TES A et B Devoir n°4 9/12/2014

Exercice 1 : 3 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre

réponses proposées est correcte. Une réponse juste rapporte 0,5 pt ; une réponse fausse ou l’absence de réponse ne

rapporte ni n’enlève de point.

Entourer la bonne réponse

1. Une augmentation de 20% suivie d’une augmentation de 15% est équivalente à une augmentation globale

de :

2. On considère la suite géométrique de premier terme et de raison . La somme S des 12

premiers termes de cette suite est donnée par :

3. On considère la fonction f définie sur ℝ par

f est dérivable sur ℝ et on note f’ sa fonction dérivée. Alors, pour tout nombre réel x, on a :

L’équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction f au point d’abscisse 0 est :

4. Soit une suite telle que

L’algorithme ci-contre permet d’obtenir :

La valeur affichée est :

Exercice 2 : Résoudre les équations et inéquations suivantes :

Exercice 3 : Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes

Exercice 4 : On considère la fonction h définie sur ℝ par

1. Calculer h‘(x)

2. Résoudre

3. En déduire le tableau de signe de h’(x)

4. Etablir le tableau de variations de h

5. Déterminer une fonction H telle que H’=h

VARIABLES :

U,N

INITIALISATION :

U prend la valeur 40000

N prend la valeur 0

TRAITEMENT :

Tant que U>10000

N prend la valeur N+1

U prend la valeur 0,875 U+1200

Fin tant que

SORTIE

Afficher N

Exercice 5 :

Partie A

On considère la fonction C définie sur l’intervalle [1 ;10] par :

On désigne par C’ la dérivée de la fonction C.

1. Montrer que, pour tout

2. On considère la fonction f définie sur [1 ;10] par

a. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur [1 ;10]

b. Montrer que l’équation f(x)=0 possède une unique solution dans [1 ;10]

c. Donner un encadrement au centième de

d. En déduire le tableau de signe de f(x) sur [1 ;10]

3. Etablir le tableau de variation de C

4. En utilisant le tableau de variation précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes

dans [1 ;10]:

Partie B

Une entreprise fabrique chaque mois x centaines d’articles, avec x appartenant à l’intervalle [1 ;10].

Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production de x centaines d’articles, est

donné par la fonction C définie dans la partie A.

Déterminer le nombre d’articles à produire pour que le coût moyen de fabrication soit minimal.

Exercice 6 : Les parties A et B sont indépendantes

On considère la fonction f définie sur ℝ dont la courbe

représentative est tracée ci-contre dans un repère.

Partie A

On suppose que f est de la forme où a et b

désignent deux constantes. On sait que :

Les points A(0 ;2) et D(2 ;0) appartiennent à la courbe

La tangente à la courbe au point A est parallèle à l’axe

des abscisses.

On note f’ la fonction dérivée de f, définie sur ℝ

1. Par lecture graphique, indiquer les valeurs de

f(2) et f’(0)

2. Calculer a et b et donner l’expression de f(x)

Partie B

On considère une fonction g telle que g’(x)=f(x). Parmi les

trois courbes ci-contre, une seule est la

représentation graphique de g. Déterminer la courbe qui

convient et justifier la réponse.

2 3 4-1-2-3-4-5-6-7-8

2

3

-1

-2

-3

-4

-5

-6

0 1

1

x

y

A

D

Corrigé

Exercice 1 :

1. Une augmentation de 20% suivie d’une augmentation de 15% est équivalente à une augmentation globale de :

2. On considère la suite géométrique de premier terme et de raison . La

somme S des 12 premiers termes de cette suite est donnée par :

3. On considère la fonction f définie sur ℝ par

f est dérivable sur ℝ et on note f’ sa fonction dérivée. Alors, pour tout nombre réel x :

L’équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction f au point d’abscisse 0 est :

4. Soit une suite telle que

L’algorithme ci-contre permet d’obtenir :

La valeur affichée est :

3 pts 0.5 pt/réponse

Exercice 2 : Résoudre les équations et inéquations suivantes :

car une exponentielle est strictement positive

[

car une exponentielle est strictement positive

2.5 pts 0.5 pt/ réponse

Exercice 3 : Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes

2 pts 0.5 0.5 1

Exercice 4 : On considère la fonction h définie sur ℝ par 1.

2. 3. 4.

2.5 pts 0.5 0.5

x

Signe de h’(x) - 0 +

Variation de h

5.

0.5 0.5 0.5

Exercice 5 : Partie A

On considère la fonction C définie sur l’intervalle [1 ;10] par :

On désigne par C’ la dérivée de la fonction C.

1.

2. On considère la fonction f définie sur [1 ;10] par a.

b.

x 1 10

Variation de f

0 198218 -20

D’après le tableau de variation et le théorème des valeurs intermédiaires, f(x)=0 possède une unique solution dans [1 ;10] c. Avec la calculatrice : 2 ;55< <2,56 d.

x 1 10

signe de f(x) - 0 +

3.

x 1 10

Signe de f(x) - 0 +

Signe de x + +

Signe de C’(x) - 0 +

Variation de C 22.71 2204,65 12.86

4. En utilisant le tableau de variation précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes dans [1 ;10]:

Partie B Il faut produire 2,55 ou 2,56 centaines d’articles soit 255 ou 256 articles.

6 pts 0.5 1 0.5 0.5 1 1 0.25 0.25 1

Exercice 6 : Partie A On suppose que f est de la forme où a et b désignent deux constantes. On sait que :

Les points A(0 ;2) et D(2 ;0) appartiennent à la courbe

La tangente à la courbe au point A

est parallèle à l’axe des abscisses. On note f’ la fonction dérivée de f, définie sur

ℝ

1. f(2)=0 f’(0)=0

2.

Partie B f(x)>0 quand x<2 donc g est croissante quand x<2 f(x)<0 quand x>2 donc g décroissante quand x>2. La courbe convient.

4 pts 0.25 0.25 2.5 1

2 3 4-1-2-3-4-5-6-7-8

2

3

-1

-2

-3

-4

-5

-6

0 1

1

x

y

A

D