Une réfutation des lemmes fondamentaux de Newton

UNE RÉFUTATION DES LEMMES

FONDAMENTAUX DE NEWTON

par Miles Mathis

Newton publia ses Principia en 1687. Excepté pour les corrections d’Einstein danssa relativité, l’essentiel du texte est resté incontesté depuis lors. Il a constitué lacolonne vertébrale de la trigonométrie, du calcul différentiel, de la physique clas-sique, et il l’est toujours en grande partie. C’est le texte fondamental pour la ciné-matique, pour la gravitation et pour bien d’autres sujets.

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UNE RÉFUTATION DES LEMMES FONDAMENTAUX DE NEWTON M. Mathis

Dans cet article, je ferai une réfutation simple et directe de l’un des premierslemmes de Newton, un des plus fondamentaux, un lemme qui reste jusqu’à ce jourla base du calcul et de la trigonométrie. Ma correction est importante – malgré l’an-cienneté du texte que je critique – simplement du fait de l’importance continue dece texte dans les mathématiques modernes et dans les sciences. Ma correction cla-rifie la fondation du calcul, une fondation qui est, jusqu’à aujourd’hui, d’un grandintérêt pour les mathématiciens purs. Dans les cinquante dernières années, desmathématiciens renommés, comme par exemple Abraham Robinson, ont continuéà travailler sur les fondations du calcul (voir « Analyse non-standard »). Même àune époque aussi tardive dans l’Histoire, des corrections mathématiques et ana-lytiques importantes doivent garder un intérêt, et une découverte telle que cellecontenue dans ce papier est cruciale pour la compréhension des mathématiquesdont nous avons hérité. Cette correction n’a jamais été adressée non plus dans lesmodifications historiques du calcul, par Cauchy ou qui que ce soit d’autre. Redéfi-nir le calcul en se basant sur des considérations de limite n’affecte en rien l’analysegéométrique ou trigonométrique que je vais offrir ici.

Le premier lemme dont il sera question ici est le lemme VI, du Livre I, sectionI (« Du mouvement des corps »). Dans ce lemme, Newton fournit le diagrammeci-dessous, où AB est la corde, AD est la tangente et ACB est l’arc. Il nous ditque si nous laissons B approcher de A, l’angle BAD doit ultimement s’évanouir. Enlangage moderne, il nous dit que l’angle va vers zéro à la limite.

Cette affirmation est fausse pour la raison suivante : si nous laissons B approcherA, nous devons surveiller l’angle ABD, pas l’angle BAD. B approchant A, l’angleABD se rapproche de plus en plus d’un angle droit. Quand B atteint finalement A,l’angle ABD est un angle droit. Dès lors, l’angle ABD ne peut jamais être aigu. C’estuniquement si nous imaginons que B dépasse A que nous pouvons imaginer quel’angle ABD serait aigu. Et même alors, l’angle ne serait pas vraiment aigu puisquenous serions dans une sorte d’intervalle de temps négatif. Newton utilise A commeson point zéro, et donc nous ne pouvons pas réellement dépasser ce point sans

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arriver à une sorte d’intervalle négatif, plus spécialement du fait que nous parlonsici du mouvement d’un corps réel.

Ajout : J’ai ajouté ce paragraphe après avoir discuté avec de nombreux lecteursqui ne parviennent pas à visualiser la manipulation ici. C’est très simple : vousdevez faire glisser la ligne entière RBD vers A, la gardant toujours droite. C’étaitla visualisation de Newton et je ne l’ai pas changée ici. Je ne change pas ses pos-tulats physiques, j’analyse sa géométrie avec une rigueur encore plus grande quela sienne.

Si nous amenons B vers A sans dépasser A, alors l’angle ABD a une limite à 90°.Quand ABD est à 90°, l’angle BAD ne peut pas être zéro. Ceci sera clair comme ducristal dans un moment quand nous examinerons la longueur de la tangente à lalimite, mais pour l’instant il suffit de dire que si l’angle BAD était zéro, alors ADBdevrait également être 90°, ce qui est impossible à proposer : un triangle ne peutpas avoir deux angles à 90°.

Dans le lemme VII, Newton utilise le lemme précédent afin de démontrer qu’à lalimite, la tangente, l’arc et la corde sont tous égaux. Je viens juste de prouver quecela est faux en démontrant que l’angle ABD est à 90° à la limite. Si ABD est à 90° àla limite, alors la tangente doit être plus grande que la corde. Veuillez noter que siAB et AD sont égaux, alors ABD doit être moindre que 90°. Mais j’ai démontré queABD ne peut être plus petit que 90°. B devrait dépasser A, ce qui nous placeraitdans un intervalle de temps négatif. Si B dépasse A (A étant la limite), alors latangente ne peut jamais égaler la corde, pas quand on approche de la limite ni àla limite.

Ceci vérifie ma supposition précédente selon laquelle l’angle BAD ne peut allervers zéro. Si la tangente est plus longue que la corde à la limite, alors c’est uneraison de plus pour que l’angle BAD doit être plus grand que zéro, même à lalimite. Si AD est plus grand que AB, alors DB doit être plus grand que zéro. Si DBest plus grand que zéro, alors l’angle BAD est plus grand que zéro.

Tout ceci est causé par le fait que l’angle ABD va vers 90° avant que l’angle BADaille vers zéro. L’angle ABD atteint la limite en premier, ce qui interdit à l’angleBAD de l’atteindre. BAD n’atteint jamais zéro.

Bien entendu, cela signifie que B n’atteint jamais A. Si B atteignait réellement A,nous n’aurions plus un triangle. La tangente et la corde sont égaux uniquementlorsqu’ils sont tous deux égaux à zéro, et ils sont tous deux égaux à zéro lorsquel’intervalle entre A et B est zéro. Mais l’angle à 90° en ABD interdit cette éventua-lité. Quand cet angle est à 90°, la tangente doit être plus grande que la corde. Dèslors, la corde ne peut être zéro. Si la corde est zéro, alors la tangente et la cordesont égaux : dès lors la corde n’est pas zéro. Pour le présenter sous une forme plusconcrète :

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1. Si la corde AB est zéro, la tangente AD est également zéro,

2. zéro = zéro,

3. si AB=AD, l’angle ABD doit être plus petit que 90°,

4. l’angle ABD ne peut pas être plus petit que 90°.

CQFD : AB n’est pas égal à AD ; AB n’est pas égal à zéro.

En fait, c’est précisément la raison pour laquelle nous pouvons faire des calculsdans l’« intervalle ultime » de Newton, ou à la imite. Si toutes les variables étaientsoit à zéro ou à égalité, alors nous ne pourrions espérer calculer quoi que ce soit.Newton, très vite après avoir prouvé ces lemmes, utilisa une équation versine àl’intervalle ultime, et il n’aurait pas pu faire cela si ses variables avaient tendu verszéro ou vers l’égalité. De même, le calcul, quelle que soit la manière dont il a étédérivé ou utilisé, ne pourrait pas fonctionner à la limite si toutes les variables oufonctions étaient à zéro ou égales à la limite.

Certains diront que mon affirmation selon laquelle B n’atteint jamais A ressembleau paradoxe de Zénon. Suis-je en train d’affirmer qu’Achille n’atteindra jamais laligne d’arrivée ? Non, bien sûr que non. Le diagramme ci-dessus n’est pas équi-valent à un simple diagramme de mouvement. B ne se meut pas vers A de lamême manière qu’Achille approchait de la ligne d’arrivée, et cela n’a rien à voiravec la courbure. Cela a à voir avec la variable de temps impliquée. Si nous tra-çons le diagramme d’Achille approchant une ligne d’arrivée, l’intervalle de tempsne diminue pas quand il approche de la ligne. L’intervalle de temps est constant.Tracez le mouvement d’Achille sur un graphe x/t et vous comprendrez ce que jeveux dire. Toutes les petites boîtes sur l’axe des t sont de la même largeur. Ou bien,allez sur la piste d’athlétisme avec Achille et chronométrez-le comme il approchede la ligne d’arrivée. Votre chronomètre continue à aller vers le futur et à toquer àla même vitesse, que vous l’observiez à 100 mètres de la ligne ou à 1 centimètre.

Mais étant donné le diagramme ci-dessus et le postulat « faisons aller B vers A »,il est compris que ce que nous faisons, c’est diminuer l’intervalle de temps et ladistance à l’arc. Nous analysons un intervalle en diminution, nous ne calculons pasdu mouvement dans l’espace. « Faisons aller B vers A » ne signifie pas « analysons lemouvement du point B quand il parcourt la courbe vers le point A » ; cela signifie« laissons la longueur de l’arc diminuer ». Quand la longueur de l’arc diminue,la variable t est vue également comme diminuant. Dès lors, ce que je dis quandj’affirme que B ne peut pas atteindre A, c’est que ce ∆t ne peut être égal à zéro.Vous ne pouvez pas analyser logiquement l’intervalle dans son parcours vers zéropuisque vous analysez du mouvement, et le mouvement est défini par un intervallenon nul.

Le cercle et la courbe sont tous deux des études de mouvement. Dans cette analyseparticulière, nous étudions des sous-intervalles de mouvement. Ce sous-intervalle,

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qu’il soit appliqué à l’espace ou au temps, ne peut aller vers zéro. L’espace réel estun espace non nul et le temps réel est un temps non nul. Nous ne pouvons pasétudier le mouvement, la vitesse, la force, l’action ou toute autre variable définiepar x et t excepté en étudiant des intervalles non nuls. L’intervalle ultime est unintervalle non nul, l’infinitésimal n’est pas zéro et la limite ne se trouve pas à zéro.Par calculable, je veux parler d’une variable réelle. Par exemple, l’angle ABD n’estpas une vraie variable dans le problème ci-dessus. Il est une donnée. Nous ne lecalculons pas, puisqu’il est de 90° axiomatiquement. Il sera de 90° dans tous lesproblèmes similaires, avec tout cercle que l’on nous donnera pour y trouver unevitesse à la tangente. Le vecteur AD, cependant, variera avec des cercles de diffé-rentes tailles, puisque les courbures de cercles différents sont différentes. De cettefaçon, seul l’angle ABD peut être vu comme allant entièrement vers une limiteéquivalente à zéro. Les autres variables ne le font pas. Du fait qu’elles donnentdes solutions différentes pour des problèmes similaires différents (de plus petitsou de plus grands cercles), elles ne peuvent pas être supposées comme étant àune limite équivalente à zéro. Si elles se dirigeaient entièrement vers une certainelimite, elles ne varieraient pas. Une fonction à une limite devrait être comme uneconstante puisque la limite devrait prévenir toute variance subséquente. Dès lors,si une variable ou une fonction continue à varier dans diverses circonstances simi-laires, vous pouvez être sûr que ce n’est pas à sa propre limite ou à zéro. Elle estseulement dépendante d’une variable qui le fait.

Si AB et AD possèdent une réelle valeur à la limite, alors nous devrions être àmême de calculer ces valeurs. Si nous pouvons le faire, nous aurons mis un nombresur l’« infinitésimal ». En fait, nous faisons cela tout le temps. À chaque fois quenous trouvons un nombre pour une dérivée, nous mettons une valeur réelle surl’infinitésimal. Lorsque nous trouvons une vitesse « instantanée » en un point quel-conque sur le cercle, nous avons donné une valeur à l’infinitésimal. Rappelez-vousque la tangente en tout point du cercle représente la vitesse en ce point. Selon lediagramme ci-dessus, et de même pour tous les diagrammes semblables, la tan-gente représente la vitesse. Cette ligne est comprise comme étant un vecteur dontla longueur est la valeur numérique de la vitesse tangentielle. Elle est habituelle-ment tracée avec une certaine longueur reconnaissable afin de rendre l’illustrationlisible, mais si elle représente une vitesse instantanée, la longueur réelle du vecteurdoit être très petite. Très petite mais pas nulle, puisque nous avons en fait trouvéune solution non nulle pour la dérivée. La dérivée exprime la tangente, donc si ladérivée est non nulle, la tangente doit également être non nulle.

Certains ont déclaré que, puisque nous sommes à même de trouver des nombresassez grands pour la vitesse tangentielle, ce vecteur ne peut pas être très petit. Sinous trouvons que la vitesse en ce point est 5 m/s, par exemple, alors le vecteurvitesse ne devrait-il pas avoir une longueur de 5 ? Non, car de la manière dont lediagramme est tracé et défini, nous laissons une longueur représenter une vitesse.C’est implicite. C’est ignoré. Si nous laissons B approcher de A, alors nous per-mettons à t de diminuer. Une vitesse de 5 signifie seulement que la distance est 5

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fois plus importante que le temps. Si le temps est minuscule, la distance doit l’êtreégalement.

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Il existe une autre façon d’analyser le problème de Newton, et elle peut se révé-ler la plus intéressant de toutes (pour certains). Dans les Principia, le langage deNewton dans la description de ce problème (lemme VI) est le suivant : « Si lespoints A et B s’approchent l’un de l’autre . . . ». Deux choses méritent l’attentionici. Premièrement, A ne peut approcher de B sans gâcher la géométrie. Si nouscommençons à déplacer le point A, nous détruisons notre triangle rectangle. Cequ’il veut dire est ce que j’ai déjà dit plus haut : laissons B approcher de A. Pourêtre tout-à-fait rigoureux, nous devrions laisser un point stationnaire et faire sedéplacer l’autre. Si nous déplaçons les deux, nous créons des problèmes inutiles.Deuxièmement, notez le mot « approchent ». Newton postule du mouvement. Afinde confirmer ceci, il nous suffit de lire le titre de sa section : « De la philosophienaturelle ». La philosophie naturelle n’est pas purement mathématique, elle est dela physique. Newton décrit une philosophie, ou étude de la nature, que nous ap-pelons aujourd’hui « physique ». La nature n’est pas pure, elle est physique. Dèslors, ce lemme doit faire partie de ce que nous appelons aujourd’hui « mathéma-tiques appliquées ». S’il en est ainsi, alors le temps doit y être impliqué. Comme jel’ai affirmé plus haut, Newton étudie un intervalle qui diminue afin d’analyser lemouvement courbé. Il utilise cette analyse immédiatement après pour l’appliquerà une orbite, par exemple. Donc, à la fois le mouvement et le temps sont impliquésdans l’analyse de Newton. Rien que pour cette raison, son angle BAD ne peut pass’évanouir. Ce serait ramener le problème à un intervalle de temps nul, et il n’existerien de tel qu’un intervalle de temps nul en physique. Vous ne pouvez pas étudierle mouvement puis postuler un intervalle de temps nul, car le mouvement est dé-fini par un intervalle de temps non nul. Si vous avez un intervalle de temps nul,vous n’avez aucun mouvement, par définition. Simplement par l’utilisation du mot« approche », Newton a éliminé un intervalle de temps nul. Son intervalle peut di-minuer tant qu’il veut mais il ne peut pas disparaître. Par définition, « approcher »et « disparaître » sont mutuellement exclusifs.

Mais cela devient encore plus intéressant. En utilisant le concept de limite seul, ceproblème ne peut pas être résolu du tout. Je veux dire que si nous laissons notreangle en R égaler θ, alors BAD= θ/2 et ABD= π/2 + θ/2.

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Si nous laissons θ aller vers zéro, alors BAD et ABD approchent de la limite de lamême façon. Le concept de limite n’est pas compatible avec mon analyse. Non, ilest compatible avec l’analyse de Newton, puisque historiquement ce concept émer-gea de son analyse. Le concept de limite ne peut expliquer pourquoi nous trouvonsdes solutions non nulles à la limite pour la corde et pour la tangente, et il échoueparce que son analyse est fautive, comme je viens juste de le montrer. L’analyse deNewton est fautive. L’analyse par la limite traite le problème tout entier comme unproblème abstrait, ou de mathématique pure, alors qu’il s’agit d’un problème phy-sique. Le mouvement et le temps sont tous deux impliqués ici. Ce qui veut dire quenous devons absolument avoir une séparation temporelle entre A et B. Du fait quenous avons du mouvement, nous ne pouvons avoir d’intervalle nul. Si nous n’avonspas d’intervalle de temps nul, alors nous devons avoir une séparation temporelle.Stipulé ainsi, nous arrivons à . . . oui, à la relativité. S’il s’agit d’un problème phy-sique, alors A et B ne peuvent exister au même moment, opérationnellement. Unévènement en B ne peut être absolument égal au même évènement comme étantvu de A. Si nous pensons la mesure d’un angle en tant qu’évènement physiqueplutôt que comme une quantité géométrique abstraite, alors des angles dans undiagramme comme celui-ci doivent être analysés d’un point de vue physique.

Certains penseront que je complique ce problème à plaisir, ou que j’invente dessolutions ésotériques, mais considérez ce fait : les études et proportions gravita-tionnelles de Newton sortent du même livre, les Principia, et de la même section.N’est-il pas étrange que les corrections relativistes d’Einstein aient été appliquéesà la gravitation mais pas à l’orbite ? Le diagramme ci-dessus constitue une étudepréliminaire de l’orbite et met en évidence a = v

2/r, et pourtant il n’a jamais bé-

néficié d’une analyse relativiste jusqu’à ce jour. Nous pensons que la gravitationcause l’orbite, et pourtant nous faisons une analyse relativiste de la gravitationmais pas de l’orbite. Très étrange.

La manière dont la relativité résout ce problème une fois pour toutes est qu’ellenous donne une possibilité de séparer θ/2 en B et θ/2 en A. Selon l’analyse par lalimite, les deux angles devraient diminuer de la même façon. Mais du fait qu’ils

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sont séparés spatialement, ils ne peuvent agir de la même façon. Selon la relati-vité, nous devons choisir un point et mesurer tout à partir de ce point. Nous devonsétudier la problème à partir de A ou de B, mais nous ne pouvons étudier le pro-blème à partir des deux points simultanément. Puisqu’on donne du mouvement aupoint B, nous devons faire de ce point notre origine de mesure. En d’autres termes,dans ce problème, nous existons au point B. L’évènement est en B. Donnons à cetévènement la valeur π/2 + θ/2 et allons vers la limite. θ va vers zéro, donc ABD vavers 90°. Bien sûr, BAD va aussi vers zéro, mais il y a un décalage temporel. Vueou mesurée à partir de B, l’information partie de A doit être décalée, et vice-versa.Dès lors, mesurée à partir de B, la limite en B doit être atteinte avant la limite enA. Ou bien, puisque j’ai montré qu’on n’atteint jamais de limite de toute manière,plus spécialement encore quand ces limites sont à zéro, il serait plus rigoureux dedire que θ/2 est plus petit en B, tel que mesuré à partir de B, que θ/2 en A. Étantdonnée une séparation temporelle, des angles égaux ne sont pas vraiment égaux.

Bien entendu, beaucoup de personnes n’aimeront pas cette analyse. Certaines latrouveront fascinante et d’autres la considèreront comme du charabia. Honnête-ment, je préfère moi aussi l’explication la plus simple : nous ne pouvons pas propo-ser un intervalle de temps nul ; dès lors, les angles ne peuvent disparaître ; dès lors,les lignes ne peuvent être égales. Nous pouvons aller vers du plus en plus petit tantque nous le désirons, mais si nous parlons de mouvement nous devons avoir unintervalle de temps réel. Aussi longtemps que nous avons un intervalle de tempsréel, nous avons un triangle. Aussi longtemps que nous avons un triangle, nousavons une tangente plus longue que la corde. Nous « approchons » de la limite,nous n’ « atteignons » pas la limite. Ceci étant dit, je crois que l’analyse relativisteest également correcte. Chacune de ces deux analyses obtient la bonne réponse,si nous utilisons des idées physiquement correctes et physiquement réelles. Pourêtre consistants, si nous appliquons des séparations de temps au champ gravita-tionnel, nous devons également les appliquer à l’orbite. La gravitation ne peut pasphysiquement causer l’orbite, la relativité s’appliquant à la gravitation mais non àl’orbite. Du fait que la section entière de Newton en question ici est physique, nousdevons soit appliquer la relativité à son entièreté ou à rien du tout. Einstein a misà jour l’analyse newtonienne de la gravitation, et je viens juste de faire la mêmechose pour l’orbite.

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CONCLUSION

Mes découvertes dans cet article affectent bien des choses, à la fois en mathéma-tique pure et en mathématique appliquée. J’ai prouvé, de manière très directe,que lorsqu’on applique le calcul à une courbe, les variables ou fonctions ne vont

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pas vers zéro ou vers l’égalité à la limite. Ceci doit avoir des conséquences à lafois en relativité générale, qui est du calcul tensoriel appliqué à de très petitessurfaces d’un espace courbe, et en électrodynamique quantique, qui applique lecalcul de bien des façons différentes, y compris pour des orbites et des couplagesquantiques. L’ÉDQ a rencontré des problèmes précisément quand elle a tenté defaire aller des variables vers zéro, ce qui exige de la renormalisation. Mon analyseimplique que les variables ne vont pas physiquement vers zéro, et donc la suppo-sition de régression infinie n’est rien d’autre qu’une erreur conceptuelle. La limitemathématique pour des variables calculables – que ce soit en physique quantiqueou en physique classique – n’est jamais zéro. Seule une variable dans un ensembleva vers zéro ou vers une limite équivalente à zéro (tel que l’angle à 90°). Les autresvariables ne sont pas nulles à la limite. Pour l’ÉDQ, cela signifie que lorsque la li-mite de Planck est atteinte, les limites de longueur et de temps sont égalementatteintes. Ni les variables de temps ni les variables de longueur ne peuvent allervers zéro quand elles sont utilisées dans les équations de mouvement ou d’énergiede l’ÉDQ. En fait, au-delà de la logique que j’ai utilisée ici, c’est une contradictiond’assumer que des valeurs d’énergie ne régresseraient PAS de manière infinie etcontinue vers zéro mais que des valeurs de longueur et de temps le feraient.

Il ne s’agit pas d’affirmer que la longueur et le temps doivent être quantifiés ; ils’agit seulement de dire que dans des situations où l’énergie est empiriquementtrouvée quantifiée, on devrait s’attendre également à ce que les autres variablesatteignent une limite au-dessus de zéro. Des équations quantifiées doivent pro-duire des variables quantifiées. L’espace et le temps peuvent être continus, maisnos résultats – nos mesures ou calculs – ne peuvent pas l’être. Ce qui signifie quenous pouvons imaginer que nous rétrécissons et que nous utilisons des règles mi-nuscules pour marquer des sous-aires quantiques, mais nous ne pouvons pas cal-culer des sous-aires de quanta lorsque l’une de nos variables principales – l’énergie– atteint une limite au-dessus de ces sous-aires et lorsque toutes nos données at-teignent cette même limite. La seule façon de pouvoir atteindre ces sous-aires avecles variables que nous possédons, c’est de trouver un quantum plus petit.

Comme je l’ai dit, il y a eu également de la confusion en ce domaine dans le calcultensoriel. À la section 8 du papier d’Einstein sur la relativité générale, Einsteindonne un volume à un ensemble de coordonnées qui déterminent un point ouun évènement. Il appelle le volume de ce point le volume « naturel », bien qu’ilne nous dise pas ce qu’il y a de « naturel » dans un point possédant un volume.La relativité générale commence [section 4] par postuler un point et un tempsdans l’espace définis par les coordonnées dX1, dX2, dX3, dX4. Cet ensemble decoordonnées déterminent un évènement, mais il est toujours vu comme étant unpoint en un instant. C’est clair puisque, directement après, un autre ensemble defonctions est donné sous la forme dx1, dx2, dx3, dx4. Celles-ci, nous dit-on, sont les« différentielles définitives » entre « deux points-évènements infiniment proches ».Le volume de ces différentielles est donné par l’équation 18 sous la forme

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dτ =´

dx1 dx2 dx3 dx4

Mais on nous donne également le volume « naturel » dτ0, qui est le « volume dX1,dX2, dX3, dX4 ». Ce volume naturel nous donne l’équation 18a :

dτ 0 =√−g dτ

Ensuite, Einstein déclare :

« Si√−g devait s’évanouir en un point du continuum à quatre dimen-

sions, cela signifierait qu’en ce point un volume “naturel” infinimentpetit correspondrait à un volume fini dans les coordonnées. Supposonsque ce n’est jamais le cas. Alors g ne peut pas changer de signe . . . Ilpossède toujours une valeur finie ».

Selon ma réfutation ci-dessus, tout ceci doit constituer une mauvaise utilisation ducalcul, une mauvaise utilisation qui n’est en rien rendue plus utile en important destenseurs dans le problème. Un ensemble de fonctions qui déterminent un point-évènement ne peut jamais, dans aucune sorte de calcul, recevoir un volume –naturel, artificiel ou autre. Si dX1, dX2, dX3, dX4 représente un point-évènementdans l’espace, alors il ne peut avoir aucun volume, et l’équation 18a, ainsi que toutce qui l’entoure, est un fantôme.

En dernière analyse, ceci est tout simplement dû à la définition du concept d’ « évè-nement ». Un évènement doit être défini par un mouvement quelconque. S’il n’ya pas de mouvement, il n’y a pas d’évènement. Tout mouvement exige un inter-valle. Même un non-évènement, comme par exemple un quantum parfaitementimmobile, implique toujours un mouvement dans le champ quadri-vectoriel, cardu temps va passer. Le non-évènement possèdera un intervalle de temps. Tous lesévènements et non-évènements possibles, en mouvement comme au repos, exigentun intervalle. Être au repos exige un intervalle de temps et le mouvement exige àla fois des intervalles de temps et de distance. Dès lors, l’évènement est complè-tement déterminé par des intervalles. Pas des coordonnées : des intervalles. Lepoint et l’instant ne sont pas des évènements. Ce ne sont que des frontières d’évè-nement, des frontières qui sont impossibles à tracer avec une précision absolue.L’instant et le point sont le début et la fin d’un intervalle, mais ils ne sont qu’abs-tractions et estimations, pas des entités physiques ou des coordonnées spatialesprécises.

Certains vont répondre que je viens juste faire l’apologie d’Einstein, le sauvantainsi de ma propre critique. Après tout, il donne un intervalle théorique au point.La fonction dX est sous la forme d’une différentielle elle-même, ce qui lui don-nerait une extension possible. Il peut l’appeler un point, mais il l’habille commeune différentielle. Vrai, mais il ne lui permet pas d’agir comme une différentielle,

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comme je viens de le montrer. Il lui interdit de correspondre à (une partie d’) unvolume fini, car cela ruinerait ses maths. Il ne permet pas à

√−g de s’évanouir, ce

qui interdit au volume « naturel » d’envahir l’espace courbé.

Les nouvelles versions de ce même espace riemannien n’ont pas résolu cette confu-sion, ce qui constitue l’une des raisons principales pour lesquelles la relativité gé-nérale résiste toujours à son incorporation dans l’ÉDQ. La physique contemporainecroit encore dans le point-évènement, dans le point comme entité physique (cf. lasingularité) et à la réalité d’un instant. Toutes ces notions fausses proviennentd’une incompréhension du calcul. La fondation « plus rigoureuse » du calcul deCauchy, utilisant la limite, la fonction et la dérivée, aurait dû clarifier cette confu-sion, mais elle n’a fait que l’enterrer plus profondément. Le problème a été supposérésolu du fait qu’il a été complètement placé hors de vue. Mais il n’a pas été ré-solu. Le calcul a été systématiquement mal utilisé, de façon fondamentale, jusqu’àaujourd’hui, même (et je devrais plutôt dire tout spécialement) dans les domainesles plus importants et par les personnalités les plus renommées.

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Traduction : Bahrmanou

© 19 mai 2014

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