TS Chap 5 : Cours sur les fonctions Exponentielle et Puissance

7/22/2019 TS Chap 5 : Cours sur les fonctions Exponentielle et Puissance

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CHAPITRE 6

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES

182

Introduction la fonction exponentielle

1.

quation diffrentielle

On appelle quation diffrentielle

une galit dans laquelle figurentune fonction et ses drives successives. Les solutions dune telle quationsont des fonctions.

Thorme

Consquences

:

On note :

2.

Proprits

Proprit fonctionnelle caractristique des fonctions exponentielles :

soitou bien Quels que soient les rels x

ety

:

3.

Consquences

La fonction exponentielle base e, dont la drive est elle-mme, est stricte-ment croissante sur

. Elle est continue et bijective. (bijection)

(stricte croissance).

Il existe une unique fonction non nulle, drivable sur

telle queet qui soit solution de lquation diffrentielle

Cette fonction est la fonction exponentielle note exp.

1

f f=f 0( ) 1,= f kf.=

x ( ) expx xexp=0exp 1=

xexp ex.=

x ( ) y ( ) f x y+( ) f x( ) f y( )=

x y+( )exp xexp( ) yexp( )=ex y+ ex ey.=

xexp 0 ex 0

xexpyexp

-------------- x y( )exp ex

ey----- ex y= =

1yexp

------------- y( )exp e y 1ey-----= =

n , xexp( )n nx( )exp ex( )n enx .= =

x ( ) y ( ) , xexp yexp= x y=xexp yexp x y


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cou r s savo i r - f a i r e exe rc ices cor r igs

exemples dapplication En utilisant la dfinition de la fonction exponentielle et la proprit caract-

ristique, dmontrer que pour tout rel x: et

corrig comment Pour montrer que il est ncessaire de prouver quil nexiste pas de rel

tel que

Supposons quil existe un rel x0tel que alors pour tout rel x:donc la fonction exp

serait la fonction nulle, ce qui contredit la dfinition.Par ailleurs

Soit do

soit :

car

Simplifier les critures des nombres aet bsuivants :

et

corrig commentIl est souvent plus facile dutiliser la notation e xpour expx.

do

do

xexp 0 x( )exp 1xexp

--------------.=

xexp 0,x0 x0exp 0.=

x0exp 0,=xexp x0 x x0( )+( )exp x0exp x x0( )exp 0= = =

x ( ) x( )exp x2---

x2---+

exp x2--- exp x

2--- .exp= =

x( )exp x2---exp

2

= xexp 0.

0exp 1= x x( )+( )exp 1 x x( )expexp 1= =

x( )exp 1xexp

--------------= xexp 0.

a3( )exp 3( )exp( )

1exp( )2-----------------------------------------------------= b

x( )exp xexp( )2xexp

-------------------------------------------------- .=

ae 3 e3

e1( )2-------------------

e0

e2-----

1e2-----= = = a

1e2-----.=

be x ex( )2

ex--------------------------- e x e2x e x e0= = = b 1.=


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CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES

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tude de la fonction exponentielle base e1. tude et reprsentation graphique

La fonction exponentielle base e est continue et bijective et elle admet lafonction logarithme nprien pour fonction rciproque. et avecdo et ;

donc la droite dquation est asymptote la courbe reprsentativede la fonction exp .

Remarques

La tangente en A expa pour quation et la tangente en Ba pourquation

Les courbes reprsentant lnet exp sont symtriques lune de lautre par rapport

la droite dquation

2.Limites remarquables et croissances compares

; dans un voisinage de zro.

; ;

; avec ;

; avec

; avec

Si et

2

x xexp y= x yln= y +

xexp( )ln x= xln( )exp x.=xexp

x lim 0

= xexp

x +lim +

=

y 0=

e 2,718.

x 0 1 +

+ + +

exp

exp x( )

0

+e

1

1A

0 1

e B

exp

y x 1+=y ex.=

y x.=

ex 1x

--------------x0lim 1

= xexp 1 x+

exx-----

x +lim += xex

x lim 0=

ex

x-----

x +lim 0= 0

xexx

lim 0= 0.

xlnx

---------x +lim 0.

0 a 1, an

n------

lim +.=


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cou r s

savo i r - f a i r e exe rc ices cor r igs

e

xemples dapplication

Soit f

etg

deux fonctions telles que :

et

1.

Indiquer les ensembles de dfinition de f

etg

.

2.

Suivant les valeurs de x

, donner une criture de et sans barre devaleur absolue.

c

orrig comment

1.

La fonction ln est dfinie sur or et si, et seulement si,

donc

2.

Si alors donc

Si alors donc

Rappel

: la fonction exponentielle est la fonction rciproque de la fonction loga-rithme nprien.

donc :

si

;

si

Soit la fonction f

dfinie sur par

Dterminer les limites de f

en 0 et +

.

c orrig comment

Pour tout x

de donc existe bien.

or et

donc et do

Daprs le cours, et do

f x( ) e xln= g x( ) e xln .=

f x( ) g x( )

+ , x 0 x 0=

x 0,= Df et Dg + .==

x 0, x x,= f x( ) e xln x.= =x 0, x x ,= f x( ) e x( )ln x .= =

xln xln xln 0 x 1.=

xln xln 0 x 1, =x 1, g x( ) e xln x= =

0 x 1, g x( ) e xln( ) 1e xln----------

1x--- .= = =

]0 ;+[ f x( )ex 1

x-------------- .ln=

]0 ;+ ,[ ex 1x

-------------- 0 f x( )

ex 1x

--------------ex

x-----

1x--- ,= e

x

x-----

x+lim +

=

1x---

x+lim 0,

=

ex 1x

--------------x+lim +

= Xln

X+lim +

= f x( )

x +lim +

.

=

ex 1x

--------------x 0lim 1

= Xln

X1lim 0

= f x( )

x0lim 0.

=


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CHAPITRE 6

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES

186

Autres fonctions

1.

Drives et primitives

Soit une fonction u

, dfinie et drivable sur un intervalle I.

Les primitives des fonctions sont les fonctionsavec

2.

Fonctions exponentielles base a

Soit a

un rel strictement positif et diffrent de 1. La fonction logarithme

de base a

est une bijection de sur

qui admet pour rciproque lafonction exponentielle de base a

note

Rappel

: avec

Proprits

; ;

; avec

Pour et

3. Fonctions puissances

Pour et pour tout rel

, on appelle fonctions puissances

les fonc-tions

3

exp u( ) u exp u( ).=u exp u( ) exp u( ) C+

C .

+

x ax.

lna x( )xlnaln

----------= a ]0;1 ]1;+ .[ [

a0 1= a1 a= x ( ) y ( ) ax y+ ax ay.=

ax yax

ay

-----= anx ax( )n= n .

x 0 a 0, ax ex aln .=

e

1

10

a e=0a1 a 1

ax 0 1 +

x 0 1 +

0 a1

a 0 x ax0

+a1

x ax0

+a1

a

x 0x x.

x e xln=


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Remarque : on dfinit la fonction racine nime, not , comme la rciproque sur

+de avec et On note aussi

Proprits

Pour et :

; ;

exemple dapplicationSimplifier les nombres suivants : ; .

corrig commentIndication: on utilise les proprits des racines nimes.

n

x xn n 2 n . xn x1n---

.=

, , x 0 y 0

xy xy( )= xx x += x( ) x .=

x 0 +

x 0 +

+

0

x x 1

x x

0

x x 1

x x

1=

01

1

+

0

+

0

0=

0

0

e3

e4

e23-------------- e5( )

5

3---

e3 e4

e23--------------

e3e14---

e2( )13---

-------------e

3 14---+

e23---

------------ e134

------23---

e3112------

e3112 .= = = = =

e5( )53---

e53---

15---

e13---

e3 .= = =


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CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES

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quations diffrentielles du premier ordre1. quations diffrentielles du premier ordre sans second

membreCe sont les quations diffrentielles dont le second membre est nul et quilient une fonction et sa drive premire.Ces quations sont de type

Remarque : il existe une unique solution sil y a une condition initiale

Cette condition permet de dterminer la constante C.

2. quations diffrentielles du premier ordre avec secondmembre

Ce sont des quations diffrentielles dont le second membre est une fonc-tion quelconque.Pour rsoudre une telle quation, on cherche une solution particulire de

mme forme que le second membre, puis on la rsout en suivant toutes lesindications du texte.

exemple dapplicationSoit lquation diffrentielle (E) :

1. Dterminer un polynmePdu troisime degr solution de (E).

2. Soit (E) lquation diffrentielle sans second membre telle queRsoudre lquation (E).

3. Dmontrer quune fonctiongest solution de (E) si, et seulement si, estsolution de (E).crire les solutionsgde (E).

4. Dterminer la fonction fsolution de (E) telle que

corrig comment

1. SoitPle polynme dfini sur par :

avecPest solution de (E) si, et seulement si,

Les solutions sont les fonctions avec

4

y ay 0 y ay.= =

x Ceax C .

y0

f x0

( ).=

y 2y+ 2x3 4x 7.+=

y 2y+ 0.=

g P

f 0( ) 14--- .=

P x( ) ax3 bx2 cx d+ + += a 0.P 2P+ 2x3 4x 7.+=

P x( ) 3ax2 2bx c.+ +=


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Pest solution de (E) si, et seulement si, quel que soit xde :

Par identification des deux polynmes, quel que soit xde :

do :

2. (E) :Les solutions de (E) sont les fonctions :

3. La fonction est solution de (E) si, et seulement si,soit ;

soit ;

soit ce qui signifie quegest solution delquation (E).

La fonction est solution de (E) signifie que avec

soit :

4. Soit fla fonctiongparticulire telle que

doPar suite :

2ax3 3a 2b+( )x2 2b 2c+( )x c 2d+ + + + 2x3 4x 7.+=

2a 2=3a 2b+ 0=2b 2c+ 4=c 2d+ 7=

a 1=b

32---=

c12---=

d154

------=

P x( ) x3 32---x2

12---x

154

------ .+=

y 2y+ 0= y 2 y.=

x Ce 2x avec C .

g P( )g P( ) 2 g P( )+ 0= g 2g P 2P+( )+ 0=

x ( ) g 2g+( ) x( ) 3x2 3x 12--- 2x3 3x2 x 15

2------+ +

0=

x ( ) g 2g+( ) x( ) 2x3 4x 7+=

g P g x( ) P x( ) Ce 2x=

C

g x( ) x3 32---x2

12---x

154

------ Ce 2x .+ +=

f 0( )14---=

154------ Ce0+

14--- C 4.= =

f x( ) x3 32---x2

12---x

154

------ 4e 2x .+=

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