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ÉCOLE NATIONALE SUPERIEURE DES TÉLÉCOMMUNICATIONS
PARIS
THÈSE
pour obtenir le grade de
DOCTEUR de L’Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications
Spécialité : Électronique et Communications
François ZIADÉ
FAISABILITÉ D’UN ÉTALON CALCULABLE DE
PUISSANCE HAUTES FRÉQUENCES Soutenue le 8 Avril 2008 devant le jury composé de :
Eric KERHERVE Président Martine VILLEGAS Rapporteurs Bernard JARRY Bernard HUYART Examinateur Eric BERGEAULT Directeur de thèse Alireza KAZEMIPOUR Encadrant
2
Remerciements
Ce travail de thèse s’est effectué dans le cadre d’une bourse CIFRE au sein
de deux équipes dont je tiens à souligner dès à présent les compétences techniques
et humaines : le groupe Hautes Fréquences du LNE et le groupe RFM de l’école
Telecom ParisTech. Mes remerciements vont donc s’adresser à mes collègues de
travail ainsi qu’à mes proches dont le soutien a été inestimable et sans faille.
Je remercie Monsieur Eric KERHERVE, Professeur à IXL Talence, pour l’honneur qu’il m’a fait en acceptant de présider ce jury.
Je tiens à remercier tout particulièrement Madame Martine VILLEGAS,
Professeur à l’ESIEE et Monsieur Bernard JARRY, professeur à l’XLIM pour
avoir bien voulu faire partie de ce jury afin de rapporter ce travail.
J’adresse mes plus sincères et profonds remerciements à Monsieur Bernard
HUYART, Professeur à Telecom ParisTech et Responsable du Laboratoire RFM,
pour n’avoir jamais fermé la porte de son bureau et ainsi permis de discuter à de
nombreuses reprises de ce travail. Ses compétences sont inestimables pour moi. Je
le remercie également d’avoir accepté d’examiner mon rapport de thèse.
Mes amicaux remerciements s’adressent à Monsieur François PIQUEMAL,
responsable de la division Métrologie Electrique Fondamentale du LNE pour
m’avoir accueilli chaleureusement au sein du laboratoire, pour m’avoir encouragé,
et pour ses discussions rugbistiques matinales.
Incontestablement cette thèse n’aurait jamais pu être menée à son terme sans
un encadrement compétent et humain : Monsieur Eric BERGEAULT, Professeur
à Telecom ParisTech, et Monsieur Alireza KAZEMIPOUR, Chercheur Ingénieur
au LNE.
Merci Eric d’avoir accepté d’être mon directeur de thèse, de m’avoir
soutenu jusqu’au bout et particulièrement dans la dernière ligne droite où ta
rigueur n’a jamais failli, malgré les multiples relectures : la rédaction de ce
manuscrit et sa présentation orale n’auraient jamais pu être achevées sans toi. Tu
m’auras également poussé à m’interroger davantage à un moment charnière de ma
4
thèse : bien t’en as pris. Je te témoigne toute mon amitié et j’espère boire avec toi
une bière à une Feria landaise…
Merci Alireza, ton soutien moral et scientifique au quotidien n’a pas de prix.
Dans les nombreux moments de doute, tu auras su me donner un autre regard sur
ce travail, me faire relativiser. Ton bureau toujours ouvert et ta disponibilité
auront été pour moi un havre qui a apaisé mes nombreuses questions. Sans toi ce
travail n’aura jamais pu être mené à BIEN.
Je remercie Monsieur Djamel ALLAL et Monsieur Gérard GENEVES,
Chercheurs Ingénieurs au LNE, pour les nombreuses discussions et leur
disponibilité à toute heure de la journée, même à des heures très matinales ! Ils
n’ont jamais cessé de s’intéresser à ce travail et leur bienveillance a été d’un grand
réconfort pour moi.
Si je peux aujourd’hui continuer à faire mon travail de recherche au sein du
LNE je le dois à Monsieur Alexandre BOUNOUJH, responsable du département
Basses Fréquences, qui m’a accordé sa confiance et son soutien. Merci de m’avoir
donné cette opportunité. Travailler aujourd’hui dans ton équipe est un véritable
plaisir au quotidien.
Merci à mes collègues de l’équipe HF Patricia VINCENT-DROUART,
Alexis LITTWIN, Mebrouk BAHOUCHE, Mohamed BOURGHES, et de
l’équipe BF Dominique LEPRAT, Patrick ESPEL, Denis BELIERES et André
POLETAEFF. Travailler avec vous a été, est et sera toujours un plaisir. Je
témoigne en particulier toute mon amitié à Mohamed, son aide dans la mesure
aura été précieuse mais également sa bonne humeur et son soutien. J’envoie tous
mes encouragements à Mebrouk pour la fin de sa thèse.
Merci à toue l équipe HF du centre d’étalonnage et en particulier Rémy
PICOU pour m’avoir permis de réaliser des mesures dans d’excellentes
conditions.
Je remercie tous mes collègues du LNE et de Telecom ParisTech pour leur
bonne humeur et leur soutien. Un remerciement spécial à Olivier Thévenot pour
sa participation sportive au début de la thèse, c’est un plaisir de te côtoyer tous les
jours. Je témoigne toute mon amitié à Ghalid ABIB, je n’ai rencontré quelqu’un
d’aussi patient, serviable et bienveillant que toi. Tu auras été un pilier dans le
groupe RFM.
5
C’est dans la difficulté que l’on reconnaît ses amis : j’ai la chance d’avoir
pu compter sur leur soutien et leur compréhension pour mes nombreuses
absences : merci du plus profond du cœur à Xavier, Aline, Yann et Jean-Marc.
Merci à toute la famille SABBAGH et en particulier Sonia, Lulu, Ghislaine,
Béni, David et Ilana, pour m’avoir accueilli au sein de leur famille avec tant de
bienveillance et de chaleur.
Sans mes parents, Hélène et Gabriel, ma fratrie Pierre, Julie et Thomas, mes
oncles et tantes Thérèse, Tony et Yves, et mes grands parents Juliette et Marius je
ne serais pas ce que je suis maintenant… L’homme que je suis aujourd’hui est un
peu fait de chacun d’eux.
Mes derniers remerciements s’adressent à Audrey qui est à mes côtés depuis
4 années avec tant de bonheur. Audrey tu auras connu tous les moments difficiles
mais aussi les petites victoires, et dans chacun de ces moments ton amour sans
faille m’aura donné la force d’un géant. C’est grâce à toi que j’ai pu relever la
tête, tenir bon pour arriver à la fin de ce travail. Tu combles ma vie.
Résumé
Tout appareil de mesure doit être raccordé à une référence appelée étalon.
Les étalons sont détenus dans chaque pays par un institut de référence : le
Laboratoire National de Métrologie (LNM). Le Laboratoire National de
Métrologie et d’Essais (LNE) est responsable de la métrologie française et assure
le maintien et le développement des étalons nationaux pour l’ensemble des
domaines et en particulier en électricité-magnétisme.
En puissance Hautes fréquences (HF), pour la plupart des LNM, l’étalon
est constitué d’un microcalorimètre associé à une monture bolométrique. Des
efforts constants sont menés pour établir d’autres références. Ce travail de thèse
CIFRE, effectué au sein du groupe HF du LNE et du groupe Radiofréquences et
Micro-ondes (RFM) de l’école TELECOM ParisTech, vise à étudier la faisabilité
d’un étalon calculable de puissance HF. Un étalon calculable permet de
s’affranchir de toute procédure d’étalonnage car il est raccordé directement aux
principes physiques et mathématiques.
L’efficacité η est le paramètre métrologique d’un étalon de puissance HF
et représente ses pertes. Ce travail de thèse a pour objectif de modéliser
entièrement l’étalon afin d’en calculer l’efficacité. Dans un premier temps, un
étalon de puissance innovant a été réalisé en technologie coplanaire (CPW) avec
un coefficient de réfection adapté jusqu’à 8 GHz. Dans un second temps, des
simulations électromagnétiques 3D et des mesures Multiline TRL nous ont permis
d’établir son modèle électrique complet :
- la transition du connecteur SMA vers la ligne CPW
- le rayonnement
- la constante de propagation γ et l’impédance caractéristique Zc de la ligne
CPW
- les capacités de découplage
- l’interaction entre les composants
L’écart moyen obtenu entre l’efficacité calculée et l’efficacité mesurée au
microcalorimètre est inférieur à 1.2 %. La très bonne concordance obtenue entre
le calcul et la mesure ouvre la voie vers un étalon calculable de puissance HF.
Abstract
All measuring device have to be related to a reference named a standard. In
each country a reference institute is in charge of its standards: National
Laboratory of Metrology (LNM). The Laboratoire National de Métrologie et
d’Essais (LNE) is in charge of the French metrology and provides the
maintenance and development of the national standards in all domains and
especially in the electricity-magnetism domain.
For most of the LNMs, the reference standard in high frequency power
(HF) is constituted by a microcalorimiter and a bolometer mount. Numerous
attempts have been made to set up a new reference. This PhD work, done in
collaboration between the HF group of LNE and Radiofrequency and Microwave
group (RFM) of the TELECOM ParisTech School, aims to study the feasibility of
a calculable HF power standard. A calibrating procedure is no more necessary
with a calculable power standard since it is only based on physical and
mathematical principles.
The metrological parameter of a HF power standard is its efficiency η which represents the losses. This PhD work aims to establish a complete electrical
model of the standard in order to calculate its efficiency. First, a power standard
has been realized in coplanar (CPW) technology with a reflection coefficient
matched to 8 GHz. Then, 3D electromagnetic simulations and Multiline TRL
measurements have allowed us to establish its complete electrical model which
takes into account:
- The transition between SMA connector and CPW line
- The radiation
- The propagation constant γ and characteristic impedance Zc of the CPW
line
- The DC block capacitor
- The electromagnetic interaction between components
The mean deviation between the calculated efficiency and the efficiency
measured by microcalorimeter method is less than 1.2%. Such a good
concordance between calculation and measurement opens the gate to a calculable
HF power standard.
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Table des matières
Introduction ............................................................................................... 1
Chapitre 1 .................................................................................................. 7 Puissance radiofréquence et métrologie.................................................... 7
1. Introduction ......................................................................................................................7
2. Présentation des principales sondes de puissance ..........................................................15 2.1. Sondes à diodes ..........................................................................................................16 2.2. Sondes à thermocouples .............................................................................................18 2.3. Sondes à thermistances...............................................................................................20
3. Mesure au microcalorimètre...........................................................................................21 3.1. Microcalorimètre et principe général de la mesure ....................................................21 3.2. Formule théorique de l’efficacité effective ................................................................23 3.3. Montage expérimental................................................................................................25 3.4. Mise en œuvre de l’étalonnage...................................................................................26 3.5. Hypothèses, limitations de la méthode et ordre de grandeur des incertitudes ...........27
4. Efficacité calculable : contexte et étapes du travail .......................................................29
Chapitre 2 ................................................................................................ 31 Conception d’un wattmètre en technologie planaire : simulation électromagnétique.................................................................................... 31
1. Introduction …………………………………………………………………………....31 2. Monture bolométrique coaxiale .....................................................................................32 2.1. Principe général..........................................................................................................32 2.2. Considérations techniques..........................................................................................33 2.3. Performances ..............................................................................................................36 2.4. Validation du logiciel CST.........................................................................................37 2.5. Vers un wattmètre en technologie planaire ................................................................39
3. Prototype en technologie microruban [DC – 2 GHz].....................................................41
4. Prototype en technologie coplanaire [DC – 8 GHz] ......................................................45 4.1. Contexte et objectifs...................................................................................................45
10
4.2. Conception du wattmètre ...........................................................................................47 4.2.1. Première étape : définition de la structure..........................................................48 4.2.2. Deuxième étape : réalisation ..............................................................................51
5. Résultats de mesure du coefficient de réflexion et de l’efficacité..................................53
6. Simulation du coefficient de réflexion et calcul de l’efficacité avec CST.....................56
7. Conclusion......................................................................................................................59
Chapitre 3…………………………………………………………...…. 61 Modélisation du wattmètre coplanaire DC-8 GHz ………………….... 61
1. Introduction ………………………………………………………………………….... 61
2. Méthode de calibration Multiline TRL ..........................................................................63
3. Caractéristiques des lignes coplanaires : γ, Zc ...............................................................69 3.1. Détermination de la constante de propagation ...........................................................71 3.2. Calcul de l’impédance caractéristique Zc ...................................................................73
3.2.1. Calcul quasi-statique ..........................................................................................76 3.2.3. Mesure à 1 kHz au pont de capacité du LNE.....................................................81 3.2.4. Récapitulatif des résultats obtenus pour CDC .....................................................85 3.2.5. Mesure de l’impédance caractéristique ..............................................................87
4. Modélisation de la capacité de découplage DC-RF .......................................................89 4.1. Introduction ................................................................................................................89 4.2. Modèle électrique de la capacité céramique Multicouche .........................................91 4.3. Caractérisation des capacités céramiques multicouches ............................................94 4.4. Détermination des valeurs du modèle et résultats ....................................................100
4.4.1. Utilisation de la matrice Y ...............................................................................100 4.4.2. ESR...................................................................................................................101 4.4.3. Détermination de L et C : .................................................................................102 4.4.4. Détermination de Rsub1, Csub1, Rsub2 et Csub2 : ...................................................104
5. Thermistance ................................................................................................................109 5.1. Généralités................................................................................................................109 5.2. Modèle électrique .....................................................................................................111 5.3. La mesure .................................................................................................................112 5.4. Détermination des valeurs du modèle électrique .....................................................115
5.4.1. Détermination de r............................................................................................116 5.4.4. Détermination de l’inductance par unité de longueur L...................................121 5.4.6. Résultats des paramètres S modélisés et mesurés ............................................123
6. Rayonnement …………………………………………………………………………125
7. Transition ……………………………………………………………………………..130 7.1. Définition du modèle électrique ...............................................................................130 7.2. Détermination des valeurs du modèle électrique choisi...........................................133
11
8. Modélisation de l’interaction entre les capacités de découplage par une capacité d’interaction .........................................................................................................................138
9. Conclusion....................................................................................................................143
Chapitre 4 .............................................................................................. 147 Optimisation et caractéristiques des wattmètres coplanaires................ 147
1. Introduction ………………………………………………………………………….. 147 2. Optimisation des paramètres du modèle électrique pour le calcul du facteur de réflexion 151
3. Présentation de la méthode de calcul de l’efficacité ....................................................156
4. Incertitude sur l’efficacité calculée ..............................................................................160
6. Conclusion....................................................................................................................163
Conclusion générale et perspectives ..................................................... 165
Annexe A: Méthode d’étalonnage par substitution à la sortie d’un coupleur directif..................................................................................... 173 Annexe B : Méthode de calibration TRL.............................................. 176 Annexe C: Méthode de calibration Multiline TRL............................... 182 Annexe D : Calcul quasi-statique d’une ligne coplanaire..................... 189 Annexe E : Rayonnement...................................................................... 191
Bibliographie ......................................................................................... 195
Publications…………………………………………………………...201
12
1
Introduction
La métrologie est la science de la mesure. Mesurer, c'est comparer une
grandeur physique inconnue avec une grandeur de même nature prise comme
référence à l'aide d'un instrument. C'est exprimer le résultat de cette comparaison
à l'aide d'une valeur numérique, associée à une unité qui rappelle la nature de la
référence, et assortie d'une incertitude qui dépend à la fois des qualités de
l'expérience effectuée et de la connaissance que l'on a de la référence et de ses
conditions d'utilisation.
Le rôle de la métrologie est incontestable et ses domaines d’application dans
la vie de tous les jours sont multiples. La société s'appuie sur une infrastructure
vaste, et souvent invisible, de services, de denrées, de réseaux de transport et de
communication dont la présence nous est familière et dont le bon fonctionnement
est essentiel à la vie quotidienne. La métrologie, science ou même art de la
mesure, constitue une partie de cette infrastructure cachée ; elle garantit que l’on
peut accorder confiance aux mesures qui sous-tendent notre vie. La métrologie
intervient à des niveaux aussi différents que la fabrication et les échanges de
produits, l’analyse des phénomènes physiques et chimiques, le diagnostic médical,
le contrôle des débits de communication, les systèmes de repérage, la définition et
le contrôle des règles de sécurité, etc.
Dans le domaine des hautes fréquences (HF), nous savons que la longueur
d’onde est petite devant les dimensions physiques. Sur une longueur de ligne de
transmission, le courant et la tension ne sont pas constants. C’est la puissance qui
est alors mesurée. Dans toutes les applications civiles et militaires, nous avons
besoin de connaître les niveaux de puissance d’entrée et de sortie. L’appareil
utilisé est le wattmètre. Ce dernier ne mesure pas la puissance HF directement
mais une quantité intermédiaire qui, elle, est mesurable. Un élément sensible placé
à l’intérieur permet d’absorber la puissance et de la transformer en une quantité
mesurable. Différents types d’éléments sensibles sont recensés :
- les sondes à thermocouple mesurent la puissance via une température ;
- les MEMS (Micro-Electro-Mechanical Systems) mesurent la puissance via
une force ;
2
- les montures bolométriques mesurent la puissance via un courant continu
(Figure 1).
FIG. 1 - Illustration d’une mesure de puissance réalisée avec une monture bolométrique.
Comme tout appareil de mesure, le wattmètre doit être raccordé à une
référence appelée « étalon ». Actuellement, le Laboratoire National de Métrologie
et d’Essais (LNE) utilise comme étalon de puissance un microcalorimètre
(Figure 2). Il constitue l’étalon national pour la mesure de puissance HF. Le
microcalorimètre est une enceinte thermique, isolée de l’extérieur, qui permet de
mesurer des variations de température de l’ordre du millième de degré. Il permet
d’étalonner des montures bolométriques à thermistances ou les montures à
thermocouples.
FIG. 2 - Microcalorimètre : référence primaire pour la mesure de puissance.
Dans un cas idéal, un wattmètre devrait être capable de détecter toute la
puissance entrée à l’intérieur. Cependant, à cause des pertes notamment dans les
3
parties métalliques, un paramètre supplémentaire a été introduit pour caractériser
un wattmètre : l’efficacité ηηηη. Elle rend compte des pertes et est définie par la
relation générale :
η = puissance absorbée par l'élément sensible
puissance HF entrée dans le système (1)
La mesure au microcalorimètre permet de déterminer l’efficacité effective
ηηηηe. Cette quantité est différente de l’efficacité η à cause du principe de la mesure.
Prenons par exemple le cas des montures bolométriques à thermistance. La
thermistance possède une caractéristique en température en fonction de la
puissance reçue. Mesurer directement la puissance HF constitue un problème
complexe. Il s’agit ici de comparer la puissance continue DC et la puissance HF
donnant la même élévation de température de l’élément sensible (thermistance).
Dans ce modèle, une hypothèse est introduite : l’élévation de température de la
thermistance due à une puissance continue, appelée puissance substituée en
courant continu, serait très proche de celle provoquée par une puissance HF.
L’efficacité effective pour une monture bolométrique est définie par la relation :
eη = puissance substituée en courant continu
puissance HF entrée dans le système (2)
Pour mesurer l’efficacité effective, chaque laboratoire national de
métrologie a besoin d’un dispositif expérimental complexe et coûteux. Sa
complexité s’explique par les variations très faibles des quantités à mesurer. Son
coût réside dans l’installation et le temps nécessaire pour réaliser l’étalonnage.
L’instrumentation utilisée présente également des dérives au cours du temps.
C’est dans ce contexte que s’inscrit ce sujet de thèse relatif à l’étude de la
« Faisabilité de l’étalon calculable de puissance HF ». Les objectifs de ce travail
sont de :
- déterminer l’efficacité η - mieux connaître les pertes
- définir une référence supplémentaire à celle constituée par la mesure au
microcalorimètre
4
C’est pourquoi le groupe Hautes Fréquences du LNE a pensé concevoir un
autre étalon entièrement « calculable ». Un étalon calculable permettrait de
s’affranchir de toute procédure d’étalonnage car il est raccordé directement aux
principes physiques et mathématiques. Pour étudier la faisabilité du calcul de
l’efficacité nous avons conçu un wattmètre en technologie planaire. A partir de
simulations électromagnétiques en trois dimensions et de mesures de notre
système nous avons modélisé le wattmètre pour extraire du modèle l’efficacité
ηηηη.
Dans le premier chapitre, nous présenterons les définitions de la puissance
radiofréquence (RF) et les principes métrologiques qui y sont associés. Ainsi, les
principaux détecteurs de puissance utilisés dans les wattmètres seront détaillés.
Puis, nous nous intéresserons de manière approfondie à la mesure au
microcalorimètre de l’efficacité effective avant d’introduire les bases pour le
calcul de l’efficacité.
Dans le second chapitre, nous poserons les bases de l’étude. Afin de montrer
la faisabilité du calcul de l’efficacité, nous avons réalisé un wattmètre. La monture
bolométrique coaxiale est utilisée par le laboratoire dans la gamme de fréquences
DC – 26 GHz. En terme de performance, elle constitue une référence. Nous nous
sommes appuyés sur cette technologie pour concevoir nos propres prototypes en
technologie planaire. Nous présenterons les deux maquettes conçues en
technologie microruban et coplanaire. Nous finirons ce chapitre par les premières
tentatives de calcul de l’efficacité avec le logiciel de simulation électromagnétique
CST.
Dans le troisième chapitre, nous présenterons la démarche choisie pour une
modélisation électrique du wattmètre coplanaire. Nous détaillerons toutes les
méthodes de mesure et de simulation utilisées pour attribuer à chaque partie du
wattmètre un modèle électrique ou mathématique équivalent.
Dans le quatrième chapitre, le modèle électrique équivalent complet du
wattmètre sera proposé. Nous présenterons l’optimisation des paramètres du
modèle réalisé pour le calcul du coefficient de réflexion d’entrée du wattmètre.
Une fois les valeurs du modèle figées, nous exposerons la méthode mise en œuvre
pour calculer l’efficacité. Nous comparerons le calcul de l’efficacité à la mesure
au microcalorimètre de l’efficacité effective.
5
En conclusion, nous résumerons les objectifs de ce travail, les étapes
franchies et les limites du calcul avant de présenter les perspectives possibles de
ce travail.
6
7
Chapitre 1
Puissance radiofréquence et métrologie
1. Introduction
Pourquoi mesure-t-on les niveaux de puissance des signaux radiofréquence
(RF) ? Le niveau du signal de sortie d’un système ou d’un composant RF est
souvent un paramètre critique pour la phase de conception. Dans un système RF,
chaque composant de la chaîne de transmission reçoit un signal avec un certain
niveau et le transmet au composant suivant. Si le niveau de puissance se détériore
d’un étage du système à l’autre, en devenant trop grand ou trop faible les
performances du système se dégradent également. Par conséquent, le niveau de
puissance constitue un critère important pour la performance de grands nombres
d’équipements RF. Il est donc nécessaire de disposer de dispositifs de mesure de
puissance précis, répétables, et raccordables aux éléments étalons d’un laboratoire
de métrologie (traçabilité).
En continu ou en basse fréquence, la puissance peut être mesurée
directement à partir des grandeurs primaires fondamentales (tension et courant).
En hautes fréquences, à partir d’un gigahertz, une mesure directe de la puissance
devient impossible car les tensions et les courants ne sont plus des grandeurs
accessibles en pratique et ce, pour deux raisons principales :
- le long d’une ligne de transmission sans perte, la tension et le courant
varient alors que la puissance est constante ;
- certaines lignes de transmission comme les guides d’onde rectangulaires
sont constituées d’une seule partie métallique : le courant et la tension sont alors
difficiles à définir.
8
En hautes fréquences, la puissance devient donc la grandeur de référence.
Le système international d’unités (SI) a défini le watt (W) comme l’unité de
puissance : un watt est un joule par seconde. Son expression en termes d’unités de
base est : kg m2s-3. Il est intéressant de remarquer qu’aucune quantité électrique
n’intervient dans la définition de la puissance. Bien au contraire, plusieurs unités
électriques sont dérivées du watt, comme le volt qui est défini comme un watt par
ampère.
Dans bien des cas, comme lors de la mesure du gain ou de l’atténuation, la
puissance relative est généralement préférée à la puissance absolue. Pour
quantifier des niveaux relatifs de puissance, le décibel (dB) et le décibel-par-
rapport-au-milliwatt (dBm) peuvent alors être utilisés.
Le dB est défini comme le rapport d’une puissance P sur un autre niveau
de référence Pref. Le dBm est défini comme le rapport d’une puissance P sur un
milliwatt. Ces unités sont sans dimension et présentent un avantage dans les
calculs de gain ou d’atténuation de systèmes en cascade : la multiplication des
gains est en effet remplacée par la somme de chaque gain exprimé en dB.
La mesure de puissance est un terme général qui regroupe en réalité
plusieurs types de puissance : mesure de la puissance moyenne, mesure de la
puissance maximale instantanée utilisée dans de nombreux systèmes de
modulation complexes sans fils, mesure par fenêtre temporelle (time gated power
measurement) utilisée pour mesurer dans le domaine temporel la puissance
maximale instantanée et la puissance moyenne des stations de base de téléphonie
mobile... Habituellement, le terme de puissance est employé pour parler de
puissance moyenne. Les termes de puissance impulsionnelle et de puissance
crête sont plus appropriés pour les applications radar et les systèmes de
navigation.
Il convient donc de définir les principaux types de puissance.
En électricité, la définition de base de la puissance est le produit du courant
par la tension. Cependant, pour un signal sinusoïdal CW (continuous wave) de
fréquence f, le produit U×I se décompose en une composante continue et une
composante variable de fréquence 2×f (Figure 1). Le terme de puissance est
habituellement utilisé pour désigner la composante continue du produit U×I.
Toutes les sondes de puissance que nous présenterons mesurent la puissance en
moyennant le produit U×I : elles sont donc sensibles à la composante continue.
9
La définition fondamentale de la puissance est l’énergie par unité de temps. La définition du watt s’écrit donc comme un transfert d’énergie
correspondant à un débit d’un joule par seconde. Une question importante se
pose : sur quelle durée de temps doit-on mesurer le débit d’énergie. Dans le
domaine des microondes, la puissance est définie comme le transfert d’énergie par
unité de temps moyenné sur plusieurs périodes à la plus basse fréquence du signal.
FIG. 1 - Le produit de la tension et du courant, soit la puissance instantanée varie pendant la période d’un signal sinusoïdal.
La puissance moyenne se définit comme le débit d’énergie moyenné sur
plusieurs périodes à la plus basse fréquence permise.
∫ ×=nT
0
moy dt)t(i)t(enT
1P (1)
Où T est la période correspondant à la plus basse fréquence du signal, avec
e(t) et i(t) la tension et le courant de ce signal.
Ainsi, pour un signal CW, la fréquence étant unique, la puissance moyenne
et la puissance sont équivalentes. Pour un signal modulé en amplitude, la
puissance doit être moyennée sur plusieurs périodes du signal modulant. Le temps
de moyennage pour les sondes de puissance et wattmètres associés est de l’ordre
de quelques centièmes de seconde à quelques secondes. Les sondes à
thermistance et à thermocouple mesurent la puissance moyenne.
10
Pour des signaux impulsionnels, le débit d’énergie est moyenné sur la
largeur de l’impulsion τ. La largeur de l’impulsion τ est définie par les points situés à 50% du temps de montée et 50% du temps de descente de l’impulsion.
Mathématiquement, la puissance impulsionnelle est donnée par :
p0
1P e(t) i(t)dt
τ= ×∫τ
(2)
La définition ci-dessus ne tient pas compte des particularités ou aberrations
pouvant être présentes dans l’enveloppe d’une impulsion telle que des overshoot
(crête de valeur absolue supérieure à la valeur finale de l’impulsion).
Une autre définition de la puissance impulsionnelle a été donnée ces
dernières années, plus facile à utiliser en pratique :
moyp
PP
longueur des impulsions= (3)
La longueur des impulsions se définit comme le produit de la durée de
l’impulsion par la fréquence de répétition. Cette définition étendue permet de
calculer la puissance impulsionnelle à partir de la mesure de la puissance
moyenne et de la longueur des impulsions. Cette définition convient notamment
pour des impulsions rectangulaires où l’intervalle τ peut être correctement
mesuré. Les sondes de puissance permettant la mesure de la puissance
impulsionnelle ont des constantes de temps inférieures à la microseconde.
FIG. 2 - Puissance impulsionnelle.
11
Pour certaines applications microondes plus sophistiquées et pour des
besoins nécessitant une meilleure précision, le concept de puissance
impulsionnelle n’est pas totalement satisfaisant. Pour des impulsions non
rectangulaires ou pour des impulsions avec des aberrations, des difficultés
surviennent pour déterminer précisément la largeur de l’impulsion τ. La figure 3 montre un exemple d’une impulsion de forme gaussienne, utilisée dans certains
systèmes de navigation. On peut observer que la puissance impulsionnelle définie
par les équations (2) et (3) ne donne par un véritable aperçu de la puissance
contenue dans l’impulsion. La puissance crête est un terme alors utilisé pour
définir le maximum de puissance du signal.
Dans un premier temps, la puissance de l’enveloppe est mesurée en
utilisant un temps de moyennage beaucoup plus petit que 1/fm, où fm est la
fréquence maximale du signal de modulation. La puissance crête est ensuite
déduite en déterminant le maximum de la puissance de l’enveloppe. Pour des
signaux parfaitement rectangulaires, la puissance crête de l’enveloppe est égale à
la puissance impulsionelle définie précédemment.
FIG. 3 - Puissance d’un signal gaussien.
La puissance moyenne, la puissance impulsionnelle, la puissance crête sont
toutes trois équivalentes pour un signal CW. De toutes les mesures de puissance,
la puissance moyenne est celle la plus fréquemment mesurée car elle nécessite des
équipements simples à mettre en œuvre, de grande précision et traçables. La
puissance impulsionnelle et la puissance crête peuvent souvent être déduites de la
puissance moyenne.
(Équation (3))
(Équation (2))
12
L’apparition de nouveaux systèmes RF et microonde, qui utilisent des
signaux de plus en plus complexes, rend la mesure de puissance encore plus
ardue. L’utilisation dans les systèmes de communication de signaux à enveloppes
complexes, de signaux à plusieurs porteuses compliquent le choix de l’utilisateur
pour sélectionner la sonde appropriée.
Pour mesurer la puissance RF et microonde, différents instruments
disponibles dans le commerce peuvent être employés :
- analyseur de signal vectoriel
- analyseur de spectre
- analyseur vectoriel
- wattmètre et sonde
Le wattmètre associé à sa sonde de puissance (Figure 4) constitue
l’instrument commercial le plus précis parmi ceux existants. De manière générale,
une sonde de puissance est un capteur qui transforme la puissance en une quantité
mesurable (tension, force, chaleur...). Les sondes de puissance commerciales sont
des sondes à diode, à thermocouple ou à thermistance qui transforment l’énergie
RF en une tension DC. Le wattmètre affiche une valeur de puissance associée à la
quantité mesurée par la sonde. La précision de l’instrumentation du wattmètre est
de l’ordre du centième de décibel alors que les autres appareils ont une précision
de mesure de l’ordre du dixième de décibel. Les wattmètres traditionnels ne sont
pas sélectifs en fréquence, contrairement aux autres appareils, mais ils mesurent la
puissance moyenne sur toute la gamme d’utilisation de la sonde, ce qui inclut la
puissance de la porteuse et des harmoniques. Notre propos va se restreindre à la
mesure de puissance moyenne et aux sondes associées, seuls instruments
étalonnés dans les laboratoires nationaux de métrologie.
FIG. 4 - Wattmètre associé à sa sonde de puissance.
13
Comme de nombreux systèmes de mesure, il existe plusieurs sources
d’incertitude liées à la mesure de puissance :
- l’erreur de désadaptation : le générateur RF, dont on veut mesurer la
puissance de sortie, n’a pas exactement la même impédance caractéristique que la
sonde de puissance, une partie Pr de la puissance incidente Pi arrivant sur la sonde
est donc réfléchie ;
- l’erreur liée à la sonde de puissance : seule une partie PM de la puissance
entrante Pin dans la sonde est mesurée par les éléments sensibles. Cette erreur se
traduit par l’efficacité η définie par la relation suivante :
M
in
P
Pη = (4)
- l’erreur liée au wattmètre : bruit, dérive, incertitude liée à
l’instrumentation…
Ces appareils sont donc étalonnés pour tenir compte de ces erreurs. Nous
nous intéresserons uniquement aux erreurs liées à la sonde de puissance. Une
sonde de puissance commerciale, d’efficacité η et de facteur de réflexion Γ, est caractérisée par son facteur d’étalonnage K défini par :
( )2M
i
PK 1
P= = η× − Γ (5)
On doit pouvoir relier le facteur d’étalonnage de la sonde commerciale d’un
utilisateur à un étalon primaire. La figure 5 présente la chaîne de traçabilité reliant
le facteur d’étalonnage de la sonde de l’utilisateur, noté Ku, à l’étalon primaire. Le
laboratoire de transfert et le laboratoire primaire sont regroupés au sein du
laboratoire national de métrologie. La sonde de l’utilisateur est étalonnée dans le
laboratoire de transfert qui, lui, est raccordé au laboratoire primaire. L’étalon
primaire de puissance HF pour la majorité des laboratoires nationaux de
métrologie est le microcalorimètre. Il constitue la référence la plus précise.
L’étalon de transfert, de facteur d’étalonnage K, peut être une monture
bolométrique à thermistance commerciale modifiée ou non, ou une monture
bolométrique à thermistance fabriquée spécifiquement par le laboratoire. Le
laboratoire primaire reçoit l’étalon de transfert selon une certaine périodicité. A
l’issue de l’étalonnage au microcalorimètre, l’efficacité effective ηe est connue
14
avec une incertitude donnée (liée à la bande de fréquence, à la monture et au
microcalorimètre). Dans la chaîne de raccordement, il est important de noter
que le paramètre métrologique de l’étalon de transfert est ηηηηe. Une mesure
supplémentaire du coefficient de réflexion Γ permet de connaître le facteur
d’étalonnage K. Le facteur d’étalonnage est donné par la relation :
( )2Me
i
PK 1
P= = η × − Γ (6)
La sonde de l’utilisateur, de facteur d’étalonnage Ku, est envoyée au
laboratoire de transfert pour être étalonnée (selon une certaine périodicité). Le
laboratoire de transfert étalonne la sonde de l’utilisateur par une méthode par
substitution (Annexe A) qui utilise l’étalon de transfert. Cette méthode est
beaucoup plus rapide mais moins précise que la méthode calorimétrique. Cette
méthode permet d’obtenir une mesure du facteur d’étalonnage pour un grand
nombre de fréquences.
FIG. 5 - Traçabilité d’une sonde de puissance RF.
15
Dans ce chapitre, nous allons dans un premier temps présenter les
principales sondes de puissance traditionnelles utilisées pour les wattmètres
commerciaux : les sondes à diode, à thermocouple et à thermistance. Dans un
second temps, nous nous intéresserons à l’étalonnage primaire au
microcalorimètre des étalons de transfert à thermistance. Enfin, nous terminerons
ce chapitre en présentant les principales étapes qui vont jalonner notre étude de la
« faisabilité d’un étalon calculable de puissance hautes fréquences ».
2. Présentation des principales sondes de
puissance
Les sondes à diode, à thermocouple et à thermistance sont les plus
couramment utilisées pour la mesure de puissance moyenne. L’idée commune à
ces trois sondes est de convertir la puissance HF en un signal DC ou basse
fréquence que le wattmètre peut mesurer et relier à un niveau de puissance. La
figure 6 présente les gammes de puissance d’utilisation pour chaque type de
sondes. Chaque capteur possède ses propres avantages et limitations (Armstrong
2000-2004) :
- les thermistances offrent une très grande précision, mais leur dynamique
est plus limitée que celle d’une sonde à thermocouple ou à diode : -20 dBm à +10
dBm ;
- les thermocouples couvrent une très large dynamique de puissance : -30
dBm à +20 dBm ;
- les détecteurs à diode ont une meilleure sensibilité permettant de les
utiliser pour de très faibles niveaux de puissance de l’ordre de -70 dBm. Elles sont
cependant limitées à -20 dBm, puissance à partir de laquelle elles commencent à
dévier de la loi quadratique. Les détecteurs à diode présentent un temps de
détection nettement plus court que les thermistances.
Nous allons présenter succinctement le fonctionnement de chacune de ces
sondes.
16
FIG. 6 - Présentation des différentes sondes de puissance selon leur plage d’utilisation.
2.1. Sondes à diode
Les sondes de puissance à diode permettent de mesurer de faibles niveaux
de puissance, le maximum étant de l’ordre de 10 µW. Les sondes RF sont
constituées généralement d’une diode Schottky non polarisée. Ce type de diode
repose sur une jonction métal-semiconducteur. Elle peut laisser passer ou non le
courant du semiconducteur vers le métal selon la tension de polarisation qui lui est
appliquée :
- en inverse : aucun courant ne traverse la jonction ;
- en direct (potentiel du métal supérieur à celui du semiconducteur) : les
électrons peuvent diffuser du semiconducteur vers le métal ;
Du côté du métal, les électrons peuvent toujours traverser la jonction et
rejoindre le semiconducteur : ce courant est appelé courant de saturation et noté Is.
Il n’est pas influencé par la tension de polarisation extérieure.
Le courant traversant la diode polarisée en direct s’écrit :
T
V
nV sI I e 1
= −
(7)
17
Où V est la tension aux bornes de la diode, VT est la tension thermique, et n
est une constante sans dimension qui dépend des caractéristiques de la diode.
Si l’on applique une tension HF de la forme v=V0cos(ωt) et si V0 << VT, le
développement en série de donne :
( ) ( )2
20 0s
T T
V V1i I cos t cos t ...
nV 2 nV
= ω + ω +
(8)
Soit
( ) ( ) ( )2 2
20 0 0s
T s T
V V V1 1i I cos t cos t cos t ...
4 nV V 4 nV
= ω + ω + ω +
(9)
Le courant IDC obtenu en sortie du détecteur après élimination des
composantes HF du signal à l’aide du filtre passe-bas (Figure 7), est une
composante continue proportionnelle à la puissance HF appliquée :
2
s 0DC
T
I VI
4 nV
=
(10)
Pour de faibles niveaux de puissance HF, la diode fonctionne donc selon
une loi quadratique pour laquelle la tension VDC de sortie du circuit est
directement proportionnelle au niveau de puissance Pin.
in DCP kV= (11)
Où
DC DC LV I R= (12)
Pour mesurer la puissance RF Pin injectée dans la diode, un circuit de
détection est nécessaire (Figure 7). L’impédance d’entrée élevée de la diode
permet une adaptation de l’entrée du détecteur par une simple résistance 50 Ω. La
résistance de charge RL a deux fonctions : tout d’abord elle détermine la
sensibilité du détecteur, puis associée à la capacité CL, elle forme un filtre passe-
bas qui élimine les composantes HF. Les valeurs de RL et CL déterminent, en
combinaison avec la résistance vidéo de la diode Rvidéo, le temps de montée et de
descente du détecteur. Ces caractéristiques sont importantes pour détecter des
TvnVe
18
signaux pulsés. La résistance vidéo de la diode représente la dynamique de la
diode, à faible signal et à basse fréquence. Sa valeur dépend du courant de
polarisation. Elle est égale à la somme de la résistance série de la diode (Rs) et de
la résistance de la jonction (Rj) :
R R Rvidéo s j= + (13)
FIG. 7 - Circuit pour un détecteur à diode.
Pour les sondes à diode, le terme de sensibilité est utilisé. Contrairement aux
sondes à thermocouple ou à thermistance, les sondes à diode ne mesurent pas la
quantité de chaleur contenue dans le signal RF. Le microcalorimètre étant l’étalon
primaire dans la majorité des laboratoires de métrologie, les sondes à diode ne
peuvent donc pas être utilisées comme étalon de transfert.
2.2. Sondes à thermocouple
Un thermocouple repose sur le principe suivant : si une extrémité d’un métal
est portée à une température T1 et l’autre à une température T2, alors le métal
génère une tension ; de même si deux métaux différents reliés ensemble à l’une de
leurs extrémités sont soumis à une différence de température, ils génèrent chacun
une différence de potentiel distinct. La sonde à thermocouple est basée sur cette
différence de potentiel entre les deux métaux. Une extrémité porte le nom de
jonction « chaude » et l’autre le nom de jonction « froide » (Figure 8). Le
matériau constituant le thermocouple est caractérisé par une sensibilité
s’exprimant en mV/W. Si l’on connecte en série une jonction soumise à
l’échauffement (jonction chaude) et une jonction protégée du signal
hyperfréquences (jonction froide), on obtient une différence de potentiel
19
proportionnelle à la puissance à mesurer. La différence de potentiel est donc
mesurée directement par un voltmètre à grande sensibilité.
FIG. 8 - Principe de fonctionnement d’un thermocouple.
La tension produite par un thermocouple étant de l’ordre du microvolt, des
paires de jonctions sont mises en série pour augmenter la tension mesurée en
respectant pour chaque paire le principe jonction chaude - jonction froide. Les
sondes à thermocouples actuelles sont constituées d’une entrée coaxiale, ou en
guide d’onde, reliée à une ligne coplanaire sur laquelle sont disposées par un
dépôt en couches minces, les différentes jonctions de métal (Figure 9). Il existe
deux types de sondes : le premier type est appelé « directly heated » où le
thermocouple reçoit directement la puissance HF, le second type est appelé
« indirectly heated » où le thermocouple mesure la chaleur dissipée par la
puissance HF dans une résistance 50 Ω. Des sondes en connecteur 2.4mm sont
disponibles pour des mesures de puissance jusqu’à 50 GHz.
FIG. 9 - Thermocouple pour la mesure hyperfréquence (Guardiol 1981).
Pour les sondes de puissance à thermocouple, on ne parle pas d’efficacité
mais d’efficacité effective. La mesure est une transposition en tension continue de
la puissance HF et un écart de transposition existe entre les deux quantités. Les
sondes à thermocouple peuvent être étalonnées au microcalorimètre. Jusqu’à
présent, la mesure au microcalorimètre des sondes à thermistance est la plus
20
précise mais certains laboratoires de métrologie travaillent sur la modification des
microcalorimètres pour améliorer la précision (Brunetti et al. 2005). Certains
laboratoires utilisent des sondes à thermocouples comme étalon de transfert.
2.3. Sondes à thermistance
La monture bolométrique utilise une résistance sensible à la chaleur
(bolomètre), qui a pour rôle d’absorber l’énergie microonde, et placée à la fin de
la ligne de transmission. Deux types de bolomètres existent : le fil de platine avec
un coefficient de température positif appelé « barretter », ou la thermistance avec
un coefficient de température négatif. Les montures bolométriques commerciales
utilisées par une partie des laboratoires nationaux de métrologie sont à
thermistance. Seules les spécificités liées aux thermistances seront abordées.
Les thermistances sont polarisées par une source extérieure de courant
continu (DC), généralement un pont de Wheatstone, sur une valeur de résistance
permettant d’adapter l’impédance du bolomètre à celle de la ligne de transmission.
Les montures coaxiales utilisent généralement deux bolomètres disposés en série
pour le courant DC, mais en parallèle pour le courant radiofréquence (RF). Ainsi,
pour s’adapter à la ligne de transmission coaxiale 50 Ω, la paire de bolomètres est
polarisée à l’aide d’un courant I1 sur une valeur de résistance série de 200
Ω (Figure 10).
FIG. 10 - Schéma de la sonde à thermistance connectée au pont de polarisation. Ce dernier mesure la variation de résistance DC, ∆RDC, provoquée par le signal microonde.
Lorsque la monture est soumise à la puissance microonde, la résistance
totale des thermistances diminue ; le courant DC de polarisation injecté par le
pont de Wheatstone est alors réduit à une valeur I2 pour maintenir la résistance des
21
bolomètres sur la valeur de 200 Ω. Ce qui est réellement mesuré par le pont de
Wheatstone est une variation de résistance DC (Figure 10). La variation de
puissance DC absorbée par les thermistances, notée PDC, est donnée par l’équation
(14) : elle est équivalente à la quantité de puissance HF dissipée dans les
thermistances (notée PHF). On parle donc de mesure de puissance par substitution
en courant continu, puisque la puissance RF est remplacée par la variation de
puissance DC de polarisation.
2 21 2
DC HF0
V VP P
R
−= ≡ (14)
Où V1 est la tension DC aux bornes des bolomètres sans courant RF, V2 est
la tension aux bornes des bolomètres avec courant RF, et R0 est la valeur de
résistance série des bolomètres (200 Ω). La puissance RF absorbée par la monture
est calculée en divisant la puissance substituée en courant continu par l’efficacité
effective.
Pour une sonde de puissance à thermistances, le terme d’efficacité n’est pas
utilisé mais plutôt celui d’efficacité effective : la puissance PDC mesurée est
proche de la puissance HF mais elle ne lui est pas exactement égale. En effet, la
distribution de courant dans la thermistance peut ne pas être identique pour les
signaux RF et DC. Ainsi, il peut apparaître une différence dans la distribution de
température d’un cas à l’autre, ce qui implique qu’une même quantité de
puissance RF et DC ne produit pas une variation égale de résistance DC. Cette
erreur se nomme « erreur d’équivalence » ou « erreur de substitution » (Fantom
1990).
3. Mesure au microcalorimètre
3.1. Microcalorimètre et principe général de la mesure
Le terme « microcalorimètre», bien que parfois utilisé comme un terme
général décrivant un dispositif expérimental capable de mesurer des niveaux de
puissance de l’ordre du milliwatt, est en pratique associé à un instrument
permettant de déterminer l’efficacité effective de montures bolométriques
coaxiale ou en guide d’onde rectangulaire. Comme nous l’avons précisé
auparavant, les bolomètres utilisés sont en général des thermistances ; nous
22
emploierons donc indifféremment ces deux termes par la suite. Après la mesure,
la monture est retirée du microcalorimètre pour être utilisée comme étalon de
transfert. La technique de mesure présente des incertitudes pouvant varier de 0.1
pourcent à 10 GHz à 0.5 pourcent à 100 GHz pour les structures en guides d’onde
rectangulaire. La figure 11 présente un exemple de microcalorimètre symétrique.
Deux montures bolométriques identiques sont disposées symétriquement à
l’intérieur du microcalorimètre. L’une est active (DUT) et reçoit la puissance HF,
l’autre appelée référence thermique n’est soumise à aucun signal. Les deux
éléments primordiaux sont les guides à paroi mince et les thermocouples. Les
guides à paroi mince coaxiaux ou à guide d’onde ont deux rôles : ils assurent
d’une part la liaison électrique entre le circuit HF et les montures bolométriques,
et d’autre part, ils isolent thermiquement les montures du puits de chaleur. Les
thermocouples sont reliés aux deux montures. Ils détectent l’échauffement de
température entre la référence et le DUT, et le traduit en une tension
continue mesurée par un nanovoltmètre : la tension relevée est proportionnelle à la
puissance totale dissipée dans le DUT.
Le principe général est le suivant : la puissance HF Pin qui pénètre dans la
monture à étalonner génère un échauffement. La chaleur totale générée qui est
dissipée dans les parois métalliques et dans le bolomètre est mesurée à l’aide du
thermocouple. Un pont de Wheatstone auto-équilibré est relié à la monture
bolométrique. Le pont est utilisé de la même manière que dans le cas des sondes
commerciales décrites précédemment : il permet de mesurer la puissance absorbée
par les thermistances appelée puissance substituée en courant continu PDC. Le
principe de base du microcalorimètre repose donc sur la mesure simultanée de la
puissance HF Pin et de la puissance PDC absorbée par le bolomètre. Le rapport des
deux quantités définissant l’efficacité effective.
FIG. 11 - Microcalorimètre symétrique.
23
3.2. Formule théorique de l’efficacité effective
La détermination de l’efficacité effective de la monture s’effectue dans la
pratique en détectant l’échauffement pour deux cycles différents :
- sans puissance HF, le courant continu de polarisation traversant le
bolomètre est réglé par le pont de Wheatstone à une valeur telle que la résistance
du bolomètre soit égale à sa valeur nominale : 200 Ω dans le cas d’une monture
coaxiale, 100 Ω ou 200 Ω pour une monture en guide ;
- avec puissance HF, le courant continu est réduit de façon à maintenir
constante la thermistance sur sa valeur initiale.
Le bilan des puissances et des échauffements est le suivant :
TAB. 1 - Bilan des puissances et des échauffements de la monture pour les deux cycles.
La puissance en courant continu s’écrit en fonction des deux puissances P1
et P2 :
DC 1 2P P P= − (15)
La puissance totale dissipée dans la monture pendant chacun des cycles est
reliée idéalement aux variations de températures relevées par le thermocouple :
1 1 1T k P∆ = (16)
( )2 1 2 inT k P P∆ = + (17)
Où k1 est la constante de temps thermique du montage.
24
L’efficacité effective est donnée par :
DCe
in
P
Pη = (18)
On introduit une première relation théorique, appelée efficacité brute
effective ηeb :
be
2 1 1
1 1 2
1T T P
1T P P
η = ∆ − ∆+ ×∆ −
(19)
Avec :
P1 : Puissance continue sans HF absorbée par les thermistances
P2 : Puissance continue avec HF absorbée par les thermistances
∆T1 : Variation de la température mesurée sans HF
∆T2 : Variation de la température mesurée avec HF
La relation donnant l’efficacité effective définitive de la monture est appelée
efficacité effective corrigée ηec :
( )c be e dB1 0.115Aη = η + (20)
Où AdB représente l’affaiblissement total en dB du guide d’onde à paroi
mince et le facteur 0.115 permet de convertir l’affaiblissement en Neper.
Le terme correctif (1+0.115 AdB) est apporté pour tenir compte des
échauffements parasites provoqués par les pertes par effet Joule du guide d’onde à
paroi mince. En effet, à la dissipation de puissance RF dans le guide d’onde à
paroi mince correspond un flux thermique qui se répartit d’une part vers la
monture et d’autre part vers la source RF. Cet échauffement qui dépend de
l’affaiblissement de la ligne vient parasiter la détection de chaleur réalisée par les
thermocouples aux bornes de la monture. Par hypothèse, cet échauffement est égal
à l’échauffement que produirait dans la monture la dissipation d’une puissance
égale à la moitié de la puissance dissipée globalement dans la ligne par
affaiblissement.
25
3.3. Montage expérimental
Le montage expérimental complet (Figure 12) est constitué des éléments
suivants :
- un microcalorimètre ;
- une enceinte thermique contenant environ 400 litres d’eau dans laquelle est
placé le microcalorimètre. Elle joue le rôle de tampon thermique en isolant
thermiquement le microcalorimètre de l’extérieur. La température détectable est
de l’ordre du millième de Kelvin ;
- un pont de Wheatstone connecté à la monture bolométrique sous test
placée à l’intérieur de l’ogive ;
- un voltmètre DC de grande précision relié au pont de Wheatstone pour
mesurer les tensions DC Vi aux bornes des thermistances ;
- un nanovoltmètre connecté aux thermocouples qui mesure sous forme de
tension vi, la différence de température entre la référence thermique et la monture
à étalonner ;
- un ordinateur permettant de piloter l’ensemble du banc.
FIG. 12 - Dispositif expérimental complet.
26
3.4. Mise en œuvre de l’étalonnage
Actuellement au LNE, la détermination de l’efficacité d’une monture, à une
fréquence donnée, est réalisée à partir de 14 cycles HF ; sans HF. Pour chaque
cycle, la mesure se déroule de la manière suivante :
FIG. 13 - Description d’un cycle HF / sans HF.
Durant chaque phase d’acquisition, un grand nombre de mesures sont
acquises pour les tensions vi aux bornes du thermocouple et pour les tensions Vi
aux bornes du pont de Wheatstone. La tension vi est proportionnelle à la variation
de température ∆Ti et la puissance DC absorbée par les thermistances à Vi². Pour
chaque cycle, une moyenne est effectuée pour chacune des tensions. Pour chaque
cycle, l’efficacité brute est alors déterminée par la relation suivante :
be 2
2 1 12 2
1 1 2
1
v v V1
v V V
η =−+ ×
−
(21)
Avec :
V1 : tension mesurée aux bornes du pont bolométrique par le voltmètre
numérique pendant un cycle sans HF.
V2 : tension mesurée aux bornes du pont bolométrique par le voltmètre
numérique pendant un cycle avec HF.
27
v1 : tension mesurée aux bornes des thermocouples par le nanovoltmètre
pendant un cycle sans HF.
v2 : tension mesurée aux bornes des thermocouples par le nanovoltmètre
pendant un cycle avec HF.
L’efficacité brute finale est obtenue à partir de la moyenne des valeurs
obtenues pour les 14 cycles.
3.5. Hypothèses, limitations de la méthode et ordre de grandeur
des incertitudes
Les principales hypothèses de la méthode sont les suivantes :
- la dissipation de la chaleur se fait pour moitié vers le puits de chaleur et
pour l’autre moitié vers les guides à paroi mince ;
- une distribution équivalente de courant HF et de courant continu induisent
une variation identique de quantité de chaleur de la monture ;
- la chaleur se dissipant dans l’air autour de la bille semi-conductrice de la
thermistance est négligée.
La deuxième hypothèse a été étudiée récemment (Legree 2003) par une
étude de simulation thermique. Cette étude montre que les chemins thermiques
dans le cas continu et dans le cas HF sont différents et donc un facteur correctif
supplémentaire devrait être apporté à la formule de l’efficacité brute effective.
Les principales limitations de la méthode sont :
- le démontage et remontage des montures bolométriques coaxiales ou en
guide d’onde rectangulaire ;
- le temps de mesure important ;
- la dérive des instruments de mesure ;
- à l’issue de l’étalonnage, c’est l’efficacité effective et non l’efficacité qui
est mesurée.
28
Les principales sources d’incertitudes (Achkar 1996) sont :
- l’incertitude liée à l’acquisition du nanovoltmètre et voltmètre numérique
- les incertitudes dues aux raccordements des appareils de mesure :
nanovoltmètre et voltmètre digital
- l’incertitude liée à l’hypothèse sur la répartition des pertes dans le guide à
paroi mince et au terme correctif associé (1+0.115 AdB)
- l’incertitude due aux pertes dans les connexions des brides de montage
- l’incertitude due à la reproductibilité des assemblages des brides
- l’incertitude due à l’instabilité en fréquence des sources
Les composantes d’incertitudes sont de deux types : type A (σA) et type B
(σB). L’incertitude de type A représente le cas où l’opérateur réalise un grand
nombre de mesures, l’évaluation de la composante d’incertitude s’effectue à partir
d’un traitement statistique. L’incertitude de type B est le cas où le traitement
statistique est difficile voire impossible, l’opérateur doit chercher et évaluer les
causes d’incertitudes (par exemple un modèle mathématique peut être utilisé).
L’incertitude composée regroupe donc les deux incertitudes de type A et B :
∑ ∑σ+σ=σ 2B
2AC (22)
Dans le cas de la mesure au microcalorimètre, les évaluations des
différentes causes d’incertitude sont détaillées dans le tableau 2.
TAB. 2 - Evaluation de toutes les causes d’incertitudes.
29
Les ordres de grandeur de l’incertitude totale sur l’efficacité sont présentés
dans le tableau 3.
TAB. 3 - Ordre de grandeur des incertitudes.
4. Efficacité calculable : contexte et étapes du
travail
Dans la chaîne de traçabilité, l’étalon primaire pour la mesure de puissance
HF est le microcalorimètre : c’est la seule référence métrologique du domaine.
Les étalons de transfert les plus utilisés jusqu’à présent sont les sondes (ou
montures) à thermistances en guide rectangulaire ou en guide d’onde coaxial. Une
fois étalonnées au microcalorimètre, les montures sont utilisées pour le
raccordement vers l’utilisateur.
Dans la partie consacrée aux montures à thermistances, nous avons défini
l’erreur d’équivalence. La variation de résistance de la thermistance n’est pas
identique pour deux valeurs égales de puissance HF et DC. L’erreur
d’équivalence est à l’origine du nom d’efficacité effective attribuée aux montures
à thermistances. L’écart de transposition n’a jamais été précisément quantifié.
Même si la valeur de cet écart est considérée comme très faible, elle existe et est
inconnue à ce jour. Les montures à thermistances sont pourtant utilisées au
sommet de la chaîne d’étalonnage. D’autre part, il existe un certain nombre
d’hypothèses liées à la mesure au microcalorimètre, notamment sur la distribution
de chaleur, qui ne sont pas encore entièrement validées. L’instrumentation
présente également des dérives dans le temps et génère un coût de fonctionnement
important (deux jours d’étalonnage par point de fréquence).
Un étalon de puissance RF calculable est un étalon dont l’efficacité peut être
calculée à partir d’un modèle mathématique et/ou physique. Un étalon calculable
de puissance RF est donc d’un intérêt majeur et ce, pour plusieurs raisons.
30
Premièrement, un wattmètre calculable permet de s’affranchir de toute procédure
d’étalonnage. Deuxièmement, le calcul permet d’accéder à l’ensemble des pertes
du système et d’en améliorer ainsi la connaissance. Troisièmement, il est
nécessaire pour un laboratoire métrologique de disposer de plusieurs références
pour une même grandeur. Enfin, certaines sondes commerciales utilisées comme
étalon de transfert ont vu leur production arrêtée. Toutes ces raisons nous
poussent donc à concevoir de nouvelles méthodes d’étalonnage. A notre
connaissance, aucun laboratoire national de métrologie n’a encore travaillé sur ce
sujet.
Pour étudier la faisabilité d’un étalon calculable de puissance, trois grandes
étapes seront abordées :
- Dans un premier temps, nous réaliserons un wattmètre coplanaire [DC- 8
GHz] que nous considérerons comme support aux différentes méthodes de calcul.
L’efficacité sera mesurée au microcalorimètre et pourra être comparée au calcul
(chapitre 2).
- Dans un second temps, le logiciel CST sera défini comme outil de
référence pour le calcul de l’efficacité. Les résultats obtenus montreront que les
pertes par transmission ne sont pas prises en compte correctement. L’efficacité ne
pourra donc pas être déterminée avec CST (chapitre 2).
- Dans un troisième temps, chaque partie du wattmètre sera modélisée par
un modèle électrique équivalent puis rassemblée dans le logiciel commercial ADS
pour nous permettre de calculer l’efficacité. Les résultats montreront un bon
accord entre l’efficacité calculée par cette seconde méthode et l’efficacité
effective mesurée (chapitres 3 et 4).
Remarque :
Le microcalorimètre permet d’étalonner la sonde de puissance. Dans la suite
du manuscrit, nous emploierons par abus de langage le terme de « wattmètre »
pour désigner la «sonde de puissance ».
31
Chapitre 2
Conception d’un wattmètre en technologie planaire : simulation électromagnétique
1. Introduction
Afin de nous permettre d’évaluer la faisabilité d’un étalon calculable, il est
indispensable de réaliser un wattmètre permettant une comparaison de l’efficacité
mesurée et calculée. La structure et les performances des montures bolométriques
coaxiales ont servi de base pour débuter l’étude. Nous nous sommes inspirés des
montures bolométriques coaxiales pour réaliser notre premier prototype en
technologie planaire. Notre choix s’est tout d’abord porté sur la technologie
microruban car celle-ci était disponible au laboratoire RFM de l’ENST, ce qui
nous a permis de tester dans de brefs délais le comportement thermique des
thermistances sur substrat. De plus, cette technologie est peu coûteuse et simple à
réaliser. Les différents éléments (connecteurs SMA, substrat téflon, capacités
céramiques de 56 pF) du prototype étaient tous disponibles au laboratoire. Une
étude préliminaire a été réalisée pour estimer l’importance des capacités sur les
performances du wattmètre. Les mesures du coefficient de réflexion et des
courants de polarisation du wattmètre microruban ont validé l’idée d’utiliser les
thermistances comme éléments sensibles dans un wattmètre planaire.
Dans un deuxième temps, nous avons fait réaliser (Micronic) un prototype
en technologie coplanaire (CPW). La mise en œuvre de ce second prototype ayant
pour objectif de maîtriser la réalisation technologique et d’améliorer les
performances du précédent (notamment, augmenter la largeur de bande et
améliorer l’efficacité mesurée).
32
Au début de notre travail, nous avons utilisé le logiciel CST comme outil de
référence pour le calcul de l’efficacité. CST est un logiciel de simulation
électromagnétique en trois dimensions. Pour pouvoir simuler correctement la
structure, il est indispensable d’avoir à disposition un maximum d’informations
sur les éléments utilisés pour la réalisation du wattmètre. Il n’a pas été possible
d’obtenir les caractéristiques technologiques des thermistances. Un autre
composant très important dans la réalisation du Wattmètre concerne les capacités
de découplage DC-RF. Un partenariat a été obtenu avec une entreprise qui nous a
donc fourni les spécifications concernant les matériaux et les dimensions du
composant.
Ce chapitre de thèse constitue la base de l’étude. Nous allons tout d’abord
présenter les principes de réalisation des montures bolométriques coaxiales et
leurs performances ainsi que le premier travail de simulation effectué avec le
logiciel CST sur une structure simple. Dans un second temps, nous validerons
l’idée d’utiliser les thermistances comme détecteurs de puissance sur une structure
planaire avec le prototype microruban. Enfin, nous terminerons ce chapitre par la
conception d’un prototype CPW et le calcul de son efficacité à l’aide du logiciel
CST.
2. Monture bolométrique coaxiale
2.1. Principe général
Il existe deux catégories de montures à thermistance, l’une en guide d’onde
rectangulaire, l’autre en guide d’onde coaxial. La structure en guide d’onde
rectangulaire peut être typiquement utilisée de 8 GHz à 110 GHz. Un guide
d’onde rectangulaire de section l couvrira une bande de fréquence spécifique. Les
montures coaxiales sont utilisables du continu jusqu’à 67 GHz. Il existe plusieurs
types de montures coaxiales dont l’utilisation dépend de la bande de fréquence et
donc de la connectique utilisée :
- N [DC - 18 GHz]
- 3.5 mm [DC - 26.5 GHz]
- APC7 [DC - 18 GHz]
- 2.4 mm [DC - 50 GHz]
- 1.85 mm [DC - 60 GHz]
33
Les montures coaxiales utilisent généralement une configuration duale
(Figure 1). Les éléments bolométriques sont connectés en série pour le courant de
polarisation DC et en parallèle pour le courant RF : des capacités de l’ordre
d’1 nF sont utilisées pour le découplage (C1 et C2 sur la Figure 1). Cette
configuration simplifie la connexion DC et fournit une bonne adaptation de la
charge à la ligne d’impédance 50 Ω. Cependant, si les caractéristiques électriques
ne sont pas identiques pour les deux thermistances, une erreur supplémentaire de
substitution se produit. Pour les montures à thermistance, l’erreur augmente de
manière non linéaire avec la puissance RF. Cette erreur est en général spécifique
aux montures coaxiales puisque les montures en guide sont constituées d’une
seule thermistance.
FIG. 1 - Structure duale d’une monture coaxiale.
Un paramètre traduisant la performance d’une monture, qui est en grande
partie influencée par la disposition des thermistances, est le coefficient de
réflexion d’entrée. Une faible valeur n’est pas nécessaire pour la mesure au
microcalorimètre mais est importante pour réduire l’incertitude de l’étalonnage
par transfert et pour réduire également le niveau de puissance nécessaire de la
source RF. La performance d’une monture est déterminée également par son
efficacité, celle-ci devant être la plus grande possible.
2.2. Considérations techniques
Les montures à thermistances (sonde) disponibles dans le commerce sont
robustes et résistantes aux surtensions. Certains laboratoires nationaux de
métrologie utilisent les montures commerciales en supprimant notamment la
partie électronique qui sert à la compensation de température. D’autres
34
laboratoires, comme le NIST (National Institute of Standards and Technology) ou
le NPL (National Physical Laboratory), fabriquent eux-mêmes leurs propres
montures. Pour être étalonnée sur le banc de transfert ou au microcalorimètre, une
monture bolométrique doit respecter un certain nombre de critères (Clague et al.
1995) :
- grande conductivité thermique
- minimisation des pertes RF à l’intérieur de la monture
- masse thermique la plus faible possible
- minimisation des fuites de courant RF
- meilleure adaptation possible
- minimisation des résonances
Le microcalorimètre mesure la dissipation de l’énergie microonde sous
forme de chaleur dans les différentes parties de la monture. Les variations très
faibles de température mesurées sont de l’ordre du millième de degré Celsius, ce
qui nécessite une résistance thermique minimale entre la source de chaleur et la
mesure au thermocouple. Les montures sont donc en général réalisées avec un
matériau de grande conductivité thermique et dont les chemins thermiques sont
les plus courts possibles. Les montures commerciales sont fabriquées en nickel ou
en or-laiton, avec des parties en acier inoxydable. L’étalon de transfert doit avoir
une grande efficacité effective. Ceci signifie de faibles pertes à l’entrée de la ligne
réalisée à partir d’un matériau de forte conductivité électrique avec une bonne
finition extérieure.
Pour considérer comme correcte la mesure à la sortie des thermocouples et à
la sortie du voltmètre, il est indispensable que le microcalorimètre et la monture
aient atteint un équilibre thermique. Cet équilibre est établi lorsque la sortie des
thermocouples est stable. Entre chaque fréquence de mesure, le temps nécessaire
pour obtenir l’équilibre peut atteindre plusieurs heures. Pour s’affranchir des
contraintes thermiques extérieures, les montures coaxiales commerciales sont de
masse importante. Une masse importante induit une plus grande constante de
temps thermique, ce qui allonge le temps nécessaire pour atteindre l’équilibre.
Pour réduire ce temps, il est important de réduire la masse thermique des
montures en diminuant la taille. Les montures de type N du NIST ont, par
exemple, une masse réduite de un tiers par rapport aux montures commerciales.
Les fuites du courant RF de la monture bolométrique sont une source
d’erreur pour la mesure au microcalorimètre. Les fuites d’énergie, parce qu’elles
ne sont pas dissipées dans les différentes parties de la monture ou dans les
35
éléments sensibles eux-mêmes, ne sont pas mesurées par le pont de Wheatstone et
les thermocouples. Les fuites se manifestent par des pertes par rayonnement ou
par conduction à travers les joints de la monture, les fils de connexion DC, ou le
connecteur RF. Un soin tout particulier est donc apporté dans la réalisation pour
les minimiser.
L’adaptation doit être la meilleure possible. Un travail très important est
effectué sur la charge 50 Ω obtenue à l’aide des thermistances dont la disposition
n’est pas triviale. Des absorbants microondes sont placés à l’intérieur pour
améliorer l’adaptation et pour réduire les résonances. Les absorbants sont en
général disposés de manière spécifique pour chaque monture. La figure 2 montre
une monture en type APC7 réalisée par le NIST témoignant de la complexité de la
structure.
FIG. 2 - Schéma de construction d’une monture coaxiale type APC7 (Clague 1995).
36
2.3. Performances
La figure 3 présente un exemple de mesure du coefficient de réflexion d’une
monture commerciale de type APC7 dans la gamme de fréquence [10 MHz ; 18
GHz]. La figure 4 illustre un exemple d’efficacité effective brute et corrigée
mesurée au microcalorimètre du LNE pour cette monture. Nous rappelons que
l’efficacité corrigée est l’efficacité définitive obtenue à l’issue d’un étalonnage.
Dans la formule de l’efficacité corrigée un facteur correctif supplémentaire est
introduit pour tenir compte de l’échauffement parasite du guide à paroi mince
connecté à la monture à étalonner.
FIG. 3 - Coefficient de réflexion d’une monture commerciale type N.
FIG. 4 - Efficacité effective mesurée au microcalorimètre du LNE.
37
2.4. Validation du logiciel CST
Cette partie présente le premier travail effectué avec le logiciel de
simulation CST Microwave Studio. Ce dernier est un logiciel de simulation
électromagnétique trois dimensions qui permet de résoudre dans le domaine
temporel les équations de Maxwell sous leur forme intégrale, et de ce fait
n’effectue pas d’approximations au niveau de la résolution contrairement aux
logiciels utilisant la forme différentielle. Ce simulateur a constitué au début de ce
travail l’outil de référence à partir duquel nous avons commencé à étudier la
faisabilité d’un étalon calculable.
Le travail de simulation a commencé par la prise en main du logiciel. Nous
avons étudié des cas simples permettant d’estimer sa précision. Nous avons donc
simulé une ligne coaxiale 50 Ω court-circuitée, sur laquelle est placée une charge
adaptée 50 Ω en parallèle à une distance l du court-circuit (Figure 5).
FIG. 5 - Ligne de transmission terminée par un court-circuit disposé à une distance l de la charge 50 Ω.
Pour respecter la théorie, la charge de 50 Ω doit être répartie uniformément
dans le plan perpendiculaire à l’axe de propagation. L’énergie contenue dans le
mode TEM est alors absorbée entièrement. On utilise donc une charge distribuée
en surface sur un disque d’un micron d’épaisseur et de conductivité égale à 2652
S/m (Figure 6). Ces valeurs ont été choisies pour simuler une charge ponctuelle,
c'est-à-dire dont les dimensions sont petites devant la longueur d’onde. Les
résultats de simulation peuvent être comparés aux résultats donnés par les
équations de la théorie des lignes (Figure 7). La comparaison du coefficient de
réflexion obtenu analytiquement à celui obtenu numériquement avec CST valide
le logiciel. En effet, l’écart entre le calcul numérique et le calcul analytique est
inférieur à 7.10-3 sur toute la bande de fréquence. Cet écart peut s’expliquer d’une
38
part par la précision intrinsèque du calcul numérique (maillage, valeur de
l’impédance du port d’excitation pas égale exactement à 50 Ω), et d’autre part par
la difficulté à constituer une véritable charge localisée sans dimension. Le module
du coefficient d’entrée est donné par la relation suivante :
2
in 2 4
1 (tan )
1 5(tan ) 4(tan )
+ βΓ =+ β + β
l
l l (1)
FIG. 6 - Simulation électromagnétique d’une ligne coaxiale court-circuitée avec une charge 50 Ω disposée à une distance l du court-circuit.
FIG. 7 - Comparaison du coefficient de réflexion calculé et simulé.
39
FIG. 8 - Valeur théorique du coefficient de réflexion.
2.5. Vers un wattmètre en technologie planaire
Comme nous l’avons précisé en introduction, il est nécessaire pour le calcul
de l’efficacité de réaliser un wattmètre à partir d’éléments dont les caractéristiques
technologiques sont précisément connues pour pouvoir utiliser de manière
optimale le logiciel de simulation numérique CST. Trois solutions possibles sont
envisageables :
- établir un partenariat avec une entreprise fabriquant des montures
commerciales afin d’obtenir l’ensemble des informations nécessaires à la
simulation numérique
- réaliser au sein du LNE une monture coaxiale afin de maîtriser tous les
paramètres de réalisation
- concevoir une monture dans une technologie planaire
La structure fermée par construction d’une monture coaxiale, présente un
avantage certain pour la simulation numérique. Les montures coaxiales à
thermistances sont très largement utilisées dans la bande de fréquence [DC - 18
GHz] par les laboratoires nationaux de métrologie. Dans la plupart des
laboratoires, ces montures sont des montures commerciales, à l’exception de
quelques instituts comme le NIST qui réalisent eux-mêmes leurs références. Les
40
très bonnes performances constatées en termes d’adaptation et d’efficacité sont
obtenues grâce à un travail très important sur la mécanique, sur les matériaux, sur
la position des absorbants... Réaliser au sein du laboratoire notre propre monture
aurait peut-être demandé un temps de conception trop important au détriment du
temps nécessaire pour ensuite pouvoir la modéliser.
Des démarches auprès d’une entreprise ont été menées afin de s’affranchir
de l’étape de conception mais malheureusement, sans succès. En technologie
planaire, le NIST a réalisé un wattmètre avec une entrée coaxiale 2.4 mm
connecté à un circuit intégré (Crowley et al. 2001). Le circuit intégré est constitué
d’une ligne coplanaire 50 Ω terminée par une résistance à couches minces de 50
Ω utilisée pour absorber la puissance microonde. Une deuxième résistance en
platine, à coefficient de température positif est placée à proximité de la première
résistance pour détecter l’échauffement et mesurer la puissance. Certaines
entreprises réalisent des montures avec une entrée coaxiale connectée à un circuit
coplanaire. L’élément mesurant la variation de la résistance 50 Ω est dans ce cas
un thermocouple. Nous avons décidé d’orienter notre choix vers la conception
d’un wattmètre en technologie planaire à thermistances muni d’une entrée
coaxiale. A notre connaissance, l’intégration des thermistances comme détecteurs
de puissance sur un circuit planaire n’a jamais été réalisée. Nous avons conçu un
premier wattmètre en technologie microruban. Ce choix a été motivé par les
raisons suivantes :
- la réalisation de circuits microruban est accessible à l’ENST ;
- le coût est faible et la réalisation rapide ;
- les wattmètres à thermistances sont mesurables au microcalorimètre.
Ce premier wattmètre permet de tester le comportement thermique des
thermistances sur un substrat. Une fois le principe de détection validé, un second
wattmètre en technologie coplanaire a été réalisé par une entreprise extérieure. Ce
dernier constitue une base solide pour étudier le calcul de l’efficacité.
41
3. Prototype en technologie microruban [DC – 2
GHz]
Le premier prototype microruban a été réalisé avec les éléments disponibles
au laboratoire :
- capacités céramiques de découplage DC-RF de 56 pF et de 6 pF ;
- substrat téflon (constante diélectrique relative εr égale à 3, tangente d’angle de pertes tan(δ) égale à 0.0023, épaisseur du cuivre égale à 35 µm et
hauteur h du substrat égale à 1.575 mm) ;
- connecteurs SMA ;
- thermistances dont la longueur de chaque fil est égale à 2.032 mm et le
diamètre est égal à 0.0254 mm.
Une étude préliminaire avec le logiciel ADS a permis d’étudier le rôle des
capacités de découplage C1, C2. Celles-ci ont deux fonctions :
- protéger le pont de Wheatstone du courant HF
- adapter le système le plus bas possible en fréquence
L’étude préliminaire a montré l’importance de choisir des capacités de
découplage de fortes valeurs pour améliorer le coefficient de réflexion d’entrée en
basse fréquence. Des fortes valeurs seront donc utilisées pour le second wattmètre
en structure coplanaire. Pour ce wattmètre microruban, les capacités C1 et C2 ont
une valeur de 56 pF.
La figure 9 représente le wattmètre en technologie microruban dans sa
version définitive. Une première réalisation n’incluait pas la capacité C3 (6 pF)
ajoutée par la suite pour améliorer l’adaptation du wattmètre.
42
FIG. 9 - Schéma du prototype microruban avec la circulation des courants de polarisation et hautes fréquences.
La configuration du wattmètre microruban est une transposition directe de la
structure de base d’une monture coaxiale à thermistance. La ligne microruban
d’impédance 50 Ω et de longueur 20 mm conduit la puissance du connecteur
SMA vers la charge adaptée placée à son extrémité. La charge adaptée est
constituée des deux thermistances disposées en parallèle pour le courant RF et en
série pour le courant continu. Les fils de connexion au pont de Wheatstone sont
soudés de part et d’autre des éléments sensibles pour effectuer la polarisation. La
valeur totale de la résistance des thermistances est égale à 200 Ω pour le courant
continu et à 50 Ω pour le courant HF. Un support métallique en laiton de la forme
d’un « L » est en contact avec le plan de masse inférieur de la ligne microruban et
vient se prolonger en surface du substrat. Ceci permet d’amener la masse en
surface du circuit et de connecter ainsi les trois capacités C1, C2 et C3.
Pour remplir parfaitement leur rôle, les thermistances doivent conserver
toute la chaleur dissipée par la puissance HF et doivent donc être isolées
thermiquement du reste du circuit. Les fils des thermistances possèdent une forte
résistance thermique, ce qui permet de réaliser une première isolation. D’autre
43
part, dans une structure coaxiale, les thermistances sont disposées sur un support
(Figure 10) qui facilite la conservation de la chaleur absorbée.
FIG. 10 - Exemple du support sur lequel sont insérées les thermistances dans une monture.
Avec une structure aussi simple que celle réalisée pour la structure planaire,
il est important de vérifier que l’isolation thermique est suffisante. Afin de valider
cette hypothèse, nous avons procédé de la manière suivante :
- pour une valeur du pont de Wheatstone de 200 Ω, nous avons relevé la valeur du courant de polarisation circulant à travers les thermistances dans la
configuration planaire, puis comparé sa valeur à celle obtenue dans le cas des
montures coaxiales : les deux courants sont du même ordre de grandeur (Tableau
1) ce qui signifie que pour une même valeur de résistance DC, la quantité de
chaleur fournie par la circulation du courant est sensiblement la même ;
- nous avons polarisé les thermistances de notre prototype une nouvelle fois
sur 200 Ω et nous avons comparé le courant DC sans HF et avec HF. La variation
du courant DC montre une bonne réaction des thermistances.
44
TAB.1 - Courant de polarisation relevé sans puissance RF.
La mesure du coefficient de réflexion Γin de notre prototype est représentée
figure 11. On peut observer que la structure est adaptée sur une largeur de bande
très réduite et qu’elle présente des phénomènes de résonance. La mauvaise
adaptation en haute fréquence est en partie due à l’inductance des fils des
thermistances dont la longueur n’a pas été réduite (soit une longueur totale
supérieure à 4 mm par thermistance). La mauvaise adaptation en basse fréquence
résulte de la faible valeur des capacités de découplage C. La forte résonance est
attribuée à l’association des inductances des fils et des capacités de découplage.
Nous chercherons dans la réalisation du second prototype à réduire la longueur
des fils pour minimiser l’inductance parasite tout en conservant une longueur
suffisante pour maintenir une bonne isolation thermique, et à choisir une forte
valeur pour la capacité de découplage.
FIG. 11 - Mesure du coefficient de réflexion du prototype microruban.
45
4. Prototype en technologie coplanaire [DC – 8
GHz]
4.1. Contexte et objectifs
Le premier prototype en technologie microruban a permis de définir les
bases de la conception d’un wattmètre planaire à partir de thermistances. Nous
avons pu vérifier le bon comportement thermique des thermistances sur un
substrat. Le choix de réaliser un second wattmètre a été motivé par les raisons
suivantes :
- calculer l’efficacité avec CST sur un second prototype mieux maîtrisé
- obtenir un wattmètre large bande
- réduire les pertes pour améliorer l’efficacité
Pour cela, nous avons opté pour un wattmètre en technologie coplanaire sur
substrat alumine réalisé par une entreprise (Micronic). La sous-traitance a permis
de maîtriser plus précisément la réalisation : position des capacités, position des
thermistances, position du connecteur, et longueur des fils des thermistances. La
technologie coplanaire a été adoptée afin d’atteindre une bonne largeur de bande.
La ligne coplanaire (Figure 12) est une ligne de transmission pour laquelle tous
les conducteurs sont sur le même plan, à la surface supérieure du substrat. Pour
une hauteur h et une constante diélectrique relative εr données, la valeur de l’impédance caractéristique Zc de la ligne CPW est calculée à partir de la largeur
w du ruban central et de la largeur g des fentes. Pour une valeur désirée de Zc, de
nombreux couples (w,g) sont possibles. Ainsi cette technologie permet d’intégrer
plus simplement les composants en surface et ne nécessite pas la réalisation de
trous métallisés. De plus la ligne coplanaire possède une dispersion équivalente à
la ligne microruban. En revanche, les modes de fuite responsables du
rayonnement se propagent si la symétrie de la ligne est rompue, notamment en
présence de discontinuités. Les pertes par rayonnement peuvent devenir
importantes pour les fréquences microondes.
Nous avons utilisé le module de calcul d’impédance linecalc du logiciel
commercial ADS pour déterminer les valeurs du couple (w, g) de nos lignes. Dans
le but de réduire les pertes et d’assurer une bonne conductivité thermique, le
prototype a été réalisé sur un substrat alumine avec une tangente d’angle de pertes
égale à 0.0001 à 1 MHz. Des capacités céramiques faibles pertes de 1 nF ont été
46
choisies (Figure 13). Au début de ce travail, la principale idée était d’utiliser le
logiciel CST comme référence pour le calcul de l’efficacité. Les caractéristiques
des éléments constituant le wattmètre doivent donc être connues pour effectuer les
simulations numériques (Tableau 2). Les thermistances sont identiques à celles
utilisées pour le wattmètre microruban.
FIG. 12 - Présentation de la ligne coplanaire.
TAB.2 - Tableau récapitulatif des informations utilisées pour la simulation numérique.
47
FIG. 13 - Capacité céramique faibles pertes utilisées dans le wattmètre coplanaire.
4.2. Conception du wattmètre
Dans cette partie, nous allons exposer la méthodologie de conception du
wattmètre coplanaire. L’objectif de la phase de simulation consiste à concevoir un
wattmètre adapté sur la plus large bande de fréquence possible, uniquement avec
les trois capacités de découplage et les deux thermistances. La première étape a
définit le design de la charge (disposition des composants, plan de masse), la
longueur du substrat et la largeur totale des plans de masse. Cette première étape
s’effectue sans tenir compte des effets du connecteur SMA. Puis l’effet du
connecteur a été pris en compte montrant des dégradations pour l’adaptation
d’impédance sans qu’il soit possible d’y remédier. La seconde étape est dédiée à
la réalisation du wattmètre et de son boîtier métallique en respectant dans la
mesure du possible la position des capacités et les longueurs des fils définies lors
de la phase de simulation.
Pour l’ensemble des simulations à l’aide du logiciel CST, les conditions aux
limites sont définies comme des parois métalliques ce qui permet de réduire le
temps de calcul. Les paramètres de maillage par défaut ont été modifiés pour
mieux prendre en compte les capacités sans pour autant être optimaux. Les
paramètres sont fixes pour toutes les simulations. La largeur du ruban central et la
largeur des fentes ont été fixées respectivement à 2.8mm et 0.5789 mm pour
s’adapter à la largeur de la capacité centrale et obtenir une impédance de 50 Ω.
48
Les paramètres initiaux pour les thermistances, pour les positions des capacités et
pour les dimensions de la ligne sont présentés dans le tableau 3.
TAB.3 - Paramètres initiaux géométriques des capacités, des thermistances et de la ligne CPW.
4.2.1. Première étape : définition de la structure
Pour le wattmètre microruban, la disposition des capacités et leur connexion
au plan de masse sont immédiates. Dans le cas d’une structure coplanaire, le
nombre de degrés de liberté plus important rend nécessaire une étude plus
approfondie. Nous nous sommes donc attachés dans temps un premier à définir la
structure de la charge du wattmètre sans prendre en compte le connecteur SMA.
Nous avons pris garde à ne pas introduire d’effets parasites, comme un effet de
fente. Ce dernier peut se produire dans le cas de lignes à fentes court-circuitées :
le courant circule tout autour de l’extrémité de la fente et une quantité importante
d’énergie est emmagasinée aux extrémités (Gupta et al. 1996). Cette énergie
magnétique induit une forte augmentation de l’inductance parasite. Nous avons
par ailleurs étudié l’influence de la longueur du substrat et de la largeur des plans
de masse sur l’adaptation du wattmètre afin de déterminer les plus petites
dimensions permettant de conserver le même niveau d’adaptation. Pour éviter la
propagation des modes d’ordre supérieur, nous avons notamment veillé à ce que
la largeur totale des plans de masse ne soit pas inférieure à six fois la largeur du
ruban central. La structure définitive du wattmètre retenue (sans le connecteur) est
présentée sur la figure 14 et les valeurs des paramètres de ce wattmètre sont
récapitulées dans le tableau 4. La structure retenue présente l’avantage d’être
simple, de taille réduite et nécessite uniquement trois capacités et deux
49
thermistances. Nous pouvons remarquer la largeur importante du ruban central et
des fentes de la ligne CPW imposées par la largeur des capacités de découplage
choisies ce qui a une incidence directe sur le niveau d’adaptation du wattmètre.
FIG. 14 - Structure définitive du wattmètre retenu.
TAB.4 - Tableau récapitulatif du wattmètre retenu.
La figure 15 montre la valeur simulée du coefficient de réflexion de la
structure définitive ainsi que le coefficient de réflexion d’une configuration où un
phénomène de fente s’est produit. Nous pouvons remarquer la désadaptation
importante introduite par cet effet parasite. Le coefficient de réflexion est inférieur
à -20 dB jusqu’à 7 GHz avant d’atteindre -15 dB à partir de 8 GHz. A titre de
comparaison une monture bolométrique commerciale APC7 est inférieure à -30
50
dB sur la même gamme de fréquence. Même si le prototype coplanaire ne possède
pas le même niveau d’adaptation qu’une monture coaxiale, il constitue une
première référence solide pour notre travail.
FIG. 15 - Coefficient de réflexion simulé avec CST du wattmètre avec et sans effet de fente.
Dans un second temps, nous avons tenu compte de l’effet du connecteur
SMA sur les performances du wattmètre (Figure 16). Nous pouvons observer que
celui-ci introduit des effets de résonances et modifie le niveau de l’adaptation du
wattmètre (Figure 17). Une ré-optimisation complète du dispositif ne permet
malheureusement pas de s’affranchir de ces effets. Néanmoins, le niveau
d’adaptation est correct sur toute la bande de fréquence puisqu’il reste inférieur à -
10 dB.
51
FIG. 16 - Simulation du prototype complet.
FIG. 17 - Coefficient de réflexion en entrée du wattmètre obtenu avec et sans connecteur.
4.2.2. Deuxième étape : réalisation
Le prototype (Figure 18) a été réalisé par une entreprise extérieure. Le
cahier des charges devait respecter les points définis dans la phase de simulation :
position des capacités de découplage, longueur des fils des thermistances, position
du connecteur (placé au centre et perpendiculaire à la ligne CPW). Pour
positionner le connecteur et faciliter la soudure des composants, un support
52
mécanique a été réalisé (Figure 19). Un point critique de la réalisation concerne la
soudure des fils des thermistances et le respect de leur longueur. La colle d’argent
a été choisie pour souder les thermistances sans les détériorer, cependant la
longueur des fils définie en simulation n’a pu être maîtrisée précisément modifiant
ainsi le coefficient de réflexion simulé avec CST. Nous pouvons observer des
soudures relativement importantes au niveau du connecteur qui permettent
d’obtenir une rigidité mécanique suffisante, tout en assurant une bonne
conduction thermique avec le circuit en vue d’un transfert optimal de chaleur vers
les thermocouples lors de la mesure au microcalorimètre. Cependant, ces soudures
ont accentué la discontinuité entre le connecteur SMA et la ligne CPW réduisant
ainsi le niveau d’adaptation du wattmètre. On peut également observer la présence
des fils DC soudés sur les capacités gauche et droite pour la polarisation des
thermistances.
FIG. 18 - A gauche : wattmètre coplanaire réalisé. A droite : boîtier métallique dans lequel est enfermé le wattmètre pour la mesure au microcalorimètre.
FIG. 19 - Support de soudure utilisé pour la réalisation du wattmètre.
53
Pour étalonner le wattmètre coplanaire au microcalorimètre, il est important
de le placer dans un boîtier métallique afin d’éviter des pertes de chaleur vers
l’extérieur (aluminium). Des simulations électromagnétiques ont été réalisées afin
de réduire au maximum les effets parasites de ce dernier. La mesure en boîtier,
présentée dans la partie suivante, montre que le couplage électromagnétique entre
le circuit et les parois métalliques reste tout de même relativement important. Pour
réduire ce couplage, nous avons disposé de l’absorbant sur les parois, excepté
autour du connecteur SMA afin de ne pas détériorer la conduction thermique
nécessaire pour la mesure au thermocouple.
La réalisation du prototype coplanaire avec son boîtier, doit respecter des
critères identiques à ceux d’une monture bolométrique coaxiale (voir début de ce
chapitre) :
- grande conductivité thermique (substrat alumine, métallisation or)
- minimisation des pertes RF à l’intérieur de la monture (substrat alumine,
capacités faibles pertes)
- masse thermique la plus faible possible (réduction au minimum des
dimensions du circuit et boîtier)
- minimisation des fuites de courant RF (boîtier avec une seule jonction et
deux trous)
- meilleure adaptation possible (technologie coplanaire, optimisation)
- minimisation des résonances (utilisation d’absorbant)
5. Résultats de mesure du coefficient de réflexion
et de l’efficacité
Nous allons présenter les résultats de mesure du coefficient de réflexion et
de l’efficacité effective. Le coefficient de réflexion a été mesuré dans l’air, dans le
boîtier, et dans le boîtier avec absorbant (Figure 20). Le wattmètre mesuré dans
l’air a un coefficient de réflexion inférieur à -13 dB à 8 GHz. On peut observer la
présence de résonances provoquées par la cavité métallique dans le cas du boîtier
sans absorbant. La présence de l’absorbant a permis de réduire considérablement
ces effets sans modifier l’adaptation du wattmètre. Pour la suite de notre travail,
nous avons considéré que le cas du wattmètre mesuré dans l’air était équivalent à
celui mesuré avec absorbant. L’adaptation du wattmètre coplanaire est
comparable à celle d’une monture coaxiale jusqu’à 3 GHz. Au-delà de cette
54
fréquence, les résonances importantes du système dégradent sensiblement les
performances. Entre 4 et 8 GHz, le coefficient de réflexion reste inférieur à -10 dB
mais demeure supérieur à celui d’une monture coaxiale (de l’ordre de -30 dB).
FIG. 20 - Coefficient de réflexion en dB du wattmètre mesuré dans les trois cas suivants: dans l’air (en noir), dans le boîtier (en gris), dans le boîtier avec absorbant (en bleu).
L’efficacité effective ηe a été mesurée au microcalorimètre pour neuf
fréquences de 50 MHz à 7.7 GHz sur une durée de trois semaines (Figure 21 et
22). Sur la figure 21-a, on peut observer :
- le wattmètre à étalonner soumis à une alternance de 14 cycles avec HF et
sans HF pour chaque fréquence (à droite) ;
- la référence thermique constituée du même boîtier métallique et d’un
connecteur SMA soumis à aucun signal (à gauche).
- la connexion des thermocouples à la monture à étalonner et à la référence
thermique (à gauche).
55
Le thermocouple mesure la différence de température entre les montures,
permettant ainsi de connaître la puissance HF dissipée dans la monture à
étalonner. La figure 21-b présente l’enceinte thermique dans laquelle est insérée la
tête du microcalorimètre.
-a -b
FIG. 21 - a : Installation du wattmètre à étalonner et de la référence thermique dans la tête du microcalorimètre. -b : Enceinte thermique dans laquelle est inséré le
microcalorimètre.
L’efficacité effective a également été mesurée avec la méthode par
substitution dans la même bande de fréquence mais pour un pas en fréquence de
100 MHz. Cette méthode est moins précise (cf. chapitre 1) mais permet d’avoir un
grand nombre de points de mesure en quelques heures. La méthode par
substitution permet de s’assurer que les minimums observés pour l’efficacité
effective mesurée au microcalorimètre (Figure 22) ne proviennent pas d’une
erreur du montage de la monture.
L’efficacité effective ηe décroît avec la fréquence à cause de l’augmentation
des pertes métalliques, diélectriques et des pertes par rayonnement. La présence
de minimums à 1.22 GHz, 1.92 GHz et à 7.7 GHz sont dues aux résonances série
et parallèle des capacités de découplage. Nous reviendrons sur ce point dans les
chapitres 3 et 4. Le minimum observé entre 3.5 GHz et 5 GHz peut être attribué à
une résonance du système. Les valeurs de l’efficacité effective obtenues avec ce
premier prototype coplanaire sont très encourageantes même si elles restent
inférieures à celles obtenues pour une monture bolométrique coaxiale ou en guide
d’onde rectangulaire. A titre de comparaison, pour une monture bolométrique
coaxiale munie de connecteurs APC7, l’efficacité effective reste supérieure à 0.94
jusqu’à 18 GHz. Pour améliorer l’efficacité effective du prototype coplanaire, il
56
serait intéressant notamment de réduire les pertes par rayonnement (en réduisant
les discontinuités) et les pertes des capacités.
FIG. 22 - Efficacité effective mesurée au microcalorimètre et par la méthode par substitution.
6. Simulation du coefficient de réflexion et calcul
de l’efficacité avec CST
Le calcul de l’efficacité avec le logiciel de simulation électromagnétique
CST, s’effectue en ajustant les paramètres géométriques en fonction des
informations obtenues après réalisation : longueur réelle des fils des thermistances
et distance entre les capacités. Par ailleurs, les paramètres de maillage sont re-
optimisés pour mieux prendre en compte les différents phénomènes
électromagnétiques. La densité du maillage et sa finesse sont augmentées au
niveau de la transition, dans les fentes de la ligne CPW et dans les capacités de
découplage. Le coefficient de réflexion simulé avec CST est comparé au
coefficient de réflexion mesuré (Figure 24) : un écart inférieur à 0.04 est observé à
partir de 4 GHz, tandis qu’entre 2 GHz et 4 GHz nous observons des écarts un peu
plus importants de l’ordre de 0.06. Les résonances observées en mesure entre 50
MHz et 2 GHz, dues aux capacités de découplage, ne sont pas prises en compte
57
par la simulation électromagnétique. Globalement les coefficients de réflexion
simulé et mesuré présentent une bonne concordance.
FIG. 23 - Coefficient de réflexion simulé avec CST et mesuré.
FIG. 24 - Valeur absolue de la différence des coefficients de réflexion simulé avec CST et mesuré.
58
Pour calculer l’efficacité, nous avons placé des sondes de tension au niveau
de chaque résistance de 100 Ω représentant les billes des deux thermistances afin
de calculer la puissance absorbée par celles-ci (Figure 25). L’efficacité est donnée
par la formule suivante :
2 2
thermistance G thermistance D
2in
V V
100 100
1-
+η =
Γ(2)
FIG. 25 - Vue de face de la charge simulée dans CST avec les sondes de tension placées sur les billes des thermistances.
La figure 26 présente l’efficacité η calculée avec CST et l’efficacité effective ηe mesurée au microcalorimètre. Les écarts importants observés peuvent
s’expliquer par la difficulté de prendre en compte dans la simulation les pertes
dans les fils des thermistances, les pertes dans les parties métalliques des capacités
de découplage, et l’ensemble des phénomènes physiques au niveau de la bille
semi-conductrice de la thermistance. A ce stade de notre travail, les résultats
obtenus pour l’efficacité calculée ne sont pas satisfaisants pour continuer à utiliser
uniquement le logiciel CST. Le chapitre suivant présentera une méthode
alternative à la simulation électromagnétique permettant de modéliser le
wattmètre coplanaire à l’aide de schémas électriques équivalents.
59
FIG. 26 - Efficacité η calculée avec CST et efficacité effective ηe mesurée au microcalorimètre.
7. Conclusion
Ce chapitre a été dédié à la conception d’un wattmètre planaire dont
l’efficacité pouvait être mesurée au microcalorimètre et calculable par simulations
électromagnétiques à l’aide du logiciel CST. Une étude approfondie des montures
bolométriques coaxiales a permis de définir les critères importants à respecter
pour la mesure de l’efficacité effective au microcalorimètre ou par substitution.
Nous avons adapté la structure planaire à la structure coaxiale car celle-ci présente
des performances inégalées. Un premier prototype microruban a été conçu
permettant de valider l’utilisation sur une structure planaire de thermistances
comme détecteurs de puissance. Un second prototype plus performant a été réalisé
en technologie coplanaire. Dans ce cas, la bande passante est limitée par les effets
inductifs des fils des thermistances et des parties métalliques des capacités, par la
transition SMA-CPW et par la dispersion importante de la ligne CPW. La bande
passante pourra être augmentée en diminuant ces effets parasites. L’utilisation de
composants connus, la maîtrise de la réalisation et l’adaptation sur une large
bande de fréquence [DC – 8 GHz] constituent une base solide pour notre étude.
L’idée de départ d’utiliser CST comme outil de référence pour calculer l’efficacité
60
n’a pas finalement été retenue, les résultats obtenus sur cette structure planaire
n’ayant pas été jugés suffisamment satisfaisants. Dans la suite de notre travail,
chaque élément du wattmètre sera modélisé à l’aide d’un schéma électrique
équivalent complet. On veillera plus particulièrement à mieux prendre en compte
les pertes dans les parties métalliques des capacités de découplage. Les
performances en termes de facteur de réflexion et d’efficacité seront simulées par
le logiciel ADS et comparées aux résultats de la mesure.
61
Chapitre 3
Modélisation du wattmètre coplanaire DC-8GHz.
1. Introduction
L’objectif de notre travail n’est pas de réaliser un wattmètre possédant des
performances comparables aux montures bolométriques en guide d’onde coaxial,
en termes d’adaptation et d’efficacité, mais d’explorer la faisabilité du calcul de
son efficacité. Nous avons orienté nos efforts vers la conception d’un wattmètre
innovant en technologie planaire, à faible coût, relativement bien adapté, et
facilement réalisable.
Dans le chapitre précédent, nous avons décrit la conception d’un nouveau
type de wattmètre en technologie coplanaire adapté jusqu’à 8 GHz. La structure
globale se décompose en plusieurs parties distinctes (Figure 1) responsables à
différents niveaux des pertes par transmission et par réflexion :
- les pertes par rayonnement générées par l’ensemble de la structure
- la transition connecteur SMA vers la ligne coplanaire
- la ligne de transmission coplanaire
- les capacités de découplage DC-RF (CC, CG et CD).
- les thermistances
- les capacités d’interactions entre capacités CGi et CDi (introduites plus
loin)
FIG. 1 - Structure générale du wattmètre coplanaire.
62
La taille importante des capacités nous a amené à ajouter une capacité dite
d’interaction modélisant le couplage capacitif entre ces composants.
Au début de notre travail, nous avons utilisé le logiciel commercial CST
Microwave Studio comme outil de référence pour le calcul de l’efficacité. Les
résultats de simulation obtenus pour notre prototype ont montré qu’il est possible
d’obtenir un calcul précis du coefficient de réflexion. En revanche, les premières
tentatives de calcul de l’efficacité de ce wattmètre planaire ont été moins
probantes. Les difficultés se situent à deux niveaux différents. D’un point de vue
numérique, il est difficile de maîtriser les paramètres de maillage afin de tenir
compte précisément des pertes dans les parties métalliques. En effet, les plans de
masse et le conducteur central des lignes, ainsi que les électrodes à l’intérieur des
capacités, sont de quelques microns d’épaisseur à comparer au reste de la
structure qui est de l’ordre de plusieurs dizaines de millimètres. D’autre part,
simuler le wattmètre nécessite de connaître le maximum d’informations
techniques sur les éléments utilisés pour sa réalisation : connecteur SMA,
substrat, capacités de découplage DC-RF et thermistances. Ces paramètres sont
difficiles à obtenir de la part du fabricant (cas des thermistances) et peuvent
également présenter de grandes incertitudes ou variations.
Pour toutes ces raisons, nous avons décidé, parallèlement à ce travail de
simulation électromagnétique, de modéliser le wattmètre à partir de schémas
électriques équivalents.
Pour aboutir au calcul du coefficient de réflexion puis de l’efficacité, il est
nécessaire de disposer d’un modèle électrique rendant compte au mieux du
fonctionnement du wattmètre. La première étape consiste donc à extraire un
modèle électrique pour chacune des parties constituant le wattmètre, et ce à partir
de la mesure des paramètres S d’un élément dans une bande de fréquence donnée.
Dans le cas du rayonnement de la structure, seule la simulation électromagnétique
nous permet d’en estimer la valeur. Tous les paramètres S sont mesurés avec
l’analyseur de réseau préalablement calibré avec la méthode de calibration
« Multiline TRL » dont nous présenterons le principe au début de ce chapitre.
Puis, nous étudierons les modèles électriques utilisés pour chaque élément
constituant le wattmètre coplanaire :
1. caractéristiques de la ligne CPW (γ, Zc) 2. capacité de découplage DC-RF
3. thermistance
63
4. rayonnement de la structure
5. transition
6. modélisation de l’interaction entre les capacités de découplage par une
capacité d’interaction
2. Méthode de calibration Multiline TRL
2.1. Principe
Dans nos mesures, la méthode de calibration Multiline TRL est utilisée pour
calibrer l’analyseur de réseau vectoriel. Cette méthode, présentée pour la première
fois en 1991 (Marks 1991), est devenue aujourd’hui la méthode de calibration de
référence. Le principe de la Multiline TRL repose sur une analyse d’erreurs de la
méthode de calibration TRL classique (Engen et al. 1979). Avant d’exposer les
points clés de la Multiline TRL, il apparaît nécessaire de rappeler les grands
principes de l’algorithme TRL.
L’algorithme TRL est basé sur la mesure de trois éléments :
- Une ligne de longueur nulle (T) appelée « connexion directe »
- Une ligne (L) de longueur l, choisie pour obtenir un écart de phase
avec la connexion directe de 90° au centre de la bande de fréquence. La
longueur l ne doit pas être un multiple de λ/2 dans la bande de fréquence afin d’éviter des points de fréquence pour lesquels la solution de
l’algorithme TRL serait indéterminée, et qui correspondent à un
déphasage proche de 0° ou de 180°. En effet, plus le déphasage est
proche de 90° et meilleur sera le calibrage.
- Une charge de facteur de réflexion élevé comme par exemple un court-
circuit ou un circuit-ouvert, mais dont le coefficient de réflexion n’a pas
à être connu de manière précise. Le facteur de réflexion est considéré
identique pour chacun des accès de mesure.
Les hypothèses de l’algorithme TRL sont les suivantes :
64
- L’impédance de référence des paramètres S est l’impédance
caractéristique Zc de la ligne L, définie donc comme impédance de
référence du système de mesure.
- les paramètres S de la ligne s’écrivent donc :
0 e
e 0
−γ
−γ
l
l (1)
- l’impédance caractéristique Zc est considérée comme inconnue à priori.
La ligne est néanmoins choisie de façon à ce que Zc soit en général égale
à 50 Ω.
L’algorithme TRL permet de déterminer :
- le produit γl nécessaire au changement de plan de référence
- la constante de propagation γ connaissant la longueur l précisément
- les constantes de calibrage
- le coefficient de réflexion du court-circuit ou circuit ouvert
Nous verrons par la suite comment estimer à partir de ces données, la
valeur vraie de l’impédance caractéristique permettant ainsi, par changement de
l’impédance de référence, de définir les mesures par rapport à une impédance
strictement égale à 50 Ω.
Le principe de base de la Multiline TRL consiste à utiliser des lignes
supplémentaires redondantes, qui s’ajoutent aux lignes utilisées dans la méthode
TRL conventionnelle. Le plan de référence est toujours choisi au milieu de la
connexion directe quelle que soit la fréquence. La redondance des mesures est
utilisée pour minimiser les erreurs aléatoires (non-répétabilité des connecteurs)
via un traitement statistique des données. Cette méthode permet également
d’étendre la bande de fréquence pour le calibrage.
Le traitement statistique repose sur une analyse d’erreur linéaire de la
méthode de calibration. La seule hypothèse introduite est de considérer
l’imperfection de la ligne, due aux connecteurs, suffisamment petite pour pouvoir
être traitée comme une perturbation. Un point fort de la méthode est qu’elle
permet d’obtenir une estimation de la variance des paramètres cherchés
65
(constantes de calibrage, constante de propagation). La solution retenue est celle
qui minimise la variance des paramètres estimés. Le traitement statistique
(Annexe C) aboutit à la formulation de deux nouvelles règles importantes :
1. La valeur estimée γij de la constante de propagation γ, à partir de la
mesure de deux lignes i et j, s’écrit :
ijij γ∆+γ≈γ (2)
Où ∆γij représente l’erreur commise sur γ, qui est inversement
proportionnelle à la différence des longueurs li-lj. Contrairement aux erreurs sur
les constantes de calibrage, nous pouvons remarquer que l’erreur sur la constante
de propagation ne dépend pas directement de la déviation entre l’écart de phase
obtenu et la valeur théorique de 90°. Dans l’algorithme de la Multiline, un
déphasage le plus proche possible de 90° est le critère primordial, pour minimiser
l’erreur sur les constantes de calibration et donc ce critère impose le choix des
lignes retenues. Dans un second temps, la constante de propagation est estimée
pour tous les couples de lignes choisis en donnant des poids différents selon les
écarts de longueur.
2. Les constantes de calibration µij et νij s’écrivent :
ijij b µ∆+≈µ (3) et ijij
a
c ν∆+≈ν (4)
Où ∆µij et ∆νij sont les erreurs commises sur µij et νij. Les termes b et c/a
sont les constantes de calibration classiques de la TRL (modélisation du
quadripôle d’erreur cf. Annexe B). Les erreurs ∆µij et ∆νij dépendent du
déphasage obtenu pour chaque couple de ligne (erreur minimale pour un
déphasage optimal de 90°) mais aussi aux pertes. Ainsi, la prise en compte des
pertes minimise l’erreur commise sur les constantes de calibration.
Ces deux principes, associés à la redondance des mesures, permettent un
traitement statistique du bruit très performant.
Soit un modèle linéaire :
nnn exab += (5)
66
Dans ce modèle, bn est mesuré N fois et diffère de la valeur vraie anx par la
quantité en, considérée comme une erreur aléatoire. Il est alors possible d’estimer
le paramètre x par la méthode des moindres carrés pondérés où la matrice de
pondération optimale est l’inverse de la matrice de covariance du bruit de mesure
comme défini par le théorème de Gauss Markov (Zelen 1961). Dans la Multiline,
ce principe est mis en application pour donner le meilleur estimateur non biaisé de
γ et des constantes de calibrage (Marks 1991). Ceci constitue un outil important
de la méthode.
2.2. Exemple
Pour illustrer l’ensemble de notre propos, prenons l’exemple suivant : une
calibration TRL est effectuée dans la bande 2-18 GHz, nécessitant une connexion
directe T et deux lignes L1 et L2 pour éviter les points de fréquence où la
différence de longueur est proche de λ/2. L’algorithme TRL utilise uniquement la
mesure du couple [T-L1] sur la bande de fréquence [2 GHz, f’], et la mesure du
couple [T-L2] sur [f’-18GHz]. Dans ce cas, la ligne commune est la connexion
directe.
Le principe de la méthode Multiline TRL consiste à mesurer deux lignes
supplémentaires. Ainsi, le NIST recommande d’utiliser une ligne L3
supplémentaire de longueur l3 égale à λ/4 à la fréquence centrale et une autre ligne L4 de longueur égale à trois fois la longueur l3. Cette recommandation ne repose
sur aucune base mathématique mais résulte d’une observation expérimentale. La
Multiline TRL mesure, pour toutes les fréquences, tous les couples
possibles parmi les 5 lignes disponibles : [T-L1], [T-L2], [T-L3], [T-L4], [L1-L2],
[L1-L3], [L1-L4], [L2-L3], [L2-L4], [L4-L3]. Simplement, la ligne commune n’est
pas nécessairement la ligne T comme c’est le cas pour la TRL classique. A chaque
fréquence, la ligne commune peut être différente. L’algorithme détermine la ligne
commune utilisée pour chaque point de fréquence (voir exemple plus loin). Cette
ligne commune est utilisée avec les 4 lignes restantes pour calculer les paramètres
cherchés. Présentons les principales étapes de l’algorithme aboutissant à la
détermination de γ (la partie consacrée aux constantes de calibration est traitée en Annexe C) :
1. Calcul de la valeur estimée initiale de γ :
67
L’algorithme requiert une première estimation de γ. Pour cela, l’utilisateur doit fournir une estimation de la constante diélectrique effective εeff. Celle-ci peut être calculée par simulation électrostatique de la ligne ou encore par calcul quasi-
statique. Pour la première fréquence du fichier de mesure, la valeur initiale
estimée de γ est donnée par la relation (Degroot et. al 2002) :
9
2j
10010
''r,est'
est r,est0
επfj ε
fcγ = + (6)
Où c est la vitesse de la lumière, εr,est’ et εr,est ″ sont les parties réelles et imaginaires de la constante diélectrique effective εeff, et f0 représente la première
fréquence du fichier de mesure exprimée en Hz.
2. Identification de la ligne commune à la fréquence f :
a- L’algorithme commence avec T comme ligne commune, puis constitue
toutes les paires de lignes possibles avec T et détermine les déphasages
correspondant à chaque paire de lignes :
est est
1e e
sin2
l l
eff
−γ ∆ +γ ∆− − φ =
(7)
Puis, on enregistre dans un tableau, parmi tous les déphasages obtenus
avec T comme ligne commune, le déphasage qui donne la plus grande erreur c'est-
à-dire la valeur la plus éloignée de 90°.
68
TAB.1 - Détermination du déphasage de chaque paire de lignes obtenu avec la ligne T comme ligne
commune. Enregistrement de la valeur minimum du déphasage.
b- L’étape a- est répétée pour chacune des lignes.
c- Une fois tous les déphasages défavorables enregistrés (Tableau 2), il
s’agit ensuite de trouver parmi ces valeurs celle qui est la plus proche de 90° et la
ligne commune avec laquelle elle a été obtenue. Cette dernière est retenue comme
ligne commune à la fréquence f.
TAB.2 - Récapitulatif des pires cas obtenu pour chaque ligne testée comme ligne commune.
69
d- A chaque fréquence, les étapes a- à c- sont répétées. On obtient ainsi à
chaque fréquence quatre paires de ligne.
3. Les valeurs propres sont ensuite assignées à e±γ∆l pour chaque paire de
lignes selon un traitement robuste au bruit. On obtient finalement quatre valeurs
estimées de γ. La méthode des moindres carrés est appliquée pour déterminer la
valeur finale de γ en attribuant des poids plus importants aux couples de lignes
dont les différences de longueurs |li-lj |sont les plus grandes.
En conclusion, la redondance des mesures apportée par l’utilisation de
lignes multiples permet de minimiser les erreurs aléatoires via un traitement
statistique approprié des données. Les points forts de la méthode sont les
suivants :
- On obtient une minimisation et une estimation des erreurs aléatoires dues à la
non-répétabilité des connecteurs, et ainsi une meilleure estimation de la
constante de propagation et des constantes de calibration.
- L’utilisation de plusieurs lignes par point de fréquence permet une extension
de la gamme de fréquence ainsi qu’une précision plus uniforme dans cette
bande.
- Il n’y a plus de segmentation de la bande de fréquence en plusieurs sous-
bandes ce qui évite des discontinuités fréquentielles.
- Enfin, à l’issue de la calibration Multiline, les paramètres S sont mesurés par
rapport à l’impédance caractéristique Zc des lignes de transmission définie
comme l’impédance de référence.
3. Caractéristiques des lignes coplanaires : γγγγ, Zc La ligne de transmission coplanaire CPW joue un rôle prépondérant dans le
wattmètre car elle permet de transmettre la puissance HF de l’entrée jusqu’aux
détecteurs. Le terme “coplanaire” désigne les lignes de transmission pour
lesquelles tous les conducteurs sont sur le même plan, à la surface supérieure du
substrat. Ses plans de masse en surface constituent l’avantage majeur par rapport
à la ligne microruban : ils permettent d’installer plus facilement des composants
70
discrets (résistance, capacité…). Il n’est pas nécessaire, en effet, de réaliser des
trous métallisés pour rejoindre le plan de masse, ce qui permet d’augmenter la
largeur de bande et évite de modéliser des inductances parasites supplémentaires.
D’autre part, les performances des lignes coplanaires sont équivalentes à celles
des lignes microruban en termes de dispersion et de pertes dans le guide. En
revanche, le principal inconvénient est la propagation de modes de fuite générant
un rayonnement de la ligne.
Sur un substrat alumine unique, nous avons réalisé la ligne de transmission
du wattmètre ainsi qu’un kit de calibration. Ce kit de calibration coplanaire
(Tableau 1) est destiné à la mesure des capacités de découplage céramique dans la
bande de fréquence [125 MHz-8 GHz]. Les transitions et les lignes sont
identiques dans le cas du wattmètre et du kit de calibration. Ainsi, en caractérisant
les lignes et les transitions du kit de calibration, nous caractérisons la ligne et la
transition du wattmètre.
TAB.3 - Premier Kit de calibration.
Pour le kit de calibration, les longueurs des lignes L1 et L2 suivent les règles
classiques imposées par la TRL. Le dimensionnement de L3 et L4 a été réalisé
selon les recommandations du NIST :
71
- une ligne de longueur λ/4 à la fréquence centrale de la bande de fréquence : L4
- une ligne de longueur 3λ/4 à la fréquence centrale de la bande de fréquence : L3
Remarque : La largeur des lignes est dépendante de la taille des capacités de
découplage DC à mesurer. Comme nous allons le constater, la largeur des fentes
et du ruban central ont engendré un comportement dispersif important.
Une ligne est caractérisée par sa constante de propagation γ et son impédance caractéristique Zc. La constante de propagation γ est estimée au cours
de la calibration Multiline TRL. Une des possibilités pour déterminer l’impédance
caractéristique Zc est de mesurer au préalable la capacité linéique de la ligne.
Connaissant γ et CDC on peut en déduire Zc (Williams et al. 1991). Dans le cadre
de nos mesures, la détermination de Zc est très importante pour les raisons
suivantes :
- les paramètres sont mesurés par rapport à l’impédance caractéristique Zc
des lignes. Connaître Zc permet donc de changer d’impédance de référence et de
normaliser les paramètres S par rapport à 50 Ω.
- la connaissance de Zc et de γ, nous permettra de calculer les paramètres S
de la ligne coplanaire du wattmètre.
Nous présentons dans la section suivante la mesure de γ et la détermination
de l’impédance caractéristique Zc.
3.1. Détermination de la constante de propagation
La constante de propagation peut être estimée à partir de la mesure à
l’analyseur de réseau du paramètre S12 corrigé d’une ligne, ou du rapport des
paramètres S12 corrigés ou non de deux lignes. Toutes ces méthodes introduisent
des erreurs systématiques dans l’évaluation de la constante de propagation lorsque
l’impédance caractéristique des lignes mesurées diffère de l’impédance de
l’instrument de mesure (Degroot et al. 1996). La technique Multiline TRL fournit
une solution pour la constante de propagation en tenant compte des paramètres S
de deux ou plusieurs lignes. D’autre part, aucune hypothèse n’est effectuée sur
l’adaptation d’impédance entre les lignes et l’impédance du système de mesure.
72
Le NIST a conçu le logiciel MULTICAL (Degroot et al. 2002) dans lequel
est implémentée la méthode Multiline. Ce logiciel permet de calculer à l’aide
d’une méthode très robuste la constante de propagation. La valeur initiale de la
constante diélectrique effective est estimée par un calcul Quasi-statique (Gupta et
al. 1996) et permet de calculer la valeur initiale de la constante de propagation
(équation (6)).
Les figures 2 et 3 présentent la valeur de la constante d’atténuation α exprimée en dB/cm, ainsi que la valeur de la constante diélectrique effective εeff qui témoignent plus explicitement de la dispersion des lignes coplanaires que la
constante de phase β. La constante diélectrique effective est calculée à partir de la constante de propagation (Degroot et al. 2002) :
2
100c
γ ε = − ω
eff (8)
Où ω est la pulsation en rad/s, c la vitesse de la lumière en m/s et γ, la constante de propagation.
Nous pouvons observer que les pertes des lignes coplanaires réalisées sont
très faibles. En revanche, la dispersion de la ligne est importante. Ce phénomène
est attendu pour des lignes coplanaires avec des largeurs de fentes conséquentes.
Le champ électrique se concentre alors davantage dans le substrat. Edwards et al.
(2000) ont effectué des simulations électromagnétiques avec le logiciel SONNET
sur un substrat Alumine de permittivité 9.9, de hauteur 0.635 mm, avec des
largeurs de fente variant de 100 µm à 450 µm. Lorsque la distance entre le plan de
masse et le ruban central devient comparable à la hauteur (dans cette étude,
supérieure à 475 µm) des modes d’ordre supérieur peuvent se propager et le mode
CPW n’est pas conservé. C’est le cas pour nos lignes, la largeur des fentes étant
de 0.5789 mm et la hauteur du substrat de 0.650 mm.
73
FIG. 2 - Constante d’atténuation α en dB/cm des lignes coplanaires.
FIG. 3 - Constante diélectrique effective des lignes coplanaires.
3.2. Calcul de l’impédance caractéristique Zc
La connaissance de l’impédance caractéristique Zc est d’une importance
prépondérante dans notre travail :
74
- les paramètres S sont mesurés par rapport à l’impédance caractéristique Zc
des lignes coplanaires. Connaître Zc nous permet de changer l’impédance de
référence et de normaliser les paramètres S par rapport à Z0 égale à 50 Ω.
( )( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )( )
( )
*1 r S S r r S S* 2 22 11 1 2 12 21A' 11S11 A 1 r S 1 r S r r S S11 2 22 1 11 2 1 12 21
21 r S* 1 12A' 22S12 A 1 r S 1 r S S S11 2 22 1 11 12 21
21 r S* 2 21A' 11S21 A 1 r S 1 r S S S22 2 22 1 11 12 21
*1 r S S r r S S* 1 11 22 2 1 12 21A' 22S22 A 1 r S 1 r22 2 22 1
− − +=
− − −
− =
− − −
− =
− − −
− − +=
− −( )
( )S r r S S11 2 1 12 21
2*1 r 1 r i iAii 1 r i
Z Z0 cr r1 2 *Z Zc 0
−
− −=
−
−= =
+
(9)
- la connaissance de Zc associée à celle de γ nous permettra de calculer les
paramètres S de la ligne coplanaire du wattmètre en utilisant (Eisenstadt et al.
1992) :
[ ]( )
( )2 2c 0 0
2 2s 0 c 0
Z Z sinh Z1S
D Z Z Z sinh
c
c
l 2Z
2Z l
− γ =
− γ
(10)
Où ( )2 2s c 0 c 0D 2Z Z cosh Z Z sinhl l= γ + + γ (11)
Une première approche peut être numérique (Schnieder et al. 2001). Dans le
cas où la dimension des circuits est suffisamment petite devant la longueur d’onde
(en général un rapport de λ/10 est adopté), l’approximation Quasi-TEM peut être
choisie. Une simulation électromagnétique tenant compte des pertes métalliques et
diélectriques (Heinrich 1990) fournit une première référence et permet de
comprendre le comportement physique de la ligne. Ensuite, des formules
approchées sont développées pour les différents paramètres R, L, G et C du
modèle électrique de la ligne.
75
Une deuxième approche, expérimentale, a fait l’objet de plusieurs
publications. La détermination de l’impédance caractéristique est fortement
perturbée par les résonances se produisant lorsque les longueurs des lignes
approchent λ/2. Ces résonances sont fortement accentuées par la transition entre
les pointes de mesure, ou le connecteur coaxial, et la ligne de transmission. Une
méthode consiste donc à modéliser la transition pour ensuite en soustraire les
effets (Mondal et al. 1988, Eisenstadt et al. 1992, Heymann et al. 1994). Prenons
une ligne de longueur l avec deux connecteurs soudés de part et d’autre. Une
calibration SOLT (Rehnmark 1974, Fitzpatrick 1978) est effectuée pour mesurer
la matrice Sm de l’ensemble. La matrice Sm mesurée contient les caractéristiques
de la ligne (γ et Zc) mais aussi les discontinuités introduites par les transitions.
Une fois la transition modélisée, il est alors possible d’en éliminer les effets sur la
matrice Sm et d’obtenir la matrice SL de la ligne seule. Une fois la correction
effectuée, la matrice S ou la matrice chaîne peuvent être utilisée pour déterminer
l’impédance caractéristique.
Une autre méthode, très robuste, permet de déterminer l’impédance
caractéristique de la ligne de transmission à partir des mesures de sa constante de
propagation et de sa capacité linéique CDC dans le cas de substrats à faibles
pertes (Williams et al. 1991) :
A partir des équations des télégraphes, quelque soit le mode de propagation
TEM ou quasi-TEM, les éléments localisés R, L, C, G sont reliés à l’impédance
caractéristique de la ligne Zc et à sa constante de propagation γ par (Brews 1986) :
GCjZc
+ω≡γ (12)
RLjZc +ω≡γ (13)
Ainsi, en théorie, soit le couple (C, G) soit le couple (L, R), associé à la
mesure de γ, permet de déterminer Zc. A priori aucun des paramètres R, L, C et G
ne sont connus. Néanmoins, dans le cas de substrats à faible pertes, G est
négligeable devant ωC, excepté pour les très basses fréquences. Il est possible alors d’écrire :
cZ j C
γ=ω
(14)
76
La connaissance de la phase de γ (donnée par la calibration Multiline TRL)
permet de déduire directement la phase de Zc. La connaissance de la capacité
linéique C permet de calculer le module de Zc (Williams et al. 1991). Une très
bonne approximation, consiste à choisir pour C sa valeur DC car comme nous
allons le voir, celle-ci varie peu avec la fréquence.
Remarque : La seconde approximation, R négligeable devant ωL, n’est pas utilisable en pratique car R et L dépendent fortement de la fréquence. En effet, le
courant se répartit dans le métal de manière très différente selon la fréquence.
Comme nous l’avons vu précédemment, la Multiline TRL fournit une
solution très robuste pour la constante de propagation au cours de la calibration. Il
faut donc déterminer la capacité linéique DC de la ligne.
Quatre solutions sont envisageables : un calcul quasi-statique, mesures de la
résistance DC de la ligne ou de la résistance DC d’une charge 50Ω (préconisées
par le NIST), et mesure au pont de capacité du LNE. Nous présentons ces quatre
méthodes et leurs résultats.
3.2.1. Calcul quasi-statique
Il existe deux grandes familles de calcul numérique pour analyser les lignes
de transmission planaires : l’approche quasi-statique et la méthode dite
« Fullwave » (Gupta et al. 1996) plus complexe qui permet de tenir compte des
pertes métalliques et de la dispersion des lignes. Nous nous intéresserons ici
uniquement à la première.
Dans l’approche quasi-statique, le mode de propagation est considéré
comme purement TEM, et les caractéristiques de la ligne sont déterminées par le
calcul de sa capacité. Cette analyse est valable pour des dimensions de w (largeur
du ruban central) et h (hauteur du substrat) petites devant la longueur d’onde. Les
caractéristiques de la ligne de transmission sont calculées à partir des valeurs de la
capacité du demi-plan supérieur et du demi-plan inférieur. Pour réaliser le calcul
électrostatique il existe plusieurs approches : transformation conforme, différence
finie, équation intégrale... Considérons une ligne coplanaire dont la largeur du
ruban central est w et la largeur de la fente est g. La transformation conforme a
pour objectif de transformer géométriquement la ligne planaire en un
condensateur plan. Géométriquement, cela revient à transformer le diélectrique
77
sous les plans de masse contenus dans le plan Z en un condensateur plan contenu
dans le plan W (Figure 4).
FIG. 4 - Transformation conforme d’un premier quadrant de ligne CPW avec plans de masse infinis en une géométrie à face parallèle.
Une relation permet de passer des dimensions dans le plan Z à celles dans le
plan W. La transformation géométrique conforme appliquée aux lignes
coplanaires suppose que toutes les interfaces diélectriques de la structure, fentes
inclues, peuvent être remplacées par des murs magnétiques. Cette hypothèse est
strictement valable pour des structures dans lesquelles le champ électrique est
réparti le long de l’interface avec le diélectrique. Cette hypothèse permet de
séparer le calcul de la capacité en deux calculs distincts : calcul de la capacité C1
du demi-plan supérieur et calcul de la capacité C2 du demi-plan inférieur. La
capacité totale par unité de longueur de la ligne s’écrit :
DC 1 2C C C= + (15)
Selon les hypothèses formulées, chaque capacité est déterminée à partir
d’une expression analytique plus ou moins complexe. Ainsi, si on se place dans le
cas le plus simple où la largeur des plans de masse et la hauteur du substrat sont
infinies, l’expression de C1 et C2 est donné par :
78
( )( )
11 0 '
1
K kC 2
K k= ε (16)
( )( )
12 0 r '
1
K kC 2
K k= ε ε (17)
Où 1w
kw 2g
=+
(18) et ' 21 1k 1 k= − (19).
Avec K l’intégrale elliptique complète du premier ordre.
Pour notre calcul, les expressions utilisées pour C1 et C2 tiennent compte de
la largeur finie des plans de masse, et de la hauteur finie du substrat (Annexe D).
Les formules ont été programmées sous MATLAB, nous permettant d’obtenir les
valeurs de C1 et C2. Après calcul :
CDC = 1.2486 pF/cm
3.2.2. Mesures préconisées par le NIST
Reprenons les équations écrites un peu plus haut :
GCjZ
+ω≡γ (20)
RLjZ +ω≡γ (21)
A partir des équations ci-dessus, deux méthodes de mesure sont possibles
pour évaluer la capacité linéique CDC de la ligne (Williams et al. 1991). L’une est
basée sur la mesure de la résistance DC de la ligne, l’autre sur la mesure DC
d’une charge 50 Ω. La conductance par unité de longueur G est reliée aux pertes
diélectriques par la relation (Williams et al. 1992) :
GG C tan( ) soit tan( )C= ω δ = δω (22)
La tangente de l’angle de pertes du substrat alumine utilisé pour nos lignes
coplanaires est donnée par le fabricant soit tan(δ)=0.0001 à 1MHz. Ce qui nous
donne : G/ωC=0.0001. On peut donc se placer dans le cas du substrat à faibles pertes.
79
En prenant la partie imaginaire du produit des équations (20) et (21) on a :
2
RC LG Rej
γ+ = ω
(23)
Typiquement, LG<<RC. De plus, si R est égal à RDC, valeur facilement
mesurable, on obtient la valeur de la capacité :
2
dc
1C Re( )
R j
γ≈ω
(24)
Obtenir de bons résultats avec cette méthode n’est pas aisé, car
l’approximation R=Rdc n’est valable qu’en basse fréquence où la répartition du
courant est très uniforme. La capacité C ainsi déterminée, dévie fortement de la
valeur CDC si la fréquence augmente. Il est donc indispensable de déterminer la
constante de propagation à la plus basse fréquence possible, pour obtenir par
extrapolation une bonne précision sur la valeur de CDC. Nous avons réalisé une
calibration Multiline TRL de 120 MHz à 1 GHz. Nous voyons qu’il est
impossible d’obtenir une valeur cohérente avec cette méthode de mesure (Figure
5), la fréquence de travail étant trop élevée.
FIG. 5 - Estimation de la valeur de la capacité linéique (pF/cm) par les deux méthodes.
80
Une autre solution consiste à mesurer la résistance DC d’une charge
adaptée. A basse fréquence, si une résistance est connectée au bout d’une ligne de
transmission, nous avons la relation suivante :
load loadc load load,dc c load,dc
load load
1 1Z Z R soit Z R
1- 1
+ Γ − Γ≡ ≈ =Γ + Γ
(25)
Où Γload est le coefficient de réflexion de la résistance 50Ω, et Rload,DC la
valeur DC de la résistance.
En reprenant l’équation (20) et en négligeant G/ωC, on obtient :
load
load,dc load
1C
j R 1-
+ Γγ=ω Γ
(26)
La constante de propagation est déterminée lors de la calibration Multiline
TRL de 120 MHz à 1 GHz et la mesure du facteur de réflexion et de la résistance
DC permet d’obtenir la valeur de la capacité. On a donc réalisé une charge en
plaçant une résistance 50Ω à l’extrémité de la ligne de transmission CPW (Figure
6).
FIG. 6 - Charge 50 Ω (à gauche) et court-circuit (à droite).
Nous avons ensuite mesuré sa résistance DC par la méthode proposée par le
NIST (Williams et al. NIST report 1995). Il s’agit de mesurer à l’aide d’un
multimètre la résistance DC de la charge 50Ω et d’un court-circuit de même
longueur (Figure 7), et de soustraire à la première valeur la seconde. Afin
81
d’obtenir des mesures précises de résistance, nous avons utilisé la méthode des
« quatre fils » permettant de s’affranchir des fils de mesure.
Rload,DC= 50.0266Ω
FIG. 7 - Mesure au multimètre de la charge 50 Ω et du court-circuit (méthode des quatre fils).
La capacité CDC ainsi obtenue est quasiment constante sur toute la bande de
fréquence. L’extrapolation de C de 120 MHz au continu où l’approximation
Zload=Rload,dc est vérifiée donne ainsi des valeurs cohérentes avec les calculs par
approximation quasi-statique. La valeur estimée de CDC est :
CDC = 1.2415 pF/cm
3.2.3. Mesure à 1 kHz au pont de capacité du LNE
La géométrie ouverte de la ligne de transmission CPW rend extrêmement
sensible la mesure à l’environnement. Pour mesurer précisément la capacité CDC
de la ligne, on doit s’affranchir des matériaux métalliques et du champ
électromagnétique extérieur.
82
FIG. 8 - Capacité équivalente de la ligne coplanaire.
Nous avons décidé d’utiliser le pont de capacité couramment utilisée au
LNE pour l’étalonnage des capacités dont la résolution est de 10-7. Il est
nécessaire de définir très précisément l’environnement de mesure afin de parvenir
à une précision de 10-4 pF. Nous avons utilisé une définition d’impédance
nommée « définition en trois bornes » (Thévenot et al. 2001). La définition en
trois bornes permet de s’affranchir des admittances de fuite. L’impédance Z à
mesurer est enfermée dans un blindage muni d’une prise G (Figure 9).
L’impédance est alors définie comme le rapport de la tension entre les bornes H et
B sur le courant s’écoulant par B, quand le blindage (G) est porté au même
potentiel que B.
FIG. 9 - Impédance définie en trois bornes.
83
Lorsque ces conditions sont réalisées, l’admittance YB n’est traversée par
aucun courant et la valeur mesurée de Z est indépendante de la valeur de YB. Le
courant IG qui traverse YH se referme sur la source, sans perturber la valeur du
courant I, rendant la mesure de Z insensible à YH.
0VI
UZ
=
= (27)
Un boîtier métallique en Aluminium (Figure 10) a été réalisé. La figure ci-
dessous présente un exemple de configuration de mesure où la prise de droite
n’est pas utilisée ; celle-ci est court-circuitée et on mesure la capacité entre le plan
de masse gauche et la ligne centrale.
FIG. 10 - Blindage métallique.
Comme on peut le voir sur la figure ci-dessus, trois prises BNC permettent
de mesurer successivement les capacités « Plan de masse gauche-Ligne centrale »
puis « Plan de masse droit-Ligne centrale » (Figure 10). Sur les figures suivantes,
nous pouvons observer la disposition des fils de connexion et de la ligne de
transmission. Celle-ci est placée directement dans l’air et n’est supportée par
aucun isolant. Il est important de souligner que l’espace entre la ligne et le boîtier
métallique est supérieur à quatre fois la hauteur du substrat pour rendre
négligeable l’influence de ce dernier sur la capacité de la ligne coplanaire (Gupta
et al. 1996).
84
La figure de droite présente le boîtier sans l’impédance Z à mesurer.
FIG. 11 - Positionnement de la ligne dans le boîtier métallique.
La mesure s’effectue de la manière suivante : on court-circuite un des
connecteurs situé à l’une des extrémités et on mesure la capacité entre la ligne
centrale et le plan de masse « non court-circuité » ; puis on répète l’opération en
déplaçant le court-circuit à l’autre extrémité pour mesurer ainsi la seconde
capacité (Figure 11). Pour tenir compte des capacités non négligeables entre
chaque couple de fils de connexion, on retire la ligne coplanaire du boîtier de
mesure et on répète la procédure précédente. Enfin, les valeurs trouvées sont
retranchées aux premières valeurs. On obtient ainsi la capacité CDC de la ligne :
Ligne Centrale Plan de masse G Ligne Centrale Plan de masse D FilsC C CCdc
longueur de la ligne− −+ −
= (28)
Avec :
Fils Fil Ligne Fil Plan de masse G Fil Ligne Fil Plan de masse D C C C− −= + (29)
Court-circuit
85
On a mesuré la capacité de deux lignes de longueurs différentes, l’une de
4.601 cm et l’autre de 3.866 cm. Nous obtenons :
CDC = 1.2419 pF/cm
3.2.4. Récapitulatif des résultats obtenus pour CDC
Dans cette partie, nous présentons l’ensemble des résultats obtenus pour la
mesure de la capacité linéique de la ligne coplanaire. Le tableau 2 présente les
valeurs finales obtenues avec les trois méthodes :
- calcul quasi-statique
- méthode de mesure préconisée par le NIST avec la charge 50 Ω
- mesure au pont de capacité
TAB.4 - Ensemble des valeurs de CDC obtenues par mesure et par calcul.
On constate un bon accord entre la valeur mesurée avec la charge 50Ω et
celle obtenue par la mesure au pont de capacité. Un écart un peu plus important de
0.6% est observé entre les mesures et le calcul quasi-statique. Cet écart provient
de l’incertitude sur la hauteur et la permittivité du substrat pour le calcul quasi-
statique. Les tolérances données par le fabricant sont de ±0.1 pour la permittivité
et de ±10 µm pour la hauteur. La prise en compte de ces tolérances dans le calcul
donne une variation de 0.6% de CDC pour chaque paramètre. Les tolérances de
réalisation des circuits (±5 µm sur les largeurs des dépôts métalliques), et donc
des tolérances sur la largeur du ruban central ou de la fente n’ont aucune
influence.
86
Pour CDC égal à 1.2486 pF/cm, la valeur par calcul Quasi-statique de |Zc| est
50.13 Ω. Une variation de 0.6% de CDC entraine une variation de 0.3% sur la
valeur de |Zc| (calcul Quasi-statique).
Avant de mesurer les composants, l’impact de la capacité linéique de la
ligne sur la mesure des paramètres S est étudié. Les paramètres S d’une capacité
sont mesurés pour les valeurs 1.2415 pF et 1.2486 pF. Les paramètres S mesurés
avec la valeur calculée de CDC sont indicés « 0 », et avec la valeur mesurée « 1 ».
Pour évaluer l’impact séparément sur S11 et S12, les deux termes suivants sont
calculés (Figure 12) :
111
011 SS − (37)
121
021 SS − (38)
L’impact sur le paramètre S11 est plus important que sur le paramètre S12.
Ceci est évident au vu de la définition même de S11, plus sensible au changement
d’impédance. L’incertitude sur la mesure des paramètres S due à une erreur sur
CDC est cependant négligeable par rapport à la variabilité des paramètres S
mesurés d’une capacité à l’autre. Pour la suite des mesures, nous avons donc
choisi de prendre la valeur moyenne de ces trois valeurs :
DCC 1.244 pF / cm =
FIG. 12 - Influence de la capacité linéique CDC sur la mesure des paramètres S. L’indice « 1 » se reporte à la valeur de CDC mesurée (1.2415 pF/cm) et l’indice « 0 » à celle calculée (1.2486 pF/cm).
87
3.2.5. Mesure de l’impédance caractéristique
Comme nous l’avons vu, la technique Multiline TRL permet de mesurer
précisément la constante de propagation au cours de la calibration sur toute la
bande de fréquence en proposant une solution robuste au bruit. Nous avons
proposé également différentes méthodes permettant de mesurer précisément la
capacité linéique CDC. Nous pouvons ainsi obtenir précisément l’impédance
caractéristique Zc de la ligne.
La figure 13 présente la partie imaginaire et la partie réelle de l’impédance
caractéristique Zc pour deux des valeurs de CDC déterminées précédemment. Un
écart de 0.5 Ω est relevé entre les parties réelles obtenues pour chacune des
valeurs de CDC. D’autre part, deux régions sont à distinguer dans l’évolution des
parties réelles et imaginaires :
- En haute fréquence, la partie réelle augmente progressivement et la partie
imaginaire s’annule. L’augmentation de la partie réelle est due au comportement
dispersif des lignes. Des modes d’ordre supérieur se propagent.
- En basse fréquence, la partie réelle et la partie imaginaire évoluent
respectivement en augmentant et en diminuant fortement. Dans la littérature, il est
indiqué que l’inductance interne serait responsable de ce phénomène.
L’inductance interne résulte de la pénétration du champ magnétique dans les
parties métalliques : signal et masse. Lorsque la fréquence tend vers zéro, la
profondeur de peau augmente et l’inductance interne croît fortement ; et
inversement, elle diminue avec l’augmentation de la fréquence. L’inductance
externe est, quant à elle, fixée par la géométrie de la ligne et elle est indépendante
de la fréquence. Elle représente l’inductance d’une ligne sans perte (Holloway
1997).
88
FIG. 13 - De bas en haut : la partie imaginaire puis la partie réelle de l’impédance caractéristique.
En conclusion, nous avons caractérisé précisément les lignes coplanaires du
kit de calibration utilisé pour la mesure des capacités de découplage mais
également pour la mesure de la ligne utilisée dans le wattmètre. La technique
Multiline TRL, méthode de calibration utilisant des lignes supplémentaires par
rapport à la TRL, a été mise en œuvre pour déterminer la constante de propagation
γ. Dans le cas d’un substrat à faibles pertes, la phase de γ permet d’obtenir la
phase de l’impédance caractéristique Zc. La mesure supplémentaire de la capacité
linéique CDC de la ligne permet de déterminer le module de Zc. Trois méthodes de
mesure et une méthode de calcul Quasi-statique ont été utilisées pour déterminer
CDC. L’impédance caractéristique Zc a pu être calculée permettant ainsi de
normaliser les paramètres S mesurés par rapport à une impédance réelle de 50Ω.
La connaissance de Zc, associée à celle de γ, va nous permettre de calculer les
paramètres S de la ligne utilisée dans le wattmètre.
89
4. Modélisation de la capacité de découplage DC-
RF
4.1. Introduction
Les principales applications des capacités dans les circuits hyperfréquences
peuvent être regroupées en quatre grandes catégories :
- blocage du courant DC (capacité en série avec la ligne de transmission)
- déviation du signal HF (capacité en parallèle avec la ligne de transmission)
- adaptation d’impédance en entrée ou sortie de composant (transistor)
- filtrage
En grande majorité, l’ensemble de ces fonctions électroniques sont réalisées
à partir de capacités céramiques. Le terme de céramique signifie généralement
qu’un corps polycristallin inorganique est formé par agglomération à hautes
températures. Jusqu’à quelques gigahertz, ces composants sont multicouches puis
deviennent seulement monocouche pour les fréquences millimétriques. Leurs
propriétés peuvent être assez différentes mais elles ont toutes en commun un
diélectrique céramique oxyde. Les qualités recherchées sont :
- faibles pertes jusqu’à la plus haute fréquence possible
- stabilité
- tenue en tension
Les capacités céramiques multicouches sont les plus populaires. Il y a trois
grandes raisons à cela :
- leur faible coût
- la gamme étendue de valeurs [0.1 pF-10 µF] - leur bonne performance sur une large bande de fréquence
Les capacités utilisées dans les wattmètres planaires sont des capacités
céramiques multicouches. Ces capacités ont deux rôles majeurs : découpler le
signal DC-RF pour pouvoir connecter le pont de Wheatstone et améliorer
l’adaptation en basse fréquence en choisissant une valeur élevée (1 nF).
90
La capacité multicouche est constituée d’un bloc céramique dans lequel est
insérée une pile d’électrodes (Figure 14). Cette pile est constituée de paires
d’électrode qui se font face deux à deux et constituent des condensateurs plans,
séparés d’une distance d. Un contact électrique est établi entre les électrodes et les
plots métalliques externes. On obtient ainsi une relation entre la valeur nominale
de la capacité, la constante diélectrique de la céramique, le nombre n d’électrodes,
et la surface A des électrodes (http://www.epcos.com/inf/20/10/db/cc_03/0191020
1.pdf):
( )d
A1nC r0 −εε
= (35)
FIG. 14 - Capacité céramique multicouche. Les blocs d’électrodes forment deux à deux des condensateurs plans.
Les deux principaux phénomènes à prendre en compte dans les capacités
céramiques multicouches sont les pertes et les fréquences de résonance.
En basse fréquence, les pertes dans les capacités se produisent
principalement dans le diélectrique, milieu où l’énergie est stockée et transférée.
Le facteur de qualité reflète ce mécanisme puisqu’il est défini comme le rapport
de la quantité d’énergie stockée sur celle dissipée pendant un cycle. Les pertes
d’un diélectrique dépendent de ses caractéristiques telles que son niveau
d’impureté et ses paramètres nano structurels comme la taille des grains, leur
91
morphologie et leur porosité. Chaque diélectrique est caractérisé par son facteur
de dissipation (DF) ou tangente d’angle de perte (tan δ).
Les pertes métalliques sont dépendantes des caractéristiques résistives de
tous les matériaux métalliques présents pour la réalisation de la capacité. Elles
sont en particulier dues aux électrodes présentes à l’intérieur de la structure
soumises à l’effet de peau, mais aussi aux plots de contact. Ces pertes métalliques
se traduisent par un échauffement.
Les fréquences de résonance sont de deux types : la fréquence de résonance
série et les fréquences de résonance d’ordre supérieur. La fréquence de résonance
série se produit lorsque la partie réactive du composant s’annule. Les fréquences
de résonances d’ordre supérieur dépendent de l’architecture des électrodes et de
leur nombre.
Dans cette partie, un premier paragraphe présentera le modèle électrique de
la capacité céramique multicouche. Puis, la méthode de mesure de ces capacités
sera détaillée. Enfin, nous déterminerons les valeurs du modèle électrique et
présenterons les résultats comparatifs avec la mesure.
4.2. Modèle électrique de la capacité céramique Multicouche
Classiquement, une capacité céramique est modélisée par un circuit série :
une résistance série équivalente (ESR), une inductance L et une capacité C
(Figure 15). Ce schéma équivalent ne tient pas compte de l’interaction du
composant avec la ligne de transmission.
FIG. 15 - Schéma électrique classique de la capacité.
92
La résistance série équivalente (ESR) constitue le paramètre le plus
important pour sélectionner le composant. Elle représente la somme de toutes les
pertes, aussi bien diélectriques que métalliques. Il est important de noter que les
pertes diélectriques sont prépondérantes en basse fréquence tandis que les pertes
métalliques le sont en haute-fréquence.
En première approximation, l’ESR est considérée indépendante de la
fréquence. Elle est mesurée à la fréquence de résonance série pour laquelle la
partie réactive de l’impédance s’annule. Ce modèle électrique est alors utilisable
jusqu’à la fréquence de résonance série mais est inadapté pour les fréquences
supérieures (Smith et al. 2002). Pour tenir compte de l’évolution des pertes avec
la fréquence nous avons considéré l’ESR variable avec la fréquence.
La composante inductive est due aux électrodes internes. En effet, les
électrodes se faisant face, chargées négativement et positivement, le courant
parvient tout de même à se déplacer d’une électrode à l’autre, bien qu’elles ne
soient pas reliées physiquement, du fait de la vitesse de charge et de décharge
élevée (Figure 16) (Huang et al. 2005).
FIG. 16 - Ecoulement du courant haute-fréquence responsable de l’inductance.
93
Le modèle doit être complété pour tenir compte de l’environnement de
mesure. En effet, une partie du courant est réfléchi par la capacité et rejoint les
plans de masse métalliques (Figure 17 et 18). L’effet capacitif parasite entre le
ruban central et les plans de masse est modélisé par les capacités Csub1 et Csub2.
Les pertes dues au parcours du courant dans le substrat sont modélisées par des
résistances parasites Rsub1 et Rsub2. Le modèle électrique complet est représenté sur
la figure 19.
FIG. 17 - Schéma de la capacité et de la ligne coplanaire (vue de côté).
FIG. 18 - Schéma de la capacité et de la ligne coplanaire (vue de dessus).
94
FIG. 19 - Schéma du modèle électrique de la capacité de découplage.
4.3. Caractérisation des capacités céramiques multicouches
Il y deux grandes catégories de techniques possibles pour mesurer
l’impédance de composants RF et microondes auxquelles s’ajoute une technique
spécifique aux mesures de capacité (Figure 20). La première catégorie, qui utilise
l’analyseur de réseau, se décompose en trois sous-méthodes : mesure double-port
des paramètres S, mesure un-port du coefficient de réflexion, mesure un-port d’un
réseau en pi dédié à la mesure de résonateur de cristal à quartz. Cette technique est
la plus large bande mais est moins précise. La seconde, spécifique à la mesure des
capacités, est basée sur l’utilisation d’une ligne coaxiale résonante. Cette méthode
est considérée comme une référence pour la mesure de capacités dans la bande
radiofréquence jusqu’à 3GHz. La troisième utilise l’analyseur d’impédance, plus
précis et plus robuste à la température que l’analyseur, mais ne permet pas de
mesure au-delà de la bande radiofréquence.
95
FIG. 20 - Récapitulatif des deux grandes techniques de mesure d’impédance, auxquelles s’ajoute la structure résonante coaxiale spécifique à la mesure de capacité.
Les trois principales raisons justifiant notre choix de la mesure des
paramètres S sont évidentes : tout d’abord, c’est la seule façon de mesurer nos
composants de 45 MHz à 8 GHz sans extrapolation des mesures. Elle permet
ensuite de caractériser le composant directement sur le substrat d’utilisation.
Enfin, à partir des paramètres S, il est relativement simple de déterminer toutes les
caractéristiques du modèle électrique.
Examinons les aspects importants de la mesure des paramètres S des
capacités, avant de présenter les résultats de nos mesures.
Le composant est inséré entre deux lignes de transmission sur un substrat de
mesure. Deux connecteurs coaxiaux sont disposés de part et d’autre des lignes.
L’analyseur préalablement calibré est connecté à l’aide de câbles au support de
mesure. L’analyseur permet de mesurer les paramètres S en réflexion et en
transmission.
Pour la mesure de capacité, il est important de réaliser le support de mesure
sur un substrat possédant de faibles pertes diélectriques et de très bonnes
propriétés hautes fréquences pour réduire l’influence sur la mesure des pertes du
composant (Yukio et al. 1996). Les propriétés recherchées pour le substrat sont :
la stabilité des constantes diélectriques, la rigidité mécanique avec la température,
de faible pertes diélectriques, et permettre une forte adhésion du conducteur de la
96
ligne de transmission. Ainsi, pour le support de mesure, le substrat alumine sera
préféré au téflon.
La transition coaxiale vers la ligne est très importante pour la répétabilité
des mesures. Il aurait été préférable de fabriquer une monture de test rigide unique
pour le kit de calibration et le support de mesure, où le contact du connecteur
coaxial sur la ligne planaire s’effectue par pression et non par soudure. Ceci
permet de garder la même transition pour toutes les mesures. On obtient ainsi une
très grande répétabilité.
La répétabilité des mesures est estimée par multiples connexions-
déconnexions. Pour une connexion d'ordre n de la monture, on mesure S11n. On
mesure ensuite S11n+1 de la connexion suivante. L'erreur de S11
n - S11n+1 en
décibels est :
n n 111 1120log S SdBe += − (36)
La figure 21 présente la répétabilité des mesures effectuées sur une capacité.
Les résultats montrent une très bonne répétabilité inférieure à -60 dB sur
l’ensemble de la bande de fréquence.
FIG. 21 - Répétabilité des mesures avec connecteur SMA.
Pour nos mesures, deux méthodes de calibration ont été utilisées : la
Multine TRL et la LRM. La figure 22 reprend les éléments du kit de la calibration
Multiline TRL. La Multiline TRL est utilisée pour mesurer les paramètres S des
composants de 45 MHz jusqu’à 8 GHz. Les paramètres S sont mesurés par rapport
à l’impédance complexe Zc des lignes puis renormalisés par rapport à 50 Ω. En
97
dessous de 125 MHz, la longueur des lignes utilisées dans la Multiline TRL ne
permet pas de conserver une précision suffisante pour mesurer la valeur nominale
de la capacité qui sera déterminée vers 45 MHz. Dans ce cas, la méthode LRM est
préférée pour mesurer les paramètres S, avec une impédance de référence de 50
Ω (Eul et al. 1988).
La figure 22 montre la charge 50 Ω utilisée pour la LRM, et la figure 23 les
cinq supports sur lesquels sont disposées et mesurées les cinq capacités
céramiques de 1nF.
FIG. 22 - A gauche : kit de calibration complet Multiline TRL. A droite : charge 50 Ω utilisée dans le kit LRM.
FIG. 23 - Cinq supports coplanaires avec les capacités soudées dans le gap situé au centre de la ligne.
Quatre capacités seulement ont pu être mesurées en raison de la rupture
d’un des supports.
98
Plusieurs sources d’erreurs systématiques peuvent altérer une calibration
Multiline TRL effectuée sur des lignes planaires (Kaiser et al. 1999) :
- asymétrie du court-circuit supposé identique à chaque accès de mesure
- variation sur la longueur et la largeur des lignes
- erreur sur la capacité linéique CDC des lignes utilisées pour déterminer et
corriger l’impédance de référence de la calibration
- variations de l’épaisseur du métal ou de résistivité
Chacune de ces erreurs systématiques affecte les constantes de calibration
calculées par l’algorithme Multiline TRL, introduisant des erreurs dans les
paramètres S corrigés à l’issue de la calibration. La plus importante concerne la
variation de l’épaisseur du métal ou de résistivité. Celle-ci est bien supérieure à
l’erreur de dérive de l’analyseur. Cette variation survient dans le cas où le substrat
est métallisé de manière non uniforme et pour des lignes dont la largeur et
l’épaisseur des parties métalliques sont petites, produisant alors une forte
résistance DC. Dans le cas du kit de calibration sur substrat Alumine réalisé pour
mesurer les capacités, la valeur moyenne de la résistance DC des lignes est
quasiment nulle : 0.04 Ω/cm. L’impact de la variation de la résistivité est alors
négligeable. Dans ce cas les erreurs à considérer sont : la mauvaise évaluation de
CDC et une variation dans la longueur des lignes. L’erreur due à l’asymétrie de
l’étalon court-circuit est négligeable.
La figure 24 représente les modules linéaires des paramètres S11 et S12 des
quatre capacités, normalisés par rapport à 50 Ω. On peut observer une variation
non négligeable des paramètres S d’une capacité à l’autre. Cette variation
s’explique par la dispersion technologique, mais aussi, par la position du
composant sur le support de mesure et la quantité de soudure déposée de part et
d’autre du composant. Les résonances observées entre 45 MHz à 3 GHz peuvent
s’expliquer de deux manières. Premièrement, les différences de phase entre les
courants traversant la capacité seraient responsables des résonances. Le courant
circule dans la ligne de transmission avant d’atteindre la capacité. En arrivant sur
le composant, une partie prend le chemin le plus « facile » en traversant seulement
les premières électrodes, alors que la majorité circule jusqu’à son sommet avant
de rejoindre la ligne de transmission (Figure 25) (The RF Capacitor Handbook).
Lorsque la capacité est orientée de manière à présenter ses électrodes
perpendiculairement à l’axe de propagation, le courant atteint ces dernières
simultanément. On peut observer alors la disparition d’une partie des ces
résonances. Deuxièmement, il est possible de décrire la capacité par un circuit à
99
éléments distribués. En effet, il n’y a pas une résonance mais une succession de
résonances semblables à celles d’une ligne de transmission terminée à l’une de ses
extrémités par un circuit-ouvert (Ingalls et al. 1987).
FIG. 24 - Modules en linéaire de S21 (en haut) et S11 (en bas) mesurés pour les quatre capacités.
100
FIG. 25 - Différences de phase entre les courants.
4.4. Détermination des valeurs du modèle et résultats
4.4.1. Utilisation de la matrice Y
La figure 26 représente le modèle électrique choisi pour modéliser la
capacité sur la ligne coplanaire. La figure 27 présente le quadripôle en Π du
schéma équivalent de la capacité. La méthode d’extraction des éléments du
modèle électrique consiste dans un premier temps à déterminer les expressions
littérales des paramètres Yij.
FIG. 26 - Schéma du modèle électrique de la capacité de découplage.
101
FIG. 27 - Quadripôle en Π du schéma équivalent de la capacité.
La matrice Y du quadripôle en Π ci-dessus s’écrit :
[ ] 11 12
21 22
Y YA D DY
Y YD B D
+ − = = − +
(39)
Avec :
( ) 21 121
D Y Y1R j L C
= = − = −+ ω − ω
(40)
11 21
sub1sub1
1A Y Y
1R
jC
= = ++
ω
(41)
22 12
sub2sub2
1B Y Y
1R
jC
= = ++
ω
(42)
Nous allons à présent extraire la valeur de chaque paramètre pour les quatre
capacités mesurées.
4.4.2. ESR
L’ESR est l’élément prépondérant qui ne représente pas une résistance pure.
Il traduit les pertes par dissipation et les résonances dues à la structure des
électrodes à l’intérieur du bloc céramique. L’ESR, est relié directement aux pertes
diélectriques et métalliques de la capacité, et varie en fonction de la fréquence.
L’ESR de chaque capacité est directement donné par la relation :
102
21
1ESR Re
Y
= −
(43)
L’ESR mesuré pour chacune des capacités est présenté figure 28. On
observe que sa valeur augmente globalement avec la fréquence du fait de l’effet
de peau dans les parties métalliques. On retrouve également les résonances dont
nous avons expliqué l’origine dans la partie précédente. Ces résonances ont une
répercussion dans le calcul de l’efficacité puisque l’on observera des creux dans la
mesure à ces mêmes fréquences. A partir de 6 GHz, l’ESR peut varier d’une
capacité à l’autre de plus de 2 Ω. Cet écart peut induire une variation sur le calcul
final de l’efficacité.
FIG. 28 - ESR (Ω) des capacités mesurées.
4.4.3. Détermination de L et C :
Intéressons nous à présent à la partie imaginaire de D :
103
21
1 1Im L CY
= − ω + ω
(44)
Nous pouvons alors extraire la capacité C, en faisant tendre ω vers zéro :
21
1 1Im CY
≅ ω
(45)
D’où l’expression approchée de C :
21
1C
1Im
Y
≅
ω
(46)
Pour calculer la valeur de ce paramètre, nous avons effectué une calibration
LRM de [45 MHz, 500 MHz]. La figure 29 illustre l’évolution de C en fonction
de la fréquence pour les quatre capacités mesurées. Les courbes ont une allure
asymptotique et tendent vers la valeur nominale recherchée. Nous pouvons
observer que la limite n’est pas atteinte pour 45 MHz. Une première valeur
approchée de C est obtenue en prenant la moyenne des toutes premières valeurs. Il
y a une imprécision dans la valeur de C ainsi mesurée, qui se répercute sur la
détermination de L. Nous en tiendrons compte par la suite.
FIG. 29 - Expression de C de 45 MHz à 120 MHz.
104
Le paramètre Y12 de la matrice admittance ne dépend que des éléments R, L
et C. La fréquence de résonance f0 s’obtient lorsque la partie imaginaire de 1/Y21
s’annule. Ainsi, l’inductance est donnée par :
2
0
1L
C=
ω (47)
4.4.4. Détermination de Rsub1, Csub1, Rsub2 et Csub2 :
On constitue Y21simulé et Y12simulé à partir des valeurs de l’ESR, de L et de C
déterminées précédemment. Ainsi on a :
11 simulé 21 simulé
sub1sub1
1Y Y
1R
jC
= −+
ω
(48)
22 simulé 12 simulé
sub2sub2
1Y Y
1R
jC
= −+
ω
(49)
Connaissant l’ordre de grandeur des paramètres Rsub1 et Csub1, une plage de
variation est imposée et leurs valeurs sont obtenues en minimisant le critère E1:
( ) ( ) ( ) ( ) 221 11 mesuré min 11 simulé min 11 mesuré min p 11 simulé min pE Y f Y f Y f f Y f f= − + + − +
( ) ( ) 222 mesuré max 22 simulé max... Y f Y f+ − (50)
Connaissant l’ordre de grandeur des paramètres Rsub2 et Csub2, une plage de
variation est imposée et leurs valeurs sont obtenues en minimisant le critère E2:
( ) ( ) ( ) ( ) 222 22 mesuré min 22 simulé min 22 mesuré min p 22 simulé min pE Y f -Y f Y f f -Y f f= + + +
( ) ( ) 222 mesuré max 22 simulé max... Y f Y f+ − (51)
105
4.4.5. Résultats
Une fois toutes les valeurs initiales du modèle une première fois
déterminées (Tableau 4), on insère le modèle électrique dans le logiciel ADS.
Tous les paramètres sont ensuite optimisés avec une plage de variation de 10%
autour des valeurs initiales. Le critère d’optimisation est le suivant :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
modèle mesure11 i 11 i
i
modèle mesure22 i 22 i
i
modèle mesure12 i 12 i
i
modèle mesure21 i 21 i
i
S f S f
S f S f
minS f S f
S f S f
− − − −
∑
∑
∑
∑
(52)
Cette nouvelle optimisation se justifie par la précision avec lesquelles les
valeurs de C mais aussi la fréquence de résonance sont déterminées. Ces valeurs
se répercutent ensuite sur la valeur des autres paramètres du modèle. Pour une
capacité donnée, une erreur de 5 MHz sur la mesure de la fréquence de résonance
se traduit par une erreur de quasiment 9% sur la valeur de L. Dans le tableau 5
sont présentées les valeurs initiales pour les quatre capacités et le tableau 6 donne
les valeurs après optimisation. Le tableau 7 présente les écarts en pourcentage
entre les valeurs initiales (Tableau 5) et les valeurs finales (Tableau 6). Tous les
paramètres ont été globalement réévalués de plus de 7% en moyenne.
TAB.5 - Tableau récapitulatif des valeurs numériques pour chaque paramètre du modèle électrique obtenues pour chacune des capacités.
106
TAB.6 - Tableau récapitulatif des valeurs numériques finales pour chaque paramètre du modèle électrique obtenues pour chacune des capacités.
TAB.7 - Tableau récapitulatif des écarts en pourcentages entre les valeurs initiales et les valeurs finales après optimisation.
Les paramètres (S11, S12) simulés et mesurés sont présentés sur la figure 30.
Le paramètre S11 est situé dans la partie inférieure de l’abaque de Smith jusqu’à
120 MHz témoignant d’un comportement capacitif, puis rejoint la partie
supérieure de l’abaque devenant alors inductif. Avec l’augmentation de la
fréquence, la désadaptation et les pertes augmentent ce qui se traduit par un
éloignement du paramètre S11 du centre de l’abaque et par une diminution du
module de S12. La variation de phase du paramètre S12 traduit le déphasage
introduit par le composant dont la longueur est non négligeable : 2.8 mm.
107
FIG. 30 - Paramètres S mesurés et modélisés pour les quatre capacités.
Les figures 31 à 32 présentent le comparatif entre le modèle et la mesure
pour chacune des quatre capacités. Les paramètres présentés sont les parties
réelles et imaginaires de -1/Y11 et -1/Y21. Les résultats étant symétriques pour les
paramètres -1/Y22 et -1/Y12, ceux-ci ne sont pas présentés. Globalement, il y a une
bonne concordance entre la mesure et le modèle électrique. La partie réelle de -
1/Y21 est confondue avec celle mesurée puisque la détermination du paramètre
ESR est donnée directement par la partie réelle mesurée de -1/Y21. La partie
imaginaire de -1/Y21 est négative jusqu’à la fréquence de résonance série (~120
MHz) puis devient positive avec une évolution linéaire avec la fréquence. Ceci
montre le comportement capacitif, puis inductif, du composant.
108
FIG. 31 - Inverses des parties imaginaires, Y11 et Y21, mesurées et modélisées pour les quatre capacités.
FIG. 32 - Inverses des parties réelles, Y11 et Y21, mesurées et modélisées pour les quatre capacités.
109
En conclusion, nous avons montré qu’il était possible de modéliser chaque
capacité céramique multicouches sur son support de mesure par un modèle
électrique équivalent en Π. Pour chacune des quatre capacités modélisées, nous
avons obtenu un jeu de valeurs donné pour les différents paramètres du modèle
(ESR, L, C, Rsub1, Csub1, Rsub2, Csub2).
Les dispersions sur les valeurs du modèle étant très faibles, il est judicieux
de définir une capacité moyenne pour laquelle la valeur de chaque paramètre
correspond à la moyenne des valeurs des paramètres obtenues pour les quatre
capacités (Tableau 8). Cette capacité moyenne sera utilisée comme capacité
initiale dans le modèle électrique du wattmètre.
TAB.8 - Capacité moyenne définie à partir de la moyenne des valeurs obtenues.
5. Thermistance
5.1. Généralités
Le terme de « thermistance » est utilisé pour décrire un élément résistif
possédant un grand coefficient de température sur une grande dynamique
thermique. On distingue deux formes de thermistances en relation avec le signe du
coefficient de température :
110
Les thermistances NTC pour lesquelles la résistance diminue avec
l’augmentation de T.
Les thermistances PTC pour lesquelles la résistance augmente avec
l’augmentation de T.
L’histoire des thermistances NTC commence en 1833 avec la découverte
par Faraday d’un matériau nommé « sulfure d’argent » dont le coefficient de
température est négatif. Le manque de connaissance sur le phénomène de contact
métal-semiconducteur ne permis pas à l’époque de réaliser en pratique, de
manière reproductible, ces éléments. Il faudra attendre le début des années 1930
pour voir apparaître de nouveaux matériaux oxydes.
A la fin des années 1930 et au début des années 1940, la gamme de
matériaux utilisables s’étend avec notamment l’oxyde de nickel NiO, l’oxyde de
cobalt CoO et avec le composé NiO-Co2O3-Mn2O3. La résistivité de ces matériaux
fût encore élargie par l’introduction d’oxyde de cuivre dans les systèmes Mn3O4 et
Ni-Mn2O3. Le principal verrou dans le processus de fabrication résidait dans le
contrôle de la résistivité des matériaux dont la composition chimique est sensible
à la pression atmosphérique et à la température. Ainsi, la plupart des matériaux
cités sont difficiles à reproduire avec les mêmes caractéristiques chimiques et
donc électriques. Pour pallier à ce problème, la majorité des fabricants ont adopté
le mélange d’oxyde nickel-manganèse-cuivre plus simple à maîtriser pendant la
phase dite « d’agglomération » des oxydes de métal en phase liquide.
De nos jours, les mélanges d’oxyde de métal les plus fréquemment utilisés
sont : le nickel-manganèse-cuivre, le nickel-manganèse-cobalt-cuivre, le cobalt-
manganèse-cuivre, le fer-titane, le nickel-lithium et le cuivre-manganèse.
La conductivité d’un matériau dépend du nombre d’ions donneur et
accepteur d’un électron. Pour qu’un électron puisse quitter le cortège électronique
majoritairement positif, il doit posséder un minimum d’énergie. Le nombre
d’électrons capables de prendre part au phénomène de conduction dépend du
nombre d’électrons possédant ce minimum d’énergie. Or l’énergie étant
principalement apportée par la température du matériau, le nombre d’électrons
dépend donc de la température.
111
La résistivité d’un matériau à coefficient de température négatif pourra
s’écrire :
qexp
kT
ρ = ρ∞
(54)
Où ρ∞ dépend de la probabilité d’occupation de certains sites de l’édifice
par des ions accepteurs et d’autres donneurs, de la mobilité des porteurs de
charge, et de la température T.
5.2. Modèle électrique
La thermistance est un composant qui a été largement décrit dans la
littérature d’un point de vue thermique, électrique basse fréquence et physique des
semiconducteurs. Mais peu d’études ont été menées pour décrire son
comportement dans les domaines des ondes centimétriques et millimétriques
(Collard et al. 1950) (Kaiser et al. 1996).
Un modèle électrique équivalent complet est montré figure 33. Les
inductances Lfil G et Lfis D, et les résistances rfilG et rfilD sont dues aux fils de
connexion ; la résistance R et la capacité C retranscrivent le comportement de la
bille. La capacité C est liée au comportement du matériau semi-conducteur de la
bille. Comme nous allons le voir, la capacité dépend de la polarisation imposée
par le pont de Wheatstone, autrement dit du courant DC circulant dans la
thermistance. Cette valeur ne dépend pas de la fréquence. Dans la pratique, nous
utiliserons le Wattmètre pour une polarisation de 200 Ω soit une valeur de 100 Ω
pour les deux thermistances en série.
La résistance r fil DC constitue la somme des résistances rfilG et rfilD pour la
fréquence nulle. Cette valeur est retranchée à la valeur de R puisque le pont de
Wheatstone utilisé pour la caractérisation ajuste le courant de telle manière à avoir
la résistance totale DC de la thermistance (R + r fi DC) égale à la polarisation
voulue. Les résistances des fils rfilG et rfilD dépendent de la longueur, de la
conductivité et de l’épaisseur de peau. Les fils sont réalisés avec du platinium
irridié dont la conductivité peut varier entre 4.106 S/m et 5.106 S/m.
112
FIG. 33 - Schéma électrique équivalent d’une thermistance sans l’environnement de mesure.
5.3. La mesure
Un nouveau kit de calibration coplanaire Multiline TRL pour la bande de
fréquence 2-18 GHz et un nouveau support de mesure ont été réalisés. La largeur
du ruban central w et la largeur des fentes g ont été réduites par rapport aux lignes
utilisées pour la mesure des capacités céramiques multicouches. Avant de mesurer
le composant, nous avons entièrement caractérisé le support de mesure :
- La constante de propagation et l’impédance caractéristique de ces
nouvelles lignes coplanaires ont été mesurées.
- Le gap a été modélisé. Le modèle électrique d’un gap, tel que proposé
dans le logiciel ADS, est composé de trois capacités C1, C2 et Ci disposées en
Π (Figure 34). C1 et C2 représentent les capacités d’interaction entre le ruban
central et le gap. Ci représente la capacité d’interaction entre les deux lignes
disposées de part et d’autre du gap. Nous avons caractérisé le support de mesure
sans la thermistance à l’aide d’une calibration Multiline TRL. Les plans de
référence sont situés de part et d’autre du gap. La matrice Y est ensuite calculée
afin de déterminer les valeurs des trois capacités. La largeur du ruban central de
0.915 mm, associée à un espacement d de 2 mm, permet de négliger la capacité
d’interaction interligne Ci du support de mesure. Seules les capacités C1 et C2 sont
non nulles.
113
FIG. 34 - Support de mesure sans la thermistance (à gauche) et avec la thermistance (à droite).
Il est alors nécessaire d’ajouter au modèle électrique des capacités parasites,
C1 et C2 dû à l’interaction capacitive entre le ruban et les plans de masse. Il n’y a
pas, contrairement au modèle électrique de la capacité céramique multicouche, de
résistance parasite dû au substrat car le courant s’écoulant entre le ruban central et
les plans de masse est inexistant. Ceci a été vérifié en observant par la mesure
que :
1Re 0
Y Y11 12
= + (55)
FIG. 35 - Schéma électrique de la thermistance.
Le support de mesure est relié à l’analyseur de réseaux. Le pont de
Wheatstone impose la polarisation via l’analyseur. Le pont bolométrique permet
d’imposer trois polarisations différentes 100 Ω, 200 Ω, et 300 Ω. Pour élargir le
114
nombre de polarisations possibles des résistances de 50 Ω et 100 Ω sont utilisées.
La résistance seule, ou une combinaison de résistances est ajoutée entre le pont et
l’analyseur. On peut par exemple placer une résistance de 50 Ω et fixer la
polarisation du pont sur 100 Ω pour fixer la valeur de la thermistance sur 50 Ω.
Les différentes valeurs de résistances ainsi obtenues pour le bolomètre sont 50 Ω,
75 Ω, 100 Ω, 125 Ω, 150 Ω, 175 Ω, 200 Ω, 275 Ω, et 300 Ω.
FIG. 36 - Dispositif expérimental de polarisation et de mesure de la thermistance.
Une calibration Multiline TRL est effectuée pour mesurer la thermistance
entre 2 GHz et 18 GHz. Une calibration de type SOLT avec un changement de
plan de référence est effectuée pour mesurer la thermistance de 45 MHz à 2 GHz.
Connaissant d’une part, les caractéristiques mesurées de la ligne de transmission
(son impédance caractéristique Zc et sa constante de propagation γ) et d’autre part le modèle électrique de la transition connecteur 3.5 mm vers coplanaire, on a pu
réaliser un changement de plans de référence (Figure 37). On note cette meure la
« SOLT corrigée ».
115
FIG. 37 - Mesure de la thermistance avec une calibration SOLT et un changement des plans de référence.
Pour chaque polarisation les paramètres S sont mesurés. Il est alors possible
d’observer le comportement du composant en fonction de la fréquence et du
courtant de polarisation.
5.4. Détermination des valeurs du modèle électrique
Les valeurs à déterminer sont :
- L’inductance totale LT de la thermistance qui s’exprime en fonction des
longueurs des fils et de l’inductance par unité de longueur L exprimée en nH/mm :
( )T filG filD filG filDL L L lg lg L= + = + × (56)
- La résistance totale r des fils de la thermistance qui s’exprime en fonction
des longueurs des fils, de leur conductivité σ et de la section S dans laquelle circule le courant HF :
( )filG filD filG filD1
r r r lg lgS
= + = + ×σ
(57)
- Les capacités parasites C1 et C2 dues à l’interaction capacitive entre le
ruban et les plans de masse :
116
Le modèle électrique équivalent de la figure 35 est transformé en quadripôle
en Π où A, B, et D représentent les admittances.
FIG. 38 - Schéma équivalent en Π de la thermistance.
Les valeurs des éléments du modèle R, L, C, C1 et C2 sont déduites des
équations suivantes :
( )
1 RRe r
2Y12 1 RC
− = + + ω
(58)
( )
21 R CIm LT 2Y12 1 RC
− ω = ϖ − + ω
(59)
11 211
1Im Y Y
C+ =
ω (60)
22 122
1Im Y Y
C+ =
ω (61)
5.4.1. Détermination de r
Le rayon des fils de 8.89 µm est donné par le fabricant. Leur longueur est
mesurée à l’aide d’un dispositif, incluant un microscope et une caméra, mis à
117
notre disposition par Micronic. La résistance r est déterminée par calcul
analytique. On a estimé la résistance r pour les deux valeurs extrêmes de la
conductivité mentionnées au paragraphe 5.2 (Figure 40). La résistance des fils
augmente logiquement avec la fréquence à cause de l’effet de peau. L’écart
maximum est de l’ordre de 0.5 Ω.
FIG. 39 - Section du fil de rayon ra.
FIG. 40 - Résistance totale des fils en fonction de la fréquence pour les deux valeurs de conductivité trouvées. (σ= 4 106 S/m à σ= 5.3 106 S/m).
118
5.4.2. Détermination de R
A 45 MHz, on peut considérer que :
1Re r R
Y 012
− − = ω→
(62)
La valeur de r étant comprise entre 0.7 Ω et 1.7 Ω à 45 MHz selon la valeur
de la conductivité choisie pour les fils, on peut en déduire la valeur de R à 1 Ω
près. On observe alors un écart d’environ 3 Ω entre la valeur imposée par le pont
de Wheatstone et la valeur de la bille de la thermistance donnée par la calibration
SOLT corrigée (97 Ω). Cette différence s’explique comme nous venons de le voir
par la résistance DC des fils, par la résistance DC des câbles de mesure de
l’analyseur de réseau avec lesquels le courant de polarisation est acheminé et
enfin par la précision la SOLT corrigée. La figure 41 montre une mesure de la
partie réelle de -1/Y12 obtenue pour une polarisation de 100 Ω.
FIG. 41 - Re -1/Y12-r mesurée pour 100 Ω avec la calibration SOLT corrigée.
119
5.4.3. Détermination de C
La partie réelle de -1/Y12 permet d’obtenir la valeur de C une fois les
valeurs de r et R déterminées, en minimisant l’écart suivant :
( )R 1
r Re2 Y121 RC mesure
− + − + ω
(63)
Pour chaque valeur de R, une valeur de C est ainsi calculée. Cette valeur est
choisie constante pour l’ensemble de la bande de fréquence. En effet, nous avons
émis l’hypothèse que la capacité C est due au comportement du matériau semi-
conducteur. Or, c’est le courant DC imposé par le pont qui régit le comportement
du matériau. Pour une polarisation donnée, la variation du courant reste minime
sur la plage de fréquence ce qui valide l’hypothèse d’une capacité constante. On a
relevé la variation du courant DC sur le cadrant du pont pour chaque polarisation
et pour l’ensemble de la bande de fréquence 45 MHz-18 GHz (Tableau 9).
TAB.9 - Variation de courant relevé sur le pont bolométrique de 45 MHz à 18 GHz pour chaque polarisation.
A chaque polarisation, on associe donc une valeur constante de capacité
(Figure 42).
120
FIG. 42 - Capacité en pF de la bille pour chacune des polarisations.
La capacité présente une évolution non linéaire avec le courant. Pour une
polarisation de 100 Ω, cas qui nous intéresse, C est égale à 0.076 pF. On peut dès
à présent présenter les courbes de la partie réelle de -1/Y21 modélisée et mesurée
pour une polarisation de 100 Ω (Figure 43). La partie réelle de – 1/Y21 décroît
avec la fréquence à cause de la capacité C. Un écart maximum de 7.5% est relevé.
FIG. 43 - Partie réelle de -1/Y12 modélisée avec les valeurs de R, C et r, et mesurée pour la polarisation de 100 Ω.
121
5.4.4. Détermination de l’inductance par unité de longueur L
Une fois C connue, l’inductance totale Lt, est obtenue à partir de l’équation
(59) lorsque Ltω>>1. Pour une polarisation de 50 Ω, la partie imaginaire de -1/Y12
est une droite. La valeur de l’inductance est obtenue en minimisant l’écart
suivant :
1L ImT Y12 mesure
− ω −
(64)
La valeur de LT mesurée est de 2.13 nH. On en déduit l’inductance L par
unité de longueur soit 1.29 nH/mm. La figure 44 présente les parties imaginaires
de -1/Y12 modélisées et mesurées pour trois polarisations de 50 Ω, 100 Ω et 300
Ω. On observe que plus la polarisation augmente, plus l’évolution de Im-1/Y12
devient parabolique avec la fréquence. La présence du terme R² dans l’expression
analytique de Im-1/Y12 explique cette évolution. On peut observer également
que le modèle électrique devient moins précis si la polarisation augmente.
122
FIG. 44 - Partie réelle de -1/Y12 modélisée avec les valeurs de R, C et r et mesurée pour les polarisations de 50 Ω, 100 Ω et 300 Ω.
123
5.4.5. Détermination de C1 et C2
Les valeurs des capacités C1 et C2 sont calculées en minimisant le critère :
2
11 211 ii
1Im Y Y
C+ −
ω∑ (65)
2
22 122 ii
1Im Y Y
C+ =
ω∑ (66)
Les valeurs moyennes sont les suivantes : C1=0.076 pF C2=0.055 pF
5.4.6. Résultats des paramètres S modélisés et mesurés
Les paramètres S modélisés et mesurés sont présentés dans la figure 45 pour
trois polarisations différentes : 50 Ω, 100 Ω et 300 Ω. Globalement, une bonne concordance peut être observée entre la modélisation et la mesure même si des
écarts plus importants apparaissent avec l’augmentation de la polarisation
(Tableau 10). Pour une polarisation de 100 Ω, les erreurs relatives n’excèdent pas
6%. La résistance R et la capacité C de la bille deviennent prépondérantes par
rapport à l’inductance L lorsque la polarisation et la fréquence augmentent. Ainsi
la partie imaginaire du paramètre S11 devient par exemple négative pour les
polarisations 100 Ω et 300 Ω.
TAB.10 - Erreur moyenne entre les paramètres S11, S12 mesurés et modélisés pour trois polarisations : 50 Ω, 100 Ω et 300 Ω.
124
FIG. 45 - Paramètres S11 et S21 modélisés avec les valeurs de R, C, r, C1 et C2, et mesurés pour les polarisations de 200 Ω à 300 Ω.
En conclusion de cette partie, un modèle électrique complet de la
thermistance a été proposé. Celui-ci tient compte, d’une part de la résistance et de
l’inductance des fils de connexion, et d’autre part, il modélise le comportement de
la bille selon la polarisation et selon la fréquence. Le modèle est satisfaisant
jusqu’à la polarisation de 150 Ω. Rappelons que pour le wattmètre, les
thermistances sont polarisées sur 100 Ω, la valeur de la capacité de la bille sera
donc de 0.076 pF. Les autres paramètres variant avec la longueur des fils, leurs
valeurs seront détaillées dans le chapitre suivant.
125
6. Rayonnement
Aux pertes diélectriques et ohmiques d’une ligne CPW s’ajoutent des pertes
par rayonnement provenant de modes parasites (Gupta et al. 1996). Le mode
parasite dans une ligne coplanaire est le mode impair avec des tensions de phase
opposée dans les fentes (Figure 46). Ce mode est excité lorsque la symétrie de la
ligne coplanaire est brisée. Cela se produit en particulier en présence de
discontinuités. Au niveau du wattmètre, il y a deux discontinuités : la transition
connecteur SMA – CPW, et la charge 50 Ω constituée des thermistances et des
capacités de découplage. Les caractéristiques de la transition sont établies par la
position du connecteur par rapport au centre de la ligne et par les dimensions
géométriques de cette dernière. Un soin particulier a été pris pour positionner le
connecteur au centre et perpendiculaire à la ligne. La transition peut être
considérée a priori comme un paramètre fixe pour l’étude du rayonnement. La
charge 50 Ω est par ailleurs moins bien connue. Du fait des contraintes de
réalisation du wattmètre, la longueur des fils, la position, les propriétés de la bille
ne sont pas identiques pour les deux thermistances. Les capacités ne sont pas
disposées de façon parfaitement symétrique. Pour le wattmètre coplanaire, la
charge 50 Ω est donc considérée comme l’unique paramètre variable susceptible
de modifier le rayonnement.
FIG. 46 - Excitation des modes impairs.
Nous devons donc tenir compte de ces pertes supplémentaires. Pour les
estimer, le seul outil à notre disposition est la simulation électromagnétique en
trois dimensions. Dans le simulateur, toutes les dimensions et toutes les propriétés
du substrat, des capacités, du connecteur et des thermistances ont été introduites.
126
La figure 47 présente la simulation électromagnétique correspondant à la charge
avec son schéma équivalent. On retrouve les trois capacités de 1 nF et les deux
thermistances. Ces dernières sont composées de leurs fils réels en platine iridié et
du modèle électrique équivalent de la bille : la résistance R en parallèle de la
capacité C.
FIG. 47 - Image de la charge simulée dans CST (en haut). Schéma équivalent de la charge du wattmètre (en bas) constituée des trois capacités de 1 nF et des deux thermistances. La
bille est modélisée par la résistance R en parallèle avec la capacité
Le logiciel CST permet par une simulation du champ lointain de calculer le
rapport de la puissance rayonnée sur la puissance entrée dans le système à une
fréquence f. Ce rapport est noté eray :
rayray
in
Pe
P= (67)
La figure 48 présente la directivité (en dBi) obtenue à 10 GHz après
simulation complète du wattmètre. On rappelle que la directivité d’une antenne est
définie par «le rapport entre l’intensité de rayonnement dans une direction donnée
de l’antenne sur l’intensité de rayonnement moyennée sur toutes les directions ».
127
Sur cette même figure est représenté le wattmètre ; on peut observer à 10 GHz un
rayonnement plus important au niveau de la charge.
.
FIG. 48 - Illustration de la directivité obtenue à 10 GHz pour le wattmètre.
Pour quantifier le rayonnement du wattmètre, nous avons étudié l’influence
sur le rapport eray de l’écartement Ecap entre les capacités de découplage DC :
Nous avons fixé la valeur de C à 0.073 pF. L’écartement Ecap entre la
capacité centrale et les capacités gauche et droite prend les valeurs suivantes : 0.6
mm et 0.8 mm. On ajoute une configuration supplémentaire pour Ecap égal à 0.8
mm lorsque la capacité centrale est décalée de 0.1mm par rapport à l’axe de la
ligne centrale. Pour chacune des configurations, le rapport eray est relevé pour cinq
fréquences de 2 GHz à 10 GHz (Figure 49).
Le rayonnement est négligeable en basse fréquence. Plus la fréquence
augmente, plus les modes parasites se propagent et plus le rayonnement devient
important. L’influence sur eray du paramètre étudié devient plus importante à
partir de 6 GHz. On peut constater que eray n’est pas négligeable entre 6 GHz et 8
GHz, puisqu’il prend des valeurs comprises entre 2% et 2.5%. Pour une structure
considérée non rayonnante, ces valeurs sont élevées surtout à une fréquence aussi
basse. La propagation des modes supérieurs participant au rayonnement est
favorisée par la géométrie de la ligne.
128
FIG. 49 - Influence de l’écart entre les capacités de découplage de 1 nF sur la quantité eray.
Après avoir quantifié le rapport de la puissance rayonnée sur la puissance
entrée dans le wattmètre pour différents cas, l’étape suivante consiste à le
modéliser comme un élément spécifique de façon à l’introduire dans le modèle
électrique global du wattmètre. Le rayonnement est modélisé jusqu’à 8 GHz. Une
pseudo-constante d’atténuation αR est calculée en faisant la moyenne de tous les
rapports de puissance obtenus pour chaque simulation puisque l’influence de
l’écartement est négligeable (Figure 50).
FIG. 50 - Constante moyenne αR.
129
L’élément rayonnant introduit dans le modèle électrique complet du
wattmètre ne doit pas avoir d’influence sur le coefficient de réflexion en entrée
Γin et doit se mettre sous la forme :
ray
Rin
P
P= α (68)
Le rayonnement est alors modélisé par une boîte noire de paramètres S dont
les coefficients Sii sont nuls et les coefficients Sij égaux à e- αR/2 (Figure 51)
(Annexe E).
FIG. 51 - Matrice S modélisant le rayonnement.
En conclusion, l’influence de la charge sur le rayonnement du wattmètre a
été étudié à l’aide du logiciel de simulation électromagnétique CST qui permet de
calculer le rapport entre la puissance rayonnée et la puissance entrée dans le
wattmètre. Une pseudo constante d’atténuation αR est définie à partir de la
moyenne de tous les rapports de puissance. Enfin, nous avons montré que pour αR
<<1, le rayonnement peut être modélisé par un quadripôle dont la matrice S est
composée de paramètres diagonaux Sii nuls et de paramètres Sij égaux à e-αR/2.
130
7. Transition
Toute transition d’un milieu à un autre induit un changement de mode de
propagation. Ce changement de milieu constitue une discontinuité responsable,
selon la qualité de la transition, de pertes par réflexion et par rayonnement plus ou
moins importantes. Avec l’apparition des circuits hybrides microondes il y a
plusieurs dizaines d’années, il est devenu indispensable de caractériser ces
transitions pour mesurer les composants incorporés sur le substrat. Avant
l’apparition des méthodes d’autocalibrage, différentes études ont tenté de
caractériser les transitions pour ensuite corriger les paramètres S du composant.
De plus, la caractérisation de ces discontinuités permet d’améliorer la conception
des circuits par l’introduction des modèles électriques dans les logiciels d’aide à la
conception de circuits électroniques hyperfréquences.
Chaque interconnexion possède ses spécificités. Ainsi le modèle électrique
valable pour tenir compte d’une transition connecteur SMA-microruban ne sera
pas forcément transposable pour une transition SMA-coplanaire. Une recherche
bibliographique a donc été menée pour recenser les modèles électriques et les
méthodes de mesure mis en œuvre pour en déterminer les valeurs. Dans le cas
particulier d’une connexion connecteur coaxial vers ligne coplanaire sans plan de
masse CPW, peu de travaux ont été publiés. Ceci s’explique par l’utilisation
restreinte de ce type de connexion au regard de leur solidité mécanique. En effet,
contrairement, aux lignes microruban ou lignes coplanaires avec plan de masse
GCPW, aucun support rigide ne peut être introduit sous la ligne pour fixer le
connecteur sans modifier les caractéristiques de propagation.
Nous allons présenter les différents modèles disponibles, leurs spécificités,
et enfin proposer le modèle électrique choisi pour tenir compte de la transition
SMA-CPW utilisée dans les wattmètres réalisés au cours de ce travail.
7.1. Définition du modèle électrique
Une étude bibliographique permet de recenser les différents modèles
électriques de la transition connecteur coaxial - ligne planaire (Figure 52).
131
Souza et al. (1982) ont caractérisé la transition connecteur coaxial vers ligne
microruban en termes de paramètres S. A partir de la mesure de deux lignes de
longueurs différentes, une expression mathématique linéaire avec la fréquence a
été proposée pour les paramètres S11, S22 et S12S21. Cette relation simple est
valable uniquement de 2 à 4 GHz.
Majewski (1981) a proposé un modèle électrique en Π (C1, L, C2) de la
transition SMA vers ligne microruban. A partir de l’expression des pertes
d’insertion, il a établi une expression analytique pour chacun des paramètres.
Chaque relation est fonction de l’impédance caractéristique Zc, de la constante
diélectrique effective εeff, de la constante d’atténuation α et de deux fréquences (f1, f2). L’inconvénient de cette méthode est la sensibilité très importante aux
fréquences (f1, f2) mesurées en utilisant l’argument du paramètre S12.
Chramiec (1997, 1998) a proposé des modèles électriques pour la transition
SMA - microruban et SMA - CPW : en L (L, C) et en T (L1, C, L2)
respectivement. Aucune expression littérale n’est donnée. Chaque modèle
électrique est introduit dans un logiciel circuit. Les valeurs sont optimisées à partir
de la mesure de lignes résonantes. L’élément intéressant est la prise en compte des
pertes de la transition par une résistance Rs variant en fonction de la fréquence. La
résistance est déterminée à partir de la mesure du module de S12 d’une section de
ligne. Au préalable, il est nécessaire de connaître précisément les pertes de la
ligne pour calculer Rs de manière à ajuster le module de S12 calculé et mesuré.
Chapman (1980) s’est intéressé à la transition du connecteur coaxial vers la
ligne stripline. Dans cette étude, le coefficient de réflexion d’entrée d’un circuit-
ouvert de longueur l est mesuré et calculé. La transition est modélisée par un
circuit en T classique (L1, C, L2) et par une section de ligne l’ supplémentaire.
Cette section de ligne l’ s’ajoute à la ligne principale et possède les mêmes
caractéristiques (εeff, Zc). Ce tronçon de ligne supplémentaire traduit un excès de
phase entre le coefficient de réflexion mesuré et calculé.
132
FIG. 52 - Modèles électriques de la transition connecteur coxial - ligne planaire.
Le modèle électrique adopté pour notre étude est représenté sur la figure 53.
Ce dernier est constitué d’un circuit en T (L1, C, L2), d’une section de ligne l’ et
d’une résistance Rs. Le circuit en T tient compte de l’interaction entre le contact et
la ligne d’une part, et de la rupture du milieu coaxial vers le milieu planaire
133
d’autre part. Le tronçon de ligne de longueur l’ a les mêmes caractéristiques en
termes de dispersion, de pertes et d’impédance caractéristique que les lignes
coplanaires mesurées précédemment. Ce tronçon de ligne traduit l’excès de phase
introduit par la transition. La résistance Rs est une fonction linéaire de la
fréquence. Elle tient compte des pertes par rayonnement induites par la
discontinuité. Les pertes métalliques de la transition sont supposées négligeables.
Il est important de noter que le rayonnement du wattmètre modélisé dans la partie
précédente à partir de la simulation électromagnétique prend en compte les pertes
par rayonnement de la transition représentée par Rs. Pour la cohérence du modèle
de la transition, la résistance Rs est ici déterminée mais elle ne sera pas conservée
dans le modèle électrique final du wattmètre.
FIG. 53 - Modèle électrique retenu pour le modèle de la transition SMA – CPW.
7.2. Détermination des valeurs du modèle électrique choisi
Pour déterminer les valeurs du modèle électrique de la transition, nous
avons utilisé les lignes LA, LB et Thru (T) du kit de calibration conçu pour la
mesure des capacités de découplage. Chacune de ces lignes a été mesurée par une
calibration SOLT de 45 MHz à 8 GHz, dont les plans de référence se situent à
l’entrée de chaque ligne. A chaque ligne mesurée est associé un modèle électrique
complet tenant compte des deux transitions et d’une section de ligne coplanaire l1,
l2 ou lT. Dans le modèle électrique, les seules inconnues sont : L1, L2, C, Rs et l’
(Figure 54).
134
FIG. 54 - Mesure des trois lignes avec le modèle électrique complet associé à chacune des lignes.
Puisque les caractéristiques des transitions d’une ligne à l’autre sont très
proches, le modèle électrique, pour être valable doit introduire un niveau d’erreur
comparable pour toutes les lignes avec des valeurs pour L1, L2, C, Rs et l’ stables.
Pour le vérifier, la ligne la plus grande LA, est choisie arbitrairement comme ligne
de référence. Les valeurs de la transition déterminées pour la ligne LA sont donc
utilisées comme valeurs initiales pour déterminer les valeurs du modèle des autres
lignes. Une variation de ±5% est autorisée autour de ces valeurs initiales.
Le modèle complet de LA est introduit dans ADS. La détermination des
valeurs des paramètres Rs, C, L1, L2 et l’ s’effectue en deux étapes :
- détermination des valeurs initiales
- détermination des valeurs finales par optimisation globale de tous les
paramètres
135
Les valeurs initiales sont déterminées de la manière suivante :
- La valeur initiale de l’ est obtenue en comparant l’argument du paramètre
S12 de la ligne LA obtenu par la mesure (calibration SOLT) à celui obtenu par le
modèle électrique (Zc, γ, l) d’une ligne seule (les connecteurs ne sont pas pris en compte). On observe une différence de déphasage. On en déduit alors la longueur
l’ initiale de la ligne supplémentaire : 0.480 cm.
- Les valeurs initiales des paramètres L1, L2 et C sont celles données par
Chapman (1980).
- Le rayonnement Rs (Chramiec et al. 1997) varie linéairement avec la
fréquence, et sa valeur est calculée à partir de la mesure du paramètre S12 de la
ligne LA connaissant précisément les pertes métallique et diélectrique de cette
dernière. Ainsi, en minimisant l’écart entre le module de S12 de la ligne LA obtenu
par la mesure et celui obtenu par le modèle électrique complet (les connecteurs
sont pris en compte), on détermine la fonction linéaire.
Les valeurs finales pour la ligne LA sont ensuite calculées en réalisant une
optimisation globale de tous les paramètres selon le critère suivant :
modèle mesure11 i 11 i
i
modèle mesure12 i 12 i
i
S (f ) S (f )
minS (f ) S (f )
− −
∑
∑ (96)
Nous vérifions ensuite la cohérence du modèle en modélisant les lignes LB
et T. Les valeurs obtenues à l’issue de l’optimisation pour LA sont donc utilisées
comme valeurs initiales pour les autres lignes LB et T. Le même critère
d’optimisation (équation 96) est choisi pour LB et T. Le tableau 11 récapitule les
valeurs après optimisation des trois lignes. La figure 55 présente les valeurs de Rs
et la figure 56 montre les écarts entre modèle et mesure sur S11 et S12 pour
chacune des lignes :
modèle mesure11 11 11S S S∆ = − (97)
modèle mesure12 12 12S S S∆ = − (98)
136
TAB.11 - Récapitulatif des valeurs des paramètres du modèle électrique de la transition.
FIG. 55 - Valeurs de Rs en Ω obtenues pour les trois lignes mesurées.
137
FIG. 56 - Erreurs sur les paramètres S11 et S12 pour les trois lignes L1, L3 et T.
A partir des résultats obtenus, on peut observer que :
- La valeur de Rs est très proche pour les trois lignes. Ceci indique que le
rayonnement induit par la transition est quasiment identique dans les trois cas.
- Les écarts observés sur S12 sont inférieurs à ceux observés pour S11 à partir
de 5 GHz, et n’excèdent pas 3%. Les écarts sur le paramètre S11 sont inférieurs à
4 % jusqu’à 6 GHz et n’atteignent que 9% dans le pire cas.
- Le modèle électrique est stable puisque les écarts commis sont du même
ordre de grandeur pour les trois lignes.
En conclusion, la transition SMA vers la ligne coplanaire a été modélisée à
l’aide d’un modèle électrique complet. Le rayonnement induit par la discontinuité
est pris en compte par une résistance Rs qui varie linéairement avec la fréquence.
Cependant, le rayonnement du wattmètre estimé par simulation dans la partie
précédente tient déjà compte du rayonnement de la transition : la résistance Rs
n’est donc pas conservée dans le modèle électrique final du wattmètre.
138
Le changement d’impédance et l’excès de phase induit par la transition sont
modélisés par un modèle en T (L1, C, L2) et une ligne supplémentaire de longueur
l’ et de caractéristiques identiques à la ligne coplanaire principale du wattmètre.
Trois lignes de mesure du kit de calibration ont été mesurées. Les erreurs
sur les paramètres S11 et S12 sont acceptables et du même ordre de grandeur d’une
ligne à l’autre.
Au final, un modèle électrique moyen pour la transition est à présent défini,
pour lequel la valeur de chaque paramètre (L1, C, L2, l’) correspond à la moyenne
des valeurs des paramètres obtenues pour les trois lignes. Cette transition
« moyenne » sera utilisée comme transition initiale dans le modèle électrique du
wattmètre.
8. Modélisation de l’interaction entre les
capacités de découplage par une capacité
d’interaction
Afin d’améliorer la précision du modèle, une capacité d’interaction a été
placée en parallèle de chaque thermistance (Figure 57, 58), notées CDi et CGi, en
se basant sur deux hypothèses possibles :
1- une interaction capacitive existerait entre les fils de chaque thermistance ;
2- une interaction capacitive existerait entre les trois capacités de
découplage DC.
FIG. 57 - Origine des capacités CDi et CGi ajoutées au modèle électrique du wattmètre.
139
FIG. 58 - Schéma général du wattmètre incluant deux capacités supplémentaires CDi et CGi.
La première hypothèse a été étudiée séparément avec CST. Pour isoler une
interaction éventuelle entre les fils, les deux thermistances ont été placées en
parallèle au centre d’une ligne coaxiale de dix millimètres (Figure 59). Pour
simplifier le problème, la bille de la thermistance a été modélisée par une
résistance de 100 Ω. Les fils ont une conductivité de 5.278 106 S/m, un diamètre
de 0.0178 mm et une longueur l. Un kit de calibration Multiline TRL coaxial,
composé de deux lignes, d’une connexion directe et d’un court circuit, a été
simulé également avec CST. Ainsi, nous avons pu obtenir les paramètres S des
deux thermistances disposées en parallèle de 2 GHz à 26 GHz.
FIG. 59 - Vue de face des deux thermistances placées en parallèle au centre d’une ligne coaxiale de 10 mm.
140
Une fois les paramètres S obtenus avec CST, l’objectif est d’extraire la
capacité éventuelle d’interaction entre les fils, notée C, du modèle électrique
équivalent des deux thermistances en parallèle. L’impédance Z d’une
thermistance seule s’écrit :
( ) 1Z R ' jL //
jC
= + ω ω
(99)
Avec filR ' r 100= + Ω (100)
L’admittance Y des deux thermistances en parallèle s’écrit :
1
Y 2 jCR ' jL
= × + ω + ω
(101)
La matrice chaîne ABCD est ensuite utilisée pour déterminer le modèle
électrique.
FIG. 60 - Utilisation de la matrice chaîne ABCD.
141
L’inductance des fils est donnée par la relation :
'
'2
21
1 2RL R
Re A= −
ω (102)
L’inductance par millimètre est de 1.34 nH. Celle-ci est obtenue à partir de
la moyenne des valeurs relevées de 15 GHz à 26 GHz, divisée par 2l (Figure 61).
Dans la partie consacrée aux thermistances, la valeur L déterminée par la mesure
est de 1.29 nH/mm.
La capacité C d’interaction entre les fils est alors donnée par la relation :
( )21
2'2
Im A1 LC
2 R L
ω = +ω + ω
(103)
La capacité C est obtenue par la moyenne des valeurs relevées de 15 GHz à
26 GHz, soit :
5.9 10-4 pF
En conclusion, la capacité d’interaction entre les fils des thermistances peut
être considérée comme négligeable.
142
FIG. 61 - Figure du haut : inductance des fils en fonction de la fréquence. Figure du bas : capacité d’interaction entre les fils de la thermistance.
Dans la deuxième hypothèse, les capacités CDi et CGi sont considérées
comme des capacités d’interaction entre les capacités de découplage. Connaissant
les dimensions des capacités de découplage de 1 nF et la distance entre elles, nous
avons calculé analytiquement la capacité d’interaction :
0SCd
ε= (104)
FIG. 62 - Interaction capacitive entre les capacités de découplage.
143
Les résultats sont regroupés dans le tableau 12. Les valeurs des capacités
sont présentées en fonction des dimensions des composants (en tenant compte de
la tolérance du fabricant) et de la distance d mesurée entre les composants.
L’ordre de grandeur semble cohérent avec la valeur insérée dans les simulations
effectuées avec ADS. C’est donc la position des capacités qui est responsable de
la capacité d’interaction. Les valeurs estimées des capacités CDi et CGi présentées
dans ce tableau seront ensuite optimisées dans la phase d’optimisation globale du
wattmètre.
TAB.12 - Récapitulatif des valeurs des paramètres du modèle électrique de la transition obtenues pour trois lignes.
9. Conclusion
Ce chapitre a été consacré à la modélisation complète de toutes les parties
constituant le wattmètre :
- la ligne de transmission
- les capacités de découplage DC-RF
- les thermistances
- le rayonnement
- la transition SMA - CPW
- l’interaction entre les capacités
144
Pour toutes nos mesures, la méthode de calibration Multiline TRL a été mise
en œuvre pour calibrer l’analyseur de réseau. Dans cette méthode, des lignes
supplémentaires s’ajoutent au couple connexion directe - ligne classiquement
utilisé dans la méthode TRL. La redondance des mesures permet de minimiser les
erreurs aléatoires via un traitement statistique des données. On obtient une
minimisation des erreurs aléatoires et ainsi une meilleure estimation de la
constante de propagation et des constantes de calibration. Cette méthode a
constitué notre outil de référence pour nos mesures.
Les lignes coplanaires réalisées pour le calibrage multiline TRL et la ligne
de 20 mm du wattmètre ont été réalisées sur le même substrat alumine et avec des
dimensions (w et g) identiques. Ainsi, la caractérisation des lignes du kit de
calibration nous a permis de caractériser au mieux la ligne du wattmètre. La
constante de propagation γ et la constante diélectrique effective εeff ont été mesurées au cours de l’une des calibrations. Dans le cas d’un substrat à faibles
pertes comme le substrat alumine, la phase de γ donne directement la phase de
l’impédance caractéristique Zc et la mesure supplémentaire de la capacité linéique
CDC de la ligne donne le module de Zc. Deux mesures et un calcul numérique ont
permis d’obtenir une valeur précise de CDC. Les mesures de γ, εeff, et Zc ont
montré une dispersion importante due aux dimensions des lignes.
Quatre capacités de découplage ont été caractérisées sur le substrat alumine.
Nous avons montré qu’il était possible de modéliser chaque capacité sur son
support de mesure par un modèle électrique équivalent en Π. Pour chacune des
quatre capacités modélisées, nous avons obtenu un jeu de valeurs donné pour les
différents paramètres du modèle (ESR, L, C, Rsub1, Csub1, Rsub2, Csub2).
Finalement, nous avons défini une capacité moyenne qui sera utilisée par la suite
comme capacité initiale dans le modèle électrique du wattmètre.
La thermistance constitue le détecteur de puissance de nombreux wattmètres
étalons. Cependant, aucune mesure de ces propriétés hautes fréquences n’ont été
publiées jusqu’à présent. Un modèle électrique complet de la thermistance a été
proposé. Celui-ci tient compte d’une part, de la résistance et de l’inductance des
fils de connexion, et d’autre part, il modélise le comportement de la bille selon la
polarisation et la fréquence. Des mesures de ce composant ont été effectuées
jusqu’à 18 GHz et pour différentes polarisations. Le modèle est satisfaisant
jusqu’à la polarisation de 150 Ω. En pratique, on utilisera une polarisation égale à
100 Ω.
145
Le rayonnement dans un circuit hautes fréquences est présent dès l’instant
où des courants se propagent dans des parties métalliques. Dans une ligne
coplanaire, le rayonnement devient significatif dès lors que le mode impair se
propage. Ce dernier apparaît en général en présence de discontinuités. Des
simulations électromagnétiques réalisées avec CST ont montré que le
rayonnement du wattmètre, dû à la transition et à la dissymétrie de la charge 50 Ω,
était important dès 6 GHz. Une constante de rayonnement égale au rapport de la
puissance rayonnée sur la puissance d’entrée a été estimée avec CST et introduite
dans une matrice S modélisant le rayonnement.
La transition SMA - CPW constitue la discontinuité responsable, à notre
avis, d’une grande partie des pertes par réflexion du wattmètre. Un modèle
électrique complet a été proposé. Ce circuit est constitué d’un quadripôle en T (L1,
C, L2), d’un tronçon de ligne l’ de caractéristiques identiques à la ligne CPW du
wattmètre, et d’une résistance série Rs variant linéairement avec la fréquence. Le
circuit en T modélise le changement de milieu ; le tronçon de ligne représente
l’excès de phase introduit par la transition et la résistance Rs, le rayonnement de la
discontinuité. Dans le modèle complet du wattmètre, la résistance Rs est incluse
dans le rayonnement général.
Deux capacités supplémentaires CGi et CDi ont été introduites dans le modèle
du wattmètre pour tenir compte de l’interaction entre les composants. Des
simulations électromagnétiques ont confirmé cette interaction. Cette dernière joue
un rôle prépondérant dans le calcul du coefficient de réflexion d’entrée du
wattmètre.
Tous ces modèles sont regroupés pour constituer le modèle électrique
complet du wattmètre coplanaire. Nous allons à présent optimiser les différents
paramètres pour faire coïncider le calcul du coefficient de réflexion avec la
mesure. Une fois cette étape réalisée, nous pourrons calculer son efficacité.
146
147
Chapitre 4
Optimisation et caractéristiques des wattmètres coplanaires
1. Introduction
L’objectif de ce travail de thèse est de proposer une ou plusieurs méthodes
permettant de déterminer par calcul l’efficacité d’un étalon de puissance. La
première étape essentielle consiste à concevoir un wattmètre simple, modélisable,
adapté permettant ainsi un calcul de l’efficacité. Nous avons réalisé un wattmètre
coplanaire adapté jusqu’à 8 GHz utilisant des thermistances comme détecteurs de
puissance. Ce bolomètre à thermistances a été étalonné au microcalorimètre. Par
définition, la méthode de mesure permet d’estimer l’efficacité effective et non
l’efficacité. Il est important de rappeler que ces deux quantités, considérées
proches l’une de l’autre, ne sont pas exactement équivalentes du fait des
hypothèses utilisées pour la mesure. Nous rappelons leur définition :
substituée en courant continue
in
P
Pη = (1)
absorbée par les éléments sensibles
in
P
Pη = (2)
Nous allons dans ce chapitre proposer une méthode de calcul de l’efficacité.
Cette méthode requiert la connaissance complète du wattmètre. Dans le chapitre
précédent, nous avons modélisé séparément toutes les parties du wattmètre soit à
partir de la mesure soit à partir de la simulation électromagnétique. La figure 1
récapitule tous les modèles proposés et la figure 2 le schéma électrique complet
du wattmètre.
148
FIG. 1 - Récapitulatif des modèles électriques des éléments constitutifs du wattmètre.
149
La méthode consiste à estimer la puissance absorbée par les thermistances
en calculant les courants et les tensions dans chacune des billes semi-conductrices
et à calculer la puissance d’entrée dans le wattmètre. Cette méthode utilise comme
outil de calcul le logiciel de simulation ADS dans lequel est inséré le modèle
électrique complet du wattmètre. Ce dernier est constitué en rassemblant dans le
logiciel ADS toutes les parties modélisées séparément dans le chapitre 3. La
figure 2 représente le schéma synoptique du wattmètre et la figure 3 le schéma
électrique utilisé dans ADS. Dans le schéma synoptique, la connexion des fils du
pont de Wheatstone est indiquée. Dans le schéma électrique, on ne tient pas
compte du pont de Wheatstone et des fils de connexion permettant de polariser les
thermistances. Le schéma électrique du wattmètre modélise uniquement le
comportement hautes-fréquences.
Avant de procéder au calcul de l’efficacité par une méthode appropriée, une
optimisation des valeurs du modèle est effectuée. Nous allons présenter, dans un
premier temps, le modèle électrique complet ainsi que la phase d’optimisation
pour déterminer les valeurs finales des différents paramètres. Le critère
d’optimisation est le suivant :
mesure modèlein inmin Γ − Γ (3)
Une fois les valeurs optimisées du wattmètre obtenues, nous présenterons la
méthode de calcul utilisant ADS pour estimer l’efficacité. Le calcul sera comparé
à l’efficacité effective mesurée. Nous présenterons également les résultats obtenus
pour le calcul de l’efficacité sans optimisation et nous discuterons donc de la
pertinence de la phase d’optimisation. Une analyse d’erreur sera ensuite effectuée
pour estimer l’erreur maximale sur le calcul et analyser quels sont les éléments les
plus influents sur l’erreur. Enfin, nous terminerons ce chapitre par une analyse
plus fine de la répartition des pertes dans le wattmètre.
150
FIG. 2 - Schéma synoptique du wattmètre coplanaire.
FIG. 3 - Schéma électrique du wattmètre coplanaire inséré dans le logiciel ADS.
151
2. Optimisation des paramètres du modèle
électrique pour le calcul du facteur de réflexion
La phase d’optimisation sert à fixer les valeurs du modèle en minimisant
l’écart entre le coefficient de réflexion calculé et le coefficient de réflexion
mesuré. L’optimisation permet de s’assurer de la cohérence des pertes par
réflexion du wattmètre. Cependant, dans la phase d’optimisation, les éléments
jouant un rôle important pour les pertes par transmission mais ne représentant que
quelques ohms par rapport à la valeur de la charge, ne sont pas optimisés. Avant
de procéder à l’optimisation, nous avons identifié les paramètres qui n’ont
quasiment aucune influence sur le calcul du coefficient de réflexion mais qui ont
en revanche une influence importante sur le calcul de l’efficacité. Ces paramètres
sont les suivants :
- la résistance équivalente série ESR des trois capacités
- le coefficient d’atténuation α - la capacité CDC de la ligne coplanaire
- le coefficient de rayonnement αR
Avant de présenter les résultats de l’optimisation, le modèle électrique
complet va être détaillé. Nous allons rappeler les valeurs initiales de chacun des
paramètres avec leurs plages de variation.
La ligne CPW de 20 mm est représentée par une boîte de paramètres S
calculés grâce à la connaissance de Zc et γ, déterminées par la mesure. Nous avons
défini une valeur moyenne pour la capacité CDC (Tableau 1-a) calculée par trois
méthodes différentes (voir chapitre 3). La seule valeur optimisée pour la ligne de
transmission est la longueur de la ligne dans une plage de variation de ± 50 µm
correspondant aux tolérances de réalisation des circuits.
Les capacités de découplage sont modélisées chacune par un schéma
électrique en Π. La capacité centrale est reliée à la ligne CPW de 20 mm et aux
deux thermistances ; les deux capacités gauche (CG) et droite (CD) sont chacune
connectées à une thermistance et à la masse du circuit. Les capacités ont pour rôle
de découpler le courant HF provenant de la ligne et le courant DC provenant du
pont de Wheatstone. Pour le courant HF, les deux thermistances sont en parallèle
et constituent la charge 50 Ω. Pour le courant DC, les deux thermistances sont en
série avec une polarisation totale de 200 Ω. Avant la procédure d’optimisation, les
152
valeurs des paramètres des trois capacités sont égales aux valeurs moyennes
définies dans la partie consacrée à leur modélisation. Les trois capacités sont
considérées indépendantes l’une de l’autre et pourront prendre des valeurs
différentes au cours de la phase d’optimisation. Les paramètres variables pour
chaque capacité sont C, L, Rsub1, Csub1, Rsub2 et Csub2. La plage de variation
autorisée pour chaque paramètre est définie par la valeur minimale et la valeur
maximale obtenues parmi toutes les valeurs déterminées pour les quatre capacités
mesurées. La valeur initiale de chaque paramètre est la médiane de la plage de
variation. L’unique paramètre non variable est l’ESR. Il est égal à la moyenne de
tous les ESR mesurés.
Le modèle électrique de la thermistance tient compte de l’inductance et de
la résistance des fils, ainsi que du comportement de la bille avec la fréquence. La
conductivité des fils est fixée initialement à 4.65 106 S/m, correspondant à la
valeur médiane des deux conductivités extrêmes. La conductivité des fils des
thermistances est optimisée car sa valeur influence directement la valeur de la
résistance DC des fils et par conséquent la résistance R du modèle de la
thermistance. La plage de variation pour la conductivité (S/m) est [4 106 – 5.3
106]. La longueur des fils a été mesurée à l’aide d’un dispositif combinant un
microscope et une caméra. La précision sur la mesure des longueurs a été estimée
à ±85 µm en calculant la moyenne des précisions relevées pour les quatre fils. En
effet, Il est difficile de définir de manière absolue l’extrémité des fils à cause des
points de soudure. Les longueurs initiales sont notées dans les tableaux 2-c et 2-d.
La longueur des fils n’est pas égale pour les deux thermistances, ce qui induit une
dissymétrie de la puissance absorbée de l’une par rapport à l’autre. La valeur R
d’une thermistance est égale à 100 Ω moins la valeur DC de la résistance de ses
fils de façon à obtenir une polarisation totale de 100 Ω. Les valeurs initiales de la
capacité C et de l’inductance par unité de longueur L sont celles calculées dans le
chapitre précédent (cf. Tableau 2-c et 2-d). Les pourcentages de variation sont
fixés respectivement à ±5 % et ±10 %. Ces plages de variation sont différentes
pour L et pour C car l’influence de la longueur des fils est plus importante dans la
détermination de L que de C. Les deux thermistances gauche et droite sont notées
thermistance G et thermistance D.
Le rayonnement est modélisé dans ADS par une boîte de paramètres S dont
la matrice a été définie dans le chapitre précédent. Le paramètre αR, déterminé par
simulation électromagnétique, représente le rapport entre la puissance rayonnée et
la puissance entrée. La valeur de αR est calculée à partir de la moyenne de tous les
153
rapports de puissance obtenus en simulation. Comme le paramètre αR n’influence
pas le résultat du coefficient de réflexion Γin, sa valeur n’a pas été optimisée
(Tableau 1-b).
La transition est modélisée par un circuit en T (L1, C, L2) associé à une
section de ligne CPW de longueur l’ dont les caractéristiques (Zc, γ) sont identiques à celles de la ligne CPW du wattmètre. Dans le chapitre précédent, tous
les paramètres du modèle ont été calculés pour trois lignes différentes. La plage de
variation autorisée pour chaque paramètre est définie par la valeur minimale et la
valeur maximale obtenues parmi toutes les valeurs déterminées pour les trois
lignes mesurées. La valeur initiale de chaque paramètre est la médiane de la plage
de variation.
Les capacités CDi et CGi, qui modélisent l’interaction entre les capacités de
découplage sont placées en parallèle des thermistances (Figure 3). La valeur
initiale de CDi est fixée à 0.085 pF et celle de CGi à 0.115 pF. La plage de variation
de CDi et CGi, une variation de 25 % est fixée autour des valeurs déterminées dans
le chapitre 3.
Tous les paramètres sont optimisés avec ADS au cours de la même
simulation. Les tableaux 1-a à 1-g donnent les valeurs optimisées pour chaque
partie du wattmètre. Le critère d’optimisation minimise les écarts entre le facteur
de réflexion mesuré et calculé.
Le résultat obtenu pour le coefficient de réflexion est présenté sur la figure
4. On peut observer une très bonne concordance entre les résultats mesurés et
simulés jusqu’à 7.5 GHz. Les écarts entre mesure et simulation n’excèdent pas
0.06 sur toute la plage de fréquence (Figure 5). Les paramètres les plus importants
dans l’optimisation du coefficient de réflexion sont : l’inductance par unité de
longueur des fils des thermistances, l’inductance des capacités de découplage, la
longueur des fils des thermistances, la capacité de la bille semi-conductrice et
enfin, les capacités d’interaction. Néanmoins, les faibles variations observées ainsi
que le nombre limité de paramètres optimisés démontrent clairement la précision
des techniques mises en œuvre que ce soit au niveau de la caractérisation
(mesures Multiline TRL) que des procédures d’extraction des modèles.
154
FIG. 4 - Module de Γin calculé avant et après la phase d’optimisation et comparé à la mesure.
FIG. 5 - Ecart entre le coefficient de réflexion Γin mesuré et simulé (après optimisation).
155
-a -b
-c -d
-e -f
-g -h
156
-i
TAB.2 - Tableaux des valeurs avant et après optimisation.
3. Présentation de la méthode de calcul de
l’efficacité
3.1. Principe
Dans la partie précédente, certains paramètres du modèle électrique ont été
optimisés en minimisant l’écart entre le coefficient de réflexion calculé et mesuré.
L’ensemble des valeurs des éléments constituant le wattmètre reste fixe.
L’efficacité η d’un wattmètre est définie comme le rapport de la puissance totale
absorbée par les thermistances, notée Pth, sur la puissance d’entrée dans le
wattmètre, notée Pin. Notons que la puissance absorbée par les thermistances
représente plus exactement la puissance absorbée par les billes des thermistances.
Pour calculer η, il est nécessaire de déterminer la valeur des puissances Pth et Pin.
La méthode présentée dans ce paragraphe, qui utilise le logiciel ADS, permet de
placer dans n’importe quelle branche du circuit des moniteurs de courants et à
n’importe quel nœud, une sonde de tension. On peut ainsi accéder aux puissances
Pth et Pin.
La méthode proposée consiste donc à utiliser des sondes de tension et de
courant au niveau des billes des thermistances (Figure 6) et à l’entrée du
wattmètre. On connaît alors :
- le courant IthG et la tension UthG de la bille de la thermistance gauche
- le courant IthD et la tension UthD de la bille de la thermistance droite
157
- le courant Iin et Uin à l’entrée du wattmètre
Les puissances absorbées par les deux thermistances gauche et droite sont
notées respectivement PthG et PthD. L’efficacité est ainsi donnée par la relation :
P PthG thD
Pin
+η = (4)
( ) ( )
( )0.5 Re U I 0.5 Re U IthG thG thD thD
0.5 Re U Iin in
∗ ∗× × + × ×η =
∗× × (5)
FIG. 6 - Position des sondes de courant et de tension au niveau des thermistances.
3.2. Résultats du calcul et discussion
L’efficacité calculée est comparée à l’efficacité effective mesurée au
microcalorimètre. Le tableau 3 établit un comparatif entre le calcul et la mesure
uniquement aux fréquences de mesure. La figure 6 présente quant à elle un
comparatif entre l’efficacité calculée et mesurée pour un pas de fréquence de dix
mégahertz. Dans le tableau 3 et la figure 7 sont indiquées les incertitudes absolues
de la mesure au microcalorimètre. L’efficacité calculée décroît globalement avec
la fréquence en raison de l’augmentation des pertes dans les différents éléments
du wattmètre. On note pour certaines fréquences des creux dans l’efficacité
calculée dus aux résonances des capacités. Dans la partie consacrée à la mesure et
158
à la modélisation des capacités, les résonances sont présentes dans les paramètres
(S12, S11) et dans la résistance équivalente série (ESR) qui modélise les pertes. Les
fréquences de résonnance des capacités sont influencées par leurs propriétés
intrinsèques mais également par leurs positions par rapport à la ligne de
transmission. Le modèle électrique des capacités ne permet pas de prendre en
compte les variations possibles entre les capacités modélisées sur le support de
mesure et les capacités utilisées dans le wattmètre coplanaire. Des décalages en
fréquence peuvent donc intervenir entre l’efficacité mesurée et l’efficacité
calculée. Entre 50 MHz et 3.5 GHz, les phénomènes de résonance sont prononcés
et nombreux. A 4.3 GHz une différence plus importante de l’ordre de 0.034 est
relevée. Cet écart n’est pas dû à une erreur de mesure mais à un phénomène de
résonance entre 3.5 GHz et 5 GHz (Chapitre 2) non pris en compte dans le modèle
électrique. Le tableau 4 présente les écarts absolus et relatifs calculés pour toutes
les fréquences. Les écarts n’augmentent pas avec la fréquence mais sont
tributaires des résonances. Un écart relativement important non attendu est relevé
à 50 MHz, ce qui témoigne d’une différence entre les pertes modélisées et les
pertes réelles du wattmètre à cette fréquence. L’écart relatif maximum est de 3.76
%. L’écart absolu moyen est de 0.011 et l’écart relatif moyen est de 1.17 %. Les
faibles écarts observés sont très encourageants pour une première étude de
faisabilité : ils permettent de valider à nouveau les techniques de mesure et
d’extraction développées au cours de ce travail de thèse.
Écart absolu moyen : 0.011 Écart relatif moyen en pourcent (référence ηe) : 1.17
TAB.3 - Tableau comparatif des résultats mesurés et calculés avec le logiciel ADS pour les fréquences de mesure.
159
FIG. 7 - Calcul complet de l’efficacité de 50 Mhz à 8 GHz avec un pas de fréquence de 10 MHz.
TAB.4 - Ecart relatif et absolu entre l’efficacité mesurée et calculée.
160
Une remarque importante concerne l’influence de la phase d’optimisation
sur le calcul de l’efficacité. Le tableau 5 compare le résultat du calcul avec et sans
optimisation. L’écart maximum est de 0.005 obtenu à 1.220 GHz. L’écart moyen
est de 0.002. L’optimisation apparaît avoir une influence plus importante pour le
calcul du coefficient de réflexion que pour le calcul de l’efficacité. Dans la phase
d’optimisation, les paramètres modifiés interviennent fortement dans les pertes
par réflexion et très peu dans les pertes par transmission. Il est donc important
dans le calcul de l’efficacité de modéliser précisément les pertes en transmission.
TAB.5 - Tableau comparant l’efficacité calculée avant et après optimisation.
4. Incertitude sur l’efficacité calculée
Une estimation de l’incertitude de l’efficacité calculée peut être effectuée de
la manière suivante : pour chaque paramètre xi, l’efficacité est calculée pour les
valeurs minimale et maximale fixées pour xi. On obtient ainsi une valeur ∆ηi pour
la variation ∆xi. L’incertitude totale liée au calcul est donnée par la relation :
( )2ii
∆η = ∆η∑ (6)
Ce calcul représente le pire cas, et on peut raisonnablement estimer que
l’erreur due à la détermination du modèle est en réalité en deçà de cette valeur. En
161
effet, il est important de souligner que le calcul de chaque ∆ηi, établi directement
à partir de la variation ∆xi déterminée lors de l’extraction des paramètres du
modèle électrique, ne tient pas compte de la variance expérimentale sur chaque xi
ainsi que de la variance sur la moyenne de l’ensemble des mesures. Le tableau 6
présente l’efficacité mesurée et l’efficacité calculée avec leurs incertitudes
respectives. On constate d’une part que l’incertitude liée au calcul augmente avec
la fréquence et d’autre part, qu’elle est bien supérieure à l’incertitude de mesure
au microcalorimètre (globalement d’un facteur 10). La première cause
d’incertitude dans le calcul de l’efficacité est l’ESR des capacités de découplage ;
ce paramètre contribue à hauteur de 60% dans la valeur de l’incertitude totale. La
seconde grande cause d’incertitude concerne la capacité linéique CDC de la ligne
CPW. La plage de variation est définie par les 3 valeurs trouvées pour les 3
méthodes différentes (calcul quasi-statique, pont de capacité, et méthode proposée
par Williams et al. (1991)). La contribution de CDC est importante en basse
fréquence à hauteur de 40% et décroit avec la fréquence pour atteindre 14 % à 7.7
GHz. L’incertitude restante est liée principalement à la conductivité, à la longueur
et à l’inductance des fils des thermistances, et enfin au rayonnement. Les autres
valeurs du modèle sont négligeables. Les termes associés aux pertes par
transmission contribuent logiquement à 90 % de l’incertitude totale liée au calcul.
TAB.6 - Tableau récapitulatif de l’efficacité calculée et mesurée avec leurs incertitudes respectives.
162
5. Répartition des pertes dans le wattmètre
La modélisation du wattmètre permet de connaître l’origine et la répartition
des pertes, informations indispensables pour le concepteur en vue d’apporter des
modifications correctrices. Le tableau résume les pertes des principaux éléments
du wattmètre. Le terme Pligne représente la puissance absorbée dans les parties
métalliques et diélectriques de la ligne coplanaire, le terme Prayonnée est la
puissance rayonnée, le terme Pfils est la puissance absorbée par effet joule dans les
fils des thermistances, et enfin le terme PESR représente la puissance totale due à la
somme des ESR des capacités de découplage. Les principales pertes sont dues à la
valeur de l’ESR de toutes les capacités. Lorsque la fréquence augmente, les
puissances perdues par rayonnement et effet Joule dans les fils des thermistances
deviennent non négligeables. Pour la réalisation d’un wattmètre avec des pertes
réduites, deux éléments doivent être considérés avec beaucoup d’attention : les
capacités et le rayonnement. La longueur des fils peut être légèrement réduite
mais très peu car ils jouent le rôle d’isolation thermique entre la bille semi-
conductrice et le reste du circuit. La prise en compte de ces effets pourrait
améliorer sensiblement la sensibilité de notre prototype.
TAB.7 - Tableau récapitulatif des principales pertes du wattmètre.
163
6. Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons utilisé les différents modèles électriques des
éléments constitutifs du wattmètre, pour calculer les performances en termes de
facteur de réflexion et d’efficacité à l’aide du logiciel de simulation ADS.
Une optimisation sur les paramètres responsables des pertes par réflexion a
été réalisée en vue de minimiser les écarts entre le coefficient de réflexion calculé
et mesuré. Il existe un très bon accord entre le modèle et la mesure puisque les
différences n’excèdent pas 0.06 sur la bande de fréquence 50MHz-8GHz. Par
ailleurs, même sans procédure d’optimisation, les écarts sont faibles ce qui permet
de valider les procédures de modélisation et d’extraction des modèles. Le
wattmètre est globalement assez bien adapté, le facteur de réflexion n’excédant
pas 0.26 sur toute la gamme de fréquence.
Puis, nous avons calculé l’efficacité après et avant cette phase
d’optimisation, La différence constatée entre ces deux étapes est relativement
faible ce qui permet donc de conclure que les éléments responsables des pertes par
transmission sont prépondérants pour estimer l’efficacité. L’efficacité obtenue est
supérieure à 0.9 jusqu’à 6 GHz, ce qui démontre les potentialités de notre
prototype. L’efficacité calculée a été ensuite comparée à l’efficacité effective
mesurée au microcalorimètre, qui est par définition différente de l’efficacité. La
comparaison montre des écarts relatifs variables avec la fréquence : on observe un
écart minimum de 0.06 %, un écart maximum de 3.76 % pour une moyenne de
1.17 %.dans la bande de fréquence et un écart absolu de 0.011.
Un terme équivalent à une incertitude pour l’efficacité simulée peut être
obtenu, en additionnant, au sens du pire cas, l’impact de la variation de chaque
paramètre du modèle électrique sur le calcul de l’efficacité. La variation des
éléments s’effectue dans les limites déterminées au cours de la procédure de
modélisation. L’incertitude ainsi estimée est donc certainement pessimiste par
rapport à la réalité. L’incertitude obtenue croît avec la fréquence pour atteindre un
maximum de 0.032 à 7.7 GHz, cette valeur étant dix fois supérieure à l’incertitude
de mesure du microcalorimètre. La principale contribution dans la valeur de
l’incertitude provient des pertes des capacités de découplage, d’où la nécessité de
disposer d’une technologie peu dispersive. Une étude plus approfondie permet de
situer l’origine et la contribution des pertes des différents éléments du wattmètre.
Les capacités de découplage limitent grandement la valeur de l’efficacité sur toute
164
la bande de fréquence tandis que les effets du rayonnement parasite sont
importants à partir de 3.5 GHz
165
Conclusion générale et perspectives
Actuellement, les sondes de puissance à thermistances sont utilisées comme
étalons de transfert par l’ensemble des laboratoires nationaux de métrologie pour
des questions de précision, de répétabilité et de linéarité. Par ailleurs, ces sondes
peuvent être étalonnées au microcalorimètre puisque leur fonctionnement est basé
sur le principe de la substitution en courant continu.
FIG. 1 - Traçabilité des sondes de puissances HF.
La traçabilité des sondes de puissance est ainsi assurée par le
microcalorimètre (étalon primaire) et par les sondes à thermistances (étalon de
transfert). Théoriquement, le paramètre métrologique qui caractérise une sonde de
puissance est l’efficacité qui traduit les pertes hautes fréquences dissipées dans la
sonde. Cependant, la méthode microcalorimétrique permet uniquement de
mesurer l’efficacité effective ηe des montures bolométriques. L’efficacité
effective, définie par le rapport entre la puissance substituée en courant continu et
la puissance HF totale dissipée dans la monture, diffère de l’efficacité. En effet,
un écart de transposition existe entre la puissance substituée en courant continu et
la puissance HF réellement absorbée dans l’élément sensible. Cet écart n’a jamais
pu être précisément estimé car aucune analyse thermique complète et précise du
microcalorimètre n’a été développée.
166
Actuellement, la démarche des laboratoires nationaux de métrologie
consiste principalement à élargir la bande de fréquence de fonctionnement des
microcalorimètres. Ainsi, des microcalorimètres munis de connecteurs 2.4 mm ou
en 1.85 mm sont peu à peu utilisés pour réaliser des références de puissance
complètes couvrant respectivement les bandes de fréquence DC-50 GHz et DC-65
GHz.
Tout en maintenant et améliorant la référence primaire existante, le LNE a
proposé d’étudier le principe de la faisabilité d’un étalon calculable de puissance
HF comme autre principe d’étalonnage. Ce travail de thèse a pour objectif
d’évaluer la possibilité de déterminer l’efficacité d’une monture par calcul
(simulation). Les enjeux de cette étude de faisabilité concernaient les points
suivants :
- déterminer l’efficacité η à partir d’un modèle mathématique et physique
du wattmètre
- mieux connaître la répartition des pertes à l’intérieur du système
- étudier la possibilité de développer une nouvelle référence métrologique
pour la mesure de puissance HF
Nous nous sommes donc attachés à concevoir un wattmètre avec une
structure simple, en technologie coplanaire (CPW) sur substrat d’alumine, adapté
sur la plus grande bande de fréquence possible, et modélisable avec le logiciel de
simulation électromagnétique 3D CST Microwave Studio. L’objectif était de
réaliser un wattmètre dont l’efficacité effective pouvait être mesurée au
microcalorimètre pour être ensuite comparée aux résultats de simulation. Le
wattmètre est composé d’un connecteur SMA, d’une ligne coplanaire, de trois
capacités céramiques de découplage DC-RF (1 nF) et de deux thermistances
polarisées chacune sur 100 Ω.
Puis, nous avons utilisé le logiciel de simulation électromagnétique 3D CST
Microwave Studio pour calculer l’efficacité du wattmètre coplanaire (deuxième
chapitre). La précision des résultats obtenus avec cet outil de simulation reste
limitée. En effet, il est difficile de tenir compte dans la simulation des pertes
métalliques notamment celles introduites par les capacités de découplage. En
effet, leurs électrodes ont une épaisseur de quelques microns alors que le système
complet possède des dimensions de plusieurs dizaines de millimètres d’où la
difficulté d’optimiser les paramètres du maillage de manière satisfaisante.
167
Nous avons donc finalement opté pour une modélisation électrique du
wattmètre. La ligne CPW, la transition SMA-CPW, les thermistances, le
rayonnement, les capacités de découplage DC-RF ainsi que leur interaction
électromagnétique ont été modélisés à l’aide d’un schéma électrique équivalent
(chapitre 3). Les éléments du modèle sont en général déterminés à partir de la
mesure précise et rigoureuse des paramètres [S] à l’aide d’un analyseur de réseaux
vectoriel. A cet effet, nous avons utilisé la méthode de calibrage « multiline
TRL » qui présente l’avantage de réduire les erreurs aléatoires tout en augmentant
la bande passante. Par ailleurs, cette méthode d’auto-étalonnage permet de
connaître précisément la constante de propagation de la ligne de référence CPW
utilisée. Nous avons donc réalisé un kit de calibrage spécifique sur un substrat
d’alumine dans la bande de fréquence 125 MHz-8 GHz. La détermination de la
capacité linéique de la ligne CPW (déterminée par trois méthodes différentes) et la
connaissance de la constante de propagation ont permis de calculer précisément
l’impédance caractéristique Zc de la section de ligne CPW du wattmètre qui
constitue par définition l’impédance de référence des mesures. Ainsi, par un
changement approprié de l’impédance de référence, toutes les mesures sont
référencées par rapport à une impédance strictement égale à 50 Ω. La
caractérisation de la ligne a montré une dispersion significative induite par les
dimensions importantes des fentes et du ruban central comparativement à la
hauteur du substrat. Les pertes diélectriques et métalliques sont néanmoins assez
faibles puisque, à partir de 1 GHz, elles ne contribuent qu’à hauteur de 11% des
pertes totales du wattmètre.
Les trois capacités céramiques de découplage DC-RF représentent plus de
50 % des pertes totales du wattmètre sur toute la bande de fréquence, et
participent également de manière significative aux pertes par réflexion en haut de
bande. Il est donc primordial de modéliser précisément ce composant à partir de la
mesure des paramètres S référencés sur 50 Ω. Le modèle électrique est constitué
d’un circuit R, L, C série combiné avec des capacités parasites entre le ruban
central et le plan de masse et des résistances de substrat. Dans le modèle
électrique, le paramètre ESR équivalent à une résistance variable en fréquence, est
responsable des pertes par transmission. Cette valeur peut varier de quelques
ohms d’une capacité à l’autre ce qui a donc une incidence significative sur le
calcul de l’efficacité et sur l’incertitude associée à ce calcul. Différentes
résonances ont été observées au-dessus de la fréquence de résonance série, d’où
une diminution de la valeur de l’efficacité effective mesurée à ces mêmes
fréquences. D’autre part, la taille importante des capacités utilisées pour la
réalisation du wattmètre introduit un couplage électromagnétique dont nous avons
168
tenu compte en ajoutant deux capacités d’interaction dans le modèle final du
wattmètre.
La thermistance constitue le composant de référence dans les sondes de
puissance, mais curieusement peu d’études sur son comportement haute-fréquence
ont été publiées. Ce travail a été l’occasion de mesurer les paramètres S de ce
composant jusqu’à 18 GHz pour différentes valeurs de polarisation permettant
ainsi de déterminer les valeurs de son modèle électrique équivalent. La bille semi-
conductrice, élément absorbant la puissance HF, est modélisée à l’aide d’une
capacité en parallèle avec une résistance dont la valeur est fixée par le pont de
Wheatstone. Nos mesures ont mis en évidence une évolution non-linéaire de la
valeur de cette capacité avec le courant de polarisation. La valeur de la capacité
pour la polarisation de 100 Ω, polarisation utilisée dans le wattmètre, est de
l’ordre de 0.076 pF et l’écart relatif entre la mesure des paramètres S et le modèle
complet de la thermistance n’excède pas 6%. Des mesures complémentaires
pourraient être effectuées en modifiant la configuration du support de mesure. Il
serait en effet intéressant de pouvoir mesurer la thermistance dans une
configuration identique à celle utilisée dans le wattmètre c’est à dire parallèle au
champ électrique circulant dans les fentes.
Les pertes par rayonnement de modes parasites impairs ont été estimées à
l’aide du logiciel de simulation électromagnétique CST Microwave Studio. Le
calcul en champ lointain des champs électrique et magnétique pour différentes
configurations a permis de définir une pseudo-constante d’atténuation αR
moyenne traduisant les pertes par rayonnement de la structure prise en compte au
moyen d’une « boîte » de paramètres S. Les simulations électromagnétiques ont
mis en évidence que la puissance rayonnée Pray constitue une partie non
négligeable de la puissance Pin entrante dans le dispositif. En effet, de 5.5 GHz à 8
GHz, ces pertes représentent plus de 2% de la puissance entrante. Le niveau de
ces pertes peut s’expliquer par la présence de deux discontinuités majeures : la
transition SMA – CPW et la charge 50 Ω. Il serait alors intéressant de confirmer
les valeurs déterminées par simulation aves des mesures en chambre anéchoïque
par exemple.
Enfin, un modèle électrique original complet de la transition SMA-CPW a
été proposé à partir de différents modèles déjà existants prenant en compte les
pertes par réflexion et le rayonnement. La modélisation complète de plusieurs
lignes CPW de longueurs différentes a permis de mettre en évidence la forte
discontinuité introduite par la transition connecteur SMA – CPW. Les dimensions
de la ligne CPW fixées par la largeur importante des capacités de découplage DC-
169
RF associées aux soudures sont responsables en grande partie des pertes par
réflexions de la transition réduisant ainsi la largeur de bande du wattmètre.
L’utilisation de nouveaux composants et une étude plus approfondie de la
transition serait indispensable pour réduire cette discontinuité
Le modèle électrique final du wattmètre a été simulé avec le logiciel ADS.
Le calcul du coefficient de réflexion est optimisé en ajustant uniquement les
paramètres responsables des pertes par réflexion. La faible variation des valeurs
optimisées et les écarts entre la mesure du facteur de réflexion et la simulation
(de l’ordre de 0.06 à 8 GHz), mettent en évidence la précision des modèles. Dans
le logiciel ADS, des sondes de courant et de tension sont placées au niveau des
billes des thermistances afin de calculer la puissance HF absorbée. L’efficacité
calculée, définie par le rapport entre la puissance HF absorbée par les billes des
thermistances et la puissance d’entrée du wattmètre, a été comparée à l’efficacité
effective mesurée au microcalorimètre. Un écart absolu moyen de 1.1% est
observé, résultat très encourageant pour une première étude de faisabilité. Pour
améliorer les performances et l’incertitude, il serait important de réduire les
dispersions technologiques surtout au niveau des capacités de découplage. D’autre
part, réduire la taille de ce composant permettrait également d’élargir la bande de
fréquence du wattmètre coplanaire réalisé.
En résumé, les performances finalement obtenues sont les suivantes :
- un coefficient de réflexion inférieur à -15 dB jusqu’à 7 GHz avec une
valeur maximale d’environ -12 dB à 8 GHz.
- une efficacité effective supérieure a 0.90 jusqu’à 6 GHz.
Ces résultats restent cependant moins bons que ceux obtenus avec des
montures bolométriques conventionnelles utilisées jusqu’à présent au sein du
laboratoire. Pour ce type de monture, le coefficient de réflexion est inférieur à -25
dB jusqu’à 15 GHz avec une efficacité supérieure à 0.95. Utiliser directement ce
wattmètre coplanaire comme étalon de transfert n’est donc pas envisageable.
L’objectif de ce travail n’était cependant pas de réaliser de nouveaux étalons de
transfert mais d’établir les bases pour la réalisation d’un étalon calculable. Dans
ce cadre, le prototype constitue donc, au vue des caractéristiques obtenues, une
première base solide qui démontre la faisabilité d’un étalon de puissance
calculable.
170
Les perspectives envisagées à ce travail de thèse sont les suivantes :
- Eliminer les pertes dans les capacités de découplage en utilisant une
configuration récemment introduite dans certains wattmètres disponibles dans le
commerce. La charge adaptée est une simple résistance 50 Ω placée au bout de la
ligne de transmission avec une thermistance située à proximité de l’élément
résistif. Dans ce cas, la thermistance ne fait donc plus partie de la charge. Elle
n’est plus utilisée pour absorber directement la puissance microonde mais pour
estimer indirectement cette dernière en mesurant la chaleur émise par la résistance
50 Ω. Cette configuration conserve l’avantage important de pouvoir utiliser la
méthode microcalorimétrique pour mesurer l’efficacité effective du wattmètre.
L’utilisation d’un logiciel multiphysique(COMSOL) permettrait de déterminer la
quantité de courant circulant dans la résistance ainsi que la quantité de chaleur
emmagasinée par le composant en s’affranchissant de la modélisation des
capacités dont la dispersion technologique demeure relativement importante.
- Le lien théorique entre l’efficacité effective et l’efficacité demeure
inconnu. D’un point de vue métrologique, il serait important d’établir cette
relation afin de pouvoir quantifier l’écart réel entre l’efficacité actuellement
mesurée au microcalorimètre et l’efficacité du wattmètre. Une étude thermique et
électromagnétique complète serait alors indispensable.
- Une autre perspective à ce travail consiste à améliorer l’adaptation du
wattmètre réalisé en choisissant des composants plus appropriés. A la fin de ce
travail de thèse, deux wattmètres coplanaires ont été réalisés avec des capacités
single layer de 1 nF et un connecteur 3.5 mm. Ces nouvelles capacités de
découplage ont les dimensions réduites suivantes : 0.1 mm de hauteur, 1 mm de
longueur et 0.89 mm de largeur. Le premier reprend la configuration classique du
wattmètre coplanaire (Figure 2a). Dans la seconde structure (Figure 2b), des effets
capacitifs et inductifs ont été introduits volontairement en modifiant le plan de
masse au niveau de la transition 3.5 mm - CPW ainsi qu’au niveau de la charge 50
Ω (Figure 3). L’objectif est d’ajuster le profil d’impédance du wattmètre le plus
proche possible de 50 Ω (Figure 3). Pour déterminer les dimensions des
modifications, des simulations électromagnétiques ont été effectuées avec le
logiciel CST comme réflectomètre virtuel. Nous avons calculé le profil
d’impédance en fonction du temps de propagation, sans et avec les modifications
permettant ainsi d’optimiser les dimensions.
171
FIG. 2 - A gauche wattmètre classique, à droite wattmètre avec modification du plan de masse.
FIG. 3 - En haut : modifications du plan de masse. En bas : profil d’impédance du wattmètre simulé avec CST.
172
Les mesures des coefficients de réflexion des deux wattmètres sont
présentées sur la figure 4. Le deuxième wattmètre est le mieux adapté avec un
maximum de –15 dB obtenu pour 16 GHz. La largeur de bande des wattmètres
coplanaires a été améliorée d’un facteur supérieur à deux
FIG. 4 - Mesure du coefficient de réflexion des deux derniers wattmètres réalisés.
173
Annexe A: Méthode d’étalonnage par substitution à la sortie d’un coupleur directif
Dans cette annexe nous allons présenter la méthode d’étalonnage par
substitution, utilisée au sein du LNE pour raccorder une sonde de puissance X
d’un utilisateur à un étalon de transfert E. Le schéma de principe de la mesure est
représenté sur la figure 1. Les éléments connus de la mesure sont le coefficient de
réflexion ρX de la sonde X, le coefficient de réflexion ρE et l’efficacité effective
ηE de la sonde E, ainsi que la directivité D du coupleur.
Un générateur est connecté à la porte 1 du coupleur directif. Une monture
bolométrique de référence Y est connectée en permanence à la porte latérale 3 du
coupleur. L’ensemble système directif plus monture bolométrique de référence est
appelé transfert de puissance.
Dans une première phase, la monture inconnue X est placée à la porte 2 du
coupleur et on mesure simultanément les puissances substituées Wx dans la
monture inconnue et Wyx dans la monture de référence. Dans une seconde phase,
on remplace la monture inconnue X par l’étalon E et on mesure à nouveau les
puissances substituées We et Wye.
FIG. 1 - Principe de l’étalonnage par substitution.
174
Dans la première phase, la monture inconnue X est connectée à la porte 2 et
son efficacité ηX s’écrit :
2
2 3XX X2
YX X
kW 1 C1 D
W k T1η = + ρ
− Γ (1)
Dans la seconde phase, la monture étalon E est connectée à la porte 2 et son
efficacité ηE s’écrit :
2
2 3EE E2
YE E
kW 1 C1 D
W k T1η = + ρ
− Γ (2)
Où :
WYX est la puissance substituée mesurée dans la monture de référence Y
quand la monture inconnue X est connectée sur la porte 2.
WYE est la puissance substituée mesurée dans la monture de référence Y
quand la monture inconnue E est connectée sur la porte 2.
WX est la puissance substituée mesurée dans la monture inconnue X.
WE est la puissance substituée mesurée dans la monture étalon E.
k3 est une constante prenant en compte l’efficacité et le coefficient de
réflexion de la monture référence Y.
k est une constante dépendant des caractéristiques du générateur et de celles
de la charge.
D, C, T sont les caractéristiques du coupleur directif (directivité, couplage,
transmission).
ρX est le coefficient de réflexion de la monture inconnue X et Γx son
module.
ρE est le coefficient de réflexion de la monture étalon E et ΓE son module.
Finalement, le rapport des expressions (1) et (2) donne l’efficacité ηX :
22
XX YE EX E 2 2
E YX X E
1 DW W 1
W W 1 1 D
+ ρ− Γη = η × × ×− Γ + ρ
(3)
L’utilisation d’un coupleur directif présente les avantages suivants :
175
- la mesure est affranchie des fluctuations de la source puisqu’on mesure
simultanément les puissances aux portes 2 et 3.
- l’influence de la désadaptation du générateur est très amoindrie et rendue
négligeable dans la plupart des cas.
176
Annexe B : Méthode de calibration TRL
L’objectif d’une méthode de calibrage tel que la méthode « connexion
directe - réflexion- ligne » est de mesurer les paramètres S dans les plans du
composant, et ainsi s’affranchir de toutes les erreurs introduites par chaque
élément de la chaîne de mesure. La TRL (Glenn et al. 1979) décrite par Glenn F.
Engen et Cletus A. Hoer est issue de deux précédentes. La technique Thru Short
Delay TSD (Franzen et al. 1975) nécessite la connaissance du coefficient de
réflexion de l’étalon « réflexion ». L’autre technique, basée sur l’utilisation d’une
longueur de ligne comme unique impédance étalon, utilise un circuit de calibrage,
(Susman et al. 1978).
La méthode TRL consiste pratiquement en la mesure de trois étalons : une
ligne de longueur nulle (thru), une ligne de transmission (line) de longueur l et de
constante de propagation γ dont l’impédance caractéristique définit l’impédance
de référence, et d’un dipôle quelconque ayant un coefficient de réflexion grand en
module. La connaissance préalable précise des étalons n’est pas nécessaire
(différence de longueur entre les deux lignes, coefficient de réflexion). La
difficulté réside plutôt à rendre identiques les quadripôles d’erreurs communs aux
étalons et à la maquette de mesure lorsque l’on travaille avec des lignes planaires.
La méthode TRL est une technique de calibrage qui utilise un modèle à 8 termes d’erreurs. Le pré-requis est de séparer le système de mesure par deux
réflectomètres parfaits suivis chacun par une boîte d’erreurs (Figure 9). Ces
boîtes d’erreurs représentent toutes les erreurs du système qui peuvent être
corrigées. Ces boîtes d’erreurs sont des 2-ports « fictifs ». Comme on utilise deux
boîtes d’erreur il y a huit inconnues à déterminer. Cependant toutes les mesures
effectuées sont des rapports de puissance, on a de ce fait seulement 7 termes
d’erreurs à calculer pour calibrer le système.
177
On rappelle brièvement le formalisme de la méthode TRL.
Le quadripôle Q à mesurer (thru ou line) est associé à deux quadripôles
erreur A et B, dont les éléments A1, B1, C1, A2, B2, C2 sont déterminés à l’issue du
calibrage.
FIG. 1 - Modélisation du système de mesure.
Le formalisme de la TRL est développé à partir des matrices chaîne d’onde.
La matrice chaîne d’onde d’un quadripôle quelconque s’écrit :
1 11 2
1 22 221
1 11 12 2
1 21 22 2
1 2
1 2
b S a1
a S 1 bS
b r r a
a r r b
b aR
a b
−∆ = −
=
=
(1)
Avec 11 22 12 21S S S S∆ = −
TAB. 1- Termes de la matrice chaîne d’onde.
178
Soit RQ la matrice chaîne du quadripôle Q (line ou thru) associé aux
quadripôles erreurs A et B de matrice chaîne R1 et R2. La matrice totale Rtot
s’écrit :
tot 1 Q 2R R R R= (2)
Avec :
1 1A1 22
1
A BR r
C 1
=
(3)
2 2B2 22
2
A CR r
B 1
− = −
(4)
Soit RL la matrice chaîne de l’étalon line, il est supposé que cette ligne est
parfaitement adaptée et donc n’engendre aucune réflexion :
Le 0
R0 e
−γ
γ
=
l
l (5)
La matrice chaîne RT de l’étalon thru s’écrit :
T1 0
R0 1
=
(6)
La relation pour Rtot s’écrit :
- pour la connexion directe :
tot,T 1 T 2 1 2R R R R R R= = (7)
- pour la ligne de longueur l :
tot,L 1 L 2R R R R= (8)
En éliminant R2 par (7) et (8), on obtient :
1 1 LTR R R= (9)
Avec 1tot,T tot,LT R R−= (10)
179
L’équation (9) donne le système suivant :
A A A A11 12 11 12 11 12
A A A A21 22 21 22 21 22
t t r r r r e 0
t t r r r r 0 e
−γ
γ
=
l
l
A A A11 11 12 21 11
A A A11 12 12 22 12
A A A21 11 22 21 21
A A A21 12 22 22
t r t r r e
t r t r r e
t r t r r e
t r t r2 r e
−γ
γ
−γ
γ
+ =
+ =
+ =
+ =
l
l
l
l
(11)
A partir de ce système nous obtenons deux équations du second degré dont
les inconnues sont A1/C1 et B1 :
( ) ( )2 2A A
11 11 1 121 22 11 12 21 22 11 12A A 1 121 21
r r A At t t t 0 t t t t 0C Cr r
+ − − = ⇔ + − − =
(12)
( ) ( ) ( )( )2A A 212 12
21 22 11 12 21 1 22 11 1 12A A22 22
r rt t t t 0 t B t t B t 0r r
+ − − = ⇔ + − − =
(13)
En combinant les équations (12) et (13) on obtient :
11A11
A21
12
22A22
A12
21l2
tr
rt
tr
rt
e
+
+
=γ (14)
A1/C1 et B1 vérifient la même équation complexe du second degré. Une
solution serait de choisir A1/C1=1. Cela entraînerait e2γl=1 ce qui n’est
physiquement pas possible.
Les valeurs de A1/C1 et B1 sont distinctes et il faut résoudre l’équation du
second degré précédente pour déterminer ces constantes. On obtient deux racines
dont une est égale à A1/C1 et l’autre à B1.
Pour lever l’ambigüité sur le choix des racines on calcule
approximativement la valeur de γ à partir de la longueur de la ligne, en simplifiant
la constante de propagation γ par jβ avec β=2π/l. Puis on compare ce déphasage à
la valeur obtenue avec l’équation (14).
180
Après cette première étape, les valeurs de A1/C1, B1 et γl sont connues.
La relation matricielle (7) peut s’écrire sous la forme :
12 1 tot,TR R R−= ⋅ (15)
Soit
( )
( ) ( )
( )
1 tot,T tot,T2 2 1 1 11
tot,T A B tot,T2 121 22 22 22
A C A B S1
B 1 C 1S r r S 1
− − ∆ = ⋅ ⋅ − −
(16)
avec Sij(tot,T) correspond à R tot,T de la connexion directe.
On end déduit :
( ) ( )( )
tot,T 122
12
tot,T111
1
AS tot,T
CB
AS
C
− ∆=
− (17)
( )
( ) ( )
tot,T2 1 11
1tot,T tot,T2 1 22
C B Sk
A B S
−= =− ∆
(18)
( ) ( )
( )
tot,T1 22
1 2 2tot,T1
111
B S tot,TC A k
AS
C
− ∆= =
− (19)
Ainsi, les quantités A1,/C1, B1, C2/A2, B2, peuvent être déterminées. De plus,
on peut déterminer Γ1, Γ2, S11, S22 et S12S21 des quadripôles erreurs.
A l’aide de la connexion reflect (court-circuit), on peut calculer la constante
A2. On connecte successivement la charge aux deux accès de mesure. On a donc :
1 2 ccρ = ρ = ρ
Soit
1 1 2 2
1 1 1 2 2 2
B w B w
w C A w C A
− −=− −
(20)
181
Avec w1=b1/a1 et w2=b2/a2.
En développant l’égalité (20), on montre que le paramètre A2 vérifie
l’équation :
2 2 2 1 2 2 1Aw C AA C B w C− = − (21)
Avec
1 1
11
1
w BA
Aw
C
−=−
(22)
En combinant les équations (18), (19) et (21), on montre que :
( )2 2 22
21 2
k B wA
Ak w A
−=
− (23)
Si l’on connaît approximativement la phase du court-circuit ou du circuit
ouvert, on peut calculer la valeur de A2 à partir de :
2 22
2CC 2
2
w BA
C1 w
A
−=
ρ −
(24)
Lorsque la valeur de A2 est connue, on peut déterminer les valeurs de A1,
B1, C1, B2 et C2.
Tous les paramètres des quadripôles d’erreurs sont alors déterminés.
182
Annexe C: Méthode de calibration Multiline TRL
La modélisation du système de mesure est identique à celui de la TRL, à
savoir deux boîtes d’erreur A et B regroupant l’ensemble des erreurs des ports de
mesure 1 et 2.
FIG. 1 - Modélisation du système de mesure.
Notons A et B les matrices chaîne des boîtes d’erreur A et B. Par soucis de
symétrie du port 1 par rapport au port 2 la matrice chaîne inverse Ā est utilisée
permettant de transcrire ainsi les résultats de la matrice chaîne du port 1 à celle du
port 2 :
= −
01
10A
01
10A 1 (1)
Soit la matrice chaîne mesurée de l’étalon i :
YXTM ii = (2)
Le développement statistique est développé autour de la théorie des
perturbations. Soit Ti est la matrice chaîne réelle de la ligne de transmission i,
celle-ci s’exprime en fonction de la matrice dite idéale Li de constante de
183
propagation γ, de longueur li et des matrices de perturbations δ1i et δ2i associées
respectivement au port 1 et au port 2, reflétant l’aspect non idéal des connecteurs.
)I(L)I(T i2ii1i δ+δ+= (3)
i1i
i2
E 0e 0L
0 E0 e
−γ
+γ
= ≡
i
i
l
lOù (4)
La mesure d’une ligne i et d’une ligne j forment une paire de ligne dont la
matrice chaîne Mij s’écrit d’après l’équation (2) :
ijij XTXM = (5)
( ) 1ij j iOù M M M−
= (6)
( ) 1ij j iEt T T T−
≡ (7)
Dans un cas idéal, les éléments δ1i et δ2i disparaissent et la matrice Tij se
réduit à :
j1
iji1ij j i 1 1
ijj22
i2
E0
E 0E e 0L L (L )
0 EE 0 e0
E
−γ−
+γ
≡ = ≡ =
j i
j i
(l -l )
(l -l ) (8)
Dans ce cas, la relation (5) a la forme d’un problème aux valeurs propres
dont les éléments de la diagonale de Tij (E1ijet E2
ij) sont les valeurs propres de Mij
et les colonnes de X les vecteurs propres de Mij. Cependant dans le cas réel, Tij
n’est pas diagonale et le problème est plus compliqué. Les auteurs montrent
néanmoins très simplement, en considérant les valeurs propres de Tij, que Mij et
Tij ont mêmes valeurs propres et qu’il existe une relation entre leurs vecteurs
propres respectifs.
184
La détermination des valeurs propres de Mij, permet d’estimer l’effet des
perturbations sur Tij. En considérant les imperfections des connecteurs
représentées par δ1i et δ2i biens plus petite que 1, nous avons Tij qui se décompose
comme la matrice Lij perturbée par εij :
ijijij LT ε+≈ (9)
Où les éléments de la matrice εij sont fonction des valeurs propres Eij et des
δ1i et δ2i. Les éléments hors diagonales représentent les erreurs de mesure du
coefficient de réflexion de la ligne et les éléments de la diagonale celles du
coefficient de transmission de la ligne.
La relation linéaire (9) est le premier point important la méthode.
L’application de la théorie des perturbations sur les valeurs propres de Mij va
conduire à l’estimation de γ, et sur les vecteurs propres de Mij à celui des
constantes de calibration.
L’application de la théorie des perturbations permet d’établir une relation
entre les valeurs propres de Mij (λ1ij et λ2
ij), les valeurs propres de L (E1ijet E2
ij) et
les erreurs εij :
ij11
ij1
ij1 E ε+≈λ (10)
ij22
ij2
ij2 E ε+≈λ (11)
La relation linéaire ci-dessus exprime donc la sensibilité des valeurs propres
aux perturbations. Les erreurs sont induites par les erreurs dans les mesures des
coefficients de transmission S12 et S21 des lignes. La connaissance des longueurs
des lignes li et lj et des valeurs propres de Mij (issue des mesures brutes des
étalons i et j) vont fournir les éléments essentiels à l’estimation de γ :
ijij
ij )ln( γ∆+γ≈−λ≡γ
ji ll (12)
( ) ( )1j 2 j 1j 2 jij11 11 22 22
1f , , ,
2∆γ = δ δ δ δ
i- j
Où l l
(13)
185
Dans l’expression de ∆γij on remarque la présence au dénominateur de (li-lj).
Ceci implique que des grandes différences de longueurs minimiseront d’avantage
l’erreur commise sur γ que des petites différences. Dans l’estimation de γ, la Multiline donne des poids plus importants aux grandes différences de longueurs.
De la même manière, un développement d’un point de vue des perturbations
des vecteurs propres de Mij va conduire à la détermination des erreurs de ∆αij et
∆βij sur les constantes de calibration « classiques » b et c/a déterminées au cours
de la TRL :
ijij b α∆+≈α (14)
ijij
a
c β∆+≈β (15)
ijij12 ij ij
2 1
a bcOù
E E
−∆α ≡ ε−
(16)
ijij21 ij ij
2 1
a bcEt
a²(E E )
−∆β ≡ ε−
(17)
Contrairement à l’estimation de γ où les erreurs sont dues aux coefficients de transmission, les erreurs sur les constantes de calibration sont induites par
celles commises sur les coefficients de réflexion S11 et S22. Il est important de
souligner la présence des termes E1ijet E2
ij dans l’expression de ∆αij et ∆βij, et de
s’attarder quelques instants sur leur différence.
[ ] [ ]jρφll ijl-ll-lijij −=−γ=−=− γ−γ
sinj2)(sinj2ee)EE()()(ij
1ij2 (18)
Où ρ et φ sont respectivement les pertes et le déphasage associés à cette
différence de longueur.
La norme au carré de (18) donne :
ρφ+ρφ=− 22222ij1
ij2 sinhcos4coshsin4EE (19)
186
Autrement-dit dans le cas sans pertes, ρ=0, on a :
φ
∝β∆α∆sin2
1, ijij (20)
On retrouve la condition de la méthode TRL sur la différence de déphasage
entre deux lignes, excluant 0° et 180°, valeurs pour lesquelles l’erreur est infinie
et le problème mal conditionné.
Un cas intéressant apparaît, celui avec de faibles pertes. En effet dans ce
cas :
ρ
≤β∆α∆2
1, ijij (21)
Ainsi, la précision peut être accrue avec une augmentation, dans une
certaine mesure, des pertes dans les lignes utilisées lors du calibrage.
A partir des expressions des constantes de propagation γ et de calibrage αij
et βij, un traitement statistique robuste est appliqué. Ce dernier est basé sur une
distribution quelconque des erreurs et sur la redondance des mesures. Il permet de
déterminer le meilleur estimateur de γ, αij et βij,
Soit x la quantité cherchée. Si on considère N mesures redondantes bn de la
quantité anx, où an est supposée connue, la valeur vraie de anx diffère d’une
quantité en :
nnn exab += (22)
Il est alors possible d’estimer le paramètre x par la méthode des moindres
carrés pondérés où la matrice de pondération optimale est l’inverse de la matrice
de covariance du bruit de mesure V-1 comme défini par le théorème de Gauss
Markov (Zelen 1961). Le « meilleur » estimateur de x :
2 † 1Xx a V b−= σ (23)
187
Où † indique l’hermitien adjoint, et V est la matrice de covariance définie
par :
n*mmn eeV ≡ (24)
Et σx représente la déviation de l’estimateur de x, défini par :
X† 1
1
a V a−σ ≡ (25)
L’estimateur x est considéré comme le « meilleur » car il minimise la
variance de x.
Nous allons à présenter succinctement les étapes concernant la
détermination des coefficients de calibration, car elle reprend à peu de choses près
le même cheminement que celui permettant d’estimer γ (cf. Chapitre 3 paragraphe 2.2).
La formulation « boîte d’erreur » conduit à la mise en cascade des matrices
chaînes X, Ti, et Y où X et Y sont les boîtes d’erreur. Soit Mi la matrice chaîne
mesurée de l’étalon i, on a :
i iM XT Y= (26)
Où
1 11
1
A BX R
C 1
=
(27)
2 22
2
A BY R
C 1
=
(28)
On considère uniquement la résolution des éléments de X, ceux de Y étant
directement symétriques de ceux de X. On retrouve la formulation classique de la
méthode TRL. En général, la formulation TRL est une résolution de problème aux
valeurs propres où les colonnes de X sont les vecteurs propres de Mij et les
diagonales de Lij les valeurs propres (matrice de la ligne idéale). Comme il est
188
montré dans le développement statistique précédent, les constantes de calibration
sont déterminées à partir de la théorie des perturbations en considérant celles-ci
comme entachées des erreurs aléatoires. Il faut donc résoudre l’équation aux
valeurs propres suivant :
ij ijM X XL= (29)
L’équation (29) est résolue pour chaque couple de lignes, constitué lors de
l’estimation de γ. A chaque fréquence, la résolution de Mij donne 2 possibilités
pour C1/A1 et pour B1. Le choix s’effectue en utilisant la constante de propagation
γest. A chaque fréquence, on a N-1 valeurs de C1/A1 et de B1. Le théorème de
Gauss-Markov est donc appliqué pour trouver le meilleur estimateur de C1/A1 et
de B1 à chacune des fréquences. Ensuite A1 et R1 sont déterminés classiquement à
l’aide de l’étalon à fort coefficient de réflexion. Le problème est entièrement
symétrique et les résultats trouvés pour X sont transposables par changement des
indices àY .
189
Annexe D : Calcul quasi-statique d’une ligne coplanaire
Nous présentons dans cette annexe les formules quasi statique pour le calcul
de la capacité linéique CDC d’une ligne coplanaire dont la hauteur du diélectrique
et la largeur des plans de masse sont finies.
FIG. 1 - Ligne coplanaire dont la hauteur du diélectrique et la largeur des plans de masse sont finies.
La capacité linéique de la ligne C est la somme de la capacité du demi-plan
supérieur C1 et du demi-plan inférieur C2 :
1 2C C C= + (1)
La capacité C1 s’écrit :
( )( )3
1 0 '3
K kC 2
K k= ε (2)
Avec
22
03 2
20
b1ca
kb a1
c
−=
− (3)
Et K et K’ sont les intégrales elliptiques du premier ordre.
190
La capacité C2 s’écrit :
( ) ( )( )
42 0 r '
4
K kC 2 1
K k= ε ε − (4)
Avec
( )( )
( ) ( )( ) ( )
2 2
4 2 2
sinh a 2h 1 sinh b 2h sinh c 2hk
sinh b 2h 1 sinh a 2h sinh c 2h
π − π π=
π − π π (5)
191
Annexe E : Rayonnement
L’élément rayonnant introduit dans le modèle électrique complet du
wattmètre ne doit pas avoir d’influence sur le coefficient de réflexion en entrée
Γin . Démontrons l’expression utilisée pour modéliser le rayonnement :
ray
Rin
P
P= α (1)
Séparons le rayonnement des autres éléments du modèle du wattmètre. Tous
les éléments, hors rayonnement, sont regroupés dans la charge ZL (Figure 55).
Vérifions si le rayonnement modélisé avec la matrice S ci-dessus respecte bien les
conditions requises.
FIG. 1 - Modèle complet du wattmètre où tous les éléments non responsables du rayonnement sont regroupés dans la charge ZL.
Le coefficient d’entrée Γin peut s’exprimer en fonction des paramètres S et
du coefficient de réflexion ΓL de la charge (Pozar 1990).
12 21 Lin 11
22 L
S SS
1 S
ΓΓ = +
− Γ (2)
192
Par définition de la matrice S, on a :
0SS 2211 == (3)
R
212 21S S e
α−
= = (4)
Avec R 1α <<
Vérifions la première condition : in LΓ ≈ Γ (5)
in 12 21 LS SΓ = Γ (6)
Rin Le−αΓ = Γ (74) avec R
Re 1−α ≈ − α (7)
( )in R L L1Γ = − α Γ ≈ Γ (8)
Vérifions la seconde condition :
ray
Rin
P
P= α (9)
Soit PL la quantité de puissance absorbée par la charge ZL.
Soit Pin la quantité de puissance entrée dans le wattmètre
Soit Pray la quantité de puissance rayonnée :
ray L inP P P= − (10)
Le rapport PL sur Pin peut s’exprimer en fonction des paramètres S et du
coefficient de réflexion ΓL de la charge (Pozar 1990).
( )
( )2 2
21 LL
2 2in 22 L in
S 1P
P 1 S 1
− Γ=
− Γ − Γ (11)
( )
( )2 2
21 Lray in L2 2
in in 22 L in
S 1P P P1
P P 1 S 1
−− Γ
= = −− Γ − Γ
(12)
193
( )( )
2Lray 2
21 2in in
1P1 S
P 1
− Γ= −
− Γ (13)
Avec 22S 0= (14)
( )R
R
2 2Lray 2
2in
2L
1P1 e
P
1 e
α−
α−
− Γ= −
− Γ
(15)
Avec ( )
R
2L
2
2L
11
1 e
α−
− Γ
− Γ
(16)
Finalement, on obtient :
( )R
R
2
ray 2R
in
P1 e 1 e 1 1
P
α− −α= − = − − − α (17)
ray
Rin
P
P= α (18)
194
195
Bibliographie
Achkar J., “Mesures de puissance à des fréquences supérieures à 40 GHz”,
Rapport d’étude N° 1344 du Bureau National de Métrologie, 1996.
Armstrong A., “Power measurements basics”, Agilent Technologies, 2000-
2004.
Barreau P., “Mesures en radiofréquences, Analyseurs de réseaux en
microondes”, Technique de l’ingénieur traité mesures et contrôle, 1991, R1 145-1
à 19.
Benabe E., Skowronski K., Weller T., Gordon H., Warder P., “Automated
characterization of ceramic multilayer capacitor”, ARFTG, 1998 Computer-Aided
Design and Test for High-Speed Electronics Conference Digest 52nd, 1998, pp.
88-94.
Brews J. R., “Transmission line models for lossy waveguide
interconnections in VLSI”, IEEE Transactions on Microwave Electron Device,
1986, vol. 33, pp. 1356-1365.
Brunetti L., Oberto L., Vremera E., “Recent evolutions of the
microcalorimeter technique ”, URSI, 2005.
Chapman A. G., Aitchison C. S., “A broad-band model for a coaxial-tot-
stripline transition”, Transactions on Microwave Theory and Techniques, 1980,
vol. MTT-28, no. 2, pp 130-136.
Chramiec J., Piotrowski J. K., “Novel approach to the characterization of
coaxial-to-microstrip transitions”, Microwave Conference and Exhibition 27th
European, 1997, vol. 2, pp. 697-702.
196
Chramiec J., Janiczak B., Komisarczuk J., “Design and characteriation of
connectors for coplanar waveguide circuits”, Microwaves and Radar MIKON '98,
12th International Conference, 1998, vol. 1, pp 27-31.
Clague F. R., Voris P. G., “Coaxial reference standard for microwave
power”, Technical note 1357 NIST, 1995.
Coda N., Selvaggi J. A., “Design considerations for high-frequency ceramic
chip capacitors”, IEEE Transactions on Parts, Hybrids, and Packaging, 1976, vol.
42, pp. 206-2112.
Collard J., Nicoll G. R., Lines A. W., “Discrepancies in the measurement of
microwave power at wavelengths below 3 cm”, Proc. Phys. Soc, 1950, pp. 215.
Crowley T. P., Clague F. R., “2.4 mm diameter coaxial power standard at
NIST”, British Electromagnetic Conference, 2001.
Degroot D. C., Walker D. K., Marks R. B., “Impedance mismatch effects on
propagation constant measurements”, IEEE EPEP Conf. Digest, Napa, 1996, pp.
141-143.
Degroot D. C., Jargon J. A., Marks R. B., “Multiline TRL revealed”,
ARFTG Conference Digest, 2002.
DjordjeviC A. R., Sarkar T. K., “Closed-form formulas for frequency-
dependent resistance and inductance per unit length of microstrip and strip
transmission lines”, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques,
1994, vol. 42, no. 2.
Edwards T.C., Steer M.B., “Foundations of interconnects and microstrip
design”, John Whiley& Sons Ltd, 2000, pp. 182-184.
Eisenstadt W. R., Eo Y., “S-Parameters-Based IC interconnect transmission
line characterization”, IEEE Transactions on Components, Hybrids, and
Manufacturing Technology, 1992, vol. 15, no. 4.
Engen G. F., Hoer C. A., “Thru – Reflect – Line an improved technique for
calibrating the dual six – port automatic network analyser”, IEE Transactions
Microwave Theory and Techniques, 1979, vol. MTT-27, No. 12.
197
Eul H.J, Schiek B., “Thru reflect match: one result of a rigorous theory for
de-embedding and network analyzer calibration”, Proc. 18th European Microwave
Conference, 1988, pp. 909-914.
Fantom A., “Radio frequency and microwave power measurement”, Peter
Peregrinus Ltd, 1990.
Fitzpatrick S., “Error Models for Systems Measurement”, Microwave
Journal, 1978, pp 63-66.
Franzen N.R, R. A. Speciale, “A new procedure for system calibration and
error removal in automated S-parameter measurements”, Proc. 5th European
Microwave Conf. Hambourg, Allemagne, 1975.
Franzen N.R,Speciale R.A, “Accurate scattering parameter measurements
on nonconnectable microwave networks”, Proc. 6th European Microwave Conf.,
Rome, Italie, 1976.
Gardiol .F, Traité d’électricité volume XIII Hyperfréquences, Edition
Georgi, 1981, p 202.
Gupta K. C., Garg R., Bahl I., Bhartia P., “Microstrip lines and slotlines”,
Artech House, 1996, p 388.
Heinrich W., “Full-wave Analysis of Conductor Losses on MMIC
Transmission Lines”, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques,
1990, vol. 38, no. 10, pp. 1468-1472.
Heymann P., Printzler H., Schnieder F., “De-embedding of MMIC
transmission-line measurements”, IEEE MTT-S Digest, 1994.
Holloway C. L., “Internal inductance and conductor loss associated with the
ground plane of microstrip line”, IEEE Transactions on Electromagnetic
Compatibility, 1997, vol. 39, no. 2.
Huang J. H. S., Sijher T. S., Beh J. K., “The impact of capacitors selection
and placement to the ESL and ESR”, International Symposium on Electronics
Materials and Packaging, 2005, pp. 258-261.
198
Ingalls M., Kent G., “Monolithic capacitors as transmission lines”, IEEE
Transactions on Microwave Theory and Techniques, 1987, vol. 11, pp. 964-970.
Kaiser R. F., Williams D. F., “Sources of error in coplanar-waveguide TRL
calibrations”, 54th ARFTG Conference Digest, 1999.
Kerns D. M., “Determination of efficiency of microwave bolometer mounts
from impedance data”, J. Research NBS, Juin 1949, vol. 42, pp. 579-585.
Lakshminarayanan B., Gordon H. C., Weller T. M., “A substrate-dependent
CAD model for ceramic multilayer capacitors”, IEEE Transactions on Microwave
Theory and Techniques, 2000, vol. 48, no. 10, pp. 1687-1693.
Legrée Marc, “Etude thermodynamique d’une monture bolométrique”,
Rapport de DEA Université de Marne-La-Vallée, 2003.
Lindeman M. A., Barger K. A., Brandl D. E., Crowder S. G., Rocks L.,
McCammon D., “Complex impedance measurements of calorimeters and
bolometers: Correction for stray impedances”, Review of Scientific Instruments,
2007.
Lu J., Ou L., “Modeling ceramic and tantalum capacitors by automatic
SPICE parameters extractions”, APEC 2005, vol. 3, pp. 1933-1937.
Majewski M. L., Rose R. W., Scott J. R., “Modeling and characterization of
microstrip-to-coaxial transitions”, IEEE Transactions on Microwave Theory and
Tech., 1981, pp. 799-805.
Marks R. B., “A Multiline method of network analyzer calibration”, IEEE
Transactions on Microwave Theory and Techniques, 1991, vol. 39, no. 7, pp.
1205-1215.
Mondal J. P., Chen T-H., “Propagation constant determination in
microwave fixture de-embedding procedure”, IEEE Transactions on Microwave
Theory and Techniques, 1988, vol. 36, no. 4, pp. 706-714.
Pozar D. M., “Microwave Engineering”, Addison-Wesley Publishing
Compagny Edition, 1990.
199
Rehnmark S., “On the calibration process of automatic network analyzer
systems”, IEEE Trans. on Microwave Therory and Techniques, 1974, pp. 457-
458.
Sakabe Y., Masami H., Takefumi O., Canner J. P., “High frequency
measurement of multilayer ceramic capacitors”, IEEE Transactions on
Components, Packaging and Manufacturing Technology, 1996, vol. 19, no. 1.
Schnieder F., Heinrich W., “Model of thin film microstrip line for circuit
design”, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 2001, vol. 49,
no. 1. pp. 1584-1587.
Smith L. D., Hockanson D., Kothari K., “A transmission-line model for
ceramic capacitors for CAD tools based on measured parameters”, Electronic
Components and Technology Conference, 2002, pp. 331-336.
Souza J. R., Talboys E. C., “S-Parameters characterization of coaxial to
microstrip transition”, IEE Proc., 1982, vol. 129, no. 1, pp. 130-136.
Susman L., “A new technique for calibrating dual six-portnetworks with
application to S-parameter measurement, IEEE MTT-S Int. Symp. Dig., 1978, pp.
179-181.
Thévenot O., Saury L., Trappon G., “Influences des câbles de liaison sur les
mesures d’impédance en deux et quatre paires de bornes”, Bureau National de
Métrologie-Laboratoire Central des Industries Electriques, 2001.
de Vreede L. C. N., de Kok M., van Dam C., Tauritz J. L., “A high
frequency model based on the physical structure of the ceramic multilayer
capacitor”, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 1992,
vol.40, no.7, pp. 1584-1587.
Williams D. F., Marks R. B., “Characteristic impedance determination using
propagation constant measurement”, IEEE Transactions Microwave and Guided
Wave Letters, 1991, vol. 1, no. 6, pp. 141-143.
Williams D. F., Marks R. B., “Transmission line capacitance measurement”,
IEEE Transactions Microwave and Guided Wave Letters, 1991, vol.1, no. 9, pp.
243-245,.
200
Williams D. F., Marks R. B.,“A general waveguide circuit theory”, Journal
of Research of the National Institute of standards and Technology, 1992, vol. 97,
no. 4, pp. 543.
Williams D. .F., Marks R. B., “Accurate transmission line characterization”,
IEEE Microwave and Guided Wave Letters, 1993, vol. 3, no. 8.
Williams D. F., Marks R. B., “User’s manual program CAP rev. 1.31”,
NIST report, 1995.
Zelen M., “Linear estimation and related topics”, A Survey of Numerical
Analysh, J. Todd, Ed. New York McGraw-Hill, 1961, pp. 909-914.
201
Publications
F. ZIADE, A. KAZEMIPOUR, D. ALLAL, E. BERGEAULT, “Faisabilité
d’un étalon calculable de puissance HF”, Journées Nationales Microondes,
Nantes, Mai 2005.
F. ZIADE, A. KAZEMIPOUR, D. ALLAL, E. BERGEAULT, “Optimized
time domain simulator for a calculable RF power standard”, AMCTM, Lisbonne,
Juillet 2005.
F. ZIADE, A. KAZEMIPOUR, D. ALLAL, M. BOURGHES, E.
BERGEAULT, “Toward a calculable RF power standard”, CPEM, Turin, Juillet
2006.
F. ZIADE, A. KAZEMIPOUR, D. ALLAL, M. BOURGHES, E.
BERGEAULT, “Wattmètre en technologie coplanaire, application métrologique”,
Journées Nationales Microondes, Toulouse, Mai 2007.
F. ZIADE, A. KAZEMIPOUR, D. ALLAL, M. BOURGHES, E.
BERGEAULT, “RF power measurement: calculable primary standard”, CPEM,
Boulder (Colorado), Juin 2008.
![SEPTEMBRE 224 300 interruptions volontaires de grossesse en … · 2020-02-11 · interruptions médicales de grossesses [IMG] et IVG), n’est pas calculable, les données n’étant](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/5f7d436afc7ebf2b734fb3d3/septembre-224-300-interruptions-volontaires-de-grossesse-en-2020-02-11-interruptions.jpg)
