© J.-F. Lampin 2005 1
Unité de BaseTransmission
de l’InformationISEN 4
Jean-François Lampin
1ère Partie
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Principe de baseInformations+ perturbationset déformations
Canal de transmissionModulation Démodulation
InformationsPerturbations
Dans ce cours : nous nous intéressons aux aspects physiques des problèmes posés par les télécommunications.Le canal de transmission est le milieu de propagation d’une onde :• Acoustique• Electromagnétique (filaire, optique, hertzien)
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Le spectre électromagnétique
FilaireFibre optique
Hertzien
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Dualité onde - corpuscule
Corpuscule Onde
Photon Onde électromagnétique
Dans ce cours, nous allons utiliser exclusivement la description ondulatoire du champ électromagnétique.
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Plan du cours
I. Théorie des lignes de transmission en régime transitoire et sinusoïdal
II. Electromagnétisme, propagation libre des ondes électromagnétiques
III. Rayonnement, antennes
IV. Propagation guidée des ondes électromagnétiques
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I. Théorie des lignes de transmission
Il y a plus de 150 ans, le télégraphe …Depuis on utilise les lignes (ou câbles) dans
d’innombrables applications:• Téléphone• Réseaux informatiques• Télévision par câble (CATV)• Interconnexion de composants, de circuits …
Oliver Heaviside
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Le courant s’établit-il instantanément ?t = 0
i
ii
iA t = 0, on ferme l’interrupteur, le courant s’établit-il instantanément dans la boucle ?L’expérience montre que ça n’est pas le cas.Il y a donc propagation d’une « onde de courant ».
Quelle est sa vitesse et quelles sont les conséquences sur le circuits et les lignes ?
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Inductances et capacités « cachées »
• d.d.p. entre conducteurs donc champ E :Capacité telle queQ = C . V• Flux magnétique du champ B :Auto-inductance telle que Φ = L . I
Le « conducteur parfait » n’existe pas (d.d.p. nulle entre ses extrémités, courants entrant et sortant identiques).• Résistance en courant continuMais aussi, en courant variable :• Capacité• Inductance
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Calcul de L et CLe calcul analytique de L et C dans le cas général est complexe (dépend de la géométrie des conducteurs, de la permittivité ε et de la perméabilité µ du diélectrique).
Prenons un cas particulier courant en pratique et simple à calculer : deux tubes métalliques coaxiaux (câble coaxial). Le métal est supposé parfait (résistivité nulle).
l
I
I
RU
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Calcul de la capacité
∫∫Σ
==⋅ε
π qrrlESdE )(2rr
On applique le théorème de Gauss:Σ
Champ E(r)
Lignes de champ
a
br
On considère que le conducteur central porte une charge +q et que le conducteur externe porte une charge –q. Le champ électrique est radial (symétrie du problème).
−
=−
=−= ∫∫ ab
lq
rdr
lqdrrEU
b
a
b
aln
22)(
πεπε
==
bal
UqC
ln
2πε
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Calcul de l’inductance
IrrBrdBC
µπ ==⋅∫ )(2rr
==⋅=Φ ∫∫∫
Σ baIl
rdrIlSdB
a
bln
22 πµ
πµrr
Champ B(r)
Lignes de champ
a
br
Σ
On applique le théorème d’Ampère:C
=
Φ=
bal
IL ln
2πµ
On considère que le conducteur central porte un courant I entrant et que le conducteur externe porte un courant –I (sortant). Le champ magnétique est tangentiel (symétrie du problème).
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Notion d’éléments répartis• Les deux grandeurs L et C sont proportionnelles à l (longueur de la ligne).• C est proportionnelle à ε (permittivité électrique) et Lest proportionnelle à µ (perméabilité magnétique).Ces deux remarques sont générales pour les lignes uniformes (cas auquel nous nous limiterons).
L et C sont réparties tout le long de la ligne, on peut donc exprimer la capacité et l’inductance linéique de la ligne :
=
baln
2πεCF/m
=
baln
2πµ
LH/m
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Modèle sous forme de circuitTentons de modéliser cette réalité physique d’éléments répartis par un circuit équivalent :
Cellule élémentaire
Il est clair qu’en régime variable, le courant et la d.d.p.n’ont aucune raison d’être constants le long de la ligne.En courant continu on retrouve évidemment deux « fils » parfaits (rappel: on néglige les résistances).
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Equations des télégraphistes
tVzI
tIzV
∂∂
−=
∂∂
−=
δδ
δδ
C
L
Lδz
C δzV V+δV
I I+δI
z+δzzOn en tire les « équations des télégraphistes » (sans pertes) :
Cellule élémentaire :
(4) 0
(3) 0
2
2
2
2
2
2
2
2
=∂∂
−∂∂
=∂∂
−∂∂
tI
zI
tV
zV
LC
LC
(2) 0
(1) 0
=∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
tV
zI
tI
zV
C
L Séparation
de I et V
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Equations d’ondesOn obtient deux équations aux dérivées partielles identiques de la forme :
2
2
22
2 1tU
vzU
∂∂
=∂∂ C’est une équation d’onde ou équation de
d’Alembert (écrite pour la première fois pour l’étude des cordes vibrantes).
L’équation de d’Alembert admet de très nombreuses solutions, on peut montrer que :
)()(),( vtzgvtzftzU ++−=est une solution générale (f et g sont deux fonctions arbitraires). f(z-vt)représente une fonction qui se déplace « en bloc » vers les z croissants lorsque t augmente et à la vitesse v. g(z+vt) se déplace évidemment à la même vitesse mais vers les z décroissants.
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Vitesse des ondesNous pouvons maintenant calculer la vitesse des ondes de tension ou de courant sur la ligne :
LC1
=v Nous pouvons remplacer L et C par les expressions trouvées pour la ligne coaxiale.
Les constantes géométriques disparaissent, seules interviennent : ε0 = 1/(36π109) F/m, µ0 = 4π10-7 H/m et εr , µr (= 1 pour le vide, > 1 pour les diélectriques et les matériaux magnétiques).
rr
vµµεεεµ 00
11==
1-8
79
00
m.s 103104
10361
11×=
×××
==−π
πµε
c c est la vitesse de la lumière dans le vide.
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Vitesse des ondes (suite)
rr
cvµε
=v est inférieur ou égal à c pour les diélectriques classiques. 1/√εrµr est appelé coefficient de vélocité de la ligne.
Ce résultat important a été obtenu pour un cas particulier (ligne coaxiale), mais il est valable pour toutes les lignes uniformes à deux conducteurs distincts et à diélectrique homogène.
0,329,7Alumine0,712,0Téflon0,662,3Polyéthyléne
Coefficient de vélocité
εrMatériau
Quelques paramètres de matériaux couramment utilisés pour fabriquer des lignes (µr = 1).
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Impédance caractéristiqueOn a deux équations d’ondes identiques pour la tension et le courant (équations 3 et 4). Mais y a t’il un lien entre V et I ?
Prenons le cas d’une ligne infinie alimentée par un générateur de tension (V = 0 et I = 0 à t = 0). Celui-ci crée une onde de tension qui se propage vers les z croissants :
V(t) I(t)
vtzuuftzV −== avec )(),(Calculons les dérivées partielles par rapport à l’espace et au temps :
zVv
tV
uufv
ttzV
uuf
ztzV
∂∂
−=∂∂
∂∂
−=∂
∂∂
∂=
∂∂
donc
)(),(et )(),(
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Impédance caractéristique (suite)Remplaçons la relation précédente dans l’équation (1) :
tI
tIv
tV
tI
tV
v
∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
+∂∂
−
CL
L
L 01
CL
=IV
En intégrant par rapport au temps :
La ligne infinie se comporte, vue du générateur, comme une simple résistance ! Physiquement cela correspond au fait que l’énergie fournie par le générateur s’éloigne à l’infini et n’est jamais restituée à celui-ci.
CL
−=IVEn partant de g(z+vt) (onde se
propageant vers les z décroissants), on aurait obtenu :
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Exemple de calcul de ZcDans un cas plus général (lignes avec pertes), cette résistance est plutôt une impédance, elle est appelée impédance caractéristique de la ligne.
Calculons l’impédance caractéristique de la ligne coaxiale :
=
==
ba
baZ
r
rc ln
21ln
21
0
0
πεµ
εµ
πεµ
CL
Zc est proportionnel à √µ/ε et à un facteur géométrique. Bien qu’obtenue dans un cas particulier, cette forme est très générale. Seul change le facteur géométrique entre les différents types de lignes.
Ω==×××== − 3771201036104 97
0
00 πππ
εµZ Impédance
du vide.
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Exemple de calcul de Zc (suite)Calculons l’impédance caractéristique d’une ligne coaxiale à air, pour laquelle a/b = 2.
Ω≈=×= 42)/ln(60)/ln(21120 babaZc π
π
C’est une impédance relativement basse. En général, les impédances caractéristiques des lignes vont de quelques Ω à quelques milliers d’Ω. Pour uniformiser certains systèmes (en particulier lorsqu’il y a des connecteurs), les impédances caractéristiques ont été normalisées : elles sont généralement de 600 Ω en téléphonie, de 100 Ω dans les réseaux informatiques, de 50 Ω en électronique haute fréquence professionnelle et de 75 Ω en électronique HF grand public.
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Autres lignes courantesLigne à fils parallèles (D>>d) :
D
d
dDZ
dDd
Dr
rc
2ln120;2ln;2ln
εµπε
πµ
=== CL
Ligne à plaques parallèles (w>>a) :
waZ
aw
wa
r
rc ε
µπεµ 120;; === CLa
w
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Exemples de lignesCâble pour réseau informatique à paires torsadées 100 Ω.
Ligne à fils parallèles
300 Ω.
Câble coaxial semi-rigide pour hyperfréquences (50 Ω, diamètre 3,6 mm).
tressegaine
Câble coaxial 50 Ω
(diamètre 11 mm).
âmediélectrique
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Ligne finie ?Premier cas : Ligne chargée par son impédance caractéristique Zc. On place l’origine des z au niveau de la charge.
V(t) I(t)
CL
=R
L’onde venant du générateur ne voit pas de discontinuité d’impédance en z = 0. En tous les points de la ligne, le courant et la tension ont la même valeur que si la ligne se continuait indéfiniment. L’énergie n’est jamais restituée comme dans le cas de la ligne infinie (elle est transformée en chaleur dans R).
Lorsque R = Zc la charge est dite « adaptée » en impédance à la ligne.
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Ligne finie (suite)
cZIV=
Deuxième cas : Imaginons deux impulsions identiques créées par deux générateurs de tension situés à chaque extrémité de la ligne. Les deux impulsions se rencontre en z = 0.
z
Vv v
Iv
v
cZIV
−=
z
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Ligne finie : cas du C. O.Les impulsions se superposent linéairement (en chaque point, la d.d.p.vaut la somme des d.d.p. des deux impulsions, le courant vaut la somme des courants des deux impulsions). En z = 0, on remarque que le courant est tout le temps nul ! En ce point, la tension vaut le double de ce qu’elle vaudrait avec une seule impulsion.
On peut donc couper la ligne en z = 0 sans rien changer au problème. Une ligne interrompue (en « circuit ouvert ») engendre donc une onde de tension de même signe se propageant dans la direction opposée à l’onde incidente (réflexion).
I(t)V(t) C. O.
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Ligne finie : cas du C. C.Troisième cas : Même raisonnement avec deux générateurs créant des impulsions de tension de signe opposé. Cette fois c’est la tension qui s’annule en z = 0. Le courant est lui deux fois plus élevé.
I(t)V(t) C. C.
On peut donc court-circuiter la ligne en z = 0 sans rien changer. Une ligne interrompue et fermée par un court-circuit engendre une onde de tension de signe opposé se propageant dans la direction opposée à l’onde incidente.
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Ligne finie : cas généralDans le cas général (ligne chargée par une résistance R quelconque), deux ondes de direction opposée se propagent sur la ligne.
I(0,t)
R V(0,t)
Par commodité, notons Vi(z,t) (i pour incident) et Vr(z,t) (r pour réfléchi) les fonctions f et g introduites précédemment.
c
r
c
i
ri
ZtzV
ZtzVtzI
tzVtzVtzV),(),(),(
),(),(),(
−=
+= En
ri
ric VV
VVZtItVR
−+
==),0(),0(
z = 0
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Coefficients de réflexionOn appelle ρv = Vr / Vi le coefficient de réflexion en tension, on trouve :
1
1
+
−
==
c
c
i
rv
ZRZR
VVρ
En remplaçant R par Zc, ∞ et 0, on retrouve les trois cas particuliers examinés précédemment.
On peut aussi définir le coefficient de réflexion en courant ρi = Ir / Ii.
v
c
c
i
ri
ZRZR
II ρρ −=
+
−
==1
1
),(),(),(),(),(),(
tzItzItzItzIZtzIZtzV
ri
rcic
+=−=
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R / Zc
ρv
+1
-1-1
+1
Adaptation
Amplification + Atténuation +
Amplification -Atténuation -
Représentation graphique
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Exemples (1)
Géné. + Att.(sans câble)
Echo !Amplituderéduite
1 2
Générateurd’impulsions70 ns Att.
Oscilloscope 100 MHz
37,7 m de câble coaxial 50 Ω
Différentes charges
Avec câble(CO)
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Exemples (2)
Circuit Ouvert Charge 50 Ω (adaptée) Court Circuit
L’atténuateur se comporte comme une charge adaptée Pas d’écho Echo négatif
v =37,7 m190 ns
= 1,98x10 m/s8 Coeff. de vélocité = 0,66
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Exemples (3)Même expérience avec des impulsions de 1,2 µs …
Circuit Ouvert Charge 50 Ω (adaptée) Court Circuit
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Exemples (4)Avec un générateur d’impédance 250 Ω (impulsions de 70 ns).
Court CircuitCircuit Ouvert
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Lignes en régime sinusoïdalConnectons une ligne de transmission à un générateur sinusoïdal.Tous les concepts vus précédemment restent valables.Utilisons la notation complexe avec la convention usuelle :
tjG VV ωe0=
Ecrivons les équations des télégraphistes en régime sinusoïdal :
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
=+∂∂
=+∂∂
Ivz
I
Vvz
V
ω
ωLes solutions sont de la forme :
V
+
−
+
−
+=
+=
zv
tj
r
zv
tj
i
zv
tj
r
zv
tj
i
IItzI
VVtzωωωω
ωωωω
ee),(
ee),(
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Constante de phase
βλππω===
Gvf
v22
m-1
Fréquence du générateurLa périodicité temporelle de la tension induit une périodicité spatiale le long de la ligne (λG).β est appelée constante de phase, v est la vitesse de phasede l’onde.Longueur d’onde guidée
Réécrivons les solutions avec cette notation :
( )( ) tjzj
C
rzj
C
itjzjr
zji
tjzjr
zji
ZV
ZVIItzI
VVtzV
ωββωββ
ωββ
eeeeee),(
eee),(
−=+=
+=
−−
−
Se propage vers les z croissants
Se propage vers les z décroissants
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Coefficient de réflexion
ri
ricL VV
VVZtItVZ
−+
==),0(),0(
La ligne est chargée par une impédance quelconque ZL :I(0,t)
ZL V(0,t)
1
1
+
−
=+−
==
C
L
C
L
CL
CL
i
rv
ZZZZ
ZZZZ
VVρ
Coefficient de réflexion en tension de la charge. Dans le cas général c’est un complexe.
vi ρρ −=
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Impédance d’entrée d’une ligneZL
Ligne de transmission
ZC
Est équivalent à :l z = 0z = - l
ZE Quelle est la valeur de ZE ?
( )( ) lj
CLCL
ljCLCL
Cljv
ljv
Cljr
lji
ljr
lji
CE eZZZZeZZZZZ
eeZ
VVVVZZ β
β
β
β
ββ
ββ
ρρ
2
2
2
2
11
eeee
−
−
−
−
−
−
−−+−++
=−+
=−+
=
ljZZljZZZ
ljZlZljZlZZZ
LC
CLC
LC
CLCE β
βββββ
tantan
sincossincos
++
=++
=
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Rapport d’ondes stationnairesSi ZL ≠ Z C , l’onde incidente interfère avec l’onde réfléchie : une onde stationnaire apparaît.Des ventres de tension se produisent aux endroits où l’onde incidente est en phase avec l’onde réfléchie.Des nœuds de tension se produisent aux endroits où l’onde incidente est en opposition de phase avec l’onde réfléchie.
ri
ri
VVV
VVV
−=
+=
min
max
v
v
VVS
ρρ
−+
==11
min
maxR.O.S. (Rapport d’Ondes Stationnaires) ou T.O.S. (Taux d’Ondes Stationnaires). En anglais : V.S.W.R. (Voltage Standing Wave Ratio).
© J.-F. Lampin 2005 40
Variation de ZE
minmin I
ZV
ZVV
ICC
ri ==−
=ri VVV +=max∗ En ce point :
CSZIVZ ==
min
maxmaxOn a donc un maximum d’impédance :
maxmax I
ZV
ZVV
ICC
ri ==+
=ri VVV −=min∗ En ce point :
SZ
IVZ C==
max
minminOn a donc un minimum d’impédance :
CEC SZZ
SZ
≤≤On peut donc encadrer ZE :
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Ondes progressives et stationnairesV
d.d.p.instantanée aux bornes de ZL
Onde progressive pure (ZL = ZC, S = 1)
ZL
z
V
Nœuds de tension
Ventres de tension λG/2
z
C.C.
Onde stationnaire pure (ZL= 0, S = ∞)
© J.-F. Lampin 2005 42
Amplitude le long d’une ligneTension incidente constante quel que soit le ROS (l’onde réfléchie n’atteint pas le générateur).
Puissance constante quel que soit le ROS.
Attention : risques de claquage de la ligne ou de composants du générateur en cas de forte désadaptation.
I
DestructionV
Tension Cte
CC
CO
Courant Ct
Puissance Cte
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PuissancesPuissance disponible d’un générateur :C’est la puissance qu’il délivre à une charge lorsque celle-ci a pour impédance le conjugué de l’impédance interne du générateur.
Puissance utile délivrée à une charge :
( ) ( )*2 Re211 VIPP vdu =−= ρ
Tension et courant crête dans la charge
Il est conseillé de placer un atténuateur ou un isolateur derrière un générateur pour le protéger en cas de ROS trop important. Certains sont protégés grâce à un système qui consiste à baisser la puissance disponible lorsque le ROS est trop élevé.
!
© J.-F. Lampin 2005 44
Cas particuliersCE ZZ =Ligne adaptée : ZL = ZC, ρv = 0, S = 1
ljYYljZZ
CE
CE
ββ
cottan
−==
ljYYljZZ
CE
CE
ββ
tancot
=−=Ligne en circuit ouvert :
ZL = ∞, ρv = +1, S = ∞
Ligne en court-circuit :ZL = 0, ρv = -1, S = ∞
Impédances ou admittances imaginaires pures(comme pour une inductance ou une capacité)
« STUB »
L
CE
G
G
ZZZ
l
2
242
=
=×=πλ
λπβLigne ou transformateur quart d’onde :
ZL est quelconque, on ne peut rien dire sur ρv et S.
« SLUG »
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Exemple (1)
1 2
GénérateurSinusoïdalHF Att.
Oscilloscope 100 MHz
37,7 m de câble coaxial 50 Ω
Différentes chargesLa longueur de câble correspond à λG/4 pour λG = 150,8 m. Soit f = 0,66 x 3.108 / 150,8 = 1,31 MHz.
La longueur de câble correspond à λG/2 pour λG = 75,4 m. Soit f = 0,66 x 3.108 / 75,4 = 2,62 MHz.
© J.-F. Lampin 2005 46
Exemple (2)
f = 1,31 MHz
Charge 50 Ω Court Circuit Circuit Ouvert
f = 2,62 MHz
© J.-F. Lampin 2005 47
L’abaque de Phillip H. Smith (1)
ljv
ljv
C
E
ee
ZZ
β
β
ρρ
2
2
11
−
−
−+
=Reprenons l’équation déjà vue :
l
ZL
Lorsque l’on déplace le générateur par la pensée grâce à une « ligne télescopique » le coefficient de réflexion ρv est multiplié par e-2jβl. Le module du nombre complexe ne change pas. Mais dans le plan complexe, le point représentant le coefficient de réflexion subit une rotation de 2βl radians dans le sens opposé au sens trigonométrique.
© J.-F. Lampin 2005 48
L’abaque de Phillip H. Smith (2)η
Point représentant le coefficient de réflexion de la charge.
Rotation de 2βl radians
La modification du coefficient de réflexion lorsque l’on fait varier la longueur de la ligne se calcule très facilement (rotation dans le plan complexe). Mais on a souvent besoin de calculer les impédances correspondantes (voir formule de la page précédente). On peut construire un abaque pour faire ce calcul de façon graphique.
ξQuelques cas particuliers:l=λG/8 Angle = π/2 (un quart de tour)l=λG/4 Angle = π (un demi-tour)l=λG/2 Angle = 2π (un tour)l=λG Angle = 4π (2 tours)Point représentant le coefficient de
réflexion de l’ensemble tronçon de ligne + charge.
© J.-F. Lampin 2005 49
L’abaque de Phillip H. Smith (3)z = ZE/ZC est l’impédance réduite (sans unité).
Correspondance impédance réduite ⇔ coefficient de réflexion
ηξηξ
jjjxr
−−++
=+11
ρρ
−+
=11z
ηξρ jjxrz
+=+=
avec
( )( )
( ) 22
22
22
12
11
ηξη
ηξηξ
+−=
+−+−
=
x
r( )
( ) 2
22
22
2
111
11
1
xx
rrr
=
−+−
+=+
+−
ηξ
ηξ
© J.-F. Lampin 2005 50
L’abaque de Phillip H. Smith (4)Le lieu des impédances à partie réelle constante se représente dans le plan complexe des coefficients de réflexion comme un cercle de centre (r/(1+r),0) et de rayon 1/(1+r) (tous les cercles passent par (1,0)).
Le lieu des impédances à partie imaginaire constante se représente dans le plan complexe des coefficients de réflexion comme un cercle de centre (1,1/x) et de rayon 1/x (tous les cercles passent par (1,0)).
(1,0)r = x = ∞
r = 0
r = 1r = 3
x = 1x = 2
x = -2
x = -1
x = 1/2
x = -1/2
x = 0
η
ξ
η
ξ
r = 1/3
© J.-F. Lampin 2005 51
Vers le générateur
Vers la charge
z = 0,6 + 1,4j = z / Z0soit Z = 30 + 70j Ω(Z0 = 50 Ω)
52 m
m
76 mm
52 mm
68,0mm 76mm 52
==vρ
y = 0,25 - 0,6j = y / Y0soit Y = 5 – 12 mS(Y0 = 1 / Z0= 20 mS)
Phase de ρv = 65°
52 mm
L’abaque de Phillip H. Smith (5)
CC CO
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L’abaque de Phillip H. Smith (6)
ηξηξ
jj
zy
++−−
==111
ηξηξ
jjjxrz
−−++
=+=11
Donc :
ηηξξ
−→−→ On passe donc de z à y par une symétrie centrale par
rapport au centre de l’abaque.
Abaque classique (parties réelles positives ou ρ < 1). Au-delà, les parties réelles sont négatives (ρ>1).
© J.-F. Lampin 2005 53
Atténuation le long des lignes (1)Dans tous les calculs précédents nous avons considéré des métauxet des diélectriques parfaits (résistivité nulle pour les premiers, constante diélectrique purement réelle pour les seconds). On modélise ces pertes par des résistances dans le schéma équivalent.
zVtVzI
zItIzV
δδδ
δδδ
GC
RL
−∂∂
−=
−∂∂
−=
z+δz
G δz
z
R δzL δzI I+δI
V C δz V+δV
( )
( ) 0
0
=++∂∂
=++∂∂
VjzI
IjzV
ω
ω
CG
LRΩ/m
S/m
Equations des télégraphistes avec pertes :
© J.-F. Lampin 2005 54
Atténuation (2)Séparation de I et V :
Iz
I
VzV
22
2
22
2
γ
γ
=∂∂
=∂∂( )( )
( )( ) 0
0
2
2
2
2
=++−∂∂
=++−∂∂
IjjzI
VjjzV
ωω
ωω
CGLR
CGLR
On retrouve les équations sans pertes si R = G = 0
( )( ) βαωωγ jjj +=++= CGLRSolutions :
( ) ( )( ) ( ) )()(
)()(
,
,ztjz
rztjz
iz
rz
itj
ztjzr
ztjzi
zr
zi
tj
eeIeeIeIeIetzIeeVeeVeVeVetzV
βωαβωαγγω
βωαβωαγγω
+−−−
+−−−
+=+=
+=+=
Atténuation exponentielle des ondes de tension et de courant
© J.-F. Lampin 2005 55
Atténuation (3)
−+≈
++
=ωωω
ωLR
CG
CL
CGLR
221 j
jjZC
( )ωαβωβα
LGRCLCRG
+=−=−
2
222 Si les pertes sont faibles, on peut considérer que :
2
22
ω
βα
LCRG <<
<<
+≈
≈
CL
GLC
R
LC
21α
ωβm-1
m-1
Exemple : si R = 1 Ω/m, G = 0 S/m et Zc= 50 Ω.α= 0,01 m-1 = 0,087 dB/m.Soit 8,7 dB pour 100 m.On verra dans la suite du cours que R n’est pas constante en fonction de la fréquence.
© J.-F. Lampin 2005 56
Remarque sur les unités (1)Comparons le module de la tension à l’entrée et à la sortie d’une ligne de longueur l (on suppose qu’il n’y a pas d’onde réfléchie) :
−=
= −
e
s
les
VV
l
eVV
ln1α
αL’unité est normalement le m-1(du point de vue physique). Toutefois, on a quand même donné une unité au logarithme du rapport pour ne pas le confondre avec un rapport simple: le Neper (Np).
Exemple : Un câble qui a une atténuation de 1 neper par mètre atténue la tension d’un facteur 1/e ( ≈ 0,37) par métre de ligne parcourue.Cette unité est utilisée par les physiciens. Les « ingénieurs » utilisent plutôt une unité analogue mais basée sur le logarithme décimal et des rapports de puissances.
© J.-F. Lampin 2005 57
Remarque sur les unités (2)
=
e
s
PPA log
Bel (B)
=
e
s
PPA log10
DéciBel (dB)
( )( )
=
=
e
S
eS
Se
VV
VZVZ
A log20Re
Relog10 2
2
DéciBel (dB)si Re(Ze) = Re(Zs)
Grâce à cette unité on peut aussi exprimer des tension ou des puissances absolues :
=
W1log10 pP
=
mW 1log10 pP
=
V 1log20
µuU
dBW dBm dBµV
Exemple: un câble qui a une atténuation de 10 dB pour 100 m, divise par 10 la puissance pour chaque tronçon de 100 m (1 Np = 8,686 dB).
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ExemplesAtténuation en dB/100 m de quelques câbles classiques :
__65,63916,1_50RG-58 C/U
136,190,937,125,6__50UT-141
____33,09,7100CAT6 FTP
__29,215,47,2_50RG-213
10 GHz5 GHz1 GHz500 MHz
100 MHz
10 MHz
Zc (Ω)Type
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Conclusion de la partie IQuand doit-on appliquer la théorie des lignes de transmission ?Lorsque la plus grande dimension du « circuit » devient non négligeable devant la longueur d’onde des fréquences les plus élevées traitées par le circuit (par exemple : l>λG/10).
f = 50 Hz, λG = 6000 km, λG/10 = 600 kmf = 10 GHz, λG = 3 cm, λG/10 = 3 mm
Applications :• Transmission à distance d’informations : câbles téléphoniques, réseaux informatiques, télévision par câbles …• Circuits électroniques : on doit prendre en compte les effets de propagation dans les circuits traitant des hautes fréquences. Onpeut même en tirer parti pour toutes sorte d’applications (adaptation d’impédance, traitement de signal etc …). Ces applications seront vues plus en détail dans l’U.A. Radiocommunications.
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Annexe : échelles radiales de l’abaque de Smith
• ROS = SWR ou VSWR = S• ROS (dB ou dBS) = 20 log S• Coefficient de réflexion en puissance (dB) = Return Loss = -10 log |ρ|2• Coefficient de réflexion en puissance = |ρ|2• Coefficient de réflexion V,I = |ρv|= |ρi|• Pertes d’adaptation (dB) = Reflexion Loss = -10 log(1- |ρ|2)• Augmentation de tension crête (à puissance constante) = √S• Coefficient de transmission en puissance = 1 - |ρ|2
Les autres échelles servent principalement lorsque l’on tient compte des pertes lors de calcul avec l’abaque de Smith.
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