Thème : Résolution de problème (évaluation, coup de pouce)

* Les Tâches à prise d’initiative : Tâche permettant de développer les compétences des élèves.

On peut distinguer les trois types suivants :

* Problème ouvert : C’est un problème qui possède les caractéristiques suivantes (Arsac, Germain, Mante.

1991. « Problème ouvert et situation problème » Irem de Lyon) :

• L’énoncé est court, facilement compréhensible, l’élève peut se lancer facilement.

• Plusieurs procédures de résolution sont possibles et l’énoncé n’induit ni la méthode ni

la solution.

• L’élève doit être en mesure de pouvoir valider ou réfuter une proposition de solution

Fonction : Mettre en œuvre une démarche scientifique. L’élève doit élaborer des

stratégies, prendre des initiatives et mobiliser des connaissances et des capacités qu’il

possède déjà.

* Situation problème : C’est un problème ouvert ayant pour objectif la construction de connaissances nouvelles.

Le savoir visé doit être l’outil le plus efficace pour résoudre le problème parce qu’il est un

outil indispensable ou vraiment plus rapide. (Douady Régine. 1986. Jeux de cadres et

dialectique outil-objet, RDM vol. 7, no. 2)

Fonction : Introduire une nouvelle notion, qui sera institutionnalisée, apprise, entrainée.

* Tâche complexe : C’est un problème proche de la vie courante qui nécessite l’utilisation et l’analyse de données

multiples (qui peuvent être fournis par l’énoncé ou à rechercher). Les questions peuvent être

ouvertes ou fermées mais aucune méthode de résolution n’est fournie par l’énoncé.

Fonction : Faire le lien entre les connaissances mathématiques et les problèmes du quotidien

qu’elles permettent de résoudre. Développer les compétences des élèves dans le traitement de

l’information.

Résolution

de

problèmes

• Coups de pouce

• Modalités de travail

(groupe, individuel)

• Questions de

prolongement

• Choix des variables

didactiques (nombres

etc)

…

Tâche à prise d’initiative* :

• Problème ouvert*

• Situation problème*

• Tâche complexe*

• CHERCHER

• MODELISER

• REPRESENTER

• RAISONNER

• CALCULER

• COMUNIQUER

Prévoir les

indicateurs

de réussite

• Dans les contrôles comme en

formation

• A l’écrit comme à l’oral

• En individuel comme en

groupes

• Avec ou sans différenciation

1er exemple : Tâche complexe 6ème – Travail de groupes

Un couple et leurs deux enfants Thomas et Anaïs préparent leur séjour au ski du 20 au 27 février.

Ils réservent un studio pour 4 personnes pour la semaine.

Pendant 6 jours, Anaïs et ses parents font du ski et Thomas du snowboard. Ils doivent tous louer leur matériel.

Voici les informations qu’ils ont à leur disposition concernant la location de l’appartement et les tarifs liés au ski :

06/02 – 13/02 13/02 – 20/02 20/02 – 27/02 27/02 – 05/03

Studio 4 personnes

29 m² 870 € 950 € 1 020 € 1 000 €

T2 6 personnes

36 m² 1 050 € 1 150 € 1 250 € 1 200 €

T3 8 personnes

58 m² 1 300 € 1 450 € 1 550 € 1 500 €

Ils prévoient aussi une dépense de 500€ pour la nourriture et les autres sorties de la semaine.

Combien coûteront ces vacances au minimum ?

Rédiger un compte-rendu qui sera présenté à la classe. Inspiré du brevet Amérique du Nord - 9 juin 2016

Fonction du problème : Problème pour réinvestir les connaissances et savoir-faire déjà étudiés et travailler et/ou évaluer

les compétences.

Location de matériel de ski :

Adulte : skis, casque, chaussures 17 € par jour

Enfant : skis, casque, chaussures 10 € par jour

Enfant : snowboard, casque, chaussures 19 € par jour

Forfaits de ski : Formule 1

1 adulte 187,50 € pour 6 jours

1 enfant 162,50 € pour 6 jours

Forfaits de ski : Formule 2

Achat d’une Carte Famille 120 € (pour la semaine)

Puis :

1 forfait adulte 25 € par jour

1 forfait enfant 20 € par jour

Compétences : Dans le cadre de ce problème, voici les critères de réussite de chaque compétence pour le cycle 3 :

Compétence Critères Indicateurs de réussite pour atteindre le niveau

4 :

CHERCHER • Prélever et organiser les

informations nécessaires à la

résolution de problèmes à partir

de supports variés

Trouver le prix de la location (1020€)

Trouver le nombre d’adultes, enfants

Repérer le matériel nécessaire

Repérer les différentes durées selon la formule de forfaits Niveau 3 atteint si 3 informations repérées

MODELISER • Utiliser les mathématiques

pour résoudre quelques

problèmes issus de la vie

quotidienne

• Reconnaître et distinguer des

problèmes relevant de situations

additives, multiplicatives ou de

proportionnalité

Choisir les bonnes opérations à effectuer : addition,

multiplication utilisées à bon escient (même en cas

d’erreur d’extraction de données)

Niveau 3 atteint si les opérations sont bien choisies sans

incohérence même si le travail n’est pas fini.

REPRESENTER Non évaluée dans ce problème

RAISONNER • Résoudre des problèmes

nécessitant l’organisation de

données multiples ou la

construction d’une démarche

qui combine des étapes de

raisonnement.

• Progresser collectivement dans

une investigation en sachant

prendre en compte le point de

vue d’autrui.

Prendre l’initiative de comparer les prix des forfaits, de

calculer le prix de la location du matériel puis de calculer

le budget total. Niveau 3 atteint si une seule étape a été oubliée

S’investir dans la recherche.

Ecouter et s’enrichir des remarques des autres.

CALCULER • Calculer avec des nombres

décimaux, de manière exacte ou

approchée, en utilisant des

stratégies ou des techniques

appropriées.

• Contrôler la vraisemblance des

résultats.

• Utiliser une calculatrice pour

trouver ou vérifier un résultat.

Trouver des résultats correspondants aux opérations

écrites. Niveau 3 atteint si une seule erreur de calcul

Eliminer les résultats absurdes.

Savoir utiliser les touches EXE et S↔D

COMMUNIQUER • Expliquer sa démarche ou son

raisonnement, comprendre les

explications d’un autre et

argumenter dans l’échange.

Réguler le volume sonore du groupe.

Respecter le point de vue de chacun.

Rédiger un compte-rendu clair et détaillé (opérations

indiquées et accompagnées d’une phrase réponse)

Exposer clairement la démarche à l’oral.

On évaluera en observant les élèves au travail. La liste des indicateurs ci-dessus étant longue, on s’autorisera à n’évaluer

que certaines compétences et/ou que certains élèves lors de cette séance.

Le fait de proposer cette activité en groupes hétérogènes constitue en soi une aide et ne devrait pas nécessiter de coup de

pouce supplémentaire.

2ème exemple : Problème ouvert cycle 4 (faisable en cycle 3)

Combien peut-on faire de points d’intersection au maximum

entre un rectangle et deux cercles distincts ?

Compétences : Dans le cadre de ce problème, voici les critères de réussite de chaque compétence pour le cycle 4 :

Compétence Critères Indicateurs de réussite

CHERCHER • S’engager dans une

démarche scientifique,

observer, manipuler,

émettre des hypothèses

(CH2)

• Tester, essayer de

plusieurs pistes de

résolution. (CH 3)

Un ou plusieurs schémas corrects sont réalisés, toujours la

même configuration Niv 2

Plusieurs schémas sont produits avec un nombre de points

d’intersection croissants Niv 3

Une réflexion est engagée sur le choix à faire dans les

proportions du rectangle et la disposition du cercle pour

atteindre le maximum Niv 4

MODELISER Non évaluée dans ce

problème

REPRESENTER • Utiliser, produire et

mettre en relation des

représentations de

situations spatiales

(schémas, croquis, figures

géométriques). (RE 4)

Au moins un schéma complet est réalisé avec un rectangle

et deux cercles Niv 2

Les points d’intersection sont repérés sur au moins un

schéma complet Niv 4

RAISONNER • Fonder et défendre ses

jugements en s’appuyant

sur des résultats établis et

sur sa maîtrise de

l’argumentation. (RA 4)

Une réflexion est engagée sur le choix à faire dans les

proportions du rectangle et la disposition du cercle pour

atteindre le maximum mais conclusion inaboutie Niv 3

La réflexion est menée jusqu’au bout Niv 4

CALCULER Non évaluée dans ce

problème

COMMUNIQUER • Expliquer à l’oral et à

l’écrit. (CO 2)

Points d’intersection clairement repérés et comptés Niv 2

Présentation d’une démarche cohérente et correctement

justifiée Niv 3

Présentation d’une démarche cohérente et correctement

justifiée en argumentant sur le maximum Niv 4

Coups de possible à choisir en fonction du niveau de blocage des élèves :

CP1 : On cherche le nombre maximum de points d’intersection. Je crois que d’autres en ont trouvé plus que toi.

CP2 : Comment choisir un rectangle pour qu’il coupe un maximum de fois un cercle ?

CP2bis : Commence par tracer un cercle puis un rectangle pour trouver le maximum de points d’intersection. (si CP2

insuffisant)

CP3 : Trace tes figures avec les instruments de géométrie (ne te contente pas de schémas).

3ème exemple : Situation problème cycle 4

Programme 1 : ▪ Choisir un nombre

▪ Multiplier le nombre choisi par 7

▪ Ajouter 9 au produit obtenu

Programme 2 : ▪ Choisir un nombre

▪ Ajouter 24 au nombre choisi

▪ Multiplier la somme obtenue par 5

Programme 3 : ▪ Choisir un nombre

▪ Ajouter 1 au nombre choisi

▪ Multiplier la somme obtenue par 8

▪ Soustraire 1 au produit obtenu

Programme 4 : ▪ Choisir un nombre

▪ Ajouter 9

▪ Multiplier la somme obtenue par 10

▪ Soustraire au produit obtenu le triple du nombre choisi

Pour chacun de ces programmes, il est possible de trouver un nombre pour lequel le résultat final est 100.

Retrouver ces nombres.

Fonction du problème : Problème pour introduire la notion d’équation en 4ème.

Compétences : Dans le cadre de ce problème, voici les critères et indicateurs de réussite de chaque compétence pour le

cycle 4 :

Compétence Critères Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 Niveau 4

Chercher Extraire d’un

document les

informations utiles

J’ai besoin

d’aide pour

comprendre la

consigne.

Je fais des essais

corrects mais

j’oublie que je

dois trouver 100

pour chaque

programme.

Je commence à

travailler sans avoir

besoin d’aide.

Représenter Choisir et mettre en relation des cadres adaptés pour traiter un

problème

J’écris des

calculs qui

correspondent

au prog. A.

J’écris une

expression

numérique de

type « chaine

remontée » pour

les prog B et C. Je

réalise des

schémas bulles.

J’écris une

expression

algébrique pour le

prog. D.

Communiquer Faire le lien entre

deux langages

Je fais des

calculs à la

calculatrice

et je n’écris

que mes

réponses.

Je laisse des

traces de mes

essais. Mes

calculs sont

séparés

(expressions

avec une seule

opération).

J’écris des

expressions

numériques sans

égalités fausses.

J’écris des

expressions

numériques et

algébriques sans

égalités fausses.

Raisonner Mettre à l’essai

plusieurs solutions

Je cherche des

solutions en

testant des

nombres pris au

hasard.

Je tente de

remonter les

chaines. J’utilise

les processus de

dichotomie.

J’ai perçu la

différence du prog

D, j’écris une

expression

algébrique pour D,

je résous.

Calculer Combiner le calcul

mental et

instrumenté

Mes résultats

correspondent

aux calculs écrits

pour les prog. A

et B.

Mes résultats correspondent aux calculs écrits, des erreurs

peuvent

subsister.

Mes résultats

correspondent aux

calculs écrits pour

tous les

programmes.

Modéliser Utiliser une

simulation

numérique /

traduire en langage

mathématique

J’ai besoin

d’un coup

de pouce

pour

démarrer.

Je teste avec des

valeurs entières

et positives.

Je teste avec des

valeurs qui

peuvent ne pas

être entières ou

j’écris des

expressions

algébriques.

J’écris des

expressions

algébriques sans

erreur.

Coups de pouce :

Exemples de grilles d’auto-évaluation :

_ pour le travail de groupes :

Lien avec les compétences du programme et les domaines du socle :

_ pour le travail individuel ou en groupe :

Chercher

Raisonner

Représenter

Calculer

Communiquer

Modéliser

_ pour les devoirs maison :

ANNEXE 1 : Exemples de productions d’élèves associées à leur grille d’auto-évaluation pour le 1er problème.

• Production 1 :

• Production 2 :

• Production 3 :

• Production 4 :

• Production 5 :

• Production 6 :