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AGENCE DE BASSIN RHONE MÉDITERRANNÉE - CORSE
31, Rue Jules-Guesde 69 PIERRE- BÉNITE / Tél. (78) 51 33 84
ÉTUDE THÉORIQUE DE L'ÉCOULEMENT
AUTOUR D'UNE CAVITÉ CYLINDRIQUE
AVEC APPLICATION NUMÉRIQUE SUR LES POINTS S 19 ET S 20
A VAULX-EN-VELIN (Rhône)
par
J. AURIOL / D. ROUSSELOT
BUREAU DE RECHERCHES GÉOLOGIQUES ET MINIÈRES
SERVICE GÉOLOGIQUE NATIONAL
B,P, 6009 - 45 Orléans (02) - Tél. (38) 66.06.60
Département Hydrogéologie
BP 6009 45 Orléans (02)
Tél. (38) 66-06-60
Service géologique régional
JURA - ALPES
BP 6083 69 Villeurbanne- Croix-Luizet
Tél. (78) 52-26-67
71 SGN 251 JAL Lyon, Septembre 1971
RESUME
Modalités administratives
L'étude qui fait l'objet du présent rapport a été effectuée à la
demande de l'Agence Financière de Bassin Rhône-Méditerrannée-Corse.
Objet
Ce travail consiste d'une part en l'étude théorique de l'écoulement
autour d'une cavité de puisage cylindrique dans un milieu anisotrope homogène,
soit infini, soit semi-infini, avec une limite plane étanche, soit compris
entre deux plans parallèles l'un étanche, l'autre à potentiel constant.
D'autre part, on appliquera les résultats obtenus dans la première
phase aux points de prélèvements S 19 et S 20 exécutés dans la plaine de LYON
dans la perspective d'en déduire les perméabilités horizontales et verticales
du milieu.
Résultat
Les résultats numériques donnés par ordinateur en application des
calculs théoriques ont été regroupés sous forme d'abaques. De ces abaques ont
été tirés des formules applicables à des intervalles de variation des paramè¬
tres répondant aux cas pratiques rencontrés.
Ces résultats appliqués aux points S 19 et S 20 sont encourangeants .
Perspectives d'avenir
Il est peut-être un peu tôt pour conclure que les formules déduites
de l'étude, vont permettre de déterminer les perméabilités horizontales et
verticales du milieu où ont lieu les prélèvements d'eau à des fins d'analyse.
Les résultats satisfaisants obtenus sur S 19 et S 20 en accord avec les
données géologiques, permettent de l'espérer mais devront être confirmés
par l'interprétation d'autres essais, pour autoriser l'emploi de ces for¬
mules .
- Les formules données sont certainement encore perfectibles
- Il peut être envisagé de tenir compte de la déformation de la surface piê¬
zométrique et de traiter alors le problême soit par voie analytique excluant
toute hétérogénéité, soit par modèle mathématique.
Responsables d'études
J. AURIOL (Ingénieur - hydraulicien - S.G.N. Orléans)
D. ROUSSELOT (Ingénieur hydraulicien informaticien - S.G.R. JAL)
Dessinateur
J.F. RIEUX
Secrétariat
C. AUBRIOT
- 1 -
SOMMAIRE
1 - INTRODUCTION A
2 - ECOULEMENT, DANS UN MILIEU ISOTROPE, PROVOQUE PAR POMPAGE
DE DEBIT Q DANS UNE CAVITE CYLINDRIQUE (CALCUL APPROCHE) 4
21 - NOTATIONS 4
22 - HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES 5
23 - POSITION DU PROBLEME 5
24 - CALCUL DU POTENTIEL VT' (r, z) 6
25 - DETERMINATION DES PARAMETRES A et y 8
251 - Mëthod.e simplifiée 8
252 - Méthode numérique (calcul des intégrales par la
méthode des trapèzes) 12
26 - CALCUL DE LA DEPRESSION SUR L'AXE DE LA CAVITE 13
« m
*i
3 - ECOULEMENTS (DANS UN MILIEU SEMI-INFINI ISOTROPE. LIMITE
PAR UN PLAN IMPERMEABLE PARALLELE A UN PLAN A POTENTIEL
CONSTANT) , PROVOQUE PAR UN POMPAGE DE DEBIT Q DANS UNE
CAVITE CYLINDRIQUE (CALCUL APPROCHE) I5
31 - NOTATIONS 15
32 - HYPOTHESES ET POSITION. DU PROBLEME 16
33 - DESCRIPTION DU CALCUL (ESSAI DE RELATION ENTRE R, ri, T et S) 17
34 - CALCUL DE LA DEPRESSION SUR L'AXE DE LA CAVITE 20
-2-
4 - ECOULEMENT, (DANS^yN^MiyEy^SEMIiINFip^ISOTROPEj^^yMITE^PAR^yN^PL^
IPERMEABLE) , PROVOgyE^PAR^yN_POMPAGE^DE^D|BIT^g^DANS^yNE^CAVITE
CYLINDRigyE^(CALgyL^APPROCHE) 2 1
51 - INTERPRETATION DES ESSAIS S 1 9 ET S 20 22
511 - Essai sur S 19 22
512 - Essai sur S 20 24
6 - CONCLUSION 25
3-
LISTE DES ANNEXES
ANNEXE 1
ANNEXE 2
ANNEXE 3
ANNEXE 4
ANNEXE 5
ANNEXE 6
ANNEXE 7
Valeurs d'intégrales
Résultats des calculs à l'aide des développements limités
Résultats des calculs à l'aide de la méthode d'intégra¬
tion
Relation X 1 ( n , o , R)
ExemDle d'abaque
Relation S ( n, c, R)
Exemple d'abaque
Relation Vm ( n , c, R)
Exemole d'abaque
Exemple de résultats numériques avec la théorie des
images
Liste des figures
F i s,u re 252. , ^ , . I *. ^ 8 TT K -
Potentiel réduit v^(r , z) x en fonction
de loa
-4 -
1 - INTRODUCTION
L'étude engagée à la demande de l'Agence Financière de Bassin Rhone -
Méditerrannée - Corse, est le prolongement de l'étude théorique faite par
Moi^sieur LACROIX sur l'écoulement autour d'une cavité de puisage cylindrique.
Des résultats de cette étude on attend la possibilite.de déterminer les
perméabilités horizontales et verticales des terrains où sont effectués les
prises d'échantillons d'eau. Ces perméabilités rentrant comme paramètres dans
tout modèle de diffusion de la pollution, elles ont une importance toute
part iculière .
- L'ordinateur nermet de traiter des calculs complexes en limitant au minimum
les simplifications, de multiplier les essais pour de nombreuses valeurs des
différents paramètres.
- Il fallait donc mettre à profit la puissance de calcul des calculatrices
électroniques pour pousser plus avant la théorie, pour constituer des abaques
et si cela est possible de tirer une formule unique.
2 - ECOyyMENT^DANS^yN_MiyEy^rNTINT^ET^ISyTRgPE^^PRg^
ÎOKBIT_gl_DANS_yNE_ÇAVITE_ÇYaNDRTQyE_XÇALÇyL^
21 - NOTATIONS
Les calculs s'effectueront en coordonnées cylindriques (r, z) la
cavité centrée à l'origine, ayant oz pour axe de symétrie.
Soient :
- K la perméabilité du milieu
- 2 1 la hauteur de la cavité
- 2 r son diamètrec
- C un paramètre repérant un point de l'axe à
l'intérieur de la cavité.
- Ho une longueur de référence
- r.= 1/Ho, R = r /Ho, Z = z/Ho, Ç' = Ç/Ho, R = r/Ho
ze
\
1
:
^
/
'
; 1
-
La fonction potentiel des vitesses ^* créée par un puits ponctuel, de coordon¬
nées (ç, 0), de débit q, en régime permanent est, en un point M (r, z) :
\Q ^ 2 2 2~ 4 Kd ^^^'^ ^ ^ ^ + (Ç - z)
avec potentiel nul à l'infini.
22 - HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES
- On suppose que l'écoulement â l'extérieur de la cavité de puisage
est identique à celui provoqué par un segment, composé d'une infinité de puits
ponctuels, porté par l'axe oz et de longueur (2 1).
- On suppose une répartition de débit sur ce segment de la forme
2 4q(Ç)=a+cÇ +fÇ (symétrie de la distribution)
avec f = o ou f ?i o
23 - POSITION DU PROBLEME
Le potentielOtr , z) créé en un point M (r, z) , par le système défini
en 22 s'écrit : ^
4 .K .\r(r, z) = /" ^ ^ (K) 1 K (1)J-l v^ a-z)^
Cette fonction répondra au problème posé, si elle demeure constante sur
la surface latérale de la cavité. La solution (I) ne répondant pas exactement
à cette condition, on déterminera a, c et e de façon à minimiser l'erreur
commise, en assimilant vlr(r, z) à sa valeur moyenne \Tm (par rapport à z) , sur
cette surface.
Lorsque a, c et e seront déterminés, on dira que \^(rc, z) sur la
cavité est égal à VTm
../...
-6 -
^4 - CALCUL DE ^( r , z)
4 r Kl'^Cr, z) =
On effectue le calcul de 1 ' i nLrt'-ga 1 e en coordonnées réduites :
f "^ g [(uR+Z)Ho] duavec u
Ç - z _ C - y-
r + Z
2 R
KuR + Z)Ho] = a + c Ho~ (uR + Z) ^ + eHo^(uR + 7.)^
= a (1 + XZ^ + uZ^) + 2 RZ (X + 2m Z") u + R~(X + 6u Z")u"^ +
3 3 4 4 44mR Zu +u R u
cHo fHo"*avec X = et ;! =
On est alors ramené au calcul des intéi^rales
du / udur 2, r i,' u du u du
y^ ' ^v^ '-'k:7 'M::^ '^vt.
4,u du
(voir les résultats en annexe !)
On en dédui t :
VAr, z) =tl
(1+ XZ'^ +u z"*) Log (u+Vl+u^) + 2 RZ (X+ 2y Z"^) Vl+u"
+ (> +2 ^
6u Z^) ((lY1+u" - Losî (u +\yi + u"^))
. 4pr3 z (^)Vi - u2+ ,R^ C^^^^ V^ . I xLog(u.K^))^
.../...
Posant A =
B =
To
Po
n - Z + \/(n-Z)^ + R
n + Z + \/(n+Z)^ + R^
A - B + 2 Z
,22 _ r;
^ 2
(2)T
T. =
T
(n - Z) A + (r. + Z) B - 2 (r; + Z )
(n - Z)^ A - (ri + Z)^ B + 2 Z (3 n^ + Z^)
3 3 4 2 2 4(r - Z) A + (r, + Z) B - 2 ( r, + 6 r, Z + Z )
Log ( )
R"
G = PoF +2ZTO+T1/2
2 5 2-34Z^ (Po - I R^) + I r'* F + 4 Z (Po - ^ ) To + 3(Po + \ R^)D O
4 T3
^3 ^^2^4-
On en déduit :
4-K0^(r, z) = F + XG + mH
On détermine (a) en écrivant :
Q = /^ q il) dÇ =_3 5
r CÇ CaÇ ^- ^ + r
+ 1
- 1
D'où 0=2aI(l+-4- + - \- ')a 3 a 5
= 2a ':Ho (I + 4 n^ + ^ n^) (3)
d 'où a =
2n Ho (1 + 1^ n^ + # n^)
On obtient donc la formule suivante
iXr, z) =4ttT 2r,
F + XG +p H
(I ^f n' -f nSavec
'T = KHo
Z = z/Ho
2
X = cHo^/a
4
p = eHo /a
Vn = 1/Ho
-8 -
25 - DETERMINATION DE X ET p
251 - Méthode simplifiée (développements limités)
z 1 = o
On considère les valeurs de L^r , z) prises pour z = z2 = 1/2
^ z3 = 1
On définit alors v M ^(r ,0) +^(r , 1/2) +Lr(r , 1)
a z ,valeur moyenne de v-'(r , z) par rapport
([Tir , z) est une fonction paire de z) . On peut écrire Vm = Fm + XGm +y Hm
X et p seront tels que la quantité
3 2T, ( (Rc, Zi) - l?m) sont minimale
i = 1
(méthode des moindres carrés), avecV.?([Rc, Zi) = Fi + X Ci +p Hi, désignant
... z i ,par Fl , Ci, Hi les valeurs de F, G, H lorsque Z = 77 , on obtient les formules
Ho
suivantes
Si u = 0,X = X,
^ (.| FiCi) - FmGm
12 23- ( I^j Ci ) - Gm
(4)
Si y ^ o posant A=(| Z Gi^ - Gm^) (^ EHi^ - Hm^) ( ^ i (Gi.Hi) - GmHm) ^
(y . Z (GiHi) - GmHm) (j EFiHi - FmHm) (| T Hi^-Hm^) (|x FiGi - FmGm)
P = P^
(^ E(GiHi) - GmHm) (^ E(FiGi) - FmGm) -^ EGi^-Gm^) (^E (Fini) -FmHm)
Le calcul des trois valeurs L?( rc , zi) ne sera effectué que dans le cas où
Ho = 1 , M = 0, (variation de q suivant un polynôme du 2ëme ordre), et à
l'aide de développements limités.
.../,
Dans ces conditions on a : n = 1 et
-
SttT ^{re, z) = F + XG
1 + X/3
-1 , rc , -6on examinera les cas où : e ^ -j .^ e o^ Y ^ (1)
Posant -:¡ = Rc, on va effectuer des développements limités en fonction de
,Rc 2 ^ . Rc V
- /, N 1/2 , " , ,^D-I 1.2.5. (2p-l) p , ^ ZOn peut écrire ( 1 + x) = 1 + Z (-!) ^^^~ x*^ = 1 +
p^l ^ 2P p ! " 0=1ap X
I a. ¡ = 0,5 i â i = 0,375, x étant un infiniment petit.
O 1 / 0 0
Pour pouvoir assimiler (1 + x ) à (1 + y ) avec une erreur inférieure à 1 %
, ,- 1 I 4 1 , 1 ^ 1il faut que ¡ a ] x <77Ct d ou x <r^
100 2,48
c , . . , ^ r- T. -- ^C AICI x = -j-;^ (cas le plus défavorable par rapport a - - )
1-Z
On peut en déduire que les développements indiqués ne seront valables que pour
-j- = Z ^ Z max = I - 2,48 Rc , avec une précision de I %, d'où le tableau ci-des¬
sous :
:L=Logrc
ÎRC-IS
:2,48 Rc
* Z max
1
0,368
0,910
0,09
l
: 2
: 0,135
: 0,334
\ 0,666
3
0,050
0,124
0,876
4
0,018
0,045
0,955
5
0,007
0,017
0,983
6 :
0,002 :
0,006 :
0,994 ;
.../,
(1) e : base des logarithmes népériens
10 -
On obtient alors, dans une oremière étape
F = Log
? :> 24 (1-Z)^ R2£ 1+Z .
\ I o ) 9
R^c 2 5 9
(1-Z^)'
G = (Z2 - 4 ) F . 2 Z (-2 Z . ^ ) . (1 z' + ^) ^1-Z
Pour continuer, il s'agit d'effectuer un développement limité de
Log 1 +R^c j + Z
2 7 7^ (1-Z-)-
Comme ci-dessus, examinons dans quel domaine de variation de Z il sera valable
avec une précision de I %
Log (1 + x) = x - + ....
On peut assimiler Log (1 + x) à x avec une précision de ! % si
9
X 1 ,, . 1< -rrrr d ou y.<
2 1 00 7,07
dans le cas présent, il faut que :1 + Z
) 9
(1-z-)^ Rc X 3,54
,, . .,2 2 + k - V(2+k)- - 4(l-k)d ou Z max : ~
d'où le tableau ci-dessous :
L=Log
Rc
3,54 R c
Z max
0,368
0,494
0,470
: 2
: 0,135
_ 0,066
: 0,820
3
0,050
0,009
0,930
4
0,018
0,001
0,980
5
0,007
0
= 1
6 :
0,002 :
0 ;
= 1 :
.../.
1 1 -
Alors on pourra écrire :
V - T ^ (1 - Z2) Rc^ 1 + Z^F = Log + ^
R (1-Z^)^
Posant L = Logrc
= Log Rc, on obtient :
9 -2L 2
F + X G = Log 4 (1 - Z ) + 2L + I +\ Z^Log 4 (1-Z^) + 1-3Z'^ + 2Z^L
^ -2L ,l + 3¿-2Z 1 , //, ^2. ^.+ e (^T -= Log4(l-Z ) - L)
2(1-Z'^)^ ^
(5)
avec Z 4 1 et Z ^ Z max
Pour Z = 1 il faut effectuer un calcul direct à partir de la formule (3)
dans laquelle n = 1, P = 0, Z = 1
2On en déduit F = Log (
.vr. Rc , , 2 ,, \/, Rc"^ s , 4 Rc^) = Log -^ ( 1 + V 1 + -2- ) = bog -2" + -r^
Rc Rc" Rc
16
^'='' ^vrr^.vTTG = (1 - -^ ) F - 2 V4 + Rc Rc
= (1 ^) F- VTT^
On en déduit les valeurs suivantes : (2 Log2 = 1,388)
V (Rc, o) = 1,388 + 2L + 0,5 e ^^ +X il - e ^^ (L + 0,194))
V (Rc, -^ ) = 1,100 + 2L + 1,110 e~^^ +X (o,5 L + 0,525 - e~^^ (L - 0,894))
-2TV (Rc, 1) = 1,388 + 0,062 e +X - 0,612 + e~^ (2 - 0,880 e~^ - 0,51 Le~^ 3
(avec V (Rc, r) = F +A G)
On trouvera en annexe II les valeurs numériques pour 1 ^ L ^6, calculées par
ordinateur de Vra, A , et de
Sdl2 =Vm 8ttK1
Lr(rc, z)
- 12 -
On a calculé les valeurs correspondantes, lorsqu'on néglige les termes soulignés
dans les expressions numériques ci-dessus,
252 - Méthode numérique (calcul des intégrales par la méthode des
trapèzes)
,+1
On calcule alors Vm = -^^rf / (F + X G + y H)dz
on choisit dans le cas présent Ho = 1 d'où n = I
d'où Vm = / (F + X G + pH) dz avec Z = fJ O
Les formules donnant X et y sont similaires à celles du paragraphe précédent,
1 3 1dans lesquelles on remplace le symbole ( -r- Z ) par f
i = ï IJ O
Les résultats sont fournis en annexe III. Ils comportent les valeurs suivantes ;
L, X (2), Vm(2) , V(2) , Ç (2) = correspondant à la forme du secondvm
degré pour q (Ç) , avec f = o
\ (4), y (4), Vm (4), V (4)(Z), Ç (4) = ^^ y~ ^^ correspondant à la forme du
quatrième degré pour q (Ç) , f * o,
Vm (2) ^ , Vm (4) , , ,, .S = rvTT » s. = rrrxttñ correspondant au rabattement réduit,
2 1 + ^(2) 4 a(4) y(4)
3 3 5
dans la cavité - l^(rc, z)
Les constructions graphiques figure 252, permettent de déduire les résultats
suivants :
../...
- 13 -
L < 3
Dour L > 3
82= 1 ,90 L + I ,01
S^ = 1 ,89 L + 0,96
82 = 1 ,98 L + 0,78
1^4 = 1,99 L + 0,69
avec (y(rc, z) = \J'-^^ S2 ou 848 Kl
La fonction -;4 VJ' /;; g (O d;
tendant vers zéro lorsque r
y(r-z)2+72
tend vers 1 ' inf ini , VJtrc , z) représente la dépression au centre de la cavité
(pour r très grand ^^(r, z) = J^ est indépendant de z)
26 - CALCUL DE LA DEPRESSION SUR L'AXE DE LA CAVITE
A l'extérieur de la cavité, le potentiel créé en un point de l'axe
oz s écrit
4 K ^(o, z) = / ^J-l Í ^ ^
dÇ
Lorsque z J^ 1 on peut écrire
+ 1
4t:K ^(o, z)
d'où 4TrK^(o, z)
d'où 4TrK \^(o, z)
/.g (O
(1- ¿)z
d Ç
/:: q(Ç) dÇ +
.+ 1
g (C) (1 + f + ^ + ...) dç
d'où^(o, z) = 0
4ttKz
1 r / .2 u+ (aÇ+cÇ +
z3 J-l
1 ^^ (l.£ii.f 1;l2- z 5a 7a
z Q
çq (Ç) dC
f C ) '^Ç
7 j:; r q(Ç) dÇ
../...
1
1> -\C r
11
10
9
fi
7-
6-
c _3
A -
0
52,S4,SD
-
m
1
. 2
/* /
/*/
2
szasi
/ /J9
3
Y
/ /J
i1/
4
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S DL2
6 7 "^ "^8 ~^
*-
9
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10 Lo
m
7^
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o-H
o
z
o
m
i
o
CD
1
n
-O
"DO-H
m
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mf
XI
|-n
o
c:
-H
^-J
r>~
M
>
X
00
A7<C-
inIV
Log.l/r
lu encore \y(o , z) - -^Kz
2 1 .^.1 3 5
] + _- X r-2 . Xr
yn4
7. j +yr^
(voir équation 3 du paragraphe 24)
cHo2
avec A etfHo
Choisissons r = 1, donc Ho = 1
On ne ut écrire
^{o, z)4 Kz
1 +1/3 + x/5 -t- t./7
1 + X/3 + y/5
On trouvera en annexe III les valeurs du coefficient :
1/3 -f X/5 + u/7
1 + X/J + y/5
Ce coefficient étant inférieur à (0,5) lorsque 1 ^ Log ( ) < 6, on peut
donc en conclure gu'à une distance z du centre de la cavité supérieure à (71),
le potentiel sur l'axe de celle-ci est donné par la relation :
^(o, z)4TrKz
avec une précision de 1 %
On obtient une précision de 10 % si z > 5 1.
Cette formule était prévisible étant donné gu'assez loin de son centre la cavité
est éguivalente à un puits ponctuel affecté du débit (Q) .
3 - ËÇgyLEMENT (DANS^yN^MILIEy^SEMI^INFINI^ISOTROPE^yMITE^PAR^yN^PLAN^I
M^àëiië=£àSâi=-iUîS=â=yS=Siâ^=â=£Qii^îiit=£QSiîâ'^P pSOVoque^par^un^pompage
iyii=yyiî=9) SèNS^yNE^CAVITE^CYLINDRigUE (CALCUL^APPROCHE)
31 - NOTATIONS
Les calculs s'effectueront en coordonnées cylindrigues (r, z) , l'origine
des axes étant prise au centre de la cavité.
../...
- 16 -
Les notations seront similaires à celles du paragraphe 11.
Ho représentera l'épaisseur de l'aguifère entre l'imperméable et la surface
à potentiel constant.
zoc désignera le rapport ^-- '- , zo étant la côte de l'imperméable,
Ho
32 - HYPOTHESES ET POSITION DU PROBLEME
Le calcul sui suit est l'application de la théorie des images
le système ci-contre est égufvalent à
la série infinie de puits et de sour¬
ces réparties sur l'axe OZ suivant les
suites de côtes :
(1) p
(2) S
(3) S
(4) P
(5) P
(6) S
(7) S
etc
0
2 - 2a
- 2
4 - 2a
- 4
6 - 2a
- 6
P
S
S
P
P
S
s
- 2a
+ 2
- (2+2a)
+ 4
- (4+2a)
+ 6
- (6+2a)
etc .
/^,^.;
]NH¡
11
9
o
1
ki,*^ai/iiiiifl:iiiKiw/ïi
i
m
1
amiÑ
1
mmiim
/<?
Les côtes de chacune des cavités images seront :
z2p = Ho (2p - 2a) z'2p = Ho (2p)
z2p+l= Ho (- 2p) z'2p+] = Ho (2p + 2a)
Conservant les notations du paragraphe 23 et du fait des différents changements
de signe, on aura le potentiel CTtotal (r, z) créé par un tel système, en un
point (r , z) .
IJc (r, z) = ^(r,z)+ lX(r, (z + 2aHo)) + Z^ (- ^(r , (z-Ho(2p-2a) -l^r , (z+2pHo) )
-U'(r,(z-2pHo) -V^r,(z+Ho(2p + 2a) + Utr, (z-Ho(2(p + l )-2a) )+atr , (z+2(p+l )Ho)
+ ^^(r^ (z-2(p+I)Ho))+ l?tr/z+Ho (2p+I) + 2a)))
./.
- 17-
Etudions la convergence de cette série
..+ 1
Soit V/p1
4TTk J-l \jr^.(^-z.zp)^
zp I côte de l'image d'ordre p
Calculons sa partie principale lorsque zp tend vers l'infini
On a 4tt KlJ'p = -^ q (Ç) (1+2 ^^-^ + o (-^)) dÇ^P j-l ^P z^p^
d'où 4tt KO'p =I
zp
_ Q
j: q(0 (1 + -|^ + 0 ( -!-)"P z2p
dÇ
I+ 0 ( -^ )
zp 2'^ z'^p
On peut donc en déduire que le terme général de la série précédente après
regroupement des huit facteurs de signes alternés est un infiniment petit eniy
lorsque p tend vers l'infini ; la convergence est donc assurée.
Le potentiel sur la cavité de puisage sera assimilé à sa valeur moyenne
le long de la cavité. Les paramètres intervenant dans la forme du débit élémen¬
taires seront calculés de façon à minimiser l'erreur commise en faisant cette
approximation (méthode des moindres carrés).
33 - DESCRIPTION DU CALCUL (essai de relation entre R, r\,a et S)
D'après ce qui précède le potentiel \y (sur la surface latérale de
la cavité) aura la forme suivante.
\y^ (rc, z) = g^ V (Rc, z)
avec Rc : Il Z = ^' , T = K^ Ho, Q = J" q(Ç) dÇ, q (C) = a(l + Xr/Ho
+ yÇ^/Ho^) , n =Ho
.../..
18
V(Rc, Z) = F(Z) + F(Z+2a) - F (Z-2 + 2^^) - F (Z-2) - F (Z+2) - F (Z+2 + 2CT)
+ + X |g(Z) + G (Z+2a) - G(Z-2 + 2a) - G(Z-2) - G(Z+2) - G(Z+2g) + ....1
+ y I H (Z) + H (Z+2c) + j
Appliquant une méthode similaire à celle de.s paragraphes précédents,
on détermine les valeurs des paramètres X (avec y = o) et X et y (avec ]i ^ o) ,
en minimisant la guantité :
,+ri
/- (V(Rc, Z) - Vm)^ dZ
dans laquelle Vm = / V (Rc, Z) dZ, représente la valeur moyenne du potentiel
^ -r,
le long de la cavité.
Les valeurs des paramètres obtenues sont différentes de celles calculées
en milieu infini. En effet l'optimisation a été effectuée sur une forme
( ZF + XZG + yZH) et non en calculant directement Z(F +X«'.G + y=°.H) à partir
de la Corme trouvée en milieu infini. Cela est apparu souhaitable afin d'obtenir
une valeur aussi constante que possible, de la fonction V(Rc, Z) , le long de
la cavité. La valeur du potentiel sur la cavité est alors prise égale à Vm.
Le programme F0RTRAN établi, a pris en compte le puits et vingt et une
images, de façon â obtenir une bonne convergence de la série représentant
V(Rc, Z) (stabilité à \ '' près lorsgu'on augmente le nombre d'images).
La difficulté réside alors dans la longueur du temps de calcul néces¬
saire pour obtenir numériguement les valeurs de X, y, Vm en fonction des para¬
mètres du problème ri,a et Rc . On peut en déduire alors les valeurs correspon¬
dantes du rabattement au droit de la cavité :
-=8?î , 3 '" 5 -8?T S(.,. ,Rc,
./...
- 19 -
On a donc calculé numériguement, pour différentes valeurs des paramètres
(n, a, Rc) la fonction S. Quelques types de courbes obtenues sont données en
i
annexe (5 et 6) ainsi que quelques exemples numériques particuliers en annexe 7.
-3
Dans cette dernière on trouvera (lorsque n = 0,09, a = 0,5, R = 5.10 )
- les valeurs effectives du potentiel V(Z) le long de la cavité (- r ^ Z ^ +r)
pour des valeurs de Z de la forme Z = + n - k -j^ avec o ^ k ^ 20
- la valeur correspondante de Vm
V(Z)-Vml'erreur relative
Vmcommise en assimilant V(Z) à Vm
- la répartition de la densité de débit q(Z) aux mêmes valeurs de Z
que celles donnant V(Z)
- la valeur des paramètres XI (EL 1), X2 (EL'2), y2 (EL 3)
- la valeur de Sl et S2
Celles-ci se présentant en deux ensembles de tableaux :
- celui du haut correspondant au cas d'un polynôme du second degré pour
q(Z) (f = o) (indices 1)
- celui du bas correspondant au cas d'un polynôme du quatrième degré pour
g(Z) (f ^ o) (indices 2)
Afin d'éviter de nouveaux passages sur ordinateur, on a alors cherché
une fonction approchée S (r,, Rc, T) réalisant la synthèse des calculs effectués.
On propose la relation suivante, approchée sur les résultats numériques obtenus :
8 = - (0,10n
rZ
-0,85 + 14 Rc
+ 2) (^^ ^Rc
-14 a
Le d ornai ne de va!
0,3 < a ^
0,01 ^ r, ;<
I0~^ ^ Rc .<
^ <fe^
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0, L5
-25 10
150
. _ , . i.
t le suivant
Ce domaine correspond aux conditions pratiques respectant les approxi¬
mations effectuées dans l'ensemble de cette étude (cavité filiforme suffisamment
éloignée des limites).
.../...
20 -
34 - CALCUL DE LA DEPRESSION SUR L'AXE DE LA CAVITE
Le potentiel résultant, en un point de l'axe et extérieur à la cavité,
est la somme de ceux produits par chacune des images en ce même point.
D'après ce qui a été établi au paragraphe 26, on peut écrire le poten¬
tiel y^ créé par une image de côte zk, en un point de côte z, extérieur à cette
cavité image :
rz-z.
lorsque |z - z [^^ 1
les termes zk ayant la forme décrite au paragraphe 32.
La dépression se sur l'axe de la cavité s'écrit alors
se = vr(o, z) = ,? ^k = 7^ ,fk=o 4ïïKH k=o
1
z-zk
Posant T = KH Ho et reprenant les valeurs réduites Z ET ^' ^ = ik7
on en déduit :
se =4ttT
1 1+
1
Z+2a
1
' , )^ (-L+Z+2a' ^4-/
4+Z 4-(Z+2a) 4+Z+2a
2-Z 2+Z 2-(Z+2a) 2+Z+2a' '4-Z
+ ...
Ce qui se transforme en :
se =47rT
Posant alors u
Z+2a
2k
Izl
-i-^.-± ) + (4-z2 4-(Z+2a)2 l6-z2 16-(Z+2a)
-> ^
\r = 2k
k Z+2a
Cette expression s'écrit :
se = 7-^4TTr
-L (,.2 , z, (-1)^ JLL_ ) . 1 (,.2 J, (-i)-p- )z| ^-' uVl ^^^° ^-^ O'jJ-l
- = A4 T
lz|M +
Z+2aN)
2 1 -
Les sommes des séries intervenant dans la formule ci-dessous peuvent alors se
calculer numériquement en fonction des paramètres q et Z.
4 - ECOyLEMENT (DANS^yN^MIUEU^SEMl3lNFINI^IS0TR0PE^^yMITE^PAR^yN_P^
IMPERMEABLE) PRQy0QyE_PAR_yN_P0MPAGE_DE_DEBIT_Q_DANS_yNE_ÇAyiTE_ÇYI_4ND
L'étude a été effectuée de façon similaire à celle du paragraphe précédent
une seule image, symétrique de la cavité par rapport à l'imperméable, est à
prendre en compte. Les résultats numériques sont identiques à ceux obtenus
dans le cas du milieu infini, dès que est supérieur à 3 , Cette dernière
ilWllMMllllll^^MMlllllllfmlWMl^mli
9Z
condition étant pratiquement toujours
réalisée.
L'étude n'a, par conqéquent, pas été
menée plus avant.
5 - APPLICATION DES RESULTATS PRECEDENTS A UN MILIEU ANISOTROPE
Dans le cas d'un milieu anisotrope de caractéristiques k, et k , on peut
appliquer les formules précédentes en effectuant la transformation
Hmultipl 1 ration du débit par \/- et dilatation du système suivant l'axe oz
par \/t77t.» correspondant a une affinité d axe oz de puissance
Les formules trouvées ci-dessus se transforment en (posant x = \/ tttt)KV
Q Xse = -^ X
SttT Rcx(0,10 ^ + 2) X (^
Rc Rc
-0,85+14R£
x) X - 14 a (5, a)
avec =Ho ' ^ = S ^^ = if ' T = KH Ho
22 -
se demeure inchangé soit :
se4TrT
1 T k k-d + 2^:, (-1) ( ) . _L (,.2 z (-1) -^)
Z+2a ^ k=l ^ -^ ..2 ''(r,
k
avec uk = -^ , l^_
. Zlk Z+2c ' Ho Ho
(5,b)
Désignant toujours par M et N la somme des deux séries on peut écrire
(5, c)Q
se = --^4itT
M N
,,, Z.2a
On obtient la relation
r, se2 X X
se
\
Z+2r
x
Rc~
-0,85+1 4Rc
(0,11 X X X J_ +2)Rc
14 (5,d)
51 - INTERPRETATION DES ESSAIS 8 19 et S 20 (1)
51 1 - Essai S 19
On a considéré l'essai n" 3 sur le tube n° 3.
Les paramètres géométriques sont les suivants :
hauteur de l'aquifère HO = 15m
distance entre le substratum et le centre de la crépine zo = 3,5 m
demi hauteur de la cavité de puisage 1 = 62 cm
distance du centre de la crépine et le point d'observation z = 3,75 m
rayon du trou ~ 90 mm = rc
Les paramètres hydrauliques sont :
Q = 0.69 lo"-^ m^/s
Rabattement observé dans la cavité sc = 26 mm
Rabattement observé sur le tube n° 2, sc = 2 mm
.../...
(1) Rapport 70 SGN 301 JAL par D. ROUSSELOT.
-23 -
Dans ces conditions les différentes valeurs numériques des
paramètres intervenant dans l'étude précédente sont alors
jti zo
Ho0,234 (légèrement plus faible que le domaine
d'application de la formule)
Jl = -iRc rc
Rc = ^ = 610Ho
6,9
-3
Z= - = + 0,25
M = 0,82208
N = 0,4070
On en déduit, à partir de la formule (5, c)
T = 7V (-^^V^^ = 0,106 m^/s4iTSe II Z+2a
L'application de la formule (5, d) conduit à 1 équation implicite en x = yTT-
0,084
"" X (0,10 X X X 6,9 + 2)x (6,9 x) '^^ x - 3,3 = 2 x i^ x 3,855
6 10
Une méthode par approximations successives permet de trouver 0,9 x < 1
En conclusion on prendra : È' '
La coupe géologique (annexe n° VIII) met en évidence des terrains de forte per¬
méabilité, à peu près homofène entre la crépine 2 et la crépine 3. Etant donné
que l'on est en présence essentiellement de graviers et galets avec très peu
KHde sable on pouvait s'attendre à une valeur de -- voisine de 1
Kv
K^ 5 7'10 ^ m/s K^ 2 7 10~^ m/s
./.
-24 -
512 - Essai 8 20
On a considéré l'essai n° 3 sur le tube n° 2.
Les paramètres géométriques sont les suivaitts :
- Hauteur de l'aquifère Ho =: 15 m
- Distance entre le substratum et le centre de la crépine zo = 8 m
- Demi-hauteur de la cavité de puisage 1 = 62 cm
- Rayon intérieur du piézomètre rc = 1 10 mm
- Distance du centre de la crépine et le point d'observation
z = - *3 , 7 5 m
Les paramètres hydrauliques sont :
- Q = 0.465 lO"-^ m^/s
- Rabattement observé dans la cavité de puisage = 847 mm = sc
- Rabattement observé dans le tube n* 3 se = 24 mm
Les différentes valeurs numériques des paramètres, intervenant
dans les formes précédentes sont :
cr = |£ =0,532
rc -3Rc = ¿^ = 7,3 10
Ho
On en déduit : M = 1 , 1 76
N = 0,2867
'"' = ' = ^ ^ ]f[ * zrfâ ) = 7,810-3
L'application de la formule (5, d) conduit comme précédemment à une équation, . . \ ¡m
implrcrte en x =\/^
-25
-0,85+0,102
7,3 10
Soit
-3X (0,10 XXX 5,65+2)x (5,65 x) - 7,45 = 2
3
10 X
7,3
On trouve
-0,85+-0,102
X (0,565 X X + 2) X (5,65 x)
847
24
- 7,45 = 350
X = 10
La coupe géologique (annexe N" IX) met en évidence une forte
proportion de sable entre la crépine 2 et 3. permettant de s'attendre à un
rapport de perméabilité horizontale sur perméabilité verticale plus fort que
dans le cas précédent.
¡CH s 5,2 10~^ m/s KV = 1,610 ^ m/s
6 - CONCLUSIONS
L'application des formules établies dans une étude pour l'interprétation
des mesures effectuées sur les points S 19 et S 20 conduit à des résultats en
accord avec l'observation du terrain ^ la fois pour la valeur des transmissi-
ji ' \ /kh"vîtes et pour le rapport d anisotropie y xtt;
Toutefois il est bon de rappeler les deux hypothèses simplificatrices qui
ont été faites. La première a été de supposer que la surface piêzométrique ne
se déformait pas (dans les deux essais cités plus haut on est pratiquement
dans cette hypothèse). La seconde a été de considérer que le milieu était
toujours homogène (hypothèse beaucoup plus discutable) .
Pour savoir si l'on est autorisé ou non à utiliser ces différentes formula¬
tions, dans le but de déterminer les perméabilités horizontales et verticales,
il faudra attendre à notre sens les résultats d'interprétation d'essai sur
d'autres points et vérifier qu'ils sont cohérents.
-26 -
Dans l'affirmative les formules énoncées dans le texte pourraient être
un peu plus élaborées.
Il peut être envisagé de tenir compte de la déformation de la surface piêzomé¬
trique par voie analytique excluant toute hétérogénéité au risque d'aboutir
sur des relations trop précises vis à vis des erreurs commises en considèrent
le terrain comme homogène par exemple.
Dans le cas de milieu reconnu assez nettement hétérogène, d'autres prises
de pression sont indispensables et le seul recours possible semble être des
simulations sur modèle mathématique pour les interprétations.
Nota : N'a été fourni dans ce rapport qu'un extrait des sorties sur ordinateur,
les autres listings sont à disposition au S.G.R. Jura-Alpes.
ANNEXE I
Valeurs d ' intearales
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wrLog (u + V'"'""
/* udu
u d u1+u - Log (u + \/l+u )
u du Hi^v::7
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Il (lu
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1+u-
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RESULTATS DES CALCULS A LrAIDE DES
DEVELOPPEMENTS LIMITES
ANNEXE 1
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013
039
02 7
027
026
C23
017
Cil
C03
004
012
018
023
024
021
014
00 3
Annexe III
5 . 5 4 0 5 .461
-
- 2 -
C.789 7.4P9 7.366 -C.016 -1.177 2.51C 6.497 6.67P 0.027 5.929 5.855 0.388 C.315
7.514
7.4 66
7.358
7.158
6.819
6.273
7.366
7.366
7.371
7 . 3 H 4
7.407
7.438
7.477
7.522
7.573
7.627
7.683
7.737
7.787
7.827
7.850
7.848
7.806
7.705
7.509
7.161
6.5 64
7.691
7.691
7.696
7.710
7.732
C047
CC40
0.025
-0.CC2
- G . 0 4 9
- C 125
- C . 0 1 6 - 1 . 1 7 7
- 0 . 0 1 6
- C . 0 1 5
-C014
- 0 . C 1 1
- C . C C 6
- 0 . C C 1
C.C04
COU
0.018
0.025
0.G33
0.0 39
0.045
0.04R
0.C47
0.042
0.02P
0.C02
- C . C 4 3 .
- 0 . 1 2 3
-0.C16 -1.022
- 0 . C 1 6
- C . C 1 5
- C . 0 1 4
-0 .011
2.799 C.711 7.8?0 7.691 -0.C16 -1.022 2.212 6.887 7.079 0.027 6.320 6.251 0.384 0.319
6.170
6.266
6.346
6.364
6.244
5.871
6.67P
6.678
6.671
6.650
6.616
6.573
6.522
6.4 7C
6.420
6.378
6.35C
6 . 34C
6.354
6.395
6.463
6.554
6.659
6.751
6.786
6.675
6.264
7.079
7.079
7 .07i
7.049
7.015
0.01C
O.C?6
0.039
0.042
C.022
- û . 0 3 8
0.027
0.027
0.026
CC23
0.018
0.011
0.003
- C . 0 0 4
-0.0.11
- 0 . 0 1 8
- 0 . 0 2 2
- 0 . 0 2 4
-0.021
- 0 . 0 1 5
- 0 . 0 0 5
Û.008
0.024
0.039
C.044
0.027
-0.035
0.027
0.027
C.026.
C.023
0.018etc. . .
Annexe TV - 1 -
6.0P2 - 0 . 0 1 0 A.542 . 0.019
6.103 - 0 . 0 0 7 A.518 0.C1A
6.131 - C . C 0 2 A .A88 C.0C7
6.166 0.003 A.A5A -0 .000
6.206 C.0C9 A.A2C -0 .007
6.2 5C C O 16 A.39C -0.C1A
6.295 O.02A A.368 -0.019
6.338 C.C31 A.358 -0.021
6.376 0.037 4.362 -0.020
6.A06 0.0A2 • A.3R2 -CC1>6
6.A21 C.OAA 4.418 -0.008
6.A16 C.C43 A.A67 CC02
6.3 82 C O 38 * A . 522 0.015
6.310 0.C26 A.572 0.026
6.190 C.CC7 • A . 5 97 C O 31
6.009 -0.022 A.577 Ç.C27
5.75^ -C.C62 A.A36 0.006
•3.'»41 - C . 1 1 A A . 3 1 0 -0 .032
1.799 1.330 6.350 6.257 - C 0 1 A - 2 . 3 9 3 A.67? A.8R9 5.01A O.C25 A.399 A.302 0.A15 0.26P
6.257 - C . 0 1 A 5.01A 0.^25
6.2Í2 -0 .013 5.OCR C.C2.4
6 .2 7 5 -C011 A.991 0.020
6.297 -C.OOfi A.965 0.015
6.326 - C . 0 0 3 A.931 O.OOfl
6.363 0.001 A.893 0.000
6.ACA ' •Co rs ; ' A.85A - C . 0 0 7
6.A50 • 0.015 A . * 1 9 -0 .C1A
6.A96 0.023 A.79? -0 .019 . •
6.5A5 C.030 A.778 -0 .022
- . 6.5H8 C C J 7 A.780 -0.022
6.623 C 0 A 2 . A.800 -0 .018
6.6A5 C 0 A 6 A.8AC - C 0 1 C
1.999 1.1AA 6.597 6.A9A -0.015 -1 .957 3.926 5.305 5.AA5 0.026 - A.77A A.683 O.A06 0.286
6.6A6
6.610
6.551
6.A30
6.238
5.960
5.587
6.A9A
6 . A9A
6 . A 08
6.512
b . i> 3 A
6.564
6.601
6.6A5
6.692
6 . 7A3
6.793
6.8A0
6.879
6.906
6.91A
6.893
6.8 3?
6.712
6.51A
6.209
5.7P0
6.762
6 . 762
6.76 7
6.7P1
CCA6
O.CA?
O.OJl
CCI?.
-C.C17
-O."61
-0.120
-0.015 -1.957
-0.015
-c.riA
-0.012
-0.CC9
- C O C A
O.OOG
C.0C7
C . 0 1 A
C.022.
CC29
C036
C0A2
0.OA6
C0AH
O.OAA
C.035
0.017
-0.012
-0.C58
-C.123
-0.016 -1.62 7
-C.C16
- C O I 5
-C.013
2.199 C.999 6.873 6.762 -0.016 -1.627 3.3A1 5.708 5.86A 0.027 5.155 5.070 0.399 0.299
A.896
A . 962
5.G2A
5.061
5.0A5
A.938
A . 712
5.AA5
5.AA5
5.A39
5 . A ? 1
5.3 92
5.355
5.313
5.270
5.231
5.200
5.18?
5 . 1 P 1
5.201
5.2A2
5.303
5.378
5.A53
5.50A
5.A96
5.378
5.101
5.86A
5.86A
5.857
5.R38
0.001
0 . 0 1 A
C.027
0.0 35
C.031
C009
-C.03Ó
0.026
G.C26
C.C25
0.021
0.016
0.009
0.001
-0.006
-0.013
- C C 1 9
-0.023
-0.023
- C O 19
-0.G11
-0.000
0.013
0.027
0.037
0.036
C O 1.3
-0.038
0.027
C.027
0.026
Û.C22
\ RELATION XI ( rç , er, R )EXEMPLE D 'ABAOUE
11 --
10 —
= 0,2
X1 moyen 2r 1 2
, V 1 X 1 moyen ~ 7,75
0,45 0,50 0,55 0,60f -
0j65 0,70 0,75 0,80 CT
to
jI/)
K
60--
RELATION 5 (rç, cr; R )
EXEMPLE D 7 ABAOUE
N0,30 0,35 0,80
mxm
ANNEXE
RELATION Vm ( rç , er, R )
EXEMPLE D 'ABAOUE
ai 00
'o?'. :•"
in
EXEMPLE DE RESULTATS NUMERIQUES AVEC LA THEORIE DES IMAGES
ETA-0.9CCC-C1
0.1207C-05 C.5225C-1C 0.7574D-CR
ELI . *VM
O.82213D 02 C .77328C Cl
EL2 EL3 VV
12171C C3 C.32A98C C5 C.70562C Cl
SIGMA*=C.5CCC
-.9923D-04
V(Z)
C.57063D
0.74835C
C.8C176C
C.814260
C.811C9C
C.8C162C
C.79C36C
C.77976D
C.77126C
C.76571D
C.76357C
C.7649eD
0.76979C
C.77756C
C.78742C
C.79795C
0.8G667D
C.8091CC
C.79586C
C.7417CD
C.56323C
V(Z)
C.59499C
C.73C33D
C.74079C
C.70728C
C.69(H5D
0 .7C11AC
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
c i • '
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
CC
-.7762C-06
<V(Z>-VK)/VX
-.26207C CC
-.32251C-G1
C.3éei9C-Gl
0.52986C-01
C.A8883C-C1
C.36649C-C1
0.22063C-01
0.8371CC-02
-.262CAD-C2
-V97925C-02
-.1256CC-CI
- .107«U-01
-^5177C-C2
0.552AIC-C2
C.18285C-C1
C.31897C-C1
O.A3176C-01
C.A632CC-C1 '
C . 2 9 1 9 C C - C 1
- .4C846C-C1
-.271fcAC CC
(V(Z I - V M /VV
-.15679C 00.
0.35C20C-CI
0.A98ACC-C1
C.23488C-C2
-.215C7C-C1
-.63A68C-02
R = C
C.5702C-17
SI
• 0.7C313C
• T
S2
C.71A16C
ANNEXE 3ŒL
Î.5OCC-O2
02
C2
Cl
C.16659C
C.1539AC
0.1A262C
C.13263C
C.12397C
C.11665C
C.11C65C
C.1C599C
0.1C266C
C.1CC67C
C.1CCCCC
C.lCCfr7L
C.IC266C
C.1C599C
C.11C65C
C.11665C
C.12397C
C.13263C
C.1A262C
C.15394C
C.16659C
C2
C.2U63C
C.160CAC
C.12A2AC
C.1C289C
C.92142C
o.eeóficc
Cl
Cl
01
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
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Cl
Cl
Cl
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Cl
Cl
Cl
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Cl
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CO
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i l
N
C.68987C Cl
C.70431C Cl
C.72387D Cl
C.723C6D Cl
C.73573D 01
C.72518D Cl
C.713C1D Cl
C.69929D Cl
C.68782D Cl
C.67874D 01
C.69371C Cl
C.7C925D 01
C.7311AD 01
C.728AIC Cl
0.57219D 01
-.22319C-C1
-.186C1C-C2
C.25855C-C1
0.^26750-01
C.27722C-C1
C.IC467C-01
-.8972RC-C2
-.25227D-C1
-.38092C-01
-.16876C-C1
0.51368C-C2
0.36158C-C1
0.323C1C-C1
-.18910C CC
C.89685C CO
C.92854C CC
C.96398C CC
C.990J5C CC
C.1CCCCC Cl
C.99025C CO
C.96398C CO
C.9285«!iC CC
C.89685C OC
C.88680C CC
C.921^2C CO
C.IC2P9C Cl
C.12A?¿.C Cl
C.16CCAC Cl
C.21463C Cl
