Année 2013/2014

Travaux pratiques, L3

Electromagnétisme 3

Encadrant : Frank WAGNER : frank.wagner@univ-amu.fr Responsable module: Gérard TAYEB : gerard.tayeb@univ-amu.fr

3 séances de 4 heures

Rendre le compte-rendu à la fin de la séance.

Ne pas négliger les calculs d’incertitudes.

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TP 1 : Réflexion d’une onde électromagnétique polarisée par une interface diélectrique On se propose dans ce TP de comparer des mesures de réflectivité en intensité d’une onde électromagnétique polarisée et l’expression théorique qui est donnée par les « formules de Fresnel ». L’interface utilisée est de type diélectrique et on mesurera, entre autre, l’angle de Brewster. Rafraîchissez vos connaissances sur le sujet (cours et autres sources). Apportez les formules utiles en TP. Résumé de la théorie : Lorsqu’une onde électromagnétique plane se propageant dans un milieu diélectrique d’indice n1 (superstrat) rencontre une interface plane avec un autre milieu diélectrique d’indice n2 (substrat), une partie de l’onde est réfléchie par l’interface et l’autre partie est transmise (voir Figure 1).

Figure 1 : Une onde plane incidente sur une interface diélectrique. Définition des notations.

Les vecteurs de propagation 1k

, rk

et tk

ainsi que la normale de l’interface forment le plan

d’incidence qui est perpendiculaire à l’interface (ou dioptre). Les fractions réfléchie et transmise de l’onde incidente sont déterminées par les conditions de passage de l’électrodynamique. (La continuité de H|| et E|| à l’interface, où l’indice || indique la composante parallèle à l’interface). On définit les coefficients de réflexion en champ, r, par

1ErEr , où rE et 1E sont les amplitudes des champs électriques de l’onde réfléchie et de l’onde incidente. Il faut distinguer deux cas de polarisation pour exprimer les r :

Cas E|| : lorsque le champ électrique est perpendiculaire au plan d'incidence et parallèle au dioptre.

Cas H|| : lorsque le champ magnétique est perpendiculaire au plan d'incidence et parallèle au dioptre.

Dioptre

t

n1

n2

r 1

t

1k

rk

tk

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Les coefficients de réflexion en champ, également appelés les « coefficients de Fresnel » dépendent du cas de polarisation et valent:

t

tE nn

nnr

coscos

coscos

21

21

dans le cas E|| et t

tH nn

nnr

coscos

coscos

12

12

dans le cas H||

où les angles et t sont liés par la loi de réfraction : tnn sinsin 21

Ces coefficients de Fresnel r permettent de calculer la fraction d'énergie réfléchie R et la fraction d'énergie transmise T : 2rR

et, pour des milieux non-absorbants : RT 1 (Tout ce qui n’est pas réfléchi est transmis)

Incidences particulières :

1. Incidence normale : 00 t

On obtient 21

21

nn

nnr

où le signe négatif (si 12 nn ) indique un saut de phase de 180°

2. Angle de Brewster : En polarisation H||, il existe un angle d’incidence B pour lequel la réflexion est nulle,

l’angle de Brewster. Pour cet angle, qui est donné par 12tan nnB , le rayon réfléchi et le rayon transmis forment un angle de 90°.

Matériel utilisé : * Un module de diode laser émettant un faisceau continu (et rouge) de faible divergence. Comme la divergence du faisceau est faible, on conclut que les fronts d’ondes ne sont pas très courbés et on peut alors approximer le faisceau par une onde plane. (Bien que le faisceau soit limité latéralement, ce qui n’est pas le cas d’une onde plane.) * Une photodiode avec électronique amplificatrice reliée à un multimètre. Le signal affiché est proportionnel à la puissance de la lumière touchant la partie active de la photodiode. Par contre il faut faire attention à la saturation ! * Un objet en verre avec au moins une interface polie. * Un plateau tournant avec graduations en degrés et minutes sur lequel on posera l’objet en verre. * Deux polariseurs à polymère (Polaroïds®). Ce sont des polymères dont on a aligné les molécules en étirant la matière et, par la nature du polymère ou par un post-traitement adapté, le matériau est alors conducteur dans le sens des molécules, mais pas perpendiculairement à celles-ci. Ces polariseurs transmettent la lumière polarisée perpendiculairement au sens des molécules conductrices. * Un banc optique permettant de fixer les éléments (autres que la photodiode). * Ordinateur avec un logiciel tableur (Microsoft Excel, Open Office Calc ou similaire) et imprimante. Vérifier la présence et le bon fonctionnement du matériel.

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Déroulement des mesures : 1. Installation du montage : Positionner les éléments et/ou vérifier leur bon

positionnement selon Figure 2.

Figure 2 : Schéma du montage.

Les polariseurs 1 et 2 sont des polariseurs rectilignes. Le polariseur 2 fixe la polarisation de la lumière incidente sur l’interface. Le polariseur 1 peut servir à régler l’intensité de la lumière (en effet, la source émet une lumière déjà polarisée, et qui doit passer à travers les polariseurs 1 et 2, chacun d’entre eux étant susceptible, selon son orientation, d’atténuer le faisceau). Alignement des éléments :

a. La diode laser doit émettre horizontalement le long du banc optique. b. Mettre la photodiode sur un pied indépendant du rail et à la bonne hauteur. c. Positionner l’objet en verre sur le plateau tournant tel qu’il soit possible de mesurer

de grands angles d’incidence sans qu’il y ait des pertes aux bords (voir Figure 3).

Figure 3 : Bon positionnement de l’interface par rapport au faisceau et à l'axe de rotation.

2. Recherche de l’angle de Brewster : Sachant que l’angle de Brewster pour un verre est

un peu plus que 45°, chercher l’angle de Brewster exact. Il y a deux conditions à réaliser : avoir la bonne polarisation incidente sur l’interface, et avoir le bon angle d’incidence. On procèdera donc de manière itérative, en minimisant l’intensité du faisceau réfléchi (contrôle sur un écran) : - Chercher l’angle qui donne la réflexion minimale. (On s’approche ainsi de l’angle de Brewster.)

Source

Détecteur ou écran

Polariseur 1 Polariseur 2

Objet en verre

Rail optique

NON

OUI NON

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- Chercher la polarisation qui donne la réflexion minimale. (On s’approche ainsi de la polarisation P①). Répéter les deux étapes pour obtenir l’angle de Brewster exact. Attention, il ne s’agit pas d’éteindre la lumière incidente sur l’interface au moyen des polariseurs P1 et P2, mais d’annuler la réflexion sur l’interface. Le phénomène doit être sensible à l’angle d’incidence. Remarque 1 : Il n’est pas possible d’obtenir une annulation complète de la réflexion, mais elle devient très faible. Elle est d’autant plus faible que nos yeux (comme tous nos sens) ont une sensibilité logarithmique et détectent alors des minimes quantités de lumière dans un environnement sombre. Remarque 2 : Ne pas oublier de noter à quelle lecture d’angle correspond l’incidence normale et à partir de ce moment ne plus déplacer l’objet en verre par rapport au plateau tournant. Remarque 3 : Ne pas passer trop de temps pour cette étape (1/2 h maximum).

3. Rester en polarisation P, mais atténuer le faisceau laser avec le polariseur 1 jusqu’à ce

que la photodiode ne sature plus. (Test en direct ou à incidence rasante.)

4. Rester en polarisation P et mesurer l’intensité réfléchie en fonction de l’angle d’incidence. (Avec un pas de 5°) Faire attention aux points suivants : a. Afin de mesurer l’intensité du faisceau réfléchi, il est nécessaire que TOUT le

faisceau réfléchi pénètre la zone active de la photodiode. Cette situation est obtenue si le signal est indépendant de petits mouvements latéraux de la photodiode.

b. L’incidence du rayon réfléchi sur la photodiode doit être proche de 0°. c. La lumière laser n’est pas la seule lumière qui touche la photodiode ! Chaque

mesure consiste en deux lectures : (i) une valeur avec le faisceau laser qui passe et (ii) une valeur avec le faisceau laser occulté (par un obstacle, feuille de papier par exemple) sans que rien d’autre ne change (portes qui s’ouvrent, lampes de poches qui s’allument, gens qui se déplacent…).

d. Toute la mesure est à recommencer si, en une position quelconque, la photodiode sature.

5. Passer en polarisation S② en utilisant la graduation sur le polariseur. Vérifier l’absence

de saturation de la photodiode. Faire la mesure en polarisation S. 6. Éteindre tous les appareils quand vous avez terminé vos mesures (source, détecteur,

multimètre). Analyse : Avant de commencer l’analyse des données, montrer votre protocole de mesures complété d’une estimation des incertitudes (lectures, systématiques etc.) à un encadrant.

① En « polarisation P » le champ électrique est parallèle au plan d’incidence. On la nomme aussi « polarisation TM » (le champ magnétique est transverse au plan d’incidence). Dans le cours, vous parlez de polarisation H|| (le champ magnétique étant parallèle à l’interface entre les deux milieux diélectriques). Toutes ces notations sont identiques. ② La « polarisation S » est perpendiculaire à la « polarisation P ». Les notations équivalentes sont : « polarisation TE » et « polarisation E|| ».

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Comparer vos mesures à la théorie en faisant un graphe qui respecte les conventions habituelles :

- Des points de mesures sont représentés par des points non-connectés par une ligne. - La courbe théorique est représentée par une ligne fine (échantillonnée plus finement

que les mesures). - Une légende permet d’identifier quelle polarisation a été utilisée. - Un graphe à un titre, deux axes avec unités etc. - Le tracé utilise un maximum de la surface définie par les axes.

Discutez brièvement la concordance de vos résultats expérimentaux avec les prévisions théoriques ! (Indice de réfraction du verre : n = 1.5). Questions annexes :

1. Donnez une gamme raisonnable encadrant la longueur d’onde de votre onde électromagnétique.

2. Pourquoi un polariseur polymère ne laisse-t-il pas passer la lumière qui est polarisée

rectilignement dans une certaine direction?

3. Quel comportement )(R attendez vous pour de la lumière non-polarisée ? Représenter la courbe théorique

Vous avez 4 heures. Il faut rendre le rapport à la fin de la séance. L’ordinateur doit servir à faire des graphes de bonne qualité, mais pas à rédiger le compte rendu.

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TP 2 : Changements de la polarisation par des milieux biréfringents On se propose dans ce TP d’étudier l’action de milieux biréfringents sur l’état de polarisation de la lumière qui les traverse. Les milieux biréfringents trouvent des applications technologiques importantes comme les isolateurs optiques, les interrupteurs électro-optiques et les écrans à cristaux liquides (LCD). � Rafraîchissez vos connaissances sur les mots clés suivants : biréfringence, biréfringence rotatoire, activité optique, lame demi-onde, lame quart d’onde et dispersion (n(λ)) en utilisant le cours et d’autres sources. Résumé de la théorie : Lorsqu’une onde électromagnétique plane rencontre un dioptre séparant un milieu isotrope et un milieu anisotrope (biréfringent), l’anisotropie des constantes électromagnétiques du matériau (permittivité etc.) a pour conséquence qu’il existe dans le matériau anisotrope deux solutions de l’équation de propagation. De ce fait, seuls certains états de polarisation sont permis (peuvent se propager) dans le milieu, on parle de polarisations propres. En général il existe deux états de polarisation propres qui sont orthogonaux entre eux. Une onde d’un état de polarisation quelconque qui entre dans le milieu peut alors se décomposer en une superposition cohérente des deux états de polarisation propres. Les deux ondes propres se propageront dans le cristal, chacune avec sa vitesse (avec son indice) et, à la sortie du cristal, les deux ondes propres créeront par superposition cohérente une onde résultante qui continuera sa propagation dans le vide. En général cette onde résultante n’a pas la même polarisation que l’onde incidente. Nous regarderons deux cas de biréfringence :

1. Celui de la biréfringence rotatoire Pour les matériaux ayant une structure hélicoïdale, la propagation dans le sens de l’axe de l’hélice peut se décrire comme une superposition d’une onde de polarisation circulaire gauche et d’une onde de polarisation circulaire droite, avec des indices différents. Nous utiliserons un cristal de quartz traversé dans une direction particulière par rapport à sa structure cristalline, mais on obtiendrait le même effet dans certaines solutions sucrées. On parle dans ce contexte aussi d’activité optique. La décomposition d’une onde de polarisation rectiligne en une onde de polarisation circulaire droite et une onde de polarisation circulaire gauche donne deux ondes de même amplitude. Une superposition cohérente d’une onde de polarisation circulaire droite avec une onde de polarisation circulaire gauche de même amplitude donne une onde polarisée rectilignement, quel que soit le déphasage des deux ondes (voir Figure 1). Une onde incidente de polarisation rectiligne est donc transformée par ces matériaux en une onde de polarisation rectiligne (dans tous les cas) avec une direction de polarisation autre que celle de l’onde incidente. On mesurera l’angle de rotation entre les polarisations incidente et sortante.

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Figure 1 : Composition d’une onde de polarisation linéaire (en rouge) à partir de deux ondes de polarisation circulaire de sens contraire et de même amplitude (en noir), et représentées à 2 instants (t1 en trait plein, t2 en pointillés). Toutes les flèches droites représentent des vecteurs du champ électrique. L’onde se propage vers l’observateur.

2. Celui de la biréfringence uni-axiale Pour d’autres milieux on peut décrire la propagation à partir d’une décomposition en deux ondes de polarisation rectiligne dont les orientations sont perpendiculaires. En général il existe trois axes orthogonaux fixés par la structure cristalline. Chacun de ces axes correspond à un indice optique différent. Souvent deux des trois indices sont identiques et on parle de matériaux uniaxes car ces matériaux ont un seul axe optique. Un axe optique (souvent l’axe de symétrie du réseau cristallin) correspond à une direction de propagation pour laquelle l’indice optique ne dépend pas de la polarisation. Dans les cristaux uniaxes, il existe aussi une polarisation (rectiligne) pour laquelle l’indice ne dépend pas de la direction de propagation, on parle de polarisation ordinaire. La polarisation ordinaire est perpendiculaire au plan formé par la direction de propagation et l’axe optique du cristal. Le cas général, plus compliqué, est celui des matériaux biaxes. La décomposition d’une onde en deux ondes de polarisation rectiligne avec des orientations perpendiculaires (matériaux uniaxes et biaxes) donne en général des ondes d’amplitudes différentes (voir Figure 2a). La superposition cohérente des deux ondes propres donne une onde dont l’état de polarisation dépend du déphasage des deux ondes. Par exemple : La superposition de deux ondes de même amplitude et de polarisations rectilignes perpendiculaires ayant un déphasage d’un quart de la longueur d’onde (ou, ce qui revient au même, un quart de la période) donne une polarisation circulaire (voir Figure 2b). Un élément optique qui génère un déphasage d’un quart de la longueur d’onde est appelé « lame quart d’onde ». Une « lame quart d’onde » peut ainsi transformer une polarisation rectiligne en une polarisation circulaire, ou elliptique, ou la laisser rectiligne, en fonction de l’orientation entre l’axe optique du cristal et la polarisation rectiligne incidente. Le deuxième exemple important est la « lame demi onde » qui provoque un déphasage d’une demi longueur d’onde entre ses deux ondes propres. Une polarisation rectiligne (on parle aussi d’une polarisation linéaire) incidente est alors transformée en une autre polarisation rectiligne qui est plus ou moins tournée par rapport à la polarisation incidente (voir Figure 2b).

1t

2t

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Figure 2 : (a) Décomposition d’une onde de polarisation linéaire incidente (en bleu) en deux autres ondes de polarisations rectilignes perpendiculaires (les ondes propres du cristal, en noir). (b) Polarisations incidentes (bleu) et résultantes (rouge) générées par des lames quart d’onde (cas équilibré où la polarisation incidente est à 45° des axes propres) et des lames demi onde (cas équilibré et cas général).

Dans les deux cas de biréfringence rotatoire et biréfringence uni-axiale, les indices vus par les deux ondes propres dépendent de la longueur d’onde utilisée. Particulièrement dans le cas de la biréfringence rotatoire, cette dispersion n(λ) est importante et peut être mesurée facilement. Partie I : Mesure de la dispersion de la biréfringence rotatoire.

Cette partie du TP est effectuée sur un montage qui est attaché à un spectromètre qui tient sur un trépied. ATTENTION DE NE PAS FAIRE BASCULER LE MONTAGE !

Matériel utilisé : * Comme sources de lumière on utilisera :

a) Une lampe spectrale à mercure, dont on connait les lignes d’émission, pour calibrer le spectromètre.

b) Une lampe à incandescence pour mesurer les rotations opérées par le cristal de quartz à différentes longueurs d’ondes. * Un condenseur (lentille) focalisera la lumière sur la fente d’entrée qui est collée sur le premier polariseur dont l’orientation est fixe. * Le montage optique suivant sert à faire l’image de la fente d’entrée sur la fente réglable du spectromètre selon un schéma : plan focal / infini ; infini /plan focal (voir Figure 3). Si les distances sont bien réglées, les rayons sont parallèles entre les deux lentilles.

Polarisation incidente

Lame quart d’onde

Lame demi onde

(a) (b)

Polarisations propres

Axe optique du cristal

1t

ν21

12 += tt

1t

2t

1t

2t

1t

2t

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Figure 3 : Schéma du montage étant attaché au spectromètre.

* C’est entre ces deux lentilles, dans la région où les rayons sont parallèles, qu’on peut insérer le cristal de quartz d’une épaisseur de 13.7 mm. * Devant la fente du spectromètre se trouve un autre polariseur, celui-ci étant monté dans une monture à rotation. Les deux polariseurs sont des polariseurs à polymère (Polaroïds®). Ce sont des polymères dont on a aligné les molécules en étirant la matière et, par la nature du polymère ou par un post-traitement adapté, le matériau est alors conducteur dans le sens des molécules, mais pas perpendiculairement à celles-ci. Ces polariseurs transmettent la lumière polarisée perpendiculairement au sens des molécules conductrices. * Le spectromètre permet de décomposer la lumière avec une bonne résolution spectrale et la longueur d’onde centrale (indiquée par la flèche lumineuse) est réglée en tournant le disque qui affiche une longueur d’onde approximative en Å. * Un miroir standard sert à vérifier le parallélisme des rayons entre les deux lentilles. * Ordinateur avec un logiciel tableur (Microsoft Excel, Open Office Calc ou similaire) et imprimante. � Vérifier la présence et le bon fonctionnement du matériel. Déroulement des mesures :

1. Allumer la lampe à mercure. Positionner des écrans pour ne pas éblouir les gens. Enlever le cristal de quartz. Vérifier que le polariseur tournant est placé devant la fente du spectromètre. Vérifier que la lumière illumine la fente du spectromètre.

2. Mesurer les longueurs d’onde des lignes de la lampe à mercure : Deux jaunes, une

verte, la plus forte des deux bleues et une violette. Comparer les longueurs d’onde obtenues avec les longueurs d’onde exactes : 579 nm, 577 nm, 546 nm, 492 nm et 436 nm et calculer la correction qu’il faut appliquer à la lecture sur le spectromètre pour obtenir les vraies longueurs d’onde.

3. Remplacer la lampe à mercure (ATTENTION CHAUD) par la lampe à incandescence.

Positionner le condenseur pour que la lumière de la lampe illumine la fente d’entrée.

4. Régler le montage pour obtenir des rayons parallèles entre les deux lentilles (utiliser le miroir pour faire le test de l’auto-collimation) et optimiser la luminosité sur la fente du spectromètre.

5. En l’absence du cristal de quartz, mesurer quelle orientation du polariseur devant la

fente du spectromètre permet d’éteindre la lumière transmise.

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6. Installer le cristal de quartz et mesurer l’évolution de l’angle de rotation de la polarisation en fonction de la longueur d’onde. Effectuer une mesure tous les 20 nm dans l’intervalle 650 nm – 450 nm. Pour cela, noter les angles de l’analyseur permettant d’éteindre la longueur d’onde que l’on est en train de mesurer. (Centrer la ligne sombre avec la flèche de lecture du spectromètre. Le contraste est bien meilleur dans le rouge – vert que dans le bleu, donc, pour faciliter le début de la mesure, nous conseillons de commencer la mesure dans le rouge – vert.)

Analyse : Avant de commencer l’analyse des données, montrer votre protocole de mesures complété d’une estimation des incertitudes (lectures, systématiques etc.) à un encadrant. 1. Comparer vos mesures à la loi empirique pour l’angle de rotation θ en fonction de la longueur d’onde λ qui prévoit 2/)( λλθ C= (avec une constante C qui est positive) en faisant un graphe qui respecte les conventions habituelles :

- Des points de mesures sont représentés par des points non-connectés par une ligne. - La courbe théorique est représentée par une ligne fine (échantillonnée plus finement

que les mesures). - Une légende permet d’identifier les courbes. - Un graphe a un titre, deux axes avec unités etc. - Le tracé utilise un maximum de la surface définie par les axes.

2. Quelle correction faut-il appliquer aux valeurs d’angles de rotation mesurées pour que les mesures suivent la théorie ? Pourquoi a-t-on le droit de faire cette correction ? 3. Quelle est la valeur de la constante C si on exprime λ en µm ? 4. En regardant dans la direction de propagation, dans quelle direction tourne la polarisation (sens des aiguilles d’une montre ou sens inverse) ? 5. Quelle est (probablement) la rotation spécifique du quartz à 400 nm ? (Le résultat a pour unité des °/mm.) Partie II : Etude de « lames d’ondes ». Matériel utilisé : * Un module de diode laser comme source de lumière. * Deux polariseurs * Une lame quart d’onde Déroulement des mesures :

1. Installer deux polariseurs croisés, puis ajouter la lame quart d’onde entre les deux

polariseurs. Chercher l’orientation de la lame quart d’onde pour laquelle on obtient de nouveau l’extinction complète.

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2. Renvoyer la lumière de polarisation rectiligne à l’aide d’un miroir à travers la lame quart d’onde et le polariseur pour voir un point sur le boitier de la source (à côté de l’ouverture d’où sort le rayon laser).

3. Tourner la lame quart d’onde de 45° et vérifier que la polarisation est circulaire.

4. Comme au point 2, renvoyer la lumière de polarisation circulaire à l’aide d’un miroir à

travers la lame quart d’onde et le polariseur. Décrire votre observation. Analyse : 1. Décrire comment vous avez vérifié que la polarisation est circulaire. 2. Décrire le fonctionnement de l’isolateur optique que vous venez de réaliser. Dans quel cas ne fonctionnerait-il pas ? Questions annexes :

1. Une « lame demi onde » et un matériau à biréfringence circulaire transforment tous deux une polarisation rectiligne incidente en une autre polarisation rectiligne plus ou moins tournée par rapport à la polarisation incidente. Quel paramètre (à part le choix du matériau) détermine l’angle de rotation de la polarisation ?

2. Pourquoi met-on le cristal de quartz dans la zone où les rayons sont parallèles ?

Vous avez 4 heures. Il faut rendre le rapport à la fin de la séance. L’ordinateur doit servir à faire des graphes de bonne qualité, mais pas à rédiger le compte rendu.

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TP 3 : Guides d’ondes et réflexions dans des guides d’ondes On se propose dans ce TP d’étudier deux types de guides d’ondes. Un guide d’onde métallique à une fréquence d’environ 10 GHz et un câble coaxial à des fréquences plus basses. On vérifiera que la longueur d’onde guidée diffère de la longueur d’onde en propagation libre et on essayera d’extraire les propriétés de différents réflecteurs à partir de mesures d’ondes stationnaires. Finalement on expérimentera avec « l’adaptation d’impédance » en utilisant un câble coaxial. � Rafraichissez vos connaissances sur les mots clés suivants : Guides d’ondes, constante de propagation dans un guide, modes TE, modes TM, modes TEM, onde stationnaire et impédance en utilisant le cours et d’autres sources. Pour cela vous pouvez essayer de répondre aux questions facultatives proposées à la fin de l’énoncé. Résumé de la théorie :

Description du problème Il s'agit d'une structure métallique destinée à guider les ondes électromagnétiques. Nous nous intéressons à un domaine où les fréquences sont de l'ordre du GHz (typiquement: 10 GHz), et les longueurs d'onde de l'ordre du centimètre. Le plus courant des guides métalliques est celui de section rectangulaire. Ses dimensions internes sont classiquement notées a (petit côté) et b (grand côté).

Guide à section rectangulaire

Les permittivité et perméabilité du diélectrique qui remplit le guide sont ε (réel) et 0µ . Si le

guide est rempli d'air, 0ε = ε . La vitesse de la lumière dans le diélectrique est donc

01c = ε µ . On note f la fréquence, 2 fω = π la pulsation. On pose 2

kc

ω π= =λ

: le "ka" (ou

« nombre d’onde ») du diélectrique. On désigne par λ la longueur d'onde dans le diélectrique de l'onde (monochromatique) considérée. Aux fréquences utilisées, le métal constituant les parois peut être supposé comme infiniment conducteur avec une très bonne approximation. Cela entraine que le champ électrique est en tout point normal aux parois, que le champ magnétique est en tout point tangent aux parois, qu'un courant superficiel peut circuler sur la paroi du guide, et qu'il n'y a pas (ou très peu) de pertes Joule.

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On cherche des champs qui se propagent selon la direction z dans le guide. On utilise la notation complexe en exp( )i t− ω , dans laquelle le lien entre les vecteurs réels et les vecteurs complexes est la suivante (exemple donné pour le champ électrique). On utilise ici des minuscules pour le champ réel car la lettre E est utilisée par ailleurs (voir (2)):

( , , , ) Re[ ( , , ) exp( )]Ee x y z t x y z i t= − ωrr

(1) On cherche donc des champs sous la forme:

( , , ) E( , ) exp(i )E x y z x y z= γr r

(2)

( , , ) H( , ) exp(i )H x y z x y z= γrr

(3) où γ est une constante réelle (constante de propagation de l'onde). En effet, les champs réels résultants de ces expressions auront une dépendance selon z et t de la forme cos( )z tγ − ω , ce qui signifie que ces champs se propagent sur l'axe des z avec une vitesse (de phase):

phaseVω=γ

(4)

ce qui justifie le terme de "constante de propagation" pour γ . Cette vitesse de phase est toujours supérieure (ou égale) à la vitesse de la lumière dans le diélectrique qui remplit le

guide: 0

1phaseV c

ω= ≥ =γ ε µ

.

On définit la longueur d'onde guidée par 2 /gλ = π γ : c'est la périodicité spatiale de l'onde

guidée, dans la direction z.

Modes La recherche mathématique des solutions (champs de la forme (2) et (3), et vérifiant de plus les conditions aux limites imposées par le métal infiniment conducteur au niveau des parois du guide) montre que ces solutions forment une suite discrète de modes de propagation. Ces modes se décomposent en 3 catégories:

• modes TE pour lesquels le champ électrique est transverse: E 0z =

• modes TM pour lesquels le champ magnétique est transverse: H 0z =

• modes TEM pour lesquels les champs électrique et magnétique sont transverses: E 0z = et H 0z =

Courbe de dispersion:

On appelle courbe de dispersion la courbe qui représente ω (ou tout autre grandeur directement liée à la fréquence) en fonction de la constante de propagation γ .

Modes TEM On montre que les modes TEM ne peuvent exister que si le diélectrique situé dans une section du guide forme un domaine "non simplement connexe". En langage plus clair, pour qu'un mode TEM puisse exister, il faut

• soit qu'il y ait un autre conducteur à l'intérieur du premier (le cas le plus classique est celui du câble coaxial),

• soit que le guide soit formé de deux conducteurs parallèles (le cas le plus classique est celui de la ligne bifilaire).

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Une des conséquences, c'est qu'il ne peut pas y avoir de mode TEM dans le guide à section rectangulaire présenté plus haut.

Exemples de structures admettant des modes TEM

Caractéristiques remarquables des modes TEM:

1. Pour les modes TEM, kc

ωγ = = . Cela signifie que la vitesse de phase est égale à c, et

ceci quelle que soit la fréquence. Contrairement aux modes TE et TM, le guidage sur un mode TEM n'introduit donc pas de dispersion.

2. Pour un guide donné, il n'existe qu'une seule structure de champs transverses E( , )x yr

et H( , )x yr

. On peut donc dire qu'une structure donnée, si elle admet un mode TEM, n'en admet qu'un seul: la carte des champs transverses est uniquement imposée par la géométrie. On montre que le champ électrique transverse est le même que celui du condensateur (en électrostatique) ayant pour armatures les deux conducteurs du guide.

3. Un mode TEM est une solution liée à la géométrie du guide que l'on a envisagé. En pratique, le guide ne continue jamais jusqu'à l'infini... Il se termine d'une manière ou d'une autre, et quand l'onde TEM arrive sur cette extrémité, il y en a une partie qui continue hors du guide (si l'extrémité n'est pas occultée par un écran opaque aux ondes électromagnétiques), et une partie qui est réfléchie. On montre qu'il existe une impédance caractéristique cZ telle que si les deux conducteurs du guide sont court-

circuités par cette impédance cZ , tout se passe comme si le guide était infini, et donc

il n'y a plus de réflexion à ce niveau. On montre que • si C est la capacité par unité de longueur du condensateur ayant pour

armature les conducteurs du guide (généralement exprimée en pF/m), • si c est la vitesse de la lumière dans le diélectrique, • alors 1cC Z c= .

Modes TE et TM

Propriétés générales des modes TE et TM

Il existe une infinité de modes TE et TM, mais cette infinité forme une suite discrète. Chaque mode peut être caractérisé par deux entiers n et m. On parlera donc de modes ,TEn m et

,T Mn m.

Toutes les grandeurs définies dans les lignes suivantes sont relatives à un mode donné. En toute rigueur, on devrait donc les indicer par n,m, mais cela alourdirait trop les notations. On omettra donc ces indices de numérotation pour simplifier l'écriture.

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A chaque mode est associé: • une fréquence de coupure cf : si cf f< , le mode ne peut pas se propager dans le

guide, • une pulsation de coupure cω : si cω < ω , le mode ne peut pas se propager dans le

guide, • une longueur d'onde de coupure cλ : si cλ > λ , le mode ne peut pas se propager dans

le guide. Noter que λ étant la longueur d'onde dans le diélectrique, cλ est également

exprimée "dans le diélectrique ", • une valeur 2 /c ck = π λ

Cette constante ck est une caractéristique fondamentale du mode. Elle est liée à la géométrie

de la section du guide. On montre la relation fondamentale dans l'étude des modes TE et TM :

2 2 2ck k= + γ (5)

Qui conduit aux courbes de dispersion suivantes (selon les cas, il est plus commode de raisonner sur la courbe ( )k γ ou sur la courbe ( )ω γ ).

Courbes de dispersion ( )k γ et ( )ω γ , données schématiquement pour 3 modes.

La courbe ( )ω γ se déduit de ( )k γ en multipliant les ordonnées par c.

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Pour une fréquence d'excitation donnée, on voit sur la courbe ( )ω γ que plusieurs situations peuvent se présenter:

• Aucun mode TE ou TM ne peut se propager. • Un seul mode peut se propager (le guide est alors "monomode", et ce mode est appelé

"mode fondamental"). Cette situation est intéressante car on connait précisément toutes les caractéristiques de ce seul mode de propagation

• Plusieurs modes peuvent se propager, avec des constantes de propagation (donc des vitesses de phase) généralement toutes différentes

On voit également que pour un mode donné, la vitesse de propagation du mode /phaseV = ω γ ,

qui est la pente de la droite qui relie l'origine au point de fonctionnement sur la courbe ( )ω γ , dépend de la fréquence, ce qui induit de la dispersion "due au guidage sur les modes TE ou TM". Cette dispersion n'existe pas pour les modes TEM. On notera que la relation (5) peut également s'écrire sous la forme équivalente:

2 2 2

1 1 1

c g

= +λ λ λ

(6)

Propriétés spécifiques au guide rectangulaire

Pour le guide rectangulaire de côtés a et b (avec b > a), les valeurs de ck des modes ,TEn m et

,T Mn m sont identiques, et données par

2 2 2 2 2

22 2 2

4c

c

n mk

a b

π π π= + =λ

, avec n et m entiers positifs (7)

et la carte de champ de chaque mode se déduit de la composante axiale

0H H cos coszn x m y

a b

π π =

, pour les modes ,TEn m (8)

0E E sin sinzn x m y

a b

π π =

, pour les modes ,T Mn m (9)

Propriétés spécifiques au mode 0,1T E Lorsqu'un champ électromagnétique se propage dans un guide métallique, il apparait sur les parois du guide un courant superficiel. Les lignes de ce courant superficiel sont liées à la carte de champ à l'intérieur du guide, donc au mode. Pour le mode 0,1T E , il existe une ligne de

courant parallèle à l'axe Oz, et située au milieu du grand côté du guide. En faisant une fente le long de cette ligne, on perturbe donc très peu le courant de surface, et donc très peu le mode. On se sert de cette caractéristique pour sonder le champ à l'intérieur du guide, au moyen d'une très fine sonde que l'on fait pénétrer dans le guide par cette fente. En notant xe

r le vecteur unitaire de l'axe des x, le champ électrique complexe du mode 0,1T E

est :

0( , ) E sin exp( )E xy

y z e i zb

π = γ

r r (10)

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Réflexion et Taux d'Onde Stationnaire (TOS)

Si, dans une section du guide que nous repèrerons par 0z = , se trouve un obstacle, ou toute modification de la section du guide, les modes de propagation sont également modifiés. La solution sous forme de mode se propageant sous la forme cos( )z tγ − ω "jusqu'en z = +∞ " est donc perturbée. Il en résulte qu'une onde est réfléchie en 0z = . Si le guide est monomode, cette onde ne pourra être que le mode initial, à la seule différence qu'il se propage en direction inverse, et que son amplitude (complexe) est multipliée par un coefficient de réflexion complexe de module r et d'argument ϕ .

Réflexion d'un mode sur une discontinuité du guide placée en z = 0.

En réduisant le problème à un problème scalaire (ce scalaire étant la composante selon x du champ électrique), le problème se ramène à l'étude d'une fonction

i i i( ) = A (e e e )z zu z rγ φ − γ+ , avec γ > 0, 0 ≤ r ≤ 1, 0 < ϕ ≤ 2π (11)

On montre facilement que la connaissance de 2| |u en fonction de z permet de déterminer γ , r

et ϕ. Plus précisément:

• 2| |u présente des maxima et des minima en fonction de z (interférence entre les deux ondes se propageant en sens inverse):

2 2 2 2 2| ( ) | = A (1 ) 1 ( 1)sin ( / 2)u z r s z + + − γ − ϕ

(12)

• en posant 1

1

rs

r

−=+

(qui s'inverse en 1

1

sr

s

−=+

), en notant m et M les valeurs des

minima et maxima de 2| |u , on a

2 = /s m M (13) • On déduit donc de la position des minima et maxima, en utilisant (12), la valeur de γ,

donc de la longueur d'onde guidée gλ .

• On déduit de la mesure de m et M la valeur de s, puis du module du coefficient de réflexion r.

• On déduit de la position des minima la valeur de ϕ . En effet, on déduit de (12) que les minima de | |u sont obtenus pour

/ 2 / 2z pγ − ϕ = π + π (14) soit

4 2 4g g gz p

λ λ λ ϕ= + +

π (15)

La mesure de z permet donc de calculer ϕ , à la condition de connaitre l'entier p. Cette

détermination se fera en notant que 0 < ϕ ≤ 2π, d'où

3

4 4 4 4g g g gλ λ λ ϕ λ

< + <π

(16)

ce qui vous permettra de déterminer p.

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Partie I : Guide d’onde métallique. Matériel utilisé : Les montages sont déjà tout prêts et il ne faudra modifier que le composant situé à la fin du guide d’onde. Les deux exemplaires du montage ne sont pas identiques, l’un des deux ayant des composants en plus que nous n’utiliserons pas. PARTICULIEREMENT POUR CE MONTAGE PLUS SOPHISTIQUE : NE PAS TOUCHER A D’AUTRES VIS QUE CELLES DECRITES CI-DESSOUS. La description ci-dessous se restreint alors aux éléments utilisés. * La source est une « diode Gunn » qui émet une onde à une fréquence près de 10 GHz. Rien n’est à régler sur la source ni près de la source, si ce n’est de l’allumer au début du TP et de l’éteindre à la fin. (Brancher le transformateur / alimenter la diode en 9 V en montant progressivement à partir de 0V) * La section interne du guide rectangulaire vaut a = 0.4 inch et b = 0.9 inch. * La source est protégée des réflexions par un isolateur. Rien n’est à régler. * Le prochain élément que nous utilisons est une cavité accordable (cylindre vertical qu’on appelle ondemètre). L’accord est réalisé au moyen de la vis située au dessus, et la fréquence de résonance est affichée. A la résonance, le champ dans la cavité est très fort, et on repère la résonance en observant un maximum de tension au niveau du détecteur implanté dans l’ondemètre. * Suit un atténuateur variable (Une grande boite avec un affichage en dB, ne pas toucher à l’atténuateur sur la manipe dans la petite salle qui se règle avec la vis micrométrique). * Le dispositif de mesure des ondes stationnaires est en fin du montage et consiste en un guide d’onde ayant une fente le long de son axe, par laquelle il est possible de déplacer un détecteur à l’intérieur du guide. * Les différentes terminaisons du guide d’onde que nous utiliserons sont : - une plaque métallique - une plaque de PMMA - de l’air (sans rien) - de l’air avec le cornet * Un multimètre pour visualiser les signaux des détecteurs. � Vérifier la présence et le bon fonctionnement du matériel. Déroulement des mesures :

1. Mesurer la fréquence du champ en utilisant la cavité accordable (l’ondemètre) : Allumer la source. Régler l’atténuateur variable sur 0 dB. Enlever tout obstacle en sortie du guide. Brancher le multimètre (Volts DC) sur le détecteur derrière la cavité accordable. Chercher la fréquence de résonance. Noter sa valeur et son incertitude.

2. Déterminer si le détecteur dans le guide d’onde fendu donne un signal qui est

proportionnel au champ ou un signal proportionnel à l’intensité : Désaccorder l’ondemètre pour ne pas perdre de la puissance dans la cavité cylindrique. Régler l’atténuateur variable sur 0 dB. Brancher le multimètre (Volts DC) sur le

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détecteur dans le guide fendu. Fixer, au bout du guide d’onde, la plaque d’acier inox avec son côté lisse vers l’intérieur. Mettre le capteur près de la plaque et mesurer le signal en fonction des positions avec un pas de 1 mm près des minima. Vérifier que la position lue sur l’échelle du guide fendu correspond bien à la distance entre le capteur (qui se trouve sous le centre du câble coaxial) et la plaque métallique en bout du guide.

3. Mesurer aussi précisément que possible toutes les positions et valeurs des minima et

maxima de l’onde stationnaire. En utilisant les quatre terminaisons possibles : a) La plaque métallique b) La plaque de PMMA c) L’air (sans rien) d) L’air avec le cornet

4. Arrêter la source (débrancher le transformateur / descendre l’alimentation à 0V puis

éteindre sur la manipe dans la petite salle, éteindre le multimètre et mettre l’atténuateur variable à sa valeur maximale.

Analyse : Avant de commencer l’analyse des données, montrer votre protocole de mesures complété d’une estimation des incertitudes (lectures, fluctuations) à un encadrant. 1. Calculer la longueur d’onde dans le vide à partir de la mesure de la fréquence par la cavité accordable. Calculer la longueur d’onde de coupure λC de notre guide pour notre mode (TE0,1) en utilisant (7). Calculer la longueur d’onde guidée théorique en utilisant (6) et la comparer à la longueur d’onde guidée mesurée.

2. Tracer )(zu et 2

)(zu avec l’expression de l’équation (12) et en supposant un métal parfait

dans Excel. 3. Tracer le signal mesuré dans le guide fendu en fonction de la position z du calcul (plaque à z = 0, mesures dans les z négatifs). 4. Par comparaison entre la forme de la courbe mesurée et celle de la courbe théorique déduire si votre capteur mesure le champ ou l’intensité. 5. En traçant la courbe théorique pour les mêmes valeurs de z que les mesures déterminer si votre capteur mesure le champ électrique ou le champ magnétique. 6. Imprimer le graphe qui compare théorie et expérience après l’avoir formaté en respectant les conventions habituelles :

- Des points de mesure sont représentés par des points non-connectés par une ligne. - La courbe théorique est représentée par une ligne fine (échantillonné plus finement

que les mesures). - Une légende permet d’identifier les courbes. - Un graphe à un titre, deux axes avec unités etc. - Le tracé utilise un maximum de la surface défini par les axes.

Discuter les déviations des mesures de la courbe théorique.

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7. Représenter graphiquement les mesures de minima et maxima obtenues avec les quatre terminaisons. 8. Calculer la réflectivité et le changement de phase à la réflexion pour les quatre terminaisons. Ne pas oublier de discuter les incertitudes. Partie II : Câble coaxial. Matériel utilisé : * Un générateur de basses fréquences (GBF) qui permet de générer des pulses rectangulaires d’un rapport cyclique de 10%. * Deux câbles BNC longs * Un oscilloscope * Divers petits connecteurs et câbles * Un potentiomètre * Un multimètre Déroulement des mesures :

1. Générer des pulses rectangulaires courts et espacés (rapport cyclique de 10%) avec un taux de répétition d’environ 120 kHz, et les visualiser sur l’oscilloscope.

2. Envoyer ces pulses aussi dans le câble coaxial long qui n’est pas connecté de l’autre

côté. Reproduire de manière schématique le signal sur l’oscilloscope.

3. Attacher le potentiomètre à la fin du câble. Mesurer quelle résistance il faut mettre pour qu’on ne voie plus la présence du câble coaxial.

4. Eteindre les appareils.

Analyse : Décrire et expliquer votre observation. Que faut-il retenir par rapport aux câbles non-connectés dans l’électronique à « haute fréquence » ? A quoi sert une adaptation d’impédance ? Questions annexes : 1) Que représente pour vous la vitesse de la lumière dans le diélectrique 01c = ε µ . Qu'est-

ce qui se propage à cette vitesse et dans quelles circonstances ? 2) À partir de la relation (1), des champs écrits sous la forme (2) ou (3), et en supposant que

les vecteurs E( , )x yr

et H( , )x yr

sont réels, retrouver que les champs réels associés ont une dépendance selon z et t de la forme cos( )z tγ − ω .

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3) On a dit que 2 /gλ = π γ est la périodicité spatiale de l'onde guidée, dans la direction z.

Pourquoi donc ? 4) Quelle est la courbe de dispersion pour un mode TEM ?

5) Pour les modes TM, toutes les composantes des champs E( , )x yr

et H( , )x yr

se déduisent de

E ( , )z x y . A partir de (9), se convaincre que pour les modes ,T Mn m, n et m sont forcément au

moins égaux à 1. 6) A partir de la courbe de dispersion et des dimensions du guide (a = 0.4 inch et b = 0.9 inch, 1 inch = 25.4 mm), calculer les fréquences de coupure des modes associés aux couples ( , )n m

suivants: (0,1), (0,2), (1,0), (1,1). En déduire que le mode fondamental est le mode 0,1T E .

Dans quelle plage de fréquences peut-on assurer que le guide est monomode? 7) A partir de (1) et (10), déterminer le champ réel ( , , , )e x y z t

r du mode 0,1T E , puis décrivez

le. Vous avez 4 heures. Il faut rendre le rapport à la fin de la séance. L’ordinateur doit servir à faire des graphes de bonne qualité, mais pas à rédiger le compte rendu.