BUREAU DE RECHERCHES GÉOLOGIQUES ET MINIÈRES

SERVICE GÉOLOGIQUE NATIONAL

B.P. 6009 - 45060 Orléans Cedex - Tél.: (38) 63.80.01

TRAITEMENT D'IMAGESPAR TRANSFORMÉE DE FOURIER OPTIQUE

- APPLICATIONS AUX SCIENCES DE LA TERRE -

par

E.H. SOUBARI

Département minéralogie, géochimie, analyses

B.P. 6009 - 45060 Orléans Cedex - Tél.: (38) 63.80.01

79 SGIM 552 M G A Septembre 1979

Réalisation : Département des Arts Graphiques

S O M M A I R E

Pages

INTRODUCTION 1

II - LES APPLICATIONS DE LA PHOTONIQUE EN GEOSCIENCES,,.,,,,,, ,,«,,,, 3

II. 1. Analyse spatiale par diffraction photonique,.,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 3

II.2. Le filtrage linéaire des fréquences; et orientations,.,,,,,.,,,,, 4

2.1. Filtrage directionnel , 4

2. 2. Filtrage en amplitude, ,.,..,.....,. 4

2.3. Filtrage en amplitude et en pha.se,,.,...,.,,,.,..,,..,.,,., 5

2.4. Fil trage en phase.... t....................,,.,..,,.,,,,,... 6

2.5. La reconnaissance des formes et l'étude des degrésde ressemblance par l'autocorrélation ...,,.,,.,,..,..,,.,.,. 6

2.6. L'amélioration des qualités des- images-*,,.,,.,,,,,,,,.,,.,, 7

III - CORRELATION DES DONNEES GEOPHYSIQUES, GEOLOGIQUES, TOPOGRAPHIQUESET TELEDETECTION AEROSPATIALE, ,,..,,.,,,, ,,.,,., 8

IV - ANALYSE DE LA DISTRIBUTION DES. TAILLES ET FORMES, ,,.,,,,,.,,,,,,,,,,, 8

V - ANALYSE DE LA TEXTURE DES ROCHES.,,,,,.,,,,,., ,,,,,.,,,,,,,,,,,, 8

VI - ETUDE DE L'ETAT DES SURFACES..,.,., , ,.,,,.,,,,,,,,,,,,,,, 9

VII - CONCLUSION ,.,,.,..,,., ,,,,,.,,,.,.,,,. 9

ANNEXE I - Figures 10

ANNEXE II - Rappels sur la transformée de Fourier et sa mise en oeuvrepar voie optique 36

INTRODUCTION

Le traitement photonique de l'information en lumière cohérente prend

actuellement une extension considérable grâce aux développements technologiques

des sources lasers. L'avantage de cette méthode est le traitement instantané d'un

document en deux dimensions compatible avec la visualisation en temps réel des

données intermédiaires et traitées. C'est une technique très rapide qui peut

véhiculer une quantité d'informations jamais atteinte par les autres méthodes

(électronique et numérique] environ de 10 points sur un transparent de 24 x 36 mm 'i

Cette quantité est trop élevée pour un traitement autre qu'analogique.

L'optique cohérente est particulièrement adaptée aux traitements des images,

technique actuellement en plein développement grâce aux vols aérospatiaux (avions,

ballons, satellites,...]. Elle est largement répandue et utilisée comme moyen de

prétraitement rapide lorsqu'on doit traiter un grand nombre de clichés photographiques,

C'est ainsi qu'un'système photonique de traitement d'images permettra ibe filtrage

linéaire d'une image entière, à condition qu'on sache, bien sûr, synthétiser des

filtres spatiaux adaptés (hologrammes binaires ou grisés de FOURIER générés par

ordinateur)* Dans ce cas, les difficultés ne se situent plus, comme en Informatique

au niveau du traitement, mais plutôt au niveau du transfert de l'Information.

Les méthodes photoniques, malheureusement, sont moins souples et moins

précises que les méthodes électroniques et numériques de l'Analyse d'Images

(réglages optiques très délicats, lourds, précision mécanique de l'ordre de la

longueur d'onde utilisée, problèmes de vibration d'ordre thermique, mécanique,...)..

Toutefois, ces dernières exigent des entrées et sorties assez complexes

et coûteuses. On s'aperçoit qu'il est donc séduisant de considérer des systèmes

hybrides par la combinaison de la Photonique, de l'Electronique et de l'Informatique

dans lesquels les rôles respectifs seraient correctement répartis :

- Les opérations de filtrage confiées à la Photonique ;

- Les calculs les plus compliqués ou nécessitant une précision particulière

confiée à l'Electronique et l'Informatique.

Les trois méthodes sont souvent complémentaires et les points forts de l'une

se trouvent comme points faibles de l'autre : les opérations très compliquées et

- 2 -

coûteuses, comme la transformation de FOURIER en deux dimensions, malgré les

améliorations des algorithmes réalisés ces dernières années, sont obtenues

d'une façon instantanée par voie photonique et visualisée en temps réel ;

par contre, la soustraction et l'addition sont pour le moment très difficile

à réaliser par la photonique mais facilement réalisables par les méthodes

numériques.

La base d'un système hybride sera donc un banc optique de filtrage

linéaire [comme celui mis au point au B.R.G.M./M.G.A. qui est à ma connaissance

parmi les meilleurs ou même peut être le meilleur en FRANCE), en interaction

avec un calculateur numérique ou ordinateur. Un tel système apporte une extension

des possibilités de traitement classique, extension qui peut être envisagée d'un

point de vue informatique (calcul et optimisation des filtres spatiaux adaptés),

et photonique [filtrage par hologrammes synthétiques). Ce dernier point sera

réalisé en collaboration avec l'Université de STRASBOURG, dans le cadre du

Consortium de Traitement d'Images, qui a pris beaucoup d'importance avec la

création de l'E.P.A. (European Photonic Association) : Association Européenne

de Photonique sous la présidence de Monsieur le Professeur M. GROSMANN, dont le

siège social est à STRASBOURG, En plus, le laboratoire d'Applications Electroniques,

avec l'aide du Groupe de Télédétection Aérospatiale, est en train d'achever la mise

au point d'un analyseur Flying-Spot de 3 000 x 3 000 pts de 20 ym de résolution2

qui permettra d'analyser une transparence de 60 x 60 mm par zone de 512 x 512 points.

Dans ce laboratoire, l'acquisition d'un laser impulsionnel prévue pour

l'année 1980 étendra les applications de traitement optique de l'Information aux

objets mouvants même à très grandes vitesses.

- 3 -

II - LES APPLICATIONS DE LA PHOTONIQUE EN GEOSCIENCES

Les applications sont très vastes et des développements considérables sont

réalisés dans les domaines de l'imagerie, de la cartographie et l'archivage par

mémorisation holographique.

On peut distinguer six types d'intervention •.

II.1. Analyse spatiale par diffraction photonique

C'est une technique très adaptée à l'analyse spatiale des répartitions

statistiques des fréquences et les orientations dans un document Cimages, cartes,

dessins de traits].

Les orientations et les espacements des contours ou des traits peuvent

être analysés par la diffraction photonique.

Un document cartographique ou photographique réduit sur format "diapositive"

24 x 36 mm^ : transparent binaire Coartes géophysiques et géologiques] ou à

luminance variable [photographie aérienne et télédétection aérospatiale] fonctionne

comme une grille de diffraction à travers duquel une lumière cohérente est transmise.

Avec une optique appropriée (objectif de transformation de FOURIER] se produit le

phénomène de diffraction de FRAUNHOFER qui représente analytiquement la transformée

de FOURIER des amplitudes complexes bidimensionnelles associées au transparent.

Cette transformation révèle la distribution des orientations et des fréquences spa-

tiales des lignes ou des niveaux de gris de l'image originale Csignal bidimensionnel

d'entrée]. L'analyse spatiale par la photonique peut s'avérer un outil utile pour

fournir des renseignements qualitatifs par visualisation en temps réel et

quantitatif par des mesures physiques et géométriques grâce à une connection à des

appareils de mesures (nondisponibles, sur le système actuel]. Ces informations sont,

en général noyées parmi d'autres non utilisables ; ce sont par exemple les directions

préférentielles d'un réseau de fractures ou d'un réseau hydrographique, d'une carte

géophysique, d'une section sismique, la détection des structures périodiques, le

pourcentage ou même le nombre d'objets identiques présents sur les images, etc..

- 4 -

Sur le plan pratique, un photomultiplicateur ou détecteur quadratique

explore par translation ou rotation le spectre photonique dû à la diffraction

optique.

Il s'agit, seulement, de placer un filtre directionnel ayant une ouver-

ture appropriée, dans le plan spectral, et de mesurer à l'aide du photomètre la

quantité de lumière qui traverse le filtre. A partir de ces mesures physiques,

on établit une rosace donnant la répartition en pourcentage et en orientation

des fractures ou courbes. Cette rose est très utile pour les géologues pour

l'interprétation sur le terrain. Dans ce sens, le système est opérationnel

depuis six mois au département Minéralogie, Géochimie et Analyses.

II.2. Le filtrage linéaire des frequences et orientations

Dn distingue plusieurs sortes de filtrages linéaires :

2.1. Filtrage directionnel

Par l'introduction d'un masque directionnel dans le plan spectral, on

modifie la structure de la transformée de FOURIER du signal d'entrée ; avec une

optique additionnelle, on reproduit une image filtrée en direction pouvant même

aller jusqu'au balayage par secteur (10 ou 20 degrés par exemple] souvent utilisé

par les géologues.

2.2. Filtrage en amplitude

Ce sont des opérations de convolution facilement réalisables par la photo-

nique.

2.2.1. Filtrage passe-bas : opération permettant la restitution des basses

fréquences spatiales [par exemple l'élimination d'un bruit périodique

caractéristique des hautes fréquences].

2.2.2. Filtrage passe-haut : opération inverse de la précédente qui permet

de restituer les hautes fréquences. Camélioration des contours, amélioration

du contraste, élimination d'un flou, mise au point...].

- 5 -

2.2.3. Filtrage passe-bande : opération pour la restitution des fréquences

moyennes.

2.2.4. Filtrage passe-peigne : opération pour la restitution de plusieurs

bandes de fréquences.

2.3. Filtrage en amplitude et en phase

C'est l'opération de convolution la plus générale, elle très rapide mais

délicate à réaliser à cause de la précision mécanique demandée CE << X).

Nous avons déjà réalisé, grâce au centre de calcul de STRASBOURG, quelques

opérateurs.mathématiques de convolution qui feront l'objet de ma thèse : les

principales difficultés sont apparues au niveau du transfert de l'information sur

les documents photographiques Cobjectifs de photoréduction adaptés à l'holographie,

emulsions photographiques spéciales, traitements chimiques très délicats,...].

Ces opérateurs sont :

Opérateur Laplacien H (u, v) = - 4 n2 (u 2 + v2)

Opérateur Gradient H Cu, v} = 2 IlCv - ju) avec j = /- 1

= 2 (u2 • v 2 ) 2 exp [j Artg C- - )]v

Différenciation du 1er ordre ÍH (u, v) = 2 j II u suivant l'axe des x

|H (u, v) = 2 j n v suivant l'axe des y

Différenciation du 2è ordre ÍH Cu, v) = - 4 n2 u2 ou

|HTCu, V) = - 4 n2 v2

Opérateurs exponentiels et Gaussiens

H (u , v ) = e x P

Cu

n = ± 2 Opérateur Gaussien

n = ± 1 Opérateur exponentiel (Maxwellien)

- 6 -

Les filtres hologrammes correspondant à ces opérateurs mathématiques de

filtrage linéaire ont été synthétisés dans le cadre de mon sujet de thèse dont

l'un des thèmes est le suivant ': simulation mathématique des hologrammes numériques

de FOURIER, par ordinateur.

2.4. Filtrage en phase

Les objets caractérisables par des variations d'indice de réfraction et

d'épaisseur c'est-à-dire par un chemin optique (ne) spécifique sont appelés des_

objets de phase. Ces objets dans les conditions habituelles parfaitement trans-

parents, ne présentant pas de contraste avec le champ qui les entoure sont donc

invisibles par les méthodes d'observation classiques Créflectométrie, transmit-

tance). La méthode de contraste de phase ou la strioscopie nous a permis déjà de

visualiser certains minéraux transparents (fluorine, quartz sur frotti) grâce à

la transformation de HILBERT-FOUCAULT par voie photonique. On espère, dans

l'avenir, résoudre, au moins partiellement le problème de la reconnaissance et de

l'identification des minéraux transparents.

Dans ce but, un complément d'appareillage serait souhaitable. L'appareil acheté

récemment par le B.R.G.M. pour la fabrication des lames minces de haute précision

devrait contribuer à une meilleure résolution.

2.5. La reconnaissance des formes et l'étude des degrés de ressemblance

par 1'autocorrélation

C'est le cas le plus général du filtrage linéaire qui montre la puissance

des méthodes photoniques au niveau de la reconnaissance des formes. On doit agir

sur l'amplitude et la phase en même temps. On l'appelle actuellement le traitement

holographique, traitement qui souffre du transfert de l'information entre photonique

et électronique (conversion d'un signal incohérent en signal cohérent). C'est un

problème qui sera résolu ultérieurement par des modulateurs électro-optiques cons-

tituant un support d'information efficace et réutilisable plusieurs fois (films

thermoplastiques, cristaux liquides,, Pockels Read out Optical Modulator "PROM",

- 7 -

élastometrie, etc...). La photonique nous permet la détection et la

localisation d'un signal noyé dans un bruit grâce à la réalisation numérique

ou analogique des filtres adaptés. Ces filtres comparent toutes les structures

sur une image avec la référence (signal de référence). Cette comparaison

s'étend à la forme, à la grandeur et à l'orientation mais pas a la position

de la structure recherchéeCinvariance du système photonique par translation).

On obtient dans le plan de l'Image des pics de corrélation plus ou moins

lumineux, qui donne le degré de corrélation entre la structure recherchée

et le signal d'entrée. ' •

2.6. L'amélioration des qualités des images

On peut effectuer par le système photonique toutes les opérations possibles

d'amélioration de qualité des images à condition de connaître le phénomène

responsable de la dégradation : turbulence atmosphérique, "bougé", mouvement

pendant la prise de vue:"flou", mise au point,aberrations,...).

L'amélioration du contraste des images et de leurs contours est obtenue

facilement par filtrage passe-haut (hautes fréquences) qui est équivalent à la

détection des changements brusques des niveaux de gris sur une image et qui sont

caractéristiques des hautes fréquences spatiales ; les contrastes nuancés sont

évidemment caractérisés par les fréquences moyennes. Ceci se traduit sur l'image

par le passage du noir au blanc pour les hautes fréquences (contrastes brusques)

et une couleur grise pour les contrastes nuancés. Donc, en supprimant les basses

fréquences, 3euls~~les passages- brusques apparaissent sur l'image filtrée et

réciproquement pour les passages grisés. Parfois, les techniques des filtres

passe-bande s'avèrent plus intéressantes pour éviter toute perturbation dans le

plan de l'image.

Les' défauts qui apparaissent dans les images correspondent aux défauts

de la fonction de transfert du système produisant les images. On peut en déduire

qu'en plaçant un filtre absorbant et déphasant (amplitude + phase) dans le plan

de filtrage du système photonique, on pourra supprimer partiellement les défauts

de ces images. Par la même méthode, on peut accentuer les détails fins dans les

images en affaiblissant les composantes spectrales correspondant aux basses fré-

quences et réciproquement pour les hautes fréquences.

Toutes ces opérations sont en cours d'étude au département M.G.A.

- 8 -

III - CORRELATION DES DONNEES GEOPHYSIQUES, GEOLOGIQUES, TOPOGRAPHIQUES ETTELEDETECTION AEROSPATIALE

Cette branche ne peut être abordée qu'avec la collaboration effective

des départements concernés et surtout la fourniture des documents (géophysique,

géologique, photogéologie). La photonique et l'analyse spatiale permettent

notamment de faire des corrélations entre les différentes données et de contri-

buer aux interprétations structurales.

Plusieurs ont été ainsi réalisés en géologie structurale pour la quantifi-

cation des linéaments relevés à différentes échelles (Bassiès, schistes de l'Albi-

geois, gîtes de fluorine-barytine du Morvan et Haute-Loire, socle granitique de

Montmarault en Massif Central, socle métamorphique de l'Uzerche en Corrèze, et

celui de Saint-Céré-la Capelle-Marival en Lot).

Une étude spéciale en collaboration avec la division télédétection a montré

l'intérêt du système optique pour l'exploitation de radargraphie ; les résultats

ont fait l'objet de deux publications aux U.S.A. (Side Looking Airborne Radar

Image Interpretation and Geological Mapping : Problems and Results by J.Y. SCANVIC

and E.H. SOUBARIà et (Optical Image Processing by Digital Holography and Remote

Sensing Applications by E.H. SOUBARI and M. GROSMANN, P. MEYREVIS de l'Université

de Strasbourg). Il a été montré notamment que le traitement direct du document brut

fournissait des directions préférentielles identiques à celle obtenue à partir de

l'interprétation des photogéologues.

IV - ANALYSE DE LA DISTRIBUTION DES TAILLES ET FORMES

Le système photonique permet de faire un comptage des formes à partir de

l'analyse spectrale optique. A l'aide d'un balayage microdensitométrique, on trace

un profil de l'intensité lumineuse qui est liée à la morphologie des grains ou

ouvertures. L'analyse est très facile pour les formes géométriques simples [cercles,

carrés, rectangles...). Il est possible de calculer le nombre de formes Identiques

sur une image à partir des mesures physiques dans le plan de la transformée de FOURIER,

V - ANALYSE DE LA TEXTURE DES ROCHESPar la comparaison des transformées de FOURIER étalons qu'on peut générer par

ordinateur, on peut analyser les textures des roches.

- g -

VI - ETUDE DE L'ETAT DES SURFACES

La photonique constituB une méthode de contrôle non destructive des états

de surface. Elle permet l'étude des paramètres suivants :

- rugosité

- planéité

- parallélisme des lames minces (par contrôle de la variation de l'épaisseur]

- éventuellement variation des indices de réfraction par mesure de la phase

tphasémétrie).

VII - CONCLUSION

Les exemples énumérés montrent la large gamme des domaines concernés par

le traitement photonique de l'information.

Cette approche doit être considérée comme complémentaire des moyens d'analyse

d'images classiques, puisqu'elle introduit des notions nouvelles liées aux fréquences

spatiales et à leur répartition angulaire.

Le banc de traitement optique s'intègre donc parfaitement dans le cadre du

laboratoire d'analyse d'images qui se caractérise ainsi par un traitement souple

et rapide de l'information que l'on pourra opposer aux techniques numériques de

mise en oeuvre beaucoup plus lourde.

Les deux appareils -analyseur quantitatif d'images QTM 720 et banc optique-

doivent d'ailleurs être reliés dans un proche avenir afin de valoriser au mieux

leurs qualités réciproques.

En conclusion, on retiendra le caractère instantané des opérations effectuées

par voie optique et l'accès à des transformations ("améliorations" d'images) complexes

jusqu'alors réservées à l'informatique.

La photonique se présente ainsi comme un outil mathématique moderne,

extrêmement efficace pour un certain nombre d'applications industrielles, problèmes

géologiques, géophysiques et même géographiques.

Il faut souligner que la multiplicité des opérations accessibles implique une

collaboration étroite avec les spécialistes concernés qui seuls pourront juger de

l'intérêt des méthodes proposées et ainsi contribueront à valoriser cet outil en

plein développement.

A N N E X E I

Figures

Sourcecoherente

LASER He-Ne

X = 633 flrn

Télescope de

collimatiön

50 x

Image

originale

Analyse

Fourier

Optique

Filtre spatial

adapté

de Plan de

Fourier

(filtrage)

y( i

r

Filtre spatial

Directionnel

\f

Commande électronique

(Moteur Rotation de filtre

détecteur + enregistreur

>f

Diagramme polaire

(Rosace)

Synthèse

de Fourier

Optique

Im

fi

age

ltrée

•

+ photc

)

i

i

Laser He-Ne

£ CX = 633 nm

Ai te)

1 ' "UJI* >

PD 1

FSD

/ IF

OF

B=f4

SCHEMA, DU SYSTEME PHOTONIQUE DE TRAITEMENT D'IMAGES to

I

- 13 -

LEGENDE

f C

F . S

D

M l , M£

0

Oí, O2

0F

FSD

L

PD

E

P

PF

SF

Table antivibratoire

Laser He - Ne de 8 mW de 633 nm de longueur d'onde

Déclencheur + Obturateur

Télescope de collimation de 50 X

Filtre spatial de 20 ym de diamètre

Diaphragme à iris

Miroirs de rejet

Plan objet où est introduit l'image à analyser

Objectifs de transformation de FOURIER directe et inverse

de 310 mm de focale et 80 mm de diamètre

: Objectif de FRAUNHOFFER de 1 m de focale et

10 cm de diamètre

Filtre spatial directionnel

Lentille de focalisation

Photodétecteur

Enregistreur

Chassis polaroid.Plan de filtrage (Plan de Fourier)

Séparateur de faisceau

- 14 -

Fig. 1 : Le système photonique d'analyse d'imagespar transformée de FOURIER optique.(vue de l'ensemble)II est isolé grâce à la table antivibratoire.

- 15 -

Fig. 2 : Image ideale formée de deux réseaux croisés.

Fig. 3 : La figure de diffraction transformée de FOURIERde l'image ci-dessus. Elle produit la distribu-tion des orientations et espacements des données.

- 16 -

//// / / / / / // r / / / t /

• / / / / /

Fig. 4 : Image filtrée dans une direction donnée(restitution des lignes obliques seules par unfiltre spatial directionnel).

Fig. 5 : Une autre image filtrée restituant seulement leslignes horizontales.

- 17 -

W \

Fig. 6 : Une carte de fractures relevées sur la photographieaérienne ou image satellite.

Fig. 7 : Le spectre de FOURIER de la carte montrant la distributionbidimensionnelle des fractures dans le domaine géologique.

180

170

160

150

140

130 .

120 .

110

ÎOO

90 .

80 .

70

60

50

4O

3O

20

10

Le spectre d'énergie (balayages angulaires)(échelle arbitraire)

Echelle des orientations i1 mm = 2°65

00

Orientations/Nord

Fig. 8 90 e 18Oc 270' 36Oc

- 19 -

3403 30

320

200

30

40

50

60

E90

130

140

150

160

9 : Rose des directions ou Diagramme polaire

- 20 -

Fig. 10 : Image ou carte filtrée suivant la directionpréférentielle N - S

Fig. 11 ; Image ou carte filtrée suivant la direction préférentielleE - W

- 21 -

Fig. 12 : Image binaire synthétique

Fig. 13 Image filtrée ou filtrage passe-haut(restitution des contours)

- 22 -

Fig. 14 : Image d'un objet de phase (minéral transparent)

(lame mince avec frotti de quartz).

Image non filtrée ne montrant aucune trace de quartz.

Fig. 15 : Image filtrée visualisant les grains de quartzqui n'étaient pas visibles ci-dessus.

- 23 -

Fig. 16

a, b : formes géométriques

- 24 -

Fig. 16

desspectres de FOURIER optiques bidimensionnels indiquant l'allongement

formes et la distribution des fréquences spatiales.

- 25 -

Fig. 17 : Les courbes d'égale épaisseur d'une lame mince d'épaisseurvariable.

lüüíüí¡íiíii

:¡

liiiiiíil l II • I

. 1 1 1 .I I I I I

l l l l i i l i

i i i i i i i i

i • i • i • • i

• • » I • • 1 1 1 1 1 1 1• 1 1 1 • ( 1 1 I I I I I 1 1 I I II • I I • I I I I 1 1 1 I I 1 1 I I

• • » I I I I 1 1 I I I• * I • I t I • i I I I I I I I I I

III!I

I M I I• • • • • • •• • • I t I I

• • • I l l• • I I I II I I I I I

» I • I I I I I I I» i I • • ( I •• • • • • l i l

> • • • I • I •• • • • • l i l

» • • • • l i l

> • t • • I I Ii i i i l i M

I I I• • I I I• M i l

• • I l lI I I I I• • II I I" I I I

I l l• • • • I I I !I I I I I • I •

I • I I • LI I • I I I1 1 1 ( 1 1• I I I

I I I• t t • • • • t I I 1 | |« • • • • • • • • I I I !t « • * I I t I I I | | |» l l l l l l l l l l l l• • • • • • • I l l l l l" I l l l l l l l l t l• • • • • • • I l l l l l

I l l l l l• • M MIlllll• • M M• MillI II I IMM.I I I II II

• • • • • • • i i i

UNI I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I | | | | | | | |

I I I I I I I I 1 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I | I I | ! I

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ¡i 1 1 1 1 1 ! I

- 26 -

Fig. 18 : hologramme transformée de FOURIER

opérateur Gradient généré par ordinateur

F.T. = H(u, v) = 2 II C-v + iu)

F. T. = fonction de transfert

• • • • 1 1 1 • 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1• 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Fig. 19 : hologramme transformée de FOURIEROpérateur LAPLACIEN généré par ordinateurFiltre spatial passe-haut F. T. = H(u, v) = T.F. ) &(x, y/1 =

3y2 J-4

- 27 -

• II M l I II I I IM• I I I

I I t I • • • I • l •

i

: : : : :

IIIIIIIIIII I I I M

. M I N IHlllli

I I M lit(!••t I I I I I I I I I I I • I •I I I I I I I IMI t lM l t lI l l l l l l l t t l l t * » * « *IIMMIMIIMM

Fig. 20 :• hologramme de FOURIER opérateur exponentiel

Filtre spatial passe-bas j

F .T. = H (u, v) - _ o (U2 .+ V2}+ 2

fig. 21 : hologramme de FOURIER opérateur exponentiel

Filtre spatial passe-haut ,

F.T. = H (u, v) = -a (u2+ v1') T ^

I I 1 1 I I » * I I I I• I I I I I I i I I II 1 I I I 1 1 I « I I» ( I I t I • I • I t II I I I I I I 1 I I I II I I I I ( I I I I t II I 1 1 I I I I I I II I I I I I I I I I I -I I I I 1 1 I I I I I IM I I I I I I I II I I I I 1 I I I I I II I I I I I I I I t I '

l i l i l íl i l i l íl i l i l íl i l i l íl i l i l í . .1 1 1 1 1 1 1 1I I I I I I I II I I 1 1 I I• • ! H ¡

I I I 1 I I II I I I I I II I I I I I I

I I I I I II I I I I I1 I I I I I

¡!¡:¡!1 1 1 1l i l tt i l l

1 1 1 1I I I I1 1 1 1

í í í í i ÍI I I I I I II I I I I I II I I I I I II I I I I I II I I I I I I

I I Ii l lI I II I Il i t• i •

I I I I I I II I I I I I I

I I I I I I I II I I I I I I II I I I I I I II I I I I I I II I I I I I I Ii I I i I I I I• I i i i I I I1 1 * 1 1 1 1 1i • I t » I I Ii i i I •• I I

iii!

i • i • i1 1 1 1 1i i i • •

IM

I I II I I

l. I • I I I I I • II I I I • I I I f

I I I I I I I I I I) I I I I I I I

J I I I I II I I I I I 1 I I II I I I | I I I I II | I I I I I I I II I I I I I I I • II I I I I I I I I I

1 1 1 1 1• 1 1 1 1

• 1 1 1 1I I I I I

I!!!!!!!

l i l i .I I 1 1 1 i 1 1I I 1 1 I • I *

! ¡:I I I !

l i l il i l il i l i

I I I I II I I I I

¡MU

u¡¡¡:

1111111111111 II m

11111 1 1 1 1 1 1 1

1 1 • i ! 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 • i •1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 ** 1 1 1 1 1 1 •• i1 1 1 1 1 1 • 1 1 1n i i i M i i

i i i t i i i i i ii i i • i t 11 • •H i

- 28 -

Fig. 22 : hologramme de FOURIER opérateur GAUSSIEN

Filtre spatial passe-bas

F.T. - H (u, v) - •••- a (u2+ v2)

1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 • 1 1I I 1 1 1 I • I • I fI I 1 1 1 1 • I • • I

i t u iMillI I I t I

I I > • • I • I I I I

I I I I I I I I I •" I I I 1 I I I I I I I I « tI I t I I I I I I I • • t •I I I I I I I I I I I • I I' " I I I I I I I I t I I I

::¡!111Hi

iiii

Fig. 23 : hologramme de FOURIER opérateur GAUSSIEN

Filtre spatial passe-haut

F.T. « H (u, v) = - a (u* ,-1

- 29 -

Fig. 24 Image originale s(x,y) (Radargraphie)

Fig. 25 Son spectre de FOURIER Bidimensionnelindiquant la tendance directionnelle des éclairementsainsi que la fréquence spatiale de balayage.(2 spots symétriques/origine).

La densité Spectrale d'énergie (balayage angulaire)

i

wo.

90'

80

70.

60 ,

56.

40.

30C

20

10 .

0

(unite arbitraire)

/ \ 7 ^ ^ N-J \J

- 30 - . • •.

/\r\

\ /

Echelle des abcisses1 mm « 2°,65

Orientations par rapport

au NORD-

90° 180" 270* 360°

Fig. 26 Variation azimutale de la, dençj.té spectra,le d?énergie.

d0 - 50) x 2

50

40

30

NORD

Fig. 27 Rosace ou diagramme, polare, de la directivité de§

- 31 -

Fig. 28 Filtrage spatial directionnel (Nord 70°)

Fig. 29 Filtrage spatial directionnel (Nord 125°)

- 32 -

Fig. 30 Filtrage optique passe haut :

Differentiation spatiale du 2è ordre pari 'opérateur

LAPLACIEN : I (x,y) = A s(x,y)A I

3__ + d^_ s(x,

\Jx2 dy2 Jy)

Fig. 31 Differentiation omnidirectionnelle par 1'Opérateur

(x,y) = V six,y) s(x,y)3 x

r GRADIENT

I 2s'.x,y)

- 33 -

Fig. 32 Image originale s(x,y) (Photographie aérienne)

Fig. 33 Filtrage spatial passe-haut

- 34 -

Fig. 34 Differentiation omnidirectionnellè du le ordre par1'opérateur GRADIENT ^

3(x,y) = V s(x,y)

Fig. 35 Differentiation spatiale du 2ème ordre par1'opérateur LAPLACIEN

I (x,y) =A

A s(x,y) s(x,y) + s(x,y)2

- 35 -

Fig. 36 Filtrage spatial passe-haut par 1'hologrammede FOURIER opérateur GAUSSIEN

Fig. 3 7 Filtrage spatial passe-haut par l'hologramme

de FOURIER opérateur Exponentiel

- 36 -

A N N E X E II

Rappels sur la transformée de Fourier et sa mise en oeuvre par voie optique

- 37 -

ANNEXE

Rappels sur la transformée de Fourier et sa mise en oeuvre par voie optique

Suivant le but recherché et les moyens mis en oeuvre, la descriptiond'une image peut revêtir un caractère aussi bien explicite qu'implicite.

Dans le premier cas, il s'agit d'un stade évolué de l'analyse, généra-lement consécutif à une étude visuelle du document (analyse de scène).

Dans le second cas, il n'y a plus identification, mais description géo-métrique globale de l'arrangement relatif des données affectées à chaque pointde l'image. Des notions de périodicité, d'alignement, de granulométries peuventêtre ainsi quantifiées, (description textura!e). Cette dernière approche secaractérise par la généralité de son utilisation et la reproductibilitë desrésultats qu'elle fournit ; c'est dans cette catégorie que se situe le traite-ment d'images en lumière cohérente.

Mathématiquement, on sait décomposer un signal fonction du temps en unesuperposition de phénomènes périodiques (harmoniques). Cette décomposition quin'est autre que la transformation de Fourier est également applicable lorsque lafonction du temps est remplacée par une fonction d'espace (par exemple : amplitudede la brillance en fonction du point observé sur une image).

La décomposition est alors réalisée en fonction de fréquences spatiales.

Dans cette décomposition, chaque terme est affecté d'un coefficient signi-ficatif du degré de présence d'un phénomène périodique de fréquence correspondante.La transformation de Fourier permet donc de traduire le contenu d'une image sousforme résumée à travers le spectre de fréquences associé aux variations de bril-lance.

On peut noter que les points de l'image autour desquels la brillance varierapidement (contour d'un objet, bruit) sont associés à des hautes fréquences, alorsque, pour l'intérieur d'un objet, la brillance entre points voisins variant peu,la transposition s'effectue dans le domaine des basses fréquences.

Mathématiquement, on sait également reconstruire une image à partir deson spectre de Fourier ; si avant cette restitution, certaines fréquences ont étésupprimées du spectre, on aboutit à une image "améliorée" dans laquelle certainesinformations sont mises en valeur (extraction des contours par exemple).

Ce type d'extraction de l'information ("Analyse dans l'espace de Fourier")est donc un outil puissant pour l'analyse globale des images ; sa mise en oeuvrepar voie numérique reste toutefois assez délicate en raison de la grande quantitéde données à manipuler.

- 38 -

Or, l'optique offre le moyen d'une mise en oeuvre simple et instantanéede cette transformation. On montre en effet facilement que la figure de diffractionprovoquée par un objet interposé sur le parcours d'un faisceau lumineux est décritedans un plan infiniment éloigné par la transformée de Fourier de l'image de cetobjet ; une simple lentille mince permet donc de matérialiser cette transforméedans le plan focal qui lui est associé. Dans ce plan, les amplitudes lumineusescorrespondent à des fréquences d'autant plus élevées que les points représentatifssont éloignés du centre du faisceau, d'où possibilité de filtrage par interpositiond'un simple cache ; la reconstruction de l'image "améliorée" est réalisée parle processus inverse grâce à une seconde lentille mince.

Cette mise en oeuvre analogique de la transformée de Fourier permet doncde suivre en temps réel les améliorations effectuées. Elle est réalisée actuelle-ment à partir de documents préparés sous forme de diapositives.