Chapitre 10 Filtrage analogique linéaire passif de signaux ...benjamin.mollier.free.fr/Documents/upload/Chapitre-10-2019.pdf · Remarque : La fonction de complexe H(!) = 1 1+j˝!

Chapitre 10

Filtrage analogique linéaire passif de signaux périodiques

Contents

1 Principe du ltrage : modier l'amplitude des harmoniques 31.1 Tout signal peut se décomposer en une somme discrète ou continue de sinusoïdes . . . . 3

1.2 Le ltrage : modier un signal en modiant son spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Les principaux ltres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Dénition d'un quadripôle, d'une fonction de transfert, du diagramme de Bode àpartir d'un exemple : le circuit RC série 72.1 La réponse en fréquence d'un ltre : la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Utilisation de la fonction de transfert pour déterminer le signal de sortie . . . . . . . . . . 10

2.3 Recherche d'une représentation graphique : le diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Tracé (ou justier le tracé) du diagramme de Bode du ltre RC . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Utilisation du diagramme de Bode pour déterminer le signal de sortie . . . . . . . . . . . 17

3 Les ltres usuels du 1er et 2nd ordre 183.1 Étude général d'un ltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Filtre passe-bas du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Filtre passe-haut du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Filtre intégrateur et comportement asymptotique des ltres passe-bas . . . . . . . . . . . 22

3.5 Filtre dérivateur (Travaux dirigés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6 Filtre passe-bas du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.7 Filtre passe-haut du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.8 Filtre passe-bande du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.9 Filtre coupe-bande du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.10 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Les prérequis du lycée

• Fonction exponentielle, fonctions trigonométriques

• Dérivées, primitives et intégrales

• Mécanique (système, référentiel, bilan des forces, lois de Newton)

• Nombres complexes

Les prérequis de la prépa

• Signaux sinusoïdaux, période, fréquence, pulsation, valeur moyenne, valeur ecace

• Lois de Kirchho

• Loi d'Ohm, courant à travers un condensateur, tension aux bornes d'une bobine

• Puissance et énergie consommées par un dipôle

MPSI Chapitre 10 - Filtrage analogique linéaire passif 2018-2019

• Équations diérentielles

• Circuits du premier et du second ordre

• Parties réelle et imaginaire, module et argument d'un nombre complexe

• Notation complexe

• Impédances complexes

• Lois de l'électrocinétique en RSF.

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Autour de nous, beaucoup de systèmes physiques répondent diéremment en fonction de la fréquenced'excitation qu'ils reçoivent :

• Un mur ne laissant passer que les sons graves ;

• Un ltre optique ne laissant passer que le rouge...

En électronique, de tels systèmes existent. Ils sont appelés ltres.Leurs utilités sont multiples :

• Séparer un signal basse fréquence (information) d'un signal haute fréquence (porteuse) ;

• séparer plusieurs informations passant par un même canal ;

• enlever du bruit ;

• modier la forme d'un signal (passer d'un carré à un triangle)

• réaliser un oscillateur, une horloge très précise...

Dans ce chapitre, nous allons étudier une classe particulière de ltres : les ltres analogiques linéaires.

L'étude d'un ltre passera nécessairement pas son analyse harmonique. Ai-je besoin de rappelépourquoi ? cf. chapitre précédent.

1 Principe du ltrage : modier l'amplitude des harmoniques

1.1 Tout signal peut se décomposer en une somme discrète ou continuede sinusoïdes

tout signal périodique est une somme discrète de signaux sinusoïdaux

Décomposition en série de Fourier d'un signal périodique

On admet qu'il est possible de décomposer tout signal T-périodique en une somme de termessinusoïdaux du temps, de pulsation ωk, multiple de ω0 = 2π

T, ce qui revient à écrire

s(t) = S0 +∞∑k=1

Smk cos(kω0t+ φk)

Mathématiquement, cette somme est appelée décomposition en série de Fourier.

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Décomposition en série de Fourier (hors programme)Soit un signal périodique s(t)

s(t) = S0 +∞∑k=1

Smk cos(kω0t+ φk) = S0 +∞∑k=1

(ak cos(kω0t) + bk sin(kω0t))

où S0 est la valeur moyenne du signal périodique s

S0 =1

T

w T2

−T2

s(t)dt

et les coecients ak et bk

ak =2

T

w T2

−T2

s(t)× cos

(2kπ

Tt

)dt

bk =2

T

w T2

−T2

s(t)× sin

(2kπ

Tt

)dt

On retrouve

• Sn =√a2n + b2n ;

• ϕn = arctan(bnan

).

Propriétés des signaux et de leurs spectres

B Propriété :

• Si un signal est pair, alors, il est décomposable en fonctions paires uniquement :

f paire⇔ ∀k ∈ N, bk = 0.

• Si un signal est impair, alors, il est décomposable en fonctions impaires uniquement :

f impaire⇔ ∀k ∈ N, ak = 0.

• Si de plus, après décalage d'un quart de période, le signal admet une parité ou uneimparité, alors toutes les harmoniques paires sont nuls :

∀t ∈ R, f(T

4+ t

)= ±f

(T

4− t)⇔ ∀p ∈ N, a2p = b2p = 0.

Exemple des signaux rectangles et triangles

Signal rectangle :

• Étude des parités : Le signal est pair, donc tous les coecients bk sont nuls.En se décalant d'un quart de période, le signal est impair, donc toutes les harmoniques paires sontnuls.

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• Calculs des harmoniques impaires :

a2p+1 =2

T

w T2

−T2

s(t)× cos

(2(2p+ 1)π

Tt

)dt

=8

T

w T4

0Sm × cos

((4p+ 2)π

Tt

)dt

=8

T

[Sm ·T

(4p+ 2)π× sin

((4p+ 2)π

Tt

)]T4

0

=8

T

Sm ·T(4p+ 2)π

=4Sm ·

(2p+ 1)π

• Finalement

s(t) =4Smπ

∞∑p=0

cos ((2p+ 1)ωt)

2p+ 1

Signal rectangle :

• Étude des parités : Le signal est impair, donc tous les coecients ak sont nuls.En se décalant d'un quart de période, le signal est pair, donc toutes les harmoniques paires sontnuls.

• Calculs des harmoniques impaires :

a2p+1 =2

T

w T2

−T2

s(t)× sin

(2(2p+ 1)π

Tt

)dt

=8

T

w T4

0

2Smt

T× sin

((4p+ 2)π

Tt

)dt

=8

T

[− 2Smt

(4p+ 2)πcos

((4p+ 2)π

Tt

)]T4

0

−w T

4

0−2Sm

T× T

(4p+ 1)πsin

((4p+ 2)π

Tt

)dt

=8

T

[2SmT×(

T

(4p+ 1)π

)2

cos

((4p+ 2)π

Tt

)]T4

0

= (−1)p8Sm

(2p+ 1)2π2

• Finalement

s(t) =8Smπ2

∞∑p=0

(−1)psin ((2p+ 1)ωt)

(2p+ 1)2

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On retiendra que les harmoniques d'un signal rectangle (non continu) décroissent en 1n

r(t) =4Smπ

∞∑p=0

cos ((2p+ 1)ωt)

2p+ 1;

celles d'un signal triangle (classe C0) décroissent en 1n2

t(t) =8Smπ2

∞∑p=0

(−1)psin ((2p+ 1)ωt)

(2p+ 1)2.

Transformée de Fourier d'un signal continu

Transformée de Fourier (hors programme)

La transformée de Fourier F est une opération qui transforme une fonction intégrable sur Ren une autre fonction, décrivant le spectre fréquentiel de cette dernière. Si f est une fonctionintégrable sur R, sa transformée de Fourier est la fonction F(f) = f donnée par la formule :

F(f) : ξ → f(ξ) =w +∞

−∞f(t)e−iξtdt

1.2 Le ltrage : modier un signal en modiant son spectre

À chaque signal correspond un unique spectre. Il est donc possible de modier un signal en modiantson spectre. C'est le principe du ltrage.Exemple

(Prise de notes)

Un signal triangle de période T possède une décomposition en série de Fourier de la forme

e(t) =8

π2

∞∑k=0

(−1)ksin ((2k + 1)ωt)

(2k + 1)2

avec ω = 2πT.

Si on élimine toutes les harmoniques sauf celle de rang 3, on obtient alors un signal sinusoïdalde pulsation ω3 = 3ω et donc de période T ′ = T

3trois fois plus petite que le signal d'origine !

Remarques

• On peut également jouer sur la phase à l'origine de chacune des harmoniques, pour modier l'alluredu signal.

1.3 Les principaux ltres

En fonction de leurs eets sur le spectre d'un signal, on classe les ltres en 4 catégories

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Type de ltre Eets souhaités Allure de la réponse fréquentielle

Filtre passe-bas Laisse passer les bassesfréquences et atténuevoire supprime/coupeles hautes fréquences.

Filtre passe-haut Laisse passer les hautesfréquences et atténuevoire supprime/coupeles basses fréquences

Filtre passe-bande Laisse passer les unegamme de moyennesfréquences et atténuevoire supprime/coupeles autres fréquences

Filtre coupe-bande Coupe une gamme demoyennes fréquences etlaisse passer les autresfréquences

Filtre déphaseur Son gain vaut 1 toutle temps, commeun passe-tout, maisdéphase les signaux defréquences diérentes.

2 Dénition d'un quadripôle, d'une fonction de transfert, du

diagramme de Bode à partir d'un exemple : le circuit RC

série

2.1 La réponse en fréquence d'un ltre : la fonction de transfert

Position du problème

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Soit un circuit RC série soumis à une tension ue(t) = Uem cosωt de signaux sinusoïdaux de pulsationω.

R

C U sU e

Ie Is

On cherche à déterminer la tension de sortie us(t), ici prise aux bornes du condensateur. Le circuitétant linéaire, cela revient à déterminer le module et la phase de chacune des harmoniques du signal desortie. En d'autres termes, on va chercher l'évolution de l'amplitude complexe U s(jω) en fonction de lapulsation ω.

Détermination de la tension de sortie en fonction de la tension d'entrée : la fonction detransfert

Nous allons réaliser l'étude à vide de ce ltre. Nous considérerons donc que le courant de sortie Isest nul.

(Démo à savoir refaire par coeur)

On reconnaît ici un diviseur de tension :

U s =

1

jCω

R +1

jCω

U e =1

1 + jRCωU e

En posant la constante de temps τ caractéristique du circuit, on obtient

U s =1

1 + jτωU e

Remarque : La fonction de complexe H(ω) = 11+jτω

ne dépend que du circuit RC et ne dépend pasde l'entrée. Cette fonction est caractéristique du circuit.

♦ Dénition : On appelle fonction de transfert ou transmittance du circuit RC lafonction complexe de ω, notée H(jω), le rapport de l'amplitude complexe U s de la tension desortie sur l'amplitude complexe U e de la tension d'entrée

H(jω)=U s

U e

=1

1 + jτω

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De l'intérêt de la fonction de transfert

(Prise de notes)

Remarques• Le circuit est complètement caractérisé par cette fonction de ω. On a plus besoin de connaitre ledétail du circuit. On obtient une boite noire appelée quadripôle.

Q U sU e

Ie Is

• Le module de la fonction de transfert, noté H(ω), appelé gain, donne le rapport des ampli-tudes des tensions d'entrée et de sortie (ou de manière équivalente le rapport des valeurs ecaces)

UmsUme

=UseUee

∣∣∣∣U s

U e

∣∣∣∣ = |H(jω)| = H(ω)

• L'argument de la fonction de transfert donne le déphasage entre les tensions de sortie etd'entrée

∆ϕ = ϕs − ϕe = arg(H(jω))

Généralisation des notions de ltre, quadripôle et fonction de transfert

♦ Dénition :Un quadripôle est une portion de circuit comportant quatre bornes, deux d'entre elles per-mettant de lui appliquer une tension d'entrée ue, les deux autres délivrant une tension desortie us. Une borne peut-être commune à l'entrée et à la sortie, constituant généralement lamasse.

Exemple

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♦ Dénition :La fonction de transfert complexe H d'un quadripôle est dénie à vide par le rapport desamplitudes complexes de la tension de sortie U s et de la tension d'entrée U e

H(jω)=U s(jω)

U e(jω)

♦ Dénition :

• Un quadripôle linéaire, constitué donc de dipôles linéaires, sera appelé un ltre.

• Sa fonction de transfert peut toujours s'écrire comme le rapport de deux polynômes enjω

H(jω) =N(jω)

D(jω)

N et D étant deux polynômes de degré resp. n et d, à coecients réels.

• L'ordre du ltre est par dénition le plus haut des degrés n et d.

2.2 Utilisation de la fonction de transfert pour déterminer le signal desortie

Soit un ltre linéaire de fonction de transfert complexe H(jω). On applique en entrée une tensionpériodique e(t) =

∑nk=0 UEk cos(kωt+ ϕEk). Déterminons la sortie us(t).

Le ltre étant linéaire, la sortie est la somme

us(t) =n∑k=0

USk cos(kωt+ ϕSk)

avec USk = H(kω).UEk = |H(jkω).UEk| et ϕSk = ϕEk + arg (H(jkω)).

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Soit un ltre linéaire de fonction de transfert complexe H(jω). On applique en entréeune tension périodique

e(t) =∞∑k=0

UEk cos(kωt+ ϕEk)

La tension de sortie est la somme

s(t) =∞∑k=0

|Hjkω|.UEk cos (kωt+ ϕEk + arg (H(jkω)))

(À savoir refaire au cas par cas)

Exemple

On applique en entrée du ltre RC déni précédemment la tension d'entrée triangle se dé-composant

e(t) =8

π2

∞∑k=0

(−1)ksin ((2k + 1)ωt)

(2k + 1)2

Déterminons l'expression de la tension de sortie.

Pour cela, nous devons déterminer l'expression du module et de l'argument de la fonction detransfert complexe H(jω)

|H(jω)| = | 1

1 + jτω|

=1

|1 + jτω|

=1√

1 + τ 2ω2

et

ϕH(ω) = arg (H(jω))

= arg

(1

|1 + jτω|

)= − arg (1 + jτω)

= −ψ

Déterminons les signes de cosψ et sinψ

cosψ =1√

1 + τ 2ω2> 0 et sinψ =

τω√1 + τ 2ω2

≥ 0

donc

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ϕH(ω) = − arctan(τω)

et donc

s(t) =8

π2

∞∑k=0

(−1)ksin ((2k + 1)ωt− arctan((2k + 1)τω))

(2k + 1)2√

1 + τ 2((2k + 1)ω)2

2.3 Recherche d'une représentation graphique : le diagramme de Bode

(Prise de notes)

Les fonctions de transfert peuvent être compliquées (ordre élevé au numérateur comme au dénomi-nateur). On cherche un moyen simple, visuel, pratique et rapide pour prévoir l'allure de la tension de sortie.

Idée 1 : On peut tracer la courbe représentative de H(jω) = f(jω).

Problème : C'est une fonction complexe.Idée 2 : On peut tracer séparément le module et la phase de H(jω).• H(ω) = f(ω) = |H(jω)|

• ϕ(ω) = g(ω) = arg(H(jω))

Problème : On accorde beaucoup d'importance à un domaine de fréquence en particulier : les bassesfréquences sont complètement écrasées et les hautes fréquences très étendues. Bref, on ne peut pasétudier le ltre sur plusieurs ordres de grandeurs.Idée 3 : On peut utiliser une échelle logarithmique en abscisse.

Problème : Lorsque la pulsation varie de plusieurs décades, le gain peut en faire autant.Idée 4 : On peut utiliser une échelle logarithmique également en ordonnée pour le gain.

C'est l'esprit du diagramme de Bode.

Le gain en décibels

Plutôt que d'utiliser une échelle logarithmique en ordonnée pour le gain, on va dénir une nouvellequantité qui sera logarithmique♦ Dénition : Le gain en décibels est, par dénition, égal à 20 fois le logarithme à base 10du module de la fonction de transfert

GdB = 20 log (|H(jω)|) .

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Le diagramme de Bode : la donnée de 2 courbes

♦ Dénition : Un diagramme de Bode est la représentation graphique de la fonction de

transfert H(jω) =U s

U e

à l'aide de deux courbes :

• La courbe de gain donnant le gain en décibels en fonction de la pulsation ω.

- La pulsation ω est reporté sur l'axe des abscisses en échelle logarithmique ;

- le gain en décibels est reporté sur l'axe des ordonnées en échelle linéaire.

• La courbe de phase donnant la phase ϕ = arg(H(jω)) en radian ou en degré enfonction de la pulsation ω.

- La pulsation ω est reporté sur l'axe des abscisses en échelle logarithmique ;

- le phase est reportée sur l'axe des ordonnées en échelle linéaire.

♦ Dénition : Deux grandeurs sont séparées d'une décade si leur rapport vaut 10.Deux grandeurs sont séparées d'une octave si leur rapport vaut 2.

2.4 Tracé (ou justier le tracé) du diagramme de Bode du ltre RC

Les applications numériques seront faites avec RC = 10−3 s.(À savoir refaire)

On rappelle que la fonction de transfert du ltre RC est

H(jω)=U s

U e

=1

1 + jτω

Expression du gain en décibel

Par dénition du gain en dB

GdB = 20 log (|H(jω)|)

= 20 log

(∣∣∣∣ 1

1 + jτω

∣∣∣∣)= 20 log

(1

|1 + jτω|

)= 20 log

(1√

1 + τ 2ω2

)= −20 log

(√1 + τ 2ω2

)GdB = −10 log

(1 + τ 2ω2

)Expression de la phase

Par dénition de la phase

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ϕ = arg(H(jω))

= arg(1

1 + jτω)

= − arg(1 + jτω)

ϕ = − arctan(τω) car cosϕ =1√

1 + τ 2ω2> 0 et sinϕ = − τω√

1 + τ 2ω2< 0

Remarques• On remarquera la symétrie de la phase par rapport au point de coordonnées (ωc,−π

4). En eet, on

se souviendra que

∀x ∈ R, arctan

(1

x

)=π

2− arctan(x)

donc, en échelle logarithmique

∀ω ∈ R+, arctan(ω0

ω

)=π

2− arctan(

ω

ω0

)

⇔ π

4+ arctan

(1

x

)=π

4− arctan(x)

⇔ π

4+ arctan

(1

10log(x)

)=π

4− arctan(10log(x))

⇔ π

4+ arctan

(10− log(x)

)=π

4− arctan(10log(x))

⇔ π

4+ f(− log(x)) =

π

4− f(log(x))

Les bêtises à éviter

Cela n'a aucun sens d'écrire arg(|H(jω)|). On cherche l'argument d'un nombre complexe, pascelui de son module.

Diagramme asymptotique

Avant de tracer le diagramme de Bode proprement dit, on peut en tracer l'allure, dit diagrammeasymptotique, en observant le comportement limite du ltre en hautes et basses fréquences.

• Asymptote en ω → 0

GdB = −10 log(1 + τ 2ω2

)∼ −10 log 1 = 0.

Le diagramme de gain tend vers une asymptote horizontale de gain nul aux basses fréquences.

• Asymptote en ω → +∞

GdB = −10 log(1 + τ 2ω2

)∼ −10 log τ 2ω2 = −20 log τ − 20 logω.

Le diagramme de gain tend vers une asymptote de pente -20 dB/décade.

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• Intersection des deux asymptotesLes deux asymptotes se croisent au point d'abscisse ωc vériant

−20 log τ − 20 logωc = 0.

Elles se coupent donc en ωc = 1τ.

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Fréquence de coupure

♦ Dénition : On appelle pulsation de coupure (resp. fréquence de coupure) à -3 dB, lapulsation ωc (resp. fréquence fc) à partir de laquelle le gain en dB est inférieur de 3 dB au gainmaximal, ou, de manière équivalente, le module est

√2 fois plus petit que le module maximal :

GdB(ωc) =Gmax − 3

H(ωc) =Hmax√

2

Application 1 : pulsation de coupure du ltre RC

Déterminer la pulsation de coupure du ltre RC

Par dénition de la pulsation de coupure

H(ωc) =Hmax√

2⇔ H(ωc) =

1√2

⇔ 1√1 + τ 2ω2

c

=1√2

⇔ 1

1 + τ 2ω2c

=1

2

⇔ 1 + τ 2ω2c = 2

⇔ τ 2ω2c = 1

⇒ τωc = 1

⇔ ωc =1

τ

ωc = 1τreprésente la pulsation à partir de laquelle l'amplitude de la tension est divisé par

√2.

2.5 Utilisation du diagramme de Bode pour déterminer le signal de sortie

Application 2 : Tension créneau en entrée d'un circuit RC

On applique en entrée d'un ltre RC un signal triangle d'expression

e(t) =8

π2

∞∑k=0

(−1)ksin ((2k + 1)ωt)

(2k + 1)2

avec ω = 100 rad.s−1 et RC = 10−3 s1 Par lecture graphique, déterminer le gain en dB et la phase de la fonction de transfert pour les 3

premières harmoniques.

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2 En déduire les amplitudes et les phases à l'origine des 3 premières harmoniques du signal de sortie.

R

C U sU e

Ie Is

3 Les ltres usuels du 1er et 2nd ordre

3.1 Étude général d'un ltre

1. Comportement asymptotique du ltre

• On cherche le modèle équivalent du ltre en basse-fréquence ;

1

jCω

⇔B.F.

jLω

⇔B.F.

• puis on cherche le modèle équivalent du ltre en haute-fréquence ;

1

jCω

⇔H.F.

jLω

⇔H.F.

• on exprime U s dans chacun des cas ;

• on conclut quant à la nature du ltre.

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2. On calcule la fonction de transfert à l'aide des lois de l'électrocinétique (diviseur de tension, théorèmede Millmann...)

3. On en déduit l'expression du gain et de la phase.

4. On en déduit le diagramme de Bode asymptotique (gain et phase en 0, en ω0, en l'inni).

5. On cherche les éventuelles résonances, les fréquences de coupure.

6. On trace le diagramme réel (à l'aide d'un tableur, d'une calculatrice, de python...).

7. On utilise le diagramme de Bode pour en déduire la sortie du ltre en fonction de l'entrée.

Application 3 : Nature d'un ltre CR

Déterminer, sans calcul, la nature du ltre suivant

C

R U sU e

Ie Is

3.2 Filtre passe-bas du premier ordre

♦ Dénition : Un ltre passe-bas du premier ordre possède une fonction de transfert deforme canonique

H(jω)PBo1=H0

1 + jτω=

H0

1 + j ωω0

où H0 est le gain statique du ltre, τ la constante de temps caractéristique du ltre, ω0 lapulsation de coupure du ltre.

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(Prise de notes)

On déduit de son diagramme de Bode les propriétés de ce ltre

• La pulsation de coupure ω0 = 1τmarque la transition entre deux domaines.

• L'intervalle [0, ω0] est la bande passante du ltre. Son gain varie peu et vaut a peu près G0 =20 logH0.

• Sa phase y tend vers 0 radian. La sortie est en phase avec l'entrée.

• L'intervalle [ω0,+∞[ est la bande atténuée. Le gain y décroit de 20 décibels par décades.

• Sa phase y tend vers −π2radian. La sortie est en quadrature retard par rapport à l'entrée.

Application 4 : Filtre moyenneur

Soit e(t) = E0 + E1 cosωt un signal dont on souhaite récupérer la valeur moyenne. On donneω = 100 rad.s−1.

1 Quelle est la nature du ltre permettant cette opération ? Donner un encadrement de sa pulsationde coupure.

2 Montrer, sans calcul, que le ltre ci-dessous réalise la fonction demandée

L

R

i

usue

3 Déterminer l'expression de sa fonction de transfert ainsi que sa pulsation de coupure.

4 En déduire son diagramme asymptotique.

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5 On considérera que la fonction est réalisée si l'amplitude de la première harmonique est divisée par100. Traduire cette contrainte en terme de gain en dB pour la fonction de transfert.

6 En déduire la valeur de la pulsation de coupure du ltre.

7 On donne R = 1 kΩ, quelle valeur doit-on choisir pour l'inductance de la bobine ? Est-ce envisage-able ? Si non, proposer alors un autre ltre réalisant cette fonction.

3.3 Filtre passe-haut du premier ordre

♦ Dénition : Un ltre passe-haut du premier ordre possède une fonction de transfertde forme canonique

H(jω)PHo1=H0jτω

1 + jτω= H0

j ωω0

1 + j ωω0

où H0 est le gain du ltre, τ la constante de temps caractéristique du ltre, ω0 la pulsation decoupure du ltre.

(Prise de notes)


• La pulsation de coupure ω0 = 1τmarque la transition entre deux domaines.

• L'intervalle [0, ω0] est la bande atténuée du ltre. Le gain y croit de 20 décibels par décades.

• Sa phase y tend vers π2radian. La sortie est en quadrature avance par rapport à l'entrée.

21/50 November 26, 2018


• L'intervalle [ω0,+∞[ est la bande passante du ltre. Le gain y est presque constant à G0 =20 logH0.

• Sa phase y tend vers 0 radian. La sortie est phase avec l'entrée.

Application 5 : Filtre RL

R

L

i

usue

1 Déterminer la nature de ce ltre sans calcul.

2 Établir la fonction de transfert de ce ltre.

3 Tracer son diagramme de Bode.

4 Déterminer sa pulsation de coupure et son gain.

3.4 Filtre intégrateur et comportement asymptotique des ltres passe-bas

♦ Dénition : Un ltre intégrateur pur est un ltre dont la relation entrée sortie est de laforme

τds(t)dt

= e(t).

Il réalise donc l'intégral du signal d'entrée.

Cette fonction est réalisée par un ltre intégrateur pur du premier ordre possèdant unefonction de transfert de forme canonique

H(jω)I=1

jτω

où τ la constante de temps caractéristique du ltre.

22/50 November 26, 2018


(Prise de notes)


• Son gain décroit de 20 décibels par décades.

• Il vaut G0 = 0 en ω = 1τ.

• Sa phase vaut −π2pour toute pulsation : la sortie est en quadrature retard par rapport à l'entrée.

En pratique :Un ltre intégrateur pur n'est qu'un modèle. En eet, un intégrateur possède un gain inni quand lapulsation tend vers 0. De plus, il amplie démesurément les basses fréquences et donc tous les osets ettoutes les dérives dues à la température par exemple. En pratique, on réalise un intégrateur à l'aide d'unltre passe-bas. On travaille alors à des pulsations très supérieur à la pulsation de coupure, dans la zoneoù le gain décroit de 20 dB/décade.

pour ω ωc, H(jω) =1

1 + jτω≈ 1

jτω

23/50 November 26, 2018


3.5 Filtre dérivateur (Travaux dirigés)

Application 6 : Filtre dérivateur pur et dérivateur approché

1 Dénir un dérivateur pur par sa relation entrée-sortie.

2 En déduire sa fonction de transfert.

3 Puis en déduire son diagramme de Bode.

4 Quel problème pose l'utilisation d'un dérivateur pur ? Comment y remédier ?

5 Quel ltre parmi ceux étudié précédemment, peut simuler un dérivateur dans un domaine defréquence limité ?

Un ltre dérivateur pur est un ltre dont la relation entrée sortie est de la forme

s(t) = τde(t)dt

.

Il réalise donc la dérivée du signal d'entrée. En passant en notation complexe, on en déduit sa fonctionde transfert :

♦Dénition : Un ltre dérivateur pur du premier ordre possède une fonction de transfertde forme canonique

H(jω)D=jτω

où τ la constante de temps caractéristique du ltre.


• Son gain croit de 20 décibels par décades.

• Il vaut G0 = 0 en ω = 1τ.

• Sa phase vaut π2pour toute pulsation : la sortie est en quadrature avance par rapport à l'entrée.

24/50 November 26, 2018


En pratique :

Un ltre dérivateur pur n'est qu'un modèle. En eet, un dérivateur possède un gain inni quand la pulsationtend vers l'inni. De plus, il amplie démesurément les hautes fréquences et donc tous les bruits. Enpratique, on réalise un dérivateur à l'aide d'un ltre passe-haut. On travaille alors à des pulsations trèsinférieures à la pulsation de coupure, dans la zone où le gain croit de 20 dB/décade.

pour ω ωc, H(jω) =jτω

1 + jτω≈ jτω

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3.6 Filtre passe-bas du second ordre

♦ Dénition : Un ltre passe-bas du second ordre possède une fonction de transfert deforme canonique

H(jω)PB=H0

1 + j ωQω0− ω2

ω20

=H0

1 + j 2ξωω0− ω2

ω20

où H0 est le gain statique, Q le facteur de qualité, ξ le coecient d'amortissement(que vous notez z en S.I.), ω0 la pulsation propre.

(Prise de notes)

La forme du diagramme de Bode dépend de la valeur du facteur de qualité.

• Si Q ≥ 12, alors le polynôme 1 + j ω

Qω0− ω2

ω20possède deux racines réelles. On peut donc le factoriser

H(jω)PB =H0(

1 + j ωω1

)(1 + j ω

ω2

) = H(jω)PB1 ×H(jω)PB2

La fonction de transfert est alors le produit de deux fonctions de transfert de ltre passe-bas dupremier ordre de fréquence de coupure ω1 et ω2. Le diagramme de Bode s'obtient par addition desdeux diagrammes du premier ordre.

26/50 November 26, 2018


• Si 12< Q < 1√

2, alors le polynôme 1 + j ω

Qω0− ω2

ω20possède deux racines complexes conjuguées.

Cependant, le ltre ne présente pas résonance. Son diagramme de Bode reste toujours sous sondiagramme asymptotique.

• Si 1√2≥ Q, alors le polynôme 1 + j ω

Qω0− ω2

ω20possède deux racines complexes conjuguées. Le ltre

présente une résonance en ω = ω0

√1− 1

2Q2 (c.f.Chapitre 10). Son diagramme de Bode reste

toujours au-dessus son diagramme asymptotique.


• La pulsation propre ω0 = 1τmarque la transition entre deux domaines.

• L'intervalle [0, ω0] est la bande passante du ltre. Son gain varie peu et vaut a peu près G0 =20 logH0.


• L'intervalle [ω0,+∞[ est la bande atténuée. Le gain y décroit de 40 décibels par décades.

• Sa phase y tend vers −π radian. La sortie est en opposition de phase par rapport à l'entrée.

Remarques

• Dans le cas où Q 1, une résonance aiguë apparaît. On peut alors réaliser un ltre de gain trèsimportant sur une petite bande de fréquence. Alors que le ltre à une structure passe-bande, onsynthétise un ltre sélectif ou passe-bande.

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Application 7 : Filtre RLC

On propose le ltre suivant.

R

C

L

U sU e

1 Réaliser l'étude de ce ltre (nature, fonction de transfert, diagramme asymptotique, résonance,diagramme réel).A.N. : R = 10 Ω, L = 1, 0 mH, C = 1, 0 nF.

2 Le signal e(t) est la somme de trois signaux sinusoïdaux :

e(t) = Sm1 cos(ω1t) + Sm2 cos(ω2t) + Sm3 cos(ω3t)

avec S1 = S2 = S3 = 5 V, ω1 = 100 rad.s−1, ω2 = 1000 rad.s−1 et ω3 = 10000 rad.s−1. Déter-miner, à l'aide du diagramme de Bode, le signal de sortie.

3.7 Filtre passe-haut du second ordre

♦ Dénition : Un ltre passe-haut du second ordre possède une fonction de transfertde forme canonique

H(jω)PH=H0

−ω2

ω20

1 + j ωQω0− ω2

ω20

= H0

−ω2

ω20

1 + j 2ξωω0− ω2

ω20


(Prise de notes)



Qω0− ω2


H(jω)PB = H0

− ω2

ω1ω2(1 + j ω

ω1

)(1 + j ω

ω2

) = H(jω)PH1 ×H(jω)PH2

La fonction de transfert est alors le produit de deux fonctions de transfert de ltre passe-haut dupremier ordre de fréquence de coupure ω1 et ω2. Le diagramme de Bode s'obtient par addition desdeux diagrammes du premier ordre.

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• Si 12< Q < 1√

2, alors le polynôme 1 + j ω

Qω0− ω2

ω20possède deux racines complexes conjuguées.

Cependant, le ltre ne présente pas résonance. Son diagramme de Bode reste toujours sous sondiagramme asymptotique.

• Si 1√2≥ Q, alors le polynôme 1 + j ω

Qω0− ω2


présente une résonance en ω = ω0√1− 1

2Q2

(c.f.Chapitre 10). Son diagramme de Bode reste toujours

au-dessus son diagramme asymptotique.


• Le diagramme de Bode du ltre passe-haut est le symétrique de celui du passe-bas par rapport à lapulsation ω0.


• L'intervalle [0, ω0] est la bande atténuée du ltre. Le gain y croit de 40 décibels par décades.

• Sa phase y tend vers π radians. La sortie est en opposition de phase par rapport à l'entrée.

• L'intervalle [ω0,+∞[ est la bande passante. Son gain varie peu et vaut a peu près G0 = 20 logH0.


Remarques

• Dans le cas où Q 1, une résonance aiguë apparaît. On peut alors réaliser un ltre de gain trèsimportant sur une petite bande de fréquence. Alors que le ltre à une structure passe-bande, onsynthétise un ltre sélectif ou passe-bande.

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3.8 Filtre passe-bande du second ordre

♦ Dénition : Un ltre passe-bande du second ordre possède une fonction de transfertde forme canonique

H(jω)PH=H0

j ωQω0

1 + j ωQω0− ω2

ω20

= H0

j 2ξωω0

1 + j 2ξωω0− ω2

ω20


(Prise de notes)



Qω0− ω2


H(jω)PB = H0

j ωQω0(

1 + j ωω1

)(1 + j ω

ω2

) = H(jω)PB1 ×H(jω)PH2

La fonction de transfert est alors le produit d'une fonction de transfert de ltre passe-bas de fréquencede coupure ω1 et d'une fonction de transfert de ltre passe-haut du premier ordre de fréquence decoupure ω2. Le diagramme de Bode s'obtient par addition des deux diagrammes du premier ordre.

• Si 12≥ Q alors le polynôme 1 + j ω

Qω0− ω2


présente une résonance en ω = ω0 (c.f.Chapitre 10). Son diagramme de Bode reste toujours au-dessus son diagramme asymptotique.

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• Son gain maximal, situé en ω0, vaut G0 = 20 logH0.


• L'intervalle [0, ω0] ou le gain croit de 20 décibels par décades et la phase tend vers π2radians.

La sortie est en quadrature avance par rapport à l'entrée.

• L'intervalle [ω0,+∞[ ou le gain décroit de 20 décibels par décades et la phase tend vers −π2

radians. La sortie est en quadrature retard par rapport à l'entrée.

• Les deux asymptotes se croisent en ω0 et G = −20 logQ.

• La bande passante vaut[− ω0

2Q+ ω0

√1

4Q2 + 1, ω0

2Q+ ω0

√1

4Q2 + 1]et sa largeur ∆ω = ω0

Q.

• Le ltre est d'autant plus sélectif que le facteur de qualité est élevé.

3.9 Filtre coupe-bande du second ordre

♦ Dénition : Un ltre coupe-bande ou ltre réjecteur du second ordre possède unefonction de transfert de forme canonique

H(jω)PH=H0

1− ω2

ω20

1 + j ωQω0− ω2

ω20

= H0

1− ω2

ω20

1 + j 2ξωω0− ω2

ω20


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• La pulsation propre ω0 = 1τest la pulsation coupé

• La bande atténuée vaut[− ω0

2Q+ ω0

√1

4Q2 + 1, ω0

2Q+ ω0

√1

4Q2 + 1]et sa largeur ∆ω = ω0

Q.

• Le ltre est d'autant plus sélectif que le facteur de qualité est élevé.

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3.10 Résumé

Nature Fonction de transfert Allure du diagramme(sous forme canonique) de BodeH =

Passe-bas |H| =d'ordre 1

arg(H) =

H =

Passe-haut |H| =d'ordre 1

arg(H) =

H =

Intégrateur |H| =d'ordre 1

arg(H) =

H =

Dérivateur |H| =d'ordre 1

arg(H) =

H =

Passe-bas |H| =d'ordre 2Q ≤ 1

2

arg(H) =

H =

33/50 November 26, 2018


Passe-bas |H| =d'ordre 2Q ≥ 1

2

arg(H) =

H =

Passe-haut |H| =d'ordre 2Q ≤ 1

2

arg(H) =

H =

Passe-haut |H| =d'ordre 2Q ≥ 1

2

arg(H) =

H =

Passe-bande |H| =d'ordre 2Q ≤ 1

2

arg(H) =

Bande passante :H =

Passe-bande |H| =d'ordre 2Q ≥ 1

2

arg(H) =

Bande passante :H =

Coupe-bande |H| =d'ordre 2

arg(H) =

34/50 November 26, 2018


35/50 November 26, 2018


Le programme : ce qu'il faut savoir faire

Notions et contenus Capacités exigibles8. Filtrage linéaireSignaux périodiques. Savoir que l'on peut décomposer un signal péri-

odique en une somme de fonctions sinusoïdales(Paragraphe 1.1, exercices 4, 10).

Établir par le calcul la valeur ecace d'un signalsinusoïdal(Chapitre 8).

Fonction de transfert harmonique. Diagrammede Bode.

Utiliser une fonction de transfert donnée d'ordre1 ou 2 et ses représentations graphiques pourconduire l'étude de la réponse d'un systèmelinéaire à un signal à une ou deux composantesspectrales (Paragraphe 3, exercices 2, 3, 4, 5, 7,8, 10).

Mettre en ÷uvre un dispositif expéri-mental illustrant l'utilité des fonctions detransfert pour un système linéaire à un ouplusieurs étages. (TP 11)

Utiliser les échelles logarithmiques et interpréterles zones rectilignes des diagrammes de Boded'après l'expression de la fonction de trans-fert(Paragraphes 3.4, 3.5, exercices 3, 5, 8 10).

Modèles simples de ltres passifs : passe-bas etpasse-haut d'ordre 1, passe-bas et passe-banded'ordre 2.

Expliciter les conditions d'utilisation d'un ltrean de l'utiliser comme moyenneur, intégrateur,ou dérivateur (Paragraphes 3.2, 3.4 et 3.5, exer-cices 2, 4, 7, 10).

Approche documentaire : expliquer la naturedu ltrage introduit par un dispositif mécanique(sismomètre, amortisseur, accéléromètre...).

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TD n10 - Filtrage analogique linéaire passif de signaux périodiques

Exercice 1 : Étude de ltres du 1er ordre (exercice old school)

R

L

i

usue

R1

C R2

i

usue

Répondre aux questions suivantes pour les montages A et B:

1 Déterminer sans calculs la nature du ltre.

2 Déterminer la fonction de transfert du circuit.

3 Tracer son diagramme de Bode.

4 Déterminer la(les) fréquence(s) de coupure et la bande passante.

5 ue(t) est une tension constante. Déterminer us(t).

6 Soit ue(t) = U0(1 + cos(2πft)) où U0 est une constante homogène à une tension et f = 20 kHz.Déterminer us(t)

Données : On a : R = 100 Ω; L = 200 mH ; R1 = 2 kΩ ; R2 = 1 kΩ; C = 1µF.

Solutions :

1) Filtre 1 : Passe-haut, ltre 2 : passe-bas ; 2) H1(jω) =jL

Rω

1 + jL

Rω, H2(jω) =

R2

R1 +R2

1 + jR1R2

R1 +R2

Cω;

4) fc1 =R

2πL= 80 Hz, fc2 =

R1 +R2

2πR1R2C= 240 Hz; 5) Us1 = 0, Us2 =

R2

R1 +R2

E;

6) us1(t) ≈ E cos(2πft), us2(t) ≈R2

R1 +R2

E.

Exercice 2 : Filtrage d'une tension en créneau

On considère un ltre de fonction de transfert

H(jω) =H0

1 + jQ(ωω0− ω0

ω

)de fréquence propre f0 = 2 kHz et de facteur de qualité Q = 10.

1 Déterminer la nature du ltre.


2 Tracer son diagramme de Bode (réel et asymptotique). Commenter.

3 Vérier que le ltre ci-dessous réalise la fonction souhaitant (on déterminera son comportementasymptotique ainsi que sa fonction de transfert).

On envoie sur ce ltre un signal carré variant entre 0 et E0 de fréquence fc avec E0 = 10 V. Ondonne sa décomposition en série de Fourier

ue(t) =E0

2+

2E0

π

∑p=0

+∞sin ((4p+ 2)πfct)

2p+ 1.

4 fc = 2 kHz. Déterminer le signal de sortie.

5 fc = 20 kHz. En utilisant le comportement asymptotique du ltre, déterminer la forme du signal desortie et calculer son amplitude crête-à-crête.

6 fc = 100 Hz. Quel est en théorie le comportement du ltre pour cette fréquence ? Que vaudraitalors le signal de sortie ? En considérant l'équation diérentielle du ltre, déterminer la forme dusignal observé.

Solutions :1) passe-bande ; 3) H(jω) = 1

1+jR√

CL

(√LCω− 1√

LCω

) ; 4) s1(t) = 2E0

πsin(2π ~fct) ; 5)

signal triangle d'amplitude E200

; 6) succession de B sin(ΩT ) exp(− tτp

).

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Exercice 3 : Conception d'un ltre

On souhaite nettoyer l'enregistrement d'une conversation, rendu dicilement audible par des bruitsdivers. On considère que le spectre de l'audition humaine s'étend de 20 Hz à 20 kHz, tandis que celui dela voix couvre un intervalle allant de 100 Hz à 2 kHz.

On désire concevoir un ltre permettant de ne conserver que le spectre couvert par la voie. Pour cela,on s'impose de conserver une atténuation inférieur à 10 dB pour la voie humaine, tout en réduisant, à lalimite du spectre audible, le niveau du signal de 40 dB.

1 Quel est la nature du ltre réalisant cette fonction ?

On a à notre disposition le ltre RLC suivant

R

CL

U sU e

2 Vérier, sans calcul, que la nature du ltre est la même que celle déterminer précédemment.

3 Calculer sa fonction de transfert H(jω) =Us

Ue. La mettre sous forme canonique.

4 En déduire son gain en dB et sa phase.

5 Montrer, à partir de l'expression du gain, que la bande passante à −3dB du ltre est[ω0

2Q

(−1 +

√1 + 4Q2

);ω0

2Q

(1 +

√1 + 4Q2

)]et que sa largeur vaut

∆ω =ω0

Q

6 Que doit valoir la pulsation propre ω0 pour centrer la bande passante conformément au cahier descharges ? (ATTENTION : Centrer sur une échelle log !)

7 Faut-il choisir un facteur de qualité faible ou élevé ? Déterminer la valeur à donner à Q pour ajusterla bande passante à -3 dB de ce ltre au spectre de la voix humaine.

8 Quelles devraient être les pentes des asymptotes à hautes et basses fréquences pour respecter lecahier des charges ? Est-ce le cas pour ce ltre RLC ?

On dispose de plusieurs ltres RLC identiques à celui présenté ci-dessus.

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9 Combien de ltres faut-il mettre en cascade pour obtenir un ltre conforme au cahier des charges ?Comment procède-t-on en pratique ? Quel sera alors l'ordre du ltre ?

10 Le ltre 2 présenté ci-dessous respecte-t-il le cahier des charge ?

Le bruit d'une perceuse se superpose à la conversion. On enregistre son signal

s(t) = S0 cos(2πf)

avec S0 = 10 V et f = 8 kHz.

11 Quelle est l'amplitude du signal en sortie du ltre 2 ? Vous expliquerez votre démarche.

Solutions :

1) passe-bande ; 3) H(jω) = jRCω1+jRCω−LCω2 ; 4) G(w) = −10 log

(1 +Q2

(ωω0− ω0

ω

)2),

40/50 November 26, 2018


ϕ = − arctan[Q(ωω0− ω0

ω

)]; 6) ω0 = 4, 5 · 102 Hz ; 7) Q = 0, 24 ; 8) +60 dB/dec et

−40 dB/dec ; 9) 3 ltres, donc ordre 6 ; 11) S ′0 = 0, 1 V. .

Exercice 4 : Filtrage d'une MLI

On souhaite alimenter un moteur à courant continu par modulation de largeur d'impulsion.

La modulation de largeur d'impulsions ou MLI (en anglais :Pulse Width Modulation, soit PWM), est une technique couram-ment utilisée pour synthétiser des signaux continus à l'aide de cir-cuits à fonctionnement tout ou rien, ou plus généralement à étatsdiscrets.

Le principe général est qu'en appliquant une succession d'étatsdiscrets pendant des durées bien choisies, on peut obtenir enmoyenne sur une certaine durée n'importe quelle valeur intermédi-aire.

La carte pilote du moteur (une SyRen 10) accepte un signal MLI dont les caractéristique sont donnéesdans la documentation (extrait ci-dessous).

1 Déterminer, sans calcul, la nature des ltres proposés dans la documentation.

2 Déterminer leurs fonctions de transfert. On donnera les valeurs numériques des coecients decelles-ci.

3 Tracer les diagrammes asymptotiques des deux ltres, sur le même graphique.

Ce signal MLI sera réalisé par une carte Arduino. De base, celle-ci envoie un signal MLI de fréquencef1 = 490 Hz. Ce signal MLI sera assimilé à un signal créneau de valeur moyenne lentement variable :

e(t) = E0(t) +n∑k=1

Ek cos (2(2k + 1)πf1t)

41/50 November 26, 2018


4 Quelle doit-être la pulsation de coupure minimal du ltre pour que les harmoniques du signal MLIsoit au minimum atténué de 40 dB ?

5 Quelle sera alors la fréquence maximale de la moyenne lentement variable E0(t) an qu'elle ne soitpas atténuée plus de 1% ?

6 Parmi les deux ltres proposés, lequel répond au cahier des charges ? Quelle est alors la fréquencemaximale de la moyenne lentement variable E0(t) ? Quelle est l'atténuation de la première har-monique de la MLI ?

En fait, en creusant dans la documentation de la carte arduino, on trouve qu'on peut pousser lafréquence de MLI jusqu'à 31372 Hz.

7 Déterminer la nouvelle pulsation de coupure optimale du ltre moyenneur. Conclure qu'en àl'amélioration du temps de réponse du ltre.

Solutions :1) passe-bas ; 2) H(jω) = 1

1+jτωavec τ1 = 1 ms et τ2 = 47 ms ; 4) ωc = 31 rad · s−1

; 5) fmax = 7, 0 · 10−1 Hz ; 6) ωc2 = 2, 1 rad · s−1, f2max = 4, 8 · 10−2 Hz ; 7) ω′c =2, 0 · 103 rad · s−1, τ = 0, 51 ms .

Exercice 5 : Égalisation RIAA

L'égalisation RIAA (Recording Industry Association of America) est un standard pour l'enregistrementet la restitution des disques vinyles.

Lors de la lecture du disque, le signal électrique est envoyé dans un ltre dont la fonction de transfertcomplexe (normalisée) est

H(jω) =1 + jτ1ω

(1 + jτ2ω)(1 + jτ3ω).

1 Le diagramme de Bode en gain du ltre RIAA est représenté sur la gure ci-après, parmi d'autresgains. Déterminer, en le justiant, laquelle des quatres courbes correspond au gain du ltre étudié.

2 Les trois constantes de temps intervenant dans la fonction de transfert sont 75µs, 318µs et 3180µs.On suppose que τ2 > τ3. Attribuer sans calcul, mais en le justiant, chaque valeur aux constantesde temps τ1, τ2 et τ3.

3 Mesurer sur la gure le gain à la fréquence f = 50 Hz, justier le résultat obtenu.

4 À quelle fréquence le gain normalisé est-il égal à −32 dB.

Solutions :1) trait plein noir ; 2) τ2 = 75µs, τ1 = 318µs, τ3 = 3180µs ; 3) G(50 Hz) = −4 dB ; 4)f(−32 dB) = 8 kHz .

42/50 November 26, 2018


43/50 November 26, 2018

Pour s'entraîner seul(e) - 10. Filtrage analogique linéaire passif de signaux

périodiques

Exercice 6 : Question de cours

1 Rappeler la dénition de la fonction de transfert d'un quadripôle. Rappeler la dénition du gainlinéaire, du gain de dB, de la phase de la fonction de transfert. Que représentent-ils physiquement ?

2 Donner la dénition, la fonction de transfert canonique, le diagramme de Bode asymptotique desltres du premier et du second ordre.

3 Dans quelle gamme de fréquence un ltre passe-bas et/ou passe-haut se comporte en intégrateur ?en dérivateur ?

4 Justier les pentes du diagramme asymptotique d'un ltre passe-bande du second ordre.

5 Donner le modèle hautes et basses fréquences d'un condensateur et d'une bobine.

Solutions :1) cf. cours .

Exercice 7 : Synthèse d'un ltre moyenneur

On désire réaliser un ltre moyenneur avec un circuit RC, de fonction de transfert H = 11+jRCω

.Pour cela, la composante continue du signal qui correspond à la valeur moyenne doit être transmise et lescomposantes alternatives "éliminées".

1 Quelle est la nature de ce ltre ?

2 Quelle doit être la fréquence de coupure du ltre pour répondre au cahier des charges ?

3 Le condensateur possède une capacité C = 1µF. Déterminer la valeur de la résistance.

4 Le ltre précédent est maintenant réalisé, et fonctionne parfaitement. Pour le tester, on l'alimenteavec le signal

ue(t) = 2 + cos(

2π.1000t+π

3

)+ 5 cos (2π.2000t)

avec t en seconde et ue en volt.Qu'observe-t-on en sortie ? (On pourra s'aider du diagramme de Bode en pulsation réduite).

5 À quelle condition ce ltre se comporte-t-il comme un intégrateur ?

6 On alimente le ltre avec un signal créneau, de fréquence 1 kHz, évoluant entre 0 et 4 V. Qu'observe-t-on en sortie ?

7 Un élève n'ayant pas écouté les consignes fait l'observation du signal de sortie avec un oscilloscopeen mode AC. Il n'observe rien. Expliquer.Il modie le calibre de l'oscilloscope, et observe un signal triangle de fréquence 1 kHz : expliquer.


Solutions :3) f0 = 10 Hz ; 4) R = 16 kΩ ; 5) us = 2+1.10−2 cos

(π.1000t− π

6

)+2.10−2 cos

(2π.1000t− π

2

).

Exercice 8 : Filtre passe-bas amplicateur ou atténuateur ?

On propose le ltre suivant.R1

C R2

i

usue

1 Déterminer la nature de ce ltre sans calcul.

2 Établir la fonction de transfert de ce ltre.

3 Tracer son diagramme de Bode asymptotique sur 4 décades au moins.

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4 Quelle est la pulsation de coupure ce ltre ? Son gain statique ? S'agit-il d'un ltre amplicateurou atténuateur ?

5 A.N. : R1 = R2 = 2, 0 kΩ, C = 6, 3µF.

6 Le signal e(t) est la somme de deux signaux sinusoïdaux :

e(t) = Sm1 cos(2πf1t) + Sm2 cos(2πf2t) + Sm3 cos(2πf3t)

avec S1 = S2 = S3 = 5 V, f1 = 1, 0 Hz, f2 = 100 Hz, f3 = 10 kHz. Déterminer, à l'aide dudiagramme de Bode, le signal de sortie.

Solutions :1) passe-bas ; 2) H(jω) = R2

R1+R2× 1

1+j(R1//R2)Cω; 4) ωc = 1, 6 · 102 rad · s−1, H0 = 0, 5 < 1

; 5) s(t) = 2, 5× cos(2πf1t) + 6, 1 · 10−1 × cos(2πf2t− 1, 3) + 6, 3 · 10−2 × sin(2πf3t) .

Exercice 9 : Filtres en cascade avec et sans suiveur

On considère le quadripôle ci-dessous.C

R

R

Cue us

1 Prévoir le comportement asymptotique de ce ltre.

2 Calculer la fonction de transfert H(jω) =UE

US

en fonction de ω et ω0 avec ω0 =1

RC.

3 Montrer que le dénominateur peut se mettre sous la forme d'un produit de fonctions du premierordre : (1 + j ω

ω1)(1 + j ω

ω2), ω1 et ω2 s'exprimant en fonction de ω0.

4 Etablir le diagramme de Bode.

5 On sépare les deux ltres pas un montage suiveur. Donner la nouvelle fonction de transfert del'ensemble.

Solutions :

1) Filtre passe-bande ; 2) H(jω) =j ωω0

1 + 3j ωω0

+ (j ωω0

)2; 3) H =

j ωω0(

1 + j ωω1

)(1 + j ω

ω2

) avec

ω1 =3−√

5

2et ω2 =

3 +√

5

2; 5) H =

j ωω0

(1 + j ωω0

)2

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Exercice 10 : Réalisation d'un tripleur de fréquence à l'aide d'un ltre deHartley

On étudie le montage ci-dessous (en sortie ouverte).

Dans tout l'exercice, on prendra : L = 1, 0 mH, C = 0, 10µF et R = 3, 1 kΩ.

1 Déterminer sans calculs la nature du ltre.

2 Montrer que sa fonction de transfert se met sous la forme : H(jω) =s

e=

jL

Rω

1 + 2jL

Rω + 2LC(jω)2

.

3 La mettre sous forme canonique : H(jx) = H0

jx

Q

1− x2 + jx

Q

en notant x = ωω0

la pulsation réduite.

Donner la valeur de H0.

On exprimera la pulsation propre ω0 et le facteur de qualité Q en fonction de R, L et C, puis ondonnera leurs valeurs numériques.

Le diagramme de Bode en amplitude est donné ci-dessous :

4 Mesurer la pente des asymptotes. Retrouver leur valeur à partir de l'étude de la fonction de transfert.

5 Tracer le diagramme de Bode asymptotique pour la phase. Pour cela, on déterminera la valeur decette dernière pour x 1 (BF), x = 1 et x 1 (HF).

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6 Déterminer les valeurs numériques de a et b dénis sur le diagramme à partir de l'expression de lafonction de transfert. Vérier la cohérence avec les valeurs du graphe.

7 Ce quadripôle peut-il servir d'intégrateur ou de dérivateur ? Si oui, dans quelle bande de fréquence? Justier. Quel inconvénient présente néanmoins ce montage utilisé pour réaliser ces opérations ?

On étudie la sortie s1(t) lorsqu'on applique à l'entrée le signal e1(t) = E0 + E1mcos(ω1t) avecω1 = ω0.

8 Comment réaliser expérimentalement ce signal au laboratoire d'électronique ?

9 Déterminer l'expression littérale du signal de sortie s1(t).

On applique maintenant un signal créneau e2(t), de pulsation ω2 = ω0

3et d'amplitude E2m = 1 V

(gure ci-dessous).

10 Calculer la valeur ecace E2 de e2(t).

11 Le signal e2(t) est décomposable en série de Fourier :

e2(t) =4E2m

π

[sin(ω2t)−

1

3sin(3ω2t) +

1

5sin(5ω2t)−

1

7sin(7ω2t) + ...

]12 Tracer l'allure du spectre d'amplitude de e2(t). Préciser les valeurs numériques des pulsations des

trois premiers pics d'amplitudes non nulles.

13 En utilisant la courbe de gain en diagramme de Bode fournie, calculer les valeurs numériques desamplitudes de ces pics dans le signal de sortie s2(t).

En déduire l'expression numérique approchée du signal de sortie s2(t). Justier alors le nom de tripleur de fréquence donné à ce ltre.

Solutions :

1) ltre passe-bande ; 3) H0 = 12, Q = R

√CL, ω0 = 1√

LC; 4) pente ±20 dB/dec ; 5)

20 logH0 + 20 log x− 20 logQ et 20 logH0 − 20 log x− 20 logQ ; 6) a = −6, 0 dB et b = −42 dB; 9) s1(t) = E1m

2cos(ω1t) ; 10) E2e = E2m ; 13) S1 = 0, 004E2m, S3 = 0, 21E2m,

S5 = 8 · 10−4E2m .

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Exercice 11 : Suppression de la dérive du signal délivré par un capteur

À partir des documents présentés et du questionnaire l'accompagnant, résoudre la problématique ci-dessous :

Un capteur délivre une tension subissant une dérive, du fait d'un parasitage par l'alimentation dusecteur à 50 Hz.On cherche à concevoir un ltre adapté permettant d'obtenir le signal souhaité, c'est-à-dire déparasité.

1 Quel est le type de ltrage à réaliser ?

2 On dispose d'un résistor et d'un condensateur. Proposer une structure de ltre simple et des valeurspour les grandeurs caractéristiques R et C permettant la réalisation du ltrage. On pensera à ceque le ltre ne charge pas trop la sortie du capteur, c'est-à-dire que le ltre ne prélève pas trop decourant en sortie du capteur.

3 Le ltrage obtenu s'avère peu satisfaisant avec la cellule RC envisagée initialement. Pourquoi ?Comment améliorer la performance du ltre avec des résistors et des condensateurs supplémentaires?

Solutions :1) : ltre passe-haut 2) RC série en sortie sur R avec fréquence de coupure vers 250 Hz 3)R = 100 kΩ et C = 6 nF ; cascade.

Exercice 12 : Filtre passif réjecteur de bande

On considère le ltre passif utilisé en sortie ouverte (i2 = 0).

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CC

R2

RR

2C

ue us

i2 = 0

1 Déterminer sa fonction de transfert :

H =U s

U e

.

Quel est le type de ce ltre ?

2 Déterminer sa fonction de transfert en posant x = RCω, et la mettre sous la forme

H = H01− x2

1 + j xQ− x2

avec H0 et Q des constantes dont on donnera les valeurs.

3 Le diagramme de Bode de ce quadirpôle est représenté ci-dessous

Proposer deux valeurs pour R et C permettant de couper le signal à 50 Hz.

4 On désire charger ce ltre par une utilisation d'impédance Zu et lui conserver la même fonction detransfert. Comment pourrions-nous procéder ?

Solutions :

1) H =1 + (jx)2

1 + 4(jx) + (jx)2, ltre coupe-bande ; 2) H0 = 1, Q = 1

4; 3) R = 1, 8 kΩ,

C = 1, 8µF.

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