TD Identif

Master ASE Semestre S2 Commande Linaire et Numrique

TRAVAUX DIRIGES D'IDENTIFICATION

Exercice 1 - M thodes de base

Soit un systme linaire dont la rponse s un chelon e d'amplitude 2 est la suivante :

1) On choisit comme modle une fonction de transfert du 1er ordre avec retard de la forme:

L p = K eTp

1 p

Dterminer graphiquement la valeur du retard, le gain et la constante de temps par plusieurs mthodes (tangente, 63%, temps de monte 10-90%). Comparer les valeurs obtenues.

2) Appliquer la mthode Broda. Quelles sont les nouvelles valeurs du retard et de la constante de temps?

3) Utiliser la mthode de Strejc. De quel ordre est le modle obtenu avant arrondi de la valeur donne par l'abaque puis aprs? [Reprsenter la rponse donne par Strejc sur le graphe des donnes de mesure].

4) Comparer les trois mthodes par dveloppement limit du retard pur (simple ou Pad).

5) Pour amliorer la prcision de dtermination de la constante de temps du modle avec retard pur, calculer ln(s ()s (t)) pour 1st7s et en tracer le lieu en fonction de t . En dduire la valeur de .

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Reponse echelon

Temps

Rp

onse


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Exercice n2 - Mthode des moindres carrs

La sortie d'un systme a t observ des instants d'chantillonnages rguliers. Le relev des mesures est le suivant :

i 1 2 3 4

t i -2 -1 0 1

y i 0.9 0.1 1.0 3.8

On dsire modliser la sortie avec un modle de la forme x = c0 c1 t c2 t2

Soit i l'erreur entre le modle x t i et la mesure y i faite l'instant t i . et J =i=1

4

i2

l'erreur quadratique cumule.

1) Tracer le graphe des mesures exprimentales

2) Montrer que les valeurs optimales des coefficients du modle sont donnes par :

i=1

4

i t i2 = 0

i=1

4

i t i = 0 et i=1

4

i = 0

3) Appliquer le calcul aux mesures du tableau. Montrer que le systme se ramne un systme de 3 quations 3 inconnues. Rsoudre le systme (la rsolution par machine calculer scientifique est vivement recommande) et donner les valeurs optimales co , c1et c2 des coefficients du modle.

4) Dterminer les valeurs x t i du modle aux instant d'chantillonnage et en dduire J min .

5) Rechercher le minimum de x t et l'instant t min pour lequel ce minimum est obtenu. La valeur de t min est-elle un instant d'chantillonnage ?

Quel sera la valeur de x 2 ?

6) Reprendre la dtermination des paramtres optimaux par la mthode matricielle.

Exercice n3 - Estimation d'un signal sinusodal

Pour dterminer avec prcision la fonction de transfert L p d'un systme linaire, on ralise souvent une analyse frquentielle par excitation du systme par un signal sinusodal de frquence connue. Le rgime permanent du systme est sinusodal. Le rapport entre l'amplitude de la sortie et l'amplitude de l'entre a pour valeur le gain L j et leur dphasage l'argument de L j .

On suppose qu'il a exactement N mesures sur une priode T = 2/ du signal d'excitation, espaces de T e = T /N .

On prend comme modle du signal de sortie x t = A cos t B sin t C .

Par la mthode des moindres carrs simples, montrer que

A= 2N i y iT ecos i T eB = 2

N i y iT esin i T eC = 1

N i y iT e

Le calcul diffre-t-il de celui de la dcomposition en srie de Fourier. Peut-on dceler une ventuelle non-linarit par estimation des raies d'ordre suprieur ou gal 2 ?

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Exercice n4 - Linarisation d'un modle

On considre un systme du 1er ordre dont on dsire estimer les paramtres caractristiques partir de l'observation de la rponse impulsionnelle.

Le relev de la rponse impulsionnelle a donn :

t 0 1 2 3 4 5

y(t) 1.9 1.2 0.75 0.5 0.2 0.2

1) Donner la forme thorique x(t) de la rponse impulsionnelle du circuit du premier ordre.

Est-elle linaire par rapport aux paramtres K et a (dmonstration) ?

2) Pour linariser le modle, on se propose de former x1 t = ln x t en posant k = ln K . Le modle x1 t est-il linaire par rapport ses paramtres?

3) Dterminer a et k partir des mesures par la mthode des moindres carrs. En dduire K , ainsi que les valeurs de x t aux instant de mesure.

4) Peut-on appliquer la mme mthode au systme K

p a2?

Exercice n5 - Estimateur glissant

Soit un signal chantillonn la cadence T e . On observe le signal sur une fentre [horizon] de 2p1 points centrs autour de la nime mesure prise comme point de rfrence. Ces 2p1 mesures sont modlises par un modle d'quation : x t = a b t .

1) Peut-on prendre comme origine du problme l'instant nT e au lieu de l'instant t=0 en posant t = nT e ? En dduire que le modle peut s'crire xn = an bn avec p T e pT e .

2) Dterminer les coefficients de modlisation optimaux au sens des moindres carrs an etbn partir des 2p1 mesures faites. En dduire qu'ils sont obtenus par calcul d'une somme

pondre des mesures.

3) Quelles sont les valeurs de x nT e et celle de x nT e ?

4) Chaque mesure est entache d'une erreur alatoire de variance 2 . Quelles sont les variances des paramtres estims? Comment voluent ces incertitudes en fonction de p ?

5) Reprendre l'tude avec un modle x t = a b t c t2

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Kp a

e t = t y t


Exercice n6 - Moindres carrs rcursifs sur un modle scalaire

Soit un ensemble de mesures yi dont le modle est x t = a t . Les mesures sont les suivantes :

t en s 1 2 3

y(t) 1.9 4.1 5.9

1) Dterminer la valeur optimale a du modle pour le jeu de mesures considr, en utilisant la mthode des moindres carrs simples.

2) On dsire calculer la valeur prise par le modle pour t = 4s , en utilisant la mthode de rcurrence simplifie construite partir du rsultat de rang 3. Dterminer les lments intervenant dans la mthode rcurrente, en particulier h4

T , R4 = H 4T H 4 et Q4 = H 4

T Y 4 . En dduire la valeur dea4 pour une mesure y4 = 8,2 .

3) Dfinir les lments intervenant dans la mthode de rcurrence gnrale, en particulier hn1

T , K n1 et Pn1 . Pour des valeurs initiales P0 = 100 et a0 = 1 , dterminer les estimations successives a1 , a2 , a3 et a4

Exercice n7 - Moindres carrs rcursifs sur un modle plusieurs paramtres

Soit un ensemble de mesures yi dont le modle est x t = a0 a1 t . Les mesures sont les suivantes:

t 0 1 2

y(t) 1 2 3

1) Dfinir les lments intervenant dans la mthode rcurrente, en particulier hn1

T , kn1 et Pn1 . On choisira comme valeurs initiales P00 = 1000 I et 00 = 0 .

2) Pour chaque instant de mesure, calculer la valeur des paramtres prises par le modle et la valeur de y donne par le modle (on veillera conserver la prcision des calculs pour viter tout blocage de l'algorithme). Commenter le comportement du modle.

Exercice n8 - Modlisation AR d'un systme

Soit un systme linaire du premier ordre de gain K et de constante de temps , paramtres dont on dsire estimer la valeur par les moindres carrs partir d'une observation chantillonne de l'entre et de la sortie.

L'observation des signaux aux instants d'chantillonnage a donn les mesures suivantes:

n 1 2 3 4

u(n) 1 -1 1 1

y(n) 1.04 -0.52 0.74 1.37

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1) Montrer qu'un systme du premier ordre discrtis a pour quation de rcurrence yn = a1 y n1 b0 un (utiliser la mthode d'Euler pour discrtiser la drive). Donner

l'expression de a1 et b0 en fonction de K , T e et .

2) Par la mthode des moindres carrs simples, construire la matrice H permettant de dterminer de faon optimale les paramtres a1 et b0 du modle discret. En dduire les valeurs de K et pour une priode d'chantillonnage de 1s .

3) Mettre en place la mthode rcursive d'estimation des paramtres; prciser la structure du vecteur hn1

T de problme. Itrer la mthode partir des conditions initiales P0 = 1000 I et0 = 0 .

4) Pour justifier plus prcisment le modle de rcurrence, on se propose de discrtiser la reprsentation d'tat continue.

Reprsenter le systme sous forme d'tat, prciser les matrices A, B, C et D . Pour une entre u en chelon d'amplitude u0 et une condition initiale X 0 , donner la valeur de l'tat X T e l'instant T e . En dduire l'quation de rcurrence permettant de dterminer la sortie l'instant

nT e . Comparer avec le modle simplifi donn par la mthode d'Euler.

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TRAVAUX DIRIGES D'IDENTIFICATIONExercice 1 - Mthodes de baseExercice n2 - Mthode des moindres carrs

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