TP automatique MATLAB

TP automatique 2012/2013

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Généralités............................................................................................................2

Cahier des charges................................................................................................2

Rappel Théorique..................................................................................................3

1) Correction par avance de phase................................................................3

2) Détermination des paramètres...................................................................4

Etude pratique........................................................................................................6

I. Vérification des paramètres du système non corrigé..............................6

1) Etude du système en boucle ouverte........................................................6

2) Etude du système en boucle fermée........................................................8

3) Conclusion..............................................................................................11

II. Détermination des paramètres des régulateurs ....................................11

1) Détermination de Kc.........................................................................11

2) Détermination du facteur d'avance de phase "a"...........................13

3) Détermination de "T" du correcteur...............................................15

4) Détermination de la fonction de transfert du correcteur................16

5) Conclusion.......................................................................................23

III. Conception et simulation du circuit électrique du correcteur.............24

Conclusion.........................................................................................................27


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Généralités

Un servomoteur est un moteur électrique muni d'engrenages et commandé par un circuit

interne de détection de position. Outre la tension d'alimentation, on applique à un servomoteur

un signal de commande qui lui indique la position à prendre. Il surveille donc lui-même son

attitude et la maintient ou la modifie, selon les ordres. Ce type de machines est utilisé

couramment dans le robotique .

L'amélioration de la précision du système c'est à dire la position précis à prendre nous amène

à concevoir un correcteur avance de phase pour le control de servomoteur et répondre aux

exigences de cahier des charges. Pour cela nous allons déterminer les paramètres du

correcteur avance de phase et étudier son effet sur le système à l'aide du logiciel MATLAB

d'une part, et d'autre part nous allons établir son schéma électronique pour sa réalisation.

Parmi les Objectifs de ce TP sont:

Simulation de fonctions de transferts sous MATLABR

Familiarisation avec la structure de correction avance de phase.

Analyse des performances d'un système après correction

Réalisation du correcteur sous forme de circuit électronique

Cahier des charges

On se propose d’étudier le control d’un servomoteur dont fonction de transfert liant la

tension appliquée à la position est:

On désire concevoir un correcteur avance de phase de tel sorte que :


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avec :

le cahier de charge exige d'avoir les critères suivants après la correction du système :

1. Erreur de vitesse ≤ 0.25 s-1

2. Marge de phase ≥ 45°

3. Marge de gain ≥ 8dB

Rappel Théorique

1) Correction par avance de phase

Un correcteur par avance de phase est défini par sa fonction de transfert sous la forme :

diagramme de Bode d'un correcteur par avance de phase :


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Figure1 : Diagramme de Bode du correcteur avance de phase

Resultats Principaux :

2) Détermination des paramètres

Dans cette partie, on procède les étapes suivantes pour calculer les différents paramètres

inconnus de la fonction de transfert du correcteur :

1- Définir par une condition sur la précision de la boucle le gain Kr et repérer la phase (0dB)

pour la pulsation (0dB) de fonction du transfert de boucle ouverte avec seulement Kr .

2 - Calculer la marge de phase résultante M r=180+( 0dB) et l’apport de phase du correcteur

max=M desiré - M r pour respecter la marge de phase désirée M desiré .

3 - En déduire

et

avec :


5

4 - vérifier que la marge de phase répond aux exigences de cahier des charges. S'il ne répond

pas on refait le calcul de troisième étape.


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Etude pratique

I. Vérification des paramètres du système non corrigé

1) Etude du système en boucle ouverte

la fonction du transfert en boucle ouvert est :

pour tracer cette fonction sous MATLAB on utilise certains codes :

code :pour définition de la fonction du transfert

code :tracage de diagramme de Bode de la fonction du transfert


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code : la marge de phase et celle du gain

donc la marge du gain MG =11 dB et la marge de phase correspondante est MF =47,4°

code : calcul des pôles de la fonction du transfert

le système est en limite de stabilité car il y a un pole nul

code :le gain de la fonction du transfert

le système est instable , le gain est infinie. dans ce cas on ne parle pas du gain.


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code : carte des poles

Il y a un pole nul (sur l'axe des imaginaires) donc le système est instable.

2) Etude du système en boucle fermée

la réponse indicielle du système bouclé à retour unitaire.

code : calcul du numérateur et dénominateur de la nouvelle fonction de transfert en boucle

fermée

code : calcul de la fonction du transfert en BF


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code : Réponse indicielle

Le dépassement est : D1=0,21

Temps de réponse à 5% est : Tr5% =8,49 s

stabilité en boucle fermée:

on utilise le critère de ROUTH :

on a


10

p3 1 10

p2 11 10

p 9,1 0

1 10 0

Le premier colonne est constitué des valeur de signe positive, alors le système est stable en

boucle fermée selon le critère de ROUTH.

code : Réponse à une rampe

l'erreur de vitesse est : ɛv =8-7,006 =0,994 s-1

.


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3) Conclusion

On remarque que l'erreur de vitesse est supérieur à celui demandé par cahier de charge 0,25s-1

donc on est obliger d'ajouter un correcteur pour améliorer la précision du système tout en

répondant à ce qui est demandé par le cahier des charges.

II. Détermination des paramètres des régulateurs

Le correcteur proposé pour résoudre ce problème de précision est le correcteur à avance de

phase. Ce correcteur permet d'ajouter une phase au moment où le gain en décibel est nul,

autrement dit il permet d'augmenter la marge de phase, d'où le système devient plus stable.

Schéma fonctionnel :

1) Détermination de Kc

Le système est en boucle fermée précédé d'un correcteur proportionnel Kc.

On sait que : ɛv =E/(Kc .K) avec K=1 et E=1

ɛv =1/Kc ≤ 0,25 donc :

On prend donc :

Kc ≥ 4

Kc = 4


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code : réponse à une rampe

ɛv =9,4-9,179=0,221 s-1

≤ 0,25 s-1

NB : Condition sur l'erreur de vitesse est vérifié pour Kc=4.

Remarque : l'augmentation du gain rend le système plus précis(la sortie suit l'entrée).


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2) Détermination du facteur d'avance de phase "a"

plan de Bode: la réponse en Boucle ouverte du système avec correcteur proportionnel

Kc

code :

les marges de stabilité

la marge de phase MF =17,7° et marge de gain est MG=2,75 dB et wcg = 3.1623

rad/s et wcp = 1.8612 rad/s.


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Si le système est en boucle fermée sans correcteur on a :

Remarques :

1 - on remarque les marges de phase et de gain ont diminué lorsqu'on a introduit le

correcteur proportionnel, alors le système s'approche de l'instabilité en augmentant le

gain du système.

2 - la marge de phase M =17,7° ≤ 45° ,le système ne respecte pas le cahier du

charge.

Phase ajouté par correcteur max

demandé = sys+ max alors : max = demandé - sys

max =45-17,7

En pratique, on ajoute 5° à 12° comme sécurité à la marge de phase souhaité.

On va ajouté ajouté =(5°+12°)/2 =8,5°

max =27,3°


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donc M demandé = 45+8,5 =53,5° donc max =53,5-17,7°

Calcul de a :

alors :

3) Détermination de "T" du correcteur

La détermination de T consiste à résoudre l'équation :

Le gain du système sera décalé de HdB = - 20log( ) = -5,81 .

D'après le diagramme de Bode de la figure suivante on :

c = 2,67 rad/s

a=3,818

max=35,8°


16

Et

donc :

4) Détermination de la fonction de transfert du correcteur

La fonction de transfert du correcteur est :

La réponse fréquentielle du correcteur :

Code : Réponse fréquentielle du correcteur

T=0,19 s

C(p) =


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Insertion du correcteur la boucle

Schéma fonctionnel :

Réponse fréquentielle du système corrigé

code : Fonction de transfert en boucle ouvert et fermée du système corrigé


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code : Bode de fonction de transfert du système corrigé


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La marge de gain MG = 13,4 dB et marge de phase est M = 41,7 °

Remarque : On remarque la marge de phase obtenu avec correcteur 41,7 ° est inferieur à celui

demandé par cahier des charges qui est égale 45°.Pour cela on va jouer sur la valeur de a.

Pour augmenter a, on augmente la marge de sécurite. Donc on prend marge de sécurité de

20°.

max = demandé - sys

max =(45+20)-17,7 = 47,3°

et

- Détermination de T : on a HdB = - 20log( ) =- 8,16 dB

D'après le diagramme de Bode de la figure suivante on trouve :

a=6,54

c = 3,07 rad/s


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et

donc la nouvelle valeur de T est :

La fonction du transfert du nouvel correcteur est :

La réponse fréquentielle du nouvel système

= 0,127s

C(p) =


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la réponse à échelon du système avec et sans correcteur

code utilisé :

L'erreur statique

On sait que ɛp = E( )-S( ) =1-1=0 (c'est à partir du graphe)

La réponse à une rampe unité du système avec et sans correcteur


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code utilisé :

La réponse fréquentielle du nouvel système

Code utilisé :


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Remarques :avec les nouvelles valeurs de A et T on trouve :

La marge de phase :

C'est une valeur supérieur à 45° ,alors aux niveau de marge de phase le correcteur répond aux

demandes de cahier des charges.

et on a aussi et

Donc ce correcteur répondre au cahier des charges.

5) Conclusion

La phase ajoutée par le correcteur à avance de phase, pour augmenter la marge de phase, n'est

pas appliquée au zéro de HdB, parce que le gain de fonction de transfert du correcteur fait

décaler le zéro de HdB, cela conduit à application d'une marge de phase inférieur à la phase

maximal apportée par le correcteur, pour cela il faut ajouter des marges de phase de sécurité

pour répondre aux exigences de cahier des charges.

M = 49,6

°

ɛp =0 ɛv =0,221

s-1


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III. Conception et simulation du circuit électrique du

correcteur

1) Conception

Le circuit utilisé pour la correction est un correcteur à avance. Il est constitué de deux étages :

- Le premier étage nous donne la forme du correcteur avec les différentes constantes (a et T),

mais inversée. Sa transmittance est :

Pour l’utiliser comme correcteur à avance de phase il faut que :


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- Le deuxième étage est circuit inverseur, sa fonction de transfert est :

La fonction de transfert de l’ensemble est :

La fonction de transfert de notre correcteur est (obtenue théoriquement):

Pour le réaliser on va utiliser les composantes suivantes :

R1=R2=R4=1

R3=4

C1=830

C2=127

2) Simulation

Pour simuler le correcteur nous avons utilisé le logiciel MULTISIM :

Diagramme de bode de correcteur avance de phase :


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Conclusion

D’après les résultats de la simulation, on remarque que les paramètres déterminés

théoriquement sont bien choisi, ainsi que les composantes électroniques.


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Conclusion L’objectif de ce TP était de concevoir un correcteur à avance de phase qui respect les

différentes exigences du cahier des charges.

En comparent les réponses obtenus du système avant et après correction on constate que :

Au début le système a présenté une marge de phase de MF =47,4° et et une mage de gain de

MG=20,8 db, mais l’erreur de vitesse était très grande par rapport à celle demandée par le

cahier des charges, on a trouve que l'erreur de vitesse est : ɛv =1 s-1

supérieur à 0,25s

-1 .

Lorsque nous avons corrigé l’erreur de vitesse à l’aide d’un correcteur proportionnel, les

marges de stabilité sont dégradées MF =17,7° et MG=8,79 db , d’où la nécessité d’utilisation

du correcteur à avance de phase .on a choisit une marge de sécurité de 8,5°on a déterminer les

paramètres de correcteur a et T :

Après l’utilisation du correcteur, nous avons obtenu une marge de gain de et une marge de

phase : MG=13,4 db , MF =41,7° 45 .

Donc les exigences du cahier des charges sont pas respectées.

On va changer la valeur de a :

Apres modifications des paramètres on a trouvé les valeurs suivants :

MG=14,4 db , MF =49,6° 45 .

Donc les exigences du cahier des charges sont respectées.

En plus, en comparant les réponses indicielles du système on remarque que :

- Après l’application du correcteur complet, le système est devenu plus rapide, car le

correcteur est en même temps correcteur à avance de phase et correcteur proportionnel dérivé,

donc il accélère la réponse du système son temps de réponse a diminué 1,45 s.

Finalement on a fait la simulation de ce correcteur a l’aide de logiciel Multisum où on a

trouvé que les paramètres déterminés théoriquement sont bien choisi, ainsi que les

composantes électroniques.

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