TD 1 - Revisions et entranements - Correction

Guillaume Blanc. Universit Panthon-Assas. L2.

[Correction jour]

Exercice 1 : Equilibre concurrentiel

Supposons que lindustrie des taxis soit parfaitement concurrentielle etque le cot marginal dun trajet en taxi soit constant et par simplificationde calcul gal a 5 euros. Un taxi peut faire 20 trajets par jour.

La fonction de demande de trajets en taxi est : D(P ) = 1100 20P

1. Dterminer le prix dquilibre concurrentiel

Avec x le nombre de trajet eectu par chaque taxi

= px 5x

Condition de premier ordre :

d=dx = 0, p = cm = 5

2. Combien de trajets en taxi par jour seront demands ?

D(5) = 1000

3. Combien de taxis fonctionneront ?

O(x) = nx, n = 504. Le march des taxis est dsormais rglement et chaque taxi doit

avoir une licence spciale. Le nombre de licences est gal au nombrede taxis calcul a la question 3. La demande de trajets en taxi aaugment et est donne par la fonction : D(P ) = 1200 P . Lecot marginal du trajet demeure constant et gal a 5 euros. Lenombre de taxis est donn.

1

(a) Quel prix galise lore et la demande ?

Lore est rgule et gale 1000. Ainsi,

O = D , p = 200(b) Calculer le profit que fait chaque taxi par trajet.

=x = 200 5 = 195(c) Calculer le profit journalier de chaque taxi.

= 195 20 = 3900

Exercice 2 : Concurrence parfaite

Sur un march de concurrence parfaite, la fonction de demande QD etdore QS du march sont : QD = 700005000P et QS = 40000+2500P

1. Dterminer le prix dquilibre du march

QD = QS , p = 42. Dterminer la demande et lore de march aux prix 9, 8, 7, 6,

5, 4, 3, 2 et 1 euros.

: : :

3. Tracer les courbes dore et de demande du march ainsi que lacourbe de demande de lune des 100 entreprises identiques de cettebranche.

La courbe de demande est

p(Q) = 14 QD5000

La courbe dore est

p(Q) = 16 + QS2500

Nous obtenons donc lquilibre suivant

(Q; p) = (50000; 4)

Et graphiquement :

2

QP

25000 50000 75000

10

Demande

(Q; p) = (50000; 4)

Ore

4. Dterminer lquation de la courbe de demande de lentreprise ?

Lquation de la courbe de demande individuelle de lentreprise iest

QiD =

(500 si pi = 4

0 si pi > 4

Exercice 3 : Entreprise et branche

1. Si chaque entreprise atteint lquilibre a long terme, la branchedoit-elle etre aussi en position dquilibre a long terme ?

Si chaque entreprise atteint lquilibre long terme, alors la brancheest lquilibre. Notons cependant que dans le long terme nouspouvons aussi imaginer que de nouvelles entreprises pourraientmettre en oeuvre des cots fixes trs importants (recherche etdveloppement notamment afin damliorer leur technologie deproduction) et entrer dans le march en faisant des pertes. Si leprix du march est tel que ces entreprises arrivent couvrir leurcots variables moyens, alors la branche peut ne pas tre en po-sition dquilibre.

2. Si lentreprise et la branche sont a lquilibre a long terme, doivent-elles etre galement a lquilibre a court terme ?

Dans le court terme, les entreprises peuvent raliser des profitsngatifs.

3

Exercice 4 : Equilibre de concurrence pure et parfaite

La firme Gama intervient sur un march concurrentiel. Sa fonction deproduction est :

Q = 10K1=2L1=2

o K reprsente le volume de capital, L est le volume de travail et Q estle volume de production. La fonction de demande sur ce march, pourun prix p donn, est : p = 3Q + 100. Le prix du capital, r, est gala 10 et le cot du travail w sleve a 25. En courte priode, le capitalest constant et gal a 4. 5 firmes identiques sont susceptibles dorir leproduit sur le march.

Dterminer les conditions dquilibre en situation de concurrence pureet parfaite.

Courte priode

La fonction de cots est la suivante :

C = 10K + 25L = 40 + 25L

Avec Cm = 25dL=dq; CM = 40=q + 25L=q et CVM = 25L=q. Lafonction de production dune entreprise type est

q = 20L1=2 , L =h q20

i2La maximisation du profit mne :

p = Cm, p = [1=8] q , q = 8pNotons que lentreprise ne continue produire que si le prix est suprieurau seuil de fermeture. Ce dernier est tel que

p CVMmin , p 0Le seuil de rentabilit est lui atteint pour tout p tel que

p CMmin , p 101=2 3; 16, q 8 101=2

En dessous de ce seuil, lentreprise ralise des pertes mais reste sur lemarch car elle arrive couvrir ses cots variables et espre revenir lquilibre sur le long terme. Graphiquement, nous avons :

4

qp

Cot marginal

25 50

20

0

Cot moyen

Seuil de rentabilit

La fonction de demande est telle que p = 3Q + 100. 5 entreprisesidentiques sont susceptibles doprer sur le march. Ainsi, lore globaleest Q = 5q = 40p. Ainsi, la condition dquilibre est la suivante :

p = 3 40p+ 100, (Q; p) = (33; 2; 100121

) (33; 2; 0; 83)

Remarquons que le seuil de rentabilit nest pas atteint. Ainsi, chaqueentreprise produit 6; 64 units. Le profit (perte) de chaque entreprise estdonc :

=100

121 6; 6440 25

h6; 6420

i2 37; 25 Longue priode

Dtermination de la demande dinput :

minfK;Lg

10K + 25L

s.t. f(K;L) = 10K1=2L1=2

Le Lagrangien scrit

L = 10K + 25L+ (q 10K1=2L1=2)Et les conditions de premier ordre sont :8>:

dL=dL = 0dL=dK = 0dL=d = 0

,

8>:5K1=2L1=2 = 255K1=2L1=2 = 10q = 10K1=2L1=2

,(K=L = 2; 5

q = 10 (2; 5)1=2L ) L =

q

10 (2; 5)1=2

5

) K = 2; 51=2 q10

Nous pouvons donc r-crire la fonction de cot sous la forme suivante :

C = 101=2 qNous avons donc

p = 101=2

Remarquons que pour ce prix les profits sont nuls. Ainsi, la quantit to-tale produite est Q 34; 38 avec q 6; 87.

Exercice 5 : Lore dentreprises de types dirents

Soit un march concurrentiel runissant deux types dentreprises. Lescots variables et fixes des entreprises de type 1 sont :

CV1(Y ) =

(Y 2 + 4 si Y > 0

0 si Y = 0et CF1 = 12 (1)

Les cots variables et fixes des entreprises de type 2 sont :

CV2(Y ) =

(3Y 2 + 3 si Y > 0

0 si Y = 0et CF2 = 24 (2)

On recense 300 entreprises de chaque type.

1. Donnez les fonctions de cot moyen, cot variable moyen et cotmarginal pour chaque type dentreprise.

Type 1

C1 =

(Y 2 + 16 si Y > 0

12 si Y = 0

CM1 =

(Y + 16=Y si Y > 0

non dfini si Y = 0

6

CVM1 =

(Y + 4=Y si Y > 0

non dfini si Y = 0

Cm1 = 2Y

Le cot variable moyen atteint son minimum pour Y = 2 tandis que lecot moyen atteint son minimum pour Y = 4. La courbe de cot margi-nal intersecte les deux courbes en leur minimum.

Type 2

C2 =

(3Y 2 + 27 si Y > 0

24 si Y = 0

CM2 =

(3Y + 27=Y si Y > 0

non dfini si Y = 0

CVM2 =

(3Y + 3=Y si Y > 0

non dfini si Y = 0

Cm2 = 6Y

Le cot variable moyen atteint son minimum pour Y = 1 tandis que lecot moyen atteint son minimum pour Y = 3. La courbe de cot margi-nal intersecte les deux courbes en leur minimum.

2. Reprsentez graphiquement ces fonctions.

Type 1

7

YC

5

5

10

15

0

Seuil de fermeture

Seuil de rentabilit

Cot moyenCot variable moyen

Cot marginal

Type 2

Y

C

Cot moyenCot variable moyen

Cot marginal

10

20

30

40

5 100

Seuil de fermeture

Seuil de rentabilit

3. Quelle est la fonction dore totale ? Reprsentez la aussi graphi-quement.

Fonctions dores de chaque entreprise

Y1(P ) =

8>:0 si P < 4

[0; 2] si P = 4

P=2 si P > 4

8

Y2(P ) =

8>:0 si P < 6

[0; 1] si P = 6

P=6 si P > 6

Lore totale est donc

S(P ) =P300

i=1 Y1(P ) +P300

j=1 Y2(P )

=

8>>>>>>>>>>>:

0 si P < 4

[0; 600] si P = 4

150P si 4 < P < 6

[900; 1200] si P = 6

200P si P > 6

Graphiquement,

P

Q

S(P)

600

900

1200

4 60

4. La demande du march se dfinit par la fonction : D(P ) = 2700100P . Dterminez le prix dquilibre, la production et le profit pourchaque type dentreprise.

La fonction de demande intersecte la courbe dore totale enP = 9 . Nous avons donc Y1(P ) = 4; 5 et Y2(P ) = 1; 5 . Chaqueentreprise de type 1 ralise un profit de 4; 25, et celui-ci est de20; 25 pour les entreprises de type 2. Les entreprises de type 2ralisent des pertes (car leur technologie de production est plus

9

couteuse en input) mais restent sur le march car le prix de mar-ch est de 9, infrieur leur seuil de rentabilit mais suprieur leur seuil de fermeture.

5. Si la demande se modifie et scrit : D(P ) = 1600 100P , le prixdquilibre est alors gal au seuil de fermeture des entreprises detype 2 soit pour un prix P = 6 et Q = 1000. Comment se modifielquilibre calcul prcdemment ?

Le nouvel quilibre est le suivant :

P

Q

S(P)

D(P)600

90010001200

4 60

Le prix P = 6 est dsormais gal au seuil de fermeture des firmes2. Elles sont donc indirentes entre produire ou ne rien produire.Leur profit est ngatif. Pour les firmes de type 1, le prix P estinfrieur leur seuil de rentabilit. Elles doivent rduire leur pro-duction. Leur ore individuelle sera S = P=2 = 3 = Y1 et chacuneralisera un profit de 7. Lore totale des entreprises de type 1sera de 900. Les 100 units restantes seront rparties entre lesentreprises de type 2.

Exercice 6 : Monopole

Un monopoleur vend un bien a trois consommateurs dont les fonctionsde demande sont respectivement : Q1 = 1205P , Q2 = 5010P et Q3 =150 5P . La fonction de cot total du monopoleur est CT = 8 + 4Q2.

10

1. Dterminer la demande totale qui sadresse au monopoleur.

D(P ) =

8>>>>>>>:320 20P si P < 5270 10P si 5 < P < 24150 5P si 24 < P < 300 si P > 30

2. Si le monopoleur doit fixer le meme prix pour chaque consomma-teur, quel est le prix qui maximise son profit ?

= P D(P ) 8 4D(P )2

Le profit est maximal pour une demande telle que seul le consom-mateur 3 consomme du produit. De cette manire, nous obtenons

P = 29; 3Q = Q3(29; 3) = 3; 5 = 45; 6

3. Le monopoleur fait-il un profit a ce prix ?

Le monopoleur maximise son profit en rationnant les quantitsafin de ne vendre quau consommateur dont la demande est lamoins lastique.

Exercice 7 : Comportement du monopoleur

Un monopoleur fait face a une fonction de demande QD = 17 P .Ce monopoleur rpartit sa production sur deux usines 1 et 2. Les cotsmarginaux des deux usines sont les suivants :

Q 1 2 3 4 5Cm1 3 4 7 11 15Cm2 5 7 9 13 17

1. Dterminer le niveau optimum de production de ce monopoleur.

11

Le niveau optimal de production dun monopole multi-tablissementest tel que

Rm(q1 + q2) = Cm1(q1) = Cm2(q2)

Nous obtenons donc ici

(q1; q2) = (3; 2)

2. Reprsentez graphiquement lore de chaque usine, puis sur unautre graphique lquilibre du monopoleur.

Cf. cours.

3. Comment devrait-il rpartir sa production entre les deux usines ?Justifier.

Il doit produire plus dans lusine 1, qui a une technologie de pro-duction moins coteuse.

Exercice 8 : Monopsone

Dans sa rgion, une firme exerce un pouvoir de monopsone sur le mar-ch du travail. Cette entreprise vend en revanche sa production sur unmarch de concurrence pure et parfaite. La fonction dore du travailest :

w = 144 + 23; 4L

o w est le taux de salaire et L le facteur travail. La fonction de produc-tion de lentreprise monopsonique est : Q = 15L2 0; 2L3.

1. Dterminer lquilibre du monopsone, sachant que la productionde la firme est vendue au prix unitaire de 3 euros.

2. Commenter les rsultats.

Le profit de la firme est

= 3 (15L2 0; 2L3) 144L 23; 4L2

Et le programme de maximisation

maxL

, d=dL = 0

12

Nous trouvons deux rsultats possibles : L = 4 ou L = 20.Cependant, cf. graphique (nous pouvons aussi vrifier analytique-ment), L = 4 est un minimum. Le monopsone a donc le pouvoirde fixer un salaire de 612, obtenu pour L = 20 .

L

500

max

min

4200

13