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CNTA ’09 Université A.MIRA BEJAIA

Effet de l’Anisotropie Magnétique sur les Caractéristiques d’un Résonateur Micro Ondes

C. Zebiri, M. Lashab Département d’électronique, faculté des sciences de

l’ingénieur. Universite ferhat abbes. Sétif, Algerie

[email protected]

F. Benabdelaziz Département d’électronique, faculté des sciences de

l’ingénieur. Universite Mentouri. Constantine, Algerie

[email protected]

Abstract— L’effet de l’anisotropie uniaxiale de la perméabilité d’un substrat magnétique sur la fréquence de résonance complexe d’un résonateur microruban a été étudié en se basant sur la formulation de l'équation intégrale. Cette fréquence a été calculée en employant la méthode spectrale via la méthode des moments procédure Galerkin pour la résolution numérique de l’équation intégrale. Pour une convergence rapide des résultats, les fonctions sinusoïdales ont été choisies comme fonctions de base. Les résultats numériques obtenus indiquent que la fréquence de résonance et la largeur de la bande passante sont en liens direct avec la composante perpendiculaire de la perméabilité à l’axe optique.

Notre étude a été comparée avec celles publiées par d’autres auteurs [10].

I. INTRODUCTION La miniaturisation des antennes a suscité ces dernières

années un très grand intérêt au prés des chercheurs dans le monde des télécommunications [1] [2]. La course à cette miniaturisation est motivée par des exigences d’intégration des antennes dans l’architecture des terminaux mobiles, pour réduire au maximum leur encombrement. L’une des applications actuelles qui nécessite aussi l’utilisation d’antennes de petites dimensions est celle des interconnections sans fils [3].

L’un des facteurs important agissant sur la miniaturisation des lignes microbandes et résonateurs est la permittivité élevé et l’anisotropie du milieu. Où plusieurs cherches dans la vingtaine passée [4]- [7], ont investi sur l’effet de l’anisotropie uniaxiale de la permittivité et sa valeur sur les différents paramètres de ces dispositifs, tel que la constante de propagation, fréquence de résonance complexe, et facteur de qualité.

Dans cette article nous essayons de formaliser l’effet de la perméabilité sur la fréquence de résonance complexe d’un résonateur microbande implantée sur un milieu doté d’une anisotropie uniaxiale magnétique. Cependant, Les études concernant le calcul de la fréquence de résonance des résonateurs microrubans, implantés sur substrat d’une

anisotropie uniaxiale [8], ont prouvé que ce type de support ne présente aucune influence majeure sur le facteur de qualité, la largeur de la bande passante. Pour ces raisons d’autres études ont été orientées vers les supports dotés d’anisotropies positive et négative [9-10], ou biisotropiques [11].

Nous utilisons l'approche spectrale (S D A), qui est intensivement employée dans l'analyse et la conception des structures planaires. Dans une telle approche, la fonction spectrale tensorielle de Green, qui relie les champs électriques tangentiels et les courants respectifs des différents conducteurs, devrait être déterminée. Beaucoup de techniques ont été proposées pour l’évaluation de cette fonction [8]-[10]. Notre article consiste donc en une évaluation du tenseur de Green d’un résonateur imprimé sur substrat bianisotrope (figure.1). Une résolution numérique du système d’équations élaboré, et mis sous forme matricielle, nous permet d’avoir la fréquence de résonance complexe du résonateur étudié (figure. 1).

Figure 1. Microstrip implantée sur milieu magnétique.


II. THÉORIE

A. Equations de Maxwell Les milieux magnétiques considérés dans notre travail

ont une anisotropie uniaxiale, donnés comme suit [12] :

=

z

t

t

µµ

µµ

000000

,

=

z

t

t

εε

εε

000000

(1)

En substituant ces dernières dans les équations de Maxwell, nous déduisons les composantes transversales du champ électromagnétique en fonction des composantes longitudinales, obtenus a partir des équations misent sous formes matricielles. Ce qui sera explicité par le paragraphe suivant.

B. Matrices TM et TE de transfert correspondantes à la couche magnétique En considérant une variation temporelle en eiωt

zE~

et en partant des équations de Maxwell dans le domaine de Fourrier, nous pouvons montrer que les champs transverses dans le chiral peuvent s’écrire en fonction des composantes longitudinales et zH~ selon les équations matricielles suivantes :

( ) ( )

∂∂

=

=

z

z

zs

st

z

y

xss

ssS H

Ezj

EE

rFzE ~~

10

01

~~

,1,~

0µµκ

ω

κεε

κκ

κ (2)

( ) ( )

∂∂

=

−=

z

z

st

z

zs

x

yss

ssS H

E

zjH

HrFzH ~~

10

01

~~

,1,~0

κµµ

εεκ

ωκ

κκ (3)

Avec : ( )

−=

xy

yxss rF

κκκκ

κ , (6)

Où ( )0

,=sr

ss rF κ est le vecteur Kernel, SE~ et SH~ sont

exprimés selon les modes TM, TE.

C. Composantes longitudinales et transversales En considérant la résolution de l’équation d’onde, nous

exprimons les composantes longitudinales des champs électriques et magnétiques dans les milieux chiraux selon les expressions suivantes:

( ) zjezjesz

ez

ez eBeAzE κκκ −+=,~ (4)

( ) zjhzjhsz

hz

hz eBeAzH κκκ −+=,~ (5)

Avec :

220

2stt

ez

z

t κµεκκεε−= (6)

220

2stt

hz

z

t κµεκκµµ−= (7)

222yxs κκκ += (8)

Où les coefficients spectraux : eA , hA , eB et hB sont

fonction des variables sκ , ezκ et h

zκ . Ces derniers sont respectivement les constantes de la propagation des modes TM et TE. Selon les équations précédentes nous obtenons les expressions des composantes tangentielles des champs suivantes:

( ) ( )( ) ( ) ( )s

zjs

zj

sh

se

sS BeAezEzEzE zz κκ

κκκ κκ −+=

=

,~,~

,~ (9)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

−=

= −

szj

szj

ss

hs

e

sS BeAegzHzHzH zz κκκ

κκκ κκ

,~,~

,~

(10)

Où:

[ ]hz

ezz diag κκκ = (11)

( ) Th

zee

zs ABAst

z

s

−= µωµκκ

κεε

κ 01122 (12)

( ) Th

zzee

zs BBBst

z

s

= µωµκκ

κεε

κ 011

22 (13)

( )

−=

t

hz

ez

ts diagg

µωµκ

κεωε

κ0

0 (14)

Pour un milieu électrique non magnétique présentant une anisotropie biaxiale au niveau de la permittivité, les expressions précédentes se réduisent à celles développés dans [10].

III. ÉVALUATION DU TENSEUR DE GREEN Après étude des conditions aux limites imposées par la

structure on aboutit à l’expression, sous sa forme compacte, de la fonction dyadique de Green :

( ) ( )dDDj

zthezzes κµκκκ

ωεsin1,1diag1 2

00

⋅

=kG (15)

Où:

( ) ( )djdD ez

ez

hztz

e κκκεκ sincos += (16)

( ) ( )djdD hztz

hz

hz

h κµκκκ sincos += (17)


IV. SOLUTION DE L’ÉQUATION INTÉGRALE Le courant de conduction sur la plaque conductrice peut

être exprimé en série finie de fonctions de base. L’équation intégrale décrivant le champ électrique est [8]-[11] :

0)(~)(),( =⋅⋅∫ ∫∞

∞−sssssd kJkGrkFk (18)

En utilisant la procédure de Galerkin selon la méthode des moments, l’équation intégrale (18) a été discrétisée en une équation matricielle. La solution non triviale de cette équation est une fréquence complexe ir ifff += .

rf : La fréquence de résonance réelle.

if : La fréquence de résonance imaginaire, traduit les pertes par rayonnement pour le cas d’un résonateur rayonnant.

Le facteur de qualité et la bande passante sont définis par [13] :

i

r

ff

Q2

= (19)

QBP 1

= (20)

V. RÉSULTATS L’influence de l’anisotropie uniaxiale magnétique du

substrat sur la fréquence complexe et la bande passante d’un résonateur microbande a été étudiée. Afin de valider nos résultats et programmes élaborés, des comparaisons ont été menées par rapport à ceux d’un cas de diélectrique isotrope présenté dans la littérature.

Les Figures ci-dessous montrent la fréquence réelle, et imaginaire normalisées ainsi que la bande passante en fonction de l’épaisseur du substrat anisotrope, d’une structure microbande monocouche, comparativement aux mesures de la littérature où (εx=εz

(µ

=2.35), le milieu considéré est caractérisé comme suit :

t=0.8, µz=1 : l’anisotrope positive de la perméabilité) et (µt=1.2, µz=1 : l’anisotrope négative). L’anisotropie uniaxiale est obtenue par le changement de µt tout en gardant µz

VI. COMMENTAIRES

constante.

L’effet d’un milieu diélectrique, doté d’une anisotropie magnétique, sur la bande passante d’un résonateur microbande rectangulaire a été étudié. Le substrat étant anisotrope ayant une permittivité relative : εx=εz=2.35. Les dimensions de la plaque rectangulaire sont : 1cm et 1.5cm.

Figure 2. Fréquence de résonance réelle comparée avec celle de [10]; a=1.5cm, b=1cm, εr =2.35.

Figure 3. Fréquence de résonance imaginaire comparée avec celle de [10]; a=1.5cm, b=1cm, εr =2.35.

Figure 4. Bande passante comparée avec celle de [10]; a=1.5cm, b=1cm, εr

Dans les figures ci-dessus, la fréquence complexe et la bande passante sont tracées en fonction de l’épaisseur du substrat pour différentes valeurs de chiralité et selon le choix de l’anisotropie magnétique. La normalisation est

=2.35.


faite par rapport à f0

zr bcf ε2=

, qui est la valeur déduite du mode

fondamentale .

Les résultats numériques représentés par les figures 2, 3 et 4, montres un effet remarquable de l’anisotropie axiale de la perméabilité sur la fréquence de résonance réelle, comme le montre la formule asymptotique. Alors que pour la partie imaginaire et la bande passante, nous remarquons que cet effet est légèrement semblable quant à l’effet de l’anisotropie uniaxiale de la permittivité. Nous pouvons appliquer cet effet, dans le cas d’essai d’une augmentation ou diminution de la fréquence de résonance sans pour autant changer la fréquence imaginaire, ou la bande passante.

VII. CONCLUSION Selon la littérature, l'anisotropie uniaxiale positive

introduit une légère augmentation de la bande passante, alors que cette dernière subit une légère diminution lorsqu’on considère l'anisotropie uniaxiale négative. Par contre dans notre cas de structure implantée sur substrat magnétique, nos résultats montrent que l’influence de la perméabilité est plus apparente sur la fréquence de résonance réelle que dans la fréquence imaginaire. L’avantage dans l’utilisation de l’anisotropie axiale de la perméabilité est que dans ce cas l’élargissement de la bande passante est plus important pour une cavité rayonnante et l’inverse est obtenu dans le cas d’une cavité destinée pour une conception de filtre. Cela nous mène également à une miniaturisation du dispositif vue l’augmentation ou diminution importante de la fréquence réelle, car nous pouvons avoir la même fréquence pour des dimensions réduites.

REFERENCES [1] A. K. Skrivervik, J. F. Zurcher, O. Staub and J. R. Mosig, “PCS

antennas design: the challenge of miniaturization”, IEEE AP Magazine, vol. 43, n°4, Aug 2001.

[2] Brachat. P and Ratajczak. P, “Antennes compactes pour télécommunications : modélisations et perspectives”, Annales des Télécommunications. 55, n°5-6, 2000.

[3] K. Kim and K. O. Kenneth, “Characteristics of integrated dipole antennas on bulk, SOI and SOS substrates for wireless communication”, Proceedings of IITC, pp. 21-23, San Francisco 1998.

[4] D.M. Pozar, “Radiation and scattering from a microstrip patch on a uniaxial substrate” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-35, pp. 613-621, Jun.1987.

[5] “Relationships for Green’s function spectral dyadic’s involving anisotropic imperfect conductors imbedded in layered anisotropic media”, IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-37, pp. 1207-1211, Sep. 1989.

[6] R.M. Nelson, D.A. Rogers and A.G. D’AssunGao, “Resonant frequency of a rectangular microstrip patch on several uniaxial substrates,” IEEE Trans. Antennas Propagat., v01~‘Ap-38p, p. 973-981, Jul. 1990.

[7] T. Itoh and W. Menzel, A full-wave analysis method for open microstrip structures,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-29, pp. 63-61, Jun.. 1981.

[8] Kin-Lu Wong, Jeen-Sheen Row, Chih-Wen Kuo, and Kuang-Chih Huang “Resonance of a Rectangular Microstrip Patch on a Uniaxial Substrate”. IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques, vol. 41, pp. 698-701, April 1993.

[9] W. C. Chew and Q. Liu, ‘‘Correction to Resonance frequency of a rectangular microstrip patch’’ IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 36, pp. 1827, Dec. 1988.

[10] F. Bouttout, F. Benabdelaziz, T. Fortaki and D. Khedrouche, ‘‘Resonant frequency and bandwidth of a superstrate-loaded rectangular patch on a uniaxial anisotropic substrate,’’ Communications in Numerical Methods in Engineering (John Wiley & Sons), vol. 16, issue : 7, pp. 459-473, July 2000.

[11] Filiberto Bilotti and Lucio Vegni, “Chiral Cover Effects on Microstrip Antennas”, IEEE Transactions On Antennas And Propagation, vol. 51, no. 10, October 2003. pp2891.

[12] K. W. WHITES, CHUNG C. Y., “Composite uniaxial bianisotropic chiral materials characterization: Comparison of predicted and measured scattering”, Journal of electromagnetic waves and applications, vol. 11, pp. 371-394, 1997.

[13] D. M. Pozar, ‘‘General relations for a phased array of printed antennas derived from infinite current sheets,’’ IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-33, pp. 498-504, May. 1985.

ANALYSE COMPARATIVE DES MATERIAUX DIELECTRIQUES DANS LES LIGNES HYPERFREQUENCES

M. Damou, M. Khazini, Z. Souar Université de Saida Dr Moulay Tahar

BP 138 Saida 20000 TEL : 048 47 47 07 FAX :048 47 42 62

[email protected]

Résumé :

Le travail que nous présentons dans cet article traite les matériaux en usage en hyperfréquences l’extension des modèles régissant la propagation dans les lignes hyperfréquences. Les paramètres fondamentaux des matériaux doivent constitués les limites des notre modèles. En effet ces paramètres ont une influence directe sur la transmission du signal. Ces paramètres sont : la permittivité effective du matériau diélectrique εeff , la conductibilité électrique σ de la partie métallisée, ainsi que les dimensions de cette ligne ( la largeur w, la hauteur du substrat h et l’épaisseur du ruban b). Ces paramètres contrôlent et influent directement sur les principales caractéristiques de la ligne en l’occurrence l’impédance de la ligne et la fréquence d’usage.

Après l’élaboration du modèle nous érigeons une simulation sous Matlab et nous analyserons la répartition des champs magnétique et électrique au moyen du logiciel spécialisé tels que COSMOS et CST

MICROWAVE STUDIO Les résultats obtenus permettent de valider le choix des matériaux pour une ligne à haut

rendement fonctionnant à une fréquence f =100 Ghz. Mots-clés : Effet diélectrique, Permittivité, Matériaux, Ligne Micro ruban, Modélisation numérique, Simulation.

I. Introduction

La technique des circuits imprimés désormais dépassée et développée dans le domaine des hyperfréquences où elle a tout d’abord permis, la réalisation de lignes de transmission et des circuits passifs micro ondes (circulateurs, isolateurs, déphaseurs..) [3].

Les dispositifs des télécommunications sont en constante évolution. Ce développement est dû à la nécessité de transférer toujours plus d'informations au débit. Ainsi, les fréquences utilisées sont de plus en plus élevées et les dimensions des systèmes évoluent naturellement dans le sens contraire. Ces systèmes micro-ondes ou hyperfréquences sont donc très complexes et deviennent de plus en plus difficiles à analyser, et/ou réaliser.

II. Analyse statique de la ligne micro ruban II.1 La ligne micro ruban :

La ligne micro ruban est un guide d'onde particulier, utilisée en microélectronique pour confectionner des circuits planaires (miniaturisation) réalisant des fonctions électroniques précises tels que filtrage, amplification, generation….

Il est constitué d'un plan de masse parfaitement conducteur sur lequel est déposé un substrat

diélectrique, munie d’une ligne conductrice. L'ensemble est enfermé dans un blindage figure I.1.

II.2 Paramètres fondamentaux :

Les paramètres important de la ligne sont défini ci -après

• La permittivité relative du substrat εεεεr. l’emploi de diélectriques de grande permittivité a pour effet de concentrer le champ électromagnétique dans le substrat, réduisant ainsi le rayonnement.

Figure I.1. Ligne micro-ruban blindée.

mailto:[email protected]

• L’épaisseur h du substrat est généralement de l’ordre d’une fraction de millimètre.

• La largeur w du conducteur (ruban) est le plus souvent du même ordre de grandeur que l’épaisseur h du substrat (0.1 ≤≤≤≤ w/h ≤≤≤≤ 10). On contrôle L’impédance caractéristique Zc de la ligne en variant la largeur du ruban.

• L’épaisseur b du ruban est généralement très petite (b/h ≤≤≤≤ 1) et même négligeable.

III. Les équations de Maxwell

III.1. Champs et sources

Dans les milieux continus, les phénomènes électromagnétiques sont d´écrits par quatre fonctions qui dépendent du temps t. 1- le champ électrique E, qui est de la dimension d’une force par unité de charge ou V.m (Volts par mètre), 2- l’induction magnétique B, qui est de la dimension d’une force par unité de courant ou T (Tesla). 3- le champ magnétique H, en A.m-1 (Ampères par mètre). 4 - le déplacement électrique D, en C.m-2 (Coulombs par mètre carre). Les équations de Max well en milieu isotrope se écrivent alors en fonction de E et H seulement : [7]

ρ=εEdiv (1) Équation de Maxwell Gauss,

tERotH ∂∂ε= (2) Équation de Maxwell Ampère

0tHRotE =∂∂µ− (3) Équation de Maxwell Faraday,

0Hdiv =µ (4) absence de monopole magnétique.

Dans le cas d’un milieu isotrope, homogène, isolant et non charge (j=0 et ρ=0), E et H satisfont l’équation des ondes :

0tEE 22 =∂∂µε−∆ (5)

0tHH 22 =∂∂µε−∆ (6)

Cette équation s’obtient en injectant (3) dans ∂t(2) pour le champ électrique et (2) dans ∂t(3) pour le champ magnétique, et en utilisant la fait que ;

AGraddivARotRotA ∆−=− (7) L’onde électromagnétique se propage à la vitesse

de l’onde. Ainsi, les équations de Maxwell sont de nature hyperbolique.

IV. Technique de conception

Notre technique de conception se base sur l’étude fondamentale, l’analyse et la simulation des différents paramètres constitutifs du composant.

IV.1 Permittivité effective

La permittivité ε exprime les pertes dans les matériaux. Ce paramètre complexe se compose de deux parties (l’une réelle, l’autre imaginaire) :

ωσ+εε=ε '' j - ' avec σ la conductibilité du

matériau et ω la pulsation induite par l’effet de la

conduction 'ε représente la portion des fuites dans le

cas d’un matériaux diélectrique idéal [6]. Puisque les matériaux sont des milieux réels la permittivité est corrigée par le terme ''ε qui varie selon la nature du matériau la fréquence et l’humidité qui règne pendant l’usage. IV.1.1 Choix du substrat

En ce basant sur les modèles de Wheeler et Hammestrad [8], nous avons étudié la caractéristique de la variation de la permittivité effective en fonction du rapport w/h, pour analyser l’influence de ce dernier sur la propagation de l’onde. Dans la figure IV.1 on remarque que l’augmentation du rapport w/h est suivie d’une augmentation de la permittivité effective. En effet on remarque que dans le cas de l’Alumina les valeurs de la permittivité sont faibles par rapport à celle de GaAs.

Afin d’avoir une valeur de permittivité effective optimale le composant est protégé dans un blindage, l’apport de ce dernier sera décrit ci-dessous. IV.2 Caractérisation numérique

La modélisation en électromagnétisme peut se faire selon la méthode des éléments finis, ou selon la méthode FEM méthode que nous avons utilisée ici. Celle-ci est basée sur la discrétisation des équations de Maxwell.

La méthode FEM est la méthode numérique la plus utilisée pour la résolution des problèmes dans l’électromagnétisme. Bien qu’elle ait existé pendant plus de trente années, son usage continue à se développer pendant que les coûts de calcul continuent à diminuer [1].

IV.2.1 Estimation de l’impédance

Dans le cas de la modélisation statique, la simulation du modèle analysé ne tient pas compte de la fréquence. Les figures ci dessous caractérisent les paramètres électriques de la ligne micro-ruban ouverte dans le cas de plusieurs substrats en fonction de la largeur de ruban, ceci pour une épaisseur du substrats h=0.635 mm On note la diminution de l’impédance caractéristique quand le rapport de dimension w/h1 (largeur sur hauteur) augmente. L’effet diélectrique engendre une diminution de cette impédance caractéristique avec la croissance de la permittivité diélectrique εr.[2]. A. Analyse à l’impédance de référence 50 Ω Le tableau suivant représente les différentes valeurs du rapport (w/h) pour les différents matériaux dans le cas d’un impédance de référence pratique Z= 50 Ω.

Pour conserver une impédance caractéristique

conventionnelle pratique des lignes en

Permittivité relative

Référence 50 Ω

Hammerstad (w/h)

Wheeler (w/h)

Green (w/h)

Alumine 50 Ω 1.25 0.88 0.41

Oxyde de Béryllium

50 Ω 1.65 1.21 0.61

Quartz 50 Ω 2.1 1.92 1.10

Polystyrène 50 Ω 3.15 2.52 1.51

microélectronique divers auteurs [4] pointent la valeur de ZC = 50Ω qui peut être obtenue après modélisation adéquate pour les quatre matériaux retenues (Alumine (96 %), Oxyde de Béryllium, Quartz et Polystyrène) aux voisinage des rapport w/h compris entre 0.41 et 3.15 mm/mm. Ces dimensions sont aisément réalisables et permettent d’avoir des lignes d’usage pratique.

Sur le plan d’intégration de circuits le modèle de Green semble donner de meilleures performances car les valeurs correspondants à w/h assurent de fines dimensions largeur w et hauteur h [2].

Effet du blindage sur l’impédance caractéristique Maintenant, nous analysons par logiciel (Matlab

2D), l’influence du rapport w/h sur l’impédance caractéristique de la ligne.

La figure I.5 montre l’influence du blindage sur

l’impédance caractéristique de la ligne micro-ruban, cette influence est caractérisée avec plusieurs hauteur du plan de masse supérieur de la structure blindée qui est représentée sur la figure I.1 et c’est la méthode de Green qui nous à permis de tenir compte de l’effet du blindage et de ses conséquences.

On observe que l’impédance caractéristique diminue en fonction du rapport w/h, mais si on augmente le plan de masse jusqu'à une hauteur égale trois fois la hauteur du substrat, on bascule vers une structure ouverte utilisant divers matériaux (Alumine (96 %), Oxyde de Béryllium, Quartz et Polystyrène) comme diélectriques. C’est la disparition de l’effet résistif engendré par le blindage qui prédomine. V. Permittivité effective d’une structure ouverte

Nous avons étudié la caractéristique de la variation de la permittivité effective en fonction du rapport w/h, pour analyser l’influence de ce dernier sur la propagation de l’onde.

Dans les figures (I.6, I.7, I.8) on remarque que l’augmentation du rapport w/h est suivie d’une croissance de la permittivité effective. En effet on remarque que dans le cas de l’oxyde du Béryllium (BeO) les valeurs de la permittivité sont faibles par rapport à celle de l’Alumine (Al2O3). Il faut alors utiliser ces deux matériaux plus que les autres pour prévoir des impédances caractéristiques similaires à celles publiées [1].

Rapport w/h

Imp

édan

ce c

ara

cté

ristiq

ue

Figure I.3. Effet du rapport w/h sur l’impédance caractéristique de la ligne micro-ruban pour

plusieurs substrats

Méthode d’Hammerstad

Polstyrène εr =2.53 Quartz εr =3.8 Oxyde de Béryllium εr =6.5 Alumine (96%) εr =8.9

Imp

édan

ce c

ara

cté

ristiq

ue

Rapport w/h


plusieurs substrats

Méthode de Wheeler

Polstyrène εr =2.53 Quartz εr =3.8 Oxyde de Béryllium εr =6.5 Alumine (96%) εr =8.9

Polstyrène εr =2.53

Quartz εr =3.8

Oxyde de Béryllium εr =6.5

Alumine (96%) εr =8.9

Imp

édan

ce c

ara

cté

ristiq

ue


plusieurs substrats

Méthode de Green

Rapport w/h

Imp

édan

ce c

ara

cté

ristiq

ue

Rapport w/h


plusieurs substrats

Méthode de Green


Quartz εr =3.8



V.1. Interprétation des paramètres électriques

Les figures (I.2, I.3,….I.8) montrent la variation des paramètres électriques :l’impédance caractéristique ZC, la permittivité effective εeff en fonction de la permittivité relative εr pour plusieurs substrats, il est évident que la capacité par unité de longueur de la ligne micro-ruban est proportionnelle à la permittivité relative du substrat utilisé, ce qui se traduit par une diminution de l’impédance caractéristique et une augmentation de la permittivité effective quand on utilise des substrats de permittivités plus élevées.

En utilisant la fonction dyadic Green et le

concept réaction de Rumsey, une expression de

l'impédance caractéristique de une ligne micro-

ruban

Dans le cadre d'une masse diélectrique elle

est issue. L'impédance caractéristique

déterminée par la méthode actuelle se trouve

accord avec les résultats publiés plus tôt.

Résultats numériques pour une ligne micro-

ruban sur le substrat d'alumine est présenté par

ondes millimétriques.

V.2. Apport du blindage sur la permittivité effective

La figure I.9 montre l’apport du blindage sur la permittivité effective de la ligne micro ruban, cette influence est étudiée pour plusieurs hauteurs supérieures (h1) du plan de masse de la structure blindée (figure I.1). Pour celà nous avons utilisé la méthode de WHEELER et HAMMERSTAD. . Les différents graphiques ci-dessous présentent les résultats obtenus.

Dans la figure I.9 on remarque que pour une valeur de h1 = 6 h la permittivité effective est importante par rapport à celle de la courbe obtenue pour h1 = 2 h. Cette analyse nous éclaircit l’effet du blindage qui entraîne une augmentation de la permittivité effective avec l’évolution de la hauteur h.1

Structure ouverte

Structure blindée

Rapport w/h

h1= 2 h h1= 4 h h1= 6 h

Pe

rmitt

ivité

effe

ctiv

e

Figure I.9. Influence du blindage sur la permittivité effective de la ligne micro-ruban en

fonction du rapport w/h (h = 0.635 mm et εr= 8.9)

Méthode de Wheeler

Pe

rmitt

ivité

effe

ctiv

e

Rapport w/h

Figure I.8. Effet du rapport w/h la permittivité effective de la ligne micro-ruban pour plusieurs

substrats




Quartz εr =3.8


Rapport w/h

Pe

rmitt

ivité

effe

ctiv

e

Figure I.6. Effet du rapport w/h la permittivité effective de la ligne micro-ruban pour plusieurs

substrats

Méthode de Green



Quartz εr =3.8


Méthode de Wheeler

Rapport w/h

Pe

rmitt

ivité

effe

ctiv

e

Figure I.7. Effet du rapport w/h la permittivité effective de la ligne micro-ruban pour plusieurs substrats



Quartz εr =3.8


Les courbes de variation ont été obtenues pour une épaisseur nulle sur une couche silicium de 0.635 mm. La permittivité relative de diélectrique est de 8.9 pour l’Alumine. V.3. Effet du blindage sur les champs E et H

La simulation des champs électriques et

magnétiques avec le logiciel sur l’effet du

blindage nous a permis de recueillir les

configurations qui suivant.

La figure I.11 montre une ligne micro-

ruban avec un croquis approximatif de la

distribution des champs transverses à la

direction de propagation. Les lignes des champs

vont du plan supérieur vers le plan de la masse.

La plupart des lignes des champs sont

concentrées à l'intérieur du micro-ruban.

Sur la figure I.12 représentant les champs

(électrique et magnétique), on constate la

concentration des champs au niveau du ruban, ce qui

limite la puissance susceptible d’être transmise par

ce type de ligne.

Comme la ligne est ouverte, une partie du signal

disparait par rayonnement. Ce phénomène augmente

avec l’apparition de modes supérieure è des

fréquences élevées on doit utiliser un substrat de

permittivité élevée, soit réduire son épaisseur [2].[2].[2].[2]. VI. Conclusion

En conclusion il faut noter que l’analyse et la compréhension physique du matériau est nécessaire pour toute conception pendant l’usage optimal. Par ailleurs, nous constatons également que le blindage est très important pour la structure. Néanmoins il limite quelque fois l’usage en bande de fréquences élevées [9].

La présente caractérisation est faite en deux

aspects, statique et dynamique par l’application de

méthode de Green qui repose sur une théorie solide,

complexe et exact.

L'impédance caractéristique en statique

d'une ligne micro-ruban dépend de ses dimensions et

de la nature du substrat isolant. Il existe dans la

littérature de nombreuses équations empiriques

complexes permettant de calculer l'impédance de la

ligne à partir des données géométriques, cependant

nous avons préfère la théorie de Green pour vérifier

la finesse des résultats antérieurs réalises par nos

collègue dans ce domaine.

La cartographie des champs

électromagnétiques dans la ligne a été simuler au

moyen du logiciel Micro-wave et montre bien

l’évolution du signale dans la structure

Figure I.10. Influence du blindage sur la permittivité effective de la ligne micro-ruban en

fonction du rapport w/h (h = 0.635 mm et εr= 8.9)

Structure ouverte

Rapport w/h

h1= 6 h

Pe

rmitt

ivité

effe

ctiv

e

h1= 4 h h1= 2 h


Structure blindée

Figure I.11. la distribution de champs d’électriques et magnétiques

Figure I.12. La distribution de champs électriques et magnétiques dans le ruban

References

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[9] G. Ghione, C. Naldi, “Analytical formulas for Microstrip line” Electron . Lett, vol.19 1983

Lignes Micro-rubans

Méthode d’Hamastrad Méthode de Green Méthode de Wheeler

++επ

=2

r

videc w

h21

w

h.Aln

2

zZ

Pour 1hw ≤

+

ε=

h

w25.0

w

h8ln

60Z eff

effeff

C

Pour 1hw ≤

+++επ=

444.1h

wln667.0393.1

h

w

1120Z

effeffeff

C

Impé

danc

e ca

ract

éris

tique

b*a

effeff w

h101

21r

21r

−

+

−ε+

+ε=ε

Pour 1hw ≥

21

effeff w

h1212

1r2

1r−

+

−ε+

+ε=ε

Pour 1hw ≤

−+

−

+

−ε+

+ε=ε

2

h

w104.0

2

1

effw

h121

21r

21r

eff

Per

mitt

ivité

effe

ctiv

e

π+

+

+

εε=

2

2

effeffeff

eff0

w

h8

w

h8

w

h8

2

11ln

4C

Cap

acité

++

+

++=

3

4

24

1.18

u1ln

7.18

1

432.0u

52

uu

ln49

11a

h

wuet

3

9.0564.0b

053.0

r

r =

+ε−ε

=

−−π+=7528.0

w

h666.30exp)62(6A

Par

amèt

res

- 1 -

Résumé:

Horn Antenna Analysis by Moment Method For Millimeter-Wave Applications

M. Lashab*, C. Zebiri**, F. Benabdelaziz*** *Département d’électronique, Université de Skikda, Algérie. **Département d’électronique, Université de Sétif, Algérie.

***

[email protected], [email protected], [email protected] Département d’électronique, Université de Mentouri, Constantine, Algérie

Abstract:

Horn Antenna for millimeter-wave application has been analyzed by two methods, the first one is an asymptotic one which is the aperture integration based on the geometrical optics (GO), the second one is a numerical method based on the well known moment method and improved by wavelets. The aim of this work is first to introduce the application of wavelet in electromagnetic scattering, secondly a comparison of the two method of analysis is presented to show the limit of use of the asymptotic method an to emphasize on the fact that moment method is an exact method which is improved by the introduction of wavelet by reduction of both memory space and processing time, this is illustrated in this work.

Key words:

Moment Method, Wavelets, Horn antenna, Aperture integration.

INTRODUCTION Design of feeds for large reflector antennas such as horns became crucial and more computing time and memory space especial for millimeter-wave applications. The analysis of radiation pattern can be achieved by asymptotic methods such as the Aperture Integration which is based on Geometrical and Physical Optics Technique [1,2], some work have been done using numerical solutions for electromagnetic scattering problems such as Moment Method [3], this is one of the most powerful numerical techniques for solving electromagnetic problems, however this method has always suffered from memory and computation time, due to digitalized integral equations resulting for very dense impedance matrix. Still author numerical method have been applied to improve the accuracy such as the adaptive integral method [4,5,6]. Here in this work we trying to compare results obtained form the aperture integration method which is an asymptotic method, with the wavelet technique which is based on the moment method for future combination between these two methods, because for very large size structures, even very powerful methods may face the problem of memory space and computing time. Many work have been curried out using wavelet to solve electromagnetic problems the results are very promising [ 7,8,9,10]. The authors have also presented and published works on the use of wavelets for solving electromagnetic problems [11]. The pyramidal horn antenna is excited at the mode TE10

The theoretical contents is expressed in the next section, which consists of three subsections, The first subsection is dedicated to the Aperture integration and problem description, the second subsection is about integral equation and Moment Method formulation, the last subsection is for orthogonal wavelet expansion.

and the

frequency of work is 10 GHz.

1. Formulation 1.1 Aperture Integration The pyramidal horn understudy is presented in figure 1, since the aperture integration is based on the geometrical optics, we assume that the incident filed is formed over the aperture plane, and the aperture field has a uniform distribution. The radiated field considered here is in TE10

mode with y directed electric field. The electric far field radiated by the aperture may be written as [12].

[ ]r

effjkEjkr

yx πφφθ

θ 2sincos

2cos1 −

++

= (1)

And,

[ ]r

effjkEjkr

xy πφφθ

φ 2sincos

2cos1 −

−+

= (2)

Where ),,( φθr are the spherical coordinates points in the radiation zone, k is the free space propagation constant, yfxff yx ˆˆ += is the Fourier transformer

of the field at the aperture Ex(x,y,o), which may be

- 2 -

written as:

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−= dxdyeeyxEf yjkxjk

xyx)0,,(),( φθ (3)

Where, φθ cossin=xk , φθ sinsin=yk .

Figure 4. Radiation pattern for pyramidal Horn, H-plane, A= 1.4λ, B=2.2λ, L= 3.14λ, F=12 Ghz

In this paper the use of Haar wavelet leads to a matrix sparsity of 76,2%, for a threshold of 0.1%, which means the moment matrices were rendered sparse by thresholding to zero all matrix elements whose magnitude was less then 0.1% of all the maximum magnitude of all matrix entries.

3. Conclusion The analysis of radiation pattern of large horn has been presented using two methods which are the aperture integration and wavelet-based moment method. The results obtained are very closing especial for the main lobe and the second or third one. Aperture integration can be used in combination with wavelet-based moment method if the edges are avoided. The results obtained when using wavelets can be improved when using large number of wavelets and low threshold the computing time be greater, a compromise have to be done.

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Design”, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc, New York 1997.

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Devices Modelling”, John Wiley & Sons, Inc, New York 2001.


1

ANTENNES PIFA POUR LES STANDARDS DU MOBILE DE LA TROISIEME GENERATION

Y. Belhadef, N. Boukli. Hacene, et M. Abri

Laboratoire de Télécommunications, Département de Télécommunication Faculté des Sciences de l’Ingénieur, Université Abou-Bekr Belkaïd -Tlemcen

BP 230, Pôle Chetouane, 13000 Tlemcen- Algerie Fax: 213 43 28 56 85 [email protected] [email protected] [email protected]

Résumé— Dans cette com munication, n ous nous sommes intéressés aux ant ennes miniatures, particulièrement à l ’antenne PIFA (Planar Inverted Antenna) qui pe uvent être intégrées dans l es obj ets communicants. Du fait de la taille d’un téléphone portable et des multitudes normes à c ouvrir, l es ant ennes intégrées e n t éléphonie m obile do ivent non seulement être de petites dimensions mais être aussi de larges bandes. Plusieurs techniques de miniaturisation e t d’ élargissement de bandes des petites ant ennes s ont ut ilisées pour l e téléphone por table. P armi l es pl us utilisées, existe l’ajout de résonateurs, qui est l’objet de ce t ravail. Deux antennes PIFA simulés par le simulateur Supe rNEC, à l a f réquence 2100 MHz qui couvre la norme UMTS des systèmes de la 3G, sont présentées et discutées. Mots clé : PIFA, Téléphone portable, Ajout de résonateurs parasites, SuperNEC, UMTS, Etude paramétrique.

I. INTRODUCTION

L’augmentation du nombre de standards de communication (GSM900, DCS1800, PCS1900, UMTS, Bluetooth...) durant ces dernières années, a fortement incité les chercheurs à trouver des modèles d’antennes de plus en plus complexes faisant appel généralement à des structures court-circuitées (quard-d’onde). L’élément rayonnant est généralement optimisé pour assurer le bon fonctionnement de l’antenne à la fréquence

désirée, permettant l’abaissement des modes supérieurs de l’élément quart d’onde. Pour cela, deux principes sont utilisés la plupart du temps : l’allongement des longueurs électriques et/ou la création d’effets capacitifs.

Ces dernières années, la demande des combinés compacts de téléphone mobile a été développé la plate-forme des cartes qui sont commencées à apparaître sur le marché avec des tailles fixes et l’augmentation de la mobilité électronique est développé le besoin de plus petits combinés mobiles augmentera très probablement. La taille de combiné, cependant, est limitée par la batterie et la taille de l’antenne. En outre, la nécessité d’utiliser la diversité d’antenne ou les antennes adaptatives sur le combiné de téléphone mobile pour améliorer l’exécution de récepteur augmente le besoin de petites antennes. En dernières années, les nouvelles conceptions résultant sur l’antenne planaire de F inversée (PIFA) (longueur approximativement de λ/4 avec un profil bas) peut être encore optimisée en employant des charges stratégiquement placées [1].

Cette antenne, mise au point par T.Taga et K.Tsuneskawa [2], est utilisée comme antenne de réception sur les mobiles de la norme NTT (réseau de téléphonie cellulaire Japonais). Plus couramment dénommées PIFA (Planar Inverted Antenna) dans la littérature scientifique, elles ont l’avantage d’être compactes tout en ayant une large bande passante.



2

La fréquence de résonance pour cette structure est calculée à partir de la formule suivante :

( )LH

CFr +=

4 (1)

C : Vitesse de la lumière, H : Hauteur de l’élément rayonnant et L : Longueur de l’élément rayonnant.

Compte tenu du développement actuel et

futur des systèmes de communication mobiles, les objectifs de cette communication se seront orientée vers les études paramétriques d’une antenne miniature de type PIFA en employant un logiciel de conception qui utilise une méthode numérique et en particulier la méthode des moments. II. TECHNIQUE DE MINIATURISATION

Une antenne miniature peut être obtenue en

perturbant les trajets en courants sur l’élément rayonnant. Le principe repose donc sur l’allongement des longueurs électriques. Les antennes larges bandes et multibandes sont obtenues soit en créant de nouvelles résonances, soit en perturbant les modes supérieurs des éléments en allongeant leur longueur électrique (mode fondamental également perturbé). [3].

III. RESONATEURS PARASITES

Une des techniques permettant d’obtenir un fonctionnement large bande et/ou multibande est de réaliser une antenne constituée de plusieurs résonateurs : un seul résonateur est alimenté, les autres, excités par couplage électromagnétique, sont considérés comme des

résonateurs parasites. Si l’on désire obtenir une large bande passante, il faut choisir les longueurs des résonateurs de chaque pavé du même ordre de grandeur. Si l’on souhaite plutôt travailler sur plusieurs bandes de fréquences distinctes, il faut alors dimensionner différemment chaque résonateur. L’association de plusieurs éléments rayonnants peut se faire de deux façons différentes : soit les pavés sont juxtaposés dans le même plan, soit ils sont empilés les uns sur les autres (superposés).

A. Résonateurs parasites juxtaposés

Réalisées à l’aide de plusieurs résonateurs demi-onde (Figure 2), l’inconvénient majeur de telles structures est une augmentation importante de la taille globale de l’antenne. Pour réduire les dimensions des antennes, des courts circuits plans ont alors été ajoutés d’abord sur les éléments parasites seuls puis sur les résonateurs parasites et alimenté [4]. Afin d’allonger les trajets en courants à la surface des pavés et d’obtenir une miniaturisation plus prononcée, des courts circuits de type languettes ou filaires [5] ont été utilisés à la fois sur les éléments parasites et alimenté.

Les principaux avantages de ces antennes sont une bonne efficacité ainsi qu’un rayonnement relativement identique sur toute la large bande couverte. Malgré les efforts de miniaturisation effectués, l’inconvénient majeur de ces structures reste toujours un encombrement trop important.

B. Résonateurs parasites superposés

Ceux sont des éléments rayonnants superposés de type demi-onde permettant d’obtenir une large bande passante. L’ajout de cours circuits plans à la fois entre l’élément rayonnant inférieur et le plan de masse et entre les éléments rayonnants superposés a permis

Elément rayonnant

Plan de masse

W

L

D

H

Court-circuit

Couche d’air Alimentation

Figure 1 : Schéma de la structure PIFA.

Figure 2: Résonateur parasite juxtaposé.


3

une réduction des dimensions, des antennes larges bandes [6] et multibandes. Afin d’allonger les longueurs électriques des éléments, des courts-circuits de type filaires ont aussi été utilisés (Figure 3).

Les avantages énoncés pour les éléments rayonnants juxtaposés sont également valables lorsqu’ils sont empilés.

Miniaturisation Large bande Multibande

× ×

Inconvénient : augmentation du volume de l’antenne.

IV. LOGICIEL SUPERNEC

L’interface d’entrée de SuperNEC est présentée sur la figure suivante :

Les structures complexes comme l’avion, les bateaux, les moteurs de véhicules et mêmes les structures d’antennes…etc, peuvent être modélisées sous forme des fils (segments) maillés (méthode de moment).

Le maillage de la structure est réalisé pour un nombre de cellules données mais l’utilisateur à également la possibilité d’ajouter

des points de maillage pour augmenter le nombre de cellules. Le logiciel SuperNEC permet la simulation des structures à trois dimensions avec plan de masse de dimensions finies, le substrat diélectrique quant à lui, est de dimension infinie. Après ces étapes de calculs, SuperNEC propose différents résultats pour caractériser la structure étudiée : les paramètres [S], le lieu d’impédance, le diagramme de rayonnement en deux ou trois dimensions, l’efficacité, le gain, le VSWR, les densités de courant etc.

V. ANTENNE PIFA A BANDES POUR LE

SYSTEME UMTS

Le parlement européen entend par « Système de T élécommunications M obiles Universelles (UMTS) » un système de communications mobiles de la troisième génération capable de fournir en particulier des services multimédias sans fil d’un type nouveau, dépassant les possibilités actuelles des systèmes de la seconde génération tels que le GSM, et combinant l’utilisation d’éléments terrestres et de satellites. Le but de notre étude c’est la conception d’une antenne capable de fonctionner dans ce système.

Notre exemple est simulé par le SuperNEC pour fonctionner dans la bande 2100 MHz couvrant la norme UMTS de la troisième génération.

• Géométrie

L’élément rayonnant de cette structure d’antenne est de dimension 30×30 mm et est constitué de trois pavés rayonnants disjoints mais reliés au même court-circuit plan de hauteur H = 8 mm. L’élément central, est alimenté par une sonde coaxiale de largeur de 3mm et les deux latéraux sont alimentés par couplage parasite [7]. Les résultats obtenus avec ce modèle ne sont intéressants que lorsque les deux plateaux latéraux sont inclinés. Donc l’adaptation de l’antenne est améliorée en jouant sur l’inclinaison des deux pavés parasite.

Plateaux latéraux

H = 8mm H0 =7 mm W1

W2

W3

Elément central

30 mm

30 mm

Figure 3 : Résonateur parasite superposé.

Figure 4 : L’interface d’entrée de SuperNEC.


4

Il a été difficile de déterminer quels sont les principaux paramètres qui régissent le fonctionnement de l’antenne, tel que le changement de la hauteur H0 de l’inclinaison des deux éléments parasites (H0

Sur les figures 5.((a), (b), (c)), on représente respectivement le coefficient de réflexion, les lieux d’impédance d’entrée et le diagramme de rayonnement polaire en 2D et 3D.

= 4.5 mm) avec les autres dimensions des pavées qui sont bien choisies (largeur de 5mm, 4mm, 5mm pour chaque pavé respectivement) introduit les résultats de simulation qui sont présentés par les figures ci-dessous

Sur la figure 5.(a), la puissance réfléchie correspond à -36.5 dB pour notre fréquence de

1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Ampl

itude

[dB]

Fréquence [MHz]

(a)

0 0.2 0.5 1 2 5 ∞

0.2

-0.2

0.5

-0.5

1

-1

2

-2

1800 MHz

2400 MHz

(b)

φ = 0°

Figure 5 : PIFA à bande et sa structure dans le rédacteur de superNEC.

Figure 5. (a) : Coefficient de réflexion. (b) : Lieux d’impédance d’entrée. (c) : Diagramme de rayonnement en 2D et 3D.

(c)

φ = 90°

θ =90°

3D


5

(a)

1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Ampl

itude

[dB]

Fréquence [MHz]

0 0.2 0.5 1 2 5 ∞

0.2

-0.2

0.5

-0.5

1

-1

2

-2

(b)

résonance, ce qui donne une bonne adaptation à la fréquence 2100 MHz. L’abaque montre que le lieu d’impédance d’entrée se situe au centre de l’abaque de Smith. Donc l’adaptation est bien réalisée. La bande passante est de l’ordre de 1.9%.

Le diagramme de rayonnement polaire en 2D pour le plan E, présente quatre lobes d’ouvertures différentes, dans le plan H, le rayonnement est omnidirectionnel et pour θ=90°, on remarque la constitution de deux lobes, comme le montre la figure 5.(c). De même, on présente le diagramme de rayonnement en 3D sur la même figure.

VI. ANTENNE PIFA DE TYPE T (UMTS)

• Géométrie

La géométrie de la structure ressemble à l’antenne précédente en ôtant les deux plateaux parasites et en ajoutant une autre bande rayonnante de dimension (30×3 mm) perpendiculaire à l’élément central selon la figure 6 [6].

L’augmentation de la longueur L d’élément rayonnant à 42 mm qui est alimenté par la sonde coaxiale avec une position de (10×15mm) à partir du coté supérieur de court-circuit permet d’améliorer le fonctionnement de l’antenne à la fréquence de résonance 2100 MHz.

Sur les figures 6.((a), (b), (c)), on représente respectivement le coefficient de réflexion, les lieux d’impédance d’entrée et le diagramme de rayonnement polaire en 2D et 3D.

1800 MHz

2400 MHz

φ=0°

Elément central

Court- circuit

Plan de masse

Bande rayonnante

L=30mm W =3m

m

H =6m

m

30mm

Figure 6 : PIFA de type


6

Avec le positionnement correct de la sonde d’alimentation (7mm à partir du coint de l’élément rayonnant central), une très bonne adaptation a été obtenue à la fréquence 2100 MHz, tel que le coefficient de réflexion présenté sur la figure 6.(a) à une valeur nul inférieur à -30 dB. Le lieu d’impédance d’entrée traduit aussi une adaptation parfaite à la fréquence désirée. La bande passante est assez large, elle dépasse les 28 %. Pour les diagrammes de rayonnements en 2D et 3D tracés à la fréquence de résonance 2100 MHz ils présentent presque les mêmes caractéristiques électromagnétiques que l’exemple précédent simulé à la même fréquence.

CONCLUSION

Nous avons modélisé des dispositifs rayonnants de formes géométriques différentes. La conception des ces structure conduit à des antennes miniatures et large bandes trouvant leurs applications dans des systèmes mobiles de la troisième génération est précisément la

norme UMTS. Les résultats obtenus indiquent que la simulation par SuperNEC est faite avec succès pour les différentes structures présentées précédemment. Il est certain que de nombreuses études restent à mener dans le domaine des antennes miniatures pour en avoir une connaissance aussi approfondie, leurs nombreux avantages devraient leur procurer dans l’avenir une place toujours plus importante dans les systèmes de télécommunication.

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[7] ANIS BENHSAIN « Antennes pour terminaux téléphoniques portables de nouvelles

φ=90° θ=90°

Figure 6. (a) : Coefficient de réflexion. (b) : Lieux d’impédance d’entrée. (c) : Diagramme de rayonnement en 2D et 3D.

(c)

3D


7

génération », Rapport de DEA, Université de Nice-Sophia Antipolis.

Transmission OD8PSK sur une fibre SSMF en utilisant l'Inversion Spectrale à Mi-Système

A.BENHAOUS, H.MAYACHE, S.TOUMI Laboratoire d’étude et de recherche d’instrumentation et de communication

Département: Electronique Université de Badji-Mokhtar, Annaba

Abstract—Des f ormats d e modulation d'ordre s upérieur ont été récemment employés pour augmenter la capacité, aussi bi en q ue l a distance de t ransmission dans l es systèmes de communication optiques. L'objectif principal de c et a rticle es t de prouver l a limite d es f ibres de compensation de dispersion (DCF) comme s olution pour corrigé l e p roblème de l a p hase e ngendré p ar l a dispersion chromatique et les effets non linéaires dans les systèmes O D8PSK (Optical D ifferential 8 -Level P hase-Shift K eying), de pr ouver l'u tilité d e la t echnique d’inversion spectrale à mi-système (MSSI), et co mparer leur performance d ans u n s cénario optique à c anal unique de transmission à 10Gbit/s et 40 Gbit/s en utilisant des simulations numériques (Matlab Simulink).

I. Introduction

Face à la demande sans cesse croissante en matière de débit d'information transmise dans une fibre, des nouveaux formats de modulation sont considérés comme la technique la plus efficace qui répond à cette demande. La modulation de phase quadrature différentielle à quatre niveaux (DQPSK) [1], [2] et la modulation de phase à huit niveaux (OD8PSK) [11], a été proposée et vérifié en termes de performance par les simulations numériques [3]. L’intensité du signal étant constante (l'intensité n'est pas modulée par les données), ce qui offre une meilleure tolérance à la non linéarité (XPM). D'autre part, une détection directe permet d’obtenir une structure de réception simple exempte des oscillateurs locaux nécessaire dans la détection homodyne. Cependant ce type de modulation rencontre des problèmes au cours de la propagation. En effet la dispersion chromatique et la non linéarité (SPM: self-phase modulation) affectent beaucoup la

Manuscript received February. 18, 2009. Benhaoues atef (phone: 06 67 54 29 90, email: [email protected]), Mayache hichem (email:[email protected]), Toumi salah (email:[email protected]

phase de l'onde lumineuse de la modulation OD8PSK, ce ci provoque une erreur de détection des donnés au récepteur.

Les régénérateurs optiques (2R) peuvent être utilisés comme solution pour corriger le problème de phase. Cependant, puisque la modulation OD8PSK transmet l'information par la phase du signal, (donc pas l'amplitude), la régénération d'un signal OD8PSK est donc triviale.

L'utilisation d'une fibre de compensation de la dispersion chromatique (DCF) donne de bon résultats, on arrive alors à un recouvrement des donnés transmises correctes, ceci reste vrai si on néglige l'effet de l'automodulation de phase (SPM). Malheureusement si la distance de transmission est très grande il faut prendre en considération l'effet de la SPM sur la phase.

L'inversion spectrale à mi-système (MSSI) est une technologie prometteuse pour réduire le problème de la phase dans les systèmes de transmission DPSK [4]. Ce type de modulation est semblable à la modulation OD8PSK qui utilise la phase pour transmettre l'information. Cette méthode connue aussi sous le non (Conjugateur de phase optique " OPC") compense en même temps la dispersion chromatique et la SPM.

II. Principe

Le principe de MSSI est l'inversion spectrale du spectre de signal optique au milieu du chemin de transmission. Dans la première moitié du lien, le signal se disperse, générant ainsi des impulsions distordues où les composantes rouges devancent les bleues. Ce signal dispersé subit ensuite une conjugaison de phase qui inverse son spectre optique; le bleu devient rouge et le rouge devient bleu. La forme de l'impulsion reste inchangée mais les composantes spectrales longues sont situées à l'avant et les courtes à l'arrière. Dans la deuxième partie du lien, la dispersion recomprime l'impulsion. Si la dispersion avant le conjugateur de phase est la même que celle que l'on retrouve après, l'impulsion originale sera restaurée à la fin du lien.

Aussi la technique OPC est capable de supprimer la déformation induite par la SPM. Quand un OPC est placé au milieu de la fibre, le décalage fréquentiel de la SPM (présentés dans la première partie de la fibre c'est-à-dire avant le OPC) est ajouté au signal avec un signe opposé dans la deuxième moitié.

III. Modélisation de la fibre SMF

Une simulation réelle d'une chaîne de communication optique nécessite la modélisation de quelques types de fibres utilisées dans la pratique soit la fibre conventionnelle (SMF), et les fibres utilisées pour la compensation de la dispersion chromatique (DCF, DSF, NZDSF).

On a choisi l’outil Matlab-Simulink comme outil de simulation, pour simuler une chaîne de communication optique (sources, récepteurs et la fibre optique) et simuler notre méthode de compensation. Une méthode basée sur les fonctions de transfert permet facilement de modéliser la fibre SMF et quelque d'autres types de fibre. Ce modèle suppose que la fibre SMF possède sa propre fonction de transfert, d’où la multiplication de la transformée de Fourier de l'onde optique par cette fonction de transfert c'est-à-dire: ).(ˆ).()(ˆ f

inXfHf

outX =

On donne la fonction de transfert d'une fibre mono mode pour le terme de la dispersion est [6] :

).exp()2

22exp()( LfDi

LifH λπ

ωβ−=+= (1)

Où D est la dispersion chromatique, λ est la longueur d'onde, c vitesse de lumière (f=c/ λ) et L la longueur de transmission. Par conséquent, la fibre est un filtre linéaire avec une atténuation et un déphasage dépendant de la longueur de la transmission et de la valeur de la dispersion. Pour une modélisation d'une fibre SMF on prend la valeur de la dispersion donnée par ITU; D(λ)SMF=+17ps/nm.km à1550nm, et une atténuation α en dB de 0.2dB/km, ceci implique un total d'atténuation de puissance optique de16dB après 80km.

Pour notre simulation on prend une longueur de 80 km et 160 km. Pour une fibre DCF (Dispersion Compensating Fiber), il suffit de changer la valeur "Dsmf" pour prendre la valeur par exemple D(λ)DCF

.)exp(1

,2

)0,( ,où

)exp()(

α

α

γφ

φ

zeffL

TAinPeffLinPNL

NLifH

−−=

==

−=

=-85ps/nm.km (dispersion négative pour compenser la dispersion chromatique positive de la fibre SMF) et une longueur plus petite (L = 16 km) avec une perte de 0.5dB/km.

Pour les effets non linéaires (la SPM) une modélisation non linéaire NLFM peut être implémentée:

(2)

Le déphasage non linéaire dépend de la puissance d'entrée Pin.

La simulation finale d'une fibre optique avec ses effets linéaires et non linéaires est représentée par la figure 1.

Fig 1. Modélisation de la fibre optique en matlab simulink.

Dans notre simulation on suppose que les autres effets non linéaires (FWM, Raman et Brillouin) sont négligeables et on néglige aussi la dispersion modale de polarisation.

IV. Résultat de la simulation dans une configuration monocanal

Cette partie est consacrée à l’estimation des performances de la technique de compensation proposée, à savoir le MSSI par rapport aux fibres de compensation de dispersion (DCF) qui sont majoritairement utilisées dans les systèmes commerciaux (systèmes de transmission optique DQPSK et OD8PSK).

Afin d’estimer à la fois la performance des deux techniques de compensation et leur comparaison, nous avons choisi la comparaison de la différence de phase avant et après propagation.

D'abord nous considérons une transmission sur fibre SMF de 80 km sans module de compensation DCF.

Fig 2. Différence de phase du signal avant et après

propagation

La figure 2 montre, qu’à l’absence du module de compensation de dispersion chromatique, la dispersion chromatique corrompt la différence de phase entre les symboles transmis, où on voit que la différence de phase après propagation (courbe bleue) est différente de la différence de phase avant propagation (courbe verte). Ceci implique qu'il y a une détection incorrectes de la différence de phase c'est-à-dire une conversion phase-intensité incorrecte où un recouvrement de données erroné. Toute information reçue sera donc totalement déférente de celle transmise.

Pour lutter contre ces dégradations, il faut disposer d’une fibre ayant une dispersion chromatique de signe opposé. Plusieurs de ces fibres DCF existent avec des caractéristiques assez variées. Une étude a été menée, pour déterminer le meilleur couple de fibres optiques, et deux conditions devaient être respectées pour former ces couples : une dispersion chromatique cumulée nulle et une atténuation cumulée du signal égale à 24 dB. Les caractéristiques retenues des couples de fibres sont alors présentées par le tableau suivant :

Paramètres de la fibre

Tableau 1. Paramètres caractéristiques du couple de fibres simulées.

SMF DCF

Longueur (km) 80 16

Atténuation (dB/km) 0,2 0,5

Dispersion (ps/nm/km) 17 -85

Effet Kerr Oui Oui

Effet Raman Non Non

Coefficient de non linéarité (m22,7.10/W)

7.10-20 -20

Aire effective de la section (µm280 )

30

La figure 3 montre qu’avec la compensation de

dispersion par un facteur de -85 ps/nm.km et une longueur de DCF de16 km, la dispersion induite par le SMF sur le signal transmis est complètement égalisée. La différence de phase au récepteur après propagation est égale à la différence de phase juste après l'émetteur (avant propagation), ceci implique une reconstitution correcte des données.


propagation (utilisation des DCF)

Cependant le résultat montré ci-dessus est obtenu si on ne considère que l'effet de la dispersion chromatique. Dans notre cas nous allons étudier l'effet de la non linéarité (l'auto modulation de phase) sur la performance de ce type de modulation. En effet la SPM seule n'est pas gênante puisqu’elle est faible, mais le bruit d'émission spontanée amplifiée (ESA) des amplificateurs de fibre dopée erbium (EDFA) provoque un changement de l'intensité optique qui est convertie en fluctuations de phase [8] par la non linéarité de Kerr (SPM). Ce bruit de phase, habituellement désigné sous le nom du bruit de Gordon Mollenauer, altère la performance d'un système de transmission OD8PSK. Dans un premier temps on garde la fibre de compensation de la dispersion chromatique (DCF) pour illustrer sa limite à ce problème de non linéarité. Il est clair que les résultats obtenus auparavant changent de façon significative (Fig 4).


propagation (utilisation des DCF en présence des effets non linéaires).

La figure 4 illustre que le module de compensation de la dispersion chromatique (DCF) n’est pas suffisant pour compenser toutes les pénalités des effets non linéaires la différence de phase au récepteur après propagation est différente à la différence de phase juste après l'émetteur (avant propagation). L'auto modulation de phase par ses propriétés corrompt la phase qui porte l'information dans le cas de la modulation OD8PSK et va induire des erreurs de la détection au niveau du récepteur. En effet le problème de la phase augmente si la non linéarité de la fibre de compensation DCF est introduite, et comme l'aire effective de la DCF est très petite (tableau1), les effets non linéaires vont augmenter. L'inversion spectrale à mi-système (MSSI) est une technologie prometteuse pour compenser simultanément la SPM et la dispersion chromatique [9]. Le grand avantage de l'utilisation de cette technologie réside en sa réalisation sans employer des modules de compensation de la dispersion (DCF), ce qui simplifie beaucoup la conception d'un système de communication otique. On évite alors les grandes pertes des fibres DCF, ceci à pour résultat le nombre réduit des amplificateurs optiques c'est-à-dire un coût faible et un bruit ASE faible. Notre idée pour simuler cette technique en Matlab Simulink est simple ; Il suffit de mettre un bloc au milieu de la fibre qui prend le conjugué du signal OD8PSK, distordu par la dispersion chromatique et les effets non linéaire (Fig 5).

Fig 5. Simulateur optique en Simulink d'un système

conjugateur de phase (OPC).

La longueur d'onde du signal conjugué est donnée par la relation suivante:

spcωωω −= *2 (3)

Où sω est la longueur d'onde du signal (1550 nm),

pω est la longueur d'onde de la pompe (1546.12 nm), c'est-à-dire un signal conjugué se propage dans la deuxième partie de la fibre par une longueur d'onde de 1542.24 nm. Dans nos simulations, on suppose que le MSSI est idéal, ce qui signifie que le signal n'est pas distordu par la FWM. La figure 6 montre l'implémentation de la technique OPC dans notre système de transmission optique.

Fig 6. Une chaîne de transmission optique (RZ-DQPSK,

OD8PSK) avec un OPC pour la compensation.

Dans un premier temps on valide les résultats obtenus par cette technique pour un débit de 10Gbit/s et une longueur de fibre de 80km. La figure 7 montre le résultat après la simulation. La différence de phase résultante par cette technique de compensation après propagation est la même que la différence de phase avant propagation comme nous pouvons le constaté, ce qui signifie l'absence d'une distorsion induite par la dispersion chromatique et l'automodulation de phase (SPM), c'est-à-dire par cette technique nous obtenons une compensation total de la dispersion chromatique et l'automodulation de phase (SPM), et ce par un seul dispositif placer au milieu de la fibre. Par conséquent une réduction du coût et de l’encombrement dans un système optique, et une correction du problème de la phase de la modulation OD8PSK, pour arriver à une bonne récupération des donnés transmises par ces types de modulation.

Fig 7. La différence de phase du signal avant et après

propagation (utilisation de la technique MSSI).

Une compensation totale de l'automodulation de phase signifie aussi que tout le bruit de phase (bruit de Gordon Mollenauer) est supprimé. Signalons ainsi que la perte est réduite, puisque seule la perte de la fibre de propagation (SMF) est considérée ce qui réduit le nombre des amplificateurs, ainsi que le bruit ASE.

On essai maintenant d'augmenter la distance de transmission de 80km à 160 km, avec un débit de 40 Gbit/s. Les systèmes à 40 Gbit/s constituent la prochaine génération des systèmes de transmission à très haut débit sur la fibre optique. Encore marginaux pour le moment, les experts prévoient cependant un déploiement massif à l’horizon 2010 dans le cadre du renouvellement des coeurs de réseaux de transport terrestres et sous-marins déployés au début des années 2000.

Fig 8. La différence de phase du signal avant et après propagation (utilisation de la technique MSSI sur une

distance 160 km pour un débit de 40Gbit/s).

La figure 8 montre que la technique MSSI est transparente au débit et à la distance de transmission même en présence des effets non linéaires (SPM). Il est clair que cette technique peut compenser la dispersion chromatique et l'automodulation de phase pour un débit de plus de 10 Gbit/s et une distance de plus de 80km dans les systèmes OD8PSK sans l'introduction d'aucune autre technique de compensation.

V. Conclusion

Nous avons prouvé qu'un MSSI peut être utilisé pour compenser la SPM et la dispersion chromatique simultanément dans les systèmes de transmission PSK. En outre, la performance de système, OD8PSK à10, 40Gb/s est comparée pour les systèmes MSSI et DCF. Nous avons prouvé que la performance de l'arrangement basé sur les fibres DCF est altérée par l'effet non-linéaire SPM, tandis que la performance de la transmission basée sur la technique MSSI est pratiquement inchangée. Ceci indique que le bruit non-linéaire de phase est efficacement compensé dans la configuration MSSI. Cette technique montre aussi la supériorité au niveau de coût, une transparence au débit et distance de transmission. Ces résultats montrent

aussi qu’avec un seul composant (MSSI) placé au milieu de la fibre on peut éviter la compensation périodique par les fibres DCF ce qui, abaisse le coût et l’encombrement d'un système à 10-40Gbit/s de longue distance.

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MODELISATION DES RESEAUX DE BRAGG UNIFORMES ET PARTICULIERS

R. Hedara et M .Chikh-BledLaboratoire de télécommunication, Département de télécommunication

Faculté des Sciences de L’ingénieur, Université Aboubekr Belkaïd Tel: 213 43 28 56 89, Fax: 213 43 28 56 86

[email protected]

[email protected]

Résumé La principale fonction d’un réseau de Bragg est le filtrage. On peut le rencontrer dans les composants à base de fibres optiques ou bien à base de semi- conducteurs passifs ou actifs. Dans ce travail, on présente les principaux résultats obtenus lors de l’analyse des différents types de réseaux de Bragg par la méthode des modes couplés

Mot cl és : optique intégrée, WDM, Réseau de Bragg, guide d’onde, Télécommunications optiques

1. Introduction

Les composants optoélectroniques apparaissent comme les acteurs clés entrant dans l’architecteur des systèmes des télécommunications sur fibre optiques , car ils sont présents à tous les niveaux de la transmission d’une information, en effet pour permettre le transport de l’information d’un point à l’autre, il est nécessaire d’avoir à l’émission, une source laser permettant de générer des signaux sous forme d’une onde optique cohérente. Il faut ensuit un modulateur optique qui code l’information à transmettre en niveau d’intensité (« 0 » et « 1 » optique).

La fibre optique servent ensuit de milieu transmission. Malgré les progrès important réalisé dans le but de diminué les pertes de propagation dan les fibres optiques. Il est nécessaire d’amplifier le signale au cours de sa propagation, de manier à compenser les pertes induites par la fibre [1].

La diminution de l’encombrement spectral a permis de faire évaluer le mode de transmission et ainsi d’augmenter la capacité des réseaux en utilisant plusieurs l’longueur d’onde dans une même fibre optique. On parle alors de multiplexage en longueur d’onde. Celle qui consiste à former plusieurs canaux de transmission indépendants : chaque canal correspond à une longueur d’onde qui est envoyée dans la fibre. Le démultiplexage est l’opération inverse qui permet de séparer et récolter les signaux provenant des différents canaux.

La longueur d’onde de ces canaux est située autour de 1.55μm, la bande de faible atténuation dans les fibres optiques.

Dans les réseaux optiques actuellement installés, les lasers DBR jouent parfaitement le rôle d’émetteur. Néanmoins, les contraintes imposées aux télécommunications, ainsi que l’émergence de nouvelles applications favorisent l’application de sources lasers de nouvelle génération.

2. Généralité sur les réseaux de Bragg

L’intérêt pour l’étude des structures périodiques est ancien et la propagation des ondes dans un milieu périodique est un phénomène bien connu dans le domaine de la physique du solide. La propagation d’une onde électromagnétique comme la lumière dans un guide d’onde présentant une périodicité est un phénomène tout à fait similaire, à la différence que cette onde est alors confinée et que les interactions n’interviennent plus que dans une seul direction, celle de la propagation. L’introduction d’une telle modulation

périodique dans des structures guides d’onde a donné naissance à de nombreux dispositifs comme les filtres optiques. Un réseau de Bragg dans une fibre optique est une variation périodique de l’indice de réfraction dans le cœur qui est le milieu dans lequel se propage le signal optique [2]. La modulation périodique introduite dans un guide d’onde passif est celle de l’indice de réfraction d’un ou de plusieurs de ses matériaux constitutifs. On parle dans ce cas de réseau volumique comme le montre la figure Fig. 1. (b). Une technique applicable aux semi-conducteurs, pour lesquels les effets présentés auparavant ne sont pas suffisants, consiste à introduire une modulation périodique par l’intermédiaire d’une corrugation physique dans la structure du guide d’onde par des techniques de gravure On parle alors de réseau surfacique. Comme le montre la figure Fig. 1. (a).

Fig. 1. (a) Réseau surfacique

(b) Réseau volumique

Le réseau de Bragg peut également être plus court et être intégré plus facilement que les composants à base de fibre dans les circuits photoniques. Les phénomènes physiques mis en jeu dans un réseau de Bragg et leur analyse

théorique sont toutefois identiques pour tous les profils. Une fine corrugation périodique gravée à la surface d’un guide d’onde par ailleurs uniforme crée un couplage entre la lumière se propageant dans le sens aller et celle se propageant dans le sens retour. Le réseau est alors analogue à un miroir constitué par l’empilement périodique de couches de diélectriques présentant des indices de réfraction différents.

Fig.2. (a) Schéma d’un réseau surfacique (b) Le miroir constitué de fines couches 3. Coefficient de réflexion d’un réseau de Bragg Le réseau de Bragg présenté une réflectivité maximale pour la longueur d’onde vérifiant la condition de Bragg [4].

Λ= effB n2λ (1)

λB

n

: longueur d’onde de Bragg

eff

Λ : la période de Bragg

: l’indice effectif du mode optique

On obtient donc, l’expression de la réflectivité maximale d’un réseau de Bragg uniforme.

( ) )(tanh 2 kLRR BMAX == λ (2)

1000 1200 1400 1600 1800 2000 22000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

λ nm

R

1000 1200 1400 1600 1800 2000 22000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

λ nm

R

La réflectivité maximale dépend directement de la valeur du produit kL . a partir de la on peut définir deux type de réseaux : les réseaux à couplage dit fort et les réseaux à couplage dit faible

Fig. 3. Facteur de réflexion R à la longueur d’onde de Bragg en fonction du Coefficient de couplage

.3.1. Cas de couplage faible Quand le produit kL est plus petit que 1, la réponse spectrale en réflexion du réseau de Bragg présente un profil proche de celui du carré de la fonction sinus cardinal centré sur la fréquence de Bragg. 5.0=kL Figure.4. Réponses spectrales en réflexion. Cas du

couplage faible ( )1≤kL

3.2. Cas de couplage fort Quand le produit kL est largement supérieur à 1, le profil du spectre en réflexion présente un plateau à R=1 de plus en plus prononcé au fur et à mesure lorsque kL augmente.

Dans ce cas, le réseau présente une très forte réflectivité. Il apparaît également une bande de longueur d’onde, appelée bande interdite, ou stopband, pour laquelle la

lumière est considérée comme totalement réfléchie. Celle-ci est centrée sur la longueur d’onde de Bragg (λB

=1550).

5=kL Figure.5. Réponses spectrales en réflexion. Cas du couplage fort ( kL >1). 4. Miroir à empilement de couches [3]. Il faut calculer le coefficient kL avec une différence d’indices LH nnn −=∆ et indice effectif. Ce qui donne :

( )22

2

LH

LH

nnnnNLnkL

+

+=

∆=

λ

(3)

Figure.6. Facteur de réflexion d’un empilement de N périodes H(GaAs)-L(AlAs) avec nH=3 et nL

nmB 1550=λ=3 et

La bande passante du miroir correspond au stop-band défini plus k=∆β qui constitue la bande passante de filtrage optique. La sélectivité du filtre augmente pour des valeurs croissantes de kL , c'est-à-dire pour un grand nombre de couches N. On remarque aussi les oscillations autour de la bande passante.

5. Réseaux de Bragg particuliers

Jusqu'à présent nous avons considéré que les réseaux est parfaitement périodique le long de la structure, avec des point de départ et de fin bien définis. Souvent, soit par sa conception même soit à cause des techniques de fabrications utilisées, le réseau de Bragg dévie un peu de cette structure parfaite.

L’utilisation des réseaux de Bragg dans les différents composants optiques, dans sa forme la plus simple, à savoir le réseau uniforme, est très variée. Toutefois, l’émergence des nouvelles fonctions des composants passifs et actifs demande des réseaux plus performants. C’est pourquoi des réseaux plus particuliers que sont les réseaux échantillonnés et les réseaux verticaux deviennent nécessaires.

6. Réseau de Bragg Echantillonné

Un réseau échantillonné consiste en un réseau droit, à une longueur d’onde probablement définie, multiplié par une fonction d’échantillonnage. Il est possible de modéliser la réflectivité complexe d’un réseau échantillonné à partir de la Théorie des Modes couplés ou de la Théorie des Matrices de transfert, mais il faut avant tout définir les paramètres clés qui viennent modifier ses propriétés en phase et en amplitude.

Un réseau échantillonné est un réseau classique dont on enlève périodiquement des portions. En d’autres termes, il s’agit d’une alternance entre des sections avec réseau et des sections sans réseau comme le décrit la figure.

Un réseau de Bragg à la longueur d’onde λB (définie par le pas Λ e t l’indice effective neff), et localisé sur une longueur Z1 0k avec un coefficient de couplage .Le réseau est ensuite répété m fois (nombre de période d’échantillonnage) avec une période Z0. La longueur totale du réseau échantillonnée est donc LTot= mZ0. La réponse spectrale de ce réseau étant la

Transformée de Fourier de son profil d’indice. Le résultat donne un peigne de réflecteurs de Bragg, espacés régulièrement de la fréquence d’échantillonnage ISLSBG

02 ZncISL

effSBG =

le plus souvent exprimée en GHz.

(5)

6.1. Description du modèle

La multiplication d’un réseau de Bragg par une fonction d’échantillonnage permet d’obtenir un réseau échantillonné. Les composantes de Fourier du réseau échantillonné peuvent être obtenues par la convolution de la composante de Fourier d’un réseau de Bragg par un peigne de composantes de Fourier d’une fonction d’échantillonnage.

Fig. 5. Réseau Echantillonné de l’espace des réels à l’espace de Fourier La réflectivité de cette structure peut être obtenue à partir de la théorie des modes couplés, qui prédit que chaque composante spatiale de la décomposition en série de Fourier de la permittivité engendre un pic dans le spectre global des réflexions. La qième composante ∆ε(q) relative au réseau échantillonné est reliée à l’unique composante de Fourier ∆ε0

du réseau non échantillonné par la relation [5]:

]/exp[/

/sin)( 01

01

01

0

10 ZqZj

ZqZZqZ

ZZq π

ππ

εε −∆=∆

(6)

BΛ

R

TF

RE

1/Λ

Si le coefficient de couplage des portions de réseau est 0k , alors le coefficient de couplage de la qième composante de Fourier du réseau échantillonné total est :

]/exp[/

/sin)( 0101

01

0

10 ZqZj

ZqZZqZ

ZZkqk π

ππ

−=

(7)

Il est possible de connaître le coefficient de réflexion du champ dans un réseau de Bragg, en introduisant le coefficient de couplage ( )qk du réseau échantillonné, il est alors possible de connaître la réflectivité complexe du réseau échantillonnée.

∑− ∆−

=q

q TotTot

Tot

LqQqjLqqQLqQqjk

r))(sin()())(cos()(

))(sin()()(

*

βθλ

0

2)(

Zqn

q eff ππλ

πβ −

Λ−=∆

;

222 )())(())(( qkqqQ −∆= β

L’évolution du champ dans une structure périodique est décrite par sa réflectivité complexe. Les paramètres permettant de modifier les propriétés spectrales sont la longueur totale du réseau LSBG,

( )qk le

coefficient de couplage du réseau , la période d’échantillonnage Z0 et le rapport d’ouverture h. L’influence de ces paramètres peut être modélisée dans un réseau échantillonné mais aussi dans le cas particuliers d’un réseau Bragg non échantillonnées avec un rapport d’ouverture unité (Z0=Z1

2

22

2

)()(Totg

bw Lqk

nq π

πλλ +=∆

). On peut définir également la largeur de bande du pic q entre deux zéros par :

(9)

6.2. Simulation d’un réseau de Bragg

Échantillonné

Deux paramètres supplémentaires définissant la fonction d’échantillonnage (rapport d’ouverture h, période d’échantillonnage Z0

Les modélisations ci-dessous correspondent aux caractéristiques typiques de réseaux échantillonnés, gravés dans l’InP [6] [7].Ces dimensions largement étudiées et optimisées sont Z

).La modélisation

permet de calculer la réflectivité complexe d’un réseau échantillonné en phase φ[λ]= Arg[r[λ]] et en amplitude.

0 0k= 450μm, =150cm-1

et h=10%.

Fig. 6. (a)Phase (rad) dans un réseau échantillonné

(b)Réflectivité (Amplitude) dans un réseau

Échantillonné

La modification d’un seul paramètre modifie l’ensemble des propriétés du réseau échantillonné.

Fig. 7. Influence du ( 0k , m, h) sur la réflectivité

maximale et la passante

1500 1510 1520 1530 1540 1550 1560 1570 1580 1590 16000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

longueur donde (nm)

R

La variation de coefficient de couplage permet d’augmenter la réflectivité du réseau ainsi que la bande passante des pics.

De plus, le rapport d’ouverture modifie l’enveloppe du réseau échantillonné (nombre de pics dans l’enveloppe), mais modifie aussi la réflectivité.

Le nombre de périodes et par conséquent la longueur du réseau échantillonné va augmenter la réflectivité du réseau et permet de diminuer la bande passant des pics.

L’intérêt d’un réseau échantillonné est d’obtenir une structure qui présente un coefficient de couplage effectif faible. D’un point de vue technologique, il est difficile d’atteindre des valeurs de coefficients de couplages faibles. La largeur de bande du pic de réflexion dépend directement de la valeur du coefficient de couplage effectif de la structure. Ainsi si on a une très petite valeur du coefficient de couplage, tout en conservant une longueur de structure correcte, on obtiendra un pic très étroit et donc très sélectif, ce qu’est intéressant dans les systèmes de multiplexages denses en longueur d’onde (DWDM).

Nous avons vu ici les principaux avantages qui sont offerts par les réseaux particuliers que sont les réseaux échantillonnés. Toutefois nous avons vu également que leur utilisation nécessite des compromis qui peuvent s’avérer parfois difficiles.

7. Conclusion

L’objectif de ce travail est d’étudier des structures intégrées de types réseaux de Bragg périodiques ou échantillonnés.

Les réseaux de Bragg sont des composants présents dans les systèmes de télécommunications. Ils sont idéaux une fois utilisés en association avec des lasers à fibre, des amplificateurs à fibre ou des diodes Laser. En outre leur grande

flexibilité et leur conception les rend très intéressants pour des applications aux besoins de l’utilisateur [8].

References

[1] Brackett, C.A; « Dense W avelength Division Multiplexing networks: principles and appl ications», IEEE Journal of selected areas in communications, 1990, Vol 8, N°8, p.948-964.

[2] S.Garidel, « Fabrication des réseaux de Bragg par ticuliers par l ithographie électronique : appl ication à l a r éalisation de di spositifs p hotoniques e t optoélectroniques s ur matériaux de l a filière InP »,Thèse de doctorat, Lille, 2004.

[3] Zeno. T ; «Optoelectronique-composants photonique et fibres optiques», Ellipses-2001.

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[5] A.Yariv; « Coupled-mode t heory f or guided-wave opt iucs», IEEE journal of Quant um electronics Volume: 9 Issue: 9, septembre 1973, page: 199-933.

[6] Bjork. G, Nilsson. O; «Anew exact and coefficient num erical m atrix the ory of complicated l aser s tructures: pr oprieties of as ymmetric phas e-shifted DFB las ers», journal of light wave technology, volume: 5 Issue: 1, Jan 1987, page: 140-164.

[7] Mason. B, Barton. J, Fish. G.A, Coldren. L.A, Denbaars. S.P; «Design of sampled». ²

[8] Pierre Aschieri; «Introduction aux

télécommunications opt iques», note cours

optique université Nice version 12, 2004.

Influence des paramètres de substrat sur le rayonnement d'une antenne microbande rectangulaire

F. Chebbara Département de l'électronique, université

de Batna, 05000 Batna, Algérie

T. Fortaki Département de l'électronique,

université de Mentouri, Constantine.

[email protected]

Abstract – Dans ce travail, le problème de l’influence des paramètres de substrat sur le rayonnement d'une antenne microbande rectangulaire est rigoureusement formulé en utilisant une équation intégrale. Une nouvelle approche pour la détermination du tenseur spectral de Green pour le cas d’une structure d’antenne microbande rectangulaire. Les fonctions sinusoïdales issues du modèle de la cavité sont utilisées pour développer la distribution inconnue du courant sur le patch rectangulaire. La convergence numérique des résultats est discutée en détail. Mots cl és : substrat, patch, plan de masse, isotrope, méthode de Galerkin, le modèle de Cavité, antenne microbande rectangulaire. 1. INTRODUCTION

En anglais (MPA)-Microstrip patch antennas- ce type d’antenne est constitué d’une bande conductrice de forme planaire quelconque, gravée sur un substrat diélectrique reposant sur un plan de masse. Comparativement avec les antennes micro-ondes classiques, l’antenne microbande présente des avantages différents qui mènent à plusieurs applications dans l’intervalle de fréquence de 100Mhz à 50Ghz. De tels avantages incluent la petite taille, le poids léger, coût bas de production, une mise en montage sur missiles, roquettes et satellites sans beaucoup de déformation, une compatibilité avec des dispositifs à état solide comme les oscillateurs les et les atténuateurs variables [1].

Des nombreux travaux ont été effectués sur l'influence des paramètres de substrat sur la fréquence de résonnance de l’antenne microbande, cependant, l'effet des paramètres de substrat sur le rayonnement du MPA n’a pas été rapporté dans la littérature ouverte.

Dans cet article, une analyse rigoureuse d'une antenne microbande rectangulaire montrée dans la Figure 1 est illustrée en utilisant une équation intégrale dans le but de déterminer les caractéristiques de l’antenne. La résolution sera faite par la procédure de

Galerkin. Le théorème de la phase stationnaire sera utilisé pour le calcul du champ rayonné en zone lointaine. Dans ce manuscrit on va valider les résultats du champ rayonné par comparaison avec les donnés disponibles dans la littérature [2]. La dépendance du champ rayonné en zone lointaine en fonction des différents paramètres du substrat sera présentée. Enfin une comparaison entre le rayonnement des deux premiers modes fondamentaux sera faite.

2. THEORY

La géométrie de la structure à étudier avec le système d’axe considéré est représentée dans la Figure 1. La plaque rayonnante de longueur a et de largeur b est imprimé sur un substrat diélectrique isotrope d’épaisseur d, de permittivité ε et de perméabilité μ0, ce dernier est gravé sur un plans de masse considéré infini et parfaitement conducteur. Au dessus de la plaque se trouve l’aire qui se caractérisé par ( ε0 ,μ0

).

Figure 1 Géométrie d’un patch rectangulaire imprimé sur un substrat isotrope.

Z1=Z=d

Z0=Z=0

Y

X

Z

b

a

Air

Substrate

00 ,µε

0,µε

+

-

+

-

Assumant une variation tie ω

du temps et à partir des équations du maxwell dans le domaine de transformée de Fourier, nous pouvons prouver que les champs transversaux à l'intérieur de la région isotrope peuvent être écrits en fonction de composants longitudinaux

zE~ et zH~ [3].

zy

zx

x HKs

KE

zKsiK

E ~~~22

ωµ+

∂∂

= (1)

zx

zy

y HKs

KE

zKsiK

E ~~~22

ωµ−

∂∂

= (2)

zy

zx

x EKs

KH

zKsiK

H ~~~22

ωε−

∂∂

= (3)

zx

zy

y EKs

KH

zKsiK

H ~~~22

ωε+

∂∂

= (4)

222yx KKKs +=

Après quelques manipulations simples, nous pouvons convertir (1) - (4) en:

∂∂

⋅

−

=

=

z

z

xy

yx

y

x

HKs

zE

Ksi

KK

KK

KsE

E

E

~

~

1

~

~

~

ωµ

(5)

∂∂

−

=

−

=

z

z

xy

yx

x

y

HzKs

i

KsE

KK

KK

KsH

H

H

~

~

.1

~

~

~

ωε (6)

La forme générale de zE~ et zH~ est :

iKzZiKzZz eBeAE +− += 11

~ (7)

iKzZiKzZz eBeAH +− += 22

~ (8)

En substituant les expressions de zE~ et zH~ donner par (5) et (6) dans (7) et (8) on aura :

iKzZiKzZ eBeAZKse +− +=),( (9)

[ ]iKzZiKzZ eBeAKsgZKsh +− −⋅= )(),( (10)

En écrivant les équations (9) et (10) dans les plans z=zj-

1 and z=zj

⋅=

+−

+−

−

−

),(

),(

),(

),(

1

1

Jj

jj

j

jj

jj

ZKsh

ZKseT

ZKsh

ZKse

,et par élimination des inconnus A et B, nous obtenons une matrice de cette forme :

(11)

avec:

=

2221

1211

jj

jj

j

TT

TT

T

jzjj

jjj

jjj

dk

Igi

giI

=

−

−

=

−

θ

θθ

θθ

,

cossin

sincos1

Les équations de continuité pour les composants du champ tangentiels sont :

),(),( 1+

+− = jjjj ZKseZKse

(12))(),(),( 1 jjjjj ZjZKshZKsh =− +

+−

(13)

En utilisant (12) et (13) dans (11) on obtient :

−

⋅=

++

++

+

+

)(

0

),(

),(

),(

),(

1

1

jjj

jj

J

jj

jj

ZjZKsh

ZKse

T

ZKsh

ZKse

(14)

À partir des simples manipulations, nous obtenons le tenseur spectral de Green G relie le champ électrique tangentiel avec le courant dans le plan du patch :

JGE~~⋅= (15)

Tell que G est le tenseur spectral de Green dans la représentation (TM, TE), est donné par

−

⋅⋅

−

=

xy

yx

xy

yx

KK

KK

KsQ

KK

KK

KsG 11

(16)

avec: 1

01

12

122

1 )(−

−

−= gTTQ

Les conditions aux limites sur le patch permet d’exprimer l’équation intégrale du champ électrique et ce via la transformation inverse (retour au domaine spectral), ensuite la méthode des moments / procédure de Galerkine est utilisée pour discrétiser cette équation afin de la ramener à un système linéaire d’équation algébrique. [4]

yxyKxKi

yxyxxxx dKdKeJGJGyxE yx )(2 ]~~[

41),( ++∞

∞−∫ ∫ +=π

(17)

yxyKxKi

yyyxyxy dKdKeJGJGyxE yx )(2 ]~~[

41),( ++∞

∞−∫ ∫ +=π

(18)

Pour obtenir une bonne convergence, un choix sensé de fonction de base s’avère nécessaire. Pour ca, nous avons utilisé les fonctions de base constituées par les modes de TM du modèle de cavité simple.

),(),(1

yxJayxJ N

n xnnx ∑ == (19)

),(),(1

yxJbyxJ M

m ymmy ∑ == (20)

Ainsi, l'équation intégrale est discrétisée sous une forme matricielle [5]:

=

⋅

×

×

××

××

0

0

)(

)(

)()(

)()(

1

1

43ln

21

Mm

Nn

MMlmNM

MNkmNNkn

b

a

ZZ

ZZ (21)

Le système d’équation est homogène, donc une solution non triviale est atteinte quand le déterminant de la matrice Z s’annule.

(22)

Avec (Z) est la matrice dans (21). La solution de l’équation (22) conduit à une fréquence de résonance complexe ir jfff += . rf est la fréquence de

résonance et la partie imaginaire if traduit les pertes par rayonnement. Le facteur de qualité est définit par

r

if

fQ 2= [6].

Le champ électrique rayonnée est obtenu à partir de la transformée de Fourier inverse.

( ) yxKyKxKdiK

yx KdKeedKKEE zyxz )(12

010,,4

1 +−−−+∞

∞−∫ ∫=

π (23)

Le théorème de la phase stationnaire permet d’évaluer l’expression(23) dans le cas limité où r tend vers l’infini (champ rayonnée en zone

( )ϑφφπ

θ ˆ)sin),,(~cos),,(~(2 11

cos0

100

dKKEdKKEer

eiKE yxyyxxdiK

riK

+×=−

( )φϑφφπ

θ ˆcos)sin),,(~cos),,(~(2 11

cos0

100

dKKEdKKEer

eiK yxxyxydiK

riK

+×+−

3. DISCUSSION DES RESULTATS NUMERIQUES OBTENUS.

Tout d’abord afin de valider nos résultats numériques on a considéré un patch de dimension : longueur a= 60mm, largeur b= 40mm, imprimé sur un substrat appelé Plexiglass d’épaisseur d= 0.8mm et de permittivité diélectrique relative εr =2.6 (1-i0.02). La Figure 2 montre que pour le premier mode TM10

2πφ =

, le diagramme de rayonnement dans le

plan suit une loi en cosθ. Tandis que dans

les plans 4πφ = et 0=φ le rayonnement pour des

angles θ proches de l’horizontal demeure très important. On note que les champs rayonnés dans ces plans sont similaire à ceux de J. R. MOSIG et al [7] obtenus par la théorie des réseaux.

L’effet de l’épaisseur du substrat sur le rayonnement des deux premiers modes fondamentaux dans le plan 0=φ est étudié dans les figures 3et 4. Le patch est de dimensions 4cm*3cm et le substrat est appelé Duroid de permittivité εr

Dans les figures 5 et 6, on étudie l’influence de la constante diélectrique du substrat sur le rayonnement des deux premiers modes fondamentaux dans le plan

=2.32. On observe pour les deux modes que la réduction dans l’épaisseur du substrat a pour effet de rendre le champ rayonné moins important. Donc il est avantageux de travailler avec des substrats de grandes épaisseurs, cependant il faut faire un compromis entre l’augmentation du champ rayonné et le problème des ondes de surface.

0=φ . Les substrats

considérés (Duroid, Mylar et Espilam-10) ont des constantes diélectriques égales à 2.32, 3 et 10. On constate que l’augmentation de la permittivité du substrat se traduit par une diminution du champ rayonné, ceci est probablement du aux ondes de surface qui se manifestent pour les diélectrique de permittivité élevée [8]

La figure 7 illustre la comparaison entre le rayonnement des deux premiers modes fondamentaux. Les résultats indiquent que le mode TM01 rayonne de façon efficace comparativement au mode TM10

. Ce résultat est semblable à celui déterminé dans [2] à partir de la partie imaginaire de la fréquence de résonance complexe.

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

θ

E

TM01

TM10

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Φ=0

Φ=π/4

Φ=π/2

θ

E

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

d=0.6cm

d=0.4cm

d=0.2cm

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

d=0.6cm

d=0.4cm

d=0.2cm

E

θ

E

θ

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1E

θ

εr=2.32

εr=3

εr=10

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

E

εr=2.32

εr=3

εr=10

θ

Figure2. Diagramme de rayonnement de l’antenne pour le mode TM

10

Figure3. Influence de l’épaisseur du substrat Duroid sur le rayonnement de l’antenne pour le mode TM10

Figure4. Influence de l’épaisseur du substrat Duroid sur le rayonnement de l’antenne pour le mode TM01

Figure5. Influence de εr sur le rayonnement de l’antenne pour le mode TM10

.

Figure6. Influence de εr sur le rayonnement de l’antenne pour le mode TM

01

Figure7. Comparaison entre le rayonnement des deux premiers modes

Remarque :

Tous l es ré sultats e t les r emarques obt enus pour l e

plan 0=φ sont s emblables pour l es pl ans 2πφ =

et 4πφ = .

4. CONCLUSION

L’étude rapportée dans notre travail était de caractériser avec exactitude une antenne microbande de forme rectangulaire, et discuter son rayonnement en zone lointaine. L’application d’une méthode basée sur les équations intégrales permet une caractérisation plus rigoureuse de l’antenne. Une nouvelle technique très efficace pour la détermination du Tenseur spectral de Green est proposée. Les conditions aux limites sur le patch permet d’exprimer l’équation intégrale du champ électrique et ce via la transformation inverse (retour au domaine spectral), ensuite la méthode des moments / procédure de Galerkine est utilisée pour discrétiser cette équation afin de la ramener à un système linéaire d’équation algébrique. Pour obtenir une bonne convergence, un choix sensé de fonction de base s’avère nécessaire. En fin, le champ rayonné en zone lointaine est obtenu en s’appuyant sur le théorème de la phase stationnaire.

Les résultats numériques montrent que la réduction dans l’épaisseur du substrat se traduit par une diminution du champ rayonné.

Ces mêmes résultats montrent également que l’augmentation de la constante diélectrique du substrat a pour effet de rendre le champ rayonné moins important.

Enfin, les résultats en prouver que le mode TM01 rayonne de façon plus efficace comparativement au mode TM10

.

REFERENCES

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compact microstrip resonators with stubs for patch antennas. IEEE T ransactions o n Microwave T heory a nd Techniques 2002; 50(1):27-29.

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[8] J. S. Row and K. L. Wrong.Resonance in a substrate-looded rectangular microstrip structure. IEEE T rans microwave Theory and Techniques 1993; 41:1349-1345.

I. INTRODUCTION

Abstract An ultra wide band (UWB) monopole antenna with split ring resonator SRR is presented and disccuted in this letters, it’s a simple structure, small size and large spectrum from 11.2 to 25.8 GHz. The simulation is obtained by the method of moments; we measure the coefficient of adaptation S11, and the gain of antenna. The dimension of structure is small compared to the resonant wavelength resulting in low radiative losses and so very high quality factors.

n 1999 research group Pendry develop the structure of the Split Ring Resonator SRR [1],

i.e. metallic ring or concentric rings with gaps, she’s made by an artificial metal structure with a magnetic resonance without the presence of magnetic component [2], it has part of a negative refractive index material [3]. The SRR resonates at a frequency where the wavelength of the gap is much greater than its diameter, as follows: [2]

Various structures have been proposed at the different resonate, to increase the gain and expand the bandwidth.

II. DESIGN AND SIMULATION Our model SRR is two concentric open split-ring strips, oriented in the same direction, connects with a microstrip line, which port is optimized to 50Ω, and ground plane is covered partly on the opposite of the substrate, the parameters shown in Fig. 1.The units of dimension is expressed by mm.

Fig 1: Schematic of a novel antenna A magnetic flux penetrating the metal rings induces rotating currents in the rings, which produces its own

STUDY OF AN ULTRA-WIDEBAND (UWB) MONOPOLE ANTENNA WITH SPLIT RING RESONATOR SRR

W. Moulessehoul, S.M. Meriah

Laboratoire de Télécommunications, Département d’Electronique, Faculté des Sciences de l’Ingénieur, Université Abou-Bekr Belkaïd -Tlemcen

[email protected] [email protected]

I

Keywords: monopole antenna, split ring resonator, ultra wide band, returns loss.


flux to enhance or oppose the incident field (depending on SRR's resonant properties). This field pattern is dipolar. Due to splits in the rings the structure can support resonant wavelengths much larger than the diameter of the rings. This would not happen in closed rings. The small gap between the rings produces large capacitance which lowers the resonating frequency as time constant is large then, and the SRR behaves like as an LC circuit driven by an external electromotive wave[4,5], the resonance frequency can be written as:

[6] Where r0 is the average radius of the considered SRR, Cpul

used as a substrate, who’s printed SRR, a compact size is 30*40 mm

the per unit length (p.u.l.) capacitance between the rings, L is the total inductance of the SRR. An FR4 of 1 mm thickness (with relative permittivity ε r = 4.2 and loss tangent δ = 0.02) is

2

The bandwidth can be denoted as a percent of the center frequency Bp as follows:

. The working frequency band ranges from 11.2 to 25.8 GHz, which covers the entire UWB communication spectrum.

[7]

Where , and and are

the upper and the lower frequencies of operation. Bandwidth may also be defined as a ratio Br by:

[8]

Fig 2: Return loss of UWB antenna with individual SRR

The figure above shows the reflection coefficient of different resonance frequencies, and a wide band below -10dB from 11.2 to 25.8 GHz. This resonance is due to the outer ring, and the associated frequency also depends on the capacity created by the one hand, the spacing between the two rings and, secondly, the cut in both rings. The gain of the antenna measured is above 2.6 dBi, and the maximal gain is 8.6 dBi, it’s obtained at 12.8 GHz.

III. CONCLUSION An ultra wide band monopole antenna with SRR is simulated and can be realized. The antenna operates at the spectrum from 11.2 to 25.8 GHz. The big advantage of these resonators, in addition to their resonant character, is their small dimension, thus allowing miniaturization of circuits.

IV. REFERENCES [1] X. Yang and R. Tao, Z. Yu, Q. Shi, “The institution of Engineering and Technology 2008“. [2] S. N BUROKUR, “mise en œuvre de métamatériaux en vue d’application aux circuits microondes et aux antennes“. [3] J. B. Pendry, A. Holden, D. Robbins, and W. Stewart, “Magnetism from Conductors and Enhanced Nonlinear Phenomena,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 47, 2075-2084 (1999). [4] Marqués, R , et al “Comparative analysis of edge and broad side coupled split ring resonator for metamaterials design – theory and experiments” , IEEE Trans Antenna Propag, 2003, 51, pp, 2572- 2581. [5] Marqués, R, et al “Role of bianisotropy in negative permeability and left handed metamaterial”,Phys. Rev. B, 2002, 65, pp. 144440(1)- 144440(6). [6] W. Rotman, “Plasma simulation by artificial dielectrics and parallelplate media,” IRE T rans. Antennas Propagat., vol. AP-10, pp. 82–95,

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