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Dalles: éléments porteurs principalement en béton armé

Mécanique des Structures et Solides V semestre d’hiver 2001-2002 P. Lestuzzi 46.EPFL-DGC

– Bâtiment:

– Pont:

Fréquemment utilisés dans la construction, notamment dans:

Flexion des plaques: définitions et hypothèses


Structures bidimensionnelles planes:

Hypothèses:

– Normales au feuillet moyen restent normales (Bernoulli)

– Le feuillet moyen ne subit aucune déformation dans son plan

– Les contraintes normales au feuillet moyen peuvent être négligées

– Matériau homogène et isotrope (béton, béton armé ?)

– Matériau élastique linéaire (béton, béton fissuré ?)

– Dalle mince d’épaisseur constante (L/h > 15)

– Déformations faibles (w < 1/5 h)

Bibliographie:

– Timoshenko S. P., Woinowsky-Krieger S.: Théorie des plaques et coques. Librairie Polytechnique CH. Beranger, 1968

– Pucher A.: Einflussfelder elastischer Platten. Springer-Verlag, 1977

– Favre R., Jaccoud J.-P., Burdet O., Charif H.: Dimensionnement des stuctures en béton. Traité de Génie Civil de l’EPFL, Volume 8

Plaques Voiles

charges: perpendiculaires à la surface dans le plan

Flexion: rappel du mode opératoire pour les poutres (c. f. TGC 2)


Cinématique:(relations géométriques d’un petit élément isolé dans sa position déformée)

=dx'dx

r – yr=

yr= 1 – dx'

dxdx' – dx

dx=yr= –ε� – 1 =

relations indépendantes du matériau: valables quelle que soit la loi constitutive

– Approximation des petites déformations:

= r dθ ds dx21

r = d vdx2et

– Expression des dilatations:

dvdxθ tgθ =

>

>===

Flexion: rappel du mode opératoire pour les poutres (suite)


Loi constitutive:

– loi de Hooke: ⇒ =E yr

–σ=σ E ε

Principe d’équivalence:

Equations différentielles des poutres fléchies:

Equilibre:

dVdx

– q=dMdx

– V= ⇒ =2d Mdx2 q

=dx

4d v4 EI

q

21r =

d vdx2

MEI=

⇒=Er=M – σ y dA

A y dAA

2 =1r=

Er I

MEI

Plaques: Cinématique


– relation dans le plan xz (y=const.):

– déformations dans le plan xy passant par D:

Conservation des sections planes (hypothèse de Bernoulli)

Plaques: Cinématique


Déformation d’un élément dans son plan:

Déformations spécifiques:

Déformations d’un feuillet quelconque situé à z du feuillet moyen:

Plaques: Relation d’état


Loi de Hooke à deux dimensions (c. f. TGC 3):

Contraintes:

avec les déformations déterminées auparavant:

Plaques: Principe d’équivalence (c. f. TGC 2)


Distribution des contraintes dans la hauteur du profil:

Efforts internes correspondants:

Plaques: Principe d’équivalence


Relations entre les contraintes et les efforts internes:

avec les contraintes déterminées auparavant:

où B représente la rigidité de flexion:

Plaques: Conditions d’équilibre


Forces et moments agissant sur l’élément:

Les accroissements s’expriment à l’aide des dérivées partielles:

mxx dx=dmx

myy dy=dmy

mxyx dx=dmxy

qxx dx=dqx

qyy dy=dqy

Plaques: Conditions d’équilibre


Equilibre des forces verticales:

Equilibre des moments:

Combinaison des conditions d’équilibre:

après simplification:

Plaques: Equation de Lagrange


en introduisant l’expression des moments:

dans la relation traduisant les conditions d’équilibre:

on obtient l’équation de Lagrange (1811):

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