Terminale S TD - Maths

TD - INTÉGRATION

I Exercices d’application

Exercice I.1. ⋆ ⋆ 15 min

Déterminer une primitive F pour chacune des fonctions f , sur l’intervalle indiqué :

1) f1(x) =x3

x4 + 1I1 = R 2) f2(x) =

ex

e2x +2 ex +1I2 = R

3) f3(x) =ln x

xI3 = ]0;+∞[ 4) f4(x) = 2 cosx esinx I4 = ]2;+∞[

5) f5(x) = tan x I5 =]

−π

2;π

2

[

6) f6(x) =1

x ln xI6 = ]1;+∞[

Exercice I.2. ⋆ 20 min

Calculer les intégrales suivantes :

1)

∫

7

0

|x− 4| dx 2)

∫

1

0

x2 + 4x+ 1

x2 + 1dx 3)

∫

2

1

x

x2 + 1dx 4)

∫

2

1

e−1/x

x2dx

5)

∫ π/2

0

et sin (2t) dt 6)

∫

4

0

(4t− 1) et dt 7)

∫

2 e

1

ln (t) dt 8)

∫ π/2

0

t

cos2 tdx

Exercice I.3. ⋆ ⋆ 10 min

Dans chaque cas, comparer les deux intégrales I et J, sans les calculer.

1) I =

∫

1

0

x ex dx et J =

∫

1

0

x2 ex dx 2) I =

∫ π/4

0

sin (2x) dx et J =

∫ π/4

0

sin (x) dx

Exercice I.4. ⋆ 5 min

Calculer la valeur moyenne de la fonction x 7−→ 1

1 + e−xsur l’intervalle [0; ln 3].

Exercice I.5. ⋆ 20 min

On considère la suite (un)n∈N définie par : un =

∫ n

0

1

1 + t3dt.

1. Montrer que la suite (un) est croissante.

2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, un 6

∫ n

1

1

t3dt.

3. En déduire que (un) converge.

Exercice I.6. ⋆ ⋆ 15 min

Pour tout n ∈ N⋆

, on pose : In =

∫

1

0

xn

√1 + x2

dx.

1. Montrer que, pour tout x ∈ [0; 1], 0 6xn

√1 + x2

6 xn.

2. En déduire un encadrement de In.3. Étudier la convergence de la suite (In).

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II Exercices d’entraînement

Exercice II.1. ⋆ ⋆ 30 min

Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = (x+ 2)(x− 1) e−x.On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O;~i,~j).

1. Étudier le signe de f sur R.

2. Déterminer les réels a, b et c tels que la fonction g, définie sur R par : g(x) = (ax2 + bx+ c) e−x

soit une primitive de f sur R.

3. Calculer l’aire A de la partie plane délimitée par Cf , l’axe des abscisses et les deux droitesd’équations x = −2 et x = 2. (Étudier séparément sur [−2; 1] et sur [1; 2]).

Exercice II.2. ⋆ ⋆ 30 min

On donne : I =

∫

1

0

dx√x2 + 2

; J =

∫

1

0

x2 dx√x2 + 2

et K =

∫

1

0

√x2 + 2dx.

Soit f définie sur [0; 1] par : f(x) = ln(

x+√x2 + 2

)

.

1. Calculer f ′(x). En déduire la valeur de I.

2. Vérifier que J + 2I = K.

3. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que K =√3− J .

4. En déduire les valeurs de J et de K.

Exercice II.3. ⋆ ⋆ 25 min

La suite (un)n∈N est définie par : un =

∫

1

0

xn ln (x+ 1) dx.

1. Déterminer le sens de variation de (un). La suite (un) converge-t-elle ?

2. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul : 0 6 un 6ln 2

n + 1.

3. En déduire la limite de la suite (un).

Exercice II.4. ⋆ ⋆ ⋆ 35 min

1. a. Vérifier que, pour tout réel x de [0; +∞[ : 0 6 ln (1 + x) 6 x.

b. En déduire la limite, quand l’entier n tend vers +∞, de∫

1

0

ln (1 + xn) dx.

2. Soit la suite (un)n∈N définie par : un =

∫

1

0

xn

1 + xndx.

a. Montrer que, pour tout n entier non nul : un =ln 2

n− 1

n

∫

1

0

ln (1 + xn) dx.

b. En déduire la limite de un et celle de nun.

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III Exercices d’approfondissement

Exercice III.1. ⋆ ⋆ ⋆ 30 min

On définit la fonction f sur ]0; +∞[ par : f(x) =ln x√x

.

1. Étudier les variations de f .

2. Pour tout entier naturel n > 8, on pose : Un =n

∑

k=8

f(k) = f(8) + · · ·+ f(n).

a. Démontrer pour tout entier k > 8 : f(k + 1) 6

∫ k+1

k

f(t) dt 6 f(k).

b. En déduire que pour tout n > 8 : Un+1 − f(8) 6

∫ n+1

8

f(t) dt 6 Un.

c. À l’aide d’une intégration par parties, calculer, pour n > 8 : In =

∫ n+1

8

f(t) dt.

d. Montrer que limUn = +∞.

Exercice III.2. ⋆ ⋆ ⋆ 45 min

Pour tout n ∈ N⋆

, on pose : In =

∫

e

1

(ln x)n

x2dx.

1. On pose, pour tout x ∈ [1; e] : F (x) =1 + ln x

x. Calculer F ′(x) puis en déduire I1.

2. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout n ∈ N⋆

: In+1 = −1

e+ (n+ 1)In.

3. Montrer par récurrence que, pour tout n ∈ N⋆

:1

n!In = 1− 1

e

(

1 +1

1!+

1

2!+ · · ·+ 1

n!

)

.

4. Montrer que, pour tout n ∈ N⋆

: 0 6 In 6 1.

5. En déduire limn→+∞

(

1 +1

1!+

1

2!+ · · ·+ 1

n!

)

.

Exercice III.3. ⋆ ⋆⋆ ⋆ 45 min

On considère la fonction F définie sur ]− 1; 1[ par : F (x) =

∫ x

0

t2

1− t2dt.

1. a. Écriret2

1− t2sous la forme a +

b

1− t+

c

1 + t.

b. Calculer F (x) puis F ′(x).

2. On pose, pour tout α ∈]

−π

2;π

2

[

: f(α) = F (sinα). Calculer f ′(α).

3. En déduire la valeur de∫ π/4

0

sin2 α

cosαdα.

4. À l’aide d’une intégration par parties, calculer K =

∫ π/4

0

cos (α) ln (cosα) dα.

Exercice III.4. ⋆ ⋆ ⋆ 20 min

Soit a ∈ R⋆

+. On pose I(a) =

∫ a

−a

√a2 − x2 dx. Déterminer a pour que I(a) = π.

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