Cours Filtrage Analogique 2015 2016

8/17/2019 Cours Filtrage Analogique 2015 2016

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ETI

I Introduction

II – Etude des filtres de Butterworth et de Chebychev

III – Filtres actifs

IV – Filtres à capacités commutées

IOGS 1A 2015Sylvie Lebrun


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Domaines d’application2

Traitement de signaux audio, vidéo, radio…

Télécommunications, télémétrie…

Instrumentation scientifique, me ́dicale, radars…

Acquisition numérique de donnéesan -rep emen

Réjection de bruit (alimentation électrique…)Miniature Filters Active/Band ass/Band-Re ect

http://www.avens-filter.com/ gabarit de filtre vidéo


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Introduction3

http://ressource.electron.free.fr/bts/cours/le-filtrage-actif-passif.pdfAIL : Amplificateur Intégré Linéaire


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Introduction4

Historique :-

1960 : filtres actifs avec ALI

1980 : filtres numériques, DSP


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Généralités

Soit un signal u(t) comprenant plusieurs composantes sinusoïdales. Un filtreest un dispositif dont la fonction de transfert complexe T permet d’isolercertaines composantes en éliminant les composantes de fréquencesn s ra es.Pour qu’un filtre ne déforme pas les signaux compris dans une certaine

bande passante (BP), il faut réunir deux conditions :-

dans la BP2-Le temps de propagation de groupe tg doit être le plus constant possible

Par définition, =>phase linéaire

=

d d t g

, .

En pratique, on se contente d’approcher ce filtre Idéal. La réalisation de

filtres se fait à partir de polynômes d’approximation optimisant au mieuxes con ra n es eman es pu s un ven ue a ou en casca e uncorrecteur de phase.

-une BP plate au maximum pour les filtres de Butterworth -une an e e rans on ro e au pen une on u a on ans a pour es

filtres de Chebychev-une phase linéaire dans la BP pour les filtres de Bessel-autres filtres Cheb chev de t e II Cauer …


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Caractérisation d’un filtre

Pour une étude complète :

=>Diagrammes de Bode

-module de la fonction de transfert- g

Réponse temporelle :-

-réponse indicielle


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Notations

Notations :Fonction de transfert com lexe : T

Module : T()=|T(j)|Gain en dB : G

dB

=20.log T()

|T(j )|

|T(j )|

Filtre passe-hautFiltre passe-bas

c

c

|T(j )| |T(j )|

1

2

1

2

- -

Etude précise des filtres passe-bas ’

Bonne connaissance des filtres passe-bas d’ordre 1 et 2


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Rappels sur les filtres passe-bas

T j 1

Passe-bas 1er ordre0

0,01 0,1 1 10GdB

c (log)

C

c est la fréquence de coupure à -3 dB -10

-5

-20 dB/dec

T j

2 2

1 1

Passe-bas 2nd ordre-15

Q 0 0 0 0

m est le facteur d’amortissement 20GdB

m=0,1m=0 5 0 est la fréquence propre

0


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Notion de gabarit

Cahier des charges :Construire un filtre passe-bas qui ne transmet que les signaux de fréquence < à f 0.G doit osséder : -une valeur minimale a dans la bande de fréquences à transmettre-une valeur maximale b dans la bande de fréquences à éliminer

-Le gabarit est caractérisé par 2 points (f 0, a) et (f 1, b).

GdB0 f f f

loga Autres spécifications possibles d’un gabarit :

bOndulation dans la BPLargeur de la bande de transition

Etc …

Utilisation d’approximations de filtres réels :

passantean e e

transition

coupée

Butterworth, Chebychev, Bessel, Cauer …


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Ex : Gabarit de transmission téléphonique

)

k H

z ( d B

Expanded scale

a i n a t 1

a t i v e t o

G

a i n r e l

Typical filtertransfer function

Copyright 1975, ATT companyFrequency (Hz)

100 Hz 1 kHz 10 kHz


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Filtrage analogique

I – Introduction





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Filtres de Butterworth

Le module de la fonction de transfert T() est cherché sous la forme :Utilisé pour sa réponse extrêmement plate dans la BP

n

C

T

2

1

où n est l’ordre du filtre

La réponse fréquentielle est normalisée par rapport à lapulsation de coupure (ou caractéristique) c pour laquelle

l’atténuation est de -3 dB

On pose x=/ . 1

Pour x=1 : 20.logT(x)= - 3dB

nx 21

Quel que soit n, toutes les courbes passent par -3dB pour x=1, soit f=f c

- .

La fréquence de coupure est définie à - 3dB quel que soit n


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Détermination de n et fc : cas général

x = f / f cn = ordre du filtre n2

1)x(T

x (log)20.log T(x)(dB)

x0 x11

aa ≥ - 3 dB

Conditions limites :

- 3dB

20.logT(x0) > a

20.logT(x1) < b

x02n < 10-a/10 - 1 (1)

x12n > 10-b/10 - 1 (2)

(2) divisé par (1) donne la valeur de n minimum.En pratique on prend la plus petite valeur entière de n qui satisfait :

a

b

0 1

log1n

2 log f f

10

10 1

10 1

On calcule alors avec (1) et (2) les fréquences de coupure limites :

n2110a0

c,0

110f

n2110 b1

c,1

110f

On choisit la fréquence de coupure au « milieu » (moyenne géométrique) :c,1c,0c

f f f


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Fonction de transfert

But : trouver une fraction rationnelle complexe T(s) (avec s=jx) quiadmette T(x) comme module.

T x 1

Méthode : on factorise le polynôme P(x) = 1 + x2n

nx 21

On montre que P(x) apparaît ainsi comme le carré du module du polynômeP(s) suivant (n impair) :P(s) = (1+s) (a2+b2+2bs+s2) (…

La fonction de transfert normalisée s’écrit alors :

T ss a b bs s ...

22 21 2

si n est impair

’,

l’ordre n du filtre => utilisation de tables pour les coefficients


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Quelques polynômes de Butterworth


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Exemple récapitulatif

Déterminer la fonction de transfert du filtre passe-bas de Butterworth quisatisfait au gabarit suivant :GdB

0 1 kHz 3 kHz f

log-1

-40

2) Fréquences de coupure : f c,0=1,145 kHZ ; f c,1=1,194 kHZ d’où f c=1,17 kHZ

1) Détermination de l’ordre : n>4,8 donc on choisit n=5

T ss , s s , s s

2 2

1

1 1 1 618 1 0 618

C C C C C

T j

j , j j , j j

2 2

1 1 1 618 1 0 618

4) Fonction de transfert :

T jf

j. , . f j. , . f , . f j. , . f , . f

4 3 7 2 4 7 2

1

1 8 5 10 1 1 38 10 7 3 10 1 5 2 10 7 3 10


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Filtres de Chebychev

La fonction T(x) est cherchée sous la forme : est un nombre

Utilisé quand les spécifications du gabarit permettent une ondulation dans la BP

n

T xC x

2 21

n x es un po yn me n par r currence

C0(x) = 1 ; C1(x) = x ;

Cn+1(x) = 2 x Cn(x) - Cn-1(x) ’x=

/ r où r est la pulsation délimitant

la bande dans laquelle on accepte uneondulation r définie par r² = 1+2

n

Normalisation par rapport à r21

1

La fréquence de coupure r est définie à

–10.log (1+) dB qui vaut –3dB

uniquement pour =1.

Bande d’ondulation

p l i t u d e

-Le nb d’extrema présents dans la banded’ondulation est égal à n.

Bande d’arrêt

Bande de transition

a

a

/r


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Calcul de l’ordre

La donnée de la largeur de la bande d’ondulation fixe r.Il suffit de connaître :

-un oint de la bande d’arrêt G =G , -l’amplitude de l’ondulation admisepour déterminer l’ordre n du filtre

a

b 110cosharg

10/

10/

an

cosharg


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Polynômes de Chebychev

Voici quelques polynômes de Chebychev :On détermine T(x) compte tenu de l’ondulation tolérable r et de l’ordre n


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Exemple récapitulatif

Déterminer la fonction de transfert du filtre passe-bas de Chebychev quisatisfait au gabarit suivant (on admet une ondulation de 1dB dans la BP) :GdB

0 1 kHz 3 kHz f

log-1

-40

1) Détermination de l’ordre du gabarit : r=1 dB=1,122 donc =0,5089D’où n>3,4 donc on choisit n=4

T s

, s , s , s , s

2 2

1

1 2 411 3 579 1 0 283 1 014

2) Détermination de la fonction de transfert normalisée à partir de la table :

T j

2 2

13) Fonction de transfert :

r r r r

, , , ,


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Comparaison Butterworth - Chebychev

Butterworth

0

, ,

GdBx (log)

quel que soit nCoupure de pente relativement faible(mais peut être augmentée avec n plus

-10 n=1n=2n=3

grand)Réponse très plate dans la BP

Assez bien adapté aux signaux rapides

-20 n=4n=5

-30

0

0,01 0,1 1 10GdB

ChebychevCoupe à ordre identique plus rapidement

ue Butterworth -10n=1

x og

Ondulations dans la BPDéconseillé pour les signaux rapides(déformation importante) -20

n=3n=4

-30


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Comparaison Butterworth - Chebychev22

0

0,01 0,1 1 10 100

‐20

‐40

Butterworth n=4 ( d B )

‐60

Chebychev n=4 G a i n

‐80

‐100


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Autres formes de réponse23

Filtres de Legendre :-Il n’y a pas d’ondulation dans la bande passante.-La coupure est plus raide que Butterworth, mais moins raide que Chebychev

tres e esse :-La coupure n’est pas très raide-La phase est très linéaire

Filtres de Cauer (non polynômiaux) :- Comportement de Chebychev en bande passante et en bande d’arrêt-- La phase n’est pas linéaire (les signaux sont assez déformés).


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Transformations

Passe-haut passe-bas20.log T(x) 20.log T(X)

Ca s fréq ue nt : a = -3dB e t no rm a lisa tion p a r ra p p o rt à 0

s→ S = 1 / s

x (log)(dB) 1

a X (log)(dB) 1 1

a

x→ X = 1 / xlog x→ log X = - log x

Symétrie par rapport à x = 1

b b

Passe-bande passe-bas20. log T(X)(dB) 1 Min (X1,X4)x (log)

20.log T(x)

(dB) x1 x2 x3 x4

aa

bMin (b,c)

c

s→ S = (s + 1/ s) / x avec x = (f3-f2)/f0 et 320 f f f

)f -(f f

f f X

23

2

0

2 x →

2


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Transformations

Coupe-bande passe-bas

20. log T(X)20.log T(x)

X (log)(dB) 1 1, 4

ax (log)(dB)

a

x1 x2 x3 x4

bb

s→

S = x/(s + 1/ s) avec x = (f3-f2)/f0 et 320 f f f

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Exemple

Déterminer à l’aide d’un polynôme de Butterworth lafonction de transfert T(s) du filtre passe-haut défini parle gabarit ci-contre :

f (log)20.log T(x)(dB) 4 MHz

-310 MHz

-181) Normalisation du gabarit :

x (log)

20.log T(x)

(dB) 0,4

-3

1

f =10 MHz

-18

X (log)

. og

(dB) 1 2,5-3

ranspos on vers e passe- as correspon an :

3 Étude du filtre asse-bas : n>2 25 donc n=3

T SS S SS S S

2 32

1 1

1 2 21 1

-18

s

3

4) Transformation vers le passe-haut :

j

3

soits s s 1 2 2 T j

j j j

0

2 3

0 0 0

1 2 2

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Filtrage analogique

I – Introduction




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Filtrage actif 28

• Principe = mise en cascade de cellules élémentaires dusecond ordre à base d’ALI

• Int r ts– cellules élémentaires de faible impédance de sortie (et forte impédance

d’entrée => on eut utiliser la mise en facteur de T s

– Conception et mise en œuvre simplifiée

– Intégration possible (car pas d’inductance)

• Limitations–

– Distorsion du signal : saturation -> excursion limitéeslew rate -> bande passante limitée

–d’énergie)

– Bruit généré par les ALI

– Risque d’instabilité (systèmes à contre-réaction)

29


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Filtres de Sallen-Key29

Cellule de Sallen-Key d’ordre 2

Ve =

1 3

Y1+Y

2 Y3+Y4 +Y3 Y4 K Y2 Y2Y1 Y3 2 1

On choisit les admittances Yi

-

r 1r 2

VeVs

Y4

le type de filtre à réaliser

Passe-bas Passe-haut Passe-bande

Résistances Y1 et Y3 Y2 et Y4 Y1, Y2

Capacités Y2 et Y4 Y1 et Y3 Y3

Y4 = R // C


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Autres types de filtres31

Filtres actifs à convertisseur d’impédance (Q >20)

Exem le : filtre à irateur d'Antoniou

Les impédances Zi sont des C ou des R

Filtres actifs à variables d’états

Filtres « Capa Com » à variables d’états (MF10)

From TI Appl ication Note 779 A Basic Introduction to

Filters - Active, Passive,and Switched Capacitor

Q elle technologie choisir ?32


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Quelle technologie choisir ?

Technologie Composants Spécificités Exemples

d’application

Filtres numériques

(voir cours STNS en

Circuits logiquesintégrés (FPGA,

microcontroleur,

Signaux numérisés (préet post filtrage

nécessaire !)…(re)programmableProduction en grandesérie possible

Filtres passifs Composantsdiscrets L et C,Quartz pour les

F élevée (< 500MHz)Pas d’alimentationNon intégrable

Anti-repliementRejection du bruitd’alimentation

HF

Filtres actifs AO, R et C F < 1 MHz

Tension de sortie

Anti-repliement

Audio « Highm e e y »

Filtres à capacitécommutée

AO, interrupteurscommandés MOS,

F < qq MHzIntégrable

Détection de« tonalité »

programmable etprécise

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Comparaison filtre actif – filtre passif

Filtre passif :-Fonctionne sans alimentation et à des fréquences élevées-L’utilisation de bobines et de capacités permet d’obtenir tous types de réponse- , , -(résistance => facteur de qualité faible en basses fréquences), risque de couplageparasite entre bobines

-Difficulté de mise en œuvre our les filtres d’ordres élevés éta es dé endants-La fonction de transfert dépend de la charge qui doit donc être déterminée trèsprécisément-Performants jusque 500 MHz

Filtre actif :-Moins cher en grandes quantités-Petite taille => parasites moindres-Intégration possible-Nécessité d’alimentation de tension, consommation d’énergie-Excursion du signal limité par la saturation des AO et par le bruit des AO

-filtre-La contre-réaction sur les AO peut conduire à l’instabilité du système-Utilisation pour des fréquences inférieures à quelques 100 kHz

Documents

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