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Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseursd’énergie électroniques

Table des matières1 Calcul des valeurs moyennes et efficaces 1

1.1 Situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Principes utilisés pour calculer les valeurs moyennes et efficaces . . . . 21.1.2 Connclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Signal périodique quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Précisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Mesurages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5.1 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5.2 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5.3 Repères et relations simplificatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5.4 Quelques valeurs remarquables à connaître . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Signal rectangulaire ou carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6.1 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6.2 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7 Signal sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7.1 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7.2 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.8 Redressement monoalternance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.8.1 Oscillogrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.8.2 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.8.3 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.9 Redressement bialternance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9.1 Oscillogrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9.2 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9.3 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.10 Redressement triphasé - Pont P3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.10.1 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.10.2 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.11 Pont PD3 (2 méthodes proposées) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.11.1 Méthode N°1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.11.2 oscillogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.11.3 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.11.4 Méthode N°2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.11.5 Oscillogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.11.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.11.7 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.12 Redressement commandé: pont mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.12.1 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.13 Gradateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.13.1 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.13.2 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Marc Sanchez page 1 http://eleectrotechnique.fr

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1 Calcul des valeurs moyennes et efficaces

1.1 SituationLes convertisseurs d’énergie électroniques sont des commutateurs statiques qui permettentd’effectuer les opérations contenues dans la figure 1:

Figure 1: Convertisseurs d’énergie électroniques

La tension électrique générée par ces convertisseurs possède des caractéristiques très variées(forme, amplitude, fréquence, etc) dont le mesurage demande quelques connaissancestechniques afin d’éviter des risques d’erreurs.




1.1.1 Principes utilisés pour calculer les valeurs moyennes et efficaces

Lorsqu’un courant variable (figure 2a) circule dans un circuit, sa valeur atteinte au cours d’untemps t1décrit une courbe, dont l’aire calculée sur une période T (2c) de l’onde représentesa valeur moyenne IC, égale à 5 A dans le cas de la figure 2.

Figure 2: (a)(b)(c)Valeur moyenne

Lorsqu’on effectue des mesurages de contrôles ou destinés au dimensionnement, la valeur àprendre en considération n’est la valeur moyenne, mais la valeur R.M.S des signaux. La valeurR.M.S d’un courant i(t)2correspond à la quantité de courant continu I qui produirait le mêmeeffet joule dans une charge résistive, sachant que l’effet thermique produit est proportionnel aucarré du courant moyen sur une période T du signal. Ce problème un peu difficile à décoder,peut être résumé comme sur la figure 3. Le signal traité est celui de la figure 2a.

Figure 3: (a)(b)(c)Valeur efficace

1. 3(a) On élève au carré I sur une période T: ici I2 = 100A n’existe que de 0 à t1.

2. 3(b) On calcule la valeur moyenne du courant obtenu:< I2C >= 50A

3. 3(c) On calcule la racine carrée du courant obtenu: c’est le courant efficace ou R.M.S:√< I2

C > = 7A. La valeur efficace est notée I ou U (pour une tension), la précision Ie f f

est inutile car l’absence d’indice implique que l’on parle de la valeur R.M.S.

1.1.2 Connclusion

1. L’écart entre valeur moyenne et valeur efficace met en évidence que ces grandeurs ne sontpas interchangeables: < IC >= 5A ou I = 7A.Par conséquent, un dimensionnement effec-tué en utilisant une valeur moyenne entrainera un sous dimensionnement de l’installationou de l’équipement, qui entrainera des échauffements, déclenchements de protection..etc.

2. L’erreur de mesurage est d’autant plus facile à commettre que dans le cas étudié, la formedu signal unidirectionnelle, que l’on "classe" dans la catégorie des signaux de type "con-tinu" possède bien les deux valeurs calculées:

1valeur instantanée:u(t),i(t)sinusoïdale ou non sinusoïdale2ou d’une tension u(t), pourvu que le signal soit périodique




• < IC >= 5A mesuré si l’appareil qui effectue le mesurage est "commuté" en position=.

• I = 7A mesuré si l’appareil qui effectue le mesurage est "commuté"en position ∼3.

3. Les points traités précédemment montrent qu’il faut manier les termes de "continu" et "al-ternatif" avec beaucoup de prudence car ils ne correspondent pas à la véritable nature descourants qui circulent dans les installations électriques. Les expressions "valeur moyenneet efficace" "R.M.S ou T.R.M.S" doivent être les seuls termes utilisés lorsque l’on traitede grandeurs électriques, si l’on veut éviter toute confusion.

1.2 Signal périodique quelconqueLa forme variée prise par les tensions et les courants complique le calcul de ces grandeursélectriques qui nécessite souvent l’usage du calcul intégral.Ces calculs revêtent un intérêttout particulier si on désire affiner ses connaissances dans le domaine du mesurage desgrandeurs électriques R.M.S, T.R.M.S, harmoniques...Etc.

1.3 PrécisionsLes calculs effectués ci-dessous pour les tensions peuvent s’appliquer aussi aux courants.Lavaleur efficace se note U ou V sans indice mais apparait ici notée Ue f f ou Ve f f afin desimplifier la lecture du document.D’autre part,j’ai choisi d’exprimer les valeurs moyennes etefficaces en fonction de la variable θ pour alléger l’écriture des différentes expressions, carexprimer ces expressions en fonction du temps t fait intervenir la pulsation ω .

1.4 MesuragesChaque calcul donne lieu à un mesurage au scopmeter de chez Fluke qui valide les valeurstrouvées à l’aide des relations.

1.5 Rappels1.5.1 Valeur moyenne

La valeur moyenne d’une tension ou d’un courant se calcule sur une période en suivant lesrelations générales (1) ou (2) suivant la variable choisie : t ou θ.

Figure 4: Signal sinusoïdal

3L’appareil utilisé pour étayer les exemples traités dans ce cours effectue le mesurage simultané de la valeurefficace et de la valeur moyenne




<UC >=1T

∫ T

0v(t)dt (1)

<UC >=1

2π

∫ 2π

0v(θ)dθ (2)

1.5.2 Valeur efficace

Idem pour la valeur efficace qui s’exprimera à l’aide de (3) ou (4):

Ue f f =

√1T

∫ T

0v2(t)dt (3)

Ue f f =

√1

2π

∫ 2π

0v2(θ)dθ (4)

1.5.3 Repères et relations simplificatrices

<V > valeur moyenne

V valeur maximale

VouVe f f valeur r.m.s ou efficace

f onction : f (x) = sin(x) primitive : F(x) =−cos(x)

f onction : f (x) = cos(x) primitive : F(x) = sin(x)

sin2(x) = 1−cos(2x)2 •

cos2(x) = 1+cos(2x)2 •

fonction: f (x) = cos(2x) primitive : F(x) = 12 sin(2x)

1.5.4 Quelques valeurs remarquables à connaître

• cos π

6 cos π

4 cos π

3 cos π

2 cos 2π

3 cosπ sin π

6 sin π

4 sin π

3 sin π

2 sin 2π

3 sinπ

valeur exacte√

32

√2

212 0 -0.5 0 1

2

√2

2

√3

2 1√

32 0

valeur approchée 0,806 0,707 0,5 0 -0.5 0 0.5 0.707 0,806 1 0,806 0

1.6 Signal rectangulaire ou carréLe calcul intégral est bien sur inutile comme nous venons de le voir dans le cas d’un signalrectangulaire, mais il constitue un test intéressant pour notre premier essai de calcul de valeurmoyenne et de valeur efficace.




Figure 5: Signal rectangulaire

1.6.1 Valeur moyenne

Utilisons l’équation (1) pour calculer la valeur moyenne <UC1 > de ce signal qui est égale àl’aire A1 de la figure 2:

<UC1 >=1T∫ T

0 v(t)dt =1T∫ T

20 E dt +

1T∫ T

T2

0dt =ET(t)

T20 =

ET(T2) =

E2= 50V

Figure 6: Valeur moyenne


Utilisons l’équation (3) pour rester homogène avec le calcul effectué précédemment:observonsla figure 3 qui nous rappelle graphiquement la marche à suivre pour calculer la valeur efficaced’une grandeur électrique.

Figure 7: Valeur efficace

Ue f f 1 =

√1T∫ T

0 v2(t)dt =

√1T∫ T

20 E2(t)dt =

√E2

T(T2−0) =

√E2

2= 70,7V




1.7 Signal sinusoïdalOscillogrammes des tensions v et v2

Figure 8: Valeur efficace

Si on observe la figure 8, on remarque que v2 est toujours positive avec pour conséquence demodifier la période du signal : T = 10ms.Le calcul de la valeur efficace s’effectuera donc surl’intervalle (0 - T

2 ) ou (0 - π). Une autre conséquence de l’élévation au carré introduite par laméthode de calcul : la valeur r.m.s d’une grandeur électrique est toujours positive quelle quesoit la source d’alimentation.


Nous allons utiliser l’équation (2) pour calculer la valeur recherchée: la tension est de la formev(θ) = V sin(θ), elle est représentée en bleu sur la figure (4). Nous pouvons anticiper le résultatcar les 2 aires formées par les 2 alternances sont égales, par conséquent, la valeur moyenne<UC2 >est nulle.

<UC2 >=1

2π

∫ 2π

0 v(θ)dθ=1

2π

∫ 2π

0 V sin(θ)dθ=1

2π

∫π

0 V sin(θ)dθ− 12π

∫ 2π

πV sin(θ)dθ=

0V


utilisons l’équation (4):

Ue f f 2 =

√1

2π

∫ 2π

0 v2(θ)dθ=

√1π

∫π

0 v2(θ)dθ=

√1π

∫π

0 (V sin(θ))2 dθ=

√2V 2

π

∫π

0 sin2(θ)dθ=√V 2

π

∫π

01− cos(2θ)

2dθ =

√V 2

2π

∫π

0 1− cos(2θ)dθ =

√V 2

2π

(θ− sin(2θ)

2

)π

0=

√V 2

2π(π) =

V√2

Voici l’origine du√

2 tant utilisé. On comprend maintenant que cette valeur (FC : facteurde crête pour les analyseurs) qui est un des indicateurs de déformation d’un signal sinusoïdal,si elle s’écarte de 1,41 comme dans la figure (5).




Figure 9: Mesurage Fluke 434

1.8 Redressement monoalternance1.8.1 Oscillogrammes

Figure 10: Redressement monoalternance


la tension redressée est de la forme v(θ) = V sin(θ)avec une tension redressée nulle surl’intervalle [π−2π],par conséquent il vient:

<UC3 >=1

2π

∫ 2π

0 V sin(θ)dθ =V2π

[−cosθ)]π04 =

V2π

[cosθ]0π =V2π

(cos0− cosπ) =

V2π

[1− (−1)] =V2π


Ue f f 3 =

√1

2π

∫ 2π

0 v2(θ)dθ =

√1

2π

∫π

0 (V sin(θ))2 dθ =

√V 2

2π

∫π

0 sin2(θ)dθ =√V 2

2π

∫π

01− cos(2θ)

2dθ =

√V 2

4π

∫π

0 1− cos(2θ)dθ =

√V 2

4π

(θ− sin(2θ)

2

)π

0=

√V 2

4π(π) =

V2

4L’inversion des bornes d’intégration simplifie l’expression en supprimant le signe (-) devant le cosθ




1.9 Redressement bialternance1.9.1 Oscillogrammes

Figure 11: Redressement bialternance


La période du signal est π, par conséquent <UC4 >vaut:

<UC4 >=1π

∫π

0 V sin(θ)dθ =Vπ[−cosθ)]π0

5 =Vπ[cosθ]0π =

Vπ(cos0− cosπ) =

Vπ[1− (−1)] =

2Vπ

Le résultat confirme le principe: 2 alternances génèrent 2 fois plus de tension queprécédemment.


Ue f f 4 =

√1π

∫π

0 v2(θ)dθ =

√1π

∫π

0 (V sin(θ))2 dθ =

√V 2

π

∫π

0 sin2(θ)dθ =√V 2

π

∫π

01− cos(2θ)

2dθ =

√V 2

2π

∫π

0 1− cos(2θ)dθ =

√V 2

2π

(θ− sin(2θ)

2

)π

0=

√V 2

2π(π) =

V√2

1.10 Redressement triphasé - Pont P3

Figure 12: Pont P3






<UC5 >=1

4π

6

∫ 5π

6π

6v(θ)dθ =

3V2π

∫ 5π

6π

6sin(θ)dθ =

3V2π

[−cosθ]5π

6π

6

6 =3V2π

[cosθ]π

65π

6=

3V2π

[cosπ

6− cos

5π

6] =

3V2π

[

√3

2− (−

√3

2)] =

3√

3V2π


Ue f f 5 =

√3

2π

∫ 5π

6π

6(V sin(θ))2 dθ =

√3V 2

2π

∫ 5π

6π

6sin2(θ)dθ =

√3V 2

2π

∫ 5π

6π

6

(1− cos(2θ)

2

)dθ =√

3V 2

4π[θ− sin(2θ)]

5π

6π

6=

√3V 2

4π

(5π

6− 1

2sin

10π

6− (

π

6− 1

2sin

π

3)

)=√√√√3V 2

4π

(5π

6+

√3

4− π

6+

√3

4

)=

√√√√3×2V 2

4π

(2π

3+

√3

2

)=

V2

√√√√6π

(4π

6+

3√

36

)=

V2

√1π

(4π+3

√3)

1.11 Pont PD3 (2 méthodes proposées)1.11.1 Méthode N°1

Considérons la portion de la tension redressée Uc supportée par U12 d’équation :v12 =U12 sin(θ+

π

6)

sin(θ+π

6) représente le déphasage en avance de 30° de la tension composée (entre phases)

U12 par rapport à l’origine de l’axe des temps.





1.11.2 oscillogramme

Figure 13: Pont PD3 version 1


<UC6 >=1

2π

6

∫ 3π

6π

6V sin(θ+

π

6)dθ

Avec : sin(θ+π

6) = sinθcos

π

6+ cosθsin

π

6=

√3

2sinθ+

12

cosθ (voir formulaire detrigonométrie)

<UC6 >=3√

3Vπ

∫ 3π

6π

6

(√3

2sinθ+

12

cosθ

)dθ =

3√

3V2π

(−√

3cosθ+ sinθ) 3π

6π

6=

3√

3V2π

(0+1− (−

√3

√3

2+

12)

)=

3√

3Vπ

1.11.4 Méthode N°2

U =√

3V : tension composée maximale




1.11.5 Oscillogramme

Figure 14: Pont PD3 version 2

On effectue un changement de repère en effectuant une translation de l’axe y comme sur lafigure 11 ; UC qui atteint sa valeur maximale UC pour t ou θ = 0, est de la forme: v = U cosθ

Par conséquent la valeur moyenne peut s’écrire comme ci-dessous:

<UC6 >=1

2π

6

∫ π

6−π

6U cosθdθ =

12π

6

∫ π

6−π

6

√3V cosθdθ =

6√

3Vπ

∫ π

60 cosθdθ =

6√

3Vπ

(sinθ)π

60 =

6√

3Vπ

(sinπ

6− sin0) =

6√

3Vπ

(12

)=

3√

3Vπ

1.11.6 Conclusion

Les 2 méthodes donnent bien sur le même résultat.Il faut évidemment utiliser la deuxièmesolution qui est plus rapide et moins source d’erreurs.


Ue f f 6 =

√√√√ 12π

6

∫ π

6−π

6U2 cosθdθ=

√√√√√2U2

2π

6

∫ π

60 cosθdθ=

√√√√U2

π

6

∫ π

60

(1+ cos2θ

2

)dθ=

√3U2

π

∫ π

60 (1+ cos2θ) dθ=

√3U2

π

(θ+

12

sin2θ

) π

6

0=

√3U2

π

(π

6+

12

sinπ

3− (0+

12

sin0))=

√√√√3×3×2V 2

π

(π

6+

√3

4

)=

3V

√√√√2π

(π

6+

√3

4

)= 3V

√√√√(13+

√3

2π

)




1.12 Redressement commandé: pont mixte

Figure 15: Pont mixte débit sur R


<UC7 >=1π

∫π

0 V sinθdθ

La tension est nulle sur l’intervalle [0−α], par conséquent la tension est calculée sur [α−π]

<UC7 >=Vπ

∫π

αsinθdθ =

Vπ(−cosθ)π

α=

Vπ(cosθ)α

π=

Vπ(cosα− cosπ) =

Vπ(cosα+1)

Valeur efficace:

Ue f f 7 =

√1π

∫π

0 V 2 sin2θdθ=

√V 2

π

∫π

0 sin2θdθ=

√V 2

π

∫π

0

(1− cos2θ

2

)dθ=

√V 2

2π

(θ− 1

2sin2θ

)π

α

=√2V 2

2π

(π− 1

2sin2π−α+

12

sin2α

)=V

√1− α

π+

12π

sin2α

1.13 Gradateur

Figure 16: Gradateur débit sur R


Elle est nulle:ne perdons pas de vue que nous calculons des aires, par conséquent:1

2π

∫ 2π

0 (A1−A2) = 0





Elle est égale à <Ue f f 7 > car l’élévation au carré de la tension génère le même oscillogrammepour les deux applications.



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