Optique géométrique

TD O1 : Les bases de l’optique But du chapitre Préciser la notion de rayon lumineux et étudier la propagation de la lumière dans un milieu transparent et homogène et lors d’un changement de milieux transparents et homogènes. Plan prévisionnel du chapitre I. Généralités sur la lumière

A. Du rayon lumineux à la dualité onde-corpuscule B. Les sources de lumière

II. L’optique géométrique A. But de l’optique géométrique B. Domaine de validité C. Notion de rayon lumineux D. Retour inverse de la lumière

III. Réflexion et réfraction A. Que se passe t’il à l’interface entre 2 milieux ? B. Lois de Snell-Descartes C. Réflexion totale D. Angle de déviation d’un rayon lumineux E. Le phénomène de réflexion totale dans la vie quotidienne

IV. Application au miroir plan A. Expérience des deux bougies B. Image d’un point objet à travers un miroir plan C. Image d’un objet à travers un miroir plan

Savoirs et savoir-faire Ce qu’il faut savoir :

• Les définitions concernant la lumière : lumière monochromatique ou polychromatique ; caractéristiques de la lumière (fréquence et longueur d’onde); indice de réfraction d’un milieu transparent et homogène ; célérité dans un milieu d'indice n.

• Le lien entre l’indice d’un milieu et la longueur d’onde dans le vide : loi de Cauchy. • Le phénomène de dispersion de la lumière (en cours d’acquisition, la compétence sera

reprise en TP). • Le domaine de validité de l’optique géométrique. • Les lois de Snell-Descartes : énoncer les lois, démontrer la formule de l'angle de

réfraction limite et de réflexion totale. • Définir un angle de déviation. • Connaître la position de l’image d’un point à travers un miroir plan.

Ce qu’il faut savoir faire : • Utiliser les lois de Snell – Descartes pour déterminer des rayons réfléchis ou réfractés. • Etudier les cas de réflexion totale ou de réfraction limite. • Calculer un angle de déviation. • Construire l'image d'un point et l'image d'un objet à travers un miroir plan. • Calculer des angles ou des distances en utilisant des relations trigonométriques.

Erreurs à éviter/ conseils : • Les angles de réflexion et de réfraction (pour l’application des lois de Descartes) sont

toujours définis par rapport à la normale au dioptre (et pas par rapport au dioptre). • L’angle de réfraction limite n’existe que si la lumière passe dans un milieu plus

réfringent c'est-à-dire d’indice plus grand. A l’inverse le phénomène de réflexion totale ne peut exister que lors du passage dans un milieu moins réfringent.

Optique géométrique

Savez-vous votre cours ? Lorsque vous avez étudié votre cours, vous devez pouvoir répondre rapidement aux questions suivantes :

• Ecrire la relation entre la longueur d'onde, la fréquence, la periode et la vitesse de l'onde electromagnetique dans le milieu.

• Quelle inégalité, concernant les dimensions des systèmes, faut-il respecter pour être dans le cadre de l'optique géométrique ? Est-elle vérifiée dans le cas des systèmes optiques usuels ? Citer des cas où l'optique géométrique ne s'applique pas.

• Comment est défini l'indice de réfraction d'un milieu transparent ? Pourquoi sa valeur est-elle toujours supérieure ou égale à un ?

• Comment se propage la lumière dans Un milieu homogène? Qu'est-ce qu'un rayon lumineux ?

• Énoncer les deux lois de Descartes-Snell aussi bien pour le rayon réfléchi que pour le rayon réfracté (en évitant de se limiter aux seules formules…) Comment savoir si, lors d'une réfraction, le rayon s'écarte ou se rapproche de la normale ? Que n'indique pas l'optique géométrique en ce qui concerne les rayons réfléchi et réfracté en un même point d'un dioptre ?

• Dans quel cas parle-t-on de réfraction limite ? Donner l'expression de sinil. Définir proprement la notion de réflexion totale et donner des exemples pratiques d'utilisation de ce phénomène.

• Calculer l'angle de réflexion totale sur le dioptre air (n=1) / eau (n=1,33) • Quelle propriété remarquable possède un miroir plan ? Rappeler les caractéristiques :

position de l'image, grandissement,... Montrer sur un schéma et en s'appuyant sur une interprétation en terme de faisceau, que l'image d'un objet réel par un miroir plan est virtuelle et inversement ; en donner une application dans chaque cas.

Applications du cours

Application 1 : Longueur d'onde et couleur Un laser émet une radiation lumineuse quasi monochromatique de fréquence f = 4,73.1014 Hz. On

donne c = 3,00.108 m.s-1 (vitesse de propagation de la lumière dans le vide). 1. Pourquoi qualifie-t-on cette radiation de « quasi monochromatique » ? 2. Quelle est la longueur d'onde dans le vide de cette radiation ? Quelle est sa couleur ? 3. On considère maintenant que cette radiation se propage dans un milieu où sa vitesse est v

= 1,81.l08m.s-1. Quelle est alors sa longueur d'onde ? Quelle est sa couleur ?

Application 2 : Indice et couleur La formule de Cauchy, donnant l'indice d'un verre pour une radiation monochromatique de

longueur d'onde est : n = A + où A et B sont des constantes.

1. Donner les dimensions de A et B. et leurs unités dans le Système international. 2. Des mesures effectuées avec un même verre ont donné :

nr = 1,618 pour une radiation rouge de longueur d'onde dans le vide λBr = 768 nm ; nv =1,652 pour une radiation violette de longueur d'onde dans le vide λv =434 nm . a) Calculer les valeurs de A et B. b) Calculer la valeur de l'indice pour une radiation jaune de longueur d'onde dans le

vide λ0 = 589 nm.

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Application 3 : Réfraction et dispersion Un rayon lumineux, se propageant dans l’air, arrive avec une incidence i = 40 ° sur un dioptre air-verre plan. Si on considère que ce rayon est constitué de lumière blanche, calculer l’écart angulaire entre les rayons réfractés extrêmes. Données : l’indice du verre est donné par la formule de Cauchy : n = A + avec A = 1,504 et B = 4,188.10-15 SI ; l’indice de l’air sera pris égal à 1,000.

Application 4 : Mesurer l’indice d’un liquide Un réfractomètre de Pulrich (physicien allemand, 1858-1927) est constitué d'un bloc de verre de section rectangulaire d'indice N connu, sur lequel on a déposé une goutte d'un liquide d'indice n inconnu. On observe un faisceau de rayons parallèles à la limite réfraction - réflexion totale et on mesure l'angle α correspondant. 1°) Etablir l'expression de n en fonction de N et de α. 2°) AN : Calculer n sachant que N = 1,626 et α = 60°00'.

Rappels mathématiques : sin (2

π-i) = cos(i) et (cos(i))2 + (sin(i))2 = 1

Application 5 : Des angles un peu particuliers Un rayon lumineux dans l'air tombe sur la surface d'un liquide ; il fait un angle α = 56° avec le plan horizontal. La déviation entre le rayon incident et le rayon réfracté est θ = 13,5°. Quel est l'indice n du liquide ?

Rappel mathématique : sin (2

π-i) = cos(i)

Application 6 : Rotation d’un miroir plan Considérons un rayon lumineux arrivant sur un miroir plan, ainsi que son rayon réfléchi. De quel angle le rayon réfléchi tourne-t-il lorsque le miroir tourne d'un angle α perpendiculairement au plan d'incidence ? Exercices Exercice 1 : Lame à faces parallèles On considère une lame de verre à faces parallèles, d'épaisseur e, d'indice n, plongée dans l'air d'indice 1. Un rayon incident arrive avec un angle d'incidence i. 1. Déterminer l'écart d entre le rayon incident et le rayon émergent en fonction de n et sini. 2. Faire l'application numérique pour n = 1,5, e = 4 mm et i = 50°. 3. Cette lame est-elle stigmatique ? Quel est son effet sur la vision d'un objet ?

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Exercice 2 : Fibre optique Une fibre optique peut être assimilée à un cylindre de révolution d'axe Oz, constitué d'un cœur, de rayon a et d'indice n1, entourée d'une couche cylindrique, la gaine, d'épaisseur b-a et d'indice n2 < n1. Le cœur et la gaine sont deux milieux parfaitement transparents. Un rayon lumineux pénètre dans la fibre en O, par sa base, en faisant un angle θ avec l'axe Oz. Déterminer la condition sur θ pour que le rayon reste dans le cœur de la fibre.

Exercice 3 : Le miroir plan Un rayon lumineux issu d'un point A se réfléchit en I sur une surface plane {P} et parvient au point B. 1°) À partir des lois de Snell-Descartes, montrer, par un raisonnement de géométrie, que le chemin optique [AIB] (distance AI + IB parcourue par la lumière) est minimal, la position des points A et B étant fixée. 2°) Application : Dans le plan xOy, deux rayons lumineux issus du point A (0,+a) se réfléchissent sur {P} aux points J et K. Écrire les équations des droites représentatives des rayons réfléchis (1) et (2) en fonction des tangentes des angles θ1 et θ2 puis calculer les coordonnées du point C, intersection des rayons (1) et (2). Quelle est alors l'image du point A ? En déduire une propriété caractéristique du miroir plan. Exercice 4 : Justification physique de la seconde l oi de Descartes pour la réfraction a) Sens physique A l’instant t = 0, un promeneur situé en un point A (x = 0, y = 0) : un baigneur qui se trouve en difficulté en un point B (xB, yB) d'un lac. Ce promeneur se met à courir suivant AI à la vitesse constante v1 et nager suivant IB à la vitesse constante v2. Les trajets rectilignes AI et IB sont inclinés de i1, et i2 par rapport à l’axe Ay.

Etablir la relation entre i1, i2, v1, et v2 pour que le promeneur parvienne en B, le plus vite possible. b) Aspect optique A présent, le sol et le lac sont remplacés par des MHTI d'indices respectifs n1, et n2. On place en A une source lumineuse ponctuelle et en B l’œil d’un observateur. Interpréter la seconde loi de Descartes pour la réfraction.

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Problème 1 : Arc en ciel Lorsque le Soleil illumine un rideau de pluie, on peut admettre que chaque goutte d'eau se comporte comme une sphère réceptionnant un faisceau de rayons parallèles entre eux. On recherche les conditions pour que la lumière émergente, issue d'une goutte d'eau, se présente sous forme d'un faisceau de lumière parallèle (c'est à cette condition que l'intensité lumineuse sera maximale, donc observable pour l'œil). Pour cela on fait intervenir l'angle de déviation D de la lumière à travers la goutte d'eau, mesuré entre le rayon émergent et le rayon incident. Cet angle de déviation D est une fonction de l'angle d'incidence i. On admettra que la

condition de parallélisme des rayons émergents se traduit mathématiquement par .0=di

dD

1°) Rappeler les lois de Descartes pour la réfraction d'un rayon lumineux passant de l'air

(milieu d'indice unité) vers un milieu d'indice n. Exprimer la dérivée di

dr exclusivement en

fonction de l'indice n et du sinus de l'angle d'incidence.

Rappel mathématique : f’(x) = xdx

df

2°) Une goutte d'eau quelconque, représentée par une sphère de centre O et de rayon R, est atteinte par la lumière solaire sous des incidences variables, comprises entre 0° et 90°. Son indice, pour une radiation donnée, sera noté n tandis que celui de l'air sera pris égal à l'unité. Répondre aux questions a, b, c ci-après pour chacun des trois cas suivants : - lumière directement transmise (figure 1) ; - lumière transmise après une réflexion partielle à l'intérieur de la goutte (figure 2) ; - lumière transmise après deux réflexions à l'intérieur de la goutte (figure 3). a) Exprimer en fonction de l'angle d'incidence i ou de l'angle de réfraction r, tous les angles marqués de lettres grecques. b) En déduire l'angle de déviation D propre à chaque cas, en fonction de i et de r. c) Rechercher ensuite, si elle existe, une condition d'émergence d'un faisceau parallèle, exprimée par une relation entre le sinus de l'angle d'incidence et l'indice n de l'eau. 3°) Le Soleil étant suppose 1res bas sur l'horizon, normal au dos d'un observateur, montrer que celui-ci ne pourra observer la lumière transmise que si la goutte d'eau se trouve sur deux cônes d'axes confondus avec la direction solaire et de demi-angles au sommet θ2 et θ3. Exprimer ces deux angles en fonction de D2 et D3. 4°) Les angles θ2 et θ3 dépendant de l'indice n de l'eau, on observe un phénomène d'irisation dû au fait que cet indice évolue en fonction de la longueur d'onde. Calculer ces angles pour le rouge et le violet, sachant que pour le rouge l'indice vaut 1,3317 tandis que pour le violet il est égal à 1.3448. 5°) En admettant que l'observateur se trouve face à un rideau de pluie, dessiner la figure qui apparaît dans son plan d'observation en notant la position respective des rouges et des violets.

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Problème 2 : Prisme Soit un rayon parvenant au point I sur la face d'entrée d'un prisme, d'angle A et d'indice n. Il émerge par la face de sortie avec un angle i’. On note D l'angle mesurant la déviation entre le rayon incident et le rayon émergent. Le milieu extérieur est l'air d'indice 1. On utilisera les notations du schéma suivant.

Partie 1 : 1°) Montrer que l'existence du rayon émergent dépend d'une condition sur i. 2°) Montrer que l'existence d'un rayon émergent impose aussi une condition sur A. 3°) Pour un prisme d'indice n = 1,5, vérifier que l'angle A = 60° convient. Déterminer alors numériquement l'encadrement de i. Partie 2 : On montre expérimentalement que D passe par un minimum unique Dm.

a) Justifier que ce minimum correspond à i = i’ b) Exprimer Dm en fonction de i et A puis en déduire l’indice n en fonction de Dm et A.