1

Université Hassan II -Casablanca- OUIA AZIZ

Faculté des Sciences Juridiques Economiques 2019/2020

Et sociales -Mohammedia-

Probabilité : S2

Partie III : Lois de probabilité d'une variable aléatoire discrète.

Quand le nombre d’expériences augmente d’une manière très élevée

alors, les fréquences observées pour la variable étudiée tendent vers des

probabilités et les distributions observées vers les distributions de

probabilité ou loi de probabilité.

Dans ces conditions, on peut associer à une variable aléatoire une

probabilité et définir ainsi une loi de probabilité.

La détermination de la loi de probabilité1 suivie par une variable

aléatoire donnée est d’une grande importance car, elle conditionne le choix

des méthodes employées pour répondre à une question donnée.

Une loi discrète prend soit un nombre fini de valeurs soit un nombre

infini dénombrable de valeurs. Après la loi uniforme (constante) qui

représente l'équi-répartition, le modèle le plus simple est celui avec deux

valeurs (loi binaire ou encore loi de Bernoulli). Vient ensuite le modèle

binomial, somme de lois Bernoulliennes). Enfin, le modèle poissonnien,

avec une infinité de valeurs.

I. Loi uniforme

On dira qu’une variable aléatoire X définie sur un espace

probabilisé (Ω , P) est distribuée selon une loi uniforme, si elle ne peut

prendre qu’un nombre fini de valeurs. Chaque valeur a la même

probabilité. Autrement dit, si l’ensemble des valeurs que peut prendre X

est SX = s1, ..., sp, P(X = si) = 1/p, pour tout 1 ≤ i ≤ p.

(Si s1=1, s2=2,.. sn=n alors :

1 La détermination d’une loi de probabilité est très développée dans les ouvrages d’inférence statistique. Pour plus de détail, voir

« Exercice et problèmes statistiques » et « principes de statistiques mathématique » du même auteur OUIA AZIZ

2

Exemple : On suppose que la variable aléatoire X distribuée selon une loi

uniforme sur l’ensemble X(Ω) = −3,−2,1,4.

1) Donner la loi de X.

2) Calculer E(X) et V (X).

On définit la variable aléatoire Y = 2X + 1.

3) Donner la variable aléatoire Y : Y(Ω).

4) Calculer E(Y).

Selon l’énoncé de l’exercice, la loi de X est uniforme et la probabilité

d’avoir X = x pour tout élément x de X(Ω) est donc constante. De ce fait,

cette probabilité est égale à . La loi de X est donc résumée par

le tableau suivant :

x -3 -2 1 4

P(X=x)

L’espérance de X est donnée par :

E(X) = = = 0.

Pour calculer la variance, on utilise la formule V(X) = E(X²)−(E(X))²

V(X)= E(X²)−(E(X))² =

= ((−3)² + (−2)² + 1² + 4²) = 7.

Soit Y = 2*X + 1. Le tableau suivant donne la valeur de Y pour toutes les

valeurs possibles de X :

x -3 -2 1 4

Y=2*X+1 -5 -3 3 9

On a donc Y (Ω) = -5, -3, 3, 9. Y est également une variable discrète,

Pour calculer E(Y), on peut appliquer différentes méthodes. On va utiliser

une propriété de l’espérance mathématique.

Pour tout réel a et b, et toute variable aléatoire X, E(a*X + b) = a*E(X) +

b. Dans notre cas, on a donc E(Y ) = 2*E(X) + 1 =2*0+ 1=1.

II. La loi de Bernoulli.

Considérons l’exemple suivant, qui résume en fait de nombreuses

situations pratiques comme nous le verrons ultérieurement : Une pièce de

monnaie a deux faces (pile et face). Désignons par X la variable aléatoire

3

suivante : résultat du ième lancement avec Xi = 1 (si le lacement donne Pile)

; 0 sinon (si le lancement donne Face).

Xi à valeurs 1 ou 0, avec une probabilité p ou (1-p) respectivement,

est appelée variable de Bernoulli.

Si nous supposons que le tirage est effectué d’une manière aléatoire,

chaque résultat (Pile ou face) a une même probabilité. La probabilité du

résultat [Pile] est égale à la somme des probabilités d’avoir après chaque

lancement un résultat Pile, soit :

p = P[ résultat = Pile] =P/(P+F)

En outre, les variables Xi sont indépendantes (le tirage i n'est pas

influencé par les tirages antérieurs) et de même loi.

La moyenne de la loi de Bernoulli

P(Xi=1) = p ;

P(Xi=0) = 1-p = q

E(Xi) = 1*p + 0*(1-p) = p

La variance de la loi de Bernoulli

Var(Xi) = 1²*p+ 0²*(1-p) - E(Xi)²

= p- p² = p*(1-p) = p*q

Remarque :

On appelle processus de Bernoulli toute modélisation par une suite X1, X2,

X3, . . ., Xn de variables aléatoires (indépendantes et identiquement

distribuées), chacune distribuée selon une loi de Bernoulli B(p). Plusieurs

exemples de lois peuvent être donnés comme étant des comptages, menant

à des lois différentes :

Loi Binomiale : comptage avec répétition des succès ;

Loi Géométrique : comptage des échecs avant d’atteindre le premier

succès ;

Loi Binomiale Négative : comptage des échecs avant d’atteindre le

kième succès () ;

4

Loi de poisson : comptage de nombre d’événements dans un

intervalle de temps.

Exercice 1 : Soit une urne contenant des boules blanches en proportion

p=0,8 et des boules rouges en proportion q=(1–p) et soit X la variable

aléatoire qui consiste à tirer une boule blanche est un succès.

Quelle est la nature de la loi de probabilité de X ?

Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli car dans cette épreuve le tirage d’une

boule blanche est un succès avec une probabilité p =80% avec (0 p 1)

et le tirage d’une boule rouge est un échec avec la probabilité q = 1 –

p=20%.

Dans ce cas, La loi suivie par le nombre de succès dans cette épreuve de

Bernoulli est une loi de Bernoulli.

Quelle est l'espérance de X ?

On peut associer au tirage d’une boule blanche « succès » la valeur 1

et celui du tirage d’une boule rouge « échec » la valeur 0 on obtient alors :

E(X) = 1*p + 0*(1-p) = p=0,8

V(X) = p*q=0,8*0,2==0,16

III. La loi Binomiale.

On considère maintenant n épreuves de Bernoulli (avec n > 1),

indépendantes, chacune pouvant conduire à un succès avec la probabilité p

(0 p 1) ou à un échec avec la probabilité q = 1 – p. On désigne par X le

nombre de succès obtenu à ces n épreuves de Bernoulli. On note B(n , p),

La loi binomiale qui est considérée comme la somme de ces n lois binaires

(Bernoulliennes) indépendantes de même paramètres p.

La probabilité d'obtenir exactement k succès (0 k n) :

P(X = k) =k-nkk

n p)-(1 pC . Avec :

5

: Est le nombre de manières de choisir k épreuves avec succès

parmi n sans tenir compte de l'ordre ;

Pk : Est la probabilité pour que les k épreuves choisies conduisent

à k succès ;

: Est la probabilité pour que les n – k autres épreuves

conduisent à n – k échecs.

X : Est la somme de n variables qui suivent la loi de Bernoulli de

paramètre p.

Chacune des variables de Bernoulli a pour espérance p.

L’espérance étant additive, E(X) = n*p.

Ces n variables sont indépendants. La variance de leur somme est

la somme de leurs variances : V(X)=n*p*q

Donc, La moyenne d’une loi binomiale est n*p (la somme de n

espérances mathématiques de lois bernoulliennes identiques) et sa variance

n*p*(1-P) (c’est également la somme de n variance de lois bernoulliennes

identiques). La loi binomiale correspond à un nombre de fois où un

évènement est réalisé, comme par exemple le nombre de "pile" obtenus

pour le lancer de n pièces, le nombre de garçons dans une population

humaine, le nombre de fautes détectées dans un manuel, le nombre de fois

où on a réussi une expérience, ...etc. C'est aussi la loi de comptage d'un

caractère binaire dans un tirage avec remise.

Exemple 1 : Dans une société qui fabrique des mêmes pièces de rechange,

un contrôle de la qualité a trouvé que la probabilité pour qu’une pièce soit

défectueuse est p=5%. Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre

de pièces défectueuses trouvées lors d’un contrôle de n=1000 pièces

Déterminer la loi de X ainsi que son espérance et son écart-type.

On a X une variable de Bernoulli répétée 1000 fois. Donc, il s’agit d’une

loi binomiale B(n=1000 , p=5%) de probabilité p.

E(X)=n*p=1000*5%=50

σ(X)= =6.892

6

Exemple 2 : Considérons deux variables aléatoires indépendantes X1 et

X2, distribuées respectivement aux lois binomiales B (n1,p) et B (n2,p)

(avec une même probabilité p).

La variable aléatoire Z définie comme étant la somme X1 + X2 est le

nombre de succès après n1+n2 épreuves de Bernoulli identiques,

indépendantes, de même probabilité de succès p. La variable aléatoire Z

est également une variable de Bernoulli distribuée selon une loi binomiale

B (n1+n2 , p).

Exemple 3 : Un candidat se présente à un concours où, cette fois, les 20

questions sont données sous forme de QCM. A chaque question, sont

proposées 4 réponses, une seule réponse étant exacte. L’examinateur fait le

compte des réponses exactes données par les candidats. Certains candidats

répondent au hasard à chaque question ; Donner une variable aléatoire

associée à ce problème et donner sa loi de probabilité, son espérance et sa

variance. Il s’agit d’une loi binomiale de paramètres n=20 et p=1/4.

E(X) = n*p = 5 et V(X) = n*p*(1-p)=20*1/4*3/4=15/4

Exemple 4 : On lance 8 fois un dé numéroté de 1 à 6. Soit la variable

aléatoire X représentant le nombre de 5 apparus. La probabilité d’obtenir

exactement 3 fois le résultat 5 est donc égale à :

P(X=3)= =

Exercice 1 : Dans une société, 95% des pièces produites sont supposées

non défectueuses. Par commodité les pièces sont rangées par paquets de 2.

Un paquet est dit parfait si les 2 pièces le sont.

1) Quelle est la probabilité d’avoir un paquet parfait ?

2) X = nombre de paquets parfaits sur un lot de 10. Quelle est la loi de X ?

3) Un lot de 10 est accepté par l’acheteur si 9 au moins des paquets sont

parfaits. Quelle est la probabilité qu’un lot soit accepté ?

1) p = 0,95 * 0,95 = 0,9025 (les deux pièces sont indépendantes)

2) X → B (10 ; 0,9025)

3) P(X≥9) = P(X=9) + P(X=10) (les deux paquets sont indépendantes)

= 0, 7361

Exercice 2 : 6% des individus d’une population présentent une certaine

maladie. Les responsables de la santé publique réalisent 4 tirages :

Le premier tirage d’un échantillon de taille n=1.

Donnez la loi de probabilité réelle et ses paramètres.

Le deuxième tirage d’un échantillon de taille n=8.

7

Donnez la loi de probabilité réelle et ses paramètres.

Calculer la probabilité d’avoir une personne malade.

Calculer la probabilité d’avoir au moins 3 personnes malades.

Calculer la probabilité d’avoir au plus 2 personnes malades.

Exercice 3 : Un mini-bus peut accueillir 20 personnes ; des statistiques

montrent que 25% clients ayant réservé ne viennent pas.

Soit X la variable aléatoire : « nombre de clients qui viennent après

réservation ».

1- Quelle est la loi de la variable aléatoire X ?

2- Calculer son espérance mathématique et son écart-type ?

3- Calculer la probabilité pour que le nombre des clients qui viennent

après réservation soit égale à 15 ?

Exercice 4 : Une machine fabrique des boites de conserves. On sait que la

probabilité d’obtenir une boite défectueuse est égale à 5 %.

Soit X la variable aléatoire représentant « le nombre de boites défectueuses

dans chaque lot contrôlé ». On a contrôlé un lot de 200 boites.

Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire correspondante ainsi

que ses paramètres.

Exercice 5 — Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de

lois respectives B(6 , 80%) et B(4 , 80%).

Quelle est la loi de la somme (X + Y) ? Calculer E(X+Y) et V(X+Y)

IV. Loi géométrique

On considère une succession possiblement infinie d'épreuves de Bernoulli

identiques, indépendantes, de probabilités de succès p (0 < p 1) et

d'échec q = 1 – p.

On désigne par X le numéro de la première épreuve conduisant à un

succès. Cette variable aléatoire peut se définir comme le nombre d'essais

jusqu'au premier succès pour des épreuves de Bernoulli indépendantes de

paramètre p. la loi associée à cette variable aléatoire discrète porte le nom

de la loi géométrique ou loi de Pascale de paramètre P, tel que :

P(X=k)=P(1-P)k-1 avec k IN*

Espérance :

E(X)=1/P

Variance :

V(X)=(1-P)/P²

8

Remarque :

On définit quelquefois la variable Géométrique comme le nombre

d'échecs avant le premier succès. Dans ce cas, elle prend ses valeurs dans

IN*. Dans ce cas :

Espérance :

E(X)=1/P -1

Variance :

V(X)=(1-P)/P²

Exemple : on considère la variable aléatoire X « nombre de naissance de

garçons avant l’obtention d’une fille » avec P=1/2. La loi suivie par X est

une loi géométrique :

X = 1 si X= F avec P(X = 1) = p

X = 2 si X= G∩F avec P(X = 2) = q*p

X = 3 si X= G∩G∩F avec P(X = 3) = q²*p

D’où X = k si X=G∩G∩…∩.G∩F avec k-1 pour X=G et donc :

P(X = k) = pqk-1

Exercice 1 : Une urne contient 10 boules blanches et 10 boules rouges. On

les tire une à une avec remise jusqu’à ce que l’on obtienne une boule

blanche. Soit X la variable aléatoire "rang de la première boule blanche".

Déterminer la loi de X et son espérance.

X est distribuée selon une loi géométrique de paramètre p=10/20=1/2.

On a : P(X=n)=(1−p)n−1*p=

On sait que : E(X)=1/p=2 et V(X)=(1-P)/P²=2

Exercice 2 : On suppose que le temps d’attente (en minutes) d’un métro

suit une loi géométrique. Durant les heures de pointes du matin, le temps

d’attente moyen d’un métro pour la ligne 2 est de 3 minutes tandis qu’il est

de 2 min pour la ligne 3.

a) Quels sont les paramètres des lois géométriques pour les lignes n° 1 et

n° 3 ?

b) Quelle est la probabilité d’attendre entre 2 et 4 minutes un métro de la

ligne 2 ? de la ligne 3 ?

c) Même question pour un temps d’attente de plus de 5 minutes.

9

Exercice 3 : On jette un dé ordinaire numéroté de 1 à 6 jusqu’à ce que le 1

apparaisse pour la première fois et on appelle X la variable aléatoire égale

au nombre de coups nécessaires pour obtenir ce 1.

Déterminer la loi de probabilité de X.

Calculer E(X) et V(X)

Exercice 4 : Un couple décide d’avoir des enfants jusqu’à ce qu’il ait au

moins un enfant de chaque sexe.

a) Quelle est la probabilité qu’il ait 4 enfants ?

b) Quelles sont l’espérance et la variance du nombre d’enfants qu’il

aura ?

V. La loi binomiale négative

On considère une succession potentiellement infinie d'épreuves de

Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilités de succès p (0 < p

1) et d'échec q = 1 – p.

La loi binomiale négative est une généralisation de la loi géométrique où

l’on considère X « nombre d’échecs avant de parvenir au kème succès ».

On désigne par X le numéro de l’épreuve conduisant au succès numéro

égal à k (avec k un entier naturel non nul).

Une variable aléatoire X distribuée selon une loi binomiale négative de

paramètres k et p notée ℬn(k, p) si elle prend ses valeurs dans k, k+1,

k+2, ... avec les probabilités ainsi définies : (ik, k+1, k+2, ...). La

probabilité que ce numéro soit i (k i) est P(X = i) = Ci

k

−

−

1

1pkqi-k

X est la somme de k variables géométriques, indépendantes, de même

paramètre p. Donc, E(X) = k

p et V(X)=

kq

p2.

Soient p et q deux réels de somme 1 tels que : 0 < p 1. Soit k un entier

strictement positif.

Exercice 1 : On lance un dé jusqu’à ce que la face « 6 » soit obtenue pour la

10ème fois. Soit X le nombre de lancers effectués au moment du 10ème «6».

a) Déterminer la probabilité suivante : P(X = 30);

10

b) Déterminer l’espérance mathématique et la variance du nombre de

lancers requis.

Exercice 2 : Afin de constituer un échantillon aléatoire de 20 ménages

francophones, on tire au hasard des numéros de téléphones dans une

population dans laquelle 60 % des ménages sont francophones. Soit X le

nombre de ménages qu'il faudra tirer pour atteindre cette cible.

a) Déterminer la probabilité suivante : P(X = 30) ;

b) Déterminer l’espérance mathématique et la variance du nombre d'appels

effectués.

VI. La loi hypergéométrique

On procède à des prélèvements équiprobables exhaustifs (sans

remises) de « n » individus ou objets à partir d’une population-mère de

taille N (avec N>n). On cherche à étudier un seul type d’éléments de cette

population qui est représentée avec un certain pourcentage « p ».

Soit X : le nombre d’éléments du type étudié présents dans

l’échantillon de taille n. X est dite distribuée selon une loi hyper

géométrique de paramètre N, n, p et sa loi de probabilité est notée

ℋ(N,n,p), si et seulement si : P(X=k) = avec k un entier naturel

Remarque : La loi hypergéométrique correspond au tirage d'un

échantillon sans remise (par contre la loi binomiale correspond au tirage

d'un échantillon avec remise).

Exemple : On suppose qu'une urne contient N boules identiques au

toucher dont certaines sont blanches et les autres sont noires. On désigne

par p la proportion des boules blanches et par q celle des boules noires.

p et q sont compris entre 0 et 1 et ont pour somme 1.

On effectue dans cette urne un tirage aléatoire de n boules (0 n N).

On désigne par : X le nombre de boules blanches obtenues.

N*p= le nombre de boules blanches

N*q= le nombre de boules noires

11

La probabilité d'obtenir k boules blanches (0 k N*p ; n – N*q k n)

est : P(X = k) =

Est le nombre de façons de choisir i boules blanches parmi N*p sans

tenir compte de l'ordre ;

Est le nombre de façons de choisir n-k boules noires parmi N*q

sans tenir compte de l'ordre ;

Est le nombre de façons de choisir n boules parmi N sans tenir compte

de l'ordre.

Si X distribuée selon une loi hypergéométrique de paramètres N,

n, p. Alors, l’espérance mathématique de X est n*p et sa variance est

n*p*q*( . ( est appelé facteur d’exhaustivité.

Remarque : Une variable aléatoire X distribuée selon une loi

hypergéométrique H (N, n, p) si elle peut prendre les valeurs entières k

telles que

0 k N*p ; n – N*q k n

Exercice 1 : Dans un contrôle de la qualité de la production d’une

machine, un technicien contrôle 3 pièces tirées sans remise d’une manière

indépendantes d’un échantillon de 15 pièces. Parmi

Les pièces de l’échantillon, 5 pièces sont défectueuses. Soi X, la variable

tiré une pièce défectueuse est un succès.

Donner la loi de X et calculer E(X) et V(X).

a) Calculer la probabilité de ne trouver aucune pièce défectueuse ;

b) Calculer la probabilité de trouver exactement une pièce défectueuse ;

c) Calculer la probabilité de trouver au moins une pièce défectueuse ;

Exercice 2 : Dans une fête à laquelle participent 20 personnes, dont 12

femmes, on tire au hasard (sans remise) les noms de 7 personnes qui se

voient offrir un cadeau.

a) Quelle est la probabilité qu’exactement deux des gagnants soient

des femmes ?

b) Quelle est la probabilité qu'il y ait au plus 3 femmes parmi les

gagnants ?

12

VII. La loi de Poisson.

On dira qu’une variable aléatoire X définie sur un espace probabilisé (Ω,P)

est distribuée selon une loi de Poisson de paramètre λ > 0 si elle ne prend

que des valeurs entières positives ou nulles. On note P() cette loi. La loi

de Poisson convient à la description des événements dont les chances de

réalisation sont faibles.

La loi de Poisson intervient dans le même contexte général que celui de la

loi binomiale : celle d’un comptage du nombre de succès enregistrés au

cours d’une succession indépendante d’expériences ayant chacune la

même probabilité de succès, mais où le nombre de répétitions est très

grand, la probabilité de succès étant elle-même très petite. C’est pourquoi,

on considère que l'approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

est acceptable, quelle que soit la valeur de n, lorsque p < 10%.

La loi de Poisson (et aussi les tables de la loi de Poisson) est plus simple

que la loi binomiale (et les tables de la loi binomiale).

La variable aléatoire de Poisson X est une variable discrète qui prend des

valeurs entières (X= 0, 1, 2, 3 ….) : La probabilité d'obtenir la valeur k est

:

(e-*k)/k!

Sa moyenne est égale à , sa variance est aussi égale à :

E(X) = V(X) =

Remarque :

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi

de Poisson :

Si X distribuée selon une loi de Poisson ℘(λ1) de paramètre λ1 (λ1 ≥ 0) et

Si Y distribuée selon une loi de Poisson ℘(λ2) de paramètre λ2 (λ2 ≥ 0).

Alors la variable aléatoire Z=X+Y.

la variable aléatoire Z est distribuée selon une loi de Poisson de paramètre

λ1+λ2.

13

Exemple 1 : On considère des évènements se produisant en moyenne 0,5

fois par minute. Pour étudier le nombre d'évènements se produisant dans

un intervalle de temps de 4 minutes, on utilise comme modèle une loi de

Poisson de paramètre λ =0,5×4=2.

Exemple 2 : Dans une banque, il arrive en moyenne 2 clients par minute

aux guichets automatiques entre 10 et 12 h. Soi X : le nombre de

personnes observées par minute à l’entrée de la banque. Sachant que X est

distribuée selon une loi de poisson de paramètre «λ=2», déterminer les

probabilités suivantes :

a) En 1mn il arrive 2 clients

b) 4 clients au plus

c) 3 clients au moins.

a) P(X = 2) = 0,2707

b) P(X 4) = 0,9473

c) P(X 3) =1-P(X≤2)=1- 0,6767=0,3233

Exemple 3 : Dans une banque, il arrive en moyenne 1,25 clients à la

minute aux guichets automatiques entre 9 et 12 h. X : nombre de personnes

observées à la minute à l’entrée de la banque. Sachant que X est distribuée

selon une loi de poisson de paramètre « λ=1,25 », déterminer les

probabilités suivantes :

a) En 1mn il arrive 2 clients b) 4 clients au plus c) 3 clients au moins.

a) P(X = 2) = 0, 2238

b) P(X 4) = 0, 9909

c) P(X3) =1-P(X≤2) =1-0,8685=0,1315

Exemple 4 : Un magasin spécialisé reçoit en moyenne 4 clients par jour,

le nombre de clients étant distribué selon une loi de Poisson. Calculer la

probabilité que le magasin soit visité un jour par :

1. Aucun client ;

2. 5 clients ;

3. Au moins 6 clients.

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de clients reçus par jour

dans le magasin. Selon l’énoncé de l’exercice, X est distribuée selon une

loi de Poisson de paramètre λ et telle que E(X) = 4. Or, on sait que si X est

distribuée selon une loi de Poisson P(λ), E(X) =V(X)= λ, donc λ = 4.

14

Comme X est distribuée selon une loi de Poisson :

P(X=0)= 0,0183

P(X=5)= 0,156

P(C ≥ 6) = 1−P(X<6)=1-P(X≤5)=1-0,7851=0,2149

Exercice 1 : (Bombardement de Londres). Durant la seconde guerre

mondiale, le sud de Londres a été bombardé continuellement pour un total

de 537 impacts de bombes. On divise cette partie de Londres en 576 zones

de 25 hectares chacune et on note N la variable aléatoire telle que X = k est

l’événement « une zone a été touchée par k impacts ». On suppose que X

suit une loi de Poisson.

a) Quel est le paramètre de la loi de Poisson ?

b) Calculer le nombre de zones ayant reçu 1, 2, 3, 4 et plus de 5 impacts.

Les bombardements étaient-ils ciblés sur des zones spécifiques ou étaient-

ils fait à l’aveugle ?

Exercice 2 : On admet que le nombre d’accidents survenant sur une

autoroute quotidiennement est une va qui suit la loi de Poisson de

paramètre λ = 4.

1) Calculer P(X = k) pour k = 0, ..., 5.

2) Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins 2 accidents lors d’un

jour donné ?

Exercice 3 : Le nombre de tremblements de terre par semaine sur la côte

ouest américaine suit une loi de Poisson de moyenne 2. Quelle est la

probabilité qu'il y ait 6 secousses pendant le prochain mois ?

Rappel : dans un mois il y a 4 semaines donc, pour un mois on a λ=4*2=8

P(X=6)= 0,12212,2%

15

VIII. Approximation d’une loi discrète

Convergence de la loi hypergéométrique vers la loi binomiale.

H(N ; n ; p) converge vers B(n ; p) quand N est grand

On utilisera l’approximation de la loi hypergéométrique par la loi

binomiale lorsque N>10*n.

Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson

B(n ; p) converge vers P ( ) avec = n*p quand n est grand

On utilisera l’approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

lorsque les 3 conditions ci-après sont simultanément vérifiées :

15

30

1,0

np

n

p

Exercice 1 : Soit X une variable de loi binomiale de paramètres n = 8 et p

= 0,06. Déterminer la distribution complète (c'est-à-dire, les probabilités

P(X = x) pour x = 0, 1,…,10). Comparer les résultats avec ceux que vous

auriez obtenus en utilisant la loi de Poisson

Exercice 2 : On tire au hasard un échantillon de 5 personnes d'une classe

de 12 personnes dont 4 sont des fumeurs. Soit X le nombre de fumeurs

observés dans l'échantillon. Déterminer la distribution complète (c'est-à-

dire, les probabilités P(X = x) pour x = 0, 1 ,…, 4). Comparer les résultats

avec l'approximation par la loi binomiale.

Exercice 3 : Dans une chaîne de fabrication, 5% des pièces sont

défectueuses ; on prélève une pièce, on examine si elle est défectueuse et

on la replace parmi les autres. On répète 120 fois cette expérience. On

désigne par X la variable aléatoire qui à chaque tirage de 120 pièces

associe le nombre des pièces défectueuses.

a) Donner la loi de probabilité de X ;

b) Donner une loi d’approximation de cette loi trouvée à la première

question ;

16

Loi de poisson P(X=k) =!k

e k−

Probabilités individuelles

k 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066

1 0,0905 0,1637 0,2222 0,2681 0,3033 0,3293 0,3476 0,3595 0,3659

2 0,0045 0,0164 0,0333 0,0536 0,0758 0,0988 0,1217 0,1438 0,1647

3 0,0002 0,0011 0,0033 0,0072 0,0126 0,0198 0,0284 0,0383 0,0494

4 0,0001 0,0003 0,0007 0,0016 0,003 0,005 0,0077 0,0111

5 0,0001 0,0002 0,0004 0,0007 0,0012 0,002

6 0,0001 0,0002 0,0003

Probabilités cumulées

k 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066

1 0,9953 0,9825 0,9631 0,9384 0,9098 0,8781 0,8442 0,8088 0,7725

2 0,9998 0,9989 0,9964 0,9921 0,9856 0,9769 0,9659 0,9526 0,9371

3 1 0,9999 0,9997 0,9992 0,9982 0,9966 0,9942 0,9909 0,9865

4 1 1 0,9999 0,9998 0,9996 0,9992 0,9986 0,9977

5 1 1 1 0,9999 0,9998 0,9997

6 1 1 1

Loi de Poisson

TABLE 2 (suite)

Probabilités individuelles

k 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

0 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0,0183 0,0111 0,0067

1 0,3679 0,3347 0,2707 0,2052 0,1494 0,1057 0,0733 0,05 0,0337

2 0,1839 0,251 0,2707 0,2565 0,224 0,185 0,1465 0,1125 0,0842

3 0,0613 0,1255 0,1804 0,2138 0,224 0,2158 0,1954 0,1687 0,1404

4 0,0153 0,0471 0,0902 0,1336 0,168 0,1888 0,1954 0,1898 0,1755

5 0,0031 0,0141 0,0361 0,0668 0,1008 0,1322 0,1563 0,1708 0,1755

6 0,0005 0,0035 0,012 0,0278 0,0504 0,0771 0,1042 0,1281 0,1462

7 0,0001 0,0008 0,0034 0,0099 0,0216 0,0385 0,0595 0,0824 0,1044

8 0,0001 0,0009 0,0031 0,0081 0,0169 0,0298 0,0463 0,0653

9 0,0002 0,0009 0,0027 0,0066 0,0132 0,0232 0,0363

10 0,0002 0,0008 0,0023 0,0053 0,0104 0,0181

11 0,0002 0,0007 0,0019 0,0043 0,0082

12 0,0001 0,0002 0,0006 0,0016 0,0034

13 0,0001 0,0002 0,0006 0,0013

14 0,0001 0,0002 0,0005

15 0,0001 0,0002

16 0,00005

17

Probabilités cumulées

k 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

0 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0,0183 0,0111 0,0067

1 0,7358 0,5578 0,406 0,2873 0,1991 0,1359 0,0916 0,0611 0,0404

2 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,3208 0,2381 0,1736 0,1247

3 0,981 0,9344 0,8571 0,7576 0,6472 0,5366 0,4335 0,3423 0,265

4 0,9963 0,9814 0,9473 0,8912 0,8153 0,7254 0,6288 0,5321 0,4405

5 0,9994 0,9955 0,9834 0,958 0,9161 0,8576 0,7851 0,7029 0,616

6 0,9999 0,9991 0,9955 0,9858 0,9665 0,9347 0,8893 0,8311 0,7622

7 1 0,9998 0,9989 0,9958 0,9881 0,9733 0,9489 0,9134 0,8666

8 1 0,9998 0,9989 0,9962 0,9901 0,9786 0,9597 0,9319

9 1 0,9997 0,9989 0,9967 0,9919 0,9829 0,9682

10 0,9999 0,9997 0,999 0,9972 0,9933 0,9863

11 1 0,9999 0,9997 0,9991 0,9976 0,9945

12 1 0,9999 0,9997 0,9992 0,998

13 1 0,9999 0,9997 0,9993

14 1 0,9999 0,9998

15 1 0,9999

16 1

Loi de poisson probabilités individuelles

k 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5

0 0,0041 0,0025 0,0015 0,0009 0,0006 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001

1 0,0225 0,0149 0,0098 0,0064 0,0041 0,0027 0,0017 0,0011 0,0007

2 0,0618 0,0446 0,0318 0,0223 0,0156 0,0107 0,0074 0,005 0,0034

3 0,1133 0,0892 0,0688 0,0521 0,0389 0,0286 0,0208 0,015 0,0107

4 0,1558 0,1339 0,1118 0,0912 0,0729 0,0573 0,0443 0,0337 0,0254

5 0,1714 0,1606 0,1454 0,1277 0,1094 0,0916 0,0752 0,0607 0,0483

6 0,1571 0,1606 0,1575 0,149 0,1367 0,1221 0,1066 0,0911 0,0764

7 0,1234 0,1377 0,1462 0,149 0,1465 0,1396 0,1294 0,1171 0,1037

8 0,0849 0,1033 0,1188 0,1304 0,1373 0,1396 0,1375 0,1318 0,1232

9 0,0519 0,0688 0,0858 0,1014 0,1144 0,1241 0,1299 0,1318 0,13

10 0,0285 0,0413 0,0558 0,071 0,0858 0,0993 0,1104 0,1186 0,1235

11 0,0143 0,0225 0,033 0,0452 0,0585 0,0722 0,0853 0,097 0,1067

12 0,0065 0,0113 0,0179 0,0263 0,0366 0,0481 0,0604 0,0728 0,0844

13 0,0028 0,0052 0,0089 0,0142 0,0211 0,0296 0,0395 0,0504 0,0617

14 0,0011 0,0022 0,0041 0,0071 0,0113 0,0169 0,024 0,0324 0,0419

15 0,0004 0,0009 0,0018 0,0033 0,0057 0,009 0,0136 0,0194 0,0265

16 0,0001 0,0003 0,0007 0,0014 0,0026 0,0045 0,0072 0,0109 0,0157

17 0,0001 0,0003 0,0006 0,0012 0,0021 0,0036 0,0058 0,0088

18 0,0001 0,0002 0,0005 0,0009 0,0017 0,0029 0,0046

19 0,0001 0,0002 0,0004 0,0008 0,0014 0,0023

20 0,0001 0,0002 0,0003 0,0006 0,0011

21 0,0001 0,0001 0,0003 0,0005

22 0,0001 0,0001 0,0002

23 0,0001

18

Loi de Poisson Probabilités cumulées

k 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5

0 0,0041 0,0025 0,0015 0,0009 0,0006 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001

1 0,0266 0,0174 0,0113 0,0073 0,0047 0,003 0,0019 0,0012 0,0008

2 0,0884 0,062 0,043 0,0296 0,0203 0,0138 0,0093 0,0062 0,0042

3 0,2017 0,1512 0,1118 0,0818 0,0591 0,0424 0,0301 0,0212 0,0149

4 0,3575 0,2851 0,2237 0,173 0,1321 0,0996 0,0744 0,055 0,0403

5 0,5289 0,4457 0,369 0,3007 0,2414 0,1912 0,1496 0,1157 0,0885

6 0,686 0,6063 0,5265 0,4497 0,3782 0,3134 0,2562 0,2068 0,1649

7 0,8095 0,744 0,6728 0,5987 0,5246 0,453 0,3856 0,3239 0,2687

8 0,8944 0,8472 0,7916 0,7291 0,662 0,5925 0,5231 0,4557 0,3918

9 0,9462 0,9161 0,8774 0,8305 0,7764 0,7166 0,653 0,5874 0,5218

10 0,9747 0,9574 0,9332 0,9015 0,8622 0,8159 0,7634 0,706 0,6453

11 0,989 0,9799 0,9661 0,9467 0,9208 0,8881 0,8487 0,803 0,752

12 0,9955 0,9912 0,984 0,973 0,9573 0,9362 0,9091 0,8758 0,8364

13 0,9983 0,9964 0,9929 0,9872 0,9784 0,9658 0,9486 0,9261 0,8981

14 0,9994 0,9986 0,997 0,9943 0,9897 0,9827 0,9726 0,9585 0,94

15 0,9998 0,9995 0,9988 0,9976 0,9954 0,9918 0,9862 0,978 0,9665

16 0,9999 0,9998 0,9996 0,999 0,998 0,9963 0,9934 0,9889 0,9823

17 1 0,9999 0,9998 0,9996 0,9992 0,9984 0,997 0,9947 0,9911

18 1 0,9999 0,9999 0,9997 0,9993 0,9987 0,9976 0,9957

19 1 1 0,9999 0,9997 0,9995 0,9989 0,998

20 1 0,9999 0,9998 0,9996 0,9991

21 1 0,9999 0,9998 0,9996

22 1 0,9999 0,9999

23 1 0,9999

Loi de poisson

Probabilités individuelles

10 11 12 13 14 15 16 17 18

0

1 0,0005 0,0002 0,0001

2 0,0023 0,001 0,0004 0,0002 0,0001

3 0,0076 0,0037 0,0018 0,0008 0,0004 0,0002 0,0001

4 0,0189 0,0102 0,0053 0,0027 0,0013 0,0006 0,0003 0,0001 0,0001

5 0,0378 0,0224 0,0127 0,007 0,0037 0,0019 0,001 0,0005 0,0002

6 0,0631 0,0411 0,0255 0,0152 0,0087 0,0048 0,0026 0,0014 0,0007

7 0,0901 0,0646 0,0437 0,0281 0,0174 0,0104 0,006 0,0034 0,0019

8 0,1126 0,0888 0,0655 0,0457 0,0304 0,0194 0,012 0,0072 0,0042

9 0,1251 0,1085 0,0874 0,0661 0,0473 0,0324 0,0213 0,0135 0,0083

10 0,1251 0,1194 0,1048 0,0859 0,0663 0,0486 0,0341 0,023 0,015

11 0,1137 0,1194 0,1144 0,1015 0,0844 0,0663 0,0496 0,0355 0,0245

12 0,0948 0,1094 0,1144 0,1099 0,0984 0,0829 0,0661 0,0504 0,0368

13 0,0729 0,0926 0,1056 0,1099 0,106 0,0956 0,0814 0,0658 0,0509

14 0,0521 0,0728 0,0905 0,1021 0,106 0,1024 0,093 0,08 0,0655

15 0,0347 0,0534 0,0724 0,0885 0,0989 0,1024 0,0992 0,0906 0,0786

16 0,0217 0,0367 0,0543 0,0719 0,0866 0,096 0,0992 0,0963 0,0884

17 0,0128 0,0237 0,0383 0,055 0,0713 0,0847 0,0934 0,0963 0,0936

18 0,0071 0,0145 0,0255 0,0397 0,0554 0,0706 0,083 0,0909 0,0936

19 0,0037 0,0084 0,0161 0,0272 0,0409 0,0557 0,0699 0,0814 0,0887

20 0,0019 0,0046 0,0097 0,0177 0,0286 0,0418 0,0559 0,0692 0,0798

21 0,0009 0,0024 0,0055 0,0109 0,0191 0,0299 0,0426 0,056 0,0684

19

Loi de poisson

Probabilités individuelles

k 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5

0 0,0041 0,0025 0,0015 0,0009 0,0006 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001

1 0,0225 0,0149 0,0098 0,0064 0,0041 0,0027 0,0017 0,0011 0,0007

2 0,0618 0,0446 0,0318 0,0223 0,0156 0,0107 0,0074 0,005 0,0034

3 0,1133 0,0892 0,0688 0,0521 0,0389 0,0286 0,0208 0,015 0,0107

4 0,1558 0,1339 0,1118 0,0912 0,0729 0,0573 0,0443 0,0337 0,0254

5 0,1714 0,1606 0,1454 0,1277 0,1094 0,0916 0,0752 0,0607 0,0483

6 0,1571 0,1606 0,1575 0,149 0,1367 0,1221 0,1066 0,0911 0,0764

7 0,1234 0,1377 0,1462 0,149 0,1465 0,1396 0,1294 0,1171 0,1037

8 0,0849 0,1033 0,1188 0,1304 0,1373 0,1396 0,1375 0,1318 0,1232

9 0,0519 0,0688 0,0858 0,1014 0,1144 0,1241 0,1299 0,1318 0,13

10 0,0285 0,0413 0,0558 0,071 0,0858 0,0993 0,1104 0,1186 0,1235

11 0,0143 0,0225 0,033 0,0452 0,0585 0,0722 0,0853 0,097 0,1067

12 0,0065 0,0113 0,0179 0,0263 0,0366 0,0481 0,0604 0,0728 0,0844

13 0,0028 0,0052 0,0089 0,0142 0,0211 0,0296 0,0395 0,0504 0,0617

14 0,0011 0,0022 0,0041 0,0071 0,0113 0,0169 0,024 0,0324 0,0419

15 0,0004 0,0009 0,0018 0,0033 0,0057 0,009 0,0136 0,0194 0,0265

16 0,0001 0,0003 0,0007 0,0014 0,0026 0,0045 0,0072 0,0109 0,0157

17 0,0001 0,0003 0,0006 0,0012 0,0021 0,0036 0,0058 0,0088

18 0,0001 0,0002 0,0005 0,0009 0,0017 0,0029 0,0046

19 0,0001 0,0002 0,0004 0,0008 0,0014 0,0023

20 0,0001 0,0002 0,0003 0,0006 0,0011

21 0,0001 0,0001 0,0003 0,0005

22 0,0001 0,0001 0,0002

23 0,0001

20

Loi de poisson

Probabilités individuelles

k 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0

1 0,0005 0,0002 0,0001

2 0,0023 0,001 0,0004 0,0002 0,0001 1

3 0,0076 0,0037 0,0018 0,0008 0,0004 0,0002 0,0001

4 0,0189 0,0102 0,0053 0,0027 0,0013 0,0006 0,0003 0,0001 0,0001

5 0,0378 0,0224 0,0127 0,007 0,0037 0,0019 0,001 0,0005 0,0002

6 0,0631 0,0411 0,0255 0,0152 0,0087 0,0048 0,0026 0,0014 0,0007

7 0,0901 0,0646 0,0437 0,0281 0,0174 0,0104 0,006 0,0034 0,0019

8 0,1126 0,0888 0,0655 0,0457 0,0304 0,0194 0,012 0,0072 0,0042

9 0,1251 0,1085 0,0874 0,0661 0,0473 0,0324 0,0213 0,0135 0,0083

10 0,1251 0,1194 0,1048 0,0859 0,0663 0,0486 0,0341 0,023 0,015

11 0,1137 0,1194 0,1144 0,1015 0,0844 0,0663 0,0496 0,0355 0,0245

12 0,0948 0,1094 0,1144 0,1099 0,0984 0,0829 0,0661 0,0504 0,0368

13 0,0729 0,0926 0,1056 0,1099 0,106 0,0956 0,0814 0,0658 0,0509

14 0,0521 0,0728 0,0905 0,1021 0,106 0,1024 0,093 0,08 0,0655

15 0,0347 0,0534 0,0724 0,0885 0,0989 0,1024 0,0992 0,0906 0,0786

16 0,0217 0,0367 0,0543 0,0719 0,0866 0,096 0,0992 0,0963 0,0884

17 0,0128 0,0237 0,0383 0,055 0,0713 0,0847 0,0934 0,0963 0,0936

18 0,0071 0,0145 0,0255 0,0397 0,0554 0,0706 0,083 0,0909 0,0936

19 0,0037 0,0084 0,0161 0,0272 0,0409 0,0557 0,0699 0,0814 0,0887

20 0,0019 0,0046 0,0097 0,0177 0,0286 0,0418 0,0559 0,0692 0,0798

21 0,0009 0,0024 0,0055 0,0109 0,0191 0,0299 0,0426 0,056 0,0684

22 0,0004 0,0012 0,003 0,0065 0,0121 0,0204 0,031 0,0433 0,056

23 0,0002 0,0006 0,0016 0,0037 0,0074 0,0133 0,0216 0,032 0,0438

24 0,0001 0,0003 0,0008 0,002 0,0043 0,0083 0,0144 0,0226 0,0328

25 0,0001 0,0004 0,001 0,0024 0,005 0,0092 0,0154 0,0237

26 0,0002 0,0005 0,0013 0,0029 0,0057 0,0101 0,0164

27 0,0001 0,0002 0,0007 0,0016 0,0034 0,0063 0,0109

28 0,0001 0,0003 0,0009 0,0019 0,0038 0,007

29 0,0001 0,0002 0,0004 0,0011 0,0023 0,0044

30 0,0001 0,0002 0,0006 0,0013 0,0026

31 0,0001 0,0003 0,0007 0,0015

32 0,0001 0,0001 0,0004 0,0009

33 0,0001 0,0002 0,0005

34 0,0001 0,0002

35 0,0001

36 0,0001

21

Loi de poisson

Probabilités cumulées

k 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0

1 0,0005 0,0002 0,0001

2 0,0028 0,0012 0,0005 0,0002 0,0001

3 0,0103 0,0049 0,0023 0,0011 0,0005 0,0002 0,0001

4 0,0293 0,0151 0,0076 0,0037 0,0018 0,0009 0,0004 0,0002 0,0001

5 0,0671 0,0375 0,0203 0,0107 0,0055 0,0028 0,0014 0,0007 0,0003

6 0,1301 0,0786 0,0458 0,0259 0,0142 0,0076 0,004 0,0021 0,001

7 0,2202 0,1432 0,0895 0,054 0,0316 0,018 0,01 0,0054 0,0029

8 0,3328 0,232 0,155 0,0998 0,0621 0,0374 0,022 0,0126 0,0071

9 0,4579 0,3405 0,2424 0,1658 0,1094 0,0699 0,0433 0,0261 0,0154

10 0,583 0,4599 0,3472 0,2517 0,1757 0,1185 0,0774 0,0491 0,0304

11 0,6968 0,5793 0,4616 0,3532 0,26 0,1848 0,127 0,0847 0,0549

12 0,7916 0,6887 0,576 0,4631 0,3585 0,2676 0,1931 0,135 0,0917

13 0,8645 0,7813 0,6815 0,573 0,4644 0,3632 0,2745 0,2009 0,1426

14 0,9165 0,854 0,772 0,6751 0,5704 0,4657 0,3675 0,2808 0,2081

15 0,9513 0,9074 0,8444 0,7636 0,6694 0,5681 0,4667 0,3715 0,2867

16 0,973 0,9441 0,8987 0,8355 0,7559 0,6641 0,566 0,4677 0,3751

17 0,9857 0,9678 0,937 0,8905 0,8272 0,7489 0,6593 0,564 0,4686

18 0,9928 0,9823 0,9626 0,9302 0,8826 0,8195 0,7423 0,655 0,5622

19 0,9965 0,9907 0,9787 0,9573 0,9235 0,8752 0,8122 0,7363 0,6509

20 0,9984 0,9953 0,9884 0,975 0,9521 0,917 0,8682 0,8055 0,7307

21 0,9993 0,9977 0,9939 0,9859 0,9712 0,9469 0,9108 0,8615 0,7991

22 0,9997 0,999 0,997 0,9924 0,9833 0,9673 0,9418 0,9047 0,8551

23 0,9999 0,9995 0,9985 0,996 0,9907 0,9805 0,9633 0,9367 0,8989

24 1 0,9998 0,9993 0,998 0,995 0,9888 0,9777 0,9594 0,9317

25 0,9999 0,9997 0,999 0,9974 0,9938 0,9869 0,9748 0,9554

26 1 0,9999 0,9995 0,9987 0,9967 0,9925 0,9848 0,9718

27 0,9999 0,9998 0,9994 0,9983 0,9959 0,9912 0,9827

28 1 0,9999 0,9997 0,9991 0,9978 0,995 0,9897

29 1 0,9999 0,9996 0,9989 0,9973 0,9941

30 0,9999 0,9998 0,9994 0,9986 0,9967

31 1 0,9999 0,9997 0,9993 0,9982

32 1 0,9999 0,9996 0,999

33 0,9999 0,9998 0,9995

34 1 0,9999 0,9998

35 1 0,9999

36 1

Loi binomiale

Pour n=5

Probabilités individuelles

k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%

0 0,951 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,1681 0,0778 0,0313 0,0024 0

1 0,048 0,2036 0,3281 0,3915 0,4096 0,3602 0,2592 0,1563 0,0284 0,0005

2 0,001 0,0214 0,0729 0,1382 0,2048 0,3087 0,3456 0,3125 0,1323 0,0081

3 0,0011 0,0081 0,0244 0,0512 0,1323 0,2304 0,3125 0,3087 0,0729

4 0,0284 0,0768 0,1563 0,3602 0,3281

Probabilités cumulées

k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%

0 0,951 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,1681 0,0778 0,0313 0,0024 0

1 0,999 0,9774 0,9185 0,8352 0,7373 0,5282 0,337 0,1875 0,0308 0,0005

2 1 0,9988 0,9914 0,9734 0,9421 0,8369 0,6826 0,5 0,1631 0,0086

3 1 1 0,9978 0,9933 0,9692 0,913 0,8125 0,4718 0,0815

4 1 0,9898 0,9688 0,8319 0,4095

22

Loi binomiale

Pour n=10

Probabilités individuelles

k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%

0 0,9044 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0282 0,006 0,001 0 0

1 0,0914 0,3151 0,3874 0,3474 0,2684 0,1211 0,0403 0,0098 0,0001 0

2 0,0042 0,0746 0,1937 0,2759 0,302 0,2335 0,1209 0,0439 0,0014 0

3 0,0001 0,0105 0,0574 0,1298 0,2013 0,2668 0,215 0,1172 0,009 0

5 0,0015 0,0085 0,0264 0,1029 0,2007 0,2461 0,1029

7 0,0008 0,009 0,0425 0,1172 0,2668 0,0574 0,0015

9 0,1211 0,3874

Probabilités cumulées

k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%

0 0,9044 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0282 0,006 0,001 0 0

1 0,9957 0,9139 0,7361 0,5443 0,3758 0,1493 0,0464 0,0107 0,0001 0

2 0,9999 0,9885 0,9298 0,8202 0,6778 0,3828 0,1673 0,0547 0,0016 0

3 1 0,999 0,9872 0,95 0,8791 0,6496 0,3823 0,1719 0,0106 0

5 1 0,9999 0,9986 0,9936 0,9527 0,8338 0,623 0,1503 0,0016

7 1 1 0,9999 0,9984 0,9877 0,9453 0,6172 0,0702

9 1 1 0,9999 0,999 0,9718 0,6513

Loi binomiale

Pour n=15

Probabilités individuelles

k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%

0 0,8601 0,4633 0,2059 0,0874 0,0352 0,0047 0,0005 0 0 0

2 0,0092 0,1348 0,2669 0,2856 0,2309 0,0916 0,0219 0,0032 0 0

4 0 0,0049 0,0428 0,1156 0,1876 0,2186 0,1268 0,0417 0,0006 0

6 0 0 0,0019 0,0132 0,043 0,1472 0,2066 0,1527 0,0116 0

8 0 0 0,0005 0,0035 0,0348 0,1181 0,1964 0,0811 0,0003

10 0 0 0,0001 0,003 0,0245 0,0916 0,2061 0,0105

12 0,0001 0,0016 0,0139 0,17

14 0,0005 0,0305 0,3432

Loi binomiale

Probabilités cumulées

k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%

0 0,8601 0,4633 0,2059 0,0874 0,0352 0,0047 0,0005 0 0 0

2 0,9996 0,9638 0,8159 0,6042 0,398 0,1268 0,0271 0,0037 0 0

4 1 0,9994 0,9873 0,9383 0,8358 0,5155 0,2173 0,0592 0,0007 0

6 1 0,9997 0,9964 0,9819 0,8689 0,6098 0,3036 0,0152 0

8 1 0,9999 0,9992 0,9848 0,905 0,6964 0,1311 0,0003

10 1 1 0,9993 0,9907 0,9408 0,4845 0,0127

12 1 0,9997 0,9963 0,8732 0,1841

14 1 1 0,9953 0,7941 20

23

Loi binomiale

Pour n = 20

Probabilités individuelles

k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%

0 0,8179 0,3585 0,1216 0,0388 0,0115 0,0008 0 0 0 0

2 0,0159 0,1887 0,2852 0,2293 0,1369 0,0278 0,0031 0,0002 0 0

4 0 0,0133 0,0898 0,1821 0,2182 0,1304 0,035 0,0046 0 0

6 0 0,0003 0,0089 0,0454 0,1091 0,1916 0,1244 0,037 0,0002 0

8 0 0,0004 0,0046 0,0222 0,1144 0,1797 0,1201 0,0039 0

10 0 0,0002 0,002 0,0308 0,1171 0,1762 0,0308 0

13 0 0 0,001 0,0146 0,0739 0,1643 0,002

15 0 0,0013 0,0148 0,1789 0,0319

17 0 0,0011 0,0716 0,1901

20 0 0,0008 0,1216

Loi binomiale

Probabilités cumulées

k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%

0 0,8179 0,3585 0,1216 0,0388 0,0115 0,0008 0 0 0 0

2 0,999 0,9245 0,6769 0,4049 0,2061 0,0355 0,0036 0,0002 0 0

4 1 0,9974 0,9568 0,8298 0,6296 0,2375 0,051 0,0059 0 0

6 1 0,9976 0,9781 0,9133 0,608 0,25 0,0577 0,0003 0

8 0,9999 0,9987 0,99 0,8867 0,5956 0,2517 0,0051 0

10 1 1 0,9994 0,9829 0,8725 0,5881 0,048 0

13 1 0,9997 0,9935 0,9423 0,392 0,0024

15 1 0,9997 0,9941 0,7625 0,0432

17 1 0,9998 0,9645 0,3231

20 1 1 1

Loi binomiale

Pour n=30

Probabilités individuelles

k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%

0 0,7397 0,2146 0,0424 0,0076 0,0012 0 0 0 0 0

2 0,0328 0,2586 0,2277 0,1034 0,0337 0,0018 0 0 0 0

5 0 0,0124 0,1023 0,1861 0,1723 0,0464 0,0041 0,0001 0 0

8 0,0001 0,0058 0,042 0,1106 0,1501 0,0505 0,0055 0 0

10 0 0,0004 0,0067 0,0355 0,1416 0,1152 0,028 0 0

12 0 0,0006 0,0064 0,0749 0,1474 0,0806 0,0005 0

15 0 0,0002 0,0106 0,0783 0,1445 0,0106 0

18 0 0,0005 0,0129 0,0806 0,0749 0

20 0 0,002 0,028 0,1416 0,0004

24 0 0,0006 0,0829 0,0474

26 0 0,0208 0,1771

30 0 0,0424

24

Loi binomiale

Pour n=30

Probabilités cumulées

k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%

0 0,7397 0,2146 0,0424 0,0076 0,0012 0 0 0 0 0

2 0,9967 0,8122 0,4114 0,1514 0,0442 0,0021 0 0 0 0

5 1 0,9967 0,9268 0,7106 0,4275 0,0766 0,0057 0,0002 0 0

8 1 0,998 0,9722 0,8713 0,4315 0,094 0,0081 0 0

10 0,9999 0,9971 0,9744 0,7304 0,2915 0,0494 0 0

12 1 0,9998 0,9969 0,9155 0,5785 0,1808 0,0006 0

15 1 0,9999 0,9936 0,9029 0,5722 0,0169 0

18 1 0,9998 0,9917 0,8998 0,1593 0

20 1 0,9991 0,9786 0,4112 0,0005

24 1 0,9998 0,9234 0,0732

26 1 0,9907 0,3526

30 1 1

Loi binomiale

Pour n=40

Probabilités individuelles

k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%

0 0,669 0,1285 0,0148 0,0015 0,0001 0 0 0 0 0

2 0,0532 0,2777 0,1423 0,0365 0,0065 0,0001 0 0 0 0

5 0 0,0342 0,1647 0,1692 0,0854 0,0061 0,0001 0 0 0

7 0 0,0027 0,0576 0,1493 0,1513 0,0315 0,0015 0 0 0

10 0 0,0036 0,0373 0,1075 0,1128 0,0196 0,0008 0 0

12 0,0003 0,0077 0,0443 0,1366 0,0576 0,0051 0 0

15 0 0,0003 0,005 0,0774 0,1228 0,0366 0 0

18 0 0,0002 0,0172 0,1026 0,1031 0,0006 0

20 0 0,0038 0,0554 0,1254 0,0038 0

22 0,0006 0,0203 0,1031 0,0172 0

25 0 0,0021 0,0366 0,0774 0

30 0 0,0008 0,1128 0,0036

35 0 0,0061 0,1647

40 0 0,0148

Loi binomiale

Probabilités cumulées

k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%

0 0,669 0,1285 0,0148 0,0015 0,0001 0 0 0 0 0

2 0,9925 0,6767 0,2228 0,0486 0,0079 0,0001 0 0 0 0

5 1 0,9861 0,7937 0,4325 0,1613 0,0086 0,0001 0 0 0

7 0,9993 0,9581 0,7559 0,4371 0,0553 0,0021 0 0 0

10 1 0,9985 0,9701 0,8392 0,3087 0,0352 0,0011 0 0

12 0,9999 0,9957 0,9568 0,5772 0,1285 0,0083 0 0

15 1 0,9999 0,9971 0,8849 0,4402 0,0769 0 0

18 1 0,9999 0,9852 0,7911 0,3179 0,0009 0

20 1 0,9976 0,9256 0,5627 0,0063 0

22 0,9997 0,9811 0,7852 0,032 0

25 1 0,9988 0,9597 0,1926 0

30 1 0,9997 0,8041 0,0051

35 1 0,9974 0,371

40 1 1

25

Loi binomiale Pour n = 50

Probabilités individuelles

k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%

0 0,605 0,0769 0,0052 0,0003 0 0 0 0 0 0

5 0,0001 0,0658 0,1849 0,1072 0,0295 0,0006 0 0 0 0

8 0 0,0024 0,0643 0,1493 0,1169 0,011 0,0002 0 0 0

10 0,0001 0,0152 0,089 0,1398 0,0386 0,0014 0 0 0

12 0 0,0022 0,0328 0,1033 0,0838 0,0076 0,0001 0 0

15 0,0001 0,0033 0,0299 0,1223 0,0415 0,002 0 0

18 0 0,0001 0,0037 0,0772 0,0987 0,016 0 0

20 0 0,0006 0,037 0,1146 0,0419 0 0

25 0 0,0014 0,0405 0,1123 0,0014 0

27 0,0002 0,0154 0,096 0,0067 0

30 0 0,002 0,0419 0,037 0

35 0 0,002 0,1223 0,0001

37 0,0003 0,105 0,0007

40 0 0,0386 0,0152

45 0,0006 0,1849

50 0 0,0052

Loi binomiale

Probabilités cumulées

k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%

0 0,605 0,0769 0,0052 0,0003 0 0 0 0 0 0

5 1 0,9622 0,6161 0,2194 0,048 0,0007 0 0 0 0

8 0,9992 0,9421 0,6681 0,3073 0,0183 0,0002 0 0 0

10 1 0,9906 0,8801 0,5836 0,0789 0,0022 0 0 0

12 0,999 0,9699 0,8139 0,2229 0,0133 0,0002 0 0

15 1 0,9981 0,9692 0,5692 0,0955 0,0033 0 0

18 0,9999 0,9975 0,8594 0,3356 0,0325 0 0

20 1 0,9997 0,9522 0,561 0,1013 0 0

25 1 0,9991 0,9427 0,5561 0,0024 0

27 0,9999 0,984 0,7601 0,0123 0

30 1 0,9986 0,9405 0,0848 0

35 1 0,9987 0,5532 0,0001

37 0,9998 0,7771 0,001

40 1 0,9598 0,0245

45 0,9998 0,5688

50 1 1