Université Claude Bernard – Lyon 1 · ISFA-Université Lyon I 2006/2007 Keywords: portfolio selection, Value-at-Risk, Normality, GARCH model, GPD model Abstract In this work, we

Mémoire présenté devant l’Institut de Science Financière et d’Assurances

le

pour l’obtention du Master Recherche

Sciences Actuarielle et Financière

Par : Faleh Alaeddine Titre : Analyse comparative de modèle

d’allocation d’actifs dans le plan Moyenne-VaR relative

Confidentialité :

Composition du jury des mémoires : Entreprise :

Membres du jury des mémoires M. AUGROS Jean-Claude Directeur de mémoire : M. LAURENT Jean-Paul

M. LEBOISNE Nicolas

M. LOISEL Stéphane M. PLANCHET Frédéric M. QUITTARD-PINON François

M. RULLIERE Didier M. TCHAPDA Idriss

Invité : Secrétariat :

Mme BARTHELEMY Diane

Mme BRUNET Marie Mme GARCIA Marie-José Mme GHAZOUANI Soundous Mme MOUCHON Marie-Claude

Bibliothèque : Mme SONNIER Michèle

50 avenue Tony Garnier 69366 LYON cedex 07

Université Claude Bernard – Lyon 1 INSTITUT DE SCIENCE FINANCIERE ET D'ASSURANCES

ISFA-Université Lyon I 2006/2007

Mes sincères Remerciements à Monsieur Jean Claude Augros qui m’a donné sa confiance tout au long de ce travail de recherche Monsieur Didier Rullière qui m’a soutenu à travers ses précieux conseils, critiques et suggestions Toute l’équipe administrative de l’ISFA qui m’a gentiment accueilli et orienté tout au long de l’année universitaire

Mots clés: allocation d’actifs, Valeur à Risque, Normalité, modèle GARCH, modèle GPD

Faleh Alaeddine-master recherche SAF 1


Résumé

Dans ce travail, on présente un modèle de sélection du portefeuille optimal dans le

cadre de la Value-at-Risk (VaR). Le modèle de base maximise l’espérance de rendement du

portefeuille sous la contrainte d’un niveau de VaR limite préfixé par l’investisseur. Pour cela,

différents modèles d’estimation de la VaR sont utilisés : le modèle Empirique, le modèle

GARCH, le modèle GPD. L’étude empirique se base sur deux actifs risqués : le Nasdaq 100

et le S&P 500 et ce pour une période de dix ans (1997-2007). Dans le cadre d’une période de

prévision, on détermine les recommandations optimales journalières en terme de montant à

emprunter ou à prêter ainsi que les poids optimaux des deux indices dans le portefeuille

risqué. On compare ensuite la performance des trois modèles en se référant au critère de taux

d’échec minimal et au critère de la richesse finale maximale. Les résultats montrent la

dominance du modèle GPD pour le premier critère et la supériorité du modèle Empirique pour

le deuxième critère.

Faleh Alaeddine-master recherche SAF

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Keywords: portfolio selection, Value-at-Risk, Normality, GARCH model, GPD model

Abstract In this work, we propose an optimal portfolio selection model in a Value-at-Risk

(VaR) framework. The general model allocates financial assets by maximising expected

returns subject to the constraint that expected maximum loss should meet the Value-At-Risk

limits set by the investor. Different models for the estimation of the VaR are used: Empirical

model, GARCH model and GPD model. We provide an empirical analysis using two risky

assets: Nasdaq100 and S&P 500 over ten years (1997-2007). In an out-of-sample context, we

determine the best daily recommendations in terms of the wealth to borrow or lend and the

optimal weights of the assets in the risky portfolio. We compare the three models performance

using the failure rate and the wealth achieved as instruments to determine the best model.

Results show that the GPD model outperforms other models relative to the first criterion. We

also find that Empirical model is preferred to other models relative to the second criterion.


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Introduction ……………………………………………………….p 5

I- La Value at Risk et la gestion de portefeuille I-1 Le concept de la Value at Risk ……………………………………p 8 I-2 Les paramètres de la Value at Risk ………………………………..p 11 I-3 Les principaux méthodes de mesure de la Value at Risk ………….p 15 I-4 La Value at Risk dans la littérature de la gestion de portefeuille ….p 21

II- L’allocation optimale dans le plan Moyenne – VaR relative II-1 La modélisation du problème d'optimisation du portefeuille …….p 25 II-2 Le cadre de l’étude empirique …………………………………….p 30 II-3 L’application des méthodes de mesure de la Value at Risk ………p 33 II-4 La construction des frontières d’efficience ……………………….p 34 II-5 L’allocation optimale dans le cadre statique ……………………...p 34 II-6 L’allocation optimale dans le cadre dynamique …………………..p 37 Conclusion …………………………………………………………………p 41 Annexes …………………………………………………………………….p 42 Bibliographie ………………………………………………………………...p 56


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L'optimisation d'allocation d'actifs devient de plus en plus un enjeu important sur les

marchés financiers. Les coûts relatifs à une mauvaise gestion de portefeuille et à un erreur de

prévision des tendances du marché peuvent engendrer des situations financières précaires

pour les sociétés voir même les exposer au risque de faillite.

En théorie moderne de portefeuille, l'allocation optimale de la richesse initiale se base

sur la maximisation de la prime de risque espéré par unité de risque. L'approche traditionnelle

de mesure de ce dernier est celle de la Moyenne Variance. Dans ce cas, le risque est définie en

terme de variation possible des espérances de rendement du portefeuille dans les deux sens,

celui de la hausse et de la baisse: on parle de la volatilité des actifs financiers. Elle est égale à

la racine carrée de la variance des rendements. Néanmoins, cette approche présente des

inconvénients. Le principal inconvénient est qu'elle considère l'investisseur comme indifférent

devant l'évolution de la valeur du portefeuille dans le sens de la hausse ou dans le sens de la

baisse. Il est supposé que pour lui, il s'agit toujours d'un risque à assumer. Un deuxième

inconvénient important est l'hypothèse implicite de la symétrie de la distribution des

rendements et plus précisément la normalité de cette distribution. En pratique, il est bien

montré que la distribution de plusieurs séries de rendements financiers est non normale avec

un coefficient d'asymétrie (skewness) et un coefficient d'aplatissement (kurtosis) trop élevés.

De même, les agents économiques traitent évidemment les pertes et les gains d'une façon

asymétrique. Il existe pas mal d'études sur l'aversion à la perte (voir par exemple, Kahneman

et al.1990).

Le choix de l'approche Moyenne Variance apparaît ainsi comme une stratégie

inefficiente pour optimiser l'espérance de rendement tout en minimisant le risque. Il sera plus

intéressant de chercher une mesure de risque qui peut incorporer n'importe quel non linéarité

dans la distribution des rendements des actifs financiers tout en se focalisant sur la valeur

potentielle à perdre plutôt que sur l'évolution en valeur absolue. Dans ce cas on aura

l'avantage de pouvoir considérer des payoff non normal tel que ceux des produite dérivés et

ainsi un cadre d'étude plus générale. Cependant, il faut signaler qu'en finance la déviation à


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l'hypothèse de normalité suggère des critiques dont on peut citer principalement la perte de

l'opportunité de passage d'un cadre discret à un cadre continue.

Dans ce cadre de recherche, la notion relativement récente de la Valeur à risque (Value

at Risk) apparaît être capable de répondre à la problématique présentée ci dessus. D'une part,

l'estimation de cette mesure de risque peut incorporer la composante de non normalité de la

distribution des rendements du portefeuille. D'autre part, cette mesure s'intéresse directement

au montant de la perte potentielle à subir sur l'investissement. En effet, la Value at Risk (VaR)

peut se définir simplement comme la perte potentielle maximale que l'investisseur peut subir

dans un horizon de temps donné et pour un niveau de probabilité fixé. La Value at Risk

mesure directement et en terme monétaire la perte future dans la valeur de portefeuille. Le

résultat additionnel résultant d'une non normalité peut être inclut et absorbé dans l'estimation

de la Value at Risk. Cette mesure semble à ce jour s'imposer comme le standard pour la

mesure des risques de marché dans l'industrie financière et surtout bancaire.

L’objectif de ce travail est d’analyser un modèle d’allocation optimale de la richesse

en se référant à la VaR comme la mesure du risque. On cherche aussi à valider les méthodes

d’estimation de la VaR incorporé dans ce modèle. Dans le premier chapitre, on s’intéresse à la

présentation de la VaR, de ses paramètres et des méthodes pratiquées pour son estimation. On

étudie aussi le concept de la VaR ainsi que sa relation avec la gestion de portefeuille tel que

cité en littérature financière.

Dans le second chapitre, on commence par présenter le modèle permettant de

déterminer la répartition optimale entre les actifs risqués d’un portefeuille. Ce modèle permet

aussi de calculer le montant de prêt emprunt nécessaire pour ramener la VaR du portefeuille

optimal à un niveau prédéterminé. Ceci nous rappelle du théorème de séparation de Tobin

(1958) dans l'approche traditionnelle de gestion de portefeuille. Ensuite, on élabore le cadre

empirique de notre étude avec des hypothèses sur les différents facteurs. Cette étude

empirique sera composé de trois parties : Dans la première partie, on applique et on analyse

les différentes méthodes d’estimations de la VaR cités dans le chapitre précédent. Dans la

seconde partie, on applique et on analyse les résultats de notre modèle dans un cadre statique.

Les méthodes d’estimation de la VaR retenue sont la méthode empirique, la méthode de

l’hypothèse de normalité et la méthode de la théorie des valeurs extrêmes (TVE ou aussi GPD

en se référant à la distribution de Pareto Généralisé). Dans la troisième partie, on passe à un


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cadre dynamique. L’objectif est de tester les trois approches d’estimation de la VaR dans notre

modèle générale. Pour cela, on procède à l’application de ce dernier pour une gestion

quotidienne sur 465 jours. On se réfère ensuite à un Backtesting en comparant les pertes

effectives des portefeuilles optimaux constitués quotidiennement avec les VaR limites prévues

par les investisseurs. Le critère retenu dans ce cas est donc le taux d'échec des prévisions pour

les trois approches. Un deuxième critère peut être retenu qui est celui de la richesse finale

obtenue à la fin de la période de gestion (après les 465 jours). Le modèle choisi sera celui qui

maximise cette richesse.


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I-1 Le concept de la Value at Risk :

Selon Berdin et Hyde (2001) la VaR est définie comme étant la mesure qui fournit une

estimation statistique de la perte potentielle sur un actif ou un portefeuille qui peut survenir

avec une probabilité donnée suite à des mouvements de prix ou de taux relativement adverses.

Ceci est valable sous l'hypothèse que pendant une période de temps (l'horizon de calcul de la

VaR) la composition du portefeuille resterait inchangée. D'après A. Louis Calvet (2000) la

VaR d'un portefeuille d'actifs financiers correspond au montant de pertes maximales sur un

horizon de temps donné, si l'on exclut un ensemble d'évènements défavorables (worst case

scénarios) ayant une faible probabilité de se produire. Une autre définition de la VaR peut être

avancée : il s'agit de la perte maximale par rapport à la valeur espérée du portefeuille et non

par rapport à la valeur initiale. Dans ce cas, on parle de la VaR relative. La figure 1 illustre la

notion de la VaR dans le cas d'une distribution normale centrale réduite des rendements du

portefeuille étudié. Dans ce cas, dire que la VaR à 95% pour un jour est égale à -1,645%

signifie qu'au maximum on aura 5 rendements sur 100, dans le jour suivant, qui soient

inférieures à -1,645%.

Figure 1 : Un exemple de la Value-at-Risk sous la distribution normale


8


Selon Paul Glasserman et al.(2000), deux événements ont concouru à l'adoption

généralisée de la VaR sur le secteur financier et un autre a favorisé son développement dans

les entreprises surtout américaines.

Le premier date de 1995. Réunis en comité à la banque des règlements

internationaux à Bale, les représentants des banques centrales de dix

grandes économies de l'ouest proposent de nouvelles règles amendant

l'accord de Bale de 1988 et imposant aux établissements financiers un

niveau de fonds propres proportionnels aux risques résultant de leurs

engagements. Officiellement adoptés en 1996, cette proposition incite les

banques à développer des modèles internes sophistiqués pour calculer leurs

VaR. En effet, elles peuvent ainsi espérer une diminution des fonds propres

qu'elles doivent détenir par rapport aux montants des fonds propres exigés

sur les autres banques qui se fondent sur les modèles standard (édictés par

les autorités de tutelle pour déterminer les besoins des banques en capitaux

propres). Ainsi, dès le départ, la recherche d'un allègement des obligations

règlementaires est un important facteur de la croissance de la VaR.

Le deuxième évènement s'est produit sur Internet. En 1994, la banque

américaine JP Morgan a mis gratuitement son système RiskMetrics à la

disposition de tous sur Internet. Ce système fournissait les données

financières et la méthodologie nécessaire au calcul de la VaR d'un

portefeuille. Les autres établissements financiers et les entreprises peuvent

utiliser le calculateur de VaR de RiskMétrics ou télécharger les données sur

leurs propres systèmes de gestion des risques. Très vite, sont apparus de

nouveaux fournisseurs de programmes de gestion des risques exploitant

RiskMetrics, transformant cette méthodologie en une référence

incontournable.

Un troisième évènement a probablement moins d'impact à ce jour, mais c'est l'un des

grands facteurs d'expansion de la VaR parmi les entreprises américaines. En 1997 aux Etats-

Unis, la Securities and Exchange Commission (SEC), préoccupée des risques cachés derrière

les instruments hors bilan, a émis des règles de communication relative aux produits dérivés

employés par les entreprises : celles-ci ont trois solutions pour faire état des risques associés


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aux instruments dérivés : tableau des valeurs de marché, mesure de sensibilité ou VaR. C'est

la raison pour laquelle les rapports annuels de Microsoft, de Philip Morris et de bien d'autres

grandes sociétés présentent maintenant des calculs de la VaR. Récemment, les

recommandations du comité Bale II publié en 2004 ont renforcé l’utilité de cette notion.

En ce qui concerne la littérature, plusieurs articles évaluent le risque de marché en se

basant sur la technique de la Valeur à Risque et ses différentes méthodes. La VaR donne lieu

à différents modèles d'évaluation qui lient le rendement des différents actifs aux différents

facteurs de risque :

› Le premier type de modèle repose sur la méthode des Variances Covariances

développée et diffusée par JP Morgan grâce à son système RiskMetricsTM en 1996. Cette

méthode qui se base sur une évaluation locale des positions est appelée aussi delta normal

(Jorion 2001).

› Le deuxième type de modèle utilisant une évaluation complète regroupe les

méthodes de simulation historique et de Monte Carlo.

Il existe une quatrième méthode complémentaire aux trois précédentes appelée " Stress

testing " recommandée par le régulateur pour évaluer la qualité des modèles de contrôle

interne. Lopez (1996) compare ces méthodes et répartit les aptitudes de chacune. Jackson et

al. (1997) examinent la possibilité de prédire la variance des facteurs de risque (taux d'intérêt,

prix de l'actif et taux de change). Ils comparent les méthodes paramétriques et non

paramétriques de la mesure de la VaR.

CrnKovic et Drahmann (1996) examinent la possibilité de prédire tous les paramètres

de distribution des facteurs de risque. Kupiec (1995) étudie le Backtesting pour le modèle de

la VaR et il examine la période du temps passé jusqu'au premier échec de l'estimation. A un

niveau plus tardif, le comité de Bale adopte ces épreuves comme une base pour examiner les

modèles internes des banques. Ces études ne fournissent pas des épreuves statistiques claires

et manquent d'exactitude quant aux méthodes d'estimation. La plupart d'entre eux traitent

l'exigence minimale du capital en utilisant plusieurs méthodes de calcul de la variance, et

aussi par l'utilisation des données historiques de marché plutôt que des simulations.


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Hendricks (1996), Pritsker (1997), Linsmeier et Pearson (1996), Jackson et al. (1997)

et Aussenegg et Pichler (1997) comparent l'approche standard, présentée par le Comité Bale

comme une alternative pour l'estimation du risque de marché, avec toutes les méthodes de

calcul de la VaR. Ces études examinent les avantages et les inconvénients de chaque méthode

en jouant sur les aspects suivants : le temps de calcul vis-à-vis de l'exactitude des évaluations

(Pritsker, 1997) ; l'adaptation aux régions géographiques différentes (Powell et Balzarotti,

1996) ; l'effet des instruments financiers inclus dans le portefeuille d'investissement

(Aussenegg et Pichler ,1997) .

Parmi les études qui examinent l'utilisation des modèles VaR, celle de Powell et

Balzarotti (1996) qui fait une comparaison entre l'utilisation du modèle VaR et l'approche

standard dans plusieurs pays latino américains. Powell et Balzarotti (1996) concluent que

l'approche standard est préférable à plusieurs modèles VaR. Plusieurs modèles internes font

des suppositions et des usages d'outils de mesures différentes qui peuvent produire des

résultats variables pour le même ensemble de paramètres du marché et de position dans le

portefeuille d'investissement. En outre, les modèles VaR sont très sensibles aux suppositions

et aux données estimées, surtout dans le contexte d'actifs qui ne sont pas fondamentalement

linéaires tels que les produits dérivés (Marshall et Seigel, 1997). Ces derniers notent que cette

sensibilité, accompagnée de la liberté des banques dans le choix de leurs modèles internes,

expose les systèmes bancaires et de surveillances au risque.

I-2 Les paramètres de la Value at Risk :

La VaR d'un portefeuille prend la forme d'un nombre unique par référence à une

période de détention, un certain niveau de confiance et une distribution statistique du

rendement du portefeuille. La prudence s'exprime par le choix intelligible de ces trois

paramètres.

La période de détention :

C'est la période sur laquelle les pertes potentielles sont estimées. Son choix dépend de

certains facteurs notamment de la fréquence de recomposition du portefeuille, de la liquidité

des actifs financiers qui y sont contenues, de l'utilisation de la VaR. Selon Jorion (2001) la

période de détention devrait correspondre à la plus longue période requise pour la liquidation

normale du portefeuille.


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En effet, pour que la mesure de risque soit significative, une hypothèse fondamentale

est implicitement faite sur la stabilité des positions considérées ainsi que la composition du

portefeuille jusqu'à l'échéance de détention. L'objectif est de ne pas trop s'écarter de la réalité.

La validité de cette hypothèse est plus ou moins vérifiée selon les activités. Ainsi, pour les

portefeuilles de commerce (constitués des crédits accordés et relèvent de la pure activité

d'intermédiation financière par les banques) l'horizon de calcul doit être d'un jour étant donné

le changement des positions et la liquidité élevée. Pour les portefeuilles de négociation,

l'ajustement étant plus lent, une durée de détention d'un mois peut se justifier. En ce qui

concerne la mesure des VaR pour les portefeuilles de négociation des institutions financières,

la réglementation impose une période de 10 jours ouvrables soit deux semaines.

Notons que comme le but de calcul de la VaR est la mesure du risque de la baisse du

cours de l'actif, l'horizon est préféré être court. Ceci mène à mieux cerner le champ de vision

et à éviter les déviations significatives probables des variables de marché de leurs fourchettes

normales.

Le niveau de confiance :

Le niveau de confiance est égal à un 1 moins la probabilité des évènements

défavorables. Il reflète le niveau d'incertitude qu'on est prêt à accepter. Par exemple, si la

mesure de la VaR se fait à un niveau de confiance de 95%, les pertes effectives devraient

dépasser notre estimation seulement 5% du temps. Si cela paraît inconfortable pour

l'investisseur, il peut utiliser une VaR de 99% et ne peut sous estimer alors que 1% des cas

probables. Autrement, s'il craint les risques, il s'arrangera pour que la probabilité des

évènements défavorables soit très petite.

Intuitivement, plus la mesure des pertes potentielles maximales est correcte, plus le

niveau de confiance devra être large afin de saisir au mieux toutes les situations envisageables

y compris les plus extrêmes. Notons dans ce même cadre que plus ce niveau est important,

plus la VaR sera élevée. Le niveau de confiance est le paramètre sur lequel il est le plus facile

de jouer, compte tenu de la dépendance des autres paramètres à d'autres considérations

externes à l'investisseur.


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La distribution des pertes et profits du portefeuille :

C'est le paramètre le plus important mais aussi le plus difficile à déterminer. Une

question fondamentale se pose : comment peut-on choisir une distribution pour la variable de

marché ? Idéalement, il faudrait un modèle qui soit simple et qui convienne le plus aux

observations empiriques. La méthode de calcul est déterminée par la distribution choisie pour

modéliser les pertes et profits du portefeuille. Empiriquement, trois principaux problèmes

dans les séries temporelles financières sont détectés. Le premier est la non stationnarité des

séries manifesté par la non stabilité des paramètres de la loi régissant les variables du

processus temporel. Le deuxième problème est le caractère leptokurtique de la distribution des

données qui consiste à des queues empiriques plus épaisses que celles considérés par la loi

mise en hypothèse, ceci a pour conséquence la sous estimation de la Value at Risk et donc du

risque assumé par l’investisseur. Le troisième problème est le phénomène de la dépendance

de la volatilité appelé la persistance de la volatilité (clustering) issu du constat en pratique du

fait que les volatilités élevées sont souvent suivies par des volatilités élevées et les volatilités

faibles sont souvent suivis par des volatilités faibles. Ce phénomène peut être pris en compte

par la famille des modèles ARCH-GARCH sur de courtes périodes d’estimation. La détection

de l’effet ARCH dans la série des observations reste à vérifier pour justifier ce type de

modélisation.

En théorie financière, une hypothèse de normalité des rendements est souvent adoptée

comme réponse à la problématique de la distribution des rendements des actifs financiers. En

effet, cette hypothèse accélère considérablement les calculs. Elle est bien adaptée dans

l’application de la méthode RiskMetricsTM (voir section suivante). Un test dit test de Jarque et

Bera (JB) permet de valider ou non la normalité de la distribution. Il tient compte

implicitement de deux paramètres essentiels : le coefficient d’asymétrie (Skewness) et le

coefficient d’aplatissement (Kurtosis).

Le premier paramètre (Skewness) est le moment d’ordre 3 et mesure l’asymétrie du

comportement des rendements autour de leur moyenne empirique. Son expression est la

suivante :

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

∑=

)2/3(21

3

)(

)(1σ

T

tt XX

TS


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Si S=0 la distribution est dite symétrique à l’instar de la loi normale. Si S>0 alors la densité de

la distribution s’étale vers la droite et on a une asymétrie positive. Si S3 la distribution présente des queues épaisses (fat

tails). Elle est dite leptokurtique. Si K


Notons que la stationnarité des rendements du portefeuille d’actions est une condition

nécessaire pour appliquer la méthode de simulation historique (voir section suivante). Le test

de racine unitaire ADF (augmented Dickey-Fuller) consiste à tester l’hypothèse nulle:

H0 existence d’une racine unitaire série non stationnaire

Ce test consiste à rejeter H0 si la statistique obtenue est inférieure à une valeur critique dite

valeur de MacKinnon.

I-3 Les principaux méthodes de mesure de la Value at Risk :

Mathématiquement, la notion de la Value-at-Risk se traduit ainsi:

cVaRV −=Δ 1)Pr( p

Avec: = la variation de la valeur V du portefeuille sur la période de détention. VΔ c = le niveau de confiance

Plusieurs modèles ont été présentés pour l'estimation de la Value-at-Risk (Manganelli

et Engle (2001)). L'élément clé qui distingue ces modèles est l'existence ou non d'une

hypothèse de para métrisation de la distribution des pertes et des profits. Ainsi on classera ces

méthodes en trois classes: les méthodes non paramétriques, les méthodes semi paramétriques

et les méthodes paramétriques.

I-3-1 Les méthodes non paramétriques : La méthode du quantile empirique :

La méthode du quantile empirique (ou Historical Simulation) est une méthode très

simple d'estimation des mesures de risque fondée sur la distribution empirique des données

historiques de rendements. Formellement, la VaR est estimée simplement par la lecture

directe des fractiles empiriques des rendements passés. Si l'on considère par exemple un

niveau de confiance de 95% et que l'on dispose d'un échantillon de 1000 observations

historiques de rendements, la VaR est donnée par la valeur du rendement qui correspond à la

50ème forte perte.


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La méthode du Bootstrap

Une amélioration simple de la méthode de la simulation historique consiste à estimer

la VaR à partir de données simulées par Bootstrap. Le Bootstrap consiste à ré échantillonner

les données historiques de rendements avec remise. Plus précisément, dans notre contexte, la

procédure consiste à créer un grand nombre d'échantillons de rendements simulés, où chaque

observation est obtenue par tirage au hasard à partir de l'échantillon original. Chaque nouvel

échantillon constitué de la sorte permet d'obtenir une estimation de la VaR par la méthode HS

standard, et l'on définit au final une estimation en faisant la moyenne de ces estimations

basées sur les ré échantillonnages.

I-3-2 Les méthodes semi paramétriques : La méthode basée sur la théorie des valeurs extrêmes :

Parmi les méthodes semi paramétriques figurent tout d'abord l'ensemble des méthodes

et approches qui relèvent de la théorie des extrêmes (TVE) qui diffère de la théorie statistique

habituelle fondée pour l'essentiel sur des raisonnements de type tendance centrale. Les

extrêmes sont en effet gouvernés par des théorèmes spécifiques qui permettent d'établir sous

différentes hypothèses la distribution suivie par ces extrêmes. Il existe deux principales

branches de la théorie des valeurs extrêmes : la théorie des valeurs extrêmes généralisée et

l'approche Peaks Over Threshold (POT) basée sur la loi de Pareto généralisée. L'approche

POT permet l'étude de la distribution des pertes excessives au dessus d'un seuil (élevé), tandis

que la théorie des valeurs extrêmes généralisée permet de modéliser la loi du maximum ou du

minimum d'un très grand échantillon. Dans ce qui suit, on procèdera à l’application de cette

approche. Pour cela, on définie la moyenne en excédent pour une distribution F par :

( )uXuXEue >−=)(

C’est simplement une fonction de u qui s’exprime à l’aide de la fonction de survie de F. Plus

les queues de distribution sont épaisses, plus cette fonction a tendance à tendre vite vers

l’infini.


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En pratique, si n est le nombre total de l’échantillon et si est le nombre d’observations au

dessus du seuil u, on a :

uN

{ }∑=

> >−=n

jjuxj

u

uxuxN

ue1

0),(1)(1)(ˆ

Le problème du choix de u reste entier. Usuellement, on trace cette fonction Mean Excess

pour différents niveaux du seuil u. Le bon seuil est celui à partir duquel e(u) est

approximativement linéaire. Graphiquement, cela se traduit par un changement de la pente de

la courbe qui ensuite reste stable. Ce résultat provient de la remarque que pour la distribution

de Pareto généralisée, e(u) est linéaire en u. Une fois le seuil optimal choisi, on construit une

nouvelle série d’observations au dessus de ce seuil, et la distribution de ces données suit une

distribution généralisée de Pareto, qui se définit comme suit :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

−

0 si exp1

0 si 11)(

1

,

ξβ

ξβξ ξ

βξx

x

xG avec 0>β .

ξ est appelée l’indice de queue. Le paramètre β est un indicateur de la taille de la queue à

une distance finie. L’estimation des paramètres ξ et β se fait par le maximum de

vraisemblance.

La densité de la distribution GPD s’écrit :

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≠+=

−

−−

0 siexp

0 si )(

1

111

,ξ

ββ

ξξββ ξξ

βξ xx

xg

Et la log vraisemblance que nous maximisons est de la forme :

{ }[ ]∑=

>=n

ttt xxgL

10, )(1)(ln),(ln ξβξβξ

Une fois l’estimation terminée, on peut vérifier graphiquement la pertinence des estimations

en comparant la distribution GPD estimée avec la distribution empirique des observations au

dessus du seuil. La Value-at-Risk pour un niveau de confiance c est obtenue par la formule :

)1))1((( −−+=∧

−∧

∧

ξ

ξ

β cNnuVaR

uc


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La simulation historique filtrée :

La méthode de la simulation historique filtrée est une forme de Bootstrap semi-

paramétrique qui vise à combiner les avantages de la simulation historique avec la puissance

et la flexibilité des modèles à volatilité conditionnelle tel que le modèle GARCH. Elle

consiste à faire un Bootstrap sur les rendements dans un cadre de volatilité conditionnelle, le

Boostrap préservant la nature non paramétrique de la simulation historique, et le modèle à

volatilité conditionnelle donnant un traitement sophistiqué de la volatilité.

I-3-3 Les méthodes paramétriques : La méthode de Variance Covariance :

Cette méthode connu aussi sous le nom de méthode Riskmetrics. Les principales

hypothèses simplificatrices consistent à supposer, d'une part, que les lois de probabilité qui

régissent les distributions des variations des prix de marché sont normales et, d'autre part, que

les instruments présentent un profil de risque linéaire. Sous ces hypothèses, la matrice de

Variances Covariances peut être appliquée assez directement aux positions détenues pour

calculer la VaR.

Ainsi, on aura: TSCSVaR =

Avec:

S = le vecteur des VaR pour chaque position ou facteur de risque= [... iiiq ωσ ...]

q i = le quantile de la loi normale

iσ = la volatilité historique des facteurs de risque

ω i = la part de la richesse investie dans le facteur i

C = la matrice des corrélations entre les facteurs de risque.

Les calculs utilisés dans la méthode RiskMetrics sont rapides et simples, et requièrent

uniquement la connaissance de la matrice des Variances Covariances des rendements du

portefeuille. Néanmoins, cette méthode s'avère être inadaptée aux portefeuilles non linéaires

(instruments optionnels), et théoriquement peu adaptée aux queues de distribution épaisses et

aux distributions non normales des rendements.


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La Simulation Monte Carlo :

La méthode de Monte Carlo consiste à simuler un grand nombre de fois les

comportements futurs possibles des facteurs de risque selon un certain nombre d'hypothèses,

et d'en déduire une distribution des pertes et profits à partir de laquelle on estime finalement

un fractile. Plus précisément, on peut considérer l'exemple de l'hypothèse de normalité. La

méthode Monte Carlo s'applique en trois étapes:

• La première étape consiste à simuler N scénario de l'évolution des facteurs de

risque. Un scénario est obtenu à travers la formule suivante:

tZS =Δ Avec :

S = le vecteur des facteurs de risque

t = la matrice résultant de la décomposition de Cholesky de la matrice des

Variances Covariances des facteurs de risque ( 'ttS =∑ )

Z = un vecteur de variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée et

réduite. On obtient suite à cette étape la série ( ). NSS ΔΔ ,....,1

• La deuxième étape consiste à déterminer les N variations respectives du

portefeuille. On obtient donc la suite ( ) des évolutions de la valeur

de la position initiale.

NLL ΔΔ ,....,1

• La troisième étape consiste à déterminer le quantile de la même façon que pour

la simulation historique à partir de la distribution simulée.

Si cette approche peut s'appliquer, en théorie, quelles que soient les lois de probabilité

suivies par les facteurs de risque, elle est couramment utilisée en pratique, pour des raisons

techniques, en supposant que les variations relatives des paramètres de marché suivent des

lois normales. Cette méthode convient également à tous les types d'instruments, y compris

optionnels, et permet de tester de nombreux scénarios et d'y inclure explicitement des queues

de distribution épaisses (événements extrêmes pris en compte dans une certaine mesure) (voir

Glasserman et al. (2001))


19


Méthodes basées sur les modèles GARCH

La méthodologie d'estimation de la VaR en se basant sur la modélisation GARCH est

largement étudiée en littérature (voir par exemple Christoffersen et al. (2001), Engle (2001)).

En ce qui concerne la détection de l’effet ARCH dans la série des observations, deux

principaux tests complémentaires peuvent être effectué. Le premier s’intéresse au phénomène

d’auto corrélation entre les termes d’erreur au carré du modèle : Test Q (p) de Ljung-Box

(1978). Si le processus est ARCH, les résidus au carré doivent être corrélés. L’hypothèse nulle

est l’absence d’auto corrélation d’ordre p. La statistique du test est supposée suivre une loi χ2

avec p degrés de liberté. Le deuxième test d’intéresse plutôt au phénomène

d’homoscédasticité (constance de la volatilité des termes d’erreur): Test ARCH (p) d’Engle

(1982). Ce test vérifie l’absence d’hétéroscédasticité autorégressive conditionnelle d’ordre p.

Si le processus est ARCH, les résidus au carré doivent être hétéroscédastiques. L’hypothèse

nulle est celle de l’homoscédasticité. La statistique du test est supposée aussi suivre une loi χ2

avec p degré de liberté. La règle de décision est la même pour les deux tests: accepter H0 si la

statistique du test est inférieure à la valeur critique de la loi χ2 avec p degrés de liberté à un

niveau de confiance donné. Notons que pour tester l’effet GARCH (p, q), il suffit de procéder

à un test d’effet ARCH (p+q).

La prévision de la Value-at-Risk à partir d'un modèle GARCH est effectué selon une

démarche indirecte: dans un premier temps, on fait une hypothèse sur la distribution

conditionnelle des rendements de l'actif, puis l'on estime les paramètres du modèle GARCH

sur les observations de la période 1 à T, généralement par une procédure de type maximum de

vraisemblance. Dans une seconde étape, on déduit du modèle GARCH estimé une prévision

de la variance conditionnelle, qui couplée à l'hypothèse retenue sur la distribution des

rendements, permet de construire une prévision sur le fractile de la distribution de pertes et

profits valable pour T+1.

Considérons l'exemple d'un modèle GARCH sous hypothèse d'une distribution

quelconque (normale, student...) de paramètre v.


20


On suppose ainsi que les rendements d'un actif, notés , satisfont le modèle suivant : tr

tt cr ε+=

ttt z σε =

2 112

1102

−− ++= ttt σβεαασ

Les sont indépendantes identiquement distribués selon la loi mise en hypothèse. Les

paramètres

tz

0α , 1α , 1β ,c sont des réels à estimer vérifiant les contraintes suivantes:

00 fα , 01 ≥α , 01 ≥β (v peut aussi faire partir des paramètres à estimer comme dans le cas

de la distribution de student).

Le terme désigne la variance conditionnelle du résidu )\( 1-t2 εεσ tt E= tε et donc des

rendements . Une fois les variables sont estimées (par la méthode de maximum de

vraissemblance par exemple), on obtient l’expression suivante:

tr

21

210

2

1 ttt σβεαασ∧∧∧

+

∧

++=

Avec 21σ donné et donc :

21

210

2

1 )( ttt cr σβαασ∧∧∧∧

+

∧

+−+=

Soit la fonction de répartition de la loi de . La Value-at-Risk pour t+1 et pour un ),(1 vG α− tz

niveau de confiance 1-α obtenue par la formule suivante:

∧∧−

+

∧∧

+ += cvGVaR tt ),(111 ασ

I-4 La VaR dans la littérature de la gestion de portefeuille

Depuis longtemps, les chercheurs dans le domaine de la finance reconnaissent

l'importance cruciale de la mesure du risque d'un portefeuille d'actifs financiers dans le

processus d'optimisation de l'allocation d'actifs. Ce souci remonte à quatre décennies lorsque

Harry Markowitz (1952) initiant les recherches sur la sélection de portefeuille explore la

définition et la mesure de risque. Depuis la mesure de risque devient une composante bien

intégré dans l'activité financière. Dans le modèle proposé par Markowitz, les investisseurs

maximisent l'espérance de rendement pour un niveau de risque donné, ce dernier est mesuré

par la variance. Markowitz fait remarquer que les individus cherchent en fait à réaliser le

meilleur compromis possible entre le gain espéré et son risque associé. Reste à formaliser ce


21


compromis. Puisqu'on est dans une économie risqué, le gain espéré sera l'espérance du

revenu, le risque sera simplement mesuré par la variance ou l'écart type du revenu aléatoire.

La variance est une mesure de fluctuation. Faire ce choix comme mesure de risque de marché

implique donc que l'on considère comme risqué tout ce qui bouge par rapport à la moyenne

aussi bien les mouvements à la hausse que les mouvements à la baisse.

De façon plus formalisée, le critère de Markowitz s'écrit :

)()(et )()( bien ou

)()(et )()(

YVaRXVarYEXE

YVaRXVarYEXEYX

≤

≥⇒>

f

p

Le critère choisit par Markowitz est visualisé dans un plan appelé plan de Markowitz,

où l'on représente en ordonnée le revenu (ou le rendement) attendu et en abscisse le risque.

Chaque couple possible d'actifs peut être représenté dans ce plan. Pour chaque rendement, il

existe un portefeuille qui minimise le risque. À l'inverse, pour chaque niveau de risque, on

peut trouver un portefeuille maximisant le rendement attendu. L'ensemble de ces portefeuilles

est appelé frontière d’efficience ou frontière de Markowitz. Cette frontière est convexe par

construction : le risque n'augmente pas linéairement en fonction des poids des actifs dans le

portefeuille.

Dans le même cadre d’étude, Tobin (1958) résume le processus de décision

d'investissement en deux étapes: la première est similaire pour tous les investisseurs et au

cours de laquelle ils choisissent le même ''meilleur'' portefeuille d'actifs risqués sur la frontière

efficiente (appelée le portefeuille de marché), la deuxième étape est spécifique à chacun

d'entre eux. Elle dépend de leur attitude vis à vis du risque. En effet, chaque investisseur

combine le portefeuille de marché avec un emprunt ou un prêt de façon à obtenir le niveau de

risque qu'il désire supporter. Chaque investisseur ne doit donc placer son argent que dans

deux actifs : d’une part un portefeuille risqué commun et d’autre part un actif sans risque

ayant le caractère d’un prêt ou d’un emprunt. Il est utile de remarquer que le critère de

Markowitz ne permet pas de comparer tous les projets de point de vue domination de l'un sur

l'autre.


22


Black et Litterman (1992) ont élargi le champ d'application possible de cette approche

classique. L’extension du cadre classique pour tenir compte du skewness et du kurtosis ainsi

que l'étude des mesures de risque alternative est aussi largement traitée en littérature

(Kaplanski et Kroll (2002)). Fleming, Kirby et Ostdiek (2001) étudient la valeur économique

de l'indexation temporelle de la volatilité et De Roon, Nijman et Werker (2003) montrent son

utilité dans la couverture des risques de change pour les portefeuilles d'actifs internationaux.

Certains désavantages de cette méthode, tel que l'incertitude au niveau de la matrice

des covariances ou dans les espérances de rendement, sont évalués (Jorion (1985), Bouchaud

et Potters (2000)). En effet, face aux inconvénient majeures du modèle de Markowitz,

principalement l'hypothèse de normalité de la distribution des rendements et l'hypothèse de

l'indifférence de l'investisseur vis-à-vis des pertes et des profits, d'autres critères de mesure du

risque ont apparu comme mesure alternative capable d'éviter ces inconvénients. La plus

importante de ces critères est la Value-at-Risk (ou valeur à risque). Cette notion est traitée

depuis longtemps dans la littérature de sélection de portefeuille sous un autre concept qui est

la notion de perte potentielle. En effet, présente dans les travaux de Roy (1952) sur la

sélection de portefeuille sous les contraintes de perte de valeur potentielle, l'idée de mesurer le

risque par ce phénomène revient évidemment à la notion de valeur à risque. Roy définit cette

contrainte en terme de probabilité limite de la dévaluation de la valeur du portefeuille au

dessous d'un niveau préfixé. Depuis, la littérature d'allocation d'actifs sous cette contrainte est

élargit (voir par exemple Leibowitz et Kogelman (1991)). Lucas et Klaassen (1998) ont

constitué des portefeuilles en maximisant l'espérance de rendement sous la contrainte d'un

rendement positif minimal sur un horizon de temps donnée et pour un niveau de confiance

prédéterminé.

Alexander et Baptista (2001) comparent l'utilisation de la VaR et de la variance afin de

construire la frontière d'efficience. Ils montrent que pour un investisseur averse au risque

l'utilisation de la VaR peut conduire à la sélection de portefeuille avec des variances de

rendement plus élevées comparées aux analyses Moyenne Variance. Le principal

inconvénient de la VaR est qu'elle ne vérifie pas la condition de sous additivité, condition

nécessaire pour considérer la mesure comme étant cohérente au sens de Artzner, Delbaen,

Eber et Heath (2000). Pour cela certaines études se sont orientées vers des mesures

alternatives cohérentes, dérivées de la notion de VaR, tel que l'expected shotfall appelé aussi

VaR conditionnelle (CVaR) ( Pflug(2000), Acerbi et Tasche (2001, 2002), Rockafellar et


23


Uryasev (2002)), la déviation absolue étudiée par Denneberg (1990) ou la semi variance

mesurant le risque de base (Fischer (2001)). Certaines de ces études se sont focalisées sur

l'étude l'utilisation des mesures alternatives de risque en gestion de portefeuille. Krokhmal,

Uryasev et Zrazhevsky (2002) cherchent l'optimisation de portefeuille pour les fonds de

couvertures sous différentes mesures de risque tel que le CVaR, la déviation absolue

moyenne, la perte maximale. Ils montent que les résultats pour la frontière d'efficience

coïncidente pour ces différentes mesures et que leurs combinaisons permettent d'obtenir une

gestion de risque meilleure.

Rockafellar et Uryasev (2000) présentent une approche de programmation linéaire

permettant la construction de la frontière efficiente sous la contrainte d'expected shortfall

empirique. Ils contribuent aussi à la résolution du problème d'optimisation dans le plan

Moyenne-CVaR. De même, Konno et al (2003) fournissent des algorithmes d'optimisation

sous la contrainte de semi variance qui sont facile à implémenter.

Dans le cadre d'optimisation dans le plan Moyenne-VaR, Gaivoronski et Pflug (1999)

traite d'une façon générale le cadre mathématique du processus d'allocation de la richesse.

Campbell et al. (2001) analysent le problème d'optimisation dans le même plan en présence

de rendements distribués sous différentes hypothèses (empirique, normale, student) et ça en

présence de deux classes d'actifs. Rengifo et Rombouts (2004) procèdent à l'extension du

cadre statique de cette étude de Campbell et al. (2001) vers un cadre dynamique d'allocation

d'actifs en procédant à la comparaison des performances de deux modèles d'estimation de la

VaR à savoir le modèle GARCH (1,1) et le modèle APARCH (1,1) sous différentes

hypothèses de distribution. ). Chabaane et al. (2003) optimisent l’espérance de rendement

sous différentes contraintes de risque : l’écart type, la semi-variance, la VaR et l’Expected

Shortfall. Différentes méthodes d’estimation de la VaR sont utilisées. Ils concluent que

l’optimisation sous la contrainte de la VaR est plus délicate au niveau des algorithmes et de

l’implémentation que l’optimisation sous les autres contraintes. De même, le choix de la

méthode d’estimation de la VaR a moins d’influence que le choix de la contrainte de risque

sur les portefeuilles optimaux. Ils remarquent aussi que le portefeuille optimal sous la

contrainte de la VaR se rapproche de celui obtenu sous la contrainte de l’Expected Shortfall.


24


II-1 La modélisation du problème d'optimisation du portefeuille :

Dans un cadre statique d’étude, notre objectif sera principalement de déterminer deux

éléments de la gestion de portefeuille. Dans un premier temps, on cherchera les proportions

optimales de chaque actif risqué dans le portefeuille. Dans un deuxième temps, on

déterminera le montant B de liquidité à prêter ou à emprunter de façon à constituer un

portefeuille avec une VaR qui correspond à la VaR préfixé par l’investisseur. Ce niveau de

VaR* reflètera le degré de l’aversion au risque de l’investisseur. Bien évidemment, le

portefeuille constitué maximise l’espérance de rendement que peut obtenir l’investisseur sous

la contrainte d’une VaR recherché. Dans ce qui suit, l'objectif est de présenter un modèle

traduisant la problématique.

On suppose que l'on dispose d'un montant W(0) à investir sur un horizon de temps T.

On rappelle qu'on cherche à investir de manière à avoir un niveau de VaR bien définie de

notre portefeuille. Ce niveau peut être fixé par le gestionnaire de risque dans les institutions

financières de sorte qu’il correspond aux exigences des autorités règlementaires, ou fixé par

un investisseur particulier relativement à son degré d'aversion au risque. Ce montant peut être

investie avec un autre montant B qui représente un prêt si B0. est le

taux d'intérêt sans risque pour lequel l'investisseur peut prêter ou emprunter pendant la

période T. On a n actifs disponibles sur le marché. γ (i) indique la fraction investie dans l'actif

risqué i ainsi la somme des γ (i) doit être égale à 1. Soit aussi P(i, t) le prix de l'actif i au

temps t (le présent correspond à t=0).

fr

La valeur initiale du portefeuille représente la contrainte budgétaire:

∑=

=+n

iiPiBW

1(1) )0,()()0( γ

Le problème fondamental sera ainsi de déterminer les fractions γ (i) ainsi que le montant

initial B à emprunter ou à prêter.


25


En choisissant le niveau désiré de la VaR comme VaR * (exprimé en valeur absolue), on peut

formuler la contrainte de perte potentielle de valeur comme suit:

(2) 1*))()0(Pr( cVaRTWW −≤≥−

Avec W(T) est la richesse final de l'investisseur compte tenu de son remboursement de

l'emprunt ou le cas éventuel de son recouvrement du prêt avec les intérêts y associés, c est le

niveau de confiance. Ceci donne:

(3) 1*))0()(Pr( cVaRWTW −≤−≤

Du fait que la VaR est la perte maximale, sur l'horizon de temps T, qui peut avoir lieu avec un

niveau de confiance c, on constate que le degré d'aversion au risque de l'investisseur est

reflété à la fois par le niveau de VaR désiré et par le niveau de confiance associé.

L'investisseur est intéressé par la maximisation de la richesse à la fin de la période T. Soit r(p)

le rendement total espéré sur le portefeuille p sur cette période. La richesse finale espérée de

l'investissement dans le portefeuille p peut s'écrire:

(4) )1()1)()0(())((0 fp rBrBWTWE +−++=

Résolution du problème d'optimisation du portefeuille

A partir de l'équation (1), on détermine l'expression de B:

)0()0,()(1

WiPiBn

i−=∑

=

γ

Si on remplace cette expression dans l'équation (4), on obtient:

))(0,()()1)(0())((1

0 fp

n

if rriPirWTWE −++= ∑

=

γ


26


On suppose pour simplifier que )())((0 TWTWE = , la valeur de est ainsi donné par: pr

fn

i

fp r

iPi

rWWTWr +

−−=

∑=1

)0,()(

)0())0()((

γ

A partir de la contrainte de la perte de la valeur de l’équation (2), on essayera d’introduire

dans l'inéquation. On a ainsi :

pr

cVaRTWW −≤≥− 1*))()0(Pr(

Donc:

cVaRWTW −≤−≤− 1*))0()(Pr(

Donc:

ciPi

rWVaRrr n

i

ffp −≤

+−≤∑=

1))0,()(

)0(*Pr(

1γ

Introduisons maintenant le terme q(c,p) qui représente le quantile correspondant à un

niveau de confiance c dans la distribution des rendements du portefeuille. En effet, à partir de

la dernière équation on peut obtenir les deux résultats souhaitées: d'une part l'expression de la

valeur espéré de la richesse finale en fonction du quantile q(c,p) et d'autre part l'expression de

B.

Ceci passe par les étapes suivantes :

(5) )0,()(

)0(*),(

1∑=

+−= n

i

ff

iPi

rWVaRrpcq

γ


27


ce qui donne:

∑= −

+=

n

i f

f

pcqrrWVaR

iPi1 ),(

)0(*)0,()(γ

Une fois remplacé dans la dernière équation exprimant , on obtient: )),((0 pTWE

))0(*(),(

)1)(0())((0 ff

fpf rWVaRpcqr

rrrWTWE +

−−

++=

En divisant par W(0) on obtient:

(6) ))0(*(),()0()0(

)1())0()((0 f

f

fpf rWVaRpcqWrW

rrr

WTWE +

−−

++=

Cette dernière équation implique que la maximisation de l'espérance de rendement de

l'investisseur passe à travers la maximisation de l'expression M (p) suivante:

),()0()0(

)(pcqWrW

rrpM

f

fp

−

−= (7)

On constate que la richesse initiale W(0) n'affecte pas le choix du portefeuille optimal puisque

elle est considérée comme une constante dans l'expression M (p) à maximiser. Le processus

d'allocation d'actif est ainsi indépendant de la richesse. Cependant, l'avantage d'avoir la

richesse initiale dans le dénominateur est son interprétation. En effet, M (p) est égale au ratio

de prime de risque espéré du portefeuille par rapport au risque assumé. Ce dernier est reflété à

travers une perte potentielle maximale relativement à une référence (le rendement au taux

sans risque). Vu que le produit du quantile négatif par la richesse initiale constitue la VaR du

portefeuille pour un niveau donné de confiance, on pourra trouver une nouvelle expression

φ(c, p) pour le risque.


28


En notons VaR(c, p) la VaR du portefeuille (avec un signe négatif vu que q(c,p) est un

quantile négatif), le dénominateur devient:

),()0(),( pcVaRrWpc f −=ϕ (8)

Cette mesure du risque correspond au profil des investisseurs considérant le taux de

rendement sans risque comme un benchmark pour le rendement de leur portefeuille et

souhaitant en même temps que l'expression du risque soit en terme de perte potentielle. M (p)

est ainsi une mesure de performance comme l'indice de Sharpe et peut être utilisé pour

évaluer l'efficience de portefeuille (voir Sharpe (1994)). En plus sous l'hypothèse que

l'espérance de rendement du portefeuille est normalement distribuée et que le taux sans risque

est nul, M (p) converge vers un multiple de l'indice de Sharpe. Dans ce cas, les portefeuilles

pour lesquelles ces deux indices sont maximisés sont les mêmes.

On constate aussi que le portefeuille optimal qui maximise M (p) est choisi

indépendamment du niveau de la richesse initial ainsi que du niveau de VaR désiré (VaR *).

En effet, la mesure de risque φ(c, p) pour les différents portefeuilles dépend de la VaR estimé

du portefeuille et non de celui désiré. Les investisseurs débutent par la détermination de

l'allocation optimale entre les actifs risqués, l'intervention ensuite du montant B vient pour

montrer la différence entre la VaR estimé du portefeuille et la VaR désiré. Deux étapes

séparées caractérisent le processus de décision comme dans le cas de l'approche de Moyenne

Variance.

Afin de déterminer la valeur de B on combine l'équation (1) et l'équation (5). Ceci

donne enfin :

)',(

))',(*(*)0(pc

pcVaRVaRWB

ϕ+

= (9)

On note que dans cette dernière expression, la est exprimé en valeur absolue et

que la VaR est de signe négative. On remarque aussi le fait que ce modèle est indépendant des hypothèses de distribution de sorte que le modèle est dérivé dans le cadre de la

maximisation de l'espérance de rendement sous la contrainte de perte de valeur désiré.

*VaR


29


II-2 Le cadre de l’étude empirique :

Afin de déterminer l’effet de la déviation de l’hypothèse de normalité et de la variation

de l’horizon d’estimation sur les portefeuilles optimaux à construire, nous avons choisit de se

référer à deux indices du marché des capitaux des Etats-Unis : le Nasdaq 100 et le S&P500.

Ces deux actifs représentent dans notre travail les actifs risqués. Rappelons que l'indice

NASDAQ 100 contient 100 compagnies américaines de haute technologie cotées sur le

marché du Nasdaq. La valeur des actions de ce type de sociétés est plus volatile que la valeur

des actions des compagnies de l'économie traditionnelle. Le S&P 500 est un indice boursier

basé sur 500 grandes sociétés cotées sur les bourses américaines. L'indice est possédé et géré

par Standard & Poor’s, l'une des trois principales sociétés de notation financière. Il représente

sûrement un niveau de volatilité moins élevé que le Nasdaq 100. En fait, il contient plus de

société ce qui implique un effet de diversification surtout que sa composition couvre des

secteurs différents plus ou moins corrélés. Le logiciel utilisé pour l’analyse des données

relatives à ces deux indices et l’implémentation du modèle sera le Matlab version 6.5. On

suppose que les coûts de transactions sont négligeables et que les actifs financiers sont

divisibles.

La période d’étude sera à partir du 01/04 /1997 jusqu’au 31/03/2007 et donc s’étale sur

dix ans. Le nombre des observations des rendements journaliers est de 2515 (Figure 2). Le

rendement journalier de l’indice est obtenu par la formule suivante :

1

1

−

−−=j

jjj C

CCR

Avec :

jC = valeur de l’indice pour le jour j

1−jC = valeur de l’indice pour le jour j-1

Le taux de rendement sans risque est considéré comme celui des Bons de trésor

américains sur trois mois (US Treasury Bill). Il est de l’ordre de 4,97% annuellement fin du

mois de mars 2007. La richesse initiale de l’investisseur est supposée égale à 1000$ (dollar

américain). Les horizons de détention considérés sont trois : un jour, une semaine et dix jours.

Ceci correspond aux périodes les plus pratiquées par les agents financiers avant la liquidation


30


du portefeuille. On se réfère à la moyenne géométrique pour calculer les moyennes de

rendement des indices sur les différents horizons. L’expression générale pour l’obtenir est la

suivante :

1])1([ )/1(1

)( −+= ∏=

nn

i

him RR

Avec :

h = durée de la sous période de détention (soit le jour, la semaine ou dix jours)

n=nombre de sous période de durée h dans la période totale m )(h

iR = rendement de la ième sous période de durée h

mR =rendement sur la période totale m

Par exemple, le rendement journalier moyen de l’indice du Nasdaq 100 sur la période

d’étude est de 0,032%. Celui de l’indice S&P 500 est moins élevé et il est égal à 0,025%.

L’écart type journalier du rendement du Nasdaq est aussi supérieur à celui de l’indice S&P

500. La volatilité est presque doublée puisque celle du premier indice atteint 2,22% alors que

celle du deuxième est de 1,15%. La nouvelle mesure de risque présentée dans la section

précédente est calculée pour les différentes séries de rendement selon une approche empirique

d’estimation de la VaR et à un niveau de confiance de 99%. Rappelons qu’elle est obtenue par

la formule suivante :

estiméVaRrW f 0 −=ϕ

Les valeurs obtenues de cette mesure dans la table 1, montre bien sa croissance avec le

temps. Plus l’horizon de détention est loin plus cette mesure est élevé. De même, la VaR

relative du Nasdaq 100 reste toujours supérieure à celle du S&P 500 pour la même période de

détention. Ceci est en conformité avec le fait que le premier indice offre un rendement espéré

plus élevé et donc c’est évident qu’il fait supporter l’investisseur plus de risque.

En se référant à la table 1, on constate que le rendement moyen sur dix jours est

supérieur à celui sur un jour, ceci est bien évident. L’écart type est lui aussi plus élevé mais il

dépasse les attentes données par la règle de la racine du temps (c'est-à-dire jj 110 10σσ = ).

Ceci indique l’existence du phénomène d’auto corrélation.


31


On constate aussi que pour les trois fréquences de données, les valeurs du coefficient

d’asymétrie (skewness) et du coefficient d’aplatissement (kurtosis) sont différentes de celles

données par une distribution normale. Pour le skewness, la seule valeur positive est celle du

cas de rendement journalier du Nasdaq 100 ce qui indique une distribution asymétrique à

droite. Dans tous les autres cas, la distribution est asymétrique à gauche. Pour le kurtosis les

valeurs s’éloignent de 3. Ils sont plus élevés que cette valeur ce qui signifie de l’existence des

queues épaisses pour les différentes cas. Ceci témoigne à priori de la non normalité des

distributions. Le recours au test de Jarque et Bera à un niveau de confiance de 99% confirme

ce constat puisque les statistiques JB calculées dépassent de loin la statistique de khi deux (2).

On pourra penser dans ce cas à modéliser les distributions par la loi de student. Cette dernière

a l’intérêt de tenir compte de phénomène leptokurtique. On sait qu’en s’appuyant sur la

théorie des valeurs extrêmes, la mesure ξ de l’indice de queue peut être utiliser pour tester

différents modèles de distribution. Cet indice prend la valeur 0 dans le cas normal. Il prend

des valeurs entre 0 et 0.5 dans le cas de student. Le calcul de cet indice pour les rendements

journaliers du Nasdaq 100 donne la valeur 0,186. Lorsqu’il est calculé pour les rendements

journaliers du S&P 500 on le trouve proche de zéro. Les résultats sont similaires pour les

autres horizons de détentions. Ceci témoigne du fait que la distribution du deuxième indice

s’approche plutôt de la normalité que de la loi de student. Pour le cas de la distribution de

student, le problème qui se pose est celui du choix du degré de liberté. Devant cette nuance

provenant essentiellement de l’existence de queue épaisse, nous avons choisie dans les sections

suivantes d’étudier le modèle d’allocation d’actifs en se référant à trois méthodes d’estimation de

la VaR : la méthode empirique, la méthode normale (issu du modèle RiskMetrics) et la méthode

TVE ( issu de la Théorie des Valeurs Extrêmes).

Notons enfin que l’estimation de la Value-at-Risk à partir des méthodes historiques

requière théoriquement la stationnarité des séries des rendements. Pour cela on peut se référer

au test de racine unitaire ADF (augmented Dickey-Fuller). A titre illustratif, l’application de

ce test sur la série de rendement journalier sur la période d’étude du Nasdaq 100 donne une

statistique égale à -20.50381 (le logiciel utilisé est Eviews 4.0). Cette dernière est inférieure à

la valeur critique au seuil de signification de 1% qui est égale à -3,4575 ce qui indique la non

stationnarité de la série. On suppose dans ce qui suit la stationnarité des séries de rendement

des portefeuilles constitués par les deux indices.


32


II-3 L’application des méthodes de mesure de la Value at Risk :

Un élément fondamental du modèle d’allocation optimale d’actifs présenté dans cette

étude est l’estimation de la Value-at-Risk. Pour cela, nous avons choisies d’appliquer et de

comparer les résultats de certaines méthodes les plus traitées en littérature. Par hypothèse, on

suppose que notre portefeuille est composé de 50% de l’indice Nasdaq 100 et de 50% de

l’indice S&P 500. On se place dans le cas de rendement journalier. La période d’étude est

celle mentionné ci-dessus, allant du 01/04/1997 jusqu’au 31/03/2007. Les résultats obtenus

pour les différentes méthodes et pour les différents niveaux de confiance sont données dans la

table 2 et représentée dans la Figure 3.

On constate que la méthode issue de la Théorie des Valeurs Extrêmes (EVT), que l’on

appellera aussi méthode GPD (Generalised Pareto Distribution), a tendance à donner les

valeurs de la VaR les plus élevées (en valeurs absolues) pour les différents niveaux de

confiance. Le seuil (threshold) utilisé dans la méthode GPD est celui dépassé par 10% des

observations de notre échantillon. On constate aussi qu’à un niveau faible de confiance, les

différentes méthodes se rapprochent au niveau de l’estimation de la VaR. A un niveau élevé,

on remarque que les deux méthodes non paramétriques (empirique et Bootstrap) convergent

vers la même valeur estimée (-39,5). Dans le même cas de niveau élevé, les méthodes

paramétriques basées sur l’hypothèse de normalité (Monte Carlo et Risk Metrics) donnent les

valeurs les moins élevées de la VaR. Ceci est du à ce que l’hypothèse de normalité sous

estime la VaR. Notons qu’on a procédé à 10 000 opérations de ré échantillonnage pour la

méthode de Bootstrap et à 10 000 simulation de la loi normale centrée réduite pour la

méthode MonteCarlo.

Comme mentionné précédemment, dans ce qui suit on choisi de comparer les résultats

des modèles basées sur l’estimation de la VaR par la méthode empirique, la méthode normale

(ou RiskMetrics) et la méthode GPD. Ceci est justifié par le caractère déterministe des

estimations obtenues par ces méthodes. Il s’agit d’une condition nécessaire pour effectuer les

opérations de maximisation. Les autres méthodes se basent plutôt sur la simulation et ont ainsi

un caractère plus ou moins aléatoire.


33


II-4 La construction des frontières d’efficience :

Afin de construire la nouvelle frontière d’efficience dans le plan Moyenne-VaR relative,

nous estimons simultanément l’espérance de rendement et la VaR relative des portefeuilles à

différentes combinaisons de l’indice Nasdaq 100 et de l’indice S&P 500. En fait, en se basant sur

ce nouveau plan, on arrive à construire la frontière d’efficience ,pour un niveau donné de

confiance, en allant d’un portefeuille contenant 100% de l’indice Nasdaq 100 à celui contenant

100% de l’indice S&P 500. On garde la même période d’étude allant du 01/04/1997 jusqu’au

31/03/2007. Ainsi, l’estimation de la VaR est effectué selon les trois méthodes empiriques,

normale et GPD sur trois horizons de détention possibles : le jour, la semaine et dix jours. A

chaque horizon correspond, on établit les frontières d’efficiences pour trois niveaux de confiance :

95%, 97% et 99%. La nouvelle frontière d’efficience ressemble à celle du plan Moyenne-

Variance. Ce qui diffère est la définition du concept du risque : ici on fait recours à la VaR

relative à un benchmark de rendement (qui est le taux sans risque) au lieu de l’écart type des

rendements.

D’après les graphiques 4 à 6, on constate que les frontières d’efficiences obtenues par les

trois méthodes tendent à se rapprocher pour des niveaux de confiance faibles et ce pour différents

horizons de détention. A un niveau plus élevé (99%), la frontière d’efficience obtenue par la

méthode normale se décale à gauche sur le graphique se situant ainsi au dessus des deux autres

frontières d’efficience. Cela indique que les portefeuilles de cette frontière représentent pour un

même niveau de rendement espéré, un niveau de risque moins élevé. Cela confirme une autrefois

le caractère de sous estimation de la méthode normale. La frontière d’efficience de la méthode

GPD s’éloigne parfois des deux autres d’une façon significative surtout dans le cas de niveau de

confiance élevé (99%). Elle paraît plus proche de la frontière d’efficience empirique que de celle

de la méthode normale dans les différents cas étudiés.

II-5 L’allocation optimale dans le cadre statique :

Dans cette section, on présente les résultats obtenus concernant les allocations

optimales entre les deux actifs risqués pour différents niveaux de confiance et différents

horizons de détention. De même le montant de prêt emprunt nécessaire au respect de la

contrainte de la VaR est déterminé. Ceci étant effectué dans un cadre statique c'est-à-dire en se

plaçant à un instant donné dans l’axe du temps (le 31/03/2007) et en effectuant les prévisions

pour la période suivante (jour, semaine ou dix jours).


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En ce qui concerne les allocations optimales, les tables 3,5 et 7 représentent les

proportions retrouvés ainsi que la VaR estimé et la VaR relative du portefeuille optimal pour

les différentes hypothèses de distribution. Ces résultats s’interprètent comme suit: Par

exemple pour un investisseur qui cherche à constituer un portefeuille maximisant le

rendement espéré sous la contrainte d’une VaR limite journalière à un niveau de confiance de

95% et en se basant sur une estimation empirique de la VaR, il aura intérêt à constituer un

portefeuille dont la part de l’indice Nasdaq 100 est 48,18% et la part de l’indice S&P 500 est

de 51,82%. La VaR à 95% de ce portefeuille calculé sur la base de la richesse initiale de

l’investisseur sans recourir aux opérations de prêt-emprunt est égale à -19,856. D’une façon

générale, le recours à ces opérations prend place si, pour un niveau de confiance donné, la

VaR limite souhaité est différente de la VaR estimé du portefeuille optimal pour le même

niveau de confiance (la VaR est retenu en signe négatif). Rappelons que le montant de

liquidité B à prêter ou à emprunter est obtenu par la formule suivante :

)',(

))',(*(*)0(pc

pcVaRVaRWBϕ

+=

Avec :

)0(W = la richesse initiale de l’investisseur.

*VaR = la VaR limite choisit par l’investisseur (retenu en valeur absolue)

)',( pcVaR = la VaR estimé du portefeuille optimal pour le niveau de confiance considéré

)',( pcϕ = la VaR relative du portefeuille optimal pour le niveau de confiance considéré.

En effet, dans le cadre du modèle d’allocation optimale de cette étude, le profil de

risque de l’investisseur est supposé être reflété par le niveau de la VaR limite y inclut bien

évidemment le niveau de confiance recherché. Ainsi, nous avons pris le cas des investisseurs

qui ont différents profils de risque ,allant de celui de 95% à celui de 99%, et qui cherchent

tous à constituer un portefeuille optimal avec une VaR limite égale à la VaR estimé du

portefeuille optimale à 95%. Ceci est effectué pour les différents horizons de détentions et

pour les différentes méthodes d’estimation de la VaR. A titre d’exemple, si on choisit

d’estimer la VaR par la méthode empirique et qu’on cherche à avoir un portefeuille avec une

VaR journalière à 99% égale à -19,856 (ce montant de VaR limite correspond à la VaR du


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portefeuille optimal journalier à 95%), l’investisseur devra prêter un montant de 295,552

dollars. Toutefois, l’allocation de la richesse restante sera à la hauteur de 40,86% dans le

Nasdaq 100 et de 59,15% dans le S&P 500, ce qui correspond à la répartition optimale du

niveau de confiance 99%. Ceci lui permet de diminuer la VaR du portefeuille initialement égal

à -28,268 tout en gardant le même niveau de confiance. C’est cela qui constitue la richesse de

ce modèle générale d’allocation d’actifs. D’une façon générale, si la VaR limite pour un

niveau de confiance donné est inférieur en valeur absolue à la VaR du portefeuille optimal

pour ce même niveau de confiance, l’investisseur sera invité à prêter un montant B (négatif)

au taux sans risque. Ceci était le cas général des recommandations obtenues dans nos calculs.

Le seul cas d’emprunt était dans le cadre de l’hypothèse empirique, un horizon de dix jours et

un niveau de confiance de 96% (Table 4) : l’investisseur devra emprunter 76,03 dollar pour

faire passer la VaR du portefeuille optimale pour ce niveau de confiance de -43,546 à -46,959.

L’interprétation reste identique pour le cas des rendements hebdomadaires ou sur dix

jours ainsi que pour le cas d’estimation de la VaR par les deux autres méthodes : normale et

GPD. Cependant, on remarque que dans le cas de l’hypothèse de distribution normale des

rendements (Table 5), l’allocation optimale entre les deux actifs est indépendante des niveaux

de confiance. A chaque horizon de détention, correspond une combinaison optimale qui reste

inchangé même si on change le niveau de confiance. L’attitude de l’investisseur vis-à-vis du

risque exprimé au niveau de ce paramètre de la VaR est ainsi négligée dans le cas de la

normalité. Ce qui reste déterminant dans son profil est le montant de la VaR limite choisit.

Ceci s’explique par le fait que les quantiles q(c,p) dans le cas de normalité sont des constantes

quelque soit la composition du portefeuille. La maximisation de l’expression M (p) sera ainsi

indépendante du niveau de confiance. Elle dépend uniquement du couple Espérance/Ecart

type du rendement du portefeuille. Cela n’est pas le cas pour les allocations déterminées dans

le cas empirique ou dans le cas de la méthode GPD où les combinaisons optimales varient en

fonction du niveau de confiance.

On constate aussi que le niveau de risque pour ces portefeuilles optimaux, mesuré par

la VaR relative, est généralement plus élevé dans le cas empirique que dans le cas normal. Le

quantile issu de la distribution empirique est plus élevé en valeur absolue que le quantile de la

distribution normale pour n’importe quel niveau de confiance. Le caractère leptokurtique de la

distribution effective des rendements du portefeuille optimal explique donc ce constat.


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II-6 L’allocation optimale dans le cadre dynamique :

Dans ce qui suit, l’objectif est de comparer et de valider les méthodes d’estimation de la

VaR dans le modèle d’allocation proposé à savoir : la méthode Empirique, la méthode normale et

la méthode GPD. Ceci est effectué en passant à un cadre dynamique d’étude. Chaque méthode

permet d’avoir un modèle de gestion dynamique issu du modèle général proposé. Nous nous

intéressons à la gestion optimale quotidienne sur une période appelée période de prévision (out-

of-sample). L’hypothèse de normalité sera donc présenté à travers le modèle dynamique de

prévision de la variance conditionnelle : GARCH avec des innovations de loi normale.

Présentation des données :

On se réfère

Documents

Université Claude Bernard – Lyon 1 · ISFA-Université Lyon I 2006/2007 Keywords: portfolio selection, Value-at-Risk, Normality, GARCH model, GPD model Abstract In this work, we