Une petite présentation sur la modélisation mathématique pour l

UN PEU DE MODLISATION MATHMATIQUE POUR LENVIRONNEMENT

Une petite prsentation sur la modlisationmathmatique pour lenvironnement

Boris Andreianov,Universit de Franche-Comt, Besanon

Lexpos utilise les rsultats, images et videos obtenus parJacques Rappaz, Marco Picasso, Guillaume Jouvet (Lausanne), Martin Funk (Zrich),

Sylvia Serfaty, Laure Saint-Raymond (Paris), Eduard Feireisl (Prague),Noureddine Igbida (Limoges), Leonid Prigozhin (Negev, Israel) et John Barrett (Oxford)

Lyce Jean Michel Lons le Saunier, fvrier 2013


Pourquoi fait-on des modles ?

Un des objectifs de la science est de dcrire puis expliquer desphnomnes naturels.

comment se forme, se dplace, et fond un glacier ?pourquoi, lorsquil pleut sur la montagne, leau des pluies(ainsi que celle des glaciers) emprunte tel chemin ou tel autre ?Pourquoi elle saccumule dans un tel lac plutt quailleurs ?Pourquoi certains lacs et rivires se desschent et dautres,dbordent ?pourquoi une dune dans le dsert a la forme dun croissant ?A quelle vitesse elle se dplace en fonction du vent et du rlief ?comment fait le poisson pour nager ?...


Pourquoi fait-on des modles ?

Lobjectif suivant peut treprdire le comportement (du glacier, dune rivire, dune dune...)influencer ce comportement(par exemple, construire un barrage lendroit bien choisi...)sinspirer dun phnomne vu dans la nature(par exemple, construire un sous-marinqui se dplace en se tortillant, comme un poisson...il faut noter quun poisson ne fait que trs peu de bruitet il dpense beaucoup moins dnergie quun sous-marin !)

Exemple dtude dun phnomne naturel :volution dans le temps du Glacier du Rhneet du glacier Aletschgletscher:Page personnelle de M. Guillaume Jouvet(Licence et Master Besanon, thse Lausanne)

http://page.mi.fu-berlin.de/jouvet/


Le pass dun glacier... il y a 20000 ans (lAge de Glace !)


Le pass dun glacier... photo de lanne 1850


Que veut-on savoir du glacier ?

On se pose des questions telles que :expliquer les variations temporelles du glacier,les relier aux variations climatiquesle glacier va-t-il disparatre (rchauffement climatique) ? linverse, quelle est linfluence du glacier du Rhnesur le climat local ?expliquer et prdire le glissement dun glacier,sa croissance ou fonteprdire le dbit deau dans le Rhneselon la superficie et la position du glacier...


Que veut-on savoir du glacier ? Une prdiction pour lan 2050

Voici lexemple dune prdiction :

Comment est-ce quon a obtenu cette prdiction ?Quelle confiance peut-on lui accorder ?


O sont les lacs et les rivires ? Une prdiction pour la Runion

Et voici une autre prdiction :une carte des ruisseaux, rivires et lacs tir du rlief donn...qui est celui de lIle de la Runion !

Mais pourquoi calculer et chercher prdire quelque chosequi peut tout simplement tre observ ?


Pourquoi des modles mathmatiques ?

Revenons aux questions quon stait poses au dpart(glacier, lacs et rivires, dunes, poisson qui nage...).Elles relvent des domaines scientifiques part entire... en principe,on ne voit pas pourquoi les maths seraient utiles pour y rpondre.Souvent, on privilgie des expriences (dlicates et coteuses).En effet, chaque science dispose des concepts et faons de penserqui lui sont propres, et qui permettent de donner des rponsesintressantes aux diverses questions poses.

Mais assez souvent, on aboutit une rponse purement qualitative :le glacier en question va rgresser (rchauffement climatique !)leau des pluies des montagnes va suivre, de prference,le chemin qui a la pente la plus inclinele poisson se propulse grce aux tourbillonsquil cre dans leau en se tortillant...

Seulement, on a souvent envie davoir des prdictions plus prcises !Et de plus, lexprimentation cote cher et elle est parfois impossible.



Revenons aux questions quon stait poses au dpart(glacier, lacs et rivires, dunes, poisson qui nage...).Elles relvent des domaines scientifiques part entire... en principe,on ne voit pas pourquoi les maths seraient utiles pour y rpondre.Souvent, on privilgie des expriences (dlicates et coteuses).En effet, chaque science dispose des concepts et faons de penserqui lui sont propres, et qui permettent de donner des rponsesintressantes aux diverses questions poses.Mais assez souvent, on aboutit une rponse purement qualitative :

le glacier en question va rgresser (rchauffement climatique !)leau des pluies des montagnes va suivre, de prference,le chemin qui a la pente la plus inclinele poisson se propulse grce aux tourbillonsquil cre dans leau en se tortillant...

Seulement, on a souvent envie davoir des prdictions plus prcises !Et de plus, lexprimentation cote cher et elle est parfois impossible.



On souhaite dans beaucoup de cas avoir une rponse quantitative :de combien se dplacera la dune en une anne,tant donn la force moyenne du vent ?Combien de temps survivrait tel ou tel glacierdans les conditions climatiques actuelles ?Quel dbit deau aura telle rivire, pluviomtrie donne ?

Exemple : trois prdictions pour un autre glacier suisse :(cliquer sur les liens pour voir les videos)- cas dun rchauffement de 2 degrs au cours du XXI sicle- cas dun siecle trs froid (comme en 1978, une anne bien frache)- cas dune prdiction climatique moyenneDans les trois cas on na pas seulement une prdiction qualitative(fonte/croissance du glacier), mais un calcul trs fin permettant devisualiser la masse, ltendue, la localisation du glacier.Il a fallu beaucoup de mathspour faire et surtout pour concevoir ces calculs !

http://page.mi.fu-berlin.de/jouvet/files/al_futur_twodeg.avihttp://page.mi.fu-berlin.de/jouvet/files/al_futur_my1978.avihttp://page.mi.fu-berlin.de/jouvet/files/al_futur_ensembles1.avi


Comment on fait des modles mathmatiques ?

Naturellement, les maths interviennent toujours, au moins un peu,pour rpondre la question combien. Dans des cas trs simples, ily a une formule (par exemple, on peut calculer la poussedArchimde avec quelques paramtres faciles mesurer...)Mais des situations relles portent sur beaucoup de valeurs trsdiverses (comme, par exemple, les prdictions mtorologiques : ilfaut tenir compte des vents, de lhumidit, de la temprature, de laquantit dnergie transmise par le soleil, du rlief, . . . ).

Pour esprer avoir de la prcision, on compte tout. chaque quantit intressante, on assigne une valeur (un nombre)qui peut varier en temps et en espace. On les dsigne par des lettres:x , y , z... u, v , w ... , , , voire T, [] et n,D !Toutes les valeurs ne jouent pas le mme rle.Certains (les paramtres) doivent tre observs avant tout calcul.Dautres (les inconnues) seront dtermines lissue du calcul.Exemple : dans lquation ax2 + bx + c = 0,les paramtres sont a,b et c, tandis que x est linconnue.



Naturellement, les maths interviennent toujours, au moins un peu,pour rpondre la question combien. Dans des cas trs simples, ily a une formule (par exemple, on peut calculer la poussedArchimde avec quelques paramtres faciles mesurer...)Mais des situations relles portent sur beaucoup de valeurs trsdiverses (comme, par exemple, les prdictions mtorologiques : ilfaut tenir compte des vents, de lhumidit, de la temprature, de laquantit dnergie transmise par le soleil, du rlief, . . . ).Pour esprer avoir de la prcision, on compte tout. chaque quantit intressante, on assigne une valeur (un nombre)qui peut varier en temps et en espace. On les dsigne par des lettres:x , y , z... u, v , w ... , , , voire T, [] et n,D !Toutes les valeurs ne jouent pas le mme rle.Certains (les paramtres) doivent tre observs avant tout calcul.Dautres (les inconnues) seront dtermines lissue du calcul.Exemple : dans lquation ax2 + bx + c = 0,les paramtres sont a,b et c, tandis que x est linconnue.



Pour mettre en place un modle, il faut plusieurs tapes :le mathmaticien est ici au service du spcialiste de modlisation :

dsigner les quantits intressantes(les inconnues, les paramtres)comprendre et dcrire le mcanisme derrire le phnomnemettre tout ceci en quations : on obtient un premier modle(autant dquations que dinconnues)analyser ces quations afin de rprer des incohrences,mettre en place un algorithme de rsolution,...donner des valeurs aux paramtres(grce aux observations ou en utilisant dautres modles)chercher des solutions (approches) ces quations :parfois avec des formules, le plus souvent, avec lordinateur(il faut alors mettre en place un bon algorithme de calcul )confronter les solutions obtenues aux observations passes...ventuellement, ajuster le modle cd le rendre plus prcis.

Alors, on pourra (vraiment ?) prdire le futur !


Quelle confiance on peut accorder au modle ?

Hlas, le modle ainsi obtenu sera toujours... un peu faux !En effet, on trouvera toujours des conditions dans lesquelles lesmcanismes pris en compte sont insuffisants, les approximationssont grossires, les valeurs des paramtres mal observs...

Toutefois il y a diffrentes faons dtre inexact...

Figure: (a) la prdiction pour la Runion (b) lobservation sur le terrain

Ici, il y a une bonne concordance entre la prdiction et le rel.Morale : tous les modles sont faux, mais certains sont utiles.


Quelle confiance on peut accorder au modle ?

Hlas, le modle ainsi obtenu sera toujours... un peu faux !En effet, on trouvera toujours des conditions dans lesquelles lesmcanismes pris en compte sont insuffisants, les approximationssont grossires, les valeurs des paramtres mal observs...Toutefois il y a diffrentes faons dtre inexact...

Figure: (a) la prdiction pour la Runion (b) lobservation sur le terrain

Ici, il y a une bonne concordance entre la prdiction et le rel.Morale : tous les modles sont faux, mais certains sont utiles.


Un exemple de modle (mcanique des fluides, mtorologie)

Voici (en plusieurs slides) un modle mathmatique.Dabord, les quantits relier : paramtres, inconnues.



Ensuite, les premires quations rliant ces quantits.Ces quations expriment des lois physiques statiques.



Ensuite, les autres quations (diffrentielles)qui expriment des lois physiques dynamiques:



Et il en reste encore !

Lensemble de ces quations fait un modle parmi les plus complexesquon ait jamais russi bien tudier dun point de vue thorique(thormes datant de 1990-2012 : France, Rp. Tchque,...)


Quest-ce quun peut vraiment calculer ?

Alors un modle mathmatique, a fait parfois beaucoup dquations !Pour la mteo, quon vient de voir : il faut quelques pages pour lescrire toutes, et quelques annes dtudes en amont...Il nest pas envisageable de rsoudre ces quations prcisement,alors on cherche des solutions approches laide des calculs trslourds - mais trs basiques - sur lordinateur.On obtient ainsi deux modles :

lun, thorique, avec toutes les quationslautre, sa variante numrique,qui est un algorithme faire tourner sur lordinateur.

Travail dun mathmaticien : vrifier que les deux sont proches(cd lalgorithme calcule quelque chose qui ressemble la solutionthorique... hic, la solution thorique est inconnue, do la difficult !).Travail dun modlisateur : confronter ces calculs la ralit(ceci peut confirmer ou infirmer le modle)Hirarchie :phnomne observ modle thorique modle numrique


Exemple de comparaison entre calcul numrique et observations

Voici ltat du glacier du Rhne en 1900.

Figure: (a) Photo des archives (b) Prdiction faite avec le modle



... en 1932...




... en 1960...




... en 1985.



Passons aux prdictions ?

La ressemblance vous parat convaincante ?Alors, on peut utiliser le modle pour les vraies prdictions !On sinforme auprs des collgues qui, de leur ct,modlisent le climat. Ils offrent plusieurs scnarios possibles,qui fournissent les paramtres pour le modle du glacier.Voici un des cas, qui correspond au scenario climatique moyen.


Passons aux prdictions !

On peut faire tourner lalgorithme numrique et afficher des solutions.Glaciers : les simulations et prdictions que nous avons vues.Ces rsultats sont tirs du travail de thse de Guillaume Jouvet(ex-tudiant bisontin, originaire de la Franche-Comt,actuellement chercheur post-doctorant Berlin).

Dunes et tas de sable :les vidos suivantes montrent comment grandit un tas de sablesur une table carre lorsque lon verse du sable par-dessus ;comment seffondre le sable qui formait un tas instable.

Figure: (a) source ponctuelle (b) source tournante (c) chteau de sable


Passons aux prdictions !

On peut faire tourner lalgorithme numrique et afficher des solutions.Glaciers : les simulations et prdictions que nous avons vues.Ces rsultats sont tirs du travail de thse de Guillaume Jouvet(ex-tudiant bisontin, originaire de la Franche-Comt,actuellement chercheur post-doctorant Berlin).Dunes et tas de sable :les vidos suivantes montrent comment grandit un tas de sablesur une table carre lorsque lon verse du sable par-dessus ;comment seffondre le sable qui formait un tas instable.

(Cliquer pour voir) (Cliquer pour voir) (Cliquer pour voir)

Figure: (a) source ponctuelle (b) source tournante (c) chteau de sable

film_tab1.aviMedia File (video/avi)

film2.aviMedia File (video/avi)

effondrement3.aviMedia File (video/avi)


Le modle qui en cache un autre

(dunes et tas de sable) Les calculs pour obtenirles videos des tas de sable ont t conus parNoureddine Igbida, professeur Limoges,anciennement doctorant Besanon en 1994-97.

tonnant :la carte des lacs et rivires (La Runion)a t obtenue par un algorithme trs semblableconu, au dpart, pour les tas de sable !

Ide : le sable amass en tas a une pente de stabilit, au-delde laquelle le tas seffondre (le video du chteau de sable).Si on prend cette pente de stabilit trs petite, avec le modlepour le sable on imite le comportement dun liquide (eau).Le facteur majeur prendre en compte : le rlief (La Runion !)

Hlas, les outils mathmatiques utiliss pour le cas de tas de sablesur une table plate ne sont plus appropris sur un terrain rlief.On ne sait pas encore si ce modle lacs et rivires est cohrent projet de recherche Lien dunes / lacs et rivires dpos en 2013(N. Igbida + une vingtaine de chercheurs dont deux bisontins)


Quelques questions essentielles qui nous occupent

Le modle mathmatique est-il cohrent ?Par exemple, existe-t-il une solution ? est-elle unique ?comment elle se comporte dans des situations typiques ?et dans des situations extrmes ? quelles sont les limites du modle ?Lorsque lon nglige certains paramtres,est-ce quon tombe sur un autre modle plus simple ?Ces questions requierent le travail dun mathmaticien (analyste).

Comment dduire le modle numrique du modle thorique ?Est-ce que les solutions approches calcules par ordinateursont proches des solutions mathmatiques ? quel serait lcart ?Comment optimiser la prcision et la vitesse des calculs ?Pour ces questions, il faut un autre mathmaticien (numricien),avec des comptences assez diffrentes de son collgue analyste.les deux modles, mathmatique et numrique, correspondent-ilsbien ou pas bien au phnomne naturel quon esprait dcrire ?Par exemple, quelle est la signification physique/biologique/...du comportement typique que le modle prdit pour les solutions ?Les quantits prdites par les quations sont-elles raisonnables ?Ce sont des questions pour le scientifique qui modlise ;il utilise le travail des mathmaticiens pour valider/ajuster son modle.



Le modle mathmatique est-il cohrent ?Par exemple, existe-t-il une solution ? est-elle unique ?comment elle se comporte dans des situations typiques ?et dans des situations extrmes ? quelles sont les limites du modle ?Lorsque lon nglige certains paramtres,est-ce quon tombe sur un autre modle plus simple ?Ces questions requierent le travail dun mathmaticien (analyste).Comment dduire le modle numrique du modle thorique ?Est-ce que les solutions approches calcules par ordinateursont proches des solutions mathmatiques ? quel serait lcart ?Comment optimiser la prcision et la vitesse des calculs ?Pour ces questions, il faut un autre mathmaticien (numricien),avec des comptences assez diffrentes de son collgue analyste.

les deux modles, mathmatique et numrique, correspondent-ilsbien ou pas bien au phnomne naturel quon esprait dcrire ?Par exemple, quelle est la signification physique/biologique/...du comportement typique que le modle prdit pour les solutions ?Les quantits prdites par les quations sont-elles raisonnables ?Ce sont des questions pour le scientifique qui modlise ;il utilise le travail des mathmaticiens pour valider/ajuster son modle.



Le modle mathmatique est-il cohrent ?Par exemple, existe-t-il une solution ? est-elle unique ?comment elle se comporte dans des situations typiques ?et dans des situations extrmes ? quelles sont les limites du modle ?Lorsque lon nglige certains paramtres,est-ce quon tombe sur un autre modle plus simple ?Ces questions requierent le travail dun mathmaticien (analyste).Comment dduire le modle numrique du modle thorique ?Est-ce que les solutions approches calcules par ordinateursont proches des solutions mathmatiques ? quel serait lcart ?Comment optimiser la prcision et la vitesse des calculs ?Pour ces questions, il faut un autre mathmaticien (numricien),avec des comptences assez diffrentes de son collgue analyste.les deux modles, mathmatique et numrique, correspondent-ilsbien ou pas bien au phnomne naturel quon esprait dcrire ?Par exemple, quelle est la signification physique/biologique/...du comportement typique que le modle prdit pour les solutions ?Les quantits prdites par les quations sont-elles raisonnables ?Ce sont des questions pour le scientifique qui modlise ;il utilise le travail des mathmaticiens pour valider/ajuster son modle.


Exemple : modle numrique pour les lacs et rivires

Au lyce, il ne faut pas esprer comprendre ces quations...

mais cest tout fait possible avec un bac+5 en maths !


Petit exemple danalyse dun modle (supraconductivit)

Calculs et raisonnements mens afin danalyser les quationset arriver des rsultats (affirmations concernant les solutions):

(extraits de lexpos de la franaise Sylvia Serfatyau Congrs Europeen de Mathmatiques en Pologne, t 2012)


Exemple dun rsultat mathmatique (ocanographie)

Et pour finir... un rsultat rcent (Laure Saint-Raymond, 2002)

Laure Saint-Raymond (Paris) explique les problmes docanographie

Isabelle Gallagher (Paris) explique lapport des mathmatiques pour ces problmes

http://www.dailymotion.com/video/xcvyve_mathe-matiques-et-oce-anographie-la_techhttp://www.dailymotion.com/video/xcw44w_mathe-matiques-et-oce-anographie-is_techhttp://www.dailymotion.com/video/xcw44w_mathe-matiques-et-oce-anographie-is_tech


Merci !

Mercipour votre attention...

et bon courage pour vos tudes !


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Un peu de modlisation mathmatique pour l'environnement

Documents

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