TREMPLIN 1, TEAM, AST1, ESG, EDC, IPAG…medias.dunod.com/document/9782100588107/Feuilletage.pdf · 2014-01-28 · Séries simples avec des nombres élevés . . . . . . . . .

L’auteur :Formé à l’ENS et à l’ENSTA (Paris Tech), Navid HEDAYATI DEZFOULI

est chargé de cours à l’université Paris V en mathématiques financièreset enseignant-khôlleur en mathématiques en classes préparatoires.Il enseigne la logique et les mathématiques à l’institut PGE-PGO.

Cet ouvrage contient des supports supplémentaires de préparation disponiblessur internet : rendez-vous sur le site de PGE-PGO, www.pge-pgo.fr, pourdavantage de détails et l’accès aux contenus.

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© Dunod, Paris, 2013ISBN 978-2-10-058810-7

Conception de la couverture : Ici et ailleurs

Droits réservés : malgré nos efforts, il nous a été impossible de joindre certains édi-teurs ou ayants-droits pour solliciter leur autorisation de reproduction, mais nousavons naturellement réservé en notre comptabilité des droits usuels.

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En premier lieu, je souhaite remercier Mustapha Benkalfate et Sylvain Vuillen qui m’ontconfié la mission de proposer aux étudiants un livre leur permettant de se préparer leplus efficacement possible les exigeantes épreuves du test d’aptitude de la FNEGE,niveau post bac 1 à bac +2.

Cet ouvrage doit infiniment aux supports sans cesse perfectionnés par toute l’équipeenseignante de PGE-PGO. Je tenais à remercier toute cette équipe, de même que leséditions Dunod, pour la confiance dont ils ont témoigné en me confiant la rédaction decet ouvrage.

Une vigilance constante a été demandée à nos relecteurs, étudiants comme profes-seurs. Qu’ils soient ici chaleureusement remerciés de s’être acquittés de leur missionavec flexibilité et professionnalisme. Merci en particulier à Imen Belhadj, MalekDekimeche, Anatole Hutin, Clémence Maurel, Édouard Paviot, Aymen Souihli etRomdhane Younsi.

Je tiens aussi à remercier tout particulièrement Guillaume Dupéret qui a su mener àbien la coordination de ce travail d’envergure avec rigueur et efficacité.

Enfin, je n’oublie pas ma femme Souhila, mon frère Iman, ma sœur Avissa Hedayati-Dezfouli et Pierre-Marc Revel-Mouroz pour leurs précieux conseils, ainsi que mesparents qui ont su rester proches et patients durant toute la rédaction du manuscrit.Je remercie enfin Déborah Ohana pour son soutien indéfectible, ainsi que les famillesTeze et de la Forest Divonne d’Ormesson sans qui ma vocation n’aurait sans doute pasvu le jour.

Navid Hedayati

IIIRemerciements

Remerciements

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IV Table des matières

Partie 1 Calcul

1. Opérateurs inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82. Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113. Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144. Factorisations simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175. Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186. Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207. Quel est le plus grand, quel est le plus petit ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228. Résoudre une équation du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249. Résoudre la moitié du quart du tiers du carré... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2610. Opérations à trous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2811. Fractions à trous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3012. Plan de table et rangement par tas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3213. Calcul de ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3414. Trouver le nombre de couples tel que... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3615. Si..., alors calculer... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3816. Partager un héritage... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4017. Problèmes de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4218. Décomposition d’une somme en pièces et billets . . . . . . . . . . . . . . . . .4419. Quelle est la meilleure offre ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4620. Produits en croix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4921. Méthode des écarts :

à quelle heure ces deux avions vont-ils se croiser ? . . . . . . . . . . . . . . .5222. Méthode des écarts :

à quelle heure la voiture rattrapera-t-elle la moto ? . . . . . . . . . . . . . . .5523. Aller-retour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5924. Tours de circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6225. Calculer une distance, un temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6526. Mise en équation d’un problème à plusieurs inconnues (système) . . . . . .6827. Quel est mon âge ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7128. Quelle heure est-il ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7329. Résoudre une inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7630. Résoudre une équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7831. Problèmes d’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8232. Trouver des diviseurs communs et le PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8433. Trouver des multiples communs et le PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

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34. Thalès et Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8935. Calculer le périmètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9236. Calculer l’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9537. Histoire de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9838. Problèmes d’angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10039. Rapport d’aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10440. Problèmes à géométrie variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10741. Agrandissement ou réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10942. Volume après agrandissement ou réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11243. Combien y a-t-il de carrés dans ce carré ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11444. La moyenne dans tous ses états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11645. Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11846. Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12047. HT ou TTC ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12248. Taux d’évolution : calcul d’un prix initial ou final . . . . . . . . . . . . . . . . .12449. Taux d’évolution : pourcentage d’augmentation / diminution . . . . . . . . .12650. 20 % de 40 % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12851. Intérêts composés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13052. Trouver un chiffre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13253. Pair ou impair ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13454. Quel jour sommes-nous ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13655. Le rendement : calcul de la vitesse de travail à plusieurs . . . . . . . . . .13856. Productivité et nombre de travailleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14157. Proportionnalité multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14358. Le débit : calcul du temps de remplissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14659. Combien d’étudiants sont anglicistes et latinistes ? . . . . . . . . . . . . . .14860. Les combinaisons : choisir trois personnes parmi cinq . . . . . . . . . . . .15361. Les arrangements : tiercés dans l’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15662. Combinaisons de codes secrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15963. Anagrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16164. Nombre de poignées de main . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16365. Nombre de matchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16666. Probabilités simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16867. Probabilité et géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17268. Arbres de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17569. Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17870. Réponses dépendant d’inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18171. Qui suis-je ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18472. Suis-je premier ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18673. Nombre de bonnes réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18874. Bénéfices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19075. J’ai deux fois plus de billes que toi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19376. Exercices niveau expert (1/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19577. Exercices niveau expert (2/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197

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VI Table des matières

Partie 2 Logique : séries doubles

78. Séries simples avec des critères de concordance élémentaires . . . . . .20079. Séries simples avec des critères classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20380. Séries simples avec un critère double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20581. Séries simples avec des nombres élevés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20782. Séries simples avec des lettres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20983. Application des méthodes précédentes sur des séries doubles . . . . . . .21384. Séries doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21485. Séries doubles niveau expert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216

Partie 3 Logique : séries visuelles

86. Série visuelle simple avec des valeurs numériques (1/2) . . . . . . . . . . .22087. Série visuelle simple avec des nombres (2/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . .22288. Série visuelle simple figures/chiffres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22489. Série visuelle simple avec des lettres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22690. Série visuelle simple avec des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22891. Série visuelle lettres/figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23092. Série visuelle lettres/chiffres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232

Partie 4 Mémorisation de textes

93. Mémorisation courte (1/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23694. Mémorisation courte (2/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23995. Mémorisation de textes courts avec questions fermées

(sans proposition) (1/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24196. Mémorisation de textes longs avec questions fermées

(sans proposition) (2/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24397. Mémorisation de textes avec un nombre considérable d’informations . .24698. Mémorisation de textes complexes dans le fond et la forme (1/2) . . . .24999. Mémorisation de textes complexes dans le fond et la forme (2/2) . . . .251100. Mémorisation de textes avec une multitde de chiffres . . . . . . . . . . .255

Partie 5 Test blanc

Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277

Formulaire

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Ce livre a pour objectif de vous préparer efficacement au test d’aptitude de la FNEGE(niveau post-bac à bac +2) en balayant l’ensemble des notions indispensables à la réussi-te de ce test.

Vous disposez d’un délai de quelques mois pour vous préparer ? Parfait ! C’est le tempsque nous avons prévu pour vous entraîner.

Chaque année lors de nos stages préparatoires, les mêmes questions se font entendre :

• Dois-je reprendre mes cours du collège et du lycée afin de me remettre à niveau ?• Dois-je m’entraîner le plus possible pour espérer avoir le « déclic » sur les exercices ?• Dois-je faire l’impasse sur certains sous-tests que je maîtrise moins en faveur des aut-

res afin de m’y assurer un bon score ?• Dois-je persévérer alors que je ne comprends strictement rien aux questions de

logique ?

Au risque d’en décevoir certains, la réponse unique à ces questions n’existe pas. Les étu-diants étant issus de formations différentes, certains ont eu la possibilité de s’exercer toutau long de leur cursus post-bac, tandis que d’autres n’ont pas eu l’occasion de revoir l’en-semble du programme de mathématiques depuis l’obtention de leur baccalauréat.

Évidemment, les impasses sont à proscrire car vous passez un concours et non un exa-men. Vous êtes donc en concurrence avec des personnes préparant l’ensemble des sous-tests avec au moins autant de rigueur et de détermination que vous !

État des lieux

Nous avons remarqué chez les étudiants des lacunes récurrentes.

Recensons leurs bêtes noires :

• les priorités dans les calculs ;• les divisions avec virgule ;• les puissances ;• les conversions ;• les degrés ;• la géométrie, notamment nos amis Thalès et Pythagore.

Une erreur très fréquente est de négliger l’entraînement pour le test de mémorisation. Siles étudiants sont souvent persuadés de pouvoir, dès le premier texte, mémoriser les motset les idées-clés, ils s’aperçoivent très rapidement qu’un travail régulier sur la concentra-tion est pourtant indispensable pour ce sous-test.

Introduction

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2 Introduction

Vous ne pouvez pas commencer les révisions sans le minimum vital. Se lancer sur unepiste noire sans entraînement préalable permet-il de devenir un skieur chevronné ?

L’ensemble des notions, élémentaires ou techniques, dont vous aurez besoin sera listé avecles questions les plus classiques. Vous pourrez ainsi les travailler et vous perfectionner à larésolution des questions inspirées du test officiel.

Ce livre est conçu avec un principe d’exercices type permettant de comprendre en pro-fondeur la notion présentée, puis des variantes pour parer à toute éventualité. Nous avonsessayé de dresser la liste la plus exhaustive possible des questions classiques, celles quireviennent de manière récurrente et d’élargir ensuite afin d’envisager les questions lesplus inattendues.

Le changement de programme du secondaire met l’accent sur les probabilités et les sta-tistiques. Dans l’éventualité où il faille utiliser ces notions dans les questions du test, nousavons fait le choix de les inclure dans ce livre.

Gestion du temps lors du concours

En moyenne pour les questions de calculs, vous avez (selon les sous-tests) entre 1 et 3minutes. Cependant, des questions semblent parfois infaisables en 3 minutes, et vous êtesles premiers à soupirer et à vous révolter contre le manque de temps. Pourtant, ces ques-tions sont accessibles en temps limité.

Le test peut être représenté sous forme du schéma suivant :

Questions faciles Questions classiques

Questions difficiles

10 % 80 % 10 %

Généralement, 80 % des questions sont faisables en trois minutes si les méthodes sontbien maîtrisées, 10 % sont assez simples et nécessitent peu de temps (moins de troisminutes voire moins d’une minute pour certaines). On en déduit la clé de la gestion dutemps : faire rapidement les questions simples et reporter ce crédit de temps sur les 10 %de questions difficiles restants. Vous aurez ainsi 4 à 5 minutes à consacrer à la résolutiondes énoncés les moins évidents.

Par ailleurs, il peut être tentant de ne pas lire un énoncé dans son intégralité, en pensantque cela pourrait faire gagner du temps. La réalité est toute autre car on finit par le relirebien malgré soi, et du temps précieux a été perdu.

Présentation du test d’aptitude (format 2013)

Le test d’aptitude de la FNEGE est un test de sélection aux études supérieures de mana-gement spécialement conçu pour des étudiants de niveau Bac à Bac + 2. Il dure 1 h 55 sanscompter les pauses entre les différents sous-tests et les explications données en préambu-le du test. Il s’agit d’un QCM divisé en six sous-tests.


Il évalue les candidats selon trois critères :

• La capacité de mémorisation (sous-tests 1 et 4)• La capacité à résoudre des problèmes mathématiques (sous-tests 2 et 5)• La capacité de raisonnement logique (sous-tests 3 et 6)

Comment calculer son score ?Chacune des soixante-dix questions rapporte :

• + 3 points pour une bonne réponse• − 1 point pour la mauvaise réponse• 0 point pour l’absence de réponse.

Le score peut donc varier de − 70 à 210 points.

Il est évident que les réponses hasardeuses tendront à diminuer fortement la note finale.

Combien de fois peut-on passer le test d’aptitude durant l’année ?Le test ne peut être passé qu’une seule fois par an (du 1er décembre au 30 novembre del’année suivante).

Astuce pour le passer deux fois consécutivement : vous passez le test une première foisavant le 30 novembre de l’année en cours pour avoir un aperçu du concours (comme uneforme d’entraînement), puis vous vous inscrivez dans le courant de l’année suivante pourle passer une deuxième fois.

Où s’inscrire pour passer le test d’aptitude ?Vous devez vous inscrire sur le site http://www.tage2.fr/ rubrique inscription.

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Épreuves Nombre Durée Scorede questions

Sous-test 1Mémorisation de textes 15 15 mn 45

Sous-test 2Calcul 10 30 mn 30

Sous-test 3Logique 10 15 mn 30

(données verbales et numériques)

Sous-test 4Mémorisation de textes 15 15 mn 45

Sous-test 5Calcul 10 30 mn 30

Sous-test 6Logique 10 10 mn 30

(données spatiales)

TOTAL 70 1 h 55 210 points


Peut-on choisir sa date ?Différentes sessions sont proposées durant l’année. À vous de vous y prendre à l’avancepour avoir la date de votre choix.

Score du test d’aptitude

Quelques statistiques sur le testMême s’il est difficile d’avoir des chiffres sur ce test, la moyenne du test se situe chaqueannée autour de 110. Cependant, chaque établissement définit ses propres exigences, lescore en lui-même ne peut donc pas être interprété dans l’absolu.

Jour J

Qu’a-t-on besoin de poser sur sa table d’examen lors du test ?Vous devez vous munir d’un crayon à papier et d’une gomme. Il est formellement inter-dit d’utiliser une calculatrice.

Fournissent-ils des brouillons ?Aucun brouillon n’est distribué lors des épreuves. Cependant, vous pouvez utiliser lesespaces sur le livret de questions que l’on vous distribuera pour poser vos calculs.

En finissant en avance un sous-test, ai-je le droit de revenir ausous-test précédent ?Même en finissant 10 minutes avant la fin d’un sous-test, vous ne pouvez ni reprendre lessous-tests précédents, ni entamer les sous-tests suivants.

Les sous-parties sont visuellement discernables pour permettre aux surveillants de repé-rer rapidement les candidats qui travailleraient sur la mauvaise partie.

Derniers conseils et astuces lors de l’épreuve

Même si plusieurs méthodes sont parfois possibles, il est important de ne pas perdre detemps et d’opter dès les dix premières secondes pour l’une d’entre elles.

Différentes techniques qu’il faut avoir le réflexe d’appliquer :

• Backsolving : il est conseillé, quand l’énoncé le permet, de tester la solution que l’on atrouvée.

• Si les écarts entre les solutions proposées sont importants, il est conseillé d’approximercertaines données (ex : π ≈ 3 ; 4,93 → 5).

• Pour les différentes inconnues du problème, il est recommandé de les remplacer pardes variables (x, y, N, ...) pour plus de clarté.

• Il est important de convertir judicieusement. Par exemple, si les réponses sont ensecondes, il est indispensable de convertir les vitesses en m/s.

4 Introduction


Coefficients du test par établissement en 2012

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Établissements Année Test Total coeff.du concours coefficient épreuves

écrites

École de Commerce ESG Management School Bac +2 4 11

Post-BacÉcole supérieure de commerce Bac +1 Concours Concourset marketing Bac +2 Team Team

Post-BacInternational Business School ICD Bac +1 Concours Concours

Bac +2 Team Team

BEM - Bordeaux Management School Bac +2 2 5

Euromed Marseille Bac +2 2 5

ICN Nancy Bac +2 2 5

ESC Reims Bac +2 2 5

ESC Rouen Bac +2 2 5

ESCEM Paris - Tours - Poitiers Bac +2 1 5

École des dirigeants et créateurs d’entreprises Bac +2 1 5

Post-BacEuropean School of Advanced Bac +1 Concours ConcoursManagement

Bac +2 Team Team

Post-BacIDRAC Bac +2 4 10



Partie

Calcul

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8 Calcul [1. Opérateurs inconnus]

Les 4 opérations de base (+, −, ×, :) doivent être parfaitement maîtrisées. On peut, à par-tir de celles-ci, définir d’autres opérations qui seront notées avec d’autres symboles (∆, ∇ou � par exemple).

Exemple

L’opération ∆ définie par a�b = a2 + b3

Cette nouvelle opération consiste à élever le premier terme au carré, le deuxième termeau cube, puis à additionner les deux résultats.

Par exemple, si a = 2 et b = 3, on obtient aisément :

2�3 = 22 + 33 = 4 + 27 = 31

Exercices

Exercice 1

On définit l’opération comme suit : a∇b = ab

ba

Combien vaut 4∇3 ?

❒ A) 64/81 ❒ B) 81/64 ❒ C) 81/27 ❒ D) 64/27

Exercice 2

On définit l’opération comme suit : a�b = b(a − 1) − 2ab.

Combien vaut 1�(−2) ?

❒ A) 0 ❒ B) 1 ❒ C) 3 ❒ D) 4

Exercice 3

On définit l’opération θ comme suit : aθb = ab

a + b. Combien vaut (4θ1)θ(2θ3) ?

❒ A) 2/25 ❒ B) 17/30 ❒ C) 12/25 ❒ D) 3/25

Exercice 4

On définit l’opération ⊗ comme suit : a ⊗ b = (a2 + b2)a4 et on considère les proposi-tions suivantes :

Opérateurs inconnus1

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Test

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Calcul [1. Opérateurs inconnus] 9

(1) −a ⊗ −b = a ⊗ b

(2) a ⊗ 0 = a6

(3)√

a2 ⊗ b2 = a ⊗ b

❒ A) (1) et (3) sont vraies ❒ B) seule (2) est vraie

❒ C) (2) et (3) sont vraies ❒ D) (1) et (2) sont vraies

Exercice 5

Si l’opération � est définie par : �(a) = a3 − 17, calculer �(�(3)) ?

❒ A) 568 ❒ B) 790 ❒ C) 834 ❒ D) 983

Corrigés

Corrigé 1 : Réponse A.

En calculant le numérateur, on obtient ab = 43 = 64 .

Puis en calculant le dénominateur, on obtient ba = 34 = 81 .

Le résultat est donc 64/81.

Corrigé 2 : Réponse D.

En remplaçant a par 1 et b par −2, on obtient :

1�− 2 = −2 × (1 − 1) − 2 × 1 × (−2) = 0 + 4 = 4

Corrigé 3 : Réponse C.

Il faut, comme avec les opérations de base, respecter les priorités. On commence donc parévaluer (4θ1) puis (2θ3) :

(4θ1) = 4 × 1

4 + 1= 4

5

(2θ3) = 2 × 3

2 + 3= 6

5

(4θ1)θ(2θ3) = 4

5θ

6

5Une fois ces deux termes calculés, on peut ensuite mener le calcul demandé :

(4θ1)θ(2θ3) =4

5× 6

54

5+ 6

5

=24

2510

5

=24

252

= 24

25× 1

2= 12

25


Il faut vérifier chaque proposition :

(1) −a ⊗ −b = ((−a2) + b2)(−a)4 = (a2 + b2)a4 = a ⊗ b .

9782100588107-PGE-P01a.qxd 16/11/12 10:51 Page 9

Donc la proposition (1) est vraie.

(2) a ⊗ 0 = (a2 + 02)a4 = a2a4 = a6 .

Donc la proposition (2) est vraie.

(3)√

a2 ⊗ b2 =√

(a4 + b4)a8 =√

(a4 + b4)a4 =/ a ⊗ b .

Donc la proposition (3) est fausse.

En choisissant simplement a = 1 et b = 2, nous pouvons aussi prouver que cette propo-sition est fausse :√

a2 ⊗ b2 =√

12 ⊗ 22 = √1 ⊗ 4 = √

17

a ⊗ b = 1 ⊗ 2 = 5

Seules les propositions 1 et 2 sont vraies.


Dans un premier temps, nous calculons �(3) :

�(3) = 33 − 17 = 27 − 17 = 10 .

Donc �(�(3)) = �(10) = 103 − 17 = 1 000 − 17 = 983 .

10 Calcul [1. Opérateurs inconnus]

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Test

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Les questions sur les identités remarquables font appel à des notions qui ne doivent enaucun cas vous être étrangères. Ce sont des points gagnés facilement, à condition deconnaître son cours et de faire attention aux erreurs d’étourderie (sur les signes, parexemple).

Les identités remarquables à retenir sont les suivantes :

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x − y)2 = x2 − 2xy + y2

(x + y) × (x − y) = x2 − y2

Sont aussi utiles les deux formules suivantes qui découlent des équations précédentes :

(F1) x2 + y2 = (x + y)2 − 2xy

(F2) x2 + y2 = (x − y)2 + 2xy

Exercices

Exercice 1

Deux entiers naturels positifs m et p sont tels que :

m × p = 1

m + p = 13

Quelle est la valeur de m2 + p2 ?

❒ A) 170 ❒ B) 171 ❒ C) 167 ❒ D) 175

Exercice 2


m × p = 7

m − p = 17

Quelle est la valeur de m2 + p2 ?

❒ A) 275 ❒ B) 301 ❒ C) 302 ❒ D) 303

Calcul [2. Identités remarquables] 11

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Identités remarquables 2

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Exercice 3


x × y = 3

x + y = 15

Quelle est la valeur de 5x2 − 14xy + 5y2 ?

❒ A) 1 035 ❒ B) 1 071 ❒ C) 1 043 ❒ D) 1 053

Exercice 4

Calculer 3532 − 1172.

❒ A) 110 920 ❒ B) 107 140 ❒ C) 104 210 ❒ D) 11 150

Exercice 5

Calculer la différence entre 2502 et 252 × 248 .

❒ A) 1 ❒ B) 4 ❒ C) 2 ❒ D) 5

Corrigés


En utilisant la formule F1, nous pouvons écrire que :

m2 + p2 = (m + p)2 − 2mp

En remplaçant le produit (1) et la somme (2) dans l’expression, nous trouvons que :

m2 + p2 = (13)2 − 2 × 1 = 169 − 2 = 167


En utilisant la formule F2, nous pouvons écrire que :

m2 + p2 = (m − p)2 + 2mp

En remplaçant le produit (1) et la somme (2) dans l’expression, nous trouvons que :

m2 + p2 = (17)2 + 2 × 7 = 289 + 14 = 303


En ordonnant et factorisant certains termes, nous obtenons :

5x2 + 5y2 − 14xy = 5(x2 + y2) − 14xy

= 5[(x + y)2 − 2xy] − 14xy

= 5[(15)2 − 2 × 3] − 14 × 3

= 5[225 − 6] − 42

= 5[219] − 42 = 1095 − 42 = 1053

12 Calcul [2. Identités remarquables]

9782100588107-PGE-P01a.qxd 16/11/12 10:51 Page 12


Nous savons que x2 − y2 = (x + y)(x − y) .

En utilisant cette identité remarquable, nous obtenons :

3532 − 1172 = (353 + 117)(353 − 117)

= 470 × 236 = 110 920

Remarque : Nous remarquons que la multiplication n’était pas nécessaire. En multipliantseulement le 6 de 236 et le 7 de 470, on voit que le résultat se finit par 20. La seule répon-se possible parmi celles proposées était donc 110 920.

Corrigé 5 : Réponse B.

L’expression peut s’écrire :

2502 − (250 + 2)(250 − 2)

En posant x = 250, l’expression s’écrit :

x2 − (x + 2)(x − 2) = x2 − (x2 − 4) = 4

Calcul [2. Identités remarquables] 13

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Comme les identités remarquables, ce sont des questions qui doivent être traitées rapide-ment. Les propriétés sur les puissances sont à apprendre par cœur, car le moindre fauxpas est fatal.

Formulaire

Notons a et b deux réels positifs non nuls, ils vérifient les propriétés suivantes :

14 Calcul [3. Puissances]

Puissances3

a0 = 1 an × am = an+m (a × b)n = an × bn

a1 = a (an)m = an×m

a−1 = 1

a

an

am = an−m

Exercices

Exercice 1

Calculer (54 − 53)3

43 .

❒ A) 43 ❒ B) 53 ❒ C) 510 ❒ D) 1253

Exercice 2

Calculer 228 + 228 + 228 + 228 .

❒ A) 428 ❒ B) 230 ❒ C) 823 ❒ D) 2112

Exercice 3

Combien obtient-on en divisant 475 par 10248 ?

❒ A) 428 ❒ B) 235 ❒ C) 435 ❒ D) 2112

Exercice 4

Combien obtient-on en divisant 255 par 817 ?

❒ A) 8273 ❒ B) 8

73 ❒ C) 84 ❒ D) 8

43

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Test

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Exercice 5

Calculer

(x4x3)3

x5

x4x23( x14

x−13x−15

) × (x4x3)3

x5

❒ A) x15 ❒ B) x5 ❒ C) x24 ❒ D) x18

Corrigés


En factorisant par 53 au numérateur, l’expression s’écrit :

(54 − 53)3

43= [53(5 − 1)]3

43= [53 × 4]3

43= (53)3 × 43

43= (53)3 = 1253


En factorisant par 228, l’expression s’écrit :

228 × (1 + 1 + 1 + 1) = 228 × 4 = 228 × 22 = 230


Le résultat 210 = 1 024 est à connaître.

En utilisant les propriétés des puissances, la division s’écrit :

475

1 0248= 475

(210)8= 475

280= 475

22×40= 475

(22)40= 475

440= 4(75−40) = 435


La subtilité de cet exercice est de remarquer que le résultat ne peut s’écrire que sous laforme 8a.

Cependant, 255 ne peut pas s’écrire facilement en puissance de 8 : il faut passer par unexposant sous forme fractionnaire.

(Rappel : 23 = 8)

255

817= 23× 55

3

817= 8

553

817= 8

553 −17 = 8

553 − 51

3 = 843


En posant A = (x4x3)3

x5 et B = x4x23

x14

x−13x−15

, la fraction s’écrit :

Calcul [3. Puissances] 15

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A

B × A= A

B × A= 1

B

Après cette simplification, nous simplifions le plus possible les puissances de base x :

1

B= 1

x4+23(x14

x−13−15

) = 1

x27(x14

x−28

) = 1

x27

x14+28

= 1

x27

x42

= 1

x27−42= 1

x−15= x15

16 Calcul [3. Puissances]

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Les calculs longs peuvent être évités quand des factorisations sont possibles. On ne vousdemandera jamais directement de factoriser, mais les maîtriser permet parfois de gagnerun temps précieux sur certains calculs.

Exercices

Exercice 1

Calculer 9992 + 999.

❒ A) 999 000 ❒ B) 999 999

❒ C) 1 000 000 ❒ D) 990 999

Exercice 2

Si x et y sont des entiers naturels, quelle expression vaut (3x)3y − (3x)y ?

❒ A) (3x)2y ❒ B) 3y(x3y − x y)

❒ C) (3x)y[(3x)2y − 1] ❒ D) (3x)2y[3x y − 1]

Exercice 3

Calculer 331 − 333

330.

❒ A) −32 ❒ B) −24 ❒ C) −128 ❒ D) −1

Corrigés


En remarquant que l’entier 999 est un facteur commun, nous factorisons par 999 et l’ex-pression s’écrit : 9992 + 999 = 999(999 + 1) = 999 × 1000 = 999000


En décomposant chaque terme, on obtient :

(3x)3y − (3x)y = (3x)y(3x)2y − (3x)y = (3x)y[(3x)2y − 1]


331 − 333

330= 331(1 − 32)

330= 3(1 − 32) = 3(1 − 9) = −24

Calcul [4. Factorisations simples] 17

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Factorisations simples 4

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Comme pour les identités remarquables, ce sont des questions qui ne devraient pas fairel’objet de difficultés particulières et doivent être traitées rapidement. Il est conseillé d’ap-prendre les propriétés ci-dessous par cœur.

Formulaire pour n > 0 et m > 0

18 Calcul [5. Racines carrées]

Racines carrées5

√n × √

m = √n × m m

√n = n

1m

(√

n)a = √na

√n√m

=√

n

m

Remarque :√

n = n1/2

Exercices

Exercice 1

Calculer

√54 × √

25 ×√

1

625√

9 ×√

4

169

.

❒ A) 25 ❒ B) 5 ❒ C) 13 ❒ D) 65/6

Exercice 2

Soient A =√

7 − 4√

3 et B =√

7 + 4√

3. Soit x = A + B , calculer x2.

❒ A)√

5 ❒ B)√

17 ❒ C)√

13 ❒ D) 16

Exercice 3

Quelle est la racine carrée de 120 409 ?

❒ A) 345 ❒ B) 346 ❒ C) 347 ❒ D) 348

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Documents

TREMPLIN 1, TEAM, AST1, ESG, EDC, IPAG…medias.dunod.com/document/9782100588107/Feuilletage.pdf · 2014-01-28 · Séries simples avec des nombres élevés . . . . . . . . .