Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseursd’énergie électroniques
Table des matières1 Calcul des valeurs moyennes et efficaces 1
1.1 Situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Principes utilisés pour calculer les valeurs moyennes et efficaces . . . . 21.1.2 Connclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Signal périodique quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Précisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Mesurages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.1 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5.2 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5.3 Repères et relations simplificatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5.4 Quelques valeurs remarquables à connaître . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Signal rectangulaire ou carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6.1 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6.2 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Signal sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7.1 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7.2 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8 Redressement monoalternance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.8.1 Oscillogrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.8.2 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.8.3 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9 Redressement bialternance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9.1 Oscillogrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9.2 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9.3 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.10 Redressement triphasé - Pont P3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.10.1 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.10.2 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.11 Pont PD3 (2 méthodes proposées) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.11.1 Méthode N°1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.11.2 oscillogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.11.3 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.11.4 Méthode N°2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.11.5 Oscillogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.11.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.11.7 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.12 Redressement commandé: pont mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.12.1 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.13 Gradateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.13.1 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.13.2 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
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1 Calcul des valeurs moyennes et efficaces
1.1 SituationLes convertisseurs d’énergie électroniques sont des commutateurs statiques qui permettentd’effectuer les opérations contenues dans la figure 1:
Figure 1: Convertisseurs d’énergie électroniques
La tension électrique générée par ces convertisseurs possède des caractéristiques très variées(forme, amplitude, fréquence, etc) dont le mesurage demande quelques connaissancestechniques afin d’éviter des risques d’erreurs.
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1.1.1 Principes utilisés pour calculer les valeurs moyennes et efficaces
Lorsqu’un courant variable (figure 2a) circule dans un circuit, sa valeur atteinte au cours d’untemps t1décrit une courbe, dont l’aire calculée sur une période T (2c) de l’onde représentesa valeur moyenne IC, égale à 5 A dans le cas de la figure 2.
Figure 2: (a)(b)(c)Valeur moyenne
Lorsqu’on effectue des mesurages de contrôles ou destinés au dimensionnement, la valeur àprendre en considération n’est la valeur moyenne, mais la valeur R.M.S des signaux. La valeurR.M.S d’un courant i(t)2correspond à la quantité de courant continu I qui produirait le mêmeeffet joule dans une charge résistive, sachant que l’effet thermique produit est proportionnel aucarré du courant moyen sur une période T du signal. Ce problème un peu difficile à décoder,peut être résumé comme sur la figure 3. Le signal traité est celui de la figure 2a.
Figure 3: (a)(b)(c)Valeur efficace
1. 3(a) On élève au carré I sur une période T: ici I2 = 100A n’existe que de 0 à t1.
2. 3(b) On calcule la valeur moyenne du courant obtenu:< I2C >= 50A
3. 3(c) On calcule la racine carrée du courant obtenu: c’est le courant efficace ou R.M.S:√< I2
C > = 7A. La valeur efficace est notée I ou U (pour une tension), la précision Ie f f
est inutile car l’absence d’indice implique que l’on parle de la valeur R.M.S.
1.1.2 Connclusion
1. L’écart entre valeur moyenne et valeur efficace met en évidence que ces grandeurs ne sontpas interchangeables: < IC >= 5A ou I = 7A.Par conséquent, un dimensionnement effec-tué en utilisant une valeur moyenne entrainera un sous dimensionnement de l’installationou de l’équipement, qui entrainera des échauffements, déclenchements de protection..etc.
2. L’erreur de mesurage est d’autant plus facile à commettre que dans le cas étudié, la formedu signal unidirectionnelle, que l’on "classe" dans la catégorie des signaux de type "con-tinu" possède bien les deux valeurs calculées:
1valeur instantanée:u(t),i(t)sinusoïdale ou non sinusoïdale2ou d’une tension u(t), pourvu que le signal soit périodique
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• < IC >= 5A mesuré si l’appareil qui effectue le mesurage est "commuté" en position=.
• I = 7A mesuré si l’appareil qui effectue le mesurage est "commuté"en position ∼3.
3. Les points traités précédemment montrent qu’il faut manier les termes de "continu" et "al-ternatif" avec beaucoup de prudence car ils ne correspondent pas à la véritable nature descourants qui circulent dans les installations électriques. Les expressions "valeur moyenneet efficace" "R.M.S ou T.R.M.S" doivent être les seuls termes utilisés lorsque l’on traitede grandeurs électriques, si l’on veut éviter toute confusion.
1.2 Signal périodique quelconqueLa forme variée prise par les tensions et les courants complique le calcul de ces grandeursélectriques qui nécessite souvent l’usage du calcul intégral.Ces calculs revêtent un intérêttout particulier si on désire affiner ses connaissances dans le domaine du mesurage desgrandeurs électriques R.M.S, T.R.M.S, harmoniques...Etc.
1.3 PrécisionsLes calculs effectués ci-dessous pour les tensions peuvent s’appliquer aussi aux courants.Lavaleur efficace se note U ou V sans indice mais apparait ici notée Ue f f ou Ve f f afin desimplifier la lecture du document.D’autre part,j’ai choisi d’exprimer les valeurs moyennes etefficaces en fonction de la variable θ pour alléger l’écriture des différentes expressions, carexprimer ces expressions en fonction du temps t fait intervenir la pulsation ω .
1.4 MesuragesChaque calcul donne lieu à un mesurage au scopmeter de chez Fluke qui valide les valeurstrouvées à l’aide des relations.
1.5 Rappels1.5.1 Valeur moyenne
La valeur moyenne d’une tension ou d’un courant se calcule sur une période en suivant lesrelations générales (1) ou (2) suivant la variable choisie : t ou θ.
Figure 4: Signal sinusoïdal
3L’appareil utilisé pour étayer les exemples traités dans ce cours effectue le mesurage simultané de la valeurefficace et de la valeur moyenne
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<UC >=1T
∫ T
0v(t)dt (1)
<UC >=1
2π
∫ 2π
0v(θ)dθ (2)
1.5.2 Valeur efficace
Idem pour la valeur efficace qui s’exprimera à l’aide de (3) ou (4):
Ue f f =
√1T
∫ T
0v2(t)dt (3)
Ue f f =
√1
2π
∫ 2π
0v2(θ)dθ (4)
1.5.3 Repères et relations simplificatrices
<V > valeur moyenne
V valeur maximale
VouVe f f valeur r.m.s ou efficace
f onction : f (x) = sin(x) primitive : F(x) =−cos(x)
f onction : f (x) = cos(x) primitive : F(x) = sin(x)
sin2(x) = 1−cos(2x)2 •
cos2(x) = 1+cos(2x)2 •
fonction: f (x) = cos(2x) primitive : F(x) = 12 sin(2x)
1.5.4 Quelques valeurs remarquables à connaître
• cos π
6 cos π
4 cos π
3 cos π
2 cos 2π
3 cosπ sin π
6 sin π
4 sin π
3 sin π
2 sin 2π
3 sinπ
valeur exacte√
32
√2
212 0 -0.5 0 1
2
√2
2
√3
2 1√
32 0
valeur approchée 0,806 0,707 0,5 0 -0.5 0 0.5 0.707 0,806 1 0,806 0
1.6 Signal rectangulaire ou carréLe calcul intégral est bien sur inutile comme nous venons de le voir dans le cas d’un signalrectangulaire, mais il constitue un test intéressant pour notre premier essai de calcul de valeurmoyenne et de valeur efficace.
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Figure 5: Signal rectangulaire
1.6.1 Valeur moyenne
Utilisons l’équation (1) pour calculer la valeur moyenne <UC1 > de ce signal qui est égale àl’aire A1 de la figure 2:
<UC1 >=1T∫ T
0 v(t)dt =1T∫ T
20 E dt +
1T∫ T
T2
0dt =ET(t)
T20 =
ET(T2) =
E2= 50V
Figure 6: Valeur moyenne
1.6.2 Valeur efficace
Utilisons l’équation (3) pour rester homogène avec le calcul effectué précédemment:observonsla figure 3 qui nous rappelle graphiquement la marche à suivre pour calculer la valeur efficaced’une grandeur électrique.
Figure 7: Valeur efficace
Ue f f 1 =
√1T∫ T
0 v2(t)dt =
√1T∫ T
20 E2(t)dt =
√E2
T(T2−0) =
√E2
2= 70,7V
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1.7 Signal sinusoïdalOscillogrammes des tensions v et v2
Figure 8: Valeur efficace
Si on observe la figure 8, on remarque que v2 est toujours positive avec pour conséquence demodifier la période du signal : T = 10ms.Le calcul de la valeur efficace s’effectuera donc surl’intervalle (0 - T
2 ) ou (0 - π). Une autre conséquence de l’élévation au carré introduite par laméthode de calcul : la valeur r.m.s d’une grandeur électrique est toujours positive quelle quesoit la source d’alimentation.
1.7.1 Valeur moyenne
Nous allons utiliser l’équation (2) pour calculer la valeur recherchée: la tension est de la formev(θ) = V sin(θ), elle est représentée en bleu sur la figure (4). Nous pouvons anticiper le résultatcar les 2 aires formées par les 2 alternances sont égales, par conséquent, la valeur moyenne<UC2 >est nulle.
<UC2 >=1
2π
∫ 2π
0 v(θ)dθ=1
2π
∫ 2π
0 V sin(θ)dθ=1
2π
∫π
0 V sin(θ)dθ− 12π
∫ 2π
πV sin(θ)dθ=
0V
1.7.2 Valeur efficace
utilisons l’équation (4):
Ue f f 2 =
√1
2π
∫ 2π
0 v2(θ)dθ=
√1π
∫π
0 v2(θ)dθ=
√1π
∫π
0 (V sin(θ))2 dθ=
√2V 2
π
∫π
0 sin2(θ)dθ=√V 2
π
∫π
01− cos(2θ)
2dθ =
√V 2
2π
∫π
0 1− cos(2θ)dθ =
√V 2
2π
(θ− sin(2θ)
2
)π
0=
√V 2
2π(π) =
V√2
Voici l’origine du√
2 tant utilisé. On comprend maintenant que cette valeur (FC : facteurde crête pour les analyseurs) qui est un des indicateurs de déformation d’un signal sinusoïdal,si elle s’écarte de 1,41 comme dans la figure (5).
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Figure 9: Mesurage Fluke 434
1.8 Redressement monoalternance1.8.1 Oscillogrammes
Figure 10: Redressement monoalternance
1.8.2 Valeur moyenne
la tension redressée est de la forme v(θ) = V sin(θ)avec une tension redressée nulle surl’intervalle [π−2π],par conséquent il vient:
<UC3 >=1
2π
∫ 2π
0 V sin(θ)dθ =V2π
[−cosθ)]π04 =
V2π
[cosθ]0π =V2π
(cos0− cosπ) =
V2π
[1− (−1)] =V2π
1.8.3 Valeur efficace
Ue f f 3 =
√1
2π
∫ 2π
0 v2(θ)dθ =
√1
2π
∫π
0 (V sin(θ))2 dθ =
√V 2
2π
∫π
0 sin2(θ)dθ =√V 2
2π
∫π
01− cos(2θ)
2dθ =
√V 2
4π
∫π
0 1− cos(2θ)dθ =
√V 2
4π
(θ− sin(2θ)
2
)π
0=
√V 2
4π(π) =
V2
4L’inversion des bornes d’intégration simplifie l’expression en supprimant le signe (-) devant le cosθ
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1.9 Redressement bialternance1.9.1 Oscillogrammes
Figure 11: Redressement bialternance
1.9.2 Valeur moyenne
La période du signal est π, par conséquent <UC4 >vaut:
<UC4 >=1π
∫π
0 V sin(θ)dθ =Vπ[−cosθ)]π0
5 =Vπ[cosθ]0π =
Vπ(cos0− cosπ) =
Vπ[1− (−1)] =
2Vπ
Le résultat confirme le principe: 2 alternances génèrent 2 fois plus de tension queprécédemment.
1.9.3 Valeur efficace
Ue f f 4 =
√1π
∫π
0 v2(θ)dθ =
√1π
∫π
0 (V sin(θ))2 dθ =
√V 2
π
∫π
0 sin2(θ)dθ =√V 2
π
∫π
01− cos(2θ)
2dθ =
√V 2
2π
∫π
0 1− cos(2θ)dθ =
√V 2
2π
(θ− sin(2θ)
2
)π
0=
√V 2
2π(π) =
V√2
1.10 Redressement triphasé - Pont P3
Figure 12: Pont P3
5L’inversion des bornes d’intégration simplifie l’expression en supprimant le signe (-) devant le cosθ
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1.10.1 Valeur moyenne
<UC5 >=1
4π
6
∫ 5π
6π
6v(θ)dθ =
3V2π
∫ 5π
6π
6sin(θ)dθ =
3V2π
[−cosθ]5π
6π
6
6 =3V2π
[cosθ]π
65π
6=
3V2π
[cosπ
6− cos
5π
6] =
3V2π
[
√3
2− (−
√3
2)] =
3√
3V2π
1.10.2 Valeur efficace
Ue f f 5 =
√3
2π
∫ 5π
6π
6(V sin(θ))2 dθ =
√3V 2
2π
∫ 5π
6π
6sin2(θ)dθ =
√3V 2
2π
∫ 5π
6π
6
(1− cos(2θ)
2
)dθ =√
3V 2
4π[θ− sin(2θ)]
5π
6π
6=
√3V 2
4π
(5π
6− 1
2sin
10π
6− (
π
6− 1
2sin
π
3)
)=√√√√3V 2
4π
(5π
6+
√3
4− π
6+
√3
4
)=
√√√√3×2V 2
4π
(2π
3+
√3
2
)=
V2
√√√√6π
(4π
6+
3√
36
)=
V2
√1π
(4π+3
√3)
1.11 Pont PD3 (2 méthodes proposées)1.11.1 Méthode N°1
Considérons la portion de la tension redressée Uc supportée par U12 d’équation :v12 =U12 sin(θ+
π
6)
sin(θ+π
6) représente le déphasage en avance de 30° de la tension composée (entre phases)
U12 par rapport à l’origine de l’axe des temps.
6L’inversion des bornes d’intégration simplifie l’expression en supprimant le signe (-) devant le cosθ
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1.11.2 oscillogramme
Figure 13: Pont PD3 version 1
1.11.3 Valeur moyenne
<UC6 >=1
2π
6
∫ 3π
6π
6V sin(θ+
π
6)dθ
Avec : sin(θ+π
6) = sinθcos
π
6+ cosθsin
π
6=
√3
2sinθ+
12
cosθ (voir formulaire detrigonométrie)
<UC6 >=3√
3Vπ
∫ 3π
6π
6
(√3
2sinθ+
12
cosθ
)dθ =
3√
3V2π
(−√
3cosθ+ sinθ) 3π
6π
6=
3√
3V2π
(0+1− (−
√3
√3
2+
12)
)=
3√
3Vπ
1.11.4 Méthode N°2
U =√
3V : tension composée maximale
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1.11.5 Oscillogramme
Figure 14: Pont PD3 version 2
On effectue un changement de repère en effectuant une translation de l’axe y comme sur lafigure 11 ; UC qui atteint sa valeur maximale UC pour t ou θ = 0, est de la forme: v = U cosθ
Par conséquent la valeur moyenne peut s’écrire comme ci-dessous:
<UC6 >=1
2π
6
∫ π
6−π
6U cosθdθ =
12π
6
∫ π
6−π
6
√3V cosθdθ =
6√
3Vπ
∫ π
60 cosθdθ =
6√
3Vπ
(sinθ)π
60 =
6√
3Vπ
(sinπ
6− sin0) =
6√
3Vπ
(12
)=
3√
3Vπ
1.11.6 Conclusion
Les 2 méthodes donnent bien sur le même résultat.Il faut évidemment utiliser la deuxièmesolution qui est plus rapide et moins source d’erreurs.
1.11.7 Valeur efficace
Ue f f 6 =
√√√√ 12π
6
∫ π
6−π
6U2 cosθdθ=
√√√√√2U2
2π
6
∫ π
60 cosθdθ=
√√√√U2
π
6
∫ π
60
(1+ cos2θ
2
)dθ=
√3U2
π
∫ π
60 (1+ cos2θ) dθ=
√3U2
π
(θ+
12
sin2θ
) π
6
0=
√3U2
π
(π
6+
12
sinπ
3− (0+
12
sin0))=
√√√√3×3×2V 2
π
(π
6+
√3
4
)=
3V
√√√√2π
(π
6+
√3
4
)= 3V
√√√√(13+
√3
2π
)
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1.12 Redressement commandé: pont mixte
Figure 15: Pont mixte débit sur R
1.12.1 Valeur moyenne
<UC7 >=1π
∫π
0 V sinθdθ
La tension est nulle sur l’intervalle [0−α], par conséquent la tension est calculée sur [α−π]
<UC7 >=Vπ
∫π
αsinθdθ =
Vπ(−cosθ)π
α=
Vπ(cosθ)α
π=
Vπ(cosα− cosπ) =
Vπ(cosα+1)
Valeur efficace:
Ue f f 7 =
√1π
∫π
0 V 2 sin2θdθ=
√V 2
π
∫π
0 sin2θdθ=
√V 2
π
∫π
0
(1− cos2θ
2
)dθ=
√V 2
2π
(θ− 1
2sin2θ
)π
α
=√2V 2
2π
(π− 1
2sin2π−α+
12
sin2α
)=V
√1− α
π+
12π
sin2α
1.13 Gradateur
Figure 16: Gradateur débit sur R
1.13.1 Valeur moyenne
Elle est nulle:ne perdons pas de vue que nous calculons des aires, par conséquent:1
2π
∫ 2π
0 (A1−A2) = 0
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1.13.2 Valeur efficace
Elle est égale à <Ue f f 7 > car l’élévation au carré de la tension génère le même oscillogrammepour les deux applications.
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