Transformations des signaux aléatoires a travers les systèmes non linéaires sans mémoire

TRANSFORMATIONS DES SIGNAUX AL]~ATOIRES

A TRAVERS LES SYSTI~MES NON LIN]~AIRES SANS MI~MOIRE *

par Georges B O N N E T

Maitre de eonf6rences h la Facult6 des Sciences de Grenoble **

SOMMAIP, E. - - Cet article constitue une raise au point critique des diffgrentes mgthodes permettant de calculer les propri~tds statistiques de [onctions al/atoires soumises d u n certain type de tran/ormation non linJaire. Les r~sultats les plus rJcents dans ce domaine sont analysgs et discutgs. De nombreux exemples permettent d'illustrer les dif[~-

rents procgdds connus et de les comparer entre eux.

I)LAN. Premiere partie : T h d o r i e gdndra le . �9 1. Dgfinition des trans/ormations sans mdmoire. Trans[ormations q3. �9 2. Trans[ormations non lingaires de /onctions algatoires. Mdthode directe. �9 3. Mgthode analytique: emploi d'une int@rale de Cauchy. �9 4. fStude des signaux ~ spectre peu dtendu. �9 5. Co,ariance et /onctions de corrdlation : utilisation de la /onction caractdristique. - - D e u x i d m e p a t t i e : Cas partieulier des fonctions aida- t o i r e s de Laplace-Gauss. �9 6. lntercorrglation aprds trans/ormations non lindaires. �9 7. Fonctions de correlation et densitds spectrales. �9 8. Calcul direct des moments. �9 9. Fonctions d'intercorrdtation entree-sortie. - - T r o i s i ~ m e pat t ie : Reprdsentation par ddveloppement en sdr ie . �9 10. M~thode de Shutterly. �9 I I . Cas gaussien. �9 t2. Trans[ormation 23 simultange d'un signal et d'un bruit. �9 t3. Exemple. �9 14. Conc lus ion .

�9 15. Appendice. �9 Bibliographie (24 rd[.)

P R E M I E R E P A R T I E

THI~ORIE GI~N]~RALE

t. D~.FINITION DES TRANSFORMATIONS SANS M~.MOIRE

(Transformations 23).

Soit X(t) un point de l 'espace vectoriel E , dont

la position varie avec le t emps t. On associe h X le point

obtenu par une t rans format ion 23 d6finie au moyen du groupe des n (( caract~ristiques de trans[ert ~) :

Y l = h i ( x 1 , x 2 . . . . . . x n ) ,

(2) Y2 = }12',x1, x2 , �9 . . . . . Xn),

y~ - h~(xl, x2, �9 . . . . . x~).

Nous disons que 23 est une t rans/ormat ion non lindaire sans mdmoire si les trois conditions sont remplies :

l) l 'op6rateur ~6 n 'es t pas lin6aire, ce qui implique que l 'une au moins des caract6ristiques de t ransfer t

hk X diff~re d 'une forme lin6aire en X ou d 'une constante ;

2) 23 est invar iant dans le t emps ; 3) 23 est univoque dans E~ en ee sens que eette

t ransformat ion fait eorrespondre un point Y et un

seul ~ ehaque point X de E~.

I1 d6coule de l 'univocit6 (caract6re 3) que nous renon~ons en particulier h repr6senter les transfor- mat ions irr6versibles accompagnant les ph6nom6nes d'hyst6r6sis. En outre (caract6re 2) la posi-

§ tion de Y(t) h l ' ins tant t d6pend uniquement de la

posi t ion de X(t) au m~me instant, exigence qui exclut de ce cadre t o u s l e s syst6mes physiques contenant des 616merits susceptibles d 'accumuler de l '6nergie potentielle.

Finalement , il r6sulte des deux restrictions pr6c6- dentes que nous ne pourrons t ra i ter ici q ue des

t ransformat ions faisant d6pendre la position de Y +

uniquement du pr6sent de X , ind6pendamment de route son histoire pass6e.

2. TRANSFORMATIONS NON LIN~.AIRES DE FONGTIONS AL~.ATOIRES.

M~.THODE DIBEGTE.

Lorsque X(t) t radui t une fonction al6atoire, le probl6me qui consiste h d6terminer les propri6t6s

+ statist iques de la t ransform6e Y(t), connaissant les

propri6t6s statist iques de X et la forme analyt ique

des earaet6ristiques de t ransfer t hj X , ne pr6sente pas de difficult6 de prineipe ; en effe t : l imitons- nous, pour simplifier, h une seule dimension (*). Nous savons qu'i l nous sera possible d 'a t te indre toutes les propri6t6s statist iques de Y(t) si nous parvenons h d6terminer la fonetion de r6part i t ion :

Fy(y(1), y(2) . . . y(X) ; tl, t2 . . . tx)

* ]~tude effectu6e dans le cadre du (c Groupe d'6tudes du traitement du signal ,) de la Marine nationale. ** Centre d't~tude des Ph6nom~nes A16atoires (CEPHAG), Grenoble. (*) Selon une convention habituelle les lettres majuscules traduiront les gtres al6atoires et les lettres minuscules

correspondront h des variables d6termin6es.

- - 2 0 3

2/18

relative h u n nombre X quelconque de variables al6a- toires y t~ ~_ Y(t~), les X instants t~ 6rant choisis 6galement quelconques.

Or, un tel probl~me est soluble - - du moins for- m e l l e m e n t - - comBe nous allons nous en convaincre : consid6rons l 'ensemble S~ des points X auxquels la t ransformation ~3 fait correspondre l 'ensemble des points Y tels que - - c o < y(~) ~ y~l. Nous avous alors :

i,.r(y(~), y(2) . . . y(z) ; t~, t 2 . . . t ~ )

= Pr [X (1) E S t , X (2) ES2 . . . X (x) ESx; tl, t2 . . . tx]

probabilit6 enti~rement d6termin6e par la connaissance de la fonction de r6parti t ion relative h X(t) et celle des ensembles S~, laquclle rSsulte uniquement de la caract6ristique de transfert h(x).

De m~me, le ealcul des divers moments de Y(t) peut s'effectuer directement h part ir de la distribution de X et de la caract6ristique de transfert . Par exemple :

F [ Yv(t) Y*q(t') }

= �9 ; t , C) . , J - - o o J - - o o

C'est en cela que r6side la mgthode directe, qui ram~ne l '6tude de la t ransformation non lin6aire h un probl~me de changemcnt de variables. Malheu- reusement ce proc6d6 se heurte tr~s r i t e h des diffi- cult6s de calcul consid6rables et semble ne pouvoir ~tre employ6 que dans les cas les plus simples, tels que : d6tection quadrat ique ou lin6aire et 6crgtage.

3. M ] ~ T H O D E A N A L Y T I Q U E : E M P L O I D ' U N E INTI~.GI:tALE DE C A U C H Y

G . B O N N E T [ANNALF.S DES T~LISCOMMUNll - .ATIONS

conditions qui sont d'ailleurs tou]ours remplies par les systbmes physiques.

Alors nous s6parons Y = ~3(x) en deux parties disjointes (fig. 1) et posons :

(4) Y = Y+ + Y -

0

f

y = h (~)

i I - X

FIG. I. S6paration de la caraet6ristique de transfert en deux branches Y+ et Y--.

avec

14 bis)

y + = l ~ ( x ) pourx>/O, l0 pour x > 0, p o u r x < 0 et Y - = h(x) p o u r x ~ 0 .

I1 r6sulte de l 'hypoth~se (3) que Y+(x)e - .~ est absolument int6grable sur ( - - c % -4- c~) si Y~6 p > et il en est de m~me pour Y _ ( x ) e -v'~ lorsque Yt6 p' < - - ~. Par suite, les transform6es de Laplace de Y+ et Y _ existent h savoir.

En 1936, Bennet t et Rice [1] ont propos6 une m6thode originale bas6e sur une repr+sentation de la caract6ristique de transfert sous forme d'une int6grale de Cauchy et destin6e h r6soudre des pro- blames de redressement de signaux p6riodiques d6terministes.

Ce proc6d6 fut appliqu6 environ dix ans plus tard aux transformations non lin6aires de grandeurs al6atoires par W. R. Bennet t [2], S. O. Rice [31, puis D. Middleton [6] et, ind6pendamment, par K. Franz [5]. La mise en oeuvre de cette m6thode diff~re d 'un auteur h l'au'~re, et il nous semble tou t d 'abord n6cessaire de b~tir une proc6dure uniforme valable dans tous les cas.

Nous limiterons l'expos6 au cas unidimensionnel, l 'extension h n dimensions 6tant d'ailleurs 6vidente. D'autre part , X(t) et h(x) sont suppos6s rgels.

3.1. Extens ion de la transformation de Fourier.

Supposons que le comportement h l'infini de la caract6ristique de t ransfer t h(x) soit d 'ordre expo- nentiel, donc :

(3) mod. b(x) ~< const, e ~ pour x -+ + co et ~ rdel >/0, rood. h(x) ~< eonst, e-~z pour x -+ - co et ~ r~el/> 0,

f+ o o

(5) ~q+(p) = e-~- h(x) dx c Y+(x),

~,_(p) = f ~ e - w b(x) dx c Y_(x).

Nous pouvons done repr6senter la t ransformation au moyen de l'int6grale de Mellin-Fourier :

i f (6) :c = "~[~] = ,s~-/~iJ~+ e~'-q+(p) dp

les contours L~ et L _ 6tant constitu6s par des parall~les h l 'axe imaginaire (fig. 2) avee :

- - pour L+ :

p variant de (M -- i cx3) h (M + i oo) et M > r

- - pour L _ :

p variant de (-- N -- icx3) ~ (-- N + ic~) et N > ~3.

I1 est alors commode, pour des raisons qui sur- giront plus loin, de faire apparal tre des termes en e ~I::, ce que nous obtiendrons en effectuant le changement de variables complexes :

p = iu,

- - 204

t. 19,n ol 9-10, 19641

ce qui donne :

(6 bis) 1 l

]c ~_(.~) du, Y = ~ f c + ei"'~+(iu) du + 2~ _ ei"~ " "

les contours C . et C_ se d6duisant de L~ et L_ par une rotat ion de - - =]2. En outre, l 'exp6rience montre qu'il est int6ressant de modifier cette expression pour faire apparal tre une seule int6grale de Cauchy, por tan t sur un contour unique, par exernple C ~ C+. I1 suffit pour ce faire de changer u en - - u dans la seeonde int6grale de (6 bis) et nous arrivons finalement h la repr6sentation universellc

{7) �9

C

TRANSFORMATION DES SIGNAl.IX ALI~ATOIRES 31t8 ( - - ira - - oo) h ( - - im + oo) , avec m > Max (cr ~).

I~videmment, il est possible, h part i r de C, de substituer tout autre contour 6quivalent.

2. Lorsque, en pardculier, la quanti t6 qui figure dans (7) sous le signe somme est une fonction analytique dans tout le demi-plan in%rieur, fronti~re comprise, on a int6r~t h substituer h C le contour 6quivalent form6 par l 'axe r6el.

3. On volt, aid6 par la remarque pr@~dente, que l 'ensemble des relations (5) et (7) g6n6ralise la transformation de Fourier.

Nous allons 6tudier maintenant la forme prise par la relation g6n6rale (7) dans trois cas particuliers importants.

L L +

FIG. 2 . - Contours L + ct L _ .

~ X

3,1. I. h ( x ) uni la t fra l .

Ce cas correspond aux ddtecteurs d une alternance, avec ou sans scull S, pour lesquels :

19) h ( x ) = 0 pour x < S.

(Le scull S est suppos6 ~> 0, ce qui n 'apporte en fair aucune restriction.) Autrement dit, nous avons ~_(p) = 0 et (7) se r6duit h :

(Ta.) �9 Y~,~ = ~ e i~x-,~+(im du.

Exemple :

Prenons comme exemple (fig. 4) le c~ ddtecteur unilat&al d'ordre o~ )~ d6fiui par la caract6ristique de transfert .

Y = ( X - - S) ~, p o u r x ~ S (o: rde], >~ 0), = O, p o u r x < S.

OU e n c o r e :

(8) r = ~ I cos ~x [~+ l i~ ) + ~_(- i.)]

+ i sin uX[~+ (iu) -- ~]_(-- iu)] / du.

Remarques : 1. Le contour C est constitu6 par la 1 droite parall~le h l 'axe r6el, situ6e en dessous de ce dernier, h une distance sup6rieure h la plus grande des deux valeurs ~ et [3 d6finies par (3); cf. figure 3. Par suite, u varie le long de C de O

y = h {x)

S+l

= 1

( I = 0

r

Fro. 4 . - D6tec teur uni la t6ral avec scull S.

O

- i a

- i [ 3

r C

~ Z

Fio. 3. - - Contour d ' in tdgra t ion t~e l ' int6grale de Cauchy.

�9 Ce signe indique les formules encadr6es su r le m a n u s - eri t .

Sa transform6e de Laplace est donn6e par (5), soit :

f 8 +c~ e - ~ 8 ~+/P) -- e - ~ ( x -- S) = .4x = P(~ + 1) p(~+,)

d'ofi :

P(~ + 1) e - l~s (10) "q+(i~)= i(=+,) u(=+,)

En particulier, si 1~ cr = 0 et S = 0, 23 repr6sente un dcrStage

infini, avec

~§ = l/iu

205 2

4/18

2 ~ c~ = 0 et S ~-- O, ~ est la caraet6r is t ique d ' une bascule de Schmidt, avee

~}o(iu) = e-iuS[iu,

3 ~ ~ -~- 1, ddtecteur lindaire,

~l(iu) - - - e-~"SluZ, 4 ~ c~ = 3/2, diode dlectronique en r6gime de charge

d 'espace

3 ~/')~ e -lu8 713/2(iU) = 4(1 + i) u)/" '

5 ~ ~ ~ 2, ddtecteur quadratique,

"~2(iu) -- 2i e-luS[u 3.

3.1.2. h ( x ) bi lateral pair.

Ce cas englobe, pour S ~ 0, tous les ddtecteurs symdtriques d double alternance et pour S :fi 0 les s@urit6s h seuil.

Nous avons ici :

l : ( - x) = ],(z)

d'ofi :

~q_(-- iu) = ~ + (iu).

La connaissance de la b ranche posi t ive de la caract6r is t ique de t r ans fe r t suffit donc pour d6ter- miner en t i~rement ~3. I1 fau t donc s ' a t t endre h ce que la repr6sen ta t ion ana ly t ique n'uti l ise que ~+ (iu) ; e f fec t ivement (8) se r6dui t bien h :

(7b) �9 )%~ir = ~ COS uX~+(iu) du.

Par exemple , les d6tecteurs sym6tr iques d 'o rdre e t polaris6s au seuil S se repr6sen ten t au m o y e n de cet te expression, dans laquelle ~+(iu) conserve les valeurs donn6es par (i0).

3A.3. h ( x ) bi lateral impair .

O n a :

l ~ ( - - . ) = - - h ( ~ ) ,Vo~, ~ _ ( - i u ) = - ~ + ( i . ) ,

et (8) fourni t :

(7c) �9 Y~,,,v = ~: sin uX ~+ (iu) du.

Ce cas englobe t ou t e t ransmiss ion h t ravers un ampl i f iea tcur r6el dot6 de distorsion non lin6aire, ainsi que les 616ments sa turables (varistor, etc.. .). Nous ci terons trois exemples .

a) L'dcr~tage infini symdtrique : Y = sgn X avec ~o(iu) d6j~ donn6. La repr6senta t ion est alors la premiere int6grale de Dir ichlet

y = _l f + = sin u x du 7~ J --c~ u

b) Limiteur lindaire (fig. 5)

y = i X p o u r - - A % x ~< + A

- - A p o u r x < - - A

+ A p o u r x > + A

G. BONNET [ANNALP:S DES T~L~COMMUN[CATIONS

d 'od :

I I e -vA) -~+(~,) = ~ ( - .

Ici sin u X ~+(iu) est ana ly t ique dans t ou t le p lan ct l ' int6grale (7c) se r6dui t h :

y = / f + ~ sin uX. sin uA ~ J - ~ o u2 du.

Cette repr6senta t ion a 6t6 utilis6e pa r Robin [6].

0 -V

y = h (x)

/ !

A

l:m. 5. - - Limitcur lindaire.

c) Le fi'ottement mgcanique d'un galcanom~tre (sails inertie) (fig. 6) :

Y = 0 pour ix] < S, = X - - S pour x ~ + S, = X § S pour x ~ - - S .

- S )/

y = h (x)

0 / ~ x

S

Fia. 6 . - l:rottemcnt m6canique.

(7c) donne :

f s i n uX.e -ius Y iT:Jc u" du.

4. ]~TUDE D E S S I G N A U X A S P E C T B E P E U ] ~ T E N D U .

Nous allons envisager une elasse part iculi~re de fonct ions X(t), celles d e n t le spectre est d ' 6 t endue limit6e au tou r d 'une fr6quence centra le re, dans uno bande de largeur F ( ( v 0. On est alors en droi t d 'ut i l iser l '6cr i ture [7] :

(1t) X(t) = A(t) cos [6) o t § q)(t)]

avec to o ~ 2rOVe, A(t) enve loppe et q~(t) t e rme de modu la t ion de phase.

Les considdrations qui vent suivre s'appliquent aussi bien h des [onctions certaines, qu'aldatoires ou au mdlange des deux, pour~u que l'dcriture ( i i ) soit ldgitimde.

- - 206 - -

t. 19, nO~9-10, 1 9 6 , 1 1 r I 'RANSFORMATI( )N DES

Si X(t) subit une trans/ormation ~ unilatdrate, nous tirons de (7@ l'expression de la t ransformfe :

Y(t) = exp [iuA cos (0% t + ~)] ~(iu) du

et le d6veloppeinent classique

+oo

exp [iz cos 0] - ~ z,~ i n J,~(z) cos nO n=0

(od J,(z) est la fonction de Bessel de premi~re esp~ce d'indice entier n e t an le facteur de Neumann :

z o= I ; an:= 2 pour n > ~ t

permet d'6erire Y(t) sous la forms d'une s6rie

+c o

(12a) Y~=t(t) -= Y~ Un(t) cos [no) o t + n~(t)l n=O

a v e c

z. i n f (13) Un ~ J,(Au) -~(i~) du.

On obtiendrait des r6sultats semblables, bien que plus complexes, pour 23 quelconque.

Tirons quelques cons$qucnces de ces expressions :

4.1. Bandes harmoniques.

La relation (12) montre que Y(t) se pr6sente sous la forme d 'une somme de fonctions h spectre limit6 du type ( i l ) et, si la bande spectrale de X(t) est suffisamment dtroite (ce qul ne peut 6tre pr6cis6 quant i ta t ivement que pour chaque cas d'esp~ce), les spectres relatifs h chacun de ces termes 616mentaires :

"Yn(t) - i:~(t) cos [no) 0 t + n~(t)]

n 'empi6teront pas de faqon sensible lss uns sur les autres, du moins jusqu'h une certaine valeur de n. Par suite on peut envisager d'isoler Fun queleonque d 'entre eux au moyen d 'un filtre passe- bande ~-n eentr6 sur l 'harmoniquc n, de gain 1 dans la bande int6ressant Yn(t) et de gain n6gli- geable pour les fr6quences harmoniques voisines : ce fihre ~-~ est nomm6 filtre zonal [8]. Y(t) peut ainsi 6tre d6compos6e en bandes harmoniques (fig. 7)

Y~(t) ~-n[Y(t)].

4.2. Comparaison avec une s6rie de Fourier.

Les expressions (i2) et (13) sont valables, en particulier, lorsque A e t ~0 sont des constantes, c'est- h-dire lorsque la t ransformation porte sur une sinu-

S I G N A U X A I , I ' A T O I R ES 5 / t 8

so/de. Ces relations traduisent alors simplement la d6composition de Y(t) = ~3[X(t)] en s6rie de Fourier. I1 est remarquable de constater que ces derni6res conservent exactement la m~me [orme lorsque l 'enveloppe et la phase varient avec le temps, qus ces deux grandeurs soient certaines ou al6atoires : il suffit que A(t) et q~(t) 6voluent avec une lenteur suffisante pour que l 'hypoth~se d'une bande 6troite subsiste.

Alors nous pouvons affirmer que Y(t) s 'exprime au moyen de la s6rie de Fourier associ6e h la trans- form6e ~ d 'une sinusoide, s6rie dans laquelle on substitue A(t) et ~(t) aux termes constants d'amplitude et de phase de la sinusoide.

4,3. Transformations ~6 bilat6rales.

Pour une t ransformation bilat6rale paire, on trouvc de m~me, d'apr6s (7b) et ( l l ) :

+oo

(125) Ypair(t) = Z 2U2n(t) cos [2nr 0 t + 2nq)(/)] n=O

avec Un(t) donn6e par (13). Quelle que soit la forme analytique de la earaet6ristique de t ransfer t h(t), il ne subsiste done que des bandes harmoniques d'ordre pair.

Inversement, une t ransformation impaire ne fournit que des bandes harmoniques d 'ordre impair ; en partieulier, leur contribution est nulle h l 'entour de la fr6quenee z6ro :

+cx3

(12c) Yimr,(t)= • 2U2n+l(t) n=O

cos [(2n + 1) ~o o t + (2n + t) r

4.4. Choix du filtre zonal.

Suivant le choix de la fr6quence centrale du filtre zonal nous obtiendrons tel ou tel r6sultat d6sir6 : en particulier :

6.4.1. T r a n s t o r m a t i o n ~ u n i l a t d r a l e o u pairo + Filtre zona l p a s s e - b a s .

Ce cas correspond h u n d6tecteur eonventionnel d 'enveloppe en technique AM. On obt ient apr6s un tel t ra i tement le terme

Y0(t) = U0(t),

qui inclut une composante continue et des composantes de basse fr6quence occupant une bande dont la largeur est de l 'ordre de la largeur de bands F de la fonction X(t) elle-m6me.

yyc

A J \ 0 v o 2 v o

/ / 4 i l t r e

3 v o 4 %

zonal

Fro. 7 . - Spoctre de ~'(t) = ~[X(t)] r6parti en bandes harmoniques.

- - 207 - -

V

6/ t8

4.4.2. Transformation 73 impaire -Jr- filtre zonal passe-bande accord6 sur la frdquence fonda-

mentale (amplificateur s6lectif non lin6aire). On obtient :

Yx(t) = Uz(t) cos [r o t + q~(t)].

Ce r6sultat montre, par comparaison avec (11), qu 'une amplification non lin6aire, mais s61ective, d 'un signal h bande 6troite, laisse invariante la distribution des z~ros de ce signal, aut rement dit, res- pecte la modulat ion de phase (propri6t6 abondam- ment utilis6e en technique FM).

4.4.3. Transformation 73 -}- filtre zonal accor- dd sur rharmonique n.

Ce cas correspond h une muhiplieation de [rd- quence :

Yn(t) = U,(t) cos In6) o t + n~(t)].

On r e t rouve et g6n6ralise ainsi, mais sans hypo - th~se res t r i c t ive sur ~(t), lc r6su l ta t connu su ivan t lequel l 'op6ration de multiplication de fr6quence par ma faoteur n, multiplie par ce m6me facteur l ' index de modulat ion de phase.

4.4.4. Exemple.

L'exemple ci-apr~s, choisi d61ib6r6ment tr~s simple, permet t ra de pr6ciser davantage les parti- cularit6s de cette m6thode.

enveloppe de X (t) S

transform6e (~ [ X ]

G . B O N N E T [ANNALES DES Ti~LI~COMMUNICATION~

Consid6rons la bascule de Schmidt de seuil S (fig. 8), pour laquelle nous avons vu (w 3.1.1) que :

~}(iu) = e-'~s/iu..

La relation (12a) fournit les coefficients de d6ve- loppement suivants :

1 ~ bande de basse fr6quence (n = 0) :

t f Jo(uA) e -ius I f 3o(z)e-'s~l Adz, = - d u = - U~ ~ i u ~ ' z

ce t y p e d ' in t6gra le se calcule a i s6ment en u t i l i san t la r ep r6sen ta t ion de H a n k e l de Jn(z) :

(14)

Jn(z) = r ( l / 2 ) I ' (n -4- 1/2)

d'o/t :

I L fo '~exp[i(e~ U~ = 27~2~ ' z

et

I farce~ - ~ .to dO,

l 0 lorsque A(t) < S,

Yo(t) ~--- Uo(t) = 1 S ~ a r e cos ~(~ lorsque A(t) ~ S ;

2 ~ bande fondamentale (n = 1) : on t rouve de m g m e :

[ YI(t) = ~2 1 - V ~ co~ [,~o

,At,]

t+ @t)] pour A(t)>~S,

~ t r

Y[t]

IIIIIIIIlhillllL Llll bande B.F.

bande fondcrnentale

Fxm 8. ~ Baseule de

v o (t)

/ - - . . . !

T Y, (t)

..,,nnmnk i ..,,At S e h m i d t en s igna l ~ b a n d e 6 t r o i t e .

J ~ t i

~ t

208 - -

t. 19, n ~ 9-10, 19641

et ainsi de suite. Pour S = 0, la bascule de Schmidt 6quivaut h u n 6crgteur et

t cos [COo t + ~(t)] Y(t) = 9~ + -

2 -- 3-~ cos [36) 0 t + 3q)(t)] + . . .

Les eourbes obtenues h propos de cet exemple suffisent h montrer que ce proc6d6 ne peut fitre utilisable dans le eas de grandeurs al6atoires que lorsque le rapport signal certain~bruit est important :

A( t )=s( t )+b( t ) , avec E /b2} <<Mins 2.

On peut alors utiliser une m6thode de perturbation qui s'av~re extrgmement commode.

Une autre restriction provient de ce que les sys- t~mes h seuil conduisent h une repr6sentation non stationnaire du bruit h la sortie (ce dernier s'annu- lant lorsque A(t) < S), laquelle est particuli6rement g6nante.

5 . C O V A I : I I A N Q E

E T F O N C I T I O N S D E C O t t R I ~ L A T I O N :

U T I L I S A T I O N

D E L A F O N C T I O N C A R A C T I ~ R I S T I Q U E .

Nous allons nous int6resser h u n couple X(X1, X~) soumis h une transformation ~ repr6sent6e par hi ~ - ~t et h~ ~-- ~%., ces caract6ristiques de transfert ne d6pendant que d'une seule variable.

En utilisant la repr6sentation de Cauchy (7), nous pourrous obtenir direetement les moments du couple Y(Y1, Y2) a la sortie et c'est en cela que r6side l 'int6ret principal de la m6thode.

Choisissons une transformation unilat6rale de type (7a) :

a) au premier ordre.

k= t o u 2 .

L'int6grale ayant un sens en moyenne quadratique, on peut op6rer l'esp6ranee math6matique sous le signe somme, en introduisant la fonetion

pour u eomplexc, ee qui donne :

(15) E I Y~ t ~ = 2~= ?~(u) ~l~(iu) du.

Bien entendu %(u) englobe tous les cas od X r6sulte de la superposition d 'un signal et d 'un bruit. On remarquera que, u 6rant complexe, %(u) n'est pas la [onction caract&istique de la variable al6atoire X~, laquelle est d6finie pour u r6el. Cependant ?~(u) poss~de, par prolongement analytique (*), la m6me

TRANSI"OllRIATION DES SIGNAUX AL~ATOIRES 7118

forme fonctionnelle que la fonction earact6ris- tique [9] et c'est cela seulement qui nous int6resse.

Nota. - - Lorsque Xk est pourvu d'une densit6 de probabilit6 pk(x) on a par dgfinition :

_ pk(x) h~(x) dx.

Si l'on se souvient que ~l(iu) est une transform6e de Fourier g6n6ralis6e de h(x) et qu'il e n e s t de m6me de p~(u) vis-h-vis de pk(x), on voit que l'expression (15) ne fair que traduire une gdn&a- lisation du thdor&ne de Parseval appliqu6 aux produits sealaires < pIh > et < TI~I > . Cette remarque montre bien que la mdthode analytique revient utiliser la fonetion earaet6ristique, h l'oppos6 de la rndthode directe qui, elle, fair appel h la fonction de r6partition ; il existe bien entendu une dualit6 eer- taine entre ees deux proe6d6s.

Lorsque ~6 est queleonque, il faut faire appel h la rep%sentation (7), ee qui fournit :

t

du.

b) Au second ordre la norme moyenne s'exprime de mgme par :

(16)

p) dv -- ~71:2 .

(k = I ou 2)

et la covarianee par

t

f c , , ( iu ) dufc,=(iv ) ~012('/. , P ) d ~ ,

off %2(u, v) est le prolongement analytique de la fonction caraet6ristique de (Xt, X2) :

(18) ?~2(u, ,') = E { exp [i(uXx + ~X2)] I

5.1. Intereorr~lation (fig. 9).

La relation (17) permet de calculer la fonetion d'intercorr61ation h la sortie, apr~s la double transformation

Y1 = hi(X1) et Y2 = h2 (X2)

(*j Lorsque tou tes ses d6riv6es e x i s t e n | , c 'es t -a-di re lorsque la d i s t r ibu t ion des Xk p e r m e t de d6finir des m o m e n t s de gobs orqlres,

P (t) J -I A = Y (t) I

FLa. 9 . - Intereorr61ation.

portant sur les fonctions al6atoires stat ionnairement eorr616es P(t) et Q(t). On porte alors dans (i7) :

X I = P ( t ) et X~= Q(t--r) .

.-- 209 - -

8/18

5.2. Autoeorr61ation. (fig. lO).

On obtient de m~me la fonction d'autocorr61ation apr~s une t ransformat ion Y = h(X) de X(t) stationnaire de second ordre, en por tant dans (17)

I x l = X( t ) , (19) X2 = X(t -- z),

x (t) _1_1 h [ _- e" (t)

FIG. 10. --- Autocorr61at ion.

et

(19 bis) ~(iu) ~ ~2(iu) = ~(iu) ~ - h(x).

5.3. Pour ~3 bilateral pair.

La relation d6riv6e de (7b) est tout/a fait analogue

[~(. , e) + ~ ( - . , - e) + ~(. , - e) + ~ ( - ,., e)] dr.

Enfin, pour ~3 impair on t rouve de mgme

(21) E { Yi Y~ }im~ - t 2 / ,,%(iu) du /~q2(ie) •

[@(u, ~) + q~(-- u, -- e) -- q~(-- ~, ~) -- ~(u, -- e)] dr.

5.4. Dans le cas off E { Y, Y2 } repr6sente une fonction d'autocorr61ation, la relation de Wiener- Khintchine permet d 'a t te indre la densit6 spectrale. La m6thode analyt ique fournit done l 'ensemble des donn6es suflisantes pour un calcul complet des grandeurs 6nerg6tiques apr~s une t ransformation ~. Pour pr6ciser davantage ses conditions d'application, nous allons maintenant t ra i ter un exemple pr6cis de distribution statistique d 'une grande importance prat ique - - celui off les fonctions al6atoires trait6es sont gaussiennes.

DEUXII~ME P A R T I E

CAS PARTICULIER DES FONCTIONS ALI~ATOIRES

DE LAPLACE-GAUSS

6. I N T E R C O R R ~ L A T I O N APR~.S T R A N S F O R M A T I O N S

N O N LIN~,,AIRES.

Les relations pr6c6dentes mont ren t route leur richesse lorsque les fonctions al6atoires r6elles trait6es sont de Laplace-Gauss. On suit alors que ces fonctions al6atoires sont enti~rement d6finies par leur covariance (lorsqu'elles sont centr6es), et on peut done s 'a t tendre Ca ce que les propri6t6s statistiques de leurs transform6es h travers des dispositifs non lin6aires soient d6crites par cette m4me eovariance, ce que nous allons v6rifier.

Consid6rons pour ce faire le cas le plus g6n6ral de deux fonctions al6atoires laplaciennes Xi(t) et X2(t),

G. BONNET [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS

soumises h des transformations ~ de caract6ristiques de t ransfer t respectives hi(x1) et h2(x2) , et cherchons

dgterminer la covariance entre les transform~es Y~(q) st Y2(t2), Ies instants tj et t 2 6rant choisis quelconques (le sch6ma fonctionnel demeure du type de la figure 9). Pour simplifier l '6criture, nous poserons X 1 = Xl(q) et X= = Xe(t2) et, pour la covariance entre ces deux entr6es :

(22) I~x = E { Xl(tl) X2(t2) !"

Si e~ et e~ sont les variances respectives de X 1 et X 2 aux instants t I e t t2, la fonction earact6ristique du couple a]6atoire laplacien (X1, X2) , que nous supposons ici centrd, a la forme bien connue :

l ' 1 (9.3) ~(. , e) = e~p ~ [ ~ -~ + 2 r x - . + z; ezJ �9

Nous allons, pour simplifier, raisonner sur des earact6ristiques de t ransfer t hl(Xl) et h2(X~.) unila- t&ales.

Por tan t l 'expression (23) de la fonction earact6- ristique duns la relation (17), on a int6r~t, la plupart du temps, h s6parer les int6grations en u st ~ en d6veloppant q~(u, ~) en s6rie des puissance de F x. Ainsi, la covariance ~ la sortie prend-elle la forme

(24) r g E { Yl(tl) Y2(t2) }~,,i I +oo( ~p~ - - 4n ~ ~ = 0 k? "

f e-r ~l(iU)U/c du, f e-~'a/e -f~2(|~,);J~ de. .]c

Posons maintenant :

(25) i k /

clk= 2n e -~l'~qe ~l(iu) u k d,,,

et c21~ = .)~ e-o;,~,/2 ~2(i,, ) ~,k dr.

Nous obtenons ainsi l 'expression :

+oo (26) �9 r y -- k.,~_ 0 C1/r C2/r P~/k!

qui montre bicn que la eonnaissance de la covariance F x entre les entr6es suffit, duns le cas pr6sent de Laplace-Gauss, pour d6terminer la eovarianee lPy h la sortie de deux transformations de type 2~.

Lorsque les transformations 2S ne sont plus unila- t6rales mais queleonques, le caleul est similaire et conduit au m6me r6sultat (26). Mais les coefficients c1~ et c2k s 'expriment diff&emment, puisqu'il faut tenir eompte R la fois des branches n6gatives et positives de ehaque caraet@istique de transfert . On t rouve ainsi pour la premiere voie (et similairement pour la vole 2) :

(27) �9 Cllc = ~ e - ~ 2 [ ~ l + ( i u ) + ( - - ) k T j ] _ ( - - [u) l u k du.

Ace stade, il s'av~re tr~s int6ressant de rechercher la signification physique des coefficients c~ et c.~k, dont l 'expression (27) nous montre que chacun d 'entre eux ne d6pend que de la t ransformation ~3

- - 2t0 - -

t. 19, n ~ 9-10, 1964]

sur la vole correspondante et de la seule fonction al6atoire trait6e par elle.

Reprenons l'expression g6n6rale (7) de la trans- form6e Y1 = hi(x1) dans la voie 1 et d6rivons k fois hi(x1) par rapport h x 1. Nous obtenons

d ky h(k)(xl) = i~ dx~= ~ •

fc [e luml h:+(iu) + (--)~ -q:_(-- iu)] u k d,,. e-iuz,

Pour X 1 al6atoire laplacien centr6, prenons l'esp6- rance math6matique des deux membres, en tenant compte de la forme particuli~re de la fonetion carac- t6ristique unidimensionnelle, soit :

(28) (~l(tt) e art'-'] 2.

Nous obtenons :

(29) E t h(~)(X~) }= ~ •

f c e - ~ [~+(iu) + ( )k 7]1_(-- iu)] ,t~ du ~ c.a~.

ce qui est justement ]'expression (27) du coeffi- cient ca~. Par suite, nous pouvons 6crire, selon (26), la covariance P r des transform6es sous la forme :

( 3 0 ) . r ~ - E I h~fX~)~:~(X~) t +co p,~

= Z E { JIik)(Xl) }E { ]).{2k)(X2) } ~r �9 k=o Nous voyons ainsi plus clairement que, dans le cas

de Laplace-Gauss, la covariance entre les trans- form6es de deux fonctions al6atoires h travers deux dispositifs non lin6aires sans m6moire d6pend, d'une part de l'intercorr61ation entre les deux entr6es, d 'autre part des propri6t6s individuclles de chaque vole : l'intercorr61ation entre les deux entr6es s'exprime par la covariance Fx = E t X,(~) X~(t~) } ; les propri6t6s individuelles de chaque voie se traduisent par les esp6rances math6matiques des d&i- cdes des trans[orm&s.

7. F O N G T I O N S D E C O R R ] ~ L A T I O N E T D E N S I T I E S S P E C T R A L E S .

On peut, h partir de la formule g6n6rale (30) traiter imm6diatement le cas part]culler d'une seule trans/ormation ~3 : y = h(x).

I1 suffit alors, pour exprimer la covariance Pr(t, t') /~ la sortie en fonction de la covariance Fx(t, t') l'entr6e, de porter dans (30) les d6riv6es h(k)[X(t)] et h(k)[X(t')]. Lorsque X(t) est stationnaire de second ordre, les covariances d6g6n6rent en fonctions d'autocorr61ation et (30) nous fournit :

(30b) Cy('r -- ]':l }'[X(t)l h[X(t "7')1 }

= k_~0 [E i h(k'(X) ]2 [Cx[v)]~k!

off Cx(z ) = E { X(t) X(t - - z) }. Nous l'6crivons ph, s simplement, en nous reportant h (29) :

(30~) cr(v) = Z 4 -- k=o t,!

T R A N S F O R M A T I O N D E S S I G N A U X A L E A T O I R E S 9/t8

7.1. Puissance de sortie.

Posons v ---- 0 dans (30c) ; nous obtenons l'expression de la norme moyenne ou puissance de sortie, que nous s6parons en puissance continue ct en variance

(31) (E { h(X)})~= 4 , on ~2k

D'ofi nous tirons la g6n6ralisation de l ' important r6sultat dfi h Middleton [4] et [I0] :

Thdorkme : La puissance de la trans[orm& it travers un systkme q3 ne d@end que de la puissance ?t l'entr& et de la nature de la caract&istique de trans]ert h(t) et en part]culler est ind@endante de la distribution spectrale de la puissance it l'entr&.

La relation (16) montre par ailleurs que cette proposition demeure valable dans les cas non-gaussiens, quelle que soit la loi de probabilit6 de X(t).

7.2. Bandes speotrales.

La s6rie du type (30c) s'av~re partculi~rement commode pour le calcul des bandes spectrales de la transform6e d'une fonction r6elle h spectre 6troit.

Nous mettons ~ profit la forme particuli~re de la fonction de corr61ation d'une fonction de ce type :

(32) Cx(~) = g(~) cos [2~v0 �9 + 0(z)],

le terme de phase 0(x). tel que 0(0) = 0, et le terme d'enveloppe g(x) 6voluant lentement h l'6chelle de la pseudo-p6riode T o = 11%. D'ofi la dens]t6 spectrale h la sortie, r6suhant de la relation de Wiener- Khintchine :

+cx3 (;2 k (337 yr(v) = k~()~ •

f ( 2 e -2=i~ ~k(z) cos~ [2~Vo z + 0(z)] dz.

En d6veloppant :

pour n enlier >/0 ou < 0

yr(v) apparalt comme la somme de termes obtenus par transformation de Fourier autour des fr& quences n%: ce sont les bandes harmoniques d6jh mentionn6es.

7.2.1. S6parons par exemple la bande basse [rd- quence (n = 0) en ne retenant que les termes constants de cosk [2r:v 0 q- 0(z)] soit :

0 pour k impair, (~m)!

pour/~' = 2m pair,

d'ofi :

(34), @rr(v) = m=o ~ \2m -~n.V e -z=l~r 9z~(z) dr.

7.2.2. Si le spectre de X(t) est suftisamment 6troit pour que les bandes harmoniques n'empi~tent pas

--- 2 t l

io t i8

les unes sur les autres, la puissance dans la bande basse fr6quence, par exemple, pourra se ealeuler avee une bonne approximation par :

f)2 ee qui donne, en utilisant (34) et en notant que S(O) = Cx(0) = ~ :

Z ! ' m = 0

et l'on constate que WrF ne d6pend que de la puissance h l'entr6e a~, et non de l'allure du spectre de X(t) h l 'int6rieur de la bande 6troite qui lui est allou6e. Le r6suhat eoncernant les autres bandes harmoniques est par ailleurs similaire, ce qui constitue le corollaire du thdorOme de Middleton.

G. B O N N E T [ANNALES DES Tf~LI~COMMUNICATION$

matique, nous trouvons par comparaison avec (36) :

(37) �9

Cette formule illustre le Thdorkme I dont sont pr6- cis6es par ailleurs [11] les conditions n6cessaires : 23 reprdsentant une trans/ormation non lindaire sans mdmoire, l'espdrance mathdmatique de Y ( t ) = 23[X(t)], ot~ X(t) est la somme d'une [onction al~atoire laplacienne (m, ~2) et d'une /onction al~atoire rr centrde ind@endante de la premi&e, a pour d~rivde partielle d'ordre k par rapport h la variance ~2 de la [onction al~atoire laplacienne une quantitY, donn~e par (37), proportionneUe h l'espdrance matMmatique de la trans- /ormde de X dans 23(2~). La caract~ristique de trans[ert de cette derniOre trans/ormation est la dgri~,~e d'ordre 2k de la caract~ristique de trans/ert li~e h 23.

8. CALCUL D I R E C T D E S M O M E N T S .

Une autre cons6quence de la m6thode analytique est de fournir un moyen de calcul de diff6rents moments particuli~rement efficace dans le cas gaussien. Nous 6voquerons pour ce faire deux th6or~mes tr~s utiles.

8.t. Moments unidimensionnels . Th6orbme I (G. Bonnet [li]).

Pla~ons-nous dans le cas off la fonction trait6e X(t) est laplacienne non centr6e, d'esp6rance math6- matique m(t) et de variance a2(t). Sa fonction carac- t6ristique s'exprime donc par :

q~(u) = exp (imu.- ~2 ,~212),

d'ofi les deux propri6t6s de d6rivation :

( 3 5 a ) (+)k? (u ) = (--~)ku2~ ~(u),

Nous avons vu, d 'autre part, au w 5, que l'esp6- rance math6matique de la transform6e Y(t) a la forme g6n6rale

(151,) E { Y} = {h(X) I

= ~ [~0(u) v}+(tu) + ~(--u)~_(--iu)]du.

Si nous d6rivons cette expression k fois par rapport h e2, en tenant compte de (35a), nous obtenons ainsi :

Le mgme raisonnement que celul effeetu6 au w 6 pr6c6dent nous indique alors la signification de cette derni~re int6grale : en d6rivant 2k fois par rapport h x l'expression g6n6rale (7) de la transform6e y ~ h(x) et en op6rant ensuite l'esp~rance math6-

8.1.1. Corollgire.

Un raisonnement similaire permet de tirer de la propri6t6 (35b) le corollaire de la proposition pr6c6- dente :

8.t.2. Tout l 'int6rgt de ce th6orgme r6side en ceei: lorsque la earaet6ristique de transfert est telle qu'une de ses d6riv6es est de forme tr~s simple, le calcul de E th(2~)(X)I est tr~s facile; on at teint done l'esp6rance math6matique recherch6e par une simple int6gration. Les k conditions aux limites qui s'av~rent alors n6cessaires sont effeetivement dispo- nibles, puisqu'on a :

lim EIh(~)(X)l=h(j)(m), pour f = l ~ k - - l . at .-~0

Le cas le plus int6ressant est celui off h(x) est polynomiale, ce qui conduit h des d6riv6es h(2k)(x) form6es d'une distribution de Dirae ou de ses d6ri- v6es: la d6termination de E[h(2~'(X) } est alors imm6diate et le calcul d'int6grales du type

f~ { dt

est tr~s simple : on en trouvera l'expos6 en appendice.

8.1.3. Notons enfin que ce th6or~me s%tend aux moments unidimensionnels de tous ordres. En effet, h(x) repr6sentant une transformation de type 23, h~(x) (avec n entier positif) correspond encore h une transformation de type 23. Par suite, les propri~t6s (37) et (38) s 'appliquent bien aux moments d'ordre n quelconque de Y = h(X), ce qui donne :

(37b)

--_ ~ h n ( X ) ,k, nentiers>~0

k d ~

- - 212

t. 19, n o" 9-10, 1964]

8.~.4. 13xemple d 'appHcat ion .

Interpolation lin6aire d 'un d6tecteur quadratique. Certains g6n6rateurs 61ectroniques de fonctions

r6alisent une approximation par interpolation lin6aire. Int6ressons-nous h l 'approximation d'un d6tecteur quadrat ique de loi y ~ x ~ suivant cette technique, avee un pas 6gal h q. On a alors (fig. l i ) :

g = t~(x)= (2i+ i ) q . x - i ( i + ~)q~,

pour iq < x <~ (i + 1 q

avec ] entier de - - cx3 h -~ c~.

0

y = h (x}

, I

: 1

q

FIG. ~ l ~ _ . - I n t e r p o l a t i o n l in6a i re .

T R A N S F O R M A T I O N DES S I G N A U X AL12"ATOIRES l l [ t ~

qui montre que la partie principale de l 'erreur d'interpolation vaut, lorsque a ~ q :

p .p . [E I Y I - -z2] = qZ[6.

Un tel r6sultat ne pourrait ~tre fourni par ]a m6thode directe qu'au prix de calculs extrgmement laborieux.

D'ofi il d6coule :

h"(x)= . Z 2qS(x--/q), ) ~ - - O D

et, d'apr~s (37), pour k = 1, en supposant X centr6, eequ i impl ique lira E l Y} = 0 :

t~-.--~O

d'ofi l 'on peut d6duire E t Y / par int6gration directe.

Cependant, les conditions int6ressantes sont celles pour lesquelles l '6eart-type ~ est sup6rieur au pas q. On peut alors modifier cette derni~re expression, qui est une fonction th6ta, par la transformation imaginaire de Jacobi [12], ce qui donne :

soit :

+c~

l 'esp6rance math6matique cherch6e est done

q~ I (1 e-"~'~q~'~).

Enfin, utilisons la fonction z~ta de Riemann :

+ ~ t 7~ 2

d'ofi la forme expressive :

8.2. Covariances. Th~or~me II. (R. Price [t3]).

Portons maintenant notre at tention sur les moments de second ordre, du type covariance. Repre- nons les notations du w 6 auxquelles nous adjoignons la co~,ariance normde entre les entr6es :

Fx 1 ~X -- - - - E I X l ( t l ) X 2 ( t 2 ) } -

G1 ~2 ~ i (~2

Si le couple laplaeien (XI, X2) est de plus suppos6 eentr6, nous savons que sa fonetion earaet6ristique a pour expression :

] 9(a ,~ )= exp --~(G u 2 + 2 0 x ~ l ~ . u ~ , + ~ 2 ) ,

et eette fonetion jouit d'une propri6t6 partieuli~re de dgrivation qui est :

(39) ~ x 9(u, v) = (-- al ~2) k u~ vk ~0(u, v).

En nous limitant h une transformation 23 unila- t6rale, nous portons ~(u, r dans (17) et utilisons la propri6t6 (39), soit :

fc~ql(iu) u~ dufcv}2(i~ ) ~ q~(u, ~)d%

et par comparaison avec (i7), nous voyons appa- ra~tre au second membre l 'expression d'une covariance entre les sorties d'une certaine transformation 23Ik) d6finie par

i ~ u ~vh(iu ) et [~v~]2(i~).

Or, nous avons vu au w 6 que les earaet6ristiques de transfert associ+es h cette t ransformation 23~) sont pr6cis6ment les d6riv6es

Nous obtenons ainsi l 'expression du th6or~me II, laquelle demeure valable pour une t ransformation 2~ bilat6rale quelconque

(40) . ( ~ ) k E thl(X1) k2(X2)

Thdorbme I I : La ddri~,ge partielle d'ordre k quelconque de la covariance entre les sorties par rapport d la co~,ariance normde entre les entrdes d'une trans- /ormation de type 73 est proportionneUe 5 la co~ariance entre les sorties de la trans/ormation associJe 7S(~), suir (40). Cette trans/ormation 7~(~) a pour caractd. ristiques de trans/ert les d&ivdes d'ordre k des caractd- ristiques de trans]ert lides d ~ .

- - 2 1 3 - -

t2/18

8.2A. R. Price a montr6 la validi% de son th6o- r6me pour des moments d 'un nombre quelconque de dimensions. I1 a mont%, r6ciproquement, que la con- dition n6cessaire h la validit6 de (40) est que le couple (X1, X2) soit laplacien, car la fonction carac- t6ristique associ6e repr6sentc l 'unique solution de (39).

De m~me que pour le th6or6me I pr6c6dent, le th6or6me de Price permet, lorsque les d6riv6es des caract6ristiques de transfert ont une forme simple, de d6terminer rapidement par int6gration les covariances entre sorties exprim&s & partir des covariances norm&s entre les entrdes.

On dispose, pour ce faire, des k conditions aux limites n6cessaires :

(41) ]im P y = (al~) j lim E { h~)(X1)1.2'(X2)1 PX -+0 ~-~i " p~.-+0

= ((h (~2) ~" E I hi~"(X1) t E [ h~J'(X2) } p o u r / = Off (k- - l ) .

$.2.2. Lorsqu'on s'int6resse h la fonction d'auto- corr61ation apr6s une transformation simple, ce th6or6me est 6videmment valable; il donne, en utilisant les notations du w 7 :

(4o~) �9

3 ~ / C r ( v ) = (~2~ E { h'~)[X(t)] h(~) [X( t - v) ] }

avec les conditions aux limites

lim ( ~ ) ~" ~x+-o ~ Cr(~) = ~2;[E t h'; '(X) I]", i = 0 ~, (a. - - ~).

8.2.3. Remarque. Les r6sultats que nous avons obtenus, soit par

d6veloppement en s6rie des puissance de la covariance (w 6, relation (30)), soit dans l'expression (37) du th6or6me I, soit dans celle (40) du th6or6me II, concourent tous ~ la raise en relief du r61e pr~[& rentiel que jouent, dans les transformations ~3 de fonetions al6atoires de Laplace-Gauss, les ddri~,&s des caract&istiques de trans/ert. I1 semble m6me, comme nous le verrons plus loin, que ce r61e d6borde du cadre de cette loi de distribution pour s'av6rer d 'une importance tout h fait g6n6rale.

8.2.4. Donnons quelques exemples d'application du th6or6me I I :

Bascule de Schmidt au seuil S (fig. 4). O n a :

dh dx- ~(x- S),

5Cy _ ~2 /)'p(x~, x~) ~(x I - - S) ~(:r~ -- S) dx~ dx~ ~?x = z 2 p(S,S)

oh p(xl, x2) est la densit6 de Laplace-Gauss. Ceci donne, en se l imitant h la fonction de corr61ation. C'y(V) de la fonction al6atoire centr6e, telle que : C? = 0 pour 9x = O:

I Fpx(t) e-S*lo=(1 ~z~

G. BONNET [ANNALES DES TI~.LI~EOMMUNICATIONS

avec, eli particulier, pour S ~ 0 (6cr~tage infini unilat6ral) :

1 Cr(v ) = ~ arc sin 9x(~)

ce qui est le r6sultat de Van Vleck [14]. Limiteur lingaire (fig. 5)

d 2 h dx 2 - ~(x + A ) - - ~(.~. - - A )

d'ofl :

~ 2 C y ~p~ - ~ [ / A , A ) + p ( - - A , - - A )

- - p ( A , - A ) - p(--A, ,,I)I

soit :

Pi: ,7'1- qui est te r6sultat obtenu avec beaucoup de difli- cult6s par Robin [6].

8.2.5. Citons une extension int6ressante de ce th6or6me II, due h E. Lawrence McMahon [24] :

Si la fonction al6atoire Z(t) r6sulte de la transformation non lin6aire sans m6moire du couple gaussieu Xl(t), X2(t), soit

Z ~ h ( X 1 , X2) ,

on a, en conservant les m6mes notations :

(4Oc) �9

~ 4 ~ h(X~, X,~) I �9

La d6monstration est la m6me que pour le th6o- r6me de Price et les conditions d'emploi int6res- santes sent 4galement celles off la caract6ristl- que de transfert poss6de des d6riv6es de forme simple.

9. F O N C T I O N S D'INTERCOBBI~,LATION ENTB]~E-SORTIE.

Th6or6me III (d. J. Bussgang [15]).

Utilisons maintenant la relation g6n6rale (30) pour calculer la covariance

FxY(t, t') = E / X(t) Y(t ') }

entre l'entr6e et la sortie d 'un syst6me non lin6alre,, l 'entr6e X(t) 6rant laplacienne, suppos6e centr6e.

Pour ce faire, l 'une des caract6ristiques de transfert qui apparalt dans (30) traduira un fihre identique

d'ou

Y1 = ~l[Xd = x , - x ( t ) ,

l , , (~) = x,

et la seconde fournit

G = - ~ d x ~ ] = h~[X(C)J.

214

t. 19, n~" 9-10, 1964]

Pulsque toutes les deriv6es de hl(x ) d'ordre sup& r.;eur h I sont ainsi nulles, et que, X(t) &ant centree, o n a

E / ]11(X1) / ~ E{ X(,) { = O,

l'expression (30) nous donne

(42) Pxr(t, t') = E / X(t)h(X(t')l /

.... ~ { h (~)[x ( t ' ) ! l rx~(t, r!.

Lorsque X(t) est stationnaire, nous deduisons de cette relation une consequence importante : alors E I h'(X) / se reduit h une constante et la fonction d'intercorr61ation entree-sortie Cxr(X ) est tout simplement proportionnelle h la fonction d'auto- corr61ation Cxx(z) h l 'entree :

(43a) Cxr(V) = E { h'(X) }.Cxx(V).

Introduisons la fonction d'autocorr61ation normee pxx(z) egale h l 'unit6 pour 7 = 0 ainsi que la fonction d'intereorrelation norm6e

TRANSFORMA'IION DES ,qlGNAUX ALI~:ATO1RES 13/18

avoir 9xr(Z) = Pxx(X) et, pour calculer Cxr(z ), il suffit de determiner Cxr(0), soit :

(o,, . . < b o. E{ b.'(X) 1 = {a(x) }

~x ~' associfi fl Cxx(X) '

d'ofi ]a fonction d'intercorrelation

Nota : I1 est bon cependant de remarquer que le th6or~me de Bussgang se trouve en defaut ]orsque est une trans[ormat~on bilatgrale pair&

On a alors :

Pxr{<, (:x~(v:l(:xr': ~1,

qui jouit de la m6me propriete : il vicnt tout simplement :

(43b) | ps ~ 9XX(T).

C'est le thdor&ne de Bussgang [~5] : La /onction g'intercorrglotion norm& entre la sortie

Y(t) et l'entrde X(t) d'un sgst~me non lingaire sans mgmoire, attaqu6 par un signal X(t) gaussien stationnaire, est identique a la /onction d'autocorr~lation norm& de X(t).

Ce th6orbme a pu &re etendu h u n certain nombre de distributions autres que la loi de Laplace-Gauss [i6]. En particulier, Barret et Lampard [17] ont montre la validite de (43) pour la classe de densit6s de probabilit6 representables par un d6veloppement en serie diagonale de fonctions orthogonales, soit :

p(xl, x2) p(:q~ i ~ a(1)(~, ,, a 2)/~ p',x2) an un ,.c2;

tt~'O

Pour la loi de Laplace, 0,(x) est un polynSme d 'Hermite (formule de Mehler), pour la loi de Hayleigh, on a un polynSme de Laguerre, pour une sinuso~de d'amplitude fix@, 0,,(x) est un polyn6me de Tchebycheff.

Exemple : Correlateurs h relais [18]. Ce dispositif permet de calculer la fonction de

corr61ation d'une fonction aleatoire, laplacienne, en r6alisant, au moyen d 'un simple modulateur cn anneau, le produit

X. Y X (~i~ne de X).

On obtient ainsi :

( :xr( , i :_i , : I ..... X(t ~) - I ' >,(t, nl(,d -X, t z) "

D'apr6s le theor6me de Bussgang nous devons

E I h'(X) / = O,

et par suite :

(44) �9 9xr(Z)~,~ = o,

ce qui nous permet d'enoncer :

Corollaire. - - I1 n'y a aucune correlation entre une /onction al&toire gaussienne et sa trans/orm& dans un op&ateur non lindaire sans mdmoire bilat&al pai~.

Exemple :

Y = X 2~ --~ E I X(t) Y( t ~')/ = E I X(t) X 2 n ( t - - v ) /,

et les propri&6s connues des fonctions aleatoires de l~aplace-Gauss font que ce dernier nmment, d'ordre (2n q- t) impair est bien nul.

TROISIEME PARTIE

REPRESENTATION PAR DI~VELOPPEMENT EN SI~RIE

i 0 . M ~ T H O D E D E S H U T T E I : : t L Y .

Une autre approche, extr6mement riche, du pro- blame des transformations non lineaires a et6 pro- pos6e tr~s recemment par Shutterly []91.

Cet auteur d6crit la transformation :

~f(t) = ] ,[X(t)!

en utilisant les termes de d6compositlon harmoniquc de X(t). I1 suppose pour cela que X(t) est stationnaire centr& et que la earact6ristique de transfert hIx ) poss~dc des d6riv6es continues de tOLlS ordres, ou h la rigueur des discontinuit6s finies de premi@e esp~ce ; enfin, que la fonction de corr6- ]ation de X(t) est absolument int6grabte.

En ordonnant alors les composantes spectrales aff6rentes h la sSrie harmonique qui represente h(X), 61iminant les produits de Fourier qui conduisent h une frequence resultante diff6rente de zero pour ne conserver que des valeurs moyennes, Shutterly parvient, apr& un calcul extr~mement laborieux, �9 a ecrire h(X) sous la forme d'une s6rie de

termes en h(m)(X) (ou, par ergodisme, en E I h(m)(X) /

- - 2 1 5 - -

pond~r6s par les puissances d6gressives de X(t) : X% X "~-1, etc... On trouve finalement, en regrou- pant, une expression de la forme

o o

(45) �9 Y( ') =

6criture qu'il convient de ne pas confondre avec un simple d6veloppement en s6rie de Taylor, en ce sens que la loi de distribution de X intervient tout autant que la nature de la caractgristique de trans/ert h(x) dans l 'expression des coefficients de d6veloppement a v l

o o

(46) av = E ~, E { h(~+-)(X) }. ~ t ~ 0

De leur c6t6, les coefficients ~, qui d6terminent a~ ne d6pendent que de la loi de distribution de X ; ils peuvent done 4tre pr6d6termin6s une fois pour toutes et appliqu6s h l'dtude d'ensemble des transformations non lin6aires d'une fonetion al6atoire de fonction de r6partition donn6e. Ces coefficients sont donn6s [t9] par :

(47) % = i, ~ I = E [ X I = 0 ,

l

1 ~3 = --~.i E I X3},

I

.ooo..oooooo.

1 n-1 n-k, t ~162 k ~ I ~ E { X k ' I E I X " } I

n--2 n--k,--I ~--k,--k= ] - Z Z Z - - x

k,=a k,=a ~=~ kl! k2! ks!

EIXk'}E{Xk'}EIXk'}+... Par exemp]e, dans le cas oil X(t) est de Laplace-

Gauss, on obtiendrait sans peine :

9{ 0 = l , ~ 2 = - - i f 2 / 2 , ~4 = -- ~4/8 et o:~.+a = 0.

~0.1. Par ailleurs, on tire imm6diatement de (45) I'expression de la/onct ion de corrdlation de la trans- [ormde :

(48) �9 Cr(z)= E{Y(t) Y( t - -v)} O<3

= ~Op~-~q~. aq { X' ( t )Xq( t - -v)}

dans laquelle interviennent donc tous les moments du couple [X(t), X ( t - x)].

10.2. De son c5t6, L. L. Campbell [23] vient de donner une d6monstration simple et 616gante de la formule de Shutter ly : il par t des propri6t6s des polyn3mes d'Appel On(X) tels que :

dtD~ O0(x ) = 1, dx - - nO.--1 pour n = 1, 2, 3 . . . ,

et soumis en outre h ]a contrainte

E lOs(x) }= 0 (n = ~, 2, 3 . . . ) .

G . B O N N E T [ANNALES DES T]~L]~COMMUNICATIONS

Ces polynSmes sont done d6termin6s par les dif- f6rents moments E I X ~ t : ils sont ainsi li6s h la loi de distribution de X(t).

En supposant pour commencer que la caract6- ristique de transfert h(x) est polynomiale de degr6 n, il est toujours possible de l'6crire sous la forme :

k = 0

D6rivant p fois (p ~ n) en utilisant les propri6t6s pr6cit6es, on trouve ainsi :

E { h(v)(X) I = p! ~ .

D'ofi la repr6sentation :

% ( X ) Y = h(X) = v=o ~ E{ h(v)(X)l p!

Moyennant quelques conditions tout h fait g6n6- tales sur h(x) et la fonction de r6partition de X(t), on peut g6n6raliser ce r6sultat dans le cas de carae- t6ristiques de transfert quelconques, ce qui donne :

~o % ( x ) �9 Y = h(X) = v=0 ~] E {h(~'(X)} p!

Cette expression s'av6re bien identique a l 'expression (45) de Shutterly, compl6t6e par (46) et (47).

Les polyn6mes O,(X) d6rivent de la fonction g6n6ratrice

el"X]@(u)

Oil q~(u) est la [onction earact&istique de X( t ) ; et l 'on a :

[ ~n eluX] O.(X) = (-- i) ~ [~Xu~ 9~)j==o

C'est ainsi que la th6orie de Campbell permet de mettre en 6vidence le fait tr6s important que, lorsque X(t) est de Laplace-Gauss (r m), done de fonction caract6ristique

exp (ium -- r 2 u~[2)

le polyn6me d'Appel se ram6ne h u n polyn&ne d'Hermite :

O~(X) = (-- i)" [~u~ eXp [iu[X-- m] + ~r2 u2[2)]~.o,

spit

@,(X)

Les propri6t6s d'orthogonalit6 des polyn6mes d 'Hermite font alors que la fonction de corr61ation (48) va, comme nous allons le voir, d6g6n6rer sous une forme net tement plus simple dans le cas gaussien.

l i . C A S G A U S S I E N .

L'avantage de la m6thode de d6veloppement en s6rie est de fournir une solution directement valable pour route loi de distribution de X ; elh n6cessite 6videmment l'enti6re connaissance de la fonction de

216

t. 19, n ~ 9-10, 1964] T R A N S F O R M A T I O N D E S

r6partition (ou de la fonetion caract6ristique du couple [X(t), - - x]) ceci d6coulant d'ailleurs du caraet~re non lin6aire de la transformation ~3.

On peut par contre lui objecter des diffieult6s de calcul, a priori comparables /~ celles 6voqu6es propos de la m6thode directe.

Cependant, lorsque X(t) est de Laplace-Gauss, on salt que tout moment apparaissant dans (48) dolt pouvoir s'exprimer au moyen de la senle fonetion de corr61ation Cx(x ) de X(t). Effectivement, il est alors possible de trouver, h partir de (45), 1'expression suivante tr~s simple de la fonction de corr6- lation de la transform6e :

(30b) . Cy(z),~,)l. = k=~0[E t h(k)(X) , j

laquelle fait donc intervenir uniquement la fonction de corr61ation de X(t) et les esp6rances math6ma- tiques des d6riv6es successives de la transform6e.

Or, c'est exaetement eette solution h laquelle nous a d6jh conduits la m6thode analytique expos6e au w 6 dans le cas gaussien actuel : la relation (30b) h laquelle conduit la m6thode de Shutterly est celle qui nous 6tait d6jh apparue comme cas particulier de la relation g6n6rale (30), ee qui ne fait que confirmer l'unicit6 d 'un tel d6veloppement.

12. T R A N S F O R M A T I O N ~ S I M U L T A N I ~ . E D ' U N S I G N A L E T D ' U N B R U I T .

Lorsque la fonction h transformer se compose d 'un signal S(t), certain ou al6atoire, et d 'un bruit B(t), stationnaire centr6, h savoir :

X(t)= S(t)+B(t), avec E I B I = 0,

les formules pr6c6dentes demeurent 6videmment valables.

Cependant, il peut ~tre tr~s int6ressant d'obtenir une repr6sentation, soit de la transform6e, soit de sa fonction de corr61ation, dans laquelle les termes li6s au signal seraient s6par6s de ceux li6s au bruit.

On y parvient ais6ment dans l 'hypoth~se off le bruit est indgpendant du signal, en eonsid6rant le signal S(t) comme une perturbation.

En effet, on peut alors d6velopper la transform6e en s6rie des puissances de S(t), soit :

co Sv(t) Y(t) = hiS(t) -4- B(t)] = E hr

p=O ~ - . T

et chaque d6riv6e h(v)[B(t)] peut gtre trait6e eomme l '6tait pr6c6demment le terme h[X(t)], ce qui donne lieu h une repr6sentation du type (45) :

c~ a Z ~Bq(t ) .

q=O q.

On 6crit done la transform6e :

(49) �9

avee :

(50)

oo

Z arq St(t)Bq(t), u = l~[s(t) + l~(t)] = o p! q!

C~3

S I G N A U X ALEATOIRES t5/t8

les ~ demeurant d6finis par (47). I1 est remarquable que les coefficients de d6veloppement de (49) ne d6pendent que des propri6t6s statistiques du bruit et de la forme de la caract6ristique de transfert inddpendamment de la nature du signal.

La repr6sentation de la fonction de corr61ation de la transform6e d6coule imm6diatement de ce qui pr6e~de. On a :

a~q ars (51) Cy(x)= ~ p!q!r!s!

E tS~(t) St(t-5") tEIBq( t) Bs(t- '~) t"

Alors que, dans le cas gaussien, il est possible d 'aboutir h la relation plus simple suivante, laquelle g6n6ralise (30b) :

oo 1 (5 ')) Cy(T)lapl . = ~ p, q! 1.!

~ . q , r "

E t Sv(t) St( t - v) } E I b(V+q)(B) } E I hr I [CB(T)] ~

CB(z ) 6rant la fonction de corr61ation du bruit B(t) gaussien.

L'ensemble de ces r6sultats permet de trai ter compl~tement et ais6ment le cas particulier impor- rant off S(t) est sinusoidal d 'amplitude donn6e.

13. E X E M P L E .

Nous allons traiter le cas d 'un ddtecteur lindaire ~t double alternance d6crit au w 3.2 et en faisant appel successivement h la m6thode analytique et h la m6thode des d6riv6es de la earact6ristique de transfert, reprise par Shutterly.

13A. Mfithode analyt ique .

Consid6rons un bruit pur X(t) stationnaire et gaussien, de variance z2. D6crivons la earact6ris- tique de transfert du d6tecteur par :

t L x pour x>~0, (53) Y = hIx) = ]xl = x pour x < 0.

I1 s'agit donc d'une trans[ormation bilat~rale pat, e (fig. 12) et un raisonnement calqu6 sur celui du w 7 fournit dans co cas la fonction de corr61ation :

co G 4k (54) Cr(~),air = 4 E 2

% b y = h (x)

S # / ~ X

Fro. ' 12 . - D6tecteur lin6aire h double alternance.

off ck demeure d6fini par (25) et oh la fonction de

- - 217 - -

16118 corr61ation de X(t) a 6t~ s6par6e en variance et fonction de corr61ation norm6e :

Cx(~) = ~ ~x(C')-

On a donn6 par ailleurs en 3.1.1 l 'expression de ~(iu) eorrespondant au d6teeteur lin6aire, soit pour S ----- 0

~( iu) = - - ~/~t 2.

Par suite, en por tan t dans (25) :

t f c e-a~u'12 u"k-2 d~

ce qui donne : pour k >~ I

C2/c --

et pour k --: 0

1 (2h. - 2 ) ! ' ( ~ l ~ 2 k

V , ~ 2/r162 - - ] ) !

I f e-"'u"/~

Ainsi la fonction de corr61ation Cr(z) h la sortie du d6tecteur lin6aire vaut-elle en por tant ces valeurs dans (54):

(~5) Cr('~)=~z~'ll+ ~, [ ( 2 a - 2 ) ! 12p2~(,~)t ~=, t~-~(~ ~)!j ~ '

= ~ l + ~ + ~ + s 6 + . . . .

r6sultat obtenu par ailleurs (cf. [20], page 67) par la m6thode directe.

t 3 . 2 . Mf i thode des d~r iv6es .

I1 faut caculer ici

t f + o o

pour la forme particuli@e (53) donn6e h h(x). Nous avons imm6diatement :

E { h(X) I = z V/27 =-

Puis (cf. (53) et fig. 12) :

I + I pour x ~> 0 h'(x) = r p o u r x < 0' d'ofl E{h ' (X)} := 0,

9 h"(x) = 28(x), d'ofi E { h'(X) } = (~ X' ~'

h(k)(x) = 2~(k--2)(X), pour k > 2,

et d'apr~s les propri6t6s connues des d6riv6es de la distribution de Dirac, on a, en appelant O~(x) la densit6 de la loi de Laplace-Gauss, centr6e et de variance z :

~) E{ h(2k)(X) } = 2 ( I ) ( o 2 k - - 2 ) ( 0 )

/Y ( -? -~(2k - 2),

G. B O N N E T [ANNALES DES TI~L]~COMMUNICAT1ON$

Par suite, et en se repor tant h (30b), la fonction de corr61ation Cy(z) s'6crit au moyen des d6riv6es paires h l'origine de la densit6 de Laplace, sous la forme :

') Oo

Cr(~) = : ~ + 4 ~ ~@(~k-~)(l)~2 ~ p2~(~), 717 k = l . . . . . '.2k)!

laquelle redonne exaetement l 'expression (55).

13.3. C o m p a r a i s o n .

I1 n 'apparai t pas clairement de ditt6rence entre les niveaux de difficuh6s pr6sent6s par l 'une ou l 'autre m6thode de calcul.

Par contre, puisque X(t) est suppos6 gaussienne, il est bon d'effectuer une comparaison avec l'application directe du th&,'~me de Price, valable dans ce cas.

Nous venons de voir quc h"(x) = 28(x). Portons cette valeur dans l 'expression (40b) du th6or6me de Price, pour k = 2 : nous obtenons, par un raisonnement similaire h celui du w 8.2 :

~2 ' .) C r = q2 ]i: { ]t,[ X ( t ) ] } t , , [X(t .r)] } = - 2 t.

b' " = gi-p~"

bCy Une premi@e int6gration fournit, puisque - - - - =- 0

bp pour p = 0 :

~Cr 2 . . . . z 2 arc sin Px, ~Px rr

et une sceonde int6gration sutlqt h d6terminer le r6suhat cherch6, Cr(z), exprim6 en fonction de la fonction de corr61ation norm6e de X(t). On t ient compte des conditions aux limites qui sont telles que, pour Px = 0 on ait :

c~c,o~ = o; = [Et y I ] " = ~,:,~/~.

D'ofl le r6sultat :

(56) 9

On peut alors constater, en dBveloppant en sBrie des puissances de px(V), que l 'on retrouve bien l 'expression ant6rieure (55).

I1 semble bien, d'apr~s cet exemple, et bien d 'autres que l 'on peut imaginer, que l 'application judicieuse du th6or~me de Price conduise h des calculs plus rapides que les autres proc6d6s, avec cette restriction que sa validit6 est limit6e au seul cas gaussien.

14. CONCLUSION.

Cette revue d'ensemble nous a montr6 que le t ra i tement th6orique des probl~mes li6s h une transformation non lin6aire est en g6n6ral d 'un niveau assez difficile, malgr6 la simplification consid6rable et tr~s restrictive apport6e par l 'hypotb~se d 'une absence de m6moire.

-- 218

t. t:t, n ~ 9-10, 1964] TI IANSFOHMATION DES S I G N A U X A L E A T O I B E S

Les trois m6thodes principales : m6thode direete, m6thode ana ly t ique ou d6ve loppemen t en s6rie, para issent devoir se compl6ter p lu tb t que s 'opposer. Eu fait , nous disposons avec elles d ' un outi l math6- ma t ique su i t l samment puissant pour pe rme t t r e de r6soudre la p lupa r t des probl~mes pos6s, et le choix de te l ou tel proc6d6 devra p lu tb t 6tre effectu6 dans chaque cas part icul ier , en se basan t sur des consi- d6rat ions de simplicit6. C'est seu lement darts le cas gaussien qu 'on est en droi t de penser que le th6o- r~me de Pr ice surpasse en rapidi t6 les autres pro- c6d6s de calcul d 'une fonct ion de corr61ation.

1 5 . A P P E N D I C E .

lnt6grales du type rjoO~E { 3(n)( X __ a)}o=Vt dt

pour X laplaeien (m, ~2). Ce type d ' int6grales a 6t6 6voqu6 '~ propos du

th6orgme I du w 8.1 lorsque la caract6r is t ique de t r ans fe r t est polynonfiale. Nous uti l iserons pour les repr6senter les d6riv6es de la fonct ion de Gauss, ainsi que l ' int6grale d 'er reur , soit r e spec t ivemen t :

d '~ , (l" i e_:,,.]2 0,,,% = ~ .0 (~ d=.x/T.

et

/ r == r d:c = '~- elf �9

1 o E x p r e s s i o n de E { 8 ( ' ) (X - - a) }.

n 1 E { ~" ' (X - .,)} = ;--v ' d " ~ e-('-'~)'/'-'o'

soit

E{ (~(')(X--a) }o=~/t- t(n+~)lz (~(m ~ V i ] ,

2 ~ I n t ~ g r a l e p o u r n = 0

t s ' int~gre par part ies, apr~s avoir pos6 u = t - q ~. Ce qui donne

(2) E { 8(X--a) }o_v'idt = (~ e-(.- . ,)~bo ~

- l .

3 o I n t ~ g r a l e p o u r n = t .

fo' (3) i~: I ~ ' ( x - . ) {o= ~/i ,l~

-- la - - m[I I - - 2r \ (~ ]1' pour a 5/= m,

- 0 , p o u r a = m .

4 ~ I n t f g r a l e s p o u r n >~ 2.

4.1. S i a = m . ( ) h a :

E { ~(m(X - m) ~o-Vt ~ (--',~ O(~/(0) t-('+~)]~"

17/18

D'o5 les deux possibilit6s : A) n = 2 k , pair, e t a - ~ m

(4) E { 8'~k)(X - m) }a=vidt

[,,__ )/c+l ] ('-)/f) ! l /~)0.

B) n = (2k + l ) , i m p a i r , e t a = m

f f (5) E{S(~k+~)(X--m)}~_v~dt- 0, /~>~0.

4.2. S i a r m e t n >~ 2. On effeetue le ehangemen t de var iables u = t - l l 2

ee qui donne :

I-)"f~ ["- ''~ d~ t ~7- / ,,.+,,1~

., . , _ f r ~ r ,,,) 1.] - " = -(--) ~ l , ~ - ,, - - du,,

r i b \ n - 2 s . ) = '2(--P t[?X) ~ ! ~ O ( 'u) d~]x_ a .... "

Soit entin :

(6) f ~ ~,: I ~,,.~(x - ~,) }o=vi a~

- - . ' [,~x] 12 (P' (~) 1 Ix=o_.-" Par exemple :

o ~' E I ~(a)( X -- a) } o--gi dt

= ~ ~ �9

Manuscrit refu le 23 iuin 1964.

B 1BLIOGRAPH IE

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219 - -

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[14] LAwso~ (J. L.), UHLENBECK (G. E.), Threshold signals. (Le scull de d6tection des signaux.) MacGraw-Hill, N. Y. (t950), 388 p., nombr. fig., bibl. (nombr. rdf.).

[t5] BUSSGANC (J. J.), Cross correlation functions of amplitude distorted gaussian signals. (Fonctions d'intercorr61ation de signaux gaussiens ayant subi une distorsion d'amplitude.) Tech. Bept. 216, sec. 3 (26 mars 1952), MIT Cambridge, Mass.

[16] BROWN (J. L.), On a cross-correlation property for

stationary random processes. (Sur une propri6td de corrdlation concernant les processus aldatoires stationnaires.) I. B. E. Trans., 1. T., U. S. A. (mars 1957), 3, n ~ 1, pp. 28-31. bibl. (3 rdf.).

[17] BARRETT (J.), LAMPAIID (D.), An expansion for some second-order probability distributions and its application to noise problems. (Sur un d6ve- loppement en s6rie de certaines densit6s de pro- babilit6 bi-dimensionnelle et ses applications h des probl6mes de bruit de fond.) I. B. E. Trans., I. T., U. S. A. (mars 1955), 1, n ~ 1, pp. 10-15, 4 fig.

[18] MANDROVSKY-SOLOKOV (B. Y.), Avtomatika U. R. S. S. (1959), 4.

[~9] SHUTTERLY (H, B.), General results in the mathematical theory of random signals and noise in non linear devices. (Rdsultats g6n6raux concernant la thdorie mathdmatique des signaux alda- toircs et du bruit dans les dispositifs non lindaires.) 1. E. E. E. Trans., 1. T., U. S. A. (avr. 1963), 9, n ~ 2, pp. 74-84, bibl. (7 r6f.).

[20] BLANc-LAmERnE (A.), P~CINBONO (B.), Propri6tds statistiques du bruit de fond. Masson, Paris (1961), 104 p., nombr, fig., bibl. (12 r6f.).

[21] BEr~NETT (W. R.), The biased ideal rectifiers. (Le redresseur polaris6 parfait.) Bell Syst. tech. J., U. S. A. (janv. 1947), 26, n ~ 1, pp. 139-169, 22 fig., bibl. (t0 rdf.).

[22] Hsc (J. C.), Integral representation of zero- memory non linear functions. (Reprdsentation sons forme d'int6grales des fonctions non lindaires h mdmoire nulle.) Bell Syst. tech. J., U. S. A. (nov. 1962), 41, n ~ 6, pp. t813-t830, bibl. (27 rdf.).

[23] CAMrBELL (L. L.), On a class of polynomials useful in probability calculations. (Sur une classe de polyn6mes utilis6e en calcul des probabilit6s.) I. E. E. E. Trans. 1@ Th., IT-10, 3 (1964), pp. 255-256.

[24] LAWaENCB McMAHoN (E.), An extension of Price's theorem. (Une extension du th6or~me de Price.) I. E. E . E . Trans. In[. Th., IT-10, 2, (t964), p. t68.

COMPTES RENDUS DE LIVRES

]~16ments de calcul des probabilit6s th6orique et appliqu6 *

de Y. BASS

Dans ce volume, l 'auteur pr6sente son cours de calcu des probabilitds profess6 ~ l'Ecole Nationale Sup6rieure de l'A6ronautique.

II s'agit donc d'un cours destin6 h des 616yes ingdnieurs, et tr6s orientd vers les applications pratiques. I1 se limite h prdsenter les bases et les r6gles fondamen- tales de cette discipline. L'expos6 en est tr6s clair, aceompagn6 d'exemples illustrant bien les m6thodes.

Le niveau math6matique n6cessaire est celui des 616yes des grandes dcoles d'ing6nieurs ou des dtudiants de premi6re annde de licence. Toutefois, l 'auteur 6vite les matMmatiques abstraites, la thdorie de la mesure, l'int6grale de Stieltjies, ainsi que certains points d61icats du ealcul des probabilit6s, tels que la convergence presque sfire et la loi forte des grands hombres.

Les sept premiers chapitres traitent des variables al6atoires, et se terminent par les propri6tds fonda- mentales de la loi des grands hombres et de la tendance vers la loi normale.

Les deux chapitres suivants constituent une introduction 616mentaire aux fonctions aldatoires, avec des exemples tr6s imagds relatifs h la balistique et h la turbulence. L'auteur prdsente surtout les fonctions aldatoires stationnaires d'ordre deux, en dormant une interprdtation physique de la fonction spectrale, et en esquissant la notion d'ergodisme.

Enfin, dans les deux derniers chapitres, l 'auteur expose certaines des applications les plus importantes de la statistique, en fournissant quelques notions sur les probl6mes d'estimations et de tests.

L'ouvrage, se terminant par un hombre important d'exercices, de difficultd et de nature varifies, est finalement tr6s utile pour les 6tudiants et les ingdnieurs ddsirant asqudrir ais6ment les notions essentielles du calcul des probabilitds. Par les exemples donnds, il s'adresse particuli6rement h ceux qui 6tudient la m6ca- nique des fluides. Toutefois, l'ing6nieur du t6l@hone ne peut y trouver expos6e la th6orie des processus de Markov, n6cessaire pour 6tudier l%coulement du trail(: daMs des r6seaux de circuits t61@honiques.

P. L~ GALL.

* Ed. Masson, Paris (!962) ; t vol. reli6 16 X 2[~ ; IV-[-219 p.; 71 fig.; 6 tabl.; bibl.{~0 r6f . ) . - -Pr ix: 34 F. - - Ouvrage re~u en service de presse ; annonc6 dans le Bulletin signaldtique des tdl~eommunications (janvier 1963) sons la cote L 6791.

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Documents

Transformations des signaux aléatoires a travers les systèmes non linéaires sans mémoire