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Unité de BaseTransmission

de l’InformationISEN 4

Jean-François Lampin

1ère Partie

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Principe de baseInformations+ perturbationset déformations

Canal de transmissionModulation Démodulation

InformationsPerturbations

Dans ce cours : nous nous intéressons aux aspects physiques des problèmes posés par les télécommunications.Le canal de transmission est le milieu de propagation d’une onde :• Acoustique• Electromagnétique (filaire, optique, hertzien)

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Le spectre électromagnétique

FilaireFibre optique

Hertzien

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Dualité onde - corpuscule

Corpuscule Onde

Photon Onde électromagnétique

Dans ce cours, nous allons utiliser exclusivement la description ondulatoire du champ électromagnétique.

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Plan du cours

I. Théorie des lignes de transmission en régime transitoire et sinusoïdal

II. Electromagnétisme, propagation libre des ondes électromagnétiques

III. Rayonnement, antennes

IV. Propagation guidée des ondes électromagnétiques

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I. Théorie des lignes de transmission

Il y a plus de 150 ans, le télégraphe …Depuis on utilise les lignes (ou câbles) dans

d’innombrables applications:• Téléphone• Réseaux informatiques• Télévision par câble (CATV)• Interconnexion de composants, de circuits …

Oliver Heaviside

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Le courant s’établit-il instantanément ?t = 0

i

ii

iA t = 0, on ferme l’interrupteur, le courant s’établit-il instantanément dans la boucle ?L’expérience montre que ça n’est pas le cas.Il y a donc propagation d’une « onde de courant ».

Quelle est sa vitesse et quelles sont les conséquences sur le circuits et les lignes ?

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Inductances et capacités « cachées »

• d.d.p. entre conducteurs donc champ E :Capacité telle queQ = C . V• Flux magnétique du champ B :Auto-inductance telle que Φ = L . I

Le « conducteur parfait » n’existe pas (d.d.p. nulle entre ses extrémités, courants entrant et sortant identiques).• Résistance en courant continuMais aussi, en courant variable :• Capacité• Inductance

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Calcul de L et CLe calcul analytique de L et C dans le cas général est complexe (dépend de la géométrie des conducteurs, de la permittivité ε et de la perméabilité µ du diélectrique).

Prenons un cas particulier courant en pratique et simple à calculer : deux tubes métalliques coaxiaux (câble coaxial). Le métal est supposé parfait (résistivité nulle).

l

I

I

RU

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Calcul de la capacité

∫∫Σ

==⋅ε

π qrrlESdE )(2rr

On applique le théorème de Gauss:Σ

Champ E(r)

Lignes de champ

a

br

On considère que le conducteur central porte une charge +q et que le conducteur externe porte une charge –q. Le champ électrique est radial (symétrie du problème).

−

=−

=−= ∫∫ ab

lq

rdr

lqdrrEU

b

a

b

aln

22)(

πεπε

==

bal

UqC

ln

2πε

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Calcul de l’inductance

IrrBrdBC

µπ ==⋅∫ )(2rr

==⋅=Φ ∫∫∫

Σ baIl

rdrIlSdB

a

bln

22 πµ

πµrr

Champ B(r)

Lignes de champ

a

br

Σ

On applique le théorème d’Ampère:C

=

Φ=

bal

IL ln

2πµ

On considère que le conducteur central porte un courant I entrant et que le conducteur externe porte un courant –I (sortant). Le champ magnétique est tangentiel (symétrie du problème).

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Notion d’éléments répartis• Les deux grandeurs L et C sont proportionnelles à l (longueur de la ligne).• C est proportionnelle à ε (permittivité électrique) et Lest proportionnelle à µ (perméabilité magnétique).Ces deux remarques sont générales pour les lignes uniformes (cas auquel nous nous limiterons).

L et C sont réparties tout le long de la ligne, on peut donc exprimer la capacité et l’inductance linéique de la ligne :

=

baln

2πεCF/m

=

baln

2πµ

LH/m

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Modèle sous forme de circuitTentons de modéliser cette réalité physique d’éléments répartis par un circuit équivalent :

Cellule élémentaire

Il est clair qu’en régime variable, le courant et la d.d.p.n’ont aucune raison d’être constants le long de la ligne.En courant continu on retrouve évidemment deux « fils » parfaits (rappel: on néglige les résistances).

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Equations des télégraphistes

tVzI

tIzV

∂∂

−=

∂∂

−=

δδ

δδ

C

L

Lδz

C δzV V+δV

I I+δI

z+δzzOn en tire les « équations des télégraphistes » (sans pertes) :

Cellule élémentaire :

(4) 0

(3) 0

2

2

2

2

2

2

2

2

=∂∂

−∂∂

=∂∂

−∂∂

tI

zI

tV

zV

LC

LC

(2) 0

(1) 0

=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

tV

zI

tI

zV

C

L Séparation

de I et V

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Equations d’ondesOn obtient deux équations aux dérivées partielles identiques de la forme :

2

2

22

2 1tU

vzU

∂∂

=∂∂ C’est une équation d’onde ou équation de

d’Alembert (écrite pour la première fois pour l’étude des cordes vibrantes).

L’équation de d’Alembert admet de très nombreuses solutions, on peut montrer que :

)()(),( vtzgvtzftzU ++−=est une solution générale (f et g sont deux fonctions arbitraires). f(z-vt)représente une fonction qui se déplace « en bloc » vers les z croissants lorsque t augmente et à la vitesse v. g(z+vt) se déplace évidemment à la même vitesse mais vers les z décroissants.

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Vitesse des ondesNous pouvons maintenant calculer la vitesse des ondes de tension ou de courant sur la ligne :

LC1

=v Nous pouvons remplacer L et C par les expressions trouvées pour la ligne coaxiale.

Les constantes géométriques disparaissent, seules interviennent : ε0 = 1/(36π109) F/m, µ0 = 4π10-7 H/m et εr , µr (= 1 pour le vide, > 1 pour les diélectriques et les matériaux magnétiques).

rr

vµµεεεµ 00

11==

1-8

79

00

m.s 103104

10361

11×=

×××

==−π

πµε

c c est la vitesse de la lumière dans le vide.

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Vitesse des ondes (suite)

rr

cvµε

=v est inférieur ou égal à c pour les diélectriques classiques. 1/√εrµr est appelé coefficient de vélocité de la ligne.

Ce résultat important a été obtenu pour un cas particulier (ligne coaxiale), mais il est valable pour toutes les lignes uniformes à deux conducteurs distincts et à diélectrique homogène.

0,329,7Alumine0,712,0Téflon0,662,3Polyéthyléne

Coefficient de vélocité

εrMatériau

Quelques paramètres de matériaux couramment utilisés pour fabriquer des lignes (µr = 1).

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Impédance caractéristiqueOn a deux équations d’ondes identiques pour la tension et le courant (équations 3 et 4). Mais y a t’il un lien entre V et I ?

Prenons le cas d’une ligne infinie alimentée par un générateur de tension (V = 0 et I = 0 à t = 0). Celui-ci crée une onde de tension qui se propage vers les z croissants :

V(t) I(t)

vtzuuftzV −== avec )(),(Calculons les dérivées partielles par rapport à l’espace et au temps :

zVv

tV

uufv

ttzV

uuf

ztzV

∂∂

−=∂∂

∂∂

−=∂

∂∂

∂=

∂∂

donc

)(),(et )(),(

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Impédance caractéristique (suite)Remplaçons la relation précédente dans l’équation (1) :

tI

tIv

tV

tI

tV

v

∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

+∂∂

−

CL

L

L 01

CL

=IV

En intégrant par rapport au temps :

La ligne infinie se comporte, vue du générateur, comme une simple résistance ! Physiquement cela correspond au fait que l’énergie fournie par le générateur s’éloigne à l’infini et n’est jamais restituée à celui-ci.

CL

−=IVEn partant de g(z+vt) (onde se

propageant vers les z décroissants), on aurait obtenu :

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Exemple de calcul de ZcDans un cas plus général (lignes avec pertes), cette résistance est plutôt une impédance, elle est appelée impédance caractéristique de la ligne.

Calculons l’impédance caractéristique de la ligne coaxiale :

=

==

ba

baZ

r

rc ln

21ln

21

0

0

πεµ

εµ

πεµ

CL

Zc est proportionnel à √µ/ε et à un facteur géométrique. Bien qu’obtenue dans un cas particulier, cette forme est très générale. Seul change le facteur géométrique entre les différents types de lignes.

Ω==×××== − 3771201036104 97

0

00 πππ

εµZ Impédance

du vide.

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Exemple de calcul de Zc (suite)Calculons l’impédance caractéristique d’une ligne coaxiale à air, pour laquelle a/b = 2.

Ω≈=×= 42)/ln(60)/ln(21120 babaZc π

π

C’est une impédance relativement basse. En général, les impédances caractéristiques des lignes vont de quelques Ω à quelques milliers d’Ω. Pour uniformiser certains systèmes (en particulier lorsqu’il y a des connecteurs), les impédances caractéristiques ont été normalisées : elles sont généralement de 600 Ω en téléphonie, de 100 Ω dans les réseaux informatiques, de 50 Ω en électronique haute fréquence professionnelle et de 75 Ω en électronique HF grand public.

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Autres lignes courantesLigne à fils parallèles (D>>d) :

D

d

dDZ

dDd

Dr

rc

2ln120;2ln;2ln

εµπε

πµ

=== CL

Ligne à plaques parallèles (w>>a) :

waZ

aw

wa

r

rc ε

µπεµ 120;; === CLa

w

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Exemples de lignesCâble pour réseau informatique à paires torsadées 100 Ω.

Ligne à fils parallèles

300 Ω.

Câble coaxial semi-rigide pour hyperfréquences (50 Ω, diamètre 3,6 mm).

tressegaine

Câble coaxial 50 Ω

(diamètre 11 mm).

âmediélectrique

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Ligne finie ?Premier cas : Ligne chargée par son impédance caractéristique Zc. On place l’origine des z au niveau de la charge.

V(t) I(t)

CL

=R

L’onde venant du générateur ne voit pas de discontinuité d’impédance en z = 0. En tous les points de la ligne, le courant et la tension ont la même valeur que si la ligne se continuait indéfiniment. L’énergie n’est jamais restituée comme dans le cas de la ligne infinie (elle est transformée en chaleur dans R).

Lorsque R = Zc la charge est dite « adaptée » en impédance à la ligne.

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Ligne finie (suite)

cZIV=

Deuxième cas : Imaginons deux impulsions identiques créées par deux générateurs de tension situés à chaque extrémité de la ligne. Les deux impulsions se rencontre en z = 0.

z

Vv v

Iv

v

cZIV

−=

z

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Ligne finie : cas du C. O.Les impulsions se superposent linéairement (en chaque point, la d.d.p.vaut la somme des d.d.p. des deux impulsions, le courant vaut la somme des courants des deux impulsions). En z = 0, on remarque que le courant est tout le temps nul ! En ce point, la tension vaut le double de ce qu’elle vaudrait avec une seule impulsion.

On peut donc couper la ligne en z = 0 sans rien changer au problème. Une ligne interrompue (en « circuit ouvert ») engendre donc une onde de tension de même signe se propageant dans la direction opposée à l’onde incidente (réflexion).

I(t)V(t) C. O.

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Ligne finie : cas du C. C.Troisième cas : Même raisonnement avec deux générateurs créant des impulsions de tension de signe opposé. Cette fois c’est la tension qui s’annule en z = 0. Le courant est lui deux fois plus élevé.

I(t)V(t) C. C.

On peut donc court-circuiter la ligne en z = 0 sans rien changer. Une ligne interrompue et fermée par un court-circuit engendre une onde de tension de signe opposé se propageant dans la direction opposée à l’onde incidente.

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Ligne finie : cas généralDans le cas général (ligne chargée par une résistance R quelconque), deux ondes de direction opposée se propagent sur la ligne.

I(0,t)

R V(0,t)

Par commodité, notons Vi(z,t) (i pour incident) et Vr(z,t) (r pour réfléchi) les fonctions f et g introduites précédemment.

c

r

c

i

ri

ZtzV

ZtzVtzI

tzVtzVtzV),(),(),(

),(),(),(

−=

+= En

ri

ric VV

VVZtItVR

−+

==),0(),0(

z = 0

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Coefficients de réflexionOn appelle ρv = Vr / Vi le coefficient de réflexion en tension, on trouve :

1

1

+

−

==

c

c

i

rv

ZRZR

VVρ

En remplaçant R par Zc, ∞ et 0, on retrouve les trois cas particuliers examinés précédemment.

On peut aussi définir le coefficient de réflexion en courant ρi = Ir / Ii.

v

c

c

i

ri

ZRZR

II ρρ −=

+

−

==1

1

),(),(),(),(),(),(

tzItzItzItzIZtzIZtzV

ri

rcic

+=−=

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R / Zc

ρv

+1

-1-1

+1

Adaptation

Amplification + Atténuation +

Amplification -Atténuation -

Représentation graphique

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Exemples (1)

Géné. + Att.(sans câble)

Echo !Amplituderéduite

1 2

Générateurd’impulsions70 ns Att.

Oscilloscope 100 MHz

37,7 m de câble coaxial 50 Ω

Différentes charges

Avec câble(CO)

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Exemples (2)

Circuit Ouvert Charge 50 Ω (adaptée) Court Circuit

L’atténuateur se comporte comme une charge adaptée Pas d’écho Echo négatif

v =37,7 m190 ns

= 1,98x10 m/s8 Coeff. de vélocité = 0,66

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Exemples (3)Même expérience avec des impulsions de 1,2 µs …

Circuit Ouvert Charge 50 Ω (adaptée) Court Circuit

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Exemples (4)Avec un générateur d’impédance 250 Ω (impulsions de 70 ns).

Court CircuitCircuit Ouvert

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Lignes en régime sinusoïdalConnectons une ligne de transmission à un générateur sinusoïdal.Tous les concepts vus précédemment restent valables.Utilisons la notation complexe avec la convention usuelle :

tjG VV ωe0=

Ecrivons les équations des télégraphistes en régime sinusoïdal :

0

0

2

2

2

2

2

2

2

2

=+∂∂

=+∂∂

Ivz

I

Vvz

V

ω

ωLes solutions sont de la forme :

V

+

−

+

−

+=

+=

zv

tj

r

zv

tj

i

zv

tj

r

zv

tj

i

IItzI

VVtzωωωω

ωωωω

ee),(

ee),(

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Constante de phase

βλππω===

Gvf

v22

m-1

Fréquence du générateurLa périodicité temporelle de la tension induit une périodicité spatiale le long de la ligne (λG).β est appelée constante de phase, v est la vitesse de phasede l’onde.Longueur d’onde guidée

Réécrivons les solutions avec cette notation :

( )( ) tjzj

C

rzj

C

itjzjr

zji

tjzjr

zji

ZV

ZVIItzI

VVtzV

ωββωββ

ωββ

eeeeee),(

eee),(

−=+=

+=

−−

−

Se propage vers les z croissants

Se propage vers les z décroissants

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Coefficient de réflexion

ri

ricL VV

VVZtItVZ

−+

==),0(),0(

La ligne est chargée par une impédance quelconque ZL :I(0,t)

ZL V(0,t)

1

1

+

−

=+−

==

C

L

C

L

CL

CL

i

rv

ZZZZ

ZZZZ

VVρ

Coefficient de réflexion en tension de la charge. Dans le cas général c’est un complexe.

vi ρρ −=

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Impédance d’entrée d’une ligneZL

Ligne de transmission

ZC

Est équivalent à :l z = 0z = - l

ZE Quelle est la valeur de ZE ?

( )( ) lj

CLCL

ljCLCL

Cljv

ljv

Cljr

lji

ljr

lji

CE eZZZZeZZZZZ

eeZ

VVVVZZ β

β

β

β

ββ

ββ

ρρ

2

2

2

2

11

eeee

−

−

−

−

−

−

−−+−++

=−+

=−+

=

ljZZljZZZ

ljZlZljZlZZZ

LC

CLC

LC

CLCE β

βββββ

tantan

sincossincos

++

=++

=

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Rapport d’ondes stationnairesSi ZL ≠ Z C , l’onde incidente interfère avec l’onde réfléchie : une onde stationnaire apparaît.Des ventres de tension se produisent aux endroits où l’onde incidente est en phase avec l’onde réfléchie.Des nœuds de tension se produisent aux endroits où l’onde incidente est en opposition de phase avec l’onde réfléchie.

ri

ri

VVV

VVV

−=

+=

min

max

v

v

VVS

ρρ

−+

==11

min

maxR.O.S. (Rapport d’Ondes Stationnaires) ou T.O.S. (Taux d’Ondes Stationnaires). En anglais : V.S.W.R. (Voltage Standing Wave Ratio).

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Variation de ZE

minmin I

ZV

ZVV

ICC

ri ==−

=ri VVV +=max∗ En ce point :

CSZIVZ ==

min

maxmaxOn a donc un maximum d’impédance :

maxmax I

ZV

ZVV

ICC

ri ==+

=ri VVV −=min∗ En ce point :

SZ

IVZ C==

max

minminOn a donc un minimum d’impédance :

CEC SZZ

SZ

≤≤On peut donc encadrer ZE :

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Ondes progressives et stationnairesV

d.d.p.instantanée aux bornes de ZL

Onde progressive pure (ZL = ZC, S = 1)

ZL

z

V

Nœuds de tension

Ventres de tension λG/2

z

C.C.

Onde stationnaire pure (ZL= 0, S = ∞)

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Amplitude le long d’une ligneTension incidente constante quel que soit le ROS (l’onde réfléchie n’atteint pas le générateur).

Puissance constante quel que soit le ROS.

Attention : risques de claquage de la ligne ou de composants du générateur en cas de forte désadaptation.

I

DestructionV

Tension Cte

CC

CO

Courant Ct

Puissance Cte

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PuissancesPuissance disponible d’un générateur :C’est la puissance qu’il délivre à une charge lorsque celle-ci a pour impédance le conjugué de l’impédance interne du générateur.

Puissance utile délivrée à une charge :

( ) ( )*2 Re211 VIPP vdu =−= ρ

Tension et courant crête dans la charge

Il est conseillé de placer un atténuateur ou un isolateur derrière un générateur pour le protéger en cas de ROS trop important. Certains sont protégés grâce à un système qui consiste à baisser la puissance disponible lorsque le ROS est trop élevé.

!

© J.-F. Lampin 2005 44

Cas particuliersCE ZZ =Ligne adaptée : ZL = ZC, ρv = 0, S = 1

ljYYljZZ

CE

CE

ββ

cottan

−==

ljYYljZZ

CE

CE

ββ

tancot

=−=Ligne en circuit ouvert :

ZL = ∞, ρv = +1, S = ∞

Ligne en court-circuit :ZL = 0, ρv = -1, S = ∞

Impédances ou admittances imaginaires pures(comme pour une inductance ou une capacité)

« STUB »

L

CE

G

G

ZZZ

l

2

242

=

=×=πλ

λπβLigne ou transformateur quart d’onde :

ZL est quelconque, on ne peut rien dire sur ρv et S.

« SLUG »

© J.-F. Lampin 2005 45

Exemple (1)

1 2

GénérateurSinusoïdalHF Att.

Oscilloscope 100 MHz

37,7 m de câble coaxial 50 Ω

Différentes chargesLa longueur de câble correspond à λG/4 pour λG = 150,8 m. Soit f = 0,66 x 3.108 / 150,8 = 1,31 MHz.

La longueur de câble correspond à λG/2 pour λG = 75,4 m. Soit f = 0,66 x 3.108 / 75,4 = 2,62 MHz.

© J.-F. Lampin 2005 46

Exemple (2)

f = 1,31 MHz

Charge 50 Ω Court Circuit Circuit Ouvert

f = 2,62 MHz

© J.-F. Lampin 2005 47

L’abaque de Phillip H. Smith (1)

ljv

ljv

C

E

ee

ZZ

β

β

ρρ

2

2

11

−

−

−+

=Reprenons l’équation déjà vue :

l

ZL

Lorsque l’on déplace le générateur par la pensée grâce à une « ligne télescopique » le coefficient de réflexion ρv est multiplié par e-2jβl. Le module du nombre complexe ne change pas. Mais dans le plan complexe, le point représentant le coefficient de réflexion subit une rotation de 2βl radians dans le sens opposé au sens trigonométrique.

© J.-F. Lampin 2005 48

L’abaque de Phillip H. Smith (2)η

Point représentant le coefficient de réflexion de la charge.

Rotation de 2βl radians

La modification du coefficient de réflexion lorsque l’on fait varier la longueur de la ligne se calcule très facilement (rotation dans le plan complexe). Mais on a souvent besoin de calculer les impédances correspondantes (voir formule de la page précédente). On peut construire un abaque pour faire ce calcul de façon graphique.

ξQuelques cas particuliers:l=λG/8 Angle = π/2 (un quart de tour)l=λG/4 Angle = π (un demi-tour)l=λG/2 Angle = 2π (un tour)l=λG Angle = 4π (2 tours)Point représentant le coefficient de

réflexion de l’ensemble tronçon de ligne + charge.

© J.-F. Lampin 2005 49

L’abaque de Phillip H. Smith (3)z = ZE/ZC est l’impédance réduite (sans unité).

Correspondance impédance réduite ⇔ coefficient de réflexion

ηξηξ

jjjxr

−−++

=+11

ρρ

−+

=11z

ηξρ jjxrz

+=+=

avec

( )( )

( ) 22

22

22

12

11

ηξη

ηξηξ

+−=

+−+−

=

x

r( )

( ) 2

22

22

2

111

11

1

xx

rrr

=

−+−

+=+

+−

ηξ

ηξ

© J.-F. Lampin 2005 50

L’abaque de Phillip H. Smith (4)Le lieu des impédances à partie réelle constante se représente dans le plan complexe des coefficients de réflexion comme un cercle de centre (r/(1+r),0) et de rayon 1/(1+r) (tous les cercles passent par (1,0)).

Le lieu des impédances à partie imaginaire constante se représente dans le plan complexe des coefficients de réflexion comme un cercle de centre (1,1/x) et de rayon 1/x (tous les cercles passent par (1,0)).

(1,0)r = x = ∞

r = 0

r = 1r = 3

x = 1x = 2

x = -2

x = -1

x = 1/2

x = -1/2

x = 0

η

ξ

η

ξ

r = 1/3

© J.-F. Lampin 2005 51

Vers le générateur

Vers la charge

z = 0,6 + 1,4j = z / Z0soit Z = 30 + 70j Ω(Z0 = 50 Ω)

52 m

m

76 mm

52 mm

68,0mm 76mm 52

==vρ

y = 0,25 - 0,6j = y / Y0soit Y = 5 – 12 mS(Y0 = 1 / Z0= 20 mS)

Phase de ρv = 65°

52 mm

L’abaque de Phillip H. Smith (5)

CC CO

© J.-F. Lampin 2005 52

L’abaque de Phillip H. Smith (6)

ηξηξ

jj

zy

++−−

==111

ηξηξ

jjjxrz

−−++

=+=11

Donc :

ηηξξ

−→−→ On passe donc de z à y par une symétrie centrale par

rapport au centre de l’abaque.

Abaque classique (parties réelles positives ou ρ < 1). Au-delà, les parties réelles sont négatives (ρ>1).

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Atténuation le long des lignes (1)Dans tous les calculs précédents nous avons considéré des métauxet des diélectriques parfaits (résistivité nulle pour les premiers, constante diélectrique purement réelle pour les seconds). On modélise ces pertes par des résistances dans le schéma équivalent.

zVtVzI

zItIzV

δδδ

δδδ

GC

RL

−∂∂

−=

−∂∂

−=

z+δz

G δz

z

R δzL δzI I+δI

V C δz V+δV

( )

( ) 0

0

=++∂∂

=++∂∂

VjzI

IjzV

ω

ω

CG

LRΩ/m

S/m

Equations des télégraphistes avec pertes :

© J.-F. Lampin 2005 54

Atténuation (2)Séparation de I et V :

Iz

I

VzV

22

2

22

2

γ

γ

=∂∂

=∂∂( )( )

( )( ) 0

0

2

2

2

2

=++−∂∂

=++−∂∂

IjjzI

VjjzV

ωω

ωω

CGLR

CGLR

On retrouve les équations sans pertes si R = G = 0

( )( ) βαωωγ jjj +=++= CGLRSolutions :

( ) ( )( ) ( ) )()(

)()(

,

,ztjz

rztjz

iz

rz

itj

ztjzr

ztjzi

zr

zi

tj

eeIeeIeIeIetzIeeVeeVeVeVetzV

βωαβωαγγω

βωαβωαγγω

+−−−

+−−−

+=+=

+=+=

Atténuation exponentielle des ondes de tension et de courant

© J.-F. Lampin 2005 55

Atténuation (3)

−+≈

++

=ωωω

ωLR

CG

CL

CGLR

221 j

jjZC

( )ωαβωβα

LGRCLCRG

+=−=−

2

222 Si les pertes sont faibles, on peut considérer que :

2

22

ω

βα

LCRG <<

<<

+≈

≈

CL

GLC

R

LC

21α

ωβm-1

m-1

Exemple : si R = 1 Ω/m, G = 0 S/m et Zc= 50 Ω.α= 0,01 m-1 = 0,087 dB/m.Soit 8,7 dB pour 100 m.On verra dans la suite du cours que R n’est pas constante en fonction de la fréquence.

© J.-F. Lampin 2005 56

Remarque sur les unités (1)Comparons le module de la tension à l’entrée et à la sortie d’une ligne de longueur l (on suppose qu’il n’y a pas d’onde réfléchie) :

−=

= −

e

s

les

VV

l

eVV

ln1α

αL’unité est normalement le m-1(du point de vue physique). Toutefois, on a quand même donné une unité au logarithme du rapport pour ne pas le confondre avec un rapport simple: le Neper (Np).

Exemple : Un câble qui a une atténuation de 1 neper par mètre atténue la tension d’un facteur 1/e ( ≈ 0,37) par métre de ligne parcourue.Cette unité est utilisée par les physiciens. Les « ingénieurs » utilisent plutôt une unité analogue mais basée sur le logarithme décimal et des rapports de puissances.

© J.-F. Lampin 2005 57

Remarque sur les unités (2)

=

e

s

PPA log

Bel (B)

=

e

s

PPA log10

DéciBel (dB)

( )( )

=

=

e

S

eS

Se

VV

VZVZ

A log20Re

Relog10 2

2

DéciBel (dB)si Re(Ze) = Re(Zs)

Grâce à cette unité on peut aussi exprimer des tension ou des puissances absolues :

=

W1log10 pP

=

mW 1log10 pP

=

V 1log20

µuU

dBW dBm dBµV

Exemple: un câble qui a une atténuation de 10 dB pour 100 m, divise par 10 la puissance pour chaque tronçon de 100 m (1 Np = 8,686 dB).

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ExemplesAtténuation en dB/100 m de quelques câbles classiques :

__65,63916,1_50RG-58 C/U

136,190,937,125,6__50UT-141

____33,09,7100CAT6 FTP

__29,215,47,2_50RG-213

10 GHz5 GHz1 GHz500 MHz

100 MHz

10 MHz

Zc (Ω)Type

© J.-F. Lampin 2005 59

Conclusion de la partie IQuand doit-on appliquer la théorie des lignes de transmission ?Lorsque la plus grande dimension du « circuit » devient non négligeable devant la longueur d’onde des fréquences les plus élevées traitées par le circuit (par exemple : l>λG/10).

f = 50 Hz, λG = 6000 km, λG/10 = 600 kmf = 10 GHz, λG = 3 cm, λG/10 = 3 mm

Applications :• Transmission à distance d’informations : câbles téléphoniques, réseaux informatiques, télévision par câbles …• Circuits électroniques : on doit prendre en compte les effets de propagation dans les circuits traitant des hautes fréquences. Onpeut même en tirer parti pour toutes sorte d’applications (adaptation d’impédance, traitement de signal etc …). Ces applications seront vues plus en détail dans l’U.A. Radiocommunications.

© J.-F. Lampin 2005 60

Annexe : échelles radiales de l’abaque de Smith

• ROS = SWR ou VSWR = S• ROS (dB ou dBS) = 20 log S• Coefficient de réflexion en puissance (dB) = Return Loss = -10 log |ρ|2• Coefficient de réflexion en puissance = |ρ|2• Coefficient de réflexion V,I = |ρv|= |ρi|• Pertes d’adaptation (dB) = Reflexion Loss = -10 log(1- |ρ|2)• Augmentation de tension crête (à puissance constante) = √S• Coefficient de transmission en puissance = 1 - |ρ|2

Les autres échelles servent principalement lorsque l’on tient compte des pertes lors de calcul avec l’abaque de Smith.