THORALF SKOLEM IN MEMORIAM

PAR

TRYGVE NAGELL

Uppsala, Sweden

La mort subite et inattendue de Thoralf Skolem a frappd les mathdmaticiens scan-

dinaves d 'une douleur profonde. I1 est dgcdd~ ~ Oslo le 23 mars 1963 dans sa 76 e a n -

nde, en train de prdparer sa quatri~me visite dans les ]~tats-Unis.

Thoralf Albert Skolem naquit le 23 mai 1887 s Sandsvaer, canton situd dans le d~-

par tement Buskerud dans le sud de Norv~ge. Son p~re, descendant d 'une famille de pay-

sans, dtait instituteur dans l'dcole primaire. Apr~s avoir passd Son baccalaurdat ~ l']~cole

Cathddrale de Kristiania (d~s 1925 Oslo), dans le printemps 1905, Thoralf Skolem cora-

l - 632932 Acta rnat, hematica. 110. Imprim6 le 14 octobre 1963.

H T R Y G V E N A G E L L

menqa ses ~tudes ~ la Facult4 des Sciences de l'Universit~ de Kristiania. I1 y passa des

examens partiels dans les disciplines suivantes : mathdmatiques (sujet principal), mdca-

nique rationnelle, astronomic, physique, chimie, zoologic et botanique, pour obtenir (en

1913) le degrd de licencid ~s sciences; son examen complet, ayant re~u la plus haute dis-

tinction possible, rut rapport~ au Roi de :Norv~ge. Pendant la p~riode 1909-1914 il 4tait

math4maticien assistant chez l 'dminent physicien Kristian Birkeland, professeur s l 'Uni-

versitd de Kristiania. I1 participa s l 'exp4dition de Birkeland ~ Khartoum, au Soudan,

pour ~tudier la lumi~re zodiacale 1913-1914.

Voici les faits les plus importants de son curriculum vitae depuis 1914. Pendant la

pdriode 1914-16 : dtudes h l 'Universit4 de G6ttingen. 1916-18 : charg~ de cours en math~-

matiques ~ l 'Universitd de Kristiania: 1918-1930 : maitre de conferences (docent) ~ la

m~me universitd. Pendant la p~riode 1924-26 : chargd de cours ~ l'~cole supdrieure de

commerce s Oslo. 1926 docteur ~s sciences ~ l 'Universit~ d' Oslo; sa th~se, (( Einige S~tze

tiber ganzzahlige LSsungen gewisser Gleichungen und Ungleichungen ~, fur publide dans

les Mathem. Annalen, t. 95 (1925). En 1930 il fur attach~ ~ l ' Ins t i tu t Christian Michelsen,

Bergen, en qualitd de professeur de recherche en mathdmatiques. ]~tant, dans cette position,

libdr~ de routes les charges d'enseignement, d 'examens et d'administration, il a pu se

livrer enti~rement ~ ses recherches scientifiques. Il y resta jusqu' ~ 1938 quand il retourna

l'Universit~ d'Oslo, appelg s une chaire ordinaire de mathdmatiques. I1 prit sa retraite

en 1959.

Skolem a ~t~ un des r~dacteurs des Acta Mathematica depuis 1938. I1 a r~dig~ le

Norsk Matematiak Tidsskrift (Oslo) de 1930 s 1952. I1 a aussi ~td membre de la rddaction

des journaux suivants : The Journal of Symbolic Logic (depuis 1949) et Mathematica

Scandinavica (depuis 1953).

La mort pr~maturde de Skolem signifie une perte tr~s sensible pour les sciences

mathdmatiques. A l'~ge de 75 arts, Skolem ~tait encore plein de vitalit4 et d'activit~. On

sait qu'il avait alors en preparat ion un bon nombre de travaux.

La production math~matique de Skolem a une extension imposante quoiqu'il ait

commencd de publier relativement tard. Celle-ci embrasse plus de 170 t ravaux dont la

plupart traite des sujets appar tenant aux disciplines suivantes : alg~bre, th~orie des

nombres, logique mathdmatique et fondement des mathdmatiques. Dans cette derni~re

discipline il rut un des grands pionniers. C'est surtout ~ cause de ses remarquables t ravaux

dans ce domaine qu'il s '~tait acquis une rdputation de savant d'~lite.

D'aiUeurs il a aussi donn4 de belles contributions s la g~om~trie algdbrique, ~ la md-

canique rationnelle, s la th4orie des ensembles, ~ la topologie alg~brique, ~ la th4orie des

groupes, s la th4orie des treillis, ~ la combinatorique, h la thdorie des s~ries de Dirichlet.

T H O R A L F S K O L E M I N M E M O R I A M I I I

Dans ses oeuvres il donne des preuves extra-ordinaires d'originalit~ et de fantaisie

fertile. I1 ~tait doud d 'une intelligence pdndtrante et d 'une clartd d 'espri t qu 'on ne t rouve

pas souvent. I1 avai t l 'esprit critique et ~ la fois constructif et poss~dait une capacit4

souveraine ~ maitriser et utiliser des ressources vari~es.

I1 ne saurait ~tre question en quelques lignes de d~crire l 'ceuvre scientifique de Skolem,

celle.ci dtant t rop dtendue. Nous nous bornerons ~ faire quelques r~flexions sur les ten-

dances de ses recherches principales.

La moiti~ des t r avaux de Skolem trai te des questions de la th~orie des nombres, en

premier lieu des probl~mes concernant les dquations diophantiennes. Skolem a donng des

contributions remarquables ~ plusieurs branches de ce domaine. Nous nous contenterons

d 'une courte d~scription de son r~sultat le plus important . En g~n~ralisan~ un proc~d~ que

j 'avais appliqud dans plusieurs m~moires, il a ddveloppd une mdthode ing~nieuse pour trai ter

des classes tr~s 4tendues d '~quations diophantiennes. I1 consid~re des syst~mes d 'dqua-

tions du type N ( g 1 X 1 + O~ 2 X 2 ~ - . . . + O~ n X n ) = h, ]

/ , (x 1, x 2 . . . . . xn) = O, (i = 1, 2 . . . . . m ) , I (1)

off ~1, ~2 . . . . , ~n signifient des nombres d ' un corps algdbrique K et N la norme dans co

corps; h e s t un nombre entier rationnel; l e s / , sont des polynomes ~ coefficients entiers

rationnels. I1 s 'agit de rdsoudre ce systbme en nombres entiers rationnels xs, x2, . . . , xn.

En ver tu de la thdorie des unitds algdbriques il est dvident que le probl~me dquivaut

rdsoudre un certain syst~me d 'dquat ions exponentielles, off les inconnues sont les exposants

us, u2, Ur des puissances e~ 1, u~ u . . . . ~2 . . . . . er r, ~1, e2,. . . , er signifiant un syst~me fondamenta l

fixe d'unit~s dans K; Ul, u2 . . . . , u r doivent ~tre des entiers rationnels. S i p est un nombre

premier, on montre ais~ment que les fonctions f~ (Xs, x~ . . . . . x~) peuvent ~tre d~veloppdea

dans des s~ries de puissances p-adiques de la forme

~ a (~) u s~ u s" u~r s l , . . . , s r 1 2 �9 �9 �9

qui sont convergentes pour routes les valeurs enti~res p-adiques de us, Uz, . . . , Ur; & cause

de la sym~trie par rappor t aux conjugu~s, les coefficients a (~) sont ici n~cessairement

rationnels. Maintenant, si les dquations

~ a (~) u s~ u s~ u~ sr = 0 (p), (2) sl , . . . , s r 1 2 �9 �9 �9

pour 1 < ~ i ~ m , m>~r, sont ind~pendantes entre eUes, on peut montrer que le syst~me (2)

n ' a dm e t qu 'un nombre fini de solutions Us, u~ . . . . . u, en nombres p-adiques. Par conse-

quent, dans ce cas le nombre de solutions du syst~me (1) est aussi limitd. La mdthode

permet dans un assez grand nombre de cas de reconnaitre s'il y a des solutions ou non, et,

dans le cas affirmatif, de ddterminer effectivement toutes les solutions par un nombre fini

IV T R Y G V E N A G E L L

d'opdrations. Skolem a ensuite propos~ des g~n~ralisations dans plusieurs directions. I1 a

illustr6 sa mdthode par de nombreux r~sultats partieuliers. Cependant il n 'a pas poursuivi

ses recherches, et ainsi il reste un domaine vaste ~ explorer.

I1 a aussi publi~ une monographie tr~s apprdci~e sur la th~orie des ~quations dio-

phantiennes.

Aucune discipline mathdmatique n'est aussi difficile que celle qui s'occupe des fonde-

ments; elle exige une extra-ordinaire puissance d'abstraction. Skolem a joud un rSle tr~s

important dans ]e d~veloppement de cette brancbe des mathdmatiques. Ddjs avant 1915

il avait obtenu des r~sultats remarquables; entre autres, il a ~tabli les faits suivants : 1 ~ la

relativit~ des notions et des thdor~mes de la thdorie des ensembles et 2 ~ rimpossibilit~ de

caractdriser compl~tement les notions math~matiques par un nombre fini ou nombre infini

d~nombrable d'axiomes. Dans ses raisonnements le cdl~bre th~or~me de LSwenheim-

Skolem joue un r61e essentiel.

Les points de rue de Skolem sur les sciences math~matiques s'accordent avec ceux de

Poincard. Les math~matiques n'existent pas au del~ de l'homme, pas ind~pendamment de

l'homme. Nous les crdons et nous ne les d~couvrons pas. Les d~finitions et les classifica-

tions non-pr~dicatives doivent ~tre d~fendues. La ddfinition d 'un objet math~matique doit

~tre faite par un nombre fini de roots. L'infini est virtuel et non pas actuel.

Apr~s la d~couverte des antinomies dans la th~orie des ensembles, la question sui-

vante s'imposait aux mathdmaticiens : Comment faire pour ~tablir les matbdmatiques

d'une mani~re qu'on ffit stir qu'aucun paradoxe ne pfit apparaitre? On sait que cela a

donn~ lieu s plusieurs essais pour (( sauver )~ les math~matiques. L'essai de Zermelo, tout

aussi peu que ceux de Fraenkel, v. Neumann etc., ne donnent aucune assurance. Le pro-

gramme de Hilbert n 'abouti t pas non plus. La thdorie de Russell et Whitehead souffle de

certaines faiblesses qu'on ne saib pas comment dloigner. Dans l'intuitionisme de Brouwer

on a la certitude d'avoir exclu ]'apparition de paradoxes; cette thdorie est, cependant, si

radicale qu'elle ne peut pas ~tre r~alis~e sans la perte d'une grande partie de l'analyse

ordinaire.

L'essai qui promet le plus est sans doute celui de Skolem. Dans un m~moire publi~

en 1923 il a montr~ que l'arithmdtique ordinaire peut ~tre ~tablie d'une manibre finitiste

en employant exclusivement des ddfinitions par rdcurrence et des d~monstrations par

induction complete sans se servir de quantificateurs. Cela dlimine a pr ior i route possibilitd

d 'un paradoxe. L'application du ter t ium non datur peut ~tre ~vit~e. T o u s l e s ensembles

seront ddnombrables; la thgorie des nombres transfinis deviendra une fiction. De plus,

8kolem indique comment les fonctions arithm~tiques arbitraircs peuvent ~tre traitges de

]a mgme manigre.

THORALF SKOLEM IN MEMORIAM

L 'ex tens ion de la thdorie d e Skolem h l ' ana lyse est possible, mais n ' a pas encore ~t~

rdalisde. L a quest ion est seulement de savoir si nous aurons une forme d ' ana ly se qui es t

plus pauv re et moins effective que l ' ana lyse classique. Skolem ~ta i t personne l lement con-

va incu que cela n ' d t a i t pas n~cessaire. Des recherches fu tures von t ~claircir cet te quest ion.

Skolem d ta i t tr~s degu du m a n q u e d ' in tdrSt p a r m i les ma th~mat ic i ens pour les iddes

f ini t is tes , m a n q u e d~pendan t d ' u n respect exag~r~ de l ' ana lyse classique. On se rappe l le

sa ddc lara t ion au CongrSs i n t e rna t i ona l des ma thdmat i c i ens dans les U.S.A. en 1950 : ((We

ough t no t to r egard al l t h a t ' s w r i t t e n in the t r a d i t i o n a l t e x t b o o k s as someth ing sacred.~)

Cependant , ces t e m p s derniers l ' in tdr~t pour (~ l ' a r i t hm~t ique r~cursive de Skolem ~) a sen-

s ib lement augment4.

Comme la p l u p a r t des math~mat ic iens norv~giens Skolem d ta i t au tod idac te . C 'est

l '~minent algdbris te Ludv ig Sylow (1832-1918) qui a eu la plus grande influence sur 1'ori-

en t a t ion scientif ique de Skolem. Les cdl~bres t r a v a u x d 'Axe l Thue (1863-1922) on t ~veill~

son intdr~t pour les gquat ions d iophant iennes .

Skolem s ' adonna compl~tement s sa science qui d ta i t p r a t i q u e m e n t son seul intdrSt.

I1 ne s ' in t~ressai t pas beaucoup ~ l ' ense ignement . P o u r t a n t , ses cours, solides et exacts ,

fu ren t tr~s appr~ci4s p a r ses ~l~ves. I1 n ' a p p a r t e n a i t pas s ceux qui a imen t ~ bri l ler p a r

l '~loquence dans les conferences.

Personnel lement , c 'd ta i t un homme pais ible et modes te qui ddda igna i t de faire de la

rdclame pour lui-mSme. I1 4fair doud d ' u n na tu re l tr~s gai e t d ' u n h u m o u r r ayonnan t . La

dro i tu re e t la noblesse de son caract~ro et son amabi l i t~ na ture l le a v a i e n t conquis la

sympa th i e de tous ceux qui l ' approcha ien t .

Table des t ravaux m a t h ~ m a t i q u e s de Thora l f S k o l e m

1., Une m~thode 6num6rative de la g~ometrie. Kristiania Vid. Selsk. Skr. I, 1914 no. 12 (en collab. avee Kr. Birkeland).

2. Om konstitutionen av den identiske kalkuls grupper (Sur la constitution des groupes du calcul identique). C. R. 3. Skand. Mat. Kongress, 1913, Kristiania.

3. Untersuehungen fiber einige Klassen kombinatoriseher Probleme. Kristiania Vid. Selsk. Skr. I, 1917 no. 6.

4. Untersuchungen fiber die Axiome des Klassenkalkuls und fiber Produktations- und Summations- probleme, welehe gewisse Klassen yon Aussagen betreffen. Kristiania Vid. Selsk. Skr. I, 1919 no. 3.

5. Ludvig Sylow og hans videnskabelige arbeider (L.S. et son oeuvre scientifique). Norse Mat. Tidsskr., 1, Kristiania 1919.

6. Logiseh-kombinatorische Untersuchungen fiber die Erffillbarkeit oder Beweisbarkeit mathema- tischer S~tze nebst einem Theoreme fiber dichte Mengen. Kristiania Vid. Selsk. Skr. I, 1920 no. 4.

7. Untersuchungen fiber die mSgliehen Verteilungen ganzzahliger LSsungen gewisser Gleiehungen. Kristlania Vid. Selsk. Skr. I, 1921 no. 17.

VI TRYGVE ~AGELL

8. Bericht fiber die nachgelassenen Sehriften L. Sylows. Kri s t ian ia Vid. Selsk. Skr . I, 1921 no. 18. 9. ~ber ganzzahlige L6sungen einer Klasse unbestimmter Gleichungen. Norsk Mat . Forenings Skri f ter ,

serie I, nr. 10, Kristiania 1922. 10. Einige Bemerkungen zur axiomatisehen Begriindung der Mengenlehre. C.R. 5. Skand . Mat . Kongress

1922, Helsingfors.

11. Begrfindung der elementaren Arithmetik dureh die rekurrierende Denkweise ohne Anwendung scheinbarer Ver~nderlichen mit unendlichem Ausdehnungsbereieh. Kris t ian ia Vid. Selsk. Skr . I ,

1923 no. 6. 12. Integrit~tsbereiche in algebraischen Zahlk6rpern. Kris t ian ia Vid. Selsk. Skr . I, 1923 no. 21. 13. Ein Verfahren zu beliebig angen/~herter Bestimmung elner Wurzel einer beliebigen algebraischen

Gleiehtmg. 2Vorsk Mat . Foreninys Skri f ter, serie I, nr. 15, Kristiania 1924. 14. Einige S~tze fiber ganzzahlige LSsungen gewisser Gleichungen und Ungleichungen. Math . A n n . ,

95, 1925. 15. Uber die Dichte der Gitterpunkte in asymptotischen Umgebtmgen gewisser unendlieher Kurven-

zweige. C.R. 6. Skand . Mat . Kongress 1925, Kobenhavn. 16. Lift om de viktigste diskussioner i den senere tid angaaende matematikkens grundlag (Discussions

recentes sur les fondements de la math6matique). Norsk Mat . Tidsskr . , 8, Oslo 1926. 17. Elliptiske funktioners komplekse multiplikation (La multiplication eomplexe des fonctions ellipti-

ques.) Norsk Mat . Tidsskr . , 8, Oslo 1926. 18. O m e n del kombinatoriske problemer (Sur quelques problbmes combinatoriques). Norsk Mat .

T idsskr . , 9, Oslo 1927. 19. Addenda k la seconde 6dition de Netto : Lehrbuch der Combinatorik, Leipzig & Berlin 1927. 20. Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme. Oslo Vial. Akad . Skr . I, 1927 no. 12. 21. Uber die mathematische Logik. Norsk Mat . Tidsskr . , 10, Oslo 1928. 22. ~be r die LSsung der unbestimmten Gleiehung ax 2 + by ~ + cz ~ - 0 in einigen einfachen Rationalit/~ts-

bereichen. Norsk Mat . Tidsskr . , 10, Oslo 1928. 23. Geschlechter und ReziprozitKtss/~tze. Norsk Mat . Forenings Skri f ter, serie I, nr. 18, Oslo 1928. 24. ~ber einige Grundlagenfragen der Mathematik. Oslo Vid. Akad . Skr . I, 1929 no. 4. 25. Uber die Grundlagendiskussionen in der Mathematik. C.R. 7. Skand . Mat . Kongress 1929, Oslo. 26. L5sung der Gleichung f ( x , y) = 0 in ganzen Zahlen x und y mit beschri~nktem gemeimsamem Teller,

wenn das Konstantglied fehlt. Festskri f t fSr A . Wiman , Uppsala 1930. 27. L5sung gewisser Gleichungssysteme in ganzen Zahlen oder ganzzahligen Polynomen mit beschr/~nk-

tem gemeinschaftlichem Teiler. Oslo Vid. Akad . Skr . I, 1929 no. 12. 28. Einige Bemerkungen zu der Abhandlung von E. Zermelo : , ~ber die Definitheit in der Axiomatik*.

Fund . Math . , 15, Warszawa 1930. 29. Uber einige Satzfunktionen in der Arithmetik. Oslo Vid. Akad . Skr . I, 1930 no. 7. 30. Den matematiske logikk og aritmetikken (La logique math6matique et l 'arithm6tique). C.R. Chr.

Michelsens Inst . I, no. 2, Bergen 1931. 31. ~be r einige besondere Tripelsysteme mit Anwendung auf die Reproduktion gewisser Quadrat-

summen bei Multiplikation. Norsk Mat . Tidsskr . , 13, Oslo 1931. 32. ~ber die symmetrisch allgemeinen L5sungen im Klassenkalkul. Fund . Math . , 18, Warszawa 1932. 33. Uber die symmetrisch allgemeinen LSsungen im identisehen Kalkul. Oslo Vid. Akad . Skr . I, 1931

no. 6. 34. En del kombinatoriske undersokelser samt en enkel bevismetode for kvadratiske resiprositets-

satser. (Recherehes combinatoriques et d6monstration simple de la loi de r6ciprocit6 quadratique). C.R. Chr. Michelsens Ins t . II, no. 2, Bergen 1932.

35. Ein elementares Verfahren zur I-Ierleitung der quadratischen Reziprozit/~tsgesetze in algebraischen ZahlkSrpern. Oslo Vid. A kad . Skr . I, 1932 no. 2.

36. Ein einfacher Beweis der sogenannten Ziihlertransformationsformel der Jaeobisehen Symbole. Oslo Vid. Akad . Avh. I, 1932 no. 11.

T H O R A L F SKOLENI I N M E M O R I A M VII

37. Ludvig Sylow og hans betydning for matematikken (L. S. et la port6e de son oeuvre math~matique). Norsk Mat . Tidsskr . , 14, Oslo 1932.

38. Ludvig Sylow und seine wissenschaftliehen Arbeiten. Norsk Mat . Forenings Skri f ter, serie II, nr. 2, Oslo 1933.

39. Ein allgemeines quadratisehes Reziprozit~tsgesetz in denjenigen algebraischen ZahlkSrpern, worin 2 yell zerf~llt. Comment. Math . Helv. , 5, 1933.

40. Undersokelser over potensrester og over logisk karakterisering av tallrekken (R6sidus de puis- sances. L'imposslbilit6 d 'une earact~risation de la suite des hombres naturels). C.R. Chr. Michel- sens Ins t . III , no. 4, Bergen 1933.

41. Ein kombinatorischer Satz mit Anwendung auf ein logisches Entscheidungsproblem. Fund . Math . , 20, Warszawa 1933.

42. Einige S/~tze fiber gewisse Reihenentwicklungen und exponentiale Beziehungen mit Anwendung auf Diophantische Gleichungen. Oslo Vid. Akad . Skr . I, 1933 nr. 6.

43. ]~ber die Unm6glichkeit einer vollst/indigen Charakterisierung der Zahlenreihe mittels eines end- lichen Axiomensystems. Norsk Mat . Forenings Skri f ter , serie II, hr. 10, Oslo 1933.

44. En metode tfl behandling av ubestemte ligninger (Une m6thode pour traiter les 6quations ind~- termin~es). C.R. Chr. Michelsens Inst . IV, no. 6, Bergen 1934.

45. Uber die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlieh oder abz/~hlbar unendlieh vieler Aussagen mit ausschliesslich Zahlenvariabeln. Fund . Math . , 23, Warszawa 1934.

46. Den matematiske grunnlagforskning (Les recherches sur les fondements des math~matiques). Norsk Mat . Tidsskr . , 16, Oslo 1934.

47. Uber die ganzzahlige L6sbarkeit einiger diophantischer Gleichungen. Oslo Vid. Akad . Skr . I, 1934 no. 6.

48. L6sung gewisser Gleichungen in ganzen algebraischen Zahlen, insbesondere in Einheiten. Oslo Vid.

Akad . Skr . I, 1934 no. 10. 49. Ein Verfahren zur Behandlung gewisser exponentialer Gleiehungen und diophantischer Gleiehungen.

C.R. 8. Skand . Mat . Kongress 1934, Stockholm. 50. Om heltallig losbarhet av visse ligninger og ligningssystemer (R6solubilit6 en nombres entiers de

eertaines ~quations et de syst~mes d'6quations). C.R. Chr. Michelsens Inst . V., no. 2, Bergen 1935. 51. Einige S/~tze fiber p-adische Potenzreihen mit Anwendung auf gewisse exponentielle Gleichungen.

Math. A n n . , 111, 1935. 52. Uber die Erffillbarkeit gewisser Zahlausdrficke. Oslo Vid. Ahad. S/or. I, 1935 no. 6. 53. Ein Satz fiber Z/~hlausdrfieke. Acta Sci. Math . Szeged, 7, 1935. 54. Ein Satz fiber die Erffillbarkeit yon einigen Z/~hlausdrficken der Form (x)(Eyl, . . . , y n ) K l ( x , Yl,

. . . . Yn) & (xl, x~, x3 )K 2(x 1, x~, xs). Oslo Vid. Akad . Avh. I, 1935 no. 8. 55. Nogen additiv-tallteoretiske betraktninger (Consid6rations sur la th6orie additive des nombres

entiers). Norslr Mat . Tidsskr . , 17, Oslo 1935. 56. (Tber die Zurfiekffihrbarkeit einiger durch Rekursionen definierter Relationen auf * arithmetische *.

Acta Sci. Math . Szeged, 8, 1937. 57. Utvalgte kapitler av den matematiske logikk (Parties ehoisies de la logique math6matique). C.R .

Chr. Michelsens Ins t . VI, no. 6, Bergen 1936. 58. Eine Bemerkung zum Entscheidungsproblem. C.R. 8. Congr~s Internat. Math . 1936, Oslo. 59. Einige Reduktionen des Entscheidungsproblems. Oslo Vid. Akad . Avh . I, 1936 no. 6. 60. U b e r gewisse Verb/~nde oder ~ lattices ,. Oslo Vid. Akad . Avh. I, 1936 no. 7. 61. Ein Satz fiber ganzwertige Polynome. Norske Vid. Selslr Forh. , 9, no. 28, Trondheim 1936. 62. Uber die LSsbarkeit gewisser linearer Gleiehungen im Bereiehe der ganzwertigen Polynome.

Norske Vid. Selsk. Forh. , 9, no. 34, Trondheim 1936. 63. S~tze fiber ganzwertige Polynome. Norske Vid. Selsk. Forh. , 10, no. 4, Trondheim 1937. 64. Ubestemte line,ere ligninger og ligningssystemer (Equations lin6aires ind6termin6es et syst~mes

de telles 6quations). C.R. Chr. Michelsens Ins t . VII, no. 3, Bergen 1937.

VIII TRYGVE NAGELL

65. ~ b e r die ganzzahl ige LSsbarke i t e iniger i n h o m o g e n e r quad ra t i s che r Gle ichungen m i t m e h r e r e n

U n b e k a n n t e n . Oslo Vid. Akad. Avh. I , 1937 no. 9. 66. Zwei S~tze fiber kub i s che K o n g r u e n z e n . Norske Vid. SelsIc. Forh., i0 , no. 24, T r o n d h e i m 1937.

67. A n w e n d u n g exponent ie l le r K o n g m m n z e n z u m Beweis der Un lSsba rke i t gewisser d iophan t i s che r

Gle iehungen. 1Vorske Vid. Akad. Avh. I , 1936 no. 12, Oslo. 68 . Fo rk la r ing t i l fo rans t~ende a v h a n d l i n g av L. K a l m h r (Commenta l r e & la no t e pr~c6dente de L.

Ka l mhr ) . Norsk Mat. Tideskr., 19, Oslo 1937. 69. P o l y n o m e r s a r i tme t i ske egenskape r (Sur les propri~t~s a r i t hm~t iques des po lynomes) . C.R. Chr.

Michelsens Inst . VII I , Be rgen 1938. 70. ~ b e r elne E i g e n s e h a f t der Menge aller g rSss ten g e m e i n s a m e n Teller von P o l y n o m e n ffir ganze

W e r t e der Var iablen . Norske Vial. SelMc. Forh., 11, no. 16, T r o n d h e i m 1938.

71. DiophantischeGleiehungen. Ergebnisse der M a t h e m a t i k u n d i h r e r Grenzgebiete , 5 , H e f t 4 ,Ber l in 1938. 72. L i t t o m de na tu r l ige ta i ls o p s p a l t n i n g i s u m m e n a v to k v a d r a t e r (Sur la d6eompos i t ion d ' u n

n o m b r e na t u r e l d a n s la s o m m e de d e u x earr6s). Norsk Mat�9 Tidsskr. , 21, Oslo 1939.

73. L i t t o m p o l y n o m e r s opspa l t n ing i s u m m e n a v to k v a d r a t e r (Sur la d~eompos i t ion d ' u n p o l y n o m e

d a n s la s o m m e de deux carr~s). 1Vors]r Mat. Tidsskr. , 21, Oslo 1939. 74. E ine B e m e r k u n g fiber die I n d u k t i o n s s c h e m a t a in der r eku r s iven Zahlentheor ie . Monatsh. Math.

Phys . , 48, Leipzig u n d W i e n 1939. 75. E i ne B e m e r k u n g fiber gewisse R inge m i t A n w e n d u n g au f die P r o d u k t z e r l e g u n g y o n P o l y n o m e n .

Nors]c Mat. Tidsslcr., 21, Oslo 1939.

76. ~ b e r die LSsbarke i t der Gle ichung f l ( x ) F 1 ( x ) + . . . + fn(x )Fn(x)=1, wo f l . . . . . fn gegebene ganz- zahl ige P o l y n o m e sind, in ganzzah l igen P o l y n o m e n F1, . . . , F n. Nors]ce Videns]c. Selsk. Forh., 12,

no. 1, T r o n d h e i m 1939�9 �9 m 1 �9 77. O m funks ]onene av f o r m e n ~ = 0 f i (x)Pm(x - 4) h v o r alle f i (x) er po lynomer ogPm(x) = 1 eller 0 efter-

sore x~ -0 eller m0 (mod m) (Sur les fonc t ions de la fo rme . . . oh les ft(x) son t des p o l y n o m e s e t oh

Pro(x) = 1 ou selon que x -=0 ou m 0 (mod m)). Nors]c Mat. Tidsskr. , 22, Oslo 1940. 78. E n l i ten s tud ie i t r ans f in i t m e k a n i k k ( R e m a r q u e su r une m6ean ique t ransf in i te ) . 1Vorsk Mat .

TidsIcr., 22, Oslo 1940. 79. E in ige S~tze fiber Po lynome . Norske Vid. Akad. Avh. I , 1940 no. 4, Oslo . 80. Nogen b e m e r k n i n g e r ti l L. R e i t a n s ar t ik ler (Sur u n probl~me de la th6orie des nombres ) . Norsk

Mat. Tideskr., 22, Oslo 1940. 81. Vera l lgemeine rungen der B e t t i - G u i d i e e s c h e n Formel . Norske Vid. Akad. Avh. I , 1940 no . 1, Oslo.

82. E i n f ache r Beweis der UnmS g l i ehke i t e ines a l lgemeinen L S s u n g s v e r f a h r e n s fiir a r i t h m e t i s c h e Pro-

bleme. Norske Vid. Selsk�9 Forh., 13, T r o n d h e i m 1940�9 83. Sur la port~e du th~or~me de L S w e n h e i m - S k o l e m . Les Entretiens de Zi~rich sur les fondement8 et la

mdthode des sciences mathgmatiques, 6-8 Ddc. 1938, Zfirieh 1941�9 84. O m or togona l t be l iggende g i t t e r p u n k t e r ph kulef la te r (Les r~saux o r t h o g o n a u x su r la sur face

d ' u n e sphere) . 1Vorsk Mat . Tidsskr. , 23, Oslo 1941. 85. Die Anza l der W u r z e l n der K o n g r u e n z x a +ax +b =-0 (rood p) ffir die ve r seh iedenen Paa re (a, b).

Nors]ce Vid. Selsk. Forh., 15, no. 43, T r o n d h e i m 1942. 86. ~ b e r die g a n z e n x, ffir welche e in P o l y n o m P (ux, ux+ 1 . . . . . Ux+n) = 0 ist , w e n n u x e ine gegebene

l ineare r eku r r en t e Gle iehung befr iedigt . 1Vors]ce Vid. A]cad. Avh. I , 1941 no. 15, Oslo. 87. U n l S s b a r k e i t y o n Gle ichungen, deren en t sp r eehende K o n g r u e n z fiir j eden Modul 15sbar ist.

s Vid. A]cad. Avh. I , 1942 no. 4, Oslo. 88. E n s a m m e n h e n g me l lom k o n g r u e n s e n x 2 + y~ + z ~ + u 2 -= 0 (rood m) og l ikn ingen x a + y~ + z ~ + u ~ = m

(La re la t ion en t r e la congruence x z +y~ + z ~ + u ~ ~ 0 (mod m) e t l ' 6qua t ion x 2 +y2 +z2 + u ~ =m) .

Norsk Mat. Tidsskr. , 25, Oslo 1943. 89. :Noen b e m e r k n i n g e r ti l f o r ans thende a r t ikke l a v E. H o f f - H a n s e n ( R e m a r q u e s k la no t e pr6c~dente

de E . Hof f -Hansen ) . 1Vors]c Mat . Tidsskr. , 25, Oslo 1943. 90. ~ b e r NebenkSrpe r t m d Nebenr inge . Norske Vid. Akad. Skr. I, 1944 no. 6, Oslo.

THORALF SKOLEM I N MEMORIAM IX

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92. R e m a r k s on recurs ive func t i ons a n d relat ions. Norske Vid. Selslc. Forh. , 17, no. 22, T r o n d h e i m 1944.

93. Some r e m a r k s on recurs ive a r i thmet ic . 1Vorske Vid. Selslc. Forh. , 17, no. 26, T r o n d h e i m 1944.

94. A no t e on recurs ive a r i thmet ic . 1Vorske Vid. Selsk. Forh. , 17, no. 27, T r o n d h e i m 1944.

95. Some r e m a r k s on t he compar i son be tween recurs ive func t ions . Norske Vid. Selslc. Forh. , 17, nr . 32, T r o n d h e i m 1944.

96. A t h e o r e m on t h e equa t i on $2 _ ~ 2 = 1 where ~, ~,~ are in tegers in a n i m a g i n a r y quad ra t i c field.

1Vorslce Vid. Akad . Avh. I , 1945 no. l , Oslo.

97. A r e m a r k on t h e equa t i on ~ (~2 = 1, where (~, ~,~ belong to a t o t a l real n u m b e r field. Norske Vid. Alcad. Avh . I , 1945 no. 12, Oslo.

98. E n losn ingsmetode for den eksponent ie l le l ikn ing A~ ~ . . . A ~ ~ - B~ ~ . . . B~ ~ = C. (Une m 6 t h o d e pou r

r6soudre l '~qua t ion exponent ie l le . . . ) . Norslc Mat . Tidsskr . , 27, Oslo 1945.

99. On cer ta in exponen t i a l equa t ions . Norske Vid. Selslc. Forh. , 18, no. 18, T r o n d h e i m 1945.

100. On t h e p r ime divisors of t he va lues of ce r ta in func t ions . Norske Vid. Selsk. Forh. , 18, no. 19, T r o n d h e l m 1945.

101. D e n rekurs ive a r i t m e t i k (L ' a r i t hm6t ique r(~eursive). Norsk Mat . Tidsskr . , 28, Oslo 1946.

102. The d e v e l o p m e n t of recurs ive a r i thmet ic . C.R. 10. Skand . Mat . Kongress, 1946, K o b e n h a v n . 103. A proof of t he a lgebraic independence of e a n d e r d posi t ive integer , w i th a n o t h e r proof of t h e

i r ra t iona l i ty of log x a n d a rc tg x for ra t iona l x. Norslc Mat . T idsskr . , 28, Oslo 1946. 104. On t he ex is tence of a mul t ip l i ca t ive bas is for a n a rb i t r a ry a lgebraic field. Norslce Vid. Selslc. Forh. ,

20, no. 2, T r o n d h e i m 1947.

105. A proof of t he a lgebraic independence of ce r ta in va lues of the exponen t i a l func t ion . :Vorslce Vial. Selslc. Forh. , 19, no. 12, T r o n d h e i m 1947.

106. De i k k e - s y m m e t r i s k e funks j one r i a lgebraen (Les f~nct ions n o n - s y m 6 t r i q u e s dans l 'Alg~bre). 1Vorslc Mat . T idsskr . , 29, Oslo 1947.

107. Solut ions of t h e equa t ion axy +bx +cy +d =0 in a lgebraic in tegers . Norske Vid. Alcad. Avh . I , 1946 no. 3, Oslo.

108. E n egenskap ved de tern ,ere k v a d r a t i s k e fo rmer og dens s a m m e n h e n g reed den k v a d r a t i s k e resi- p ros i t e t s sa t s (Une propri~t6 des fo rmes t e rna i res q u a d r a t i q u e s e t sa l ia ison avee la loi de r6ci-

proeit~ quadra t ique ) . 1Vorslc Mat . Tidsslcr., 30, Oslo 1948. 109. Two genera l iza t ions of a wel l -known t h e o r e m on po lynomia l s . 1Vorske Vid. Selslr Forh. , 20, no.

19 & 20, T r o n d h e i m 1948.

110. A proof of the i r reducibi l i ty of t he eye lo tomie equa t ion . Norsk Mat . Tidsskr . , 31, Oslo 1949. I 11. R e m a r k s on t he r ep re sen t a t i on of n a t u r a l n u m b e r s as s u m s of t h ree or four squares . Norske Vid.

Selsk. Forh. , 21, no. 39, T r o n d h e i m 1949.

112. Proof of a t h e o r e m on 3-latt ices. Norske Vid. Selsk. Forh. , 21, no. 44, T r o n d h e i m 1949.

113. On t h e d i ophan t i ne equa t i on ax ~ + by ~ + cz 2 + du ~ = O. Norske Vid. Selslc. Forh. , 21, no. 19, T rend - h e l m 1949.

114. Some t h e o r e m s on i r ra t iona l i ty a n d l inear independence . C.R. 11. Skand . Mat . Kongress 1949, T rondhe i m .

115. De logiske pa r adokse r og bo t emid l ene m o t d e m (Les p a r a d o x e s Iogiques et les rem~des cen t r e ceux-ci). Norslr Mat . Tidsslcr., 32, Oslo 1950.

116. Some r e m a r k s on t he f o u n d a t i o n of se t theory . Prec. Internat. Congress Math . 1950, Cambr idge , Mass.

117. A r e m a r k on t he induc t ion scheme. Norske Vid. Selslc. Forh . , 22, no. 36, T r o n d b e i m 1950. 118. A n a r i t hme t i ca l p r o p e r t y of t h e f u n c t i o n 27 . . . where t h e Pi a re n a t u r a l p r imes a n d t h e g (n ) poly-

nomi a l s w i t h in tegra l coefficients. Norske Vid. Selslc. Farh. , 22, no. 39, T r o n d h e l m 1950.

119. B e m e r k n l n g e r anggende den u b e s t e m t e l ign ing xy + yz + zx = k, k hel posi t iv , s a m t de ana loge reed

X TRYGVE NAGELL

flere u k j e n t e ( R e m a r q u e s su r l '~qua t ion ind~termin~e xy + yz + zx = ]r ]r n o m b r e na tu r e l e t sur des

6qua t ions ana logues k p lus ieurs inconnues) . 1Vorsk Mat. Tidsskr., 33, Oslo 1951.

120. On t he absc issa of convergence for some Dir ieh le t ' s series. Norske Vid. Selslc. Forh., 24, no. 11, T r o n d h e i m 1952.

121. On t he proof of i ndependence of t he a x i o m s of t he classical sen ten t i a l calculus . Norske Vid. Selsk.

Forh., 24, no. 6, T r o n d h e i m 1952. 122. Some r e m a r k s on semi-groups . Norske Vial. Selsk. Forh., 24 no. 9, T r o n d h e i m 1952.

123. T h e o r e m s of divis ibi l i ty in some semi-groups . 1Vorske Vid. Selslc. Farh., 24, no. 10, T r o n d h e l m 1952.

124. A s imple proof on the condi t ion of so lvab i l i ty of t he d iophan t i ne equa t i on ax ~ +by2+cz e =0 .

Norske Vid. Selsk. Forh., 24, no. 23, T r o n d h e i m 1952. 125. T h e o r y of divis ibi l i ty in some c o m m u t a t i v e semi-groups . Norsk Mat. Tidsskr., 33, Oslo 1951. 126. E k s i s t e n s e n a v e n n te ikke -po tens res t m o d p m i n d r e e n n p (Sur l ' ex i s tenee d ' u n non-r~s idu n- i~me

< p modu lo p). Norsk Mat. Tidsskr., 33, Oslo 1951. 127. E t enke l t bevis for lo sba rhe t sbe t inge l sen for den d iofan t i ske l igning ax e +by e +cz ~ = 0 (D~mons-

t r a t i on s imple de la condi t ion pou r la r6solubilit~ de l '~qua t ion d i o p h a n t i e n n e ax e + by ~ + cz ~ = 0).

Norsk Mat. Tidsskr., 33, Oslo 1951. 128. T he genera l congruence of t he 4 th degree m o d u l o p , p pr ime. Nors]c Mat. Tidsskr., 34, Oslo 1952.

129. On a ce r ta in connec t ion be tween t he d i s c r iminen t of a po lynomia l a n d t he n u m b e r of i t s i r reducible

fac tors rood p. Nors]c Mat. Tidsskr., 34, Oslo 1952. 130. A r e m a r k on a se t t h e o r y based on posi t ive logic. Norske Vid. Selslc. Forh., 25, no. 22 , T r o n d h e i m

1953. 131. Anvende l se a v 3-adisk ana l y se og * b ikropper * ti l bevis for noen sa t se r ang~mnde visse kub i ske

u b e s t e m t e l igninger (Appl iqua t ion de l ' ana lyse 3-adique k la d ~ m o n s t r a t i o n de que lques th~or~mes

sur les ~qua t ions eub iques ind~termin~es) . Norsk Mat. Tidss]cr., 34, Oslo 1952. 132. A t h e o r e m on some semi-groups . Norske Vid. Selslr Forh., 25, no. 18, T r o n d h e i m 1953.

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146. A crit ical r e m a r k on founda t i ona l research. Nors]ce Vid. Selslc. Forh., 28, no. 20, T r o n d h e i m 1955. 147. On t he n u m b e r of so lu t ions of some algebraic congruences modu lo p , p p r ime. Fests]crift til B.

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T H O R A L F SKOLEM I N M E M O R I A M XI

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153. A n ordered set of a r i t h m e t i c func t ions r ep re sen t ing the leas t ~-number . Norske Vid. SelMc. Forh., 29, no. 12, T r o n d h e i m 1956.

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155. On cer ta in d i s t r i bu t ions of in tegers in pa i r s w i th g iven differences. Math. Scand., 5, K e b e n h a v n 1957.

156. ~ b e r e inige E i g e n s c h a f t e n der Z a h l e n m e n g e n [~r +fl] bei i r r a t iona lem ~ m i t e in le i t enden Bemer -

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S ou t h B e n d 1962.

I1 f au t y a jou te r que Skolem a redig~ la pa r t i e m a t h ~ m a t i q u e du livre de K r i s t i a n Bi rke land: The

norwegian Aurora Polaris Expedition 1902-1903, Vol. I, Sect ion 2, K r i s t i a n l a 1914. Encore , il a publiC, cn collab, avec K r i s t i a n Bi rke land , deux no te s su r la lumi~re zodiacale d a n s le

t ome 159 (p. 464 et p. 495) des Comptes Rendus de l'Acad, d. Sciences, Par i s 1914.