TD n 9 - Filtrage analogique linéaire passif de signaux …benjamin.mollier.free.fr/Documents/upload/TD-9-Filtrage.pdfTD n 9 - Filtrage analogique linéaire passif de signaux périodiques

TD n◦9 - Filtrage analogique linéaire passif de signaux périodiques

Exercice 1 : Étude de �ltres du 1er ordre (exercice old school)

R

L

i

usue

R1

C R2

i

usue

Répondre aux questions suivantes pour les montages A et B:

1 Déterminer sans calculs la nature du �ltre.

2 Déterminer la fonction de transfert du circuit.

3 Tracer son diagramme de Bode.

4 Déterminer la(les) fréquence(s) de coupure et la bande passante.

5 ue(t) est une tension constante. Déterminer us(t).

6 Soit ue(t) = U0(1 + cos(2πft)) où U0 est une constante homogène à une tension et f = 20 kHz.Déterminer us(t)

Données : On a : R = 100 Ω; L = 200 mH ; R1 = 2 kΩ ; R2 = 1 kΩ; C = 1µF.

Solutions :

1) Filtre 1 : Passe-haut, �ltre 2 : passe-bas ; 2) H1(jω) =jL

Rω

1 + jL

Rω, H2(jω) =

R2R1 +R2

1 + jR1R2R1 +R2

Cω;

4) fc1 =R

2πL= 80 Hz, fc2 =

R1 +R22πR1R2C

= 240 Hz; 5) Us1 = 0, Us2 =R2

R1 +R2E;

6) us1(t) ≈ E cos(2πft), us2(t) ≈R2

R1 +R2E.

Exercice 2 : Filtrage d'une tension en créneau

On considère un �ltre de fonction de transfert

H(jω) =H0

1 + jQ(ωω0− ω0

ω

)de fréquence propre f0 = 2 kHz et de facteur de qualité Q = 10.

1 Déterminer la nature du �ltre.

MPSI Chapitre 9 - Filtrage analogique linéaire passif de signaux périodiques 2017-2018

2 Tracer son diagramme de Bode (réel et asymptotique). Commenter.

3 Véri�er que le �ltre ci-dessous réalise la fonction souhaitant (on déterminera son comportementasymptotique ainsi que sa fonction de transfert).

On envoie sur ce �ltre un signal carré variant entre 0 et E0 de fréquence fc avec E0 = 10 V. Ondonne sa décomposition en série de Fourier

ue(t) =E02

+2E0π

∑p=0

+∞sin ((4p+ 2)πfct)2p+ 1

.

4 fc = 2 kHz. Déterminer le signal de sortie.

5 fc = 20 kHz. En utilisant le comportement asymptotique du �ltre, déterminer la forme du signal desortie et calculer son amplitude crête-à-crête.

6 fc = 100 Hz. Quel est en théorie le comportement du �ltre pour cette fréquence ? Que vaudraitalors le signal de sortie ? En considérant l'équation di�érentielle du �ltre, déterminer la forme dusignal observé.

Solutions :1) passe-bande ; 3) H(jω) = 1

1+jR√

CL

(√LCω− 1√

LCω

) ; 4) s1(t) = 2E0π sin(2π ~fct) ; 5)signal triangle d'amplitude E

200; 6) succession de B sin(ΩT ) exp

(− tτp

).

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Exercice 3 : Conception d'un �ltre

On souhaite nettoyer l'enregistrement d'une conversation, rendu di�cilement audible par des bruitsdivers. On considère que le spectre de l'audition humaine s'étend de 20 Hz à 20 kHz, tandis que celui dela voix couvre un intervalle allant de 100 Hz à 2 kHz.

On désire concevoir un �ltre permettant de ne conserver que le spectre couvert par la voie. Pour cela,on s'impose de conserver une atténuation inférieur à 10 dB pour la voie humaine, tout en réduisant, à lalimite du spectre audible, le niveau du signal de 40 dB.

1 Quel est la nature du �ltre réalisant cette fonction ?

On a à notre disposition le �ltre RLC suivant

R

CL

U sU e

2 Véri�er, sans calcul, que la nature du �ltre est la même que celle déterminer précédemment.

3 Calculer sa fonction de transfert H(jω) = UsUe. La mettre sous forme canonique.

4 En déduire son gain en dB et sa phase.

5 Montrer, à partir de l'expression du gain, que la bande passante à −3dB du �ltre est[ω02Q

(−1 +

√1 + 4Q2

);ω02Q

(1 +

√1 + 4Q2

)]et que sa largeur vaut

∆ω =ω0Q

6 Que doit valoir la pulsation propre ω0 pour centrer la bande passante conformément au cahier descharges ? (ATTENTION : Centrer sur une échelle log !)

7 Faut-il choisir un facteur de qualité faible ou élevé ? Déterminer la valeur à donner à Q pour ajusterla bande passante à -3 dB de ce �ltre au spectre de la voix humaine.

8 Quelles devraient être les pentes des asymptotes à hautes et basses fréquences pour respecter lecahier des charges ? Est-ce le cas pour ce �ltre RLC ?

On dispose de plusieurs �ltres RLC identiques à celui présenté ci-dessus.

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9 Combien de �ltres faut-il mettre en cascade pour obtenir un �ltre conforme au cahier des charges ?Comment procède-t-on en pratique ? Quel sera alors l'ordre du �ltre ?

10 Le �ltre 2 présenté ci-dessous respecte-t-il le cahier des charge ?

Le bruit d'une perceuse se superpose à la conversion. On enregistre son signal

s(t) = S0 cos(2πf)

avec S0 = 10 V et f = 8 kHz.

11 Quelle est l'amplitude du signal en sortie du �ltre 2 ? Vous expliquerez votre démarche.

Solutions :

1) passe-bande ; 3) H(jω) = jRCω1+jRCω−LCω2 ; 4) G(w) = −10 log

(1 +Q2

(ωω0− ω0

ω

)2),

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ϕ = − arctan[Q(ωω0− ω0

ω

)]; 6) ω0 = 4, 5 · 102 Hz ; 7) Q = 0, 24 ; 8) +60 dB/dec et

−40 dB/dec ; 9) 3 �ltres, donc ordre 6 ; 11) S ′0 = 0, 1 V. .

Exercice 4 : Filtrage d'une MLI

On souhaite alimenter un moteur à courant continu par modulation de largeur d'impulsion.

La modulation de largeur d'impulsions ou MLI (en anglais :Pulse Width Modulation, soit PWM), est une technique couram-ment utilisée pour synthétiser des signaux continus à l'aide de cir-cuits à fonctionnement tout ou rien, ou plus généralement à étatsdiscrets.

Le principe général est qu'en appliquant une succession d'étatsdiscrets pendant des durées bien choisies, on peut obtenir enmoyenne sur une certaine durée n'importe quelle valeur intermédi-aire.

La carte pilote du moteur (une SyRen 10) accepte un signal MLI dont les caractéristique sont donnéesdans la documentation (extrait ci-dessous).

1 Déterminer, sans calcul, la nature des �ltres proposés dans la documentation.

2 Déterminer leurs fonctions de transfert. On donnera les valeurs numériques des coe�cients decelles-ci.

3 Tracer les diagrammes asymptotiques des deux �ltres, sur le même graphique.

Ce signal MLI sera réalisé par une carte Arduino. De base, celle-ci envoie un signal MLI de fréquencef1 = 490 Hz. Ce signal MLI sera assimilé à un signal créneau de valeur moyenne lentement variable :

e(t) = E0(t) +n∑k=1

Ek cos (2(2k + 1)πf1t)

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4 Quelle doit-être la pulsation de coupure minimal du �ltre pour que les harmoniques du signal MLIsoit au minimum atténué de 40 dB ?

5 Quelle sera alors la fréquence maximale de la moyenne lentement variable E0(t) a�n qu'elle ne soitpas atténuée plus de 1% ?

6 Parmi les deux �ltres proposés, lequel répond au cahier des charges ? Quelle est alors la fréquencemaximale de la moyenne lentement variable E0(t) ? Quelle est l'atténuation de la première har-monique de la MLI ?

En fait, en creusant dans la documentation de la carte arduino, on trouve qu'on peut pousser lafréquence de MLI jusqu'à 31372 Hz.

7 Déterminer la nouvelle pulsation de coupure optimale du �ltre moyenneur. Conclure qu'en àl'amélioration du temps de réponse du �ltre.

Solutions :1) passe-bas ; 2) H(jω) = 1

1+jτωavec τ1 = 1 ms et τ2 = 47 ms ; 4) ωc = 31 rad · s−1

; 5) fmax = 7, 0 · 10−1 Hz ; 6) ωc2 = 2, 1 rad · s−1, f2max = 4, 8 · 10−2 Hz ; 7) ω′c =2, 0 · 103 rad · s−1, τ = 0, 51 ms .

Exercice 5 : Égalisation RIAA

L'égalisation RIAA (Recording Industry Association of America) est un standard pour l'enregistrementet la restitution des disques vinyles.

Lors de la lecture du disque, le signal électrique est envoyé dans un �ltre dont la fonction de transfertcomplexe (normalisée) est

H(jω) =1 + jτ1ω

(1 + jτ2ω)(1 + jτ3ω).

1 Le diagramme de Bode en gain du �ltre RIAA est représenté sur la �gure ci-après, parmi d'autresgains. Déterminer, en le justi�ant, laquelle des quatres courbes correspond au gain du �ltre étudié.

2 Les trois constantes de temps intervenant dans la fonction de transfert sont 75µs, 318µs et 3180µs.On suppose que τ2 > τ3. Attribuer sans calcul, mais en le justi�ant, chaque valeur aux constantesde temps τ1, τ2 et τ3.

3 Mesurer sur la �gure le gain à la fréquence f = 50 Hz, justi�er le résultat obtenu.

4 À quelle fréquence le gain normalisé est-il égal à −32 dB.

Solutions :1) trait plein noir ; 2) τ2 = 75µs, τ1 = 318µs, τ3 = 3180µs ; 3) G(50 Hz) = −4 dB ; 4)f(−32 dB) = 8 kHz .

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Pour s'entraîner seul(e) - 9. Filtrage analogique linéaire passif de signaux

périodiques

Exercice 6 : Question de cours

1 Rappeler la dé�nition de la fonction de transfert d'un quadripôle. Rappeler la dé�nition du gainlinéaire, du gain de dB, de la phase de la fonction de transfert. Que représentent-ils physiquement ?

2 Donner la dé�nition, la fonction de transfert canonique, le diagramme de Bode asymptotique des�ltres du premier et du second ordre.

3 Dans quelle gamme de fréquence un �ltre passe-bas et/ou passe-haut se comporte en intégrateur ?en dérivateur ?

4 Justi�er les pentes du diagramme asymptotique d'un �ltre passe-bande du second ordre.

5 Donner le modèle hautes et basses fréquences d'un condensateur et d'une bobine.

Solutions :1) cf. cours .

Exercice 7 : Synthèse d'un �ltre moyenneur

On désire réaliser un �ltre moyenneur avec un circuit RC, de fonction de transfert H = 11+jRCω

.Pour cela, la composante continue du signal qui correspond à la valeur moyenne doit être transmise et lescomposantes alternatives "éliminées".

1 Quelle est la nature de ce �ltre ?

2 Quelle doit être la fréquence de coupure du �ltre pour répondre au cahier des charges ?

3 Le condensateur possède une capacité C = 1µF. Déterminer la valeur de la résistance.

4 Le �ltre précédent est maintenant réalisé, et fonctionne parfaitement. Pour le tester, on l'alimenteavec le signal

ue(t) = 2 + cos(

2π.1000t+π

3

)+ 5 cos (2π.2000t)

avec t en seconde et ue en volt.Qu'observe-t-on en sortie ? (On pourra s'aider du diagramme de Bode en pulsation réduite).

5 À quelle condition ce �ltre se comporte-t-il comme un intégrateur ?

6 On alimente le �ltre avec un signal créneau, de fréquence 1 kHz, évoluant entre 0 et 4 V. Qu'observe-t-on en sortie ?

7 Un élève n'ayant pas écouté les consignes fait l'observation du signal de sortie avec un oscilloscopeen mode AC. Il n'observe rien. Expliquer.Il modi�e le calibre de l'oscilloscope, et observe un signal triangle de fréquence 1 kHz : expliquer.


Solutions :3) f0 = 10 Hz ; 4) R = 16 kΩ ; 5) us = 2+1.10

−2 cos(π.1000t− π

6

)+2.10−2 cos

(2π.1000t− π

2

).

Exercice 8 : Filtre passe-bas ampli�cateur ou atténuateur ?

On propose le �ltre suivant.R1

C R2

i

usue

1 Déterminer la nature de ce �ltre sans calcul.

2 Établir la fonction de transfert de ce �ltre.

3 Tracer son diagramme de Bode asymptotique sur 4 décades au moins.

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4 Quelle est la pulsation de coupure ce �ltre ? Son gain statique ? S'agit-il d'un �ltre ampli�cateurou atténuateur ?

5 A.N. : R1 = R2 = 2, 0 kΩ, C = 6, 3µF.

6 Le signal e(t) est la somme de deux signaux sinusoïdaux :

e(t) = Sm1 cos(2πf1t) + Sm2 cos(2πf2t) + Sm3 cos(2πf3t)

avec S1 = S2 = S3 = 5 V, f1 = 1, 0 Hz, f2 = 100 Hz, f3 = 10 kHz. Déterminer, à l'aide dudiagramme de Bode, le signal de sortie.

Solutions :1) passe-bas ; 2) H(jω) = R2

R1+R2× 1

1+j(R1//R2)Cω; 4) ωc = 1, 6 · 102 rad · s−1, H0 = 0, 5 < 1

; 5) s(t) = 2, 5× cos(2πf1t) + 6, 1 · 10−1 × cos(2πf2t− 1, 3) + 6, 3 · 10−2 × sin(2πf3t) .

Exercice 9 : Filtres en cascade avec et sans suiveur

On considère le quadripôle ci-dessous.C

R

R

Cue us

1 Prévoir le comportement asymptotique de ce �ltre.

2 Calculer la fonction de transfert H(jω) =UEUS

en fonction de ω et ω0 avec ω0 =1

RC.

3 Montrer que le dénominateur peut se mettre sous la forme d'un produit de fonctions du premierordre : (1 + j ω

ω1)(1 + j ω

ω2), ω1 et ω2 s'exprimant en fonction de ω0.

4 Etablir le diagramme de Bode.

5 On sépare les deux �ltres pas un montage suiveur. Donner la nouvelle fonction de transfert del'ensemble.

Solutions :

1) Filtre passe-bande ; 2) H(jω) =j ωω0

1 + 3j ωω0

+ (j ωω0

)2; 3) H =

j ωω0(

1 + j ωω1

)(1 + j ω

ω2

) avecω1 =

3−√

5

2et ω2 =

3 +√

5

2; 5) H =

j ωω0

(1 + j ωω0

)2

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Exercice 10 : Réalisation d'un tripleur de fréquence à l'aide d'un �ltre deHartley

On étudie le montage ci-dessous (en sortie ouverte).

Dans tout l'exercice, on prendra : L = 1, 0 mH, C = 0, 10µF et R = 3, 1 kΩ.

1 Déterminer sans calculs la nature du �ltre.

2 Montrer que sa fonction de transfert se met sous la forme : H(jω) =s

e=

jL

Rω

1 + 2jL

Rω + 2LC(jω)2

.

3 La mettre sous forme canonique : H(jx) = H0jx

Q

1− x2 + j xQ

en notant x = ωω0

la pulsation réduite.

Donner la valeur de H0.

On exprimera la pulsation propre ω0 et le facteur de qualité Q en fonction de R, L et C, puis ondonnera leurs valeurs numériques.

Le diagramme de Bode en amplitude est donné ci-dessous :

4 Mesurer la pente des asymptotes. Retrouver leur valeur à partir de l'étude de la fonction de transfert.

5 Tracer le diagramme de Bode asymptotique pour la phase. Pour cela, on déterminera la valeur decette dernière pour x� 1 (BF), x = 1 et x� 1 (HF).

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6 Déterminer les valeurs numériques de a et b dé�nis sur le diagramme à partir de l'expression de lafonction de transfert. Véri�er la cohérence avec les valeurs du graphe.

7 Ce quadripôle peut-il servir d'intégrateur ou de dérivateur ? Si oui, dans quelle bande de fréquence? Justi�er. Quel inconvénient présente néanmoins ce montage utilisé pour réaliser ces opérations ?

On étudie la sortie s1(t) lorsqu'on applique à l'entrée le signal e1(t) = E0 + E1mcos(ω1t) avecω1 = ω0.

8 Comment réaliser expérimentalement ce signal au laboratoire d'électronique ?

9 Déterminer l'expression littérale du signal de sortie s1(t).

On applique maintenant un signal créneau e2(t), de pulsation ω2 =ω03

et d'amplitude E2m = 1 V(�gure ci-dessous).

10 Calculer la valeur e�cace E2 de e2(t).

11 Le signal e2(t) est décomposable en série de Fourier :

e2(t) =4E2mπ

[sin(ω2t)−

1

3sin(3ω2t) +

1

5sin(5ω2t)−

1

7sin(7ω2t) + ...

]12 Tracer l'allure du spectre d'amplitude de e2(t). Préciser les valeurs numériques des pulsations des

trois premiers pics d'amplitudes non nulles.

13 En utilisant la courbe de gain en diagramme de Bode fournie, calculer les valeurs numériques desamplitudes de ces pics dans le signal de sortie s2(t).

En déduire l'expression numérique approchée du signal de sortie s2(t). Justi�er alors le nom de �tripleur de fréquence � donné à ce �ltre.

Solutions :

1) �ltre passe-bande ; 3) H0 =12, Q = R

√CL, ω0 =

1√LC

; 4) pente ±20 dB/dec ; 5)20 logH0 + 20 log x− 20 logQ et 20 logH0 − 20 log x− 20 logQ ; 6) a = −6, 0 dB et b = −42 dB; 9) s1(t) =

E1m2

cos(ω1t) ; 10) E2e� = E2m ; 13) S1 = 0, 004E2m, S3 = 0, 21E2m,S5 = 8 · 10−4E2m .

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Exercice 11 : Suppression de la dérive du signal délivré par un capteur

À partir des documents présentés et du questionnaire l'accompagnant, résoudre la problématique ci-dessous :

Un capteur délivre une tension subissant une dérive, du fait d'un parasitage par l'alimentation dusecteur à 50 Hz.On cherche à concevoir un �ltre adapté permettant d'obtenir le signal souhaité, c'est-à-dire déparasité.

1 Quel est le type de �ltrage à réaliser ?

2 On dispose d'un résistor et d'un condensateur. Proposer une structure de �ltre simple et des valeurspour les grandeurs caractéristiques R et C permettant la réalisation du �ltrage. On pensera à ceque le �ltre ne charge pas trop la sortie du capteur, c'est-à-dire que le �ltre ne prélève pas trop decourant en sortie du capteur.

3 Le �ltrage obtenu s'avère peu satisfaisant avec la cellule RC envisagée initialement. Pourquoi ?Comment améliorer la performance du �ltre avec des résistors et des condensateurs supplémentaires?

Solutions :1) : �ltre passe-haut 2) RC série en sortie sur R avec fréquence de coupure vers 250 Hz 3)R = 100 kΩ et C = 6 nF ; cascade.

Exercice 12 : Filtre passif réjecteur de bande

On considère le �ltre passif utilisé en sortie ouverte (i2 = 0).

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CC

R2

RR

2C

ue us

i2 = 0

1 Déterminer sa fonction de transfert :

H =U sU e.

Quel est le type de ce �ltre ?

2 Déterminer sa fonction de transfert en posant x = RCω, et la mettre sous la forme

H = H01− x2

1 + j xQ− x2

avec H0 et Q des constantes dont on donnera les valeurs.

3 Le diagramme de Bode de ce quadirpôle est représenté ci-dessous

Proposer deux valeurs pour R et C permettant de couper le signal à 50 Hz.

4 On désire charger ce �ltre par une utilisation d'impédance Zu et lui conserver la même fonction detransfert. Comment pourrions-nous procéder ?

Solutions :

1) H =1 + (jx)2

1 + 4(jx) + (jx)2, �ltre coupe-bande ; 2) H0 = 1, Q =

14; 3) R = 1, 8 kΩ,

C = 1, 8µF.

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