TD Thermodynamique no 7Transitions de phases

Exercice 1 Machine à vapeur-cycle de RankineL’eau décrit le cycle suivant :– AB : l’eau liquide saturant à T1 et P1, est comprimé de façon isentropique dans une pompe jusqu’à la

pression P2 de la chaudière.– BCD : l’eau passe dans la chaudière et s’y réchauffe jusqu’à T2 (BC) puis s’y vaporise (CD) sous la

pression P2.– DE : la vapeur saturante passe dans le cylindre à T2, P2 et on effectue une détente isentropique jusqu’àT1, P1 : on obtient un mélange liquide-vapeur de titre x en vapeur.

– EA : le piston par son retour chasse le mélange dans le condenseur où il se liquéfie totalement.On assimile le liquide à un liquide incompressible de capacité thermique massique cl = 4, 18 kJ.kg−1.K−1 etla vapeur à un gaz parfait. On donne les caractéristiques : P1 = 0, 20 bar ; T1 = 60°C = 333 K ; ∆hvap(T1) =l1 = 2360 kJ.kg−1 ; P2 = 12 bar ; T2 = 188°C = 461 K ; ∆hvap(T2) = l2 = 1990 kJ.kg−1. On raisonne surl’unité de masse du fluide.

1. Justifier que la compression isentropique AB du liquide (saturant en A) est confondue avec l’isothermeT1.

2. Justifier que la détente isentropique DE de la vapeur saturante en E conduit nécessairement à unmélange diphasé dont on calculera le titre massique en vapeur.

3. Représenter la totalité du cycle de Rankine en diagramme (P, v).

4. Exprimer et calculer les divers transferts thermiques pour chaque étape du cycle de Rankine.

5. Définir le rendement de cette machine à vapeur. L’exprimer puis le calculer.

6. Quelles sont les causes d’irréversibilité d’une telle machine ?

Exercice 2 Cocotte minuteAu voisinage de 100°C, la pression de vapeur saturante de l’eau vaut : Ps = P0( t

100)4,où P0 = 1 bar ett la température en °C. On considère une cocotte-minute dont la soupape a une masse de 40 g et le tuyaude soupape une section de 4 mm2. On met de l’eau dans la Cocotte-Minute et on ferme hermétiquement lecouvercle. L’ensemble est ensuite placé sur un brûleur de cuisinière. Au bout d’un certain temps, la soupapese met en rotation. Quelle est la température à l’intérieur de la cocotte-minute ?

Exercice 3 Changements de phase de l’eauOn considère une enceinte cylindrique diathermane de volume V0 = 10 L, maintenue dans l’atmosphère

à la température T = 373 K. La vapeur d’eau sèche et saturante sera considérée comme un gaz parfait. Onnéglige le volume occupé par la phase liquide devant le volume occupé par la phase vapeur dans l’enceinte.Données : pression de vapeur saturante de l’eau à 373 K : Psat = 1 bar, masse molaire de l’eau Meau =18 g.mol−1, constante des gaz parfaits R = 8, 31 J.K−1.mol−1.

1. Le cylindre étant initialement vide, on y introduit une masse m d’eau. Calculer la masse maximalemmax d’eau telle que l’eau soit entièrement sous forme de vapeur dans le cylindre à l’équilibre.

On introduit en fait une masse m′ = 3 g d’eau. On modifie le volume du cylindre en déplaçant de manièretrès lente un piston.

2. Faut-il augmenter ou diminuer le volume du piston pour voir apparaître les premières gouttes deliquide ? Justifier.

3. Calculer le volume Vmin à partir duquel l’eau contenue dans le cylindre se trouve simultanément sousforme liquide et vapeur.

4. On introduit maintenant dans le cylindre de volume V0 une masse m′′ = 10 g d’eau. Calculer la fractionmassique xv d’eau à l’état de vapeur.

Exercice 4 Cessation d’un état métastableDans un calorimètre thermiquement isolé et de capacité thermique négligeable, on place une masse m =

1, 00 kg d’eau en état surfondu, c’est à dire liquide à une température T = 263K inférieure à la température dechangement d’état T0 = 273 K à la même pression P0 = 1, 01.105 Pa. L’introduction d’un germe cristallisé deglace, de masse négligeable, provoque la solidification partielle de l’eau. Données : chaleur latente massiquede fusion de la glace à T0 : lf (T0) = 334 kJ.kg−1, capacité thermique massique de l’eau liquide : cl =4, 18 kJ.K−1.kg−1, capacité thermique massique de la glace : cg = 2, 09 kJ.K−1.kg−1.

1. Quelle est la température finale Tf à l’équilibre ?2. À quelle variation de fonction d’état le transfert thermique subi par l’eau s’identifie-t-il ?3. Déterminer puis calculer la masse ms d’eau solidifiée.4. Calculer la variation d’entropie ∆S de l’eau.

Exercice 5 Machine frigorifique***On peut modéliser le comportement thermodynamique du fluide dans une machine frigorifique à fluide

diphasé par la succession de transformations suivantes :• compression adiabatique en phase gazeuse de l’état A à l’état B ; au point A, le fluide est à l’état de

vapeur saturante ;• refroidissement isobare de la vapeur de l’état B à l’état C ; au point C, le fluide est à l’état de vapeur

saturante ;• liquéfaction isobare et totale de l’état C à l’état D ; au point D, le fluide est à l’état de liquide saturant ;• détente adiabatique irréversible du fluide que l’on peut modéliser ici par une détente isenthalpique

entre l’état D et l’état E ; au point E, le fluide est dans un état diphasé ;• vaporisation isobare totale du fluide de l’état E à l’état A.

On donne les enthalpies massiques du fluide aux points A, B et D : hA = 1167 kJ.kg−1, hB = 1355 kJ.kg−1

et hD = 30 kJ.kg−1.1. Représenter l’allure du cycle suivi dans un diagramme (P, v), en indiquant les positions des points A,B, C, D et E.

2. Calculer les transferts thermiques massiques qchaud et qfroid mis en jeu au cours d’un cycle, respective-ment au contact de la source chaude et de la source à froide.

3. Calculer approximativement le coefficient d’efficacité e de la machine frigorifique.4. Le titre massique en vapeur x est défini comme le rapport de la masse de vapeur sur la masse totale de

fluide. On donne la chaleur latente massique de vaporisation du fluide lv(TA) = 1293 kJ.kg−1. Calculerle titre massique en vapeur xE dans l’état E.

5. On utilise cette installation frigorifique pour maintenir constante la température d’une chambre froideà laquelle il faut prélever 5000 kJ par heure. Sachant que la machine fonctionne en régime stationnaire,calculer le débit massique Dm du fluide frigorifique.

Exercice 6 Diagramme de phase du dioxyde de carboneOn donne pour le dioxyde de carbone les coordonnées du point triple et du point critique (PT = 5, 17 bar,

TT = 216 K, PC = 73, 8 bar, TC = 304 K) ainsi que la température de sublimation sous une atmosphère(1, 013 bar) tsub = −78, 5°C.

1. Donner l’allure du diagramme (P, T ) en précisant les différences avec l’eau sachant que ρl < ρs (massevolumique). On donne (dPdT )1→2 = ∆h1→2

T (v2−v1)

2. On veut modéliser la courbe de la pression de vapeur saturante P ∗ en bar en fonction de T en K. Onpropose une loi du type lnP ∗ = α− β

T . Trouver α et β à l’aide des données. Sachant que dP ∗

dT =∆hvapT (vv−vl)

estimer l’enthalpie massique de vaporisation du dioxyde de carbone.

Solutions des exercices1Réponses : 2) x = 0, 801 ; 5) η = 25%2Réponse t = 119°C3Réponses : 1) mmax = 5, 8 g ; 3) Vmin = 5, 2 L ; 4) xv = 58%4Réponses : 1) Tf = 273 K ; 3) ms = 0, 125 kg ; 4) ∆S = 3, 1 J.K−1

5Réponses : 2) qc = −1325 kJ.kg−1, qf = 1137 kJ.kg−1 ; 3) e = 6, 0 ; 4) x = 0, 12 ; 5) Dm = 1, 2 g.s−1

6Réponses : 2) lnP ∗ = 10, 8 − 1,98.103

T , ∆hvap = 374 kJ.kg−1