C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, Serie I, p. 997-1002, 1998 Statistique/Sfatistics

(ProbabilitPslfrobability Theory)

Une approche de type Girsanov pour le filtrage dans un syst&me linhaire simple avec bruit brownien fractionnaire

Alain LE BRETON

Laboratoire de tnodklisation et calcul (IMAG), universitk J. Fourier (Grenoble I), B.P. 53, 38041 Grenoble

Fedex 09, France

Courriel : Alain.Le-BretonQimag.fr

(Requ le 12 dkcembre 1997, accept6 aprh &vision le 1” avril 1998)

RCsumC. Une approche ClCmentaire pour l’obtention d’un resultat de type Girsanov pour un mouvement brownien fractionnaire est proposke. Ce rCsultat est appliquk B la determination du filtre optimal dans un modble linkaire conditionnellement gaussien simple. Les caractkristiques moyenne du filtre et variance conditionnelle de l’erreur de filtrage sont donnkes sous forme explicite. 0 AcadCmie des SciencesMsevier, Paris

A Girsanov type approach to filtering in a simple linear system

with fractional Brownian noise

Abstract. An elementary approach to the derivation of a Girsanov ape result for a fractional Brownian motion is proposed. This result is applied to the determination of the optimal jilter in a simple conditionally Gaussian linear model. Closed form expressions are provided both for the mean of the filter and for the conditional variance of the filtering error. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris

Abridged English Version

The filtering problem with fractional Brownian noise was studied in a general framework by Coutin and Decreusefond [l] (see also Kleptsyna et al. [4]). Here this problem is revisited in a simple setting where quite elementary tools permit to derive a completely explicit solution. Given on some probability space ((2, F7 P), the signal is a fixed random variable r/ and the observation process Y = (Y,, t 2 0) satisfies the linear equation

t t

yt=s+ s

A(s)qds + s

B(s)dWH(s), t 2 0, 0 0

(1)

Note prksentke par Paul DEHEUVELS.

0764-4442/98/03260997 0 Acadkmie des Sciences/Elsevier. Paris 997

A. Le Breton

where the noise W, = ( WH(~), t >_ 0) is a normalized fractional Brownian motion with Hurst parameter H E (l/2, 1). The coefficients A, B are assumed to be continuous (deterministic) functions of Iw+ into R, and B is supposed nonvanishing. Moreover, the random initial condition < in (1) is such that the variable (7, I) is independent of W, and the conditional distribution of 77 given E is Gaussian with mean ?jo = ;io(<) and variance yo = TO(<) > 0 almost surely. The problem is to compute for any t > 0 the optimal filter of the signal, i.e. the conditional distribution of 77 given the a-algebra y, generated by the observation {YS, 0 < s 5 t} .

At first, an elementary approach is proposed to derive an appropriate Girsanov type formula. This approach, which extends that led in Norros et al. [8] and Le Breton [5], permits to avoid resorting to very elaborated tools as those used in [l] (see also Decreusefond and ijstiinel [2]). Notice that here stochastic integration concerns only deterministic functions (see e.g. Gripenberg and Norros [3] for a calculation-oriented introduction). The following result which was shown in [5] with slightly different notations is useful. In the sequel f stands for the gamma function.

LEMMA 1. - Let C be a continuous function of W+ into R. DeJine for t > 0 the function h& = @t,(s),0 < s < t) by:

h&(s) = -p;1si-H$ s t dwU:2H-1(W - S)t-H& S”‘&ziH(w _ +H+), (2) s 0

where pH = HI’*(z - H)r(2H)2 cos(n(H - i)). Then the function h& sutisjes the equation

s

t

H(2H - 1) h&(s)ls - T\*~-~ ds = C(T), 0 < T < t. 0

Dejne for t 2 0

N; = It /&(s)dW&), 0

(NC), = /‘C(s)h;(s)ds 0

(3)

Then the process (N,C, t > 0) is a Gaussian martingale and ((NC),, t 2 0) is its vuriunce function.

Now the following Girsanov type result can be proved (see [6]).

PROPOSITION 1. - Let (77: I) be a random variable independent of WH. For some jxed t > 0 let processes W = (WS, 0 < s < t) and F = (w,, , 0 5 s 5 1-) be defined by:

w, = J’

’ B(u)dWH(U), i?,, = s

’ A(u)qdu + W,, o<s<t. 0 0

Moreover, let Nt = N+$ and (N), = (Ng), be defined by (2)-(3) (with C = 2). DeJine the random variable

Lt = exp(-VNt - g(N),). (4)

Then E(L,) = 1 and, defining on (S!, F, P) the probability rj, = Lt ’ P, the distribution of the system (77, <, %) under pt is the sume us that of the system (q, 5, W) under P.

Hence, applying the Bayes formula to compute for all real number ct the conditional expectation

E(e”v ) yt) as [E(L;’ 1 Yt)IPIE(e”“L;’ 1 y,), the filtering problem can be solved (see [6]).

998

Filtrage avec bruit brownien fractionnaire

PROPOSITION 2. - Let (q, I) be a random variable independent of WH and assume that the conditional distribution of 71 given < is Gaussian with mean +& = Go(<) and variance 7. = TO(<). Let (Y,, t > 0) be dejined by (1). Then for any fixed t > 0 the conditional distribution of q given y, is Gaussian. Moreover, for hi dejined by (2) (with C = $$), the conditional mean ;it = E(qlYt) is given by:

where the quantity

is the conditional variance of the filtering error, -yt = E( (Q - 5jt)* ( y,).

Remark. - Not surprisingly it appears that actually the pair (77, Y) is conditionally Gaussian. Concerning model (l), Proposition 2 is an analogue for fBm observation noise of Theorem 12.2 in Liptser and Shiryaev [7] for Brownian motion noise. Moreover, in the particular case where [ = 0, To = E(q) = 0 (and then of course also y. = E(q*) and the system (17: {Y,, 0 5 s 5 t}) is Gaussian) the statement reduces to Proposition 1 in [S].

1. Introduction

Le probkme de filtrage avec bruit brownien fractionnaire a Ct6 CtudiC dans un cadre gCnkra1 par Coutin et Decreusefond [l] (voir aussi Kleptsyna et al. [4]). Ici ce probl&me est repris dans un cadre simplifik oti des outils t&s 61Cmentaires permettent d’obtenir la solution sous forme complktement explicite. Sur un espace probabilisk (fl! F. P), le signal est une variable alkatoire fixCe 11 et le processus observation Y = (Yt! t 2 0) est donnC par 1’Cquation

t t

Yt=<+ s

A(s)qds + s

B(s)dWH(s)> t 2 0. 0 0

(1)

oti le bruit WH = ( WH( t) 5 t > 0) est un mouvement brownien fractionnaire normalise’ avec paramktre de Hurst H ~]1/2, I[. L es coefficients A, B sont des fonctions (dkterministes) continues de R+ dans R et B est supposC ne pas s’annuler. En outre, la condition initiale alkatoire < dans (1) est telle que la variable (71, I) est indkpendante de WH et la loi conditionnelle de 7 sachant < est gaussienne de moyenne ;iO = To(<) et de variance y. = ro(<) > 0 presque skement. Le probkme est de calculer pour tout t > 0 le filtre optimal du signal, i.e. la loi conditionnelle de 77 sachant la tribu Yt engendrke par l’observation { Ys, 0 < s 5 t).

D’abord une approche ClCmentaire est propoke pour obtenir une formule de type Girsanov approprike. Cette approche, qui &end celle conduite dans Norros et al. [8] et Le Breton [5], permet d’kviter de recourir A des outils t&s ClaborCs tels que ceux utilis& dans [l] (voir aussi Decreusefond et ijstiinel [2]). Soulignons qu’ici l’intkgration stochastique ne conceme que des fonctions dkterministes (voir e.g. Gripenberg et Norros [3] pour une introduction adaptte aux dkveloppements qui suivent).

2. Formule de type Girsanov

Le rksultat suivant, dCmontr6 dans [5] avec des notations un peu diffkrentes, est utile. Dans la suite le symbole I? dksigne la fonction gamma.

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A. Le Breton

LEMME 1. - Suit C une function continue de W + darts R. Dkfinissons pour t > 0 la function h& = (h&(s), 0 < s < t) par:

h&(s) = -&kH;

J

t

dww2H-1(w - ,)+-H$--JWdzzl-H~w - .+-HC(~)> (2) s 0

02 PH = Hr2( 4 - H)r(2H)2 COS(T(H - i)). Alors la function h& ve’ri’e l’kquation

J t

H(2H - 1) h;(s)ls - T[*~-~ ds = C(r), 0 < r < t. 0

Posons pour t > 0

Nf = /-” h&(s)dWH(s)> (NC), = /‘C(s)h;(s)ds. (3) Jo Jo

Alors le processus (NF! t 2 0) kst une martingale gaussienne et variance.

((NC),, t 2 0) est sa function

Maintenant nous pouvons dCmontrer le rksultat de type Girsanov.

PROPOSITION 1. - Suit (q, I) une variable alkatoire indkpendante - - de WH. Pour un t > 0 jix.4, dkjnissons les processus W = (W,, 0 2 s 5 t) et W = (Ws, 0 < s 5 t) par :

w, = J ’ B(u)dm’H(,u): KS = 0 J ’ A(u)qdu + W,! 0 5 s 5 t.

0

Suit en outre Nt = Nt’ et (N), = (Ng), dc;finies par (2)-(3) (avec C = $). Introduisons enfin la variable alkatoire

Lt = exp(-qNt - G(N),). (4)

Alors E(L,) = 1 et, d@nissant sur (a: 3: P) la probabilitP pt = Lt . P, la loi du systbme (q. I, %) sous pt est la mCme que celle du systGme (v, I, W) sous P.

l%ments de dkmonstration (voir [6]). - En vertu de l’indipendance de TJ et WH, par application du lemme 1, on montre facilement que E(L,) = 1. La preuve consiste alors B vCrifier que les lois de dimensions finies de (7, <! @) sous p coi’ncident avec celles de (77, EJ W) sous P. 11 s’agit done de montrer que pour tout n-uplet (tl, . . . , tn) tel que 0 5 tl < . . . < t,, tout bortlien A de W2 et tout vecteur a: = (cklr . . . , a,)’ E R”, on a :

oti J!? dksigne l’esptrance sous p, et Cc”) est la matrice de covariance de (Wt,! . . . , Wt,)’ sous P. Pour ce faire, on exploite le fait que F, = Lt . P pour Cvaluer le membre de gauche de 1’CgalitC ci-dessus en se ramenant B un calcul sous P qui, sans grande difficult& conduit au rksultat.

1000

Filtrage avec bruit brownien fractionnaire

3. Filtrage optimal

En vertu de la proposition 1, appliquant la formule de Bayes, pour toute fonction mesurable positive 4, l’espkrance conditionnelle E(d(q) 1 Yt) de 4(v) sachant Y, sous P peut Ctre calculke

par [E(L;l 1 Yt)]-lE(e”qL;l_l Yt),

_ oti Lt est donnCe par (4) et E(. 1 Yt) dksigne l’espkrance

conditionnelle sachant JJ, sous Pt. Alors le problkme de filtrage peut &re rCsolu.

PROPOSITION 2. - Soit (7, I) une variable alkatoire indkpendante de IVH telle que la loi conditionnelle de 77 sachant < est gaussienne de moyenne eo = Go(<) et de variance 70 = TO(<). Soit (Y,! t 1. 0) dt;Jini par (1). Alors pour tout t > 0 jixe’ la loi conditionnelle de 77 sachant 3;t est gaussienne. En outre, pour hi dkjinie par (2) (avec C = $), l’espe’rance conditionnelle ,Sjt = E(r/jYt) est donne’e par :

ok la quantitk

est la variance conditionnelle de l’erreur de jiltrage, Tt = E( (77 - ijt)’ 1 y,).

kltments de dkmonstration (voir [6]). - 11 s’agit de montrer que pour tout nombre rCe1 cy I’kgalitC

(5)

est vCrifiCe pour les quantitks ;it et Tt apparaissant dans 1’CnoncC. Pour calculer le membre de gauche de (5), par la formule de Bayes, il suffit de calculer E(e”qL;l 1 Y,). Mais par la dkfinition (4) de Lt on a :

e”‘lL;l = exp a~ + qNt + G(N), 1 1

Posant Zt = Ji h”,(s)B-‘(s)dYS, oti encore, compte tenu de (1) et (3) (avec C = g),

(6)

on obtient

Mais d’aprks (1) on peut Ccrire Y, = < + @,9 et done aussi Zt = s,” hi (s)B-‘( s)d@, . Alors, comme -

sous Pt la paire (q,<) est indipendante de W’ et a mCme loi que sous P, on obtient que

E(e”7L;1 I Yt) = (E(I:rl,{v(rr + 2) - $(N),j 1 E)) /z=Z* ’

Exploitant alors le caractkre gaussien de la loi conditionnelle de v sachant I, on peut aisCment calculer une expression de E(e*” Ltl I Yt) en termes de Q, yo! 5j0, Zt et (N), . fivaluant le rapport de cette expression avec sa valeur en a: = 0, par la formule Bayes, on obtient (5).

1001

A. Le Breton

Remarques. - (a) 11 n’est bien stir pas Ctonnant que la paire (7, Y) soit conditionnellement gaussienne. En ce qui concerne le modele (l), la proposition 2 est un analogue pour un bruit d’observation brownien fractionnaire du theoreme 12.2 dans Liptser-Shiryaev [7] pour un bruit brownien. En outre dans le cas particulier oti < = 0 et ?je = E(Q) = 0 (et alors bien sur aussi ̂ (o = E(q*) et le systeme (n, {YS, 0 5 s 5 t}) est gaussien) l’enonce se reduit a la proposition 1 dans [5].

(b) Definissons E = (et, t 2 0) par :

t Et = z, - ij,d(N)S, t > 0; (7)

oti 2 = (Z,, t > 0) est donne par (6). Alors on peut montrer (vair [6]) que E est une martingale gaussienne de fonction variance (N) permettant la representation

de la moyenne conditionnelle. Ainsi le processus E apparait comme un candidat a jouer ici le role que joue le processus d’innovation dans le cas usuel du modele (1) avec bruit d’observation brownien.

Exemple. - Considerons le cas particulier oh A = B = 1, i.e. celui du modele Yt = c + qt + WH(t): t 2 0. Ici des calculs completement explicites peuvent &tre men& (voir [6]) et nous obtenons

et

On peut aussi montrer que le processus E defini par (7) est independant de l’etat initial <. et que pour tout t 2 0 la tribu a({<, (Ed; 0 5 s < t)}) comcide avec JJt.

R6fGrences bibliographiques

[1] Coutin L., Decreusefond L., Filtering theory for solutions of differential equations driven by a fractional Brownian motion, (Soumis pour publication) 1997.

[Z] Decreusefond L., ijstiinel AS., Stochastic analysis of the fractional Brownian motion, A paraitre dans Potent. Anal. (1996). [3] Gripenberg G., Norros I., On the prediction of fractional Brownian motion, J. Appl. Probab. 33 (1997) 40&410.

[4] Kleptsyna M.L., Kloeden P.E., Ahn V.V., Linear filtering with fractional Brownian motion, A paraitre dans Stoch. Anal. Appl. (1996).

[5] Le Breton A., Filtering and parameter estimation in a simple linear model driven by a fractional Brownian motion, A paraitre darts Statis Probab. Let. (1997).

[6] Le Breton A., F&age lineaire avec bruits browniens fractionnaires, 1998 (En preparation). [7] Liptser R.S.. Shiryaev A.N., Statistics of Random Processes, Springer-Verlag, 1978.

[8] Norros I., Valkeila E., Virtamo J., An elementary approach to a Girsanov formula and other analytical results on fractional Brownian motions, A paraitre dans Bernoulli (1996).

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