𝑢. 𝑎. soit environ 3,8 𝑢. 𝑎.
