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Ecole Suprieure Polytechnique 2015

TD Traitement de signal I. P. Elmoukhtar

TDN1: Dveloppement en srie de Fourier

Exercice1

1. Soient x(t) et y(t) deux signaux priodiques de priodes fondamentales T1 et T2.Sous quelles conditions le signal x(t) + y(t) est-il priodique ? Quelle est lapriode fondamentale de ce signal ?

2. On considre les signaux :

Montrer que z(t) = x(t)y(t) est priodique en crivant z(t) comme unecombinaison linaire de fonctions exponentielles complexes de la forme :

Quelle est la priode fondamentale de z(t) ?

Exercice 2

Soit le x le signal de priode T = 2dfini par :

x(t) = t si t ] -, [.

1. Tracer proprement lallure de f2. Calculer les coefficients complexes Xnde la dcomposition complexe en srie de

Fourier de x. Donner lexpression de Sn(t), la dcomposition en srie de Fourierde x(t)

3. Reprsenter le spectre (en module) de x

4.

Que reprsente la raie en n=0 (ou f=0) ? Expliquer sa valeur5. A quelle frquence correspond la raie de rang n=1 ? Comment nomme-t-on cettefrquence

6. Que reprsentent les autres raies (pour n>1)

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Exercice 3

Dveloppez en srie de Fourier la fonction crneau paire de priode T = a dfiniepar :

f(t) = 1 si t ] -a/4 , a/4 [.f(t)=0 sur les autres domaines de la priode.

Reprsenter cette fonction dans le domaine temporel et dans le domaine frquentiel

Exercice 4