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Physique
MECANIQUE DU SOLIDE EXERCICE
-EXERCICE 17.2-
ENONCE : Tube sur une nappe que lon tire
On considre un cylindre creux, de masse M et derayon R, qui peut
rouler sur une nappe que l'on tireavec une force non prcise, mais
telle qu'il n'y aitjamais glissement entre le cylindre et la
nappe.A t=0, la nappe et le cylindre sont immobiles.
F!
Au bout dun moment (avant que le tube ne tombe de la table), on
arrte de tirer sur la nappe ; comparer les distances parcourues par
un point de la nappe et par le centre dinertie G du tube.
Rq : pour les calculs, on pourra considrer que le moment
dinertie du tube par rapport un axe passant par son centre dinertie
vaut : 2J MR= .
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Physique
MECANIQUE DU SOLIDE EXERCICE
CORRIGE : Tube sur une nappe que lon tire
Prenons la table comme rfrentiel et choisissons un axe Ox
horizontal, orient dans le sens de
la force F!
(le point O, grav sur la table, concide avec le point de contact
nappe-tube t=0) ; le sens + des rotations sera le sens
trigonomtrique. Le TRC appliqu au cylindre donne :
GdvM Tdt
= , o Gv =vitesse du centre dinertie G du tube/table, et T =
projection sur Ox de la
force applique par la nappe sur le tube ( 0T , puisquil y a
roulement). Le TMC barycentrique conduit :
dJ R Tdt= ; en effet : si 0T " , cette force tend faire tourner
le cylindre dans le sens trigo,
choisi comme sens +, et son moment est donc du mme signe que T
(qui est une valeur algbrique) ; le raisonnement est le mme si 0T .
Enfin, est la vitesse de rotation du tube. On limine T (qui nest
pas une donne de lnonc) entre les 2 quations prcdentes :
GdvdJ RMdt dt= aprs intgration et en tenant compte de 0Gv = =
t=0, il vient :
( ) ( )GJ t RMv t = ; il faut maintenant liminer ( )t et
introduire la vitesse de la nappe/table ; cest la relation de RSG
qui va nous servir (laxe Oy sera vertical, orient vers le haut ;
laxe Oz est orient de manire directe partir des 2 autres,
compatible avec le sens + trigo : on ne rptera jamais assez que ces
orientations, arbitraires pour certaines, doivent surtout tre
cohrentes entre elles, sous peine derreur(s) de signe(s) !) :
1 2 20 glissement I nappe I tube G G y z G xv v v v I G v R e e
v R e = = = + = + = +
$$$!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ; sur Ox, on a :
1I nappe N Gv v v R = = + ( Nv sera la vitesse de la nappe, tous
ses points ayant la mme vitesse).
Aprs limination de ( )t , on obtient : 2
N G GMRv v vJ
= + 2G NJv v
J MR=
+ ; en prenant 2J MR= , il vient :
2N
Gvv =
Rq1 : le tube sarrte ds que lon cesse de tirer sur la nappe.
Rq2 : 2 0 , mais 1J
J MR+" le tube se dplace dans le mme sens que la nappe, par
rapport la table, mais moins vite (il recule donc par rapport la
nappe, en tournant dans le sens trigonomtrique).
