Une petite présentation sur la modélisation mathématique ... · PDF fileUN PEU DE MODÉLISATION MATHÉMATIQUE POUR L’ENVIRONNEMENT Pourquoi fait-on des modèles ? Un des objectifs

UN PEU DE MODLISATION MATHMATIQUE POUR LENVIRONNEMENT
Une petite prsentation sur la modlisationmathmatique pour lenvironnement
Boris Andreianov,Universit de Franche-Comt, Besanon
Lexpos utilise les rsultats, images et videos obtenus parJacques Rappaz, Marco Picasso, Guillaume Jouvet (Lausanne), Martin Funk (Zrich),
Sylvia Serfaty, Laure Saint-Raymond (Paris), Eduard Feireisl (Prague),Noureddine Igbida (Limoges), Leonid Prigozhin (Negev, Israel) et John Barrett (Oxford)
Lyce Jean Michel Lons le Saunier, fvrier 2013

Pourquoi fait-on des modles ?
Un des objectifs de la science est de dcrire puis expliquer desphnomnes naturels.
comment se forme, se dplace, et fond un glacier ?pourquoi, lorsquil pleut sur la montagne, leau des pluies(ainsi que celle des glaciers) emprunte tel chemin ou tel autre ?Pourquoi elle saccumule dans un tel lac plutt quailleurs ?Pourquoi certains lacs et rivires se desschent et dautres,dbordent ?pourquoi une dune dans le dsert a la forme dun croissant ?A quelle vitesse elle se dplace en fonction du vent et du rlief ?comment fait le poisson pour nager ?...

Pourquoi fait-on des modles ?
Lobjectif suivant peut treprdire le comportement (du glacier, dune rivire, dune dune...)influencer ce comportement(par exemple, construire un barrage lendroit bien choisi...)sinspirer dun phnomne vu dans la nature(par exemple, construire un sous-marinqui se dplace en se tortillant, comme un poisson...il faut noter quun poisson ne fait que trs peu de bruitet il dpense beaucoup moins dnergie quun sous-marin !)
Exemple dtude dun phnomne naturel :volution dans le temps du Glacier du Rhneet du glacier Aletschgletscher:Page personnelle de M. Guillaume Jouvet(Licence et Master Besanon, thse Lausanne)
http://page.mi.fu-berlin.de/jouvet/

Le pass dun glacier... il y a 20000 ans (lAge de Glace !)

Le pass dun glacier... photo de lanne 1850

Que veut-on savoir du glacier ?
On se pose des questions telles que :expliquer les variations temporelles du glacier,les relier aux variations climatiquesle glacier va-t-il disparatre (rchauffement climatique) ? linverse, quelle est linfluence du glacier du Rhnesur le climat local ?expliquer et prdire le glissement dun glacier,sa croissance ou fonteprdire le dbit deau dans le Rhneselon la superficie et la position du glacier...

Que veut-on savoir du glacier ? Une prdiction pour lan 2050
Voici lexemple dune prdiction :
Comment est-ce quon a obtenu cette prdiction ?Quelle confiance peut-on lui accorder ?

O sont les lacs et les rivires ? Une prdiction pour la Runion
Et voici une autre prdiction :une carte des ruisseaux, rivires et lacs tir du rlief donn...qui est celui de lIle de la Runion !
Mais pourquoi calculer et chercher prdire quelque chosequi peut tout simplement tre observ ?

Pourquoi des modles mathmatiques ?
Revenons aux questions quon stait poses au dpart(glacier, lacs et rivires, dunes, poisson qui nage...).Elles relvent des domaines scientifiques part entire... en principe,on ne voit pas pourquoi les maths seraient utiles pour y rpondre.Souvent, on privilgie des expriences (dlicates et coteuses).En effet, chaque science dispose des concepts et faons de penserqui lui sont propres, et qui permettent de donner des rponsesintressantes aux diverses questions poses.
Mais assez souvent, on aboutit une rponse purement qualitative :le glacier en question va rgresser (rchauffement climatique !)leau des pluies des montagnes va suivre, de prference,le chemin qui a la pente la plus inclinele poisson se propulse grce aux tourbillonsquil cre dans leau en se tortillant...
Seulement, on a souvent envie davoir des prdictions plus prcises !Et de plus, lexprimentation cote cher et elle est parfois impossible.

Revenons aux questions quon stait poses au dpart(glacier, lacs et rivires, dunes, poisson qui nage...).Elles relvent des domaines scientifiques part entire... en principe,on ne voit pas pourquoi les maths seraient utiles pour y rpondre.Souvent, on privilgie des expriences (dlicates et coteuses).En effet, chaque science dispose des concepts et faons de penserqui lui sont propres, et qui permettent de donner des rponsesintressantes aux diverses questions poses.Mais assez souvent, on aboutit une rponse purement qualitative :
le glacier en question va rgresser (rchauffement climatique !)leau des pluies des montagnes va suivre, de prference,le chemin qui a la pente la plus inclinele poisson se propulse grce aux tourbillonsquil cre dans leau en se tortillant...
Seulement, on a souvent envie davoir des prdictions plus prcises !Et de plus, lexprimentation cote cher et elle est parfois impossible.

On souhaite dans beaucoup de cas avoir une rponse quantitative :de combien se dplacera la dune en une anne,tant donn la force moyenne du vent ?Combien de temps survivrait tel ou tel glacierdans les conditions climatiques actuelles ?Quel dbit deau aura telle rivire, pluviomtrie donne ?
Exemple : trois prdictions pour un autre glacier suisse :(cliquer sur les liens pour voir les videos)- cas dun rchauffement de 2 degrs au cours du XXI sicle- cas dun siecle trs froid (comme en 1978, une anne bien frache)- cas dune prdiction climatique moyenneDans les trois cas on na pas seulement une prdiction qualitative(fonte/croissance du glacier), mais un calcul trs fin permettant devisualiser la masse, ltendue, la localisation du glacier.Il a fallu beaucoup de mathspour faire et surtout pour concevoir ces calculs !
http://page.mi.fu-berlin.de/jouvet/files/al_futur_twodeg.avihttp://page.mi.fu-berlin.de/jouvet/files/al_futur_my1978.avihttp://page.mi.fu-berlin.de/jouvet/files/al_futur_ensembles1.avi

Comment on fait des modles mathmatiques ?
Naturellement, les maths interviennent toujours, au moins un peu,pour rpondre la question combien. Dans des cas trs simples, ily a une formule (par exemple, on peut calculer la poussedArchimde avec quelques paramtres faciles mesurer...)Mais des situations relles portent sur beaucoup de valeurs trsdiverses (comme, par exemple, les prdictions mtorologiques : ilfaut tenir compte des vents, de lhumidit, de la temprature, de laquantit dnergie transmise par le soleil, du rlief, . . . ).
Pour esprer avoir de la prcision, on compte tout. chaque quantit intressante, on assigne une valeur (un nombre)qui peut varier en temps et en espace. On les dsigne par des lettres:x , y , z... u, v , w ... , , , voire T, [] et n,D !Toutes les valeurs ne jouent pas le mme rle.Certains (les paramtres) doivent tre observs avant tout calcul.Dautres (les inconnues) seront dtermines lissue du calcul.Exemple : dans lquation ax2 + bx + c = 0,les paramtres sont a,b et c, tandis que x est linconnue.

Naturellement, les maths interviennent toujours, au moins un peu,pour rpondre la question combien. Dans des cas trs simples, ily a une formule (par exemple, on peut calculer la poussedArchimde avec quelques paramtres faciles mesurer...)Mais des situations relles portent sur beaucoup de valeurs trsdiverses (comme, par exemple, les prdictions mtorologiques : ilfaut tenir compte des vents, de lhumidit, de la temprature, de laquantit dnergie transmise par le soleil, du rlief, . . . ).Pour esprer avoir de la prcision, on compte tout. chaque quantit intressante, on assigne une valeur (un nombre)qui peut varier en temps et en espace. On les dsigne par des lettres:x , y , z... u, v , w ... , , , voire T, [] et n,D !Toutes les valeurs ne jouent pas le mme rle.Certains (les paramtres) doivent tre observs avant tout calcul.Dautres (les inconnues) seront dtermines lissue du calcul.Exemple : dans lquation ax2 + bx + c = 0,les paramtres sont a,b et c, tandis que x est linconnue.

Pour mettre en place un modle, il faut plusieurs tapes :le mathmaticien est ici au service du spcialiste de modlisation :
dsigner les quantits intressantes(les inconnues, les paramtres)comprendre et dcrire le mcanisme derrire le phnomnemettre tout ceci en quations : on obtient un premier modle(autant dquations que dinconnues)analyser ces quations afin de rprer des incohrences,mettre en place un algorithme de rsolution,...donner des valeurs aux paramtres(grce aux observations ou en utilisant dautres modles)chercher des solutions (approches) ces quations :parfois avec des formules, le plus souvent, a

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