Université Paris Ouest Nanterre La Défense M2 Droit-Éco

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Mise à Niveau en MathématiquesCours et exercices

B. Desgraupes

2015 – 2016

Table des matières

1 Calcul algébrique 11.1 Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Opérations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3 Propriétés des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4 Élévation à une puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Puissances et racines 112.1 Valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Puissances négatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.3 Puissances fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4 Inégalités et carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.5 Somme de puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Calculs de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Polynômes 193.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Factorisation et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Signe des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 Courbes polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5 Formules polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Systèmes d’équations 314.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

III

IV TABLE DES MATIÈRES

4.2.1 Résolution par substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.2 Résolution par élimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.3 Cas exceptionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.1 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . 404.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Inéquations 455.1 Inéquations à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.1 Signe des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.1.2 Signe des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . 475.1.3 Signe des radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Inéquations à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2.1 Équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2.2 Région du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.3 Systèmes d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 Fonctions d’une variable réelle 616.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2 Fonctions d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2.2 Domaine de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2.3 Croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2.4 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2.5 Fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.2.6 Injection et surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7 Suites 757.1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.1.2 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.1.3 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8 Limites 818.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.1.2 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.1.3 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.1.4 Limites à droite et à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.1.5 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.1.6 Limites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.1.7 Indéterminations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

TABLE DES MATIÈRES V

8.1.8 Techniques de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.1.9 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9 Dérivation 999.1 Définition et règles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9.1.1 Taux de variation instantanée . . . . . . . . . . . . . . . . 999.1.2 Règles de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.1.3 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.1.4 Croissance et optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9.2 Étude de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.2.1 Plan d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.2.2 Propriétés géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

9.3 Dérivée seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.3.2 Notion de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

10 Fonctions usuelles 11310.1 Fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

10.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11310.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

10.2 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11610.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11610.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

10.3 Fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11910.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11910.3.2 Base des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

10.4 Fonctions homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12010.5 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

10.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12110.5.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12210.5.3 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12410.5.4 Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

11 Intégration 13511.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

11.1.1 Notion de primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13511.1.2 Notion d’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13911.1.3 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

11.2 Méthodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14211.2.1 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14211.2.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14311.2.3 Intégration des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . 14411.2.4 Intégration des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . 146

VI TABLE DES MATIÈRES

11.2.5 Intégrale des fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . 14711.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

12 Exercices de révisions 151

13 Solution des exercices 15513.1 Solutions du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15513.2 Solutions du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16013.3 Solutions du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16313.4 Solutions du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16913.5 Solutions du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17713.6 Solutions du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18613.7 Solutions du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19013.8 Solutions du chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19513.9 Solutions du chapitre 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20313.10Solutions du chapitre 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21413.11Solutions du chapitre 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22113.12Solutions du chapitre 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Chapter 1

Calcul algébrique

1.1 Ensembles de nombres• N : ensemble des nombres entiers

0, 1, 2, 3, . . .

• Z : ensemble des nombres entiers relatifs. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .

• Q : ensemble des nombres rationnels

ce sont les nombres de la formem

noù m et n sont entiers et n 6= 0. Le

nombre m s’appelle le numérateur et n le dénominateur.

Par exemple :2

3,

22

7,−12

100

• R : ensemble des nombres réelsc’est l’ensemble de tous les nombres qu’on peut écrire sous forme de nom-bres décimaux tels que 3,14 ou -2,718. Il peut y avoir une infinité dechiffres après la virgule. Par exemple la fraction 1

3 s’écrit 0, 3333 . . .

Ces ensembles de nombres ont les propriétés suivantes :

• ils sont inclus les uns dans les autres :

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

• Ils admettent deux opérations de base : l’addition et la multiplication.

L’addition est notée par le signe +. Par exemple: a+ b.La multiplication est notée par un signe × ou par un point ou même sans

symbole. Par exemple : a× b, a.b ou ab.Les expressions algébriques sont construites à l’aide de ces opérations et on

utilise des parenthèses pour délimiter les éléments. Par exemple : (a+ b)(c+d).

1

2 CHAPTER 1. CALCUL ALGÉBRIQUE

1.2 Opérations de base

1.2.1 AdditionTout nombre a un opposé obtenu en changeant son signe. L’opposé du nombrea est −a et réciproquement. Dans tous les cas, la somme des deux vaut 0.

C’est ce qui permet de changer un terme de membre dans une égalité.Lorsqu’un terme d’une somme passe d’un membre à l’autre, il est remplacépar son opposé, ce qui signifie qu’il change de signe.

Exemples:a = b⇐⇒ a− b = 0

a = b+ c⇐⇒ a− c = b

a+ b = c⇐⇒ a = c− b

a− b = c− d⇐⇒ a+ d = b+ c

L’addition des fractions se fait par réduction au même dénominateur. Larègle est la suivante :

a

b+c

d=ad+ bc

bd

En particulier :1

b+

1

d=d+ b

bd

Exemples

1

4+

1

3=

3 + 4

4× 3=

7

12

3

4+

5

6=

6× 3 + 4× 5

4× 6=

38

24=

19

12

1

9− 5

6=

6− 9× 5

9× 6=−39

54= −13

18

1.2.2 MultiplicationTout nombre non nul a un inverse : c’est un nombre tel que le produit des deuxsoit égal à 1. L’inverse du nombre a est noté 1/a ou 1

a . Autrement dit, il passedu numérateur au dénominateur et réciproquement. L’inverse de 1/a est a.

C’est ce qui permet de changer un terme de membre dans une égalité.Lorsqu’un terme d’un produit passe d’un membre à l’autre, il est remplacé parson inverse, ce qui signifie qu’il change de position.

1.2. OPÉRATIONS DE BASE 3

Exemples:a = b⇐⇒ a

b= 1

a = bc⇐⇒ a

c= b

ab = c⇐⇒ a =c

b

a/b = c/d⇐⇒ ad = bc

Si, dans un quotient, le numérateur et le dénominateur ont un facteur com-mun, celui-ci peut être supprimé. La formule est :

ac

bc=a

b

Exemple :15

21=

5× 3

7× 3=

5

7

0, 12

0, 15=

4× 3/100

5× 3/100=

4

5

Attention à une erreur commune : on ne peut faire cette simplification quesi il s’agit d’un facteur multiplicatif commun. Cela ne marche pas dans le casd’une somme : les quotients a+c

b+c et ab ne sont pas égaux car ici le terme c est

ajouté et non multiplié.La multiplication des fractions se fait terme à terme. La règle est la suivante

:a

b× c

d=ac

bd

L’inverse de la fractiona

best

b

a. On en déduit la règle de division des

fractions entre elles :a

bc

d

=ad

bc

Exemples :2

33

2

=4

9

1

33

4

=4

9


1

21

10

= 5

On a les règles de signe suivantes lorsqu’on effectue des multiplications :

• Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif.

• Le produit d’un nombre négatif par un nombre positif est un nombrenégatif.

• Le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif.

On résume ces propriétés par le tableau suivant

+ × + = +− × + = −+ × − = −− × − = +

Ces règles fonctionnent de la même manière pour les quotients :

• Le quotient de deux nombres positifs est un nombre positif.

• Le quotient d’un nombre négatif par un nombre positif est un nombrenégatif.

• Le quotient de deux nombres négatifs est un nombre positif.

On résume ces propriétés par le tableau suivant

+ / + = +− / + = −+ / − = −− / − = +

1.2.3 Propriétés des opérations

Les opérations de somme et de multiplication possèdent les propriétés suivantes:

• Commutativité : on peut échanger l’ordre des termes

a+ b = b+ a

ab = ba

1.2. OPÉRATIONS DE BASE 5

• Associativité : on peut changer l’ordre des parenthèses

(a+ b) + c = a+ (b+ c) = a+ b+ c

(ab)c = a(bc) = abc

• Distributivité : cela exprime la manière dont on peut mélanger sommes etproduits

(a+ b)(c+ d) = ac+ ad+ bc+ bd

Autrement dit, chaque terme de la première parenthèse est multiplié parchaque terme de la deuxième parenthèse.Les règles de signe s’appliquent :

(a− b)(c− d) = ac− ad− bc+ bd

1.2.4 Élévation à une puissanceLa multiplication permet de définir un opérateur appelé puissance qui s’appliqueà n’importe quel nombre ou n’importe quelle expression.

La puissance la plus simple est le carré défini par :

a2 = a× a

Le cube du nombre a est défini par :

a3 = a× a× a

On généralise en définissant la puissance n-ième comme ceci :

an = a× a× · · · × a︸︷︷︸n termes

On a les propriétés algébriques suivantes :

• dans un produit, les exposants s’ajoutent :

am × an = am+n

• dans une composition, les exposants se multiplient :(am)n

= amn

• la puissance d’un produit est le produit des puissances :(ab)n

= an bn

• il en est de même pour les quotients :(ab

)n=an

bn


Attention à une erreur commune : les propriétés précédentes sont vraies caril s’agit de produits.

Cela ne marche pas dans le cas d’une somme : par exemple, les expressions(a + b)2 et a2 + b2 ne sont pas égales. La puissance d’une somme n’est pas lasomme des puissances.

Il en est de même pour les différences : par exemple, les expressions (a− b)2

et a2 − b2 ne sont pas égales.Calculons le carré d’une somme :

(a+ b)2 = (a+ b)(a+ b)

= a2 + ab+ ba+ b2

= a2 + 2ab+ b2

On calcule de même le carré d’une différence :

(a− b)2 = (a− b)(a− b)= a2 − ab− ba+ b2

= a2 − 2ab+ b2

Finalement calculons le produit d’une somme et d’une différence :

(a+ b)(a− b) = a2 − ab+ ba− b2

= a2 − b2

Ces calculs conduisent à des formules connues appelées identités remar-quables :

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

a2 − b2 = (a− b)(a+ b)

Exercice

Calculer une formule pour (a+ b)3.

Corrigé

(a+ b)3 = (a+ b)2 (a+ b)

= (a2 + 2ab+ b2) (a+ b)

= a3 + a2b+ 2aba+ 2ab2 + b2a+ b3

= a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

1.3. INÉQUATIONS 7

D’où la formule :

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

De même, on obtiendrait :

(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3

Les coefficients de la formule de (a+b)n peuvent être calculés successivementgrâce au triangle de Pascal. Dans l’expression initiale a+ b les coefficients de aet de b sont 1 et 1. On construit le tableau en additionnant chaque fois le termesitué au-dessus et son voisin de gauche.

1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1

Dans chaque ligne, on lit les coefficients de la formule. Par exemple, laquatrième ligne comporte les valeurs 1, 4, 6, 4, 1 et permet d’écrire directementla formule de (a+ b)4 :

(a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4

Exercice

Calculer une formule pour (a+ b)6.

Corrigé

On part de la cinquième ligne du tableau et on calcule la suivante

1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1

On obtient donc

(a+ b)6 = a6 + 6a5b+ 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

1.3 Inéquations

Les inéquations sont des expressions algébriques dans lesquelles le signe = estremplacé par un signe d’inégalité comme <, >, ≤ ou ≥.


Certaines règles de calcul algébrique sont modifiées dans le cas des inéqua-tions, en particulier en ce qui concerne le changement de membre d’un termedans un produit.

La première règle est que si on change le signe des deux membres d’uneinéquations, alors l’inégalité change de sens. Par exemple :

a < b⇐⇒ −a > −b

De mêmea > b⇐⇒ −a < −ba ≤ b⇐⇒ −a ≥ −ba ≥ b⇐⇒ −a ≤ −b

La deuxième règle est que si un terme d’un produit change de membre, lesens de l’inégalité ne change pas si le terme est positif, mais change si le termeest négatif.

On écrit ce résultat sous la forme suivante :

ab < c⇐⇒

a <

c

bsi b > 0

a >c

bsi b < 0

Exercice

Trouver toutes les valeurs de x telles quex+ 1

x− 1< 2.

Corrigé

On aimerait faire passer la quantité x− 1 du dénominateur dans le membrede droite de l’inéquation. On doit distinguer selon que x − 1 est positive ounégative.• Cas où x− 1 > 0 On obtient

x+ 1 < 2(x− 1)

D’où x+ 1 < 2x− 2 et finalement x > 3Donc lorsque x est supérieur à 1, il doit être supérieur à 3. Cela élimine

toutes les valeurs entre 1 et 3.• Cas où x− 1 < 0 Le sens de l’inégalité change. On obtient

x+ 1 > 2(x− 1)

D’où x+ 1 > 2x− 2 et finalement x < 3Donc lorsque x est inférieur à 1, il doit être inférieur à 3. Mais cette condition

est toujours vraie !

En conclusion, les x cherchés sont dans la réunion de deux intervalles

x ∈]−∞, 1[ ∪ ]3,+∞[

1.4. EXERCICES 9

1.4 Exercices

Exercice 1

Trouver toutes les valeurs de x telles que(x+ 2)2

(x− 1)2< 1.

Exercice 2

Trouver toutes les valeurs de x telles que1

x− 1− 1

x+ 1< 1.

Exercice 3

Trouver toutes les valeurs de x telles quex− 1

x+ 2<x+ 2

x− 1.

Exercice 4

Trouver toutes les valeurs de x telles que (x− 1)(x+ 2) = 2x2 − 8.

Exercice 5

Montrez l’identité suivante :

a4 + 4 = (a2 − 2a+ 2)(a2 + 2a+ 2)

Exercice 6

Montrer que

a4 − b4 = (a+ b)(a3 − a2b+ ab2 − b3)

= (a− b)(a3 + a2b+ ab2 + b3)

Exercice 7

Montrer que

a6 − b6 = (a+ b)(a− b)(a2 + ab+ b2)(a2 − ab+ b2)

Exercice 8

Démonter l’identité de Brahmagupta :

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ad+ bc)2 + (ac− bd)2

En déduire que si les entiers m et n sont somme de 2 carrés, leur produit m.nl’est aussi. Montrer que m = 5 et n = 10 vérifient cette propriété.

Exercice 9


Pour les plus courageux ! Montrer l’identité de Lagrange :

(a2 + b2 + c2)(a′2 + b′2 + c′2)= (aa′ + bb′ + cc′)2 + (ab′ − a′b)2 + (bc′ − b′c)2 + (ca′ − c′a)2

Exercice 10

Pour les encore plus courageux, voici l’identité d’Euler :

(x21 + y2

1 + z21 + t21)(x2

2 + y22 + z2

2 + t22) = (x1x2 + y1y2 + z1z2 + t1t2)2

+(x1y2 − y1x2 + t1z2 − z1t2)2

+(x1z2 − z1x2 + y1t2 − t1y2)2

+(x1t2 − t1x2 + z1y2 − y1z2)2

Chapter 2

Puissances et racines

2.1 Valeurs absolues

La valeur absolue d’un nombre réel est la valeur de ce nombre privée de sonsigne. Si le nombre est x, sa valeur absolue est notée |x|.

Exemples :

• |12, 34| = 12, 34

• |+ 12, 34| = 12, 34

• | − 5, 67| = 5, 67

Dans le dernier exemple, on a x = −5, 67, ce qui est équivalent à −x = 5, 67.Par conséquent, on voit que dans ce cas |x| = 5, 67 = −x.

Ce résultat est vrai pour toute valeur négative x. On en déduit donc ladéfinition officielle de la fonction valeur absolue :

f(x) = |x| =

{x si x ≥ 0

−x si x < 0

En 0, les deux définitions coïncident. La fonction valeur absolue est continue.On peut donc calculer sa dérivée :

f ′(x) =

{1 si x > 0

−1 si x < 0

En x = 0, la fonction n’est pas dérivable car il y a une dérivée à gauche(égale à -1) et une dérivée à droite (égale à 1) qui ne sont pas égales entre elles.

Le graphe de la fonction valeur absolue est en forme de V.

11

12 CHAPTER 2. PUISSANCES ET RACINES

−10 −5 0 5 10

02

46

810

x

abs(x

)

2.2 Puissances

2.2.1 Puissances négatives

On étend la notion de puissance aux nombres entiers négatifs au moyen de laconvention

a−1 =1

a

Changer le signe d’un exposant revient à inverser la quantité sur laquelleporte cet exposant. Cela permet de définir an pour un entier relatif n ∈ Z.

De manière générale, on a :

a−n =1

anavec n ∈ Z

En particulier, si un dénominateur porte une puissance négative, on peut leremonter au numérateur :

1

a−1= a

et1

a−n= an

Les propriétés algébriques vues dans le cas des exposants positifs restentvalables lorsqu’on utilise des exposants négatifs :

2.2. PUISSANCES 13

• dans un produit, les exposants s’ajoutent :

am × an = am+n

• dans une composition, les exposants se multiplient :(am)n

= amn

• la puissance d’un produit est le produit des puissances :(ab)n

= an bn

• il en est de même pour les quotients :(ab

)n=an

bn

avec m ∈ Z et n ∈ Z.

2.2.2 RacinesLa racine carrée d’un nombre réel a est un nombre b réel tel que b2 = a.

Puisque b2 est une quantité toujours positive, on en déduit que nécessaire-ment a doit être positif. Il n’y a pas de racine carrée réelle pour un nombrenégatif.

Exemple

3 est racine de 9 car 32 = 9. Mais on sait aussi que (−3)2 = 9, ce qui signifieque -3 est aussi racine carrée de 9.

C’est un résultat général : si b est racine carrée, alors −b l’est aussi. Il n’yen a pas d’autre.

Un nombre strictement positif a donc deux racines carrées réelles qui sontopposées l’une de l’autre. On les note respectivement

√b pour celle qui est

positive et −√b pour celle qui est négative.

La racine de 0 est 0 :√

0 = 0.Remarques importantes :

• une expression placée sous une racine carrée doit nécessairement être pos-itive ou nulle.

• on a l’identité suivante √a2 = |a|

Quand on prend la racine d’une expression élevée au carré, on obtient lavaleur absolue de cette expression.

• si a et b sont deux nombres positifs, on a√ab =

√a×√b. Autrement dit,

la racine (positive) d’un produit est le produit des racines (positives).


• Attention : la racine d’une somme n’est pas la somme des racines.

La racine cubique d’un nombre réel a est un nombre b réel tel que b3 = a.Puisque b3 est une quantité de même signe que b, on peut prendre la racine

cubique d’un nombre négatif.

Exemple

2 est racine de 8 car 23 = 8. On calcule aussi que (−2)3 = −8, ce qui signifieque -2 est racine cubique de -8.

C’est un résultat général : si b est racine cubique de a, alors −b est racinecubique de −a.

Un nombre réel a possède une seule racine cubique réelle. On la note 3√a.

La racine cubique de 0 est 0 : 3√

0 = 0.Les propriétés précédentes des racines carrées et cubiques se généralisent au

cas de racines n-ièmes. Par définition, une racine n-ième de a est un nombre btel que bn = a.

Si le nombre n est pair (n = 2m), la situation est la même que pour lesracines carrées : n

√a n’existe que si a est positif. Il y a deux racines réelles

opposées l’une de l’autre et elles sont notées n√a et − n

√a.

Si le nombre n est impair (n = 2m+1), la situation est la même que pour lesracines cubiques : n

√a existe pour tout nombre réel a et il y a une seule racine

réelle notée n√a.

2.2.3 Puissances fractionnaires

NotationOn convient de noter les racines n-ièmes au moyen d’exposants fractionnaires

de la manière suivante :n√a = a

1n

En particulier, on écrit :√a = a

12

3√a = a

13

Cette notation permet de définir la fonction puissance pour n’importe quelnombre fractionnaire p

q . On pose :

apq =

(q√a)p

Exemple

Calculer les quantités suivantes :

• 452 = (4

12 )5 = (

√4)5 = 25 = 32

2.2. PUISSANCES 15

• (−125)13 = (−5×−5×−5)

13 =

((−5)3

) 13 = (−5)

33 = −5

• 32−25 = (25)−

25 = (2)−

5×25 = 2−2 = 1

22 = 14

2.2.4 Inégalités et carrés

Il faut être très prudent avec les questions de signes lorsqu’on élève au carrédans une égalité.

On a l’implication suivante :

a = b =⇒ a2 = b2

Mais réciproquement, il faut écrire :

a2 = b2 =⇒ a = ±b

Il faut être encore plus prudent avec les questions de signes lorsqu’on élèveau carré dans une inégalité.

On ne peut le faire que si les deux membres sont de même signe et on doitdistinguer les deux cas suivants :

• si a et b sont tous les deux positifs, on a :

a < b =⇒ a2 < b2

• si a et b sont tous les deux négatifs, on a :

a < b =⇒ a2 > b2

Ici le sens de l’inégalité est renversé.

• si a et b ne sont pas de même signe, on ne peut pas conclure. Par exemple,−3 < 2 et 9 > 4, tandis que −1 < 2 et 1 < 4...

Inversement, prendre la racine carrée dans une inéquation demande aussi detenir compte des signes des expressions.

Par exemple, en supposant que b est un nombre positif :

a2 < b2 =⇒ −b < a < b

et non pas simplement a < b.En particulier,

a2 < 1 =⇒ −1 < a < 1

Les inégalités peuvent être strictes ou larges :

a2 ≤ b2 =⇒ −b ≤ a ≤ b


2.2.5 Somme de puissancesLa formule suivante permet de calculer la somme des N premières puissancesd’un nombre :

1 + a+ a2 + a3 + · · ·+ aN =1− aN+1

1− aNotationL’expression de gauche dans la formule précédente est habituellement notée

N∑k=0

ak

Ici k est un indice muet. On pourrait écrireN∑i=0

ai ouN∑t=0

at.

Exemple

Calculer 1 + 2 + 22 + 23 + · · ·+ 2N .

Corrigé

1 + 2 + 22 + 23 + · · ·+ 2N =1− 2N+1

1− 2=

2N+1 − 1

2− 1= 2N+1 − 1

En prenantN = 3 par exemple, on vérifie facilement en effet que 1+2+4+8 =15 = 16− 1 = 24 − 1.

Calculer S = 1 + 12 +

(12

)2+(

12

)3+ · · ·+

(12

)N .

Corrigé

S =1−

(12

)N+1

1− 12

=1−

(12

)N+1

12

= 2

(1− 1

2N+1

)= 2

(2N+1 − 1

2N+1

)=

2N+1 − 1

2N

En prenant N = 3 par exemple, on vérifie facilement que

S = 1 +1

2+

(1

2

)2

+

(1

2

)3

= 1 +1

2+

1

4+

1

8=

15

8=

24 − 1

23

2.3. POURCENTAGES 17

2.3 Pourcentages

2.3.1 DéfinitionL’expression “a%” (lue “a pour cent”) désigne, par convention, le rapport a

100 .

On l’utilise souvent avec des valeurs de a comprises entre 0 et 100, ce quifait que le rapport a/100 dans ce cas est un nombre dans l’intervalle [0, 1].

Par exemple, l’expression “10%” n’est autre que le nombre 0,1 et l’expression“75%” n’est autre que le nombre 0, 75 = 3/4.

Les pourcentages sont utilisés principalement pour désigner la valeur de tauxde variations de la forme r = ∆Y

∆X . Ils permettent de rapporter la valeur de cesquantités à une valeur commune (à savoir 100). On peut aussi écrire ∆Y =r ×∆X.

2.3.2 Calculs de tauxSupposons que r est un taux de variation (qu’il soit exprimé en pourcentage oupas).

Le nombre r est positif dans le cas d’une grandeur qui croît et négatif dansle cas d’une grandeur qui décroît.

La quantité X est augmentée de ∆X = r ×X et devient donc

X + ∆X = X + r ×X = (1 + r)X

On voit finalement que X a été multipliée par (1 + r). Le terme (1 + r) estappelé le coefficient multiplicateur associé au taux de variation r.

On passe du taux de variation au coefficient multiplicateur en ajoutant 1.Inversement, on passe du coefficient multiplicateur au taux de variation en

soustrayant 1.Par exemple, appliquer une augmentation de 10% revient à multiplier par

1,1. De même, multiplier un nombre par 0,95 revient à lui appliquer une diminu-tion de 5% (une variation de −5%).

Multiplier une quantité par 2 revient à lui appliquer un taux de variation de100%. En effet 2 = 1 + 1 donc r = 2− 1 = 1 = 100

100 = 100%.Appliquer n fois de suite un taux de variation r, revient à multiplier n fois

par le coefficient multiplicateur m = 1 + r.Cela revient finalement à multiplier par (1 + r)n.Si on note Qn la valeur au temps n d’une quantité qui augmente de r%, on

trouve finalement que :Qn = Q0(1 + r)n

Exemple

Si une quantité augmente au taux de 1% = 0, 01, elle est multipliée par 1,01.Au bout de 10 périodes, elle a été multipliée par 1, 0110 = 1.104622. Son tauxde variation au total est donc de 1.104622− 1 = 0.104622 ≈ 10.46%.


En conclusion, les taux de variation ne sont pas additifs: 10 fois 1% ne fontpas 10% mais 10.46% !

2.4 Exercices

Exercice 11

Pendant une année, une valeur boursière a augmenté chaque mois de 0.5%.Quel est son taux annuel d’accroissement ?

Exercice 12

Une grandeur Q augmente de 10% sur une année: calculer, en pourcentage,le taux mensuel qui donnerait le même accroissement.

Exercice 13

Une quantité à triplé en deux ans.a) Quel est son taux d’accroissement annuel ?b) Quel est son taux d’accroissement semestriel ?

Exercice 14

Une quantité a varié de 1%, 1.5%, -0.5% et -2% au cours de quatre trimestresconsécutifs.

a) Calculer le taux de variation annuel de cette quantité.b) Quel est le taux de variation trimestriel moyen ?

Exercice 15

Un capital a perdu un tiers de sa valeur. De quel pourcentage devrait-ilaugmenter pour retrouver sa valeur initiale ?

Exercice 16

Calculer la somme SN =

N∑k=0

(0, 75)k pour N = 1, 2, 3. À partir de quelle

valeur de N cette somme sera-t-elle supérieure ou égale à 3,75 ?

Chapter 3

Polynômes

3.1 Introduction

Un polynôme est une expression algébrique qui combine des termes de la formexn. Par exemple, les expressions suivantes sont des polynômes :

• 2x+ 1

• 3x2 − 12x− 3

• x3 − x

• 25x

4 − 3x3 + x2 − πx+√

13

• x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1

Les nombres qui figurent devant les quantités xn s’appellent les coefficientsdu polynôme. Les termes xn eux-même s’appellent des monômes. Le degré nle plus élevé parmi les monômes présents dans l’expression s’appelle le degré dupolynôme.

On dit que les expressions précédentes sont des polynômes en x mais le nomde la variable peut être différent : par exemple, P (y) = 3y2 − 1

2y − 3 est unpolynôme en y et P (a) = 3a2 − 1

2a− 3 est un polynôme en a.Finalement, un polynôme est une combinaison linéaire de monômes. L’écriture

générale d’un polynôme de degré n est

an xn + an−1 x

n−1 + an−2 xn−2 + · · ·+ a1 x+ a0

Le terme x est le terme de degré 1 (car x1 = x) et le terme a0 s’appelle leterme constant ou le terme de degré zéro (car x0 = 1).

Les coefficients déterminent un polynôme de manière unique. Autrement dit,quand on a une identité entre deux polynômes, on peut identifier les coefficientsterme à terme.

19

20 CHAPTER 3. POLYNÔMES

Exercice

Trouver deux nombres a et b tels que

(ax+ b)(x+ 2) = x2 − x− 6

Corrigé

On développe l’expression de gauche, ce qui donne l’identité

ax2 + (2a+ b)x+ 2b = x2 − x− 6

Donc par identification des coefficients des termes de même degré :a = 1

2a+ b = −1

2b = −6

On obtient finalement a = 1 et b = −3.

3.2 Factorisation et racinesOn appelle racines d’un polynôme P (x), tout nombre a qui annule ce polynôme:

a racine de P (x)⇐⇒ P (a) = 0

Exemple

• P (x) = 3x+ 2 a pour racine − 23 ;

• P (x) = x2 + x− 2 a pour racines -2 et 1 ;

• P (x) = 3x3 + 2x2 + 2x− 1 a pour racine 13 ;

• P (x) = x6 − 14x4 + 49x2 − 36 a pour racines -3, -2, -1, 1, 2 et 3.

Théorème 3.2.1. Un nombre a est racine d’un polynôme P (x) si et seulementsi le terme (x− a) peut être mis en facteur.

Cela signifie que le polynôme peut s’écrire P (x) = (x− a)Q(x) où Q(x) estun autre polynôme de degré immédiatement inférieur à celui de P (x).

Exemple

Prenons P (x) = x2 + 4x − 5. On vérifie facilement que 1 est racine carP (1) = 0. Par conséquent, le terme (x− 1) peut être mis en facteur.

On a en effetP (x) = (x− 1)(x+ 5)

3.2. FACTORISATION ET RACINES 21

donc ici Q(x) = x+ 5.

Exemple

Factoriser le polynôme P (x) = 3x3 +2x2 +2x−1 sachant qu’il a pour racine13 .

Corrigé

On vérifie effectivement que P(

1

3

)= 0. On en déduit que

(x− 1

3

)peut

être mise en facteur. Il faut trouver le polynôme Q : P est de degré 3 donc Qsera de degré 2.

On pose donc Q = ax2 + bx + c et on va le trouver par identification enpartant de (

x− 1

3

)Q(x) = 3x3 + 2x2 + 2x− 1

On développe :(x− 1

3

)(ax2 + bx+ c) = ax3 + bx2 + cx− 1

3ax2 − 1

3bx− 1

3c

= ax3 +

(b− 1

3a

)x2 +

(c− 1

3b

)x− 1

3c

= 3x3 + 2x2 + 2x− 1

Par identification des coefficients, on obtient :

a = 3

b− 1

3a = 2

c− 1

3b = 2

−1

3c = −1

=⇒

a = 3

b = 3

c = 3

SolutionFinalement on obtient la factorisation :

3x3 + 2x2 + 2x− 1 =

(x− 1

3

)(3x2 + 3x+ 3)

= (3x− 1)(x2 + x+ 1)

Pour pousser plus loin la factorisation, il faudrait trouver des racines pourle polynôme (x2 + x + 1). Mais celui-ci n’a pas de racines réelles ! Il ne peutdonc pas se factoriser.

On a vu précédemment que le polynôme P (x) = x6 − 14x4 + 49x2 − 36 apour racines -3, -2, -1, 1, 2 et 3. On peut donc factoriser ce polynôme de lamanière suivante :

x6 − 14x4 + 49x2 − 36 = (x+ 3)(x+ 2)(x+ 1)(x− 1)(x− 2)(x− 3)


Dans ce cas, on dit que le polynôme est entièrement factorisé par des termesde degré 1. Ce n’est pas toujours possible : on a vu que x2 + x + 1 n’étaitpas factorisable. Lorsqu’un polynôme n’est pas factorisable, on dit qu’il estirréductible.

Théorème 3.2.2. Un polynôme à coefficients réels de degré ≥ 3 peut toujoursêtre décomposé en un produit de facteurs de degré 1 et de facteurs irréductiblesde degré 2.

En particulier, un polynôme de degré 3 a toujours au moins une racine réelle.Il peut avoir 1 ou 3 racines réelles.

Exemple

3x3 + 2x2 + 2x− 1 = (3x− 1)(x2 + x+ 1)

3x3 − x2 − 12x+ 4 = (3x− 1) (x− 2) (x+ 2)

Exercice

Factoriser x4 + 1.

Corrigé

x4 + 1 = x4 + 2x2 + 1− 2x2

= (x2 + 1)2 − 2x2

= (x2 + 1−√

2x)(x2 + 1 +√

2x)

= (x2 −√

2x+ 1)(x2 +√

2x+ 1)

Les deux polynômes de degré 2 obtenus ne sont pas factorisables car ils n’ontpas de racines réelles : leur discriminant est égal à -2.

Si un facteur (x − a) apparaît deux fois dans un polynôme (c’est-à-direapparaît sous la forme (x−a)2), on dit que la racine a est d’ordre de multiplicité2.

Si (x− a) apparaît m fois (c’est-à-dire apparaît sous la forme (x− a)m), ondit que la racine a est d’ordre de multiplicité m.

Exemple

On peut vérifier que

x6 − 4x5 − 2x4 + 16x3 + 5x2 − 20x− 12 = (x− 3) (x− 2)2

(x+ 1)3

On en déduit que 3 est une racine d’ordre 1 (ou racine simple), que 2 est uneracine d’ordre 2 (ou racine double) et que -1 est racine d’ordre 3 (ou racinetriple).

La somme des ordres de multiplicité est égale au degré du polynôme lorsqu’ilest entièrement factorisé.

Une conséquence importante de ces résultats est le théorème suivant :

3.3. SIGNE DES POLYNÔMES 23

Théorème 3.2.3. Un polynôme de degré n peut avoir au plus n racines réellescompte-tenu de leur ordre de multiplicité.

Autrement dit, si un polynôme possède m racines réelles, il est de degré aumoins m.

En effet, si un polynôme a pour racines a1, a2, . . . , am, il peut se factorisercomme

(x− a1)(x− a2) . . . (x− am)Q(x)

Il est donc de degré au moins m

Exercice

Construire un polynôme ayant 12 comme racine double et − 1

2 comme racinetriple.

Corrigé

Ce polynôme doit être au minimum de degré 5. Il suffit de l’écrire sous formefactorisée :

P (x) = (x− 1/2)2

(x+ 1/2)3

Puis on le développe :

= x5 +x4

2− x3

2− x2

4+

x

16+

1

32

Ce polynôme est défini à multiple près. On peut en particulier tout multiplierpar 32 et prendre comme résultat :

P (x) = 32x5 + 16x4 − 16x3 − 8x2 + 2x+ 1

Quand on doit factoriser un polynôme, on commence par rechercher s’il ades “racines évidentes”.

Cette expression désigne des racines telles que 0, 1 ou -1 pour lesquelles onpeut vérifier sans trop d’efforts de calcul si le polynôme s’annule.

Si 0 est racine d’ordre m, c’est que xm se met en facteur dans le polynôme.En particulier, si le polynôme n’a pas de terme constant alors x peut se mettreen facteur et donc 0 est racine d’ordre au moins 1. Par exemple : x3−2x2 +x =x(x2 − 2x+ 1) = x(x− 1)2.

Lorsque les coefficients d’un polynôme sont tous des multiples de 2, on peuttenter de voir si 2 ou -2 seraient racines. De même pour des multiples de 3.

3.3 Signe des polynômesL’étude du signe d’un polynôme se fait sous forme factorisée en étudiant lesigne de chacun des facteurs et en appliquant les règles usuelles de signe dansun produit.

Puisqu’un polynôme se factorise en un produit de facteurs de degré 1 et defacteurs irréductibles de degré 2, on commence par étudier ces deux cas.


• Cas du degré 1

Si le facteur est de la forme (x−a), il est positif si x > a et négatif autrement.

S’il est de la forme (ax+ b), tout dépend du signe de a. Il est du signe de apour x > − b

a et du signe opposé à celui de a pour x < − ba

• Cas du degré 2

Un facteur irréductible de degré 2, noté ax2 + bx + c, est de signe constant: en effet s’il est irréductible, il ne s’annule jamais. Cela se produit lorsque sondiscriminant ∆ = b2 − 4ac est strictement négatif.

Ce signe constant est le signe de a lui-même.

Exercice

Étudier le signe de P (x) = −x3 + 2x2 − 2x+ 1.

Corrigé

On note que 1 est “racine évidente”. On factorise comme ceci :

P (x) = (x− 1)(−x2 + x− 1)

Le terme (−x2 + x − 1) est toujours négatif et le terme (x − 1) est négatif six < 1, positif sinon. Finalement P (x) est positif si x < 1, négatif sinon.

3.4 Courbes polynomiales

Les courbes polynomiales peuvent avoir des formes très variées selon le degrédu polynôme. Mais il y a quelques traits communs. Si le polynôme possède mracines, la courbe rencontrera l’axe des x en m points (elle peut traverser l’axeou simplement y être tangente).

Comme un polynôme est une fonction continue, entre les zéros la courbepassera par un minimum ou par un maximum.

Dans le cas d’un polynôme de degré 1, la courbe est une droite. Si lepolynôme est P (x) = ax + b (avec a 6= 0), le coefficient a est la pente de ladroite et le coefficient b est l’ordonnée à l’origine. La droite traverse l’axe des x

au point d’abscisse − ba.

Polynômes y = 2x+ 3 et y = −x+ 5.

3.4. COURBES POLYNOMIALES 25

y=2x+3

y=−x+5

−3/2

3

5

5

Les courbes polynomiales de degré 2 sont des paraboles. L’équation est dela forme

y = P (x) = ax2 + bx+ c

S’il s’agit d’un polynôme irréductible, la courbe ne coupe pas l’axe des x.Elle est entièrement au-dessus ou en dessous.

Si le polynôme se factorise sous la forme a (x− r1) (x− r2), la courbe coupel’axe des x aux points d’abscisse r1 et r2.

Polynômes y = x2 − 3x+ 2, y = 3x2 + x+ 1, y = −0.5x2 + 12.


−2 0 2 4

05

10

15

20

x

p1(x

)

y = x2

− 3x + 2

y = 3x2

+ x + 1

y = − 0.5x2

+ 12

Polynômes y = x3 − 2x2 − x+ 2, y = 2x3 + 3x2 + 2x+ 3, y = −(4x− 1)3.

−2 −1 0 1 2 3

−10

−5

05

x

p1(x

)

y = x3

− 2x2

− x + 2

y = 2x3

+ 3x2

+ 2x + 3

y = − (4x − 1)3

Polynôme y = 0.05 ∗ (x+ 3) ∗ (x+ 2) ∗ (x+ 1) ∗ x ∗ (x− 1) ∗ (x− 2).

3.5. FORMULES POLYNOMIALES 27

−3 −2 −1 0 1 2

−0.5

0.0

0.5

y = 0.05(x + 3)(x + 2)(x + 1)x(x − 1)(x − 2)

x

p1(x

)

3.5 Formules polynomialesLes coefficients du triangle de Pascal sont notés Cpn (coefficient d’indice p sur lan-ième ligne du triangle avec p qui varie de 0 à n). Ils permettent d’écrire laformule suivante qui est un cas particulier de la formule du binôme :

(x+ 1)n = xn + C1n x

n−1 + C2n x

n−2 + · · ·+ Cn−1n x+ 1

Les nombres Cpn peuvent être calculés par le triangle de Pascal ou directementcomme ceci :

Cpn =n× (n− 1)× (n− 2) · · · × (n− p+ 1)

1× 2× · · · × p

Les nombres Cpn vérifient les trois propriétés suivantes :

C0n = Cnn = 1

Cpn = Cn−pn

Cpn = Cpn−1 + Cp−1n−1

Exemple

Pour n = 5, on peut calculer directement les Cpn comme ceci :

C05 = C5

5 = 1


C15 = C4

5 =5

1= 5

C35 = C2

5 =5× 4

1× 2=

20

2= 10

Voici quelques cas particuliers :

(x+ 1)3 = x3 + 3x2 + 3x+ 1

(x+ 1)4 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x+ 1

(x+ 1)5 = x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x+ 1

De la même manière, on aura :

(x− 1)3 = x3 − 3x2 + 3x− 1

(x− 1)4 = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x+ 1

(x− 1)5 = x5 − 5x4 + 10x3 − 10x2 + 5x− 1

Exercice

Calculer le produit (x− 1)(xn + ...+ x+ 1).

Corrigé

On développe terme à terme. Faisons le calcul pour n = 2 :

(x− 1)(x2 + x+ 1) = x3 + x2 + x− x2 − x− 1 = x3 − 1

Pour n = 3, on a de même :

(x− 1)(x3 + x2 + x+ 1) = x4 + x3 + x2 + x− x3 − x2 − x− 1 = x4 − 1

De manière générale, on a la formule :

(x− 1)(xn + xn−1 + ...+ x+ 1) = xn+1 − 1

En faisant passer le terme (x− 1) au dénominateur dans la dernière formule(et donc en supposant que x 6= 1 !), on obtient :

xn + ...+ x+ 1 =xn+1 − 1

x− 1

Cette formule peut aussi s’écrire sous la forme suivante :

1 + x+ x2 + ...+ xn =1− xn+1

1− x

Elle donne la somme des puissances d’un nombre x jusqu’à l’ordre n. Elleest très utilisée dans les calculs de taux et d’amortissements.

3.6. EXERCICES 29

3.6 Exercices

Exercice 17

Factoriser les polynômes suivants :a) 2x2 − 5x+ 2b) x2 − 4x− 32c) x3 − 4xd) 2x3 + 3x2 − 2x− 3e) 3x3 + 8x2 + 3x− 2f) x4 − 1

Exercice 18

Trouver les racines des polynômes suivants :a) x4 − 5x2 + 4b) x4 − 13x2 + 36c) x6 − 11x4 + 19x2 − 9Indication : poser y = x2 et résoudre d’abord en y.

Exercice 19

On admet que le polynôme P (x) = 2x4 − x3 + 3x2 − x + 1 a un facteurx2 + 1.

a) Quel est son autre facteur ?b) Ces facteurs sont-ils irréductibles ?

Exercice 20

Montrer que

C0n + C1

n + C2n + · · ·+ Cn−1

n + Cnn = 2n

Exercice 21

a) Montrer que

C06 − C1

6 + C26 − C3

6 + C46 − C5

6 + C66 = 0

b) Généraliser avec la somme

C0n − C1

n + C2n − C3

n + . . .

Exercice 22

Sur un échiquier, on place un grain de blé sur la première case puis on doublechaque fois le nombre de grains sur les cases suivantes (autrement dit, on y met2, puis 4, puis 8, etc. grains de blés).

Combien cela fait-il de grains de blé au total ?


Exercice 23

Calculer la somme

1 +1

2+

(1

2

)2

+ ...+

(1

2

)nQue se passe-t-il si n augmente indéfiniment ?

Exercice 24

Calculer la somme

1− 1

2+

(1

2

)2

−(

1

2

)3

+ ...+

(−1

2


Chapter 4

Systèmes d’équations

4.1 Introduction

De nombreux problèmes conduisent à la résolution de systèmes d’équationslinéaires à plusieurs inconnues :

• recherche d’un point satisfaisant à des contraintes ;

• recherche d’un polynôme passant par des points donnés ;

• recherche de l’intersection de deux droites, d’une droite et d’un plan, etc.;

• décomposition d’une fraction en éléments simples.

4.2 Systèmes d’équations linéaires

Définition 4.2.1. Une équation linéaire est une expression polynomiale de degré1 à une ou plusieurs variables.

Voici quelques exemples :

• −2x+ 3 = 0

• 2x− 3y = 1

• 2x1 − 3x2 = 1

• −x1 + x2 − 5x3 = −7

Définition 4.2.2. Un système d’équations linéaires est un ensemble d’équationslinéaires qui doivent être satisfaites simultanément.

31

32 CHAPTER 4. SYSTÈMES D’ÉQUATIONS

Par exemple : {2x− y = 5

−x+ 2y = −4

Système de 2 équations à 2 inconnues.2x− y + z = 3

−x+ 2y − z = 0

x+ y − 2z = −3

Système de 3 équations à 3 inconnues.

4.2.1 Résolution par substitution

La méthode de résolution par substitution consiste à extraire, dans une équa-tion, une des variables en fonction des autres et à la substituer dans les autreséquations par l’expression obtenue.

Cela a pour effet de diminuer le nombre de variables. On peut recommencerplusieurs fois de suite si nécessaire jusqu’à n’avoir plus qu’une seule variable.

Une fois que cette variable est trouvée, on remonte les calculs pour trouverla valeur des autres variables.

Exemple 1

Résoudre le système suivant par substitution :{2x− y = 5

−x+ 2y = −4

Corrigé

La première équation permet d’extraire y :

y = 2x− 5

On reporte cette expression de y dans la deuxième équation :

−x+ 2(2x− 5) = −4⇐⇒ 3x− 10 = −4⇐⇒ 3x = 6⇐⇒ x = 2

Maintenant qu’on a obtenu x, on en déduit y = 2x− 5 = 2× 2− 5 = −1.

Exemple 2

Résoudre le système suivant par substitution :2x− y + z = 3

−x+ 2y − z = 0

x+ y − 2z = −3

4.2. SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES 33

Corrigé

La première équation permet d’extraire z :

z = −2x+ y + 3

On reporte cette expression de z dans les deuxième et troisième équations :{−x+ 2y − (−2x+ y + 3) = 0

x+ y − 2(−2x+ y + 3) = −3{x+ y = 3

5x− y = 3

On n’a plus que deux équations à deux inconnues.On recommence en extrayant cette fois y de la première de ces deux équations

:y = −x+ 3

On substitue cette expression de y dans la deuxième :

5x− (−x+ 3) = 3⇐⇒ 6x− 3 = 3⇐⇒ 6x = 6⇐⇒ x = 1

On remonte les calculs pour obtenir y = −1 + 3 = 2, puis z = −2x+ y+ 3 =−2 + 2 + 3 = 3.

La solution est le point (1, 2, 3).

4.2.2 Résolution par élimination

La méthode de résolution par élimination consiste à éliminer des variables parcombinaison linéaire entre les équations.

On prend en général les équations deux à deux pour opérer des combinaisonslinéaires.

Définition 4.2.3. Une combinaison linéaire entre deux expressions E1 et E2

est une expression aE1 + bE2 où a et b sont des nombres réels.

Par exemple 2E1 − 3E2, −E1 + 5E2, etc.Une combinaison linéaire bien choisie permet d’éliminer une variable et donc

de faire diminuer progressivement le nombre des variables jusqu’à ce qu’il n’enreste qu’une.

Exemple 3

Résoudre le système suivant par élimination :{2x− y = 5

−x+ 2y = −4


Corrigé

On va éliminer la variable x entre les deux équations afin qu’il ne reste plusque y.

La combinaison qui permet de faire partir les x est E1 + 2E2. On l’appliqueaux deux membres des deux équations, ce qui donne :

(2x− y) + 2(−x+ 2y) = 5 + 2× (−4)

On obtient 3y = −3⇐⇒ y = −1On reporte la valeur trouvée de y dans l’une des équations (ici la première)

:2x− (−1) = 5⇐⇒ 2x = 4⇐⇒ x = 2

Exemple 4

Résoudre le système suivant par élimination :{3x+ 2y = −5

x+ 3y = 3

Corrigé

On va cette fois éliminer la variable y entre les deux équations afin qu’il nereste plus que x.

La combinaison qui permet de faire partir les y est 3E1−2E2. On l’appliqueaux deux membres des deux équations, ce qui donne :

3(3x+ 2y)− 2(x+ 3y) = 3× (−5)− 2× 3

On obtient 7x = −21⇐⇒ x = −3On reporte la valeur trouvée de x dans la deuxième équation :

−3 + 3y = 3⇐⇒ 3y = 6⇐⇒ y = 2

Exemple 5

Résoudre le système suivant par élimination :x− y + z = −1

−x− 2y − 2z = −3

2x+ y − 2z = −3

Corrigé

On va éliminer z entre la première et la deuxième équation, puis entre ladeuxième et le troisième. Cela donnera deux équations qui ne contiendront plusque x et y.

4.2. SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES 35

On applique la combinaison 2E1 + E2 :

2(x− y + z) + (−x− 2y − 2z) = 2× (−1)− 3⇐⇒ x− 4y = −5

On applique ensuite la combinaison E2 − E3 :

(−x− 2y − 2z)− (2x+ y − 2z) = −(3)− (−3)⇐⇒ −3x− 3y = 0

On se retrouve avec les deux équations suivantes :{x− 4y = −5

x+ y = 0

Par soustraction, on élimine les x et on obtient :

−5y = −5⇐⇒ y = 1

D’où x = −1 et enfin, en reportant ces valeurs dans la première équationinitiale :

x− y + z = −1⇐⇒ −1− 1 + z = −1⇐⇒ z = 1

La solution est (−1, 1, 1).

4.2.3 Cas exceptionnelsEn général, un système de n équations à n inconnues possède une solutionunique (on verra, dans le cours d’algèbre, les conditions exactes pour lesquellesce résultat est vrai).

Mais il existe des situations où les calculs ne fonctionnent pas.

Exemple 6

Résoudre le système suivant par élimination :x− y + z = −1

2x+ y − 2z = −3

x− 4y + 5z = 3

On élimine z par les combinaisons 2E1 + E2 et 5E2 + 2E3. On obtient leséquations : {

2(x− y + z) + (2x+ y − 2z) = −5

5(2x+ y − 2z) + 2(x− 4y + 5z) = 5(−3) + 2(3)

Après simplification, on obtient :{4x− y = −5

12x− 3y = −9


On peut simplifier la deuxième équation en divisant par 3, ce qui conduit à{4x− y = −5

4x− y = −3

Ces équations sont contradictoires car −5 6= −3. Le système n’a pas desolutions.

L’explication de ce cas exceptionnel repose sur le fait que les membres degauche des trois équations sont liés entre eux : si on multiplie le premier par 3et qu’on lui retire le deuxième, on obtient le troisième :

3(x− y + z)− (2x+ y − 2z) = x− 4y + 5z

Mais les membres de droite ne vérifient pas cette relation : 3(−1)− (−3) =0 6= 3. C’est pourquoi le système n’a pas de solution.

Exemple 7

Modifions maintenant le système de l’exemple précédent en remplaçant juste-ment la valeur 3 par 0 dans la dernière équation :

x− y + z = −1

2x+ y − 2z = −3

x− 4y + 5z = 0

On a la relation 3E1 − E2 = E3. La dernière équation est redondante carelle est rigoureusement combinaison des deux premières.

Le système se réduit donc à deux équations seulement :{x− y + z = −1

2x+ y − 2z = −3

Il y a trois inconnues mais seulement deux équations. On fait passer unedes variables à droite et on résout le système en fonction de cette variable.Choisissons y : {

x+ z = −1 + y

2x− 2z = −3− y

En faisant la combinaison 2E1 +E2 dans le dernier système, les z se simpli-fient et il reste :

4x = 2(−1 + y) + (−3− y) = −5 + y ⇐⇒ x =y − 5

4

En faisant ensuite la combinaison 2E1−E2 dans le dernier système, les x sesimplifient et il reste :

4z = 2(−1 + y)− (−3− y) = 1 + 3y ⇐⇒ z =3y + 1

4

4.3. INTERPOLATION 37

Finalement

x =y − 5

4z =

3y + 1

4

et y est quelconque.On a donc dans ce cas une infinité de solutions. On dit que l’espace des

solutions est de dimension 1 car il dépend d’un seul paramètre (ici y).

4.3 InterpolationDe nombreux problèmes peuvent se formuler sous forme de systèmes d’équationslinéaires. C’est le cas en particulier de l’interpolation par des polynômes.

Le problème, posé géométriquement, consiste à trouver une courbe passantpar des points donnés.

Par exemple, on sait que par deux points distincts il passe une unique droite.Désignons les deux points par A1 = (x1, y1) et A2 = (x2, y2) et cherchons la

droite sous la forme y = ax + b. Les nombres a et b sont inconnus. Si on écritque les deux points A1 et A2 vérifient l’équation de la droite, on obtient :{

y1 = ax1 + b

y2 = ax2 + b⇐⇒

{x1 a+ b = y1

x2 a+ b = y2

Ce dernier système est un système de deux équations linéaires à deux incon-nues a et b. On peut le résoudre très simplement par élimination.

On obtient :

a =y2 − y1

x2 − x1b =

x2y1 − x1y2

x2 − x1

L’équation de la droite recherchée s’écrit donc finalement :

y =y2 − y1

x2 − x1x+

x2y1 − x1y2

x2 − x1

Exemple

Trouver une droite passant par les points : A1 = (−1, 3) et A2 = (1, 7).

Corrigé

On note l’équation y = ax+ b et on écrit le système :{−a+ b = 3

a+ b = 7

On trouve : a = 2 et b = 5.Il s’agit donc de la droite d’équation y = 2x+ 5 .On remarque que ax + b est un polynôme de degré 1. On peut généraliser

le problème précédent en prenant plus de points.


La question est de trouver une courbe polynomiale passant par n pointsdonnés A1 = (x1, y1), A2 = (x2, y2),...,An = (xn, yn).

Si on appelle P (x) le polynôme qu’on cherche, il doit vérifier les relationssuivantes :

P (x1) = y1

P (x2) = y2

......

P (xn) = yn

Théorème 4.3.1. Si tous les xi sont distincts entre eux, il existe un uniquepolynôme de degré n− 1 qui vérifie ces équations.

Comme un tel polynôme (de degré n − 1) a n coefficients, ces coefficientssont solution d’un système de n équations à n inconnues.

On a vu précédemment le cas de n = 2 (2 points) qui conduisait à unpolynôme de degré n− 1 = 2− 1 = 1 (une droite).

Voyons maintenant le cas où n = 3.

Exemple

Trouver une courbe polynomiale passant par les trois points suivants :

A1 = (−1,−6) A2 = (1,−2) A3 = (2,−3)

Corrigé

D’après le théorème précédent, ce polynôme doit être de degré 2. Notons-ley = P (x) = a x2 + b x+ c. Cette équation doit être vérifiée par les trois points.En remplaçant par les valeurs de ces points, on arrive au système suivant :

a− b+ c = −6

a+ b+ c = −2

4a+ 2b+ c = −3

On peut résoudre le système par élimination en soustrayant la deuxième etla première ligne (E2 − E1). On obtient :

2b = 4 =⇒ b = 2

En reportant cette valeur dans la deuxième et la troisième équation, on a lesystème : {

a+ c = −4

4a+ c = −7

On en tire a = −1 et c = −3.

Finalement le polynôme est P (x) = −x2 + 2x− 3 .Les courbes polynomiales de degré 2 sont des paraboles.

4.4. FRACTIONS RATIONNELLES 39

−2 −1 0 1 2 3

−10

−8

−6

−4

−2

P(x) = − x2

+ 2x − 3

x

P(x

) A1

A2

A3

4.4 Fractions rationnellesDéfinition 4.4.1. Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes.

C’est donc une expression de la formeP (x)

Q(x)où P (x) et Q(x) sont deux

polynômes en x.Ce quotient n’est défini que si Q(x) 6= 0. Autrement dit, x ne doit pas être

une racine de Q. Les racines de Q s’appellent les pôles de la fraction rationnelle.

Exemple

• x2 − x+ 3

x− 1

• x2 + x+ 1

(x− 1)2

• 1

x2 + 1

• x+ 5

x3 − 6x2 + 11x− 6

Lorsqu’on combine entre elles des fractions rationnelles, on obtient encoreune fraction rationnelle. Par exemple :

1

x+ 1− 1

x+ 2=

1

(x+ 1)(x+ 2)


De même :

1

x− 1+

3

x+ 1=

4x− 2

(x+ 1)(x− 1)=

4x− 2

x2 − 1

Ou encore :

3

x− 1− 7

x− 2+

4

x− 3= · · · = x+ 5

x3 − 6x2 + 11x− 6

4.4.1 Décomposition en éléments simples

Dans les exemples qui précèdent, la forme des fractions rationnelles dans lesmembres de gauche s’appelle une décomposition en éléments simples. La formedans les membres de droite est l’expression développée.

La décomposition en éléments simples est une écriture qui sépare les expres-sions rationnelles en une combinaison de termes élémentaires qui correspondentaux facteurs irréductibles du dénominateur.

Cette technique de décomposition sert essentiellement au calcul d’intégrales.Elle est aussi très utiles dans l’étude des séries infinies.

On va voir quelques règles qui précisent comment trouver les éléments sim-ples. Leur calcul se fait par résolution de systèmes d’équations linéaires, autrementdit par les méthodes vues au début de cette séance.

Règle n◦1

Si le dénominateur de la fraction rationnelleP (x)

Q(x)se factorise en un pro-

duit de termes de la forme (x − a) alors la fraction peut s’écrire comme une

combinaison d’éléments simples de la forme1

x− a.

Exemple

Dans la fraction4

x2 − 4, le dénominateur x2−4 se décompose en (x−2)(x+2).

La fraction s’écrit donc comme combinaison de1

x− 2et

1

x+ 2.

En effet, on peut vérifier que

4

x2 − 4=

1

x− 2− 1

x+ 2

Règle n◦2Si une racine du dénominateur est multiple, on obtient des éléments simples

élevés à des degrés allant jusqu’à l’ordre de multiplicité. Par exemple, si Q(x) aune racine double a (autrement dit, si Q(x) se factorise avec un terme (x− a)2)

alors on aura une combinaison d’éléments de la forme1

x− aet

1

(x− a)2.

Exemple

4.4. FRACTIONS RATIONNELLES 41

Dans la fraction F =2x+ 1

x2 − 2x+ 1, le dénominateur se factorise en (x− 1)2.

On aura donc des éléments de la forme1

x− 1et

1

(x− 1)2


F =x+ 2

(x− 1)2 +

1

x− 1

Règle n◦3Si le dénominateur contient un facteur irréductible (nécessairement de degré

2), alors l’élément simple a la forme d’un polynôme de degré 1 divisé par lefacteur irréductible.

Exemple

Dans la fraction3x2 − 3x+ 2

x3 − x2 + x− 1, le dénominateur se factorise en (x2+1)(x−

1).Le terme (x2 + 1) est irréductible et on aura donc un élément de la forme

1

x− 1et

ax+ b

x2 + 1. À cause du facteur simple (x − 1), on aura aussi un élément

de la forme1

x− 1(d’après la règle n◦1).


3x2 − 3x+ 2

x3 − x2 + x− 1=

2x− 1

x2 + 1+

1

x− 1

Exercice

Trouver la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle F =x+ 1

x2 − 3x+ 2.

Corrigé

Le dénominateur se factorise en x2 − 3x+ 2 = (x− 1)(x− 2).On cherche donc à écrire

F =a

x− 1+

b

x− 2

On réduit cette expression au même dénominateur :

F =a(x− 2) + b(x− 1)

(x− 1)(x− 2)=

(a+ b)x− 2a− bx2 − 3x+ 2

Par identification des numérateurs, on obtient les relations :{a+ b = 1

−2a− b = 1


C’est un système de deux équations à deux inconnues. On trouve{a = −2

b = 3

La décomposition est finalement

F =x+ 1

x2 − 3x+ 2=

3

x− 2− 2

x− 1

Exercice

Trouver la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle F =4x2 − 3x− 4

x3 + x2 − 2x.

Corrigé

Le dénominateur se factorise en x3+x2−2x = x(x2+x−2) = x(x−1)(x+2).On cherche donc à écrire

F =a

x− 1+

b

x+ 2+c

x


F =a x(x+ 2) + b x(x− 1) + c (x− 1)(x+ 2)

x3 + x2 − 2x

=(a+ b+ c) x2 + (2 a− b+ c) x− 2 c

x3 + x2 − 2x

Par identification des numérateurs, on obtient les relations :a+ b+ c = 4

2a− b+ c = −3

−2c = −4

C’est un système de trois équations à trois inconnues. On trouvea = −1

b = 3

c = 2


F =4x2 − 3x− 4

x3 + x2 − 2x= − 1

x− 1+

3

x+ 2+

2

x

4.5. EXERCICES 43

Exercice

Trouver la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle F =3x2 + 2x+ 1

x3 − 1.

Corrigé

Le dénominateur se factorise en x3 − 1 = (x2 + x+ 1)(x− 1).Le terme (x2 + x+ 1) est irréductible. On cherche donc à écrire

F =ax+ b

x2 + x+ 1+

c

x− 1


F =(a x+ b)(x− 1) + c (x2 + x+ 1)

x3 − 1

=(a+ c) x2 + (−a+ b+ c) x− b+ c

x3 − 1

Par identification des numérateurs, on obtient les relations :a+ c = 3

−a+ b+ c = 2

−b+ c = 1

C’est un système de trois équations à trois inconnues. On trouvea = 1

b = 1

c = 2


F =3x2 + 2x+ 1

x3 − 1=

x+ 1

x2 + x+ 1+

2

x− 1

4.5 Exercices

Exercice 25

Résoudre par la méthode de substitution les systèmes suivants :

(a)

{2x+ y = 2

−x+ 2y = −6(b)

{3x+ 2y = −1

2x− 3y = −5

(c)

{5x− y = 3

3x− 2y = −1(d)

{4x− 2y = 5

2x− y = 1


Exercice 26

Résoudre par la méthode d’élimination les systèmes suivants :

(a)

{−x+ 3y = −10

2x− y = 10(b)

{2x+ 5y = 14

−x+ 3y = 15

(c)

{5x+ 7y = −9

3x+ 2y = −1(d)

{x− 3y = 1/2

2x− 6y = 1

Exercice 27

Résoudre les systèmes 3× 3 suivants :

(a)

x− 3y + z = 8

2x− y + 2z = 6

x− 2y − 2z = 3

(b)

x− y = −3

3x− y + 5z = 8

4x− 2y + z = −7

(c)

−x− 3y + z = 5

−2x− 4y + 2z = 6

3x+ 5y − 2z = −7

(d)

x− y + 2z = 1

2x− 3y + z = −1

−4x+ 7y + z = 2

Exercice 28

Déterminer des polynômes passant par les deux points suivants :a) A1 = (1,−1) et A2 = (3, 9)b) A1 = (−2, 10) et A2 = (2,−2)

Exercice 29

Déterminer des polynômes passant par les trois points suivants :a) A1 = (−2, 12), A2 = (0, 2) et A3 = (3, 2)b) A1 = (−3, 2), A2 = (−1, 6) et A3 = (5,−30)c) A1 = (1, 1), A2 = (3,−3) et A3 = (7,−11)

Exercice 30

Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes :

(a)2x− 22

x2 + 2x− 3(b)

6x2 + 9x+ 4

x3 + 3x2 + 2x

(c) − 6x2 − 13x+ 5

x3 − x2 − x+ 1(d)

4x2 − 2x

x4 − 1

Chapter 5

Inéquations

5.1 Inéquations à une variableLe problème est de trouver l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles uneexpression en x est positive ou négative.

Par exemple :

• 4x2 − 4x− 3

• 4x3 − 8x2 + x+ 3

• 3√x2 − 1

• cos(x) sin(x)

• sin(3x− π)

• log(

12 − e

−x)De manière générale, cela revient à résoudre des inéquations. Si E est

l’expression, on part de l’inégalité E < 0 ou E > 0 et on essaie de la trans-former pour extraire les valeurs de x correspondantes.

Exemple

Étudier le signe de E =x+ 1

x− 2− 1.

Corrigé

On pose

x+ 1

x− 2− 1 < 0⇐⇒ (x+ 1)− (x− 2)

x− 2< 0

⇐⇒ 3

x− 2< 0

⇐⇒ x− 2 < 0⇐⇒ x < 2

45

46 CHAPTER 5. INÉQUATIONS

L’expression est finalement négative pour x < 2 et positive pour x > 2. Enx = 2, elle n’est pas définie.

Si l’expression peut être décomposée en un produit de sous-expressions, onétudie le signe de chaque sous-expression et on applique les règles de signe pourdéterminer le signe du produit.

Cela conduit à construire un tableau des signes dont les colonnes correspon-dent à des intervalles en x dans lesquels le signe de chaque sous-expression estconnu.

Exemple

Étudier le signe de cos(x) sin(x) sur l’intervalle [0, 2π].

Corrigé

Sur cet intervalle, la fonction sinus change de signe en 0 et π tandis que lafonction cosinus change de signe en π/2 et 3π/2.

x 0π

2π

3π

22π

cos(x) + 0 − − 0 +

sin(x) + + 0 − −

cos(x) sin(x) + 0 − 0 + 0 −

5.1.1 Signe des polynômesDans le cas des polynômes, il faut passer par la factorisation du polynôme enun produit de facteurs de degré 1 et de facteurs irréductibles de degré 2.

Exemple 1

Étudier le signe de P (x) = 4x2 − 4x− 3

Corrigé

On cherche les racines de P qui sont 3/2 et −1/2. Le polynôme se factorisecomme ceci :

P (x) = 4

(x− 3

2

)(x+

1

2

)= (2x− 3)(2x+ 1)

Le tableau de variation est :

x −∞ −1

2

3

2+∞

(2x− 3) − − 0 +

(2x+ 1) − 0 + +

P (x) + 0 − 0 +

5.1. INÉQUATIONS À UNE VARIABLE 47

Exemple 2

Étudier le signe de P (x) = 4x3 − 8x2 + x+ 3

Corrigé

On cherche les racines de P . On constate que 1 est racine évidente. Lepolynôme se factorise comme ceci (car on reconnaît l’exemple précédent) :

P (x) = (x− 1)(4x2 − 4x− 3) = (x− 1)(2x− 3)(2x+ 1)


x −∞ −1

21

3

2+∞

(x− 1) − − 0 + +

(2x− 3) − − − 0 +

(2x+ 1) − 0 + + +

P (x) − 0 + 0− 0 +

Exemple 3

Étudier le signe de P (x) = x3 − x2 + 2

Corrigé

On cherche les racines de P . On constate que -1 est racine évidente. Lepolynôme se factorise comme ceci :

P (x) = (x+ 1)(x2 − 2x+ 2

)Le facteur (x2 − 2x + 2) est irréductible. Il est donc toujours positif. Fi-

nalement P est simplement du signe de (x+ 1) : négatif si x < −1 et positif six > −1.

5.1.2 Signe des fractions rationnelles

Les fractions rationnelles sont des quotients de polynômes F (x) =P (x)

Q(x).

Il faut exclure du domaine d’étude les racines du dénominateur Q(x).Sur le domaine de définition, le signe est le même que celui du produit P (x)×

Q(x). On utilise donc la technique du tableau de signes vue précédemment.

Exemple 1

Étudier le signe de F (x) =x2 + x− 2

2x2 − 5x+ 3

Corrigé


Le numérateur et le dénominateur se factorisent facilement car ils ont tousles deux la racine évidente 1. On obtient :

F (x) =(x− 1)(x+ 2)

(x− 1)(2x− 3)=

x+ 2

2x− 3

La valeur 3/2 est exclue du domaine. Le tableau de variation est :

x −∞ −23

2+∞

(x+ 2) − 0 + +

(2x− 3) − − +

F (x) + 0 − +

Exemple 2

Étudier le signe de F (x) =2x2 − x− 1

2x2 + x− 1

Corrigé

On a la racine évidente 1 au numérateur et la racine évidente -1 au dénom-inateur. La fraction rationnelle se factorise alors sous la forme :

F (x) =(x− 1)(2x+ 1)

(x+ 1)(2x− 1)

On doit exclure les valeurs -1 et 1/2 du domaine de définition. Sur le do-maine, le signe de F (x) est celui du produit de 4 facteurs

(x− 1)(2x+ 1)(x+ 1)(2x− 1)

Les changements de signe se produisent en -1, -1/2, 1/2 et 1.Le tableau de variation est :

x −∞ −1 − 12

12 1 +∞

(x+ 1) − + 0 + + +

(2x+ 1) − − 0 + + +

(2x− 1) − − − + +

(x− 1) − − − − 0 +

F (x) + − 0 + − 0 +

Exemple 3

5.1. INÉQUATIONS À UNE VARIABLE 49

Étudier le signe de F (x) =x2 − 3x+ 3

−2x2 + x− 1

Corrigé

Le numérateur et le dénominateur sont des facteurs irréductibles de degré 2.Ils ne s’annulent jamais et ont un signe constant : positif pour le numérateuret négatif pour le dénominateur car un facteur irréductible est du signe de soncoefficient dominant (coefficient du terme de plus haut degré).

La fraction F (x) est donc toujours négative.

5.1.3 Signe des radicauxLorsqu’il y a des radicaux dans une expression, on est souvent amené à éleverau carré et il faut faire très attention au signe des deux membres. La fonctionx2 est décroissante pour les x négatifs et croissante pour les x positifs.

On ne doit élever au carré dans une inégalité que si les deux membres sontde même signe et on doit distinguer les cas suivants :

• si a et b sont tous les deux positifs, on a :

a < b =⇒ a2 < b2

• si a et b sont tous les deux négatifs, on a :

a < b =⇒ a2 > b2

Ici le sens de l’inégalité est renversé.

• si a et b ne sont pas de même signe, on ne peut pas conclure. Par exemple,−3 < 2 et 9 > 4, tandis que −1 < 2 et 1 < 4...

De même, inversement, une expression telle que a2 < b2 n’entraîne pas néces-sairement que a est plus petit que b si on ne sait rien sur le signe de a et beux-mêmes.

On traite ce genre d’expression en faisant passer le terme b2 à gauche et enfactorisant :

a2 < b2 ⇐⇒ a2 − b2 < 0

⇐⇒ (a− b)(a+ b) < 0

Ici on a bien des équivalences.On étudie alors le signe de (a − b) et de (a + b) et on fait un tableau des

signes pour trouver le signe de leur produit.Lorsqu’on a une différence de deux racines carrées, on multiplie par la quan-

tité conjuguée qui est la somme de ces racines.On écrit :

√a−√b =

(√a−√b)(√a+√b)

√a+√b

=(√a)2 − (

√b)2

√a+√b

=a− b√a+√b


Ici le dénominateur est positif (comme somme de deux racines) et le numéra-teur est du signe de (a− b).

Avec les puissances impaires, tous ces problèmes ne se posent pas car lesfonctions x3, x5, etc. sont croissantes sur R et conservent le sens des inégalités.

On a :a < b⇐⇒ a3 < b3

et inversementa < b⇐⇒ 3

√a <

3√b

Exemple 1

Étudier le signe de l’expression x− 1−√x2 − 3.

Corrigé

On commence par chercher le domaine de définition. Il faut que la quantitéx2 − 3 soit positive ou nulle, ce qui se produit si

x ∈]−∞,−√

3] ∪ [√

3,+∞[

Déterminons quand l’expression est négative :

x− 1−√x2 − 3 < 0

⇐⇒ x− 1 <√x2 − 3

Comme le terme de droite est toujours positif, on va discuter en fonction dusigne du terme de gauche.

On distingue donc deux cas :

• si x− 1 < 0⇐⇒ x < 1

Dans ce cas, l’inégalité est toujours vraie. Compte-tenu du domaine dedéfinition, cela ne laisse que x ∈]−∞,−

√3].

• si x− 1 > 0⇐⇒ x > 1

On peut élever au carré :

x− 1−√x2 − 3 < 0

⇐⇒ (x− 1)2 < x2 − 3

⇐⇒ x2 − 2x+ 1 < x2 − 3

⇐⇒ 2x > 4⇐⇒ x > 2

On obtient donc x ∈ [2,+∞[.

En conclusion, l’expression étudiée sera négative pour

x ∈]−∞,−√

3] ∪ [2,+∞[

5.2. INÉQUATIONS À DEUX VARIABLES 51

et sera par conséquent positive ou nulle sur le complémentaire (à l’intérieur dudomaine de définition), c’est-à-dire pour x ∈ [

√3, 2].

Exemple 2

Étudier le signe de l’expression x− 1− 3√x3 − x2 − 3.

Corrigé

Cette expression est définie sur tout R car on a une racine cubique.Déterminons quand l’expression est négative :

x− 1− 3√x3 − x2 − 3 < 0

⇐⇒ x− 1 <3√x3 − x2 − 3

⇐⇒ (x− 1)3 < x3 − x2 − 3

⇐⇒ x3 − 3x2 + 3x− 1 < x3 − x2 − 3

⇐⇒ − 2x2 + 3x+ 2 < 0

On est donc ramenés à l’étude du signe du polynôme −2x2 + 3x+ 2.On trouve facilement qu’il a deux racines réelles 2 et -1/2, donc il se factorise

:P (x) = −2x2 + 3x+ 2 = −(x− 2)(2x+ 1)


x −∞ −1

22 +∞

(2x+ 1) − 0 + +

(x− 2) − − 0 +

−(x− 2)(2x+ 1) − 0 + 0−

En conclusion, l’expression initiale est positive ou nulle dans l’intervalle[−1/2, 2] et négative en-dehors.

5.2 Inéquations à deux variables

5.2.1 Équations de droites

L’équation générale d’une droite dans le plan R2 est

a x+ b y + c = 0

On dit que les points M = (x, y) de la droite sont les zéros du polynôme dedegré 1 à 2 variables P (x, y) = a x+ b y + c.


Si le coefficient b est non nul, on peut extraire y en fonction de x et réécrirel’équation de la droite sous la forme suivante :

y = −abx− c

b

Sous cette dernière forme, le coefficient de x s’appelle la pente et le coefficientconstant s’appelle l’ordonnée à l’origine.

On note parfois cette équation sous la forme y = px+ q .

On a donc ici p = −abet q = −c

b.

Si on dérive cette expression, on obtient

dy

dx= p

ce qui justifie la notion de pente : p représente les accroissements relatifs de ypar rapport à x et ceux-ci sont constants. Si p est positive, la variable y estcroissante en fonction de x. Si p est négative, y est décroissante en fonction dex.

Enfin, pour x = 0, on obtient y = q, ce qui justifie le terme d’ordonnée àl’origine.

Si A et B sont deux points distincts de la droite, le vecteur−−→AB s’appelle

vecteur directeur de la droite.Lorsque l’équation de la droite est donnée sous la forme a x+ b y+ c = 0, un

vecteur directeur de la droite est le vecteur

−→V =

(−ba

)Lorsque l’équation de la droite est donnée sous la forme y = px + q, un

vecteur directeur de la droite est le vecteur

−→V =

(1p

)Un vecteur non nul perpendiculaire à la droite s’appelle un vecteur normal.Avec l’équation a x+ b y+ c = 0, un vecteur normal à la droite est le vecteur

−→N =

(ab

)Lorsque l’équation de la droite est donnée sous la forme y = px + q, un

vecteur normal de la droite est le vecteur−→N =

(p−1

)Remarque : le vecteur directeur et le vecteur normal sont définis à multiple

près. Si un vecteur est directeur, tout multiple (non nul) est aussi directeur. Siun vecteur est normal, tout multiple (non nul) est aussi normal.

Il existe plusieurs manières de caractériser une droite :


1. en spécifiant la pente p et un point A1 = (x1, y1) ;

2. en spécifiant un point A1 = (x1, y1) et un vecteur directeur−→V ;

3. en spécifiant un point A1 = (x1, y1) et un vecteur normal−→N ;

4. en spécifiant deux points distincts A1 = (x1, y1) et A2 = (x2, y2).

Exemple 1

Déterminer l’équation de la droite passant par le point A1 = (2, 3) et depente p = −1.

Corrigé

On utilise la forme y = px + q. On sait que p = −1 et il ne reste qu’àdéterminer q en écrivant que le point A1 doit vérifier l’équation de la droitey = −x+ q :

A1 ∈ {y = −x+ q} ⇒ 3 = −2 + q ⇒ q = 5

L’équation est finalement y = −x+ 5 .

Exemple 2

Déterminer l’équation de la droite passant par le point A1 = (−1, 2) et de

vecteur directeur−→V =

(21

).

Corrigé

On utilise la forme a x + b y + c = 0. On sait que le vecteur directeur est−→V =

(−ba

).

On en déduit que b = −2 et a = 1 et il ne reste qu’à déterminer c en écrivantque le point A1 doit vérifier l’équation de la droite :

A1 ∈ {x− 2y + c = 0} ⇒ −1− 4 + c = 0⇒ c = 5

L’équation est finalement x− 2y + 5 = 0 .

Exemple 3

Déterminer l’équation de la droite passant par le point A1 = (3, 4) et de

vecteur normal−→N =

(−32

).

Corrigé

On utilise la forme a x + b y + c = 0. On sait que le vecteur normal est−→N =

(ab

).


On en déduit que a = −3 et b = 2 et il ne reste qu’à déterminer c en écrivantque le point A1 doit vérifier l’équation de la droite :

A1 ∈ {−3x+ 2y + c = 0} ⇒ −9 + 8 + c = 0⇒ c = 1

L’équation est finalement −3x+ 2y + 1 = 0 .

Exemple 4

Déterminer l’équation de la droite passant par les points A1 = (1, 1) etA2 = (0, 5).

Corrigé

On utilise ici la forme y = px + q et on écrit que les deux points doiventvérifier l’équation de la droite, ce qui conduit à un système linéaire de deuxéquations à deux inconnues :{

p× 1 + q = 1

p× 0 + q = 5⇐⇒

{p+ q = 1

q = 5

D’où q = 5 et p = −4.L’équation est finalement y = −4x+ 5 .

5.2.2 Région du planOn cherche maintenant à étudier le signe d’un polynôme à deux variables dedegré 1.

On doit donc déterminer les points M = (x, y) du plan R2 pour lesquels uneexpression de la forme a x+ b y + c est positive ou négative.

Selon le point M , l’expression sera positive ou négative. Il y a donc deuxrégions dans le plan : l’ensemble de tous les points pour lesquels l’expression estpositive et l’ensemble de tous les points pour lesquels l’expression est négative.

La frontière entre ces deux régions est l’ensemble de tous les points pourlesquels l’expression est nulle, c’est-à-dire a x + b y + c = 0. Cette frontière estdonc une droite et les deux régions sont les demi-plans de part et d’autre decette droite.

Exemple

Étudier graphiquement le signe de l’expression P (x) = 2x+ y − 3.

Corrigé

On doit tracer la droite frontière qui a pour équation 2x+ y − 3 = 0.Si on extrait y, on obtient y = −2x + 3. Pour tracer la droite, il suffit de

placer deux points et de les joindre. On prend donc deux valeurs arbitraires dex et on calcule les y correspondants.

Prenons, par exemple, x = 0 et x = 1. On obtient :{x = 0 =⇒ y = 3

x = 1 =⇒ y = 1


La droite passe par les points A1 = (0, 3) et A2 = (1, 1).

−2 −1 0 1 2 3 4

−1

01

23

45

A1

A2

O

2x + y − 3 > 0

2x + y − 3 < 0

On détermine le signe dans chaque demi-plan en prenant un point test.En général on teste l’origine (0, 0).L’origine ici est dans le demi-plan inférieur. Or l’expression en ce point vaut

2× 0 + 0− 3 = −3 < 0

et est négative. Le demi-plan inférieur est donc la région où l’expression estnégative et, par conséquent, le demi-plan supérieur est la région où l’expressionest positive.

5.2.3 Systèmes d’inéquationsOn rencontre souvent en économie des systèmes d’inéquations linéaires qui ex-priment des contraintes imposées à un modèle.

Les contraintes sont des expressions portant sur les variables d’état du mod-èle et prennent le plus souvent la forme d’une inéquation. Elles expriment deslimitations, des quotas, des ressources disponibles, des demandes imposées, etc.

Plusieurs inéquations qui doivent être vérifiées simultanément consituent unsystème d’inéquations.

Définition 5.2.1. L’ensemble des points qui vérifient toutes les inéquationsd’un système s’appelle le domaine réalisable.

Dans la situation vue précédemment où il y avait une seule inéquation, ledomaine réalisable était un demi-plan. C’était celui des deux demi-plans danslequel la contrainte était réalisée.


Le long de la frontière qui sépare les deux demi-plans, on dit que la contrainteest saturée. En effet, sur cette frontière, l’inégalité devient une égalité.

Dans le cas d’un système d’inéquations, chaque inéquation conduit à sélec-tionner un demi-plan et le domaine réalisable est l’intersection de tous les demi-plans obtenus.

On procède de la manière suivante : on place les droites frontières pourchaque expression et on hachure pour chacune le demi-plan où la contrainten’est pas réalisée, c’est-à-dire où l’expression n’a pas le signe voulu. À la fin, lazone qui reste non hachurée est le domaine réalisable.

Exemple 1

Déterminer le domaine réalisable correspondant au système d’inéquationssuivant :

x+ 2y ≤ 2

x ≥ 0

y ≥ 0

Corrigé

Les deux contraintes x ≥ 0 et y ≥ 0 sont faciles à placer : elles signifientsimplement qu’on se limite aux coordonnées positives, c’est-à-dire au quadrantsupérieur droit.

Il ne reste qu’à représenter la région dans laquelle x+ 2y − 2 ≤ 0.

On place la droite frontière d’équation

x+ 2y − 2 = 0⇐⇒ y = −1

2x+ 1

Elle passe par les points A1 = (0, 1) et A2 = (2, 0).

L’origine ici est dans le demi-plan inférieur. En ce point l’expression vaut

0 + 2× 0− 2 = −2 < 0

et est négative. Le demi-plan inférieur est donc la région où l’expression estnégative et, par conséquent, le demi-plan supérieur sera hachuré.


−1 0 1 2 3

−1

01

23

Domaine réalisable

A1

A2

O

Exemple 2

Déterminer le domaine réalisable correspondant au système d’inéquationssuivant :

−x+ 5y ≤ 21

4x+ y ≤ 21

x+ 2y ≥ 7

Corrigé

On doit placer les trois droites suivantes :D1 : −x+ 5y − 21 = 0

D2 : 4x+ y − 21 = 0

D3 : x+ 2y − 7 = 0

On peut vérifier que les intersections de ces droites deux à deux sont :

A1 = D2 ∩D3 =

(5

1

)

A2 = D1 ∩D3 =

(−1

4

)

A3 = D1 ∩D2 =

(4

5

)


Il suffit donc de placer ces trois points et de les joindre.

−2 0 2 4 6

−1

01

23

45

6

Frontières

A1

A2

A3

O

−2 0 2 4 6

−1

01

23

45

6

Domaine réalisable

A1

A2

A3

O

5.3 Exercices

Exercice 31

Étudier le signe des expressions polynomiales suivantes :

a) 10x2 − 3x− 1

b) 3x3 − 8x2 + 3x+ 2

c) x4 + 3x3 + x2 − 3x− 2

d) x4 − 2x3 + x2 + 2x− 2

Exercice 32

Déterminer le domaine de définition et le signe des fractions rationnellessuivantes :

a)x

x2 − 1

5.3. EXERCICES 59

b)3x2 − x− 2

5x2 − 3x− 2

c)x2 + x+ 3

x2 − x+ 3

d)2x2 + x− 3

2x2 + 7x+ 5

Exercice 33

Étudier les régions du plan où les inéquations suivantes sont satisfaites :

a) x− 2y − 2 ≤ 0

b) x+ y > 0

c) |x− y| ≤ 1

Exercice 34

Représenter graphiquement les domaines réalisables correspondant aux sys-tèmes d’inéquations suivants :

a)

2x+ 3y ≤ 30

x ≥ 0

y ≥ 0

b)

−2x+ 5y ≤ 18

5x− 2y ≤ 18

x+ y ≥ 5


Chapter 6

Fonctions d’une variable réelle

6.1 Introduction

Une fonction numérique est une correspondance entre deux ensembles de nom-bres. L’un des ensembles est appelé ensemble de départ et l’autre ensembled’arrivée. À tout élément de l’ensemble de départ, la fonction associe au plusun élément de l’ensemble d’arrivée.

On va étudier principalement deux cas :

• celui où l’ensemble de départ est R, ce qui conduit aux fonctions d’unevariable réelle

• celui où l’ensemble de départ est N, ce qui conduit aux suites

L’ensemble d’arrivée est R, c’est pourquoi ces fonctions sont dites numériques.

Remarque : on étudiera par la suite des fonctions d’une variable vectorielleou à valeurs vectorielles ou même matricielles.

6.2 Fonctions d’une variable réelle

6.2.1 Généralités

Dans le cas des fonctions d’une variable réelle, les ensembles de départ etd’arrivée sont R ou des parties de R. On peut restreindre la définition d’unefonction à un intervalle, ou aux valeurs positives ou négatives, etc.

Ces fonctions sont le plus souvent définies au moyen d’une formule, c’est-à-dire d’une expression algébrique. Mais ce n’est pas nécessairement toujours lecas.

Lorsqu’une formule est donnée, on dit que la fonction est définie explicite-ment. Si on note x la variable de l’ensemble de départ et y la variable de

61

62 CHAPTER 6. FONCTIONS D’UNE VARIABLE RÉELLE

l’ensemble d’arrivée, la relation prend symboliquement la forme :

y = f(x)

On dit que y est l’image de x par la fonction f . On dit que x est l’antécédent(où l’image réciproque) de y par la fonction f .

On peut évidemment utiliser d’autres noms que x et y pour les variables.En économie, la variable de départ est souvent notée t lorsqu’elle représente letemps.

Il existe aussi des fonctions qui sont définies implicitement. Par exemple, ypourrait être défini au moyen de la relation :

y3 + xy + x3 = 0

Ici la définition de y est implicite car il apparaît comme solution d’une équationde degré 3.

6.2.2 Domaine de définition

Définition 6.2.1. L’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs de lavariable de départ qui ont une image dans l’ensemble d’arrivée.

L’ensemble de définition est donc un sous-ensemble de l’ensemble de départ.Lorsqu’on étudie une fonction numérique, la première tâche consiste à déter-

miner l’ensemble de définition. Cela conduit souvent à étudier des inéquationset à construire des tableaux de signe.

La méthode pour déterminer le domaine de définition consiste à construirela formule pas à pas à partir d’une valeur quelconque de x et de noter, au furet à mesure, toutes les restrictions imposées par les éléments de la formule : lesdénominateurs ne doivent pas s’annuler, les quantités sous racine carrée doiventêtre positives, etc. Cela conduit à exclure des valeurs ou des intervalles entiers.

Exercice

Trouver le domaine de définition de la fonction

y = f(x) =

√x+ 1

2x− 1

Corrigé

Le dénominateur de la fraction doit être différent de 0 : il faut donc éliminerla valeur x =

1

2.

Ensuite, le quotientx+ 1

2x− 1doit être positif ou nul puisqu’on en prend la

racine. Il faut donc étudier son signe. C’est le même que celui du produit

6.2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE RÉELLE 63

(x+ 1) (2x− 1). Les racines de ce polynôme sont -1 et1

2.

Le tableau des signes est le suivant :

x −∞ −11

2+∞

(x+ 1) − 0 + +

(2x− 1) − − +

P (x) + 0 − +

Finalement, le domaine de définition est

Df =]−∞,−1]∪ ]1

2,+∞[

Exercice


y = f(x) =√x2 − 4x+ 3

Corrigé

Le polynôme x2 − 4x + 3 doit être positif ou nul car il est placé sous uneracine carrée. Pour étudier son signe, il faut le factoriser.

On constate que 1 est racine évidente. Le polynôme se factorise sous la forme:

x2 − 4x+ 3 = (x− 1)(x− 3)


x −∞ 1 3 +∞

(x− 1) − 0 + +

(x− 3) − − 0 +

P (x) + 0− 0 +


Df =]−∞, 1] ∪ [3,+∞[

Exercice


y = f(x) =√

2x2 + x+ 5


Corrigé

Le polynôme 2x2 + x + 5 doit être positif ou nul car il est placé sous uneracine carrée.

On remarque que son discriminant est négatif (il vaut -39). On en déduitque le polynôme est irréductible. Il est donc du signe du coefficient de son termede plus haut degré, c’est-à-dire positif.

Le domaine de définition est ici R tout entier.

Exercice


y = f(x) =3√x2 − 9

(x2 − 4)

Corrigé

Le numérateur ne pose aucun problème car il s’agit d’une racine cubique.Que le polynôme x2 − 9 soit positif ou négatif, on peut toujours prendre saracine cubique.

Il faut donc simplement que le dénominateur soit non nul, ce qui conduit àexclure les valeurs -2 et 2.

Le domaine de définition est Df = R\{−2, 2} .

Exercice


y = f(x) =

√1

x− 1+

1

x+ 1

Corrigé

On réduit l’expression sous le radical au même dénominateur :1

x− 1+

1

x+ 1=

(x+ 1) + (x− 1)

(x− 1)(x+ 1)=

2x

(x− 1)(x+ 1)

Il faut que le dénominateur soit non nul, ce qui exclut les valeurs -1 et 1.Il faut ensuite que le quotient F (x) = 2x

(x−1)(x+1) soit positif ou nul. On doitdonc étudier son signe en fonction de x.


x −∞ −1 0 1 +∞

2x − − 0 + +

(x− 1) − − − +

(x+ 1) − + + +

F (x) − + 0− +



Df =]− 1, 0]∪ ]1,+∞[

6.2.3 Croissance

En économie, les fonctions expriment une correspondance entre deux variables.Par exemple, une fonction peut représenter l’évolution d’une grandeur économiqueen fonction du temps.

Il est alors naturel de se demander si la grandeur croît ou décroît en fonctiondu temps.

Définition 6.2.2. Une fonction f est dite croissante sur un intervalle [a, b] si,pour tous u et v ∈ [a, b], on a

u ≤ v =⇒ f(u) ≤ f(v)

Si cette propriété est vraie avec des inégalités strictes, on dit que la fonctionest strictement croissante, autrement dit

u < v =⇒ f(u) < f(v)

La notion opposée est celle de décroissance :

Définition 6.2.3. Une fonction f est dite décroissante sur un intervalle [a, b]si, pour tous u et v ∈ [a, b], on a

u ≤ v =⇒ f(u) ≥ f(v)

Elle est strictement décroissante si :

u < v =⇒ f(u) > f(v)

Finalement, une fonction croissante conserve le sens des inégalités tandisqu’une fonction décroissante renverse le sens des inégalités.

Exercice

Montrer que la fonction f(x) = x−1x+1 est strictement croissante sur les inter-

valles ]−∞,−1[ et ]− 1,+∞[.

Corrigé

Montrons la propriété sur l’intervalle ] − 1,+∞[. On prend deux valeurs uet v dans cet intervalle et on se demande si f(u) < f(v).

On pose l’inégalité

f(u) < f(v)⇐⇒ u− 1

u+ 1<v − 1

v + 1


Sur l’intervalle, on a u > −1 ⇔ u + 1 > 0 et v > −1 ⇔ v + 1 > 0, doncon peut changer les deux dénominateurs de membre sans changer le sens del’inégalité.

On obtient :(u− 1)(v + 1) < (u+ 1)(v − 1)

Ensuite, on développe les parenthèses :

(u− 1)(v + 1) < (u+ 1)(v − 1)

⇐⇒ uv − v + u− 1 < uv + v − u− 1

⇐⇒ 2u < 2v

⇐⇒ u < v

On a donc montré que, sur l’intervalle ]−1,+∞[, f(u) < f(v) est équivalentà u < v.

Sur l’autre intervalle ] −∞,−1[, on procède de manière analogue. La dif-férence est que les deux dénominateurs sont cette fois négatifs. Lorsqu’ilschangent de membre le sens de l’inégalité est renversé, mais comme cela seproduit deux fois, finalement l’inégalité reste dans le même sens.

Le même calcul que précédemment conduit donc encore à u < v.On peut aussi exprimer la propriété de croissance en termes de variations :

u ≤ v =⇒ f(u) ≤ f(v)

est équivalente àv − u ≥ 0 =⇒ f(v)− f(u) ≥ 0

Le terme (v − u) représente la variation de u à v et est noté ∆u. Le termef(v)− f(u) représente la variation de f(u) à f(v) et est noté ∆f(u).

On obtient donc∆u ≥ 0 =⇒ ∆f(u) ≥ 0

On a de même∆u ≤ 0 =⇒ ∆f(u) ≤ 0

Finalement, le fait que f soit croissante se traduit par le fait que ∆u et∆f(u) sont de même signe.

Par conséquent, leur quotient∆f(u)

∆uest positif.

En économie, ce quotient s’appelle le taux de variation de f(u) par rapportà u.

On a le résultat suivant :

f croissante⇐⇒ ∆f(u)

∆u≥ 0

De manière analogue :

f décroissante⇐⇒ ∆f(u)

∆u≤ 0


Pour la croissance stricte, il suffit de remplacer par des inégalités strictes.Ces propriétés seront généralisées plus tard avec la notion de dérivée.

Définition 6.2.4. Si une fonction est partout croissante (resp. partout décrois-sante) sur son domaine de définition, on dit qu’elle est monotone croissante(resp. monotone décroissante).

Une fonction est monotone croissante si et seulement si les taux de variation

∆f(u)

∆u=f(v)− f(u)

v − u

sont toujours positifs.

Exercice

Montrer, au moyen du taux de variation, que la fonction f(x) = x3 estmonotone croissante sur tout R.

Corrigé

On calcule :

∆f(u)

∆u=f(v)− f(u)

v − u

=v3 − u3

v − u

=(v − u) (v2 + uv + u2)

v − u= v2 + uv + u2

On doit donc étudier le signe de v2 + uv + u2.On met u2 en facteur et on pose t =

v

u. On a :

v2 + uv + u2 = u2

(v2

u2+v

u+ 1

)= u2 (t2 + t+ 1)

Cette dernière quantité est toujours positive car u2 ≥ 0 et que le polynôme(t2 + t+ 1) est irréductible, donc du signe de son coefficient de plus haut degré.

On a ainsi montré que∆f(u)

∆uest toujours positif, ce qui signifie que la

fonction est monotone croissante.

6.2.4 Représentation graphiqueDéfinition 6.2.5. Le graphe d’une fonction f est l’ensemble des points de co-ordonnées de la forme (x, f(x)).

C’est l’ensemble des points dont l’ordonnée est précisément l’image par f del’abscisse.


Le graphe qui suit donne une représentation des points U = (u, f(u)) et

V = (v, f(v)) et montre comment interpréter le taux de variation∆f(u)

∆u.

Le taux de variation correspond à la pente du segment UV . On dit aussi quec’est la tangente de l’angle θ que l’arc UV forme avec la direction horizontale.

Si ce rapport est positif, le segment UV est croissant.

Taux de variation

U

V

∆u

∆f(u)

θ

tan(θ) =∆f(u)

∆u

6.2.5 Fonction réciproque

Une fonction f associe à la valeur x la valeur y = f(x). On aimerait avoir unefonction qui fasse la transformation en sens inverse, c’est-à-dire qui, à partir dey, puisse retrouver l’antécédent x.

Si une telle fonction existe, on l’appelle fonction réciproque de f et on lanote en général f−1. Elle associe à y son antécédent x.

On peut écrire :x = f−1(y)

Dans ce cas, x est l’image de y par la fonction f−1. Pour un y donné, le xdoit être unique.

Attention :Une telle fonction malheureusement n’existe pas toujours. En effet, il se peut

qu’un y n’ait aucun antécédent ou au contraire qu’il en ait plusieurs. L’exemple


le plus simple est celui de la fonction f(x) = x2. En effet, si y est positif, il y adeux valeurs possibles pour l’antécédent x : x = ±√y.

L’image d’une fonction f , notée Im(f), est l’ensemble des valeurs y = f(x).La fonction réciproque, si elle existe, est définie sur l’image de f .

Si f−1(y) existe, on a à la fois x = f−1(y) et y = f(x). En substituant cesvaleurs de x et de y dans les deux équations qui précèdent, on obtient :{

x = f−1(f(x)

)y = f

(f−1(y)

)Autrement dit, partant de x, si on applique successivement f et f−1, on

retombe sur x. De même, en partant de y, si on applique successivement f−1

et f , on retombe sur y.On traduit ce résultat sous la forme suivante :

Propriété 6.2.1. La composée d’une fonction avec sa fonction réciproque estégale à l’identité.

En notation condensée, la propriété précédente s’écrit de la manière suivante:

f−1 ◦ f = f ◦ f−1 = Id

Exercice

Montrer que la fonction y = f(x) =2x− 1

−3x+ 1admet une fonction réciproque.

Corrigé

La fonction f est définie sur R\{−1/3}.Pour trouver la fonction réciproque (si elle existe), on part de la définition

y =2x− 1

−3x+ 1et on essaie d’“inverser la formule”, c’est-à-dire d’exprimer x en

fonction de y.On obtient :

y =2x− 1

−3x+ 1

⇐⇒ y(−3x+ 1) = 2x− 1

⇐⇒ − 3xy + y = 2x− 1

⇐⇒ − 3xy − 2x = −y − 1

⇐⇒ x(−3y − 2) = −y − 1

⇐⇒ x =−y − 1

−3y − 2=

y + 1

3y + 2

On a ainsi trouvé la fonction réciproque qui est définie par :

f−1(y) =y + 1

3y + 2


Elle est définie pour tous les y différents de -2/3. Cela signifie que la valeur-2/3 ne faisait pas partie de Im(f).

Exercice

Montrer que la fonction y = x(x2 − 3x + 3) admet une fonction réciproquesur tout R.

Corrigé

On part de la définition et on essaie d’extraire x en fonction de y :

y = x(x2 − 3x+ 3)

⇐⇒ y = x3 − 3x2 + 3x

⇐⇒ y − 1 = x3 − 3x2 + 3x− 1

⇐⇒ y − 1 = (x− 1)3

⇐⇒ x− 1 = 3√y − 1

⇐⇒ x = 1 + 3√y − 1

On a donc trouvé la fonction réciproque qui est définie par :

f−1(y) = 1 + 3√y − 1

Exercice

Quelle est la fonction réciproque de la fonction y =1

x?

Corrigé

C’est elle-même !En effet :

y =1

x⇐⇒ x =

1

y

Autrement dit :

f−1(y) =1

y= f(y)

Il y a une propriété intéressante concernant le graphe de la fonction ré-ciproque. Si on trace sur le même graphique le graphe de f et le graphe de f−1,les deux courbes sont symétriques l’une de l’autre par rapport à la premièrebissectrice.

À titre d’exemple, le graphe suivant représente la courbe de la fonctionf(x) = x2 sur R+ et la courbe de la fonction g(x) =

√x.

Ces deux fonctions sont évidemment réciproques l’une de l’autre puisque

g ◦ f = f ◦ g = Id

c’est-à-dire(√x)2 =

√x2 = x avec x ≥ 0


0 1 2 3 4

01

23

4

Fonction réciproque

x2

x

6.2.6 Injection et surjection

Les notions d’injection, de surjection et de bijection sont très importantes etseront en particulier utilisées en algèbre linéaire. On va les définir ici pour desfonctions numériques réelles.

Injection

Une fonction f est dite injective si des valeurs distinctes de x ont des imagesdistinctes.

On écrit cette propriété sous la forme suivante :

u 6= v =⇒ f(u) 6= f(v)

Une manière équivalente d’énoncer cette propriété est de dire que si deuxvaleurs ont même image, c’est qu’elles sont égales. Autrement dit :

f(u) = f(v) =⇒ u = v

Exemple 1

La fonction y = f(x) =x− 2

x+ 2est injective.


En effet :

f(u) = f(v)

⇐⇒ u− 2

u+ 2=v − 2

v + 2

⇐⇒ (u− 2)(v + 2) = (v − 2)(u+ 2)

⇐⇒ uv − 2v + 2u− 4 = vu− 2u+ 2v − 4

⇐⇒ 4u = 4v

⇐⇒ u = v

Exemple 2

La fonction y = f(x) = x2 − 4x+ 1 n’est pas injective.

Le plus simple pour prouver qu’une fonction n’est pas injective est de trouverun contre-exemple, c’est-à-dire de trouver des valeurs distinctes u et v qui ontpourtant la même image.

Ici on peut prendre u = 1 et v = 3.On vérifie facilement qu’on a f(1) = f(3) = −2.Surjection

Une fonction f est dite surjective si toute valeur y de l’ensemble d’arrivée possèdeau moins un antécédent x.

On écrit cette propriété sous la forme suivante :

pour tout y ∈ R, il existe x tel que f(x) = y

On dit aussi que tout élément y est “atteint” par la fonction f , c’est-à-direest l’image d’un certain x.

Il peut y avoir plusieurs antécédents. La définition demande seulement qu’ilen existe au moins un.

Exemple 1

La fonction y = f(x) = x3 − x est surjective.En effet, c’est une cubique. Elle prend toutes les valeurs de −∞ à +∞.

Exemple 2

La fonction y = f(x) = x2 − 4x+ 1 n’est pas surjective.On constate que x2 − 4x+ 1 = (x− 2)2 − 3.C’est l’équation d’une parabole qui passe par un minimum en x = 2. En

ce point, la fonction vaut -3. Par conséquent, les valeurs y inférieures à -3 nepeuvent pas être atteintes.

Bijection

6.3. EXERCICES 73

Définition 6.2.6. Une fonction f est dite bijective si elle est à la fois injectiveet surjective.

L’intérêt d’une fonction bijective est qu’elle établit une correspondance un-à-un entre l’ensemble de départ et l’ensemble d’arrivée. On appelle cela aussiune correspondance bi-univoque.

Avec une fonction bijective, tout élément de l’espace de départ est associé àun et un seul élément de l’espace d’arrivée et, réciproquement, tout élément yde l’espace d’arrivée est l’image d’un x unique.

Une fonction bijective f possède une fonction réciproque f−1 qui est bijectiveelle aussi.

Exemple 1

La fonction y = f(x) = x3 est bijective.En effet, elle est injective car si deux nombres diffèrent, leurs cubes diffèrent

également.D’autre part, elle admet une fonction réciproque qui est la fonction racine

cubique. Par conséquent, tout élément a un antécédent et donc la fonction estsurjective.

Exemple 2

La fonction y = f(x) = x3 − x n’est pas bijective.On a vu précédemment qu’elle est surjective. Mais elle n’est pas injective.Pour le prouver, il suffit de trouver un contre-exemple. Or :

x3 − x = x(x2 − 1) = x(x− 1)(x+ 1)

On en déduit que f(−1) = f(0) = f(1) = 0. On a ainsi trois valeurs (-1, 0 et 1)qui ont la même image.

6.3 Exercices

Exercice 35

Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :a) f(x) =

√−(x+ 3)

b) f(x) =

√2x2 − x− 3

2x2 − 3x− 5

c) f(x) =

√x2 + x+ 1

x2 − x+ 1

Exercice 36


Montrer, en utilisant le taux de variation, que la fonction f(x) = x2−2x estdécroissante sur l’intervalle ]−∞, 1] et croissante sur l’intervalle [1,+∞[.

Exercice 37

Calculer la fonction réciproque des fonctions suivantes :

a) f(x) =x− 1

3x− 1

b) f(x) =3

2+

√1

4+

1

xsur l’ensemble R+.

Exercice 38

On considère la fonction f(x) =1

x− 1.

a) Est-elle injective ?b) Est-elle surjective ?c) Est-elle bijective ?

Chapter 7

Suites

7.1 Suites

7.1.1 DéfinitionLes suites rentrent dans le cadre des fonctions. Ce sont simplement des fonctionspour lesquelles l’ensemble de départ est l’ensemble N des nombres entiers.

L’ensemble d’arrivée est en général R. On écrit :

u : N→ Rn u(n)

L’image d’un nombre n est un nombre u(n) qu’il est traditionnel de noterun. Pour cette raison, l’élément n est souvent qualifié d’indice.

Mais, qu’on note u(n) ou un, la signification est la même. À chaque valeurde l’indice n, on associe une quantité réelle.

En économie, on utilise souvent la lettre t au lieu de la lettre n car l’incidedésigne le temps et les suites sont l’abstraction qui permet de représenter lesgrandeurs qui évoluent en temps discret. On les note donc ut.

Il suffit de prendre une fonction numérique et de la restreindre à l’ensembleN pour obtenir une suite. Voici quelques exemples :

• un = 2n+ 1

• un =

(1

2

)n

• un =√n+ 1

• un =n2 − 1

n2 + 1

75

76 CHAPTER 7. SUITES

• un =n(n+ 1)

2

• un = nn

Toutes les définitions qui précèdent sont dites explicites : le terme généralde la suite est donné par une formule directe en fonction de l’indice n.

Il existe aussi des définitions implicites sous la forme d’équation que doiventvérifier certains termes de la suite. Il s’agit le plus souvent d’équations ditesde récurrence dans lesquelles n’importe quel terme de la suite est fonction dequelques termes qui le précèdent.

Par exemple :

• un+1 =1

2un − 3 ;

• un+2 = (un+1 + un)/2 où chaque terme est la moyenne arithmétique desprécédents ;

• un+2 =√un+1 × un où chaque terme est la moyenne géométrique des

précédents ;

• la suite de Fibonacci un+2 = un+1 + un ;

• la suite de Padovan un+3 = un+1 + un ;

• la suite de Tribonacci un+3 = un+2 + un+1 + un.

Le nombre de termes précédents nécessaires pour calculer un terme de lasuite s’appelle l’ordre de la suite.

Par exemple, la suite de Fibonacci est une suite d’ordre 2 tandis que la suitede Padovan est une suite d’ordre 3.

Pour pouvoir construire une suite, il faut se donner des valeurs initiales.Pour une suite d’ordre p, il faut p valeurs initales qui sont les valeurs des ppremiers termes de la suite.

Dans le cas de la suite de Fibonacci classique, on part des valeurs u0 = 1 etu1 = 1. La suite se construit alors de manière unique : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc.

Dans le cas de la suite de Padovan, on peut partir des valeurs u0 = u1 =u2 = 1. La suite se construit alors de manière unique : 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, etc.

Pour tout système de valeurs initiales, on construit une suite différente.En économie, les suites de récurrence servent à représenter et à modéliser ce

qu’on appelle des systèmes dynamiques en temps discret.La formule de récurrence n’est pas pratique si on veut calculer un terme

éloigné de la suite. On aimerait disposer d’une formule donnant directementchaque terme de la suite en fonction de l’indice n. Le problème est donc depasser de la forme implicite de la suite à une forme explicite.

La forme explicite permet plus facilement d’étudier le comportement asymp-totique de la suite, c’est-à-dire son évolution lorsque n (ou le temps t en économie)augmente. On reviendra sur cette question dans la séance consacrée aux limites.

7.1. SUITES 77

On va étudier maintenant ce problème dans le cas de deux types fondamen-taux de suites : les suites arithmétiques et les suites géométriques.

7.1.2 Suites arithmétiquesDéfinition 7.1.1. Une suite arithmétique est une suite récurrente dans laquellechaque terme est obtenu à partir du prédécesseur en ajoutant un nombre fixe a.

Le nombre a est appelé la raison de la suite.L’équation de récurrence s’écrit :

un+1 = un + a

Ce sont des suites d’ordre 1.

Exemple

un+1 = un + 2 ou un+1 = un − 3 sont des suites arithmétiques de raisonsrespectives 2 et -3.

Il est très facile de trouver une formule explicite :

un = un−1 + a

= (un−2 + a) + a = un−2 + 2a

= (un−3 + a) + 2a = un−3 + 3a

= . . .

= u0 + na

On obtient donc – en faisant un raisonnement par récurrence – la formule :

un = an+ u0

Exemple 1

On considère une suite arithmétique de raison -1 et de valeur initiale u0 = 7,calculer le terme u90.

La formule donne u90 = (−1)× 90 + 7 = −83.

Exemple 2

On considère une suite arithmétique de raison 2 et de valeur initiale u0 = 7,calculer le terme u90.

La formule donne u90 = 2× 90 + 7 = 187.

7.1.3 Suites géométriquesDéfinition 7.1.2. Une suite géométrique est une suite récurrente dans laquellechaque terme est obtenu à partir du prédécesseur en multipliant par un nombrefixe a.


Le nombre a est appelé la raison de la suite.L’équation de récurrence s’écrit :

un+1 = un × a

Ce sont des suites d’ordre 1.

Exemple

un+1 =1

3un ou un+1 = 1, 1 × un sont des suites géométriques de raisons

respectives1

3et 1,1 (coefficient multiplicateur correspondant à un taux de vari-

ation de 10%).Il est très facile de trouver une formule explicite :

un = un−1 × a= (un−2 × a)× a = un−2 × a2

= (un−3 × a)× a2 = un−3 × a3

= . . .

= u0 × an

On obtient donc – en faisant un raisonnement par récurrence – la formule :

un = u0 an

Exemple 1

On considère une suite géométrique de raison -1 et de valeur initiale u0 = 7,calculer le terme u90.

La formule donne u90 = 7× (−1)90 = 7.La quantité (−1)n vaut alternativement 1 et -1 selon que n est pair ou impair,

donc la suite elle-même prend alternativement les valeurs 7 et -7.

Exemple 2

On considère une suite géométrique de raison 2 et de valeur initiale u0 = 7,calculer le terme u90.

La formule donne u90 = 7× 290 = 8 665 580 274 997 661 924 293 869 568.C’est un nombre de 28 chiffres, donc de l’ordre de 8 × 1027, c’est-à-dire 8

milliards de milliards de milliards !

7.2 Exercices

Exercice 39

7.2. EXERCICES 79

Soient (un) et (vn) les suites définies par

un =2n − 2n+ 1

2vn =

2n + 2n− 1

2

a) Montrer que xn = un + vn est une suite géométrique.b) Montrer que yn = un − vn est une suite arithmétique.c) Déterminer les relations de récurrence vérifiées par les deux suites xn et

yn en prenant comme valeurs initiales x0 = y0 = 1.d) En déduire des relations de récurrence pour les suites un et vn.

Exercice 40

Une suite (ut) vérifie l’équation suivante:

ut =1

2ut−1 + t+ 1 (7.1)

a) En partant de la valeur initiale u0 = 0, calculer les quatre termes suivantsde la suite.

b) Montrer que la suite vt = 2t vérifie l’équation (13.1).c) Montrer que la suite wt = ut − vt est une suite géométrique. Exprimer

son terme général en fonction de w0.d) En déduire la forme générale de ut. Trouver la suite ut correspondant à

la valeur initiale u0 = 0 ?

Exercice 41

On considère l’équation de récurrence un =2un−1 − 1

un−1.

a) On pose vn =1

un − 1. Montrer que vn est une suite arithmétique.

b) En déduire la forme explicite des suites (un) solutions de l’équation.c) Trouver la suite solution correspondant à la valeur initiale u0 = 2.

Exercice 42

On considère la suite un = n2 + n.a) Montrer que un − un−1 = 2n.b) Montrer que un est la somme de tous les entiers pairs jusqu’à 2n.c) En déduire une formule pour la somme de tous les entiers jusqu’à n.

Exercice 43

On considère le marché d’un bien de prix pt pour lequel l’offre St et lademande Dt vérifient les relations :{

St = −30 + apt−1

Dt = 70− 2pt

où a est un nombre réel > 0 et t ∈ N.


a) Dans l’hypothèse d’un ajustement de l’offre sur la demande, déterminerla relation qui lie le prix pt (à la période t) au prix pt−1 (à la période t− 1).

b) Déterminer un prix d’équilibre pe.c) On pose wt = pt − pe. Quelle est l’équation vérifiée par wt ?d) Montrer que wt est une suite géométrique et donner son expression en

fonction de t et de w0.e) En déduire l’expression de pt en fonction de t et de w0.f) Calculer pt lorsque a = 0.5 et que le prix initial est p0 = 70.

Exercice 44

On définit deux suites {un} et {vn} par les relations suivantes :un+1 =√unvn

un+1 =un + vn

2

avec conditions initiales u0 = a et v0 = b où a et b sont des réels strictementpositifs.

a) Étudier le cas particulier où a = b.b) On suppose désormais que a < b. Montrer que la suite {un} est décrois-

sante et que la suite {vn} est croissante.c) Montrer que la différence un − vn tend vers 0 lorsque n→∞.

Exercice 45

On considère la suite récurrente {un} définie par

un+1 =1

2

(un +

1

un

)avec condition initale u0 = 2.

a) Montrer que pour tout nombre réel strictement positif x, on a x+ 1x ≥ 2.

b) En déduire que un ≥ 1 pour tout n.c) Montrer que la suite {un} est décroissante.d) Montrer que limn→∞ un = 1.

Exercice 46

On considère la suite récurrente {un} définie par

un+1 =√

6 + un

avec condition initale u0 = 0.a) Calculer les termes d’indices 1 à 4.b) Montrer que tous les termes de la suite sont positifs et majorés par 3.c) Montrer que la suite {un} est croissante.d) Calculer la limite de un lorsque n→∞.

Chapter 8

Limites

8.1 Limites

8.1.1 Définitions

Les limites concernent deux variables x et y qui sont liées entre elles par unefonction : y = f(x). La question est d’étudier le comportement de y en fonctionde celui de x. En particulier de savoir ce qui se passe lorsque x se rapproched’une valeur fixe a.

Si y se rapproche d’une valeur b lorsque x se rapproche de a, on dit que “ytend vers b lorsque x tend vers a”, ou encore que “y a pour limite b lorsque xtend vers a”.

Symboliquement, on note cette propriété de la manière suivante :

limx→a

f(x) = b

Comment mesure-t-on que x se rapproche de a ? En calculant la distancequi sépare x de a, c’est-à-dire la quantité |x − a|. On essaie de rendre cettedistance arbitrairement petite. De la même manière, on rend la distance entrey et b, c’est-à-dire la quantité |y − b|, arbitrairement petite.

81

82 CHAPTER 8. LIMITES

a

b

x

y=f(x)

δδ

x − a < δ

εε

f(x) − b < ε

Finalement, la définition officielle d’une limite de nombres réels consiste àdire que, si on choisit un voisinage arbitrairement petit autour de b, il y aun voisinage arbitrairement petit autour de a tel que, dès que x est dans cevoisinage, alors y = f(x) est dans le voisinage de b.

Si l’intervalle autour de a est ]a − δ, a + δ[ et l’intervalle autour de b est]b− ε, b+ ε[, alors la propriété s’écrit sous la forme suivante :

|x− a| < δ =⇒ |f(x)− b| < ε

On dit que la notion de limite est locale car, du point de vue de x, tout sepasse localement autour de a et, du point de vue de y, tout se passe localementautour de b. Mais bien sûr le point a peut être quelconque.

Exemple

Montrer que si x tend vers 2 alors la fonction y = f(x) = x2 tend vers 4.

Corrigé

8.1. LIMITES 83

On utilise la définition en partant de :

|x− 2| < δ

⇐⇒ − δ < x− 2 < δ

⇐⇒ 2− δ < x < 2 + δ

⇐⇒ (2− δ)2 < x2 < (2 + δ)2

⇐⇒ 4− 4δ + δ2 < x2 < 4 + 4δ + δ2

⇐⇒ − 4δ + δ2 < x2 − 4 < 4δ + δ2

=⇒ |x2 − 4| < 4δ + δ2

Si on pose ε = 4δ+δ2, on obtient |x2−4| < ε. C’est ce qu’on cherchait car siε est donné arbitrairement petit, on peut toujours trouver δ tel que 4δ+ δ2 = ε.

8.1.2 Règles de calculLe calcul de l’exemple précédent s’appuie sur la définition théorique de la notionde limite. Dans la pratique, on ne procède pas comme ça car on dispose de règlesde calcul et de résultats connus qui simplifient considérablement la tâche.

Voici quelques règles de calcul. Ces règles supposent que les limites dont onparle existent. Dans ces conditions :

• la limite d’une somme (ou différence) est la somme (ou différence) deslimites :

limx→a

f(x) + g(x) = limx→a

f(x) + limx→a

g(x)

• la limite d’un produit est le produit des limites :

limx→a

f(x)× g(x) = limx→a

f(x)× limx→a

g(x)

• la limite d’un quotient est le quotient des limites à condition que la limitedu dénominateur ne soit pas nulle :

limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a f(x)

limx→a g(x)

si limx→a g(x) 6= 0.

Un autre résultat utile concerne les fonctions composées.Si une fonction h est la composée de deux fonctions f et g, on a par définition

h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)

).

Supposons quelimx→a

f(x) = b

et ensuite quelimx→b

g(x) = c

alors on peut conclure que

limx→a

(g ◦ f)(x) = c


8.1.3 Continuité

On a vu ce que signifiait que f(x) tend vers un nombre b lorsque x tend vers a.Le problème de la recherche de limite est précisément de trouver la valeur de b.Mais pour de nombreuses fonctions, la valeur de b est tout simplement la valeurde f en a, ce qui est compréhensible intuitivement puisque x se rapproche de a.

Ce phénomène porte un nom et s’appelle la continuité.

Définition 8.1.1. Lorsque la limite b de f(x) existe et vaut précisément f(a),on dit que la fonction f est continue en a.

On écrit alorslimx→a

f(x) = f(a)

Cette propriété, lorsqu’elle est vérifiée, simplifie considérablement les recherchesde limite car pour trouver b il suffit, dans ce cas, de calculer f(a).

La continuité est une propriété locale. On parle de continuité en un point aparticulier : c’est le fait que la limite de f(x) lorsque x tend vers a est f(a).

Si on a continuité en tous les points a d’un certain intervalle, on dit alorsque la fonction f est continue sur l’intervalle.

En conclusion, de nombreuses limites sont élémentaires à calculer dès qu’onsait que la fonction f est continue.

D’autre part, il y a des règles qui permettent de déterminer rapidementqu’une fonction est continue.

Voici quelques règles concernant la continuité :

• si f et g sont continues en a, alors leur somme, leur différence et leurproduit sont aussi continus en a ;

• si f et g sont continues au point a et si g(a) 6= 0, alors le quotient f/g estcontinu en a ;

• si f est continue en a et g est continue en f(a), alors la composée h = (g◦f)est continue en a ;

• les fonctions constantes sont continues en tout point ;

• les fonctions polynômes sont continues en tout point ;

• toutes les fonctions usuelles sont continues sur leur intervalle de définition(cos, sin, exp, log, etc.).

Attention : il existe aussi des fonctions qui ne sont pas continues en certainspoints.

L’exemple le plus simple est celui des fonctions en escalier :

8.1. LIMITES 85

0 2 4 6 8 10

02

46

810

Graphiquement, une discontinuité correspond en général à un point où lacourbe ne se raccorde pas, autrement dit fait un saut.

0 2 4 6 8 10

05

10

15

20

Discontinuité

12

18.5

5

8.1.4 Limites à droite et à gaucheCette situation conduit à la notion de limite unilatérale : limite à gauche oulimite à droite.


On dit que la fonction f à une limite à droite b si f(x) se rapproche de blorsque x tend vers a par valeurs supérieures, c’est-à-dire (x−a)→ 0 avec x > a.

On note cette propriété comme ceci :

limx→a+

f(x) = b

De même, on dit que la fonction f à une limite à gauche b si f(x) se rapprochede b lorsque x tend vers a par valeurs inférieures, c’est-à-dire (x− a)→ 0 avecx < a.

On note :limx→a−

f(x) = b

Évidemment, si la fonction a une limite au sens propre en a alors cette limitesert aussi bien de limite à gauche que de limite à droite.

Il existe cependant des fonctions qui ont des limites différentes selon qu’onvient de la gauche ou de la droite.

Exemple

Montrer que la fonction f(x) = |x|x(x+1) a des limites à gauche et à droite

différentes.

Corrigé

Si x > 0, on a |x| = x et f(x) = 1x+1 qui tend vers 1 lorsque x → 0. La

limite à droite est donc 1.De même, si x < 0, on a |x| = −x et f(x) = −1

x+1 qui tend vers -1 lorsquex→ 0. La limite à gauche est donc -1.

Il existe une réciproque à la propriété précédente :

Théorème 8.1.1. Si une fonction a une limite à gauche et une limite à droiteen a et si ces limites sont égales, alors elle a une limite au sens propre.

Exemple

Considérons la fonction par morceaux suivante :

f(x) =

{x2 − x+ 2 si x < 3

−x2 + 6x− 1 si x < 3

Monter qu’elle est continue au point a = 3.Comme cette fonction est définie différemment selon que x est inférieur ou

supérieur à 3, il faut calculer séparément ses limites à gauche et à droite.Pour la limite à gauche, on a

limx→3−

f(x) = limx→3−

x2 − x+ 2 = 9− 3 + 2 = 8

Pour la limite à droite, on a

limx→3+

f(x) = limx→3+

−x2 + 6x− 1 = −9 + 18− 1 = 8

8.1. LIMITES 87

Les deux limites existent et valent toutes les deux 8. On en conclut quelimx→3 f(x) = 8.

Voici la représentation graphique :

0 1 2 3 4 5 6

02

46

810

Fonction raccord

8.1.5 Limites infinies

Une extension de la notion de limite consiste à envisager le cas où l’un des pointsa ou b devient infini. Il y a deux aspects à cette question :

• on peut rendre x arbitrairement grand et examiner ce qui se passe pourf(x) ;

• il se peut aussi que f(x) devienne arbitrairement grand lorsque x se rap-proche de a.

On va donner un sens précis à ces notions.Elles sont particulièrement importantes en économie car elles permettent

d’étudier le comportement asymptotique des systèmes et des modèles dynamiques.Dans le premier cas, on dit que f(x) tend vers b lorsque x tend vers +∞

si la distance |f(x) − b| peut être rendue aussi proche qu’on le souhaite de 0pour peu que x soit suffisamment grand (autrement dit que x soit supérieur àun nombre T ).

On écrit :x > T =⇒ |f(x)− b| < ε


On note limx→+∞

f(x) = b .

Exemple

Monter que f(x) = 1x tend vers 0 lorsque x→ +∞.

Corrigé

Si ε est un nombre positif très petit, alors T = 1ε est un nombre positif très

grand. On a :

x >1

ε⇐⇒ 1

x< ε⇐⇒ f(x) < ε

C’est exactement la définition en prenant b = 0 et, par conséquent, limx→+∞1x =

0.

Dans le second cas, on dit que f(x) tend vers l’infini positif (noté +∞)lorsque x tend vers a, si on peut rendre la quantité f(x) supérieure à n’importequel nombre T pour peu que x soit suffisamment proche de a, c’est-à-dire que|x− a| soit suffisamment proche de 0.

On écrit :|x− a| < ε =⇒ f(x) > T

On note limx→a

f(x) = +∞ .

On dit dans ce cas que la fonction f(x) est divergente.

Exemple

Monter que 1x2 tend vers +∞ lorsque x→ 0.

Corrigé

Prenons un nombre positif très grand T . On a les équivalences suivantes :

|x− 0| < 1√T⇐⇒ x2 <

1

T⇐⇒ 1

x2> T

Il suffit donc de prendre ε = 1√T. C’est un nombre très petit si T est très

grand.Cela correspond à la définition et, par conséquent, limx→0

1x2 = +∞.

Une dernière situation est celle où f(x) tend vers l’infini lorsque x tend versl’infini. Dans le cas de +∞, on peut formuler la propriété de la manière suivante:

x > S =⇒ f(x) > T

où S et T sont des nombres positifs très grands. Cela revient à dire que pourque f(x) devienne aussi grand qu’on le souhaite (supérieur à T ), il suffit deprendre x suffisamment grand (supérieur à S).

Toutes les définitions précédentes s’étendent sans difficulté au cas de limitesen −∞. Dans le premier cas, il suffit de remplacer x par −x et, dans le second

8.1. LIMITES 89

cas, il suffit de remplacer la fonction f par la fonction −f puisque de manièregénérale lim−f = − lim f .

On étend aussi facilement les notions de limite à gauche et de limite à droiteau cas des valeurs infinies. On en verra des exemples en exercices.

8.1.6 Limites de suites

Les définitions précédentes permettent en particulier de donner un sens à lanotion de limite d’une suite. On a vu qu’une suite n’était autre qu’une fonctiondéfinie sur l’ensemble des nombres entiers et à valeurs réelles. La variable esten général notée n ou t.

On peut donc chercher à étudier le comportement du terme général d’unesuite lorsque n tend vers l’infini.• Dans le cas d’une suite arithmétique en particulier, le résultat est très

simple. On a vu que le terme général s’écrivait un = a × n + u0. La limite estdonc :

limn→+∞

un =

+∞ si a > 0

−∞ si a < 0

u0 si a = 0

• La limite d’une suite géométrique est plus compliquée car le terme généralun = u0 × an et qu’il faut donc connaître la limite de an. Le résultat est lesuivant :

limn→+∞

an =

0 si |a| < 1

1 si |a| = 1

+∞ si a > 1

Il n’y a pas de limite sinon, c’est-à-dire si a ≤ −1.

8.1.7 Indéterminations

Il existe certaines formes de limite où il est n’est pas possible de conclure di-rectement en utilisant les résultats généraux concernant les opérations sur leslimites.

On les appelle des formes indéterminées ou des cas d’indétermination. Cecine veut pas dire qu’on ne pourra pas déterminer la limite : c’est simplement queles règles vues précédemment ne permettent pas de conclure. Pour conclure, ilfaut avoir recours à d’autres techniques.

Les trois cas principaux d’indétermination sont les suivants :

• lorsque le résultat obtenu donne0

0;

• lorsque le résultat obtenu donne∞∞

;

• lorsque le résultat obtenu donne ∞−∞.


Par exemple, dans le troisième cas, une expression de la forme∞−∞ signifiequ’on fait la différence entre deux nombres très grands.

Dire qu’il y a indétermination signifie simplement que la différence entredeux nombres très grands est susceptible de donner toutes sortes de résultats: un nombre très grand, un nombre très petit, un nombre constant, etc. Onne peut pas conclure uniquement en sachant qu’on a une différence de nombrestrès grands.

Pour lever l’indétermination, on doit réussir à apprécier à quel point lesnombres sont grands comparativement. Il existe des méthodes pour y parvenir: le plus souvent, une factorisation d’un des termes suffit pour permettre deconclure.

Il existe d’autres formes indéterminées mais elles se déduisent toutes desprécédentes. Citons en particulier :

• lorsque le résultat obtenu donne 0×∞ ;

• lorsque le résultat obtenu donne 00 ;

• lorsque le résultat obtenu donne ∞0 ;

• lorsque le résultat obtenu donne 1±∞.

Exemple

Trouver la limite lorsque n→∞ de un = 2n − 3n.

Corrigé

A priori, on sait que 2n et 3n tendent vers l’infini. Par différence on obtientdonc la forme indéterminée ∞−∞.

On factorise 3n :

un = 2n − 3n = 3n(

2n

3n− 1

)= 3n

((2

3

)n− 1

)On remarque que

(23

)n tend vers 0 car 23 < 1. Par conséquent, la parenthèse

tend vers (0− 1) = −1 et on est ramenés à une forme ∞× (−1) qui n’est plusindéterminée et vaut −∞.

8.1.8 Techniques de calculLes paragraphes qui suivent donnent les principales méthodes utilisées pourdéterminer des limites et pour lever les indéterminations. On va voir successive-ment :

1. factorisation et simplification ;

2. encadrement et théorème des gendarmes ;

3. multiplication par la quantité conjuguée ;

8.1. LIMITES 91

4. règle de L’Hôpital ;

5. méthodes par équivalence.

Factorisation et simplification

Dans le cas des indéterminations de type0

0ou∞∞

, le problème est souventcausé par la présence d’un facteur commun au numérateur et au dénomina-teur. Par factorisation, on arrive à faire apparaître puis à simplifier le facteurproblématique et on reste avec une forme qui est cette fois déterminée.

Exemple

Calculer la limite limx→2

x2 − 3x+ 2

x2 − 4.

Corrigé

Le numérateur et le dénominateur sont des polynômes et sont par conséquentcontinus. Leur limite est leur valeur en x = 2. Mais cette valeur est 0 et lequotient conduit donc à la forme indéterminée

0

0.

Comme les polynômes s’annulent en x = 2, c’est qu’on peut factoriser leterme (x− 2). On obtient :

x2 − 3x+ 2

x2 − 4=

(x− 2)(x− 1)

(x− 2)(x+ 2)=

(x− 1)

(x+ 2)

Le dernière fraction tend vers(2− 1)

(2 + 2)=

1

4.

Encadrement

Le théorème dit “des gendarmes” (ou “du sandwich”) permet de déterminer lalimite d’une fonction par comparaison avec deux autres fonctions qui l’encadrentet dont la limite est connue ou facilement calculable.

Théorème 8.1.2. Soit f , g et h trois fonctions réelles définies sur l’intervalleI contenant le point a.

Si, pour tout x ∈ I, on a f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si limx→a f(x) = limx→a h(x) =L, alors limx→a g(x) = L.

Remarque : il suffit que les limites en a existent. Les fonctions f , g et hpeuvent éventuellement ne pas être définies en a.


Théorème des gendarmes

a

L

f(x)

g(x)

h(x)

Exemple

Calculer limx→0

x cos(1/x).

Corrigé

Directement, la fonction cos(1/x) n’a pas de limite si x tend vers 0.On part du fait que la fonction cosinus est toujours comprise entre -1 et 1

et on va supposer que x est positif :

−1 ≤ cos(1/x) ≤ 1⇐⇒ −x ≤ x cos(1/x) ≤ x

Donc la fonction est prise en sandwich entre −x et x qui tendent tous lesdeux vers 0 lorsque x tend vers 0. La limite à droite existe donc et vaut 0.

On recommence ensuite en supposant que x est négatif : on obtient unelimite à gauche égale aussi à 0. Comme il y a une limite à gauche et une limiteà droite et qu’elles sont égales, on a une limite au sens propre.

Quantité conjuguée

La quantité conjuguée d’une expression de la forme√a −√b est l’expression√

a +√b. En multipliant au numérateur et au dénominateur par la quantité

conjuguée, on obtient souvent des simplifications qui lèvent l’indétermination.On développe le numérateur au moyen de l’identité remarquable :

(√a−√b)(√a+√b) = (

√a)2 − (

√b)2 = a− b

8.1. LIMITES 93

Exemple

Calculer limx→+∞

√x+ 1−

√x− 1.

Corrigé

Directement, on arrive à une indétermination de type ∞−∞. On va mul-tiplier par la quantité conjuguée

√x+ 1 +

√x− 1 :

√x+ 1−

√x− 1 =

(√x+ 1−

√x− 1)(

√x+ 1 +

√x− 1)√

x+ 1 +√x− 1

=(√x+ 1)2 − (

√x− 1)2

√x+ 1 +

√x− 1

=(x+ 1)− (x− 1)√x+ 1 +

√x− 1

=2√

x+ 1 +√x− 1

La dernière fraction tend vers 0 car le dénominateur tend vers ∞+∞ = +∞.

Règle de L’Hôpital

La règle de L’Hôpital permet souvent de lever les indéterminations de la forme00 ou de la forme ∞∞ . Elle suppose que le numérateur et le dénominateur sontdes fonctions dérivables.

Théorème 8.1.3. Si f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle]a, b[ et ont chacune une limite en a égale à 0, alors

limx→a

f(x)

g(x)= limx→a

f ′(x)

g′(x)

si la limite existe et si g′ ne s’annule pas sur ]a, b[

Exemple 1


x− 1

x2 + x− 2.

Corrigé

On a ici f(x) = x − 1 et g(x) = x2 + x − 2. Ces deux fonctions s’annulenten x = 1. On calcule leurs dérivées f ′(x) = 1 et g′(x) = 2x + 1. Ces dérivéessont continues donc la limite du quotient est

limx→1

f ′(x)

g′(x)=f ′(1)

g′(1)=

1

3

Exemple 2



sin(x)

x.

Corrigé

On a ici f(x) = sin(x) et g(x) = x. Ces deux fonctions s’annulent en x = 0.On calcule leurs dérivées f ′(x) = cos(x) et g′(x) = 1. Ces dérivées sont continuesdonc la limite du quotient est

limx→0

f ′(x)

g′(x)=f ′(0)

g′(0)=

cos(0)

1= 1

Attention :La règle de l’Hôpital n’est utilisable qu’en cas d’indétermination.

Voici un contre-exemple dans le cas où il n’y a pas d’indétermination :

1 = limx→1

2x2 + 1

3x− 26= limx→1

4x

3=

4

3.

La bonne réponse est 1, pas4

3!

Équivalents

Définition 8.1.2. On dit que deux fonctions f et g sont équivalentes au point

a et on note f ∼ag si g ne s’annule pas au voisinage de a et lim

x→a

f(x)

g(x)= 1.

L’intérêt de cette notion est que, si on connaît une équivalence, on peutremplacer une expression par son équivalent dans un calcul de limite qui seprésente sous forme de produit ou de quotient. On s’appuie sur le résultatsuivant :

Théorème 8.1.4. Si f1 ∼ag1 et f2 ∼

ag2, alors f1f2 ∼

ag1g2

Il existe des équivalents connus pour la plupart des fonctions usuelles et ilexiste aussi des règles pratiques qui fournissent des équivalents.

Voici quelques équivalents connus autour du point 0 :

• sin(x) ∼0

x

• cos(x) ∼0

1− x2

2

•√

1 + x ∼0

1 +1

2x

8.1. LIMITES 95

• (1 + x)a ∼0

1 + a x

• exp(x) ∼0

1 + x

• log(1 + x) ∼0

x

Si x est voisin de 0 alors−x l’est aussi et les formules précédentes s’appliquentdonc de la même manière s’il y a un signe moins. En particulier :

•√

1− x ∼0

1− 1

2x

• (1− x)a ∼0

1− a x

• exp(−x) ∼0

1− x

• log(1− x) ∼0−x

On utilise aussi les règles suivantes :

• tout polynôme est équivalent en 0 à son terme de plus bas degré.

Par exemple : 2x3 − 3x2 + 6x− 5 ∼0−5

• tout polynôme est équivalent en l’infini (c’est-à-dire en ±∞) à son termede plus haut degré.

Par exemple : 2x3 − 3x2 + 6x− 5 ∼±∞

2x3

On utilise aussi les règles suivantes qui permettent de lever les indétermina-tions en cas de conflit entre une fonction polynôme et une fonction puissance(c’est-à-dire une exponentielle de la forme an).

Si on trouve une forme indéterminée de type0

0ou∞∞

en faisant le quotientd’un polynôme et d’une fonction puissance ou de type 0×∞ en faisant le produit,c’est toujours la fonction puissance qui l’emporte, autrement dit, la limite duquotient ou du produit est celle qu’on obtiendrait si la fonction polynôme étaitabsente.

La raison est que la fonction an croît plus vite que n’importe quel monômeen n, c’est-à-dire n’importe quel terme n2, n3, etc.

On a un résultat inverse en cas de conflit entre un logarithme et un polynôme: c’est toujours le polynôme qui l’emporte.

Par exemple (0, 9)n × n1000 tend vers 0 lorsque n tend vers +∞ car (0, 9)n

tend vers 0 (puisque 0, 9 < 1) et que le polynôme n1000 a beau tendre versl’infini, c’est quand même la fonction puissance qui l’emporte.


De même la fractionn1000

(1, 1)ntend vers 0 car le dénominateur est une fonction

puissance qui tend vers l’infini (puisque 1, 1 > 1) et le fait beaucoup plus viteque le monôme n1000.

La suite log(n)n tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini car le monôme n

l’emporte sur le logarithme log(n).Attention :La règle des équivalents s’applique dans les produits et les quotients mais

pas dans les sommes. Les équivalents ne s’additionnent pas et ne se soustraientpas.

Attention encore :La règle des équivalents ne s’applique pas dans les compositions de fonctions.

Voici un contre-exemple : x2 + x ∼∞x2 mais ex

2+x 6∼∞ex

2

carex

2+x

ex2 = ex qui

ne tend pas vers 1 lorsque x tend vers +∞.

Exemple

Calculer la limite en 0 de l’expression suivante :

sin(x(x− 1)

)√

1 + 2x2 log(1− 3x)

Corrigé

Par les équivalents usuels, on peut écrire :

limx→0

sin(x(x− 1)

)√

1 + 2x2 log(1− 3x)= limx→0

sin(x2 − x)

(1 +1

22x2)× (−3x)

= limx→0

sin(−x)

(1 +1

22x2)× (−3x)

= limx→0

−x(1 + x2)× (−3x)

= limx→0

1

3(1 + x2)=

1

3

8.1.9 Prolongement par continuitéOn a vu que le cas le plus simple de calcul de limite est celui où la fonction fest continue en a car on a alors lim f(x) = f(a).

Inversement, on va utiliser la notion de limite pour rendre certaines fonctionscontinues en des points où elles n’étaient pas définies initialement. C’est latechnique du prolongement par continuité.

8.2. EXERCICES 97

Soit I un intervalle contenant le point a et f une fonction définie sur I\{a}.Lorsque la limite limx→a f(x) = b existe, on définit une nouvelle fonction gappelée le prolongement par continuité de f en a de la manière suivante :

g(x) =

{f(x) si x ∈ I\{a}b si x = a

La fonction g est ainsi définie sur tout l’intervalle I.

Exemple 1

L’exemple le plus classique est celui de la fonction f(x) =sin(x)

xqui n’est

pas définie en 0. Étant donné que la limite de f(x) en 0 existe (et vaut 1 commeon a vu précédemment), on peut prolonger f en 0 en posant f(0) = 1.

Exemple 2

Trouver un prolongement par continuité en 0 pour la fonction f(x) = x sin(1

x).

Corrigé

Par le théorème des gendarmes, on montre facilement que la limite en 0existe et vaut 0 :

−1 ≤ sin

(1

x

)≤ 1 =⇒ −x ≤ x sin

(1

x

)≤ x

On prolonge donc en posant f(0) = 0.

8.2 Exercices

Exercice 47

Calculer les limites à l’infini des suites suivantes :

limn→+∞

2n

n2lim

n→+∞2n − n2

limn→+∞

(2n4 + 3n2 + 1)

(n2 + 1)(n2 − 1)lim

n→+∞

(1

3

)n(2n − 3n)

limn→+∞

(n2 − 3n+ 4)(1

3

)nlim

n→+∞

(1

2

)n(2n − n2)

limn→+∞

√n+ 1−

√n lim

n→+∞n(√

n2 + 1− n)

limn→+∞

(1 +

1

n

)nlim

n→+∞

(−1)n

n2 + (−1)nn


Exercice 48

Calculer les limites suivantes :

limx→0

x2 + x− 2

x2 − 1limx→1

x2 + x− 2

x2 − 1

limx→1

x2 + 1

x2 − 1limx→−1

x2 − 2x− 3

x2 + 3x+ 2

limx→3

2x+ 1

x− 3limx→0

log(1 + x2)

1− cos(x)

limx→+∞

√x2 + x+ 1− x lim

x→−∞

x−√x2 + 1

x+ 1

limx→∞

2x2 − 1

2x2 − 3x+ 1limx→1

2x2 − 1

2x2 − 3x+ 1

Exercice 49

On considère la fonction f(x) =4x2 + x+ 1

x.

a) Indiquer son domaine de définition.b) Quelle est sa limite lorsque x −→ 0 ? (on distinguera les cas où x > 0 et

x < 0)

c) Quelle est la limite a def(x)

xlorsque x −→ ±∞ ?

d) En prenant le a qui vient d’être trouvé, chercher la limite de f(x) − axlorsque x→ ±∞.

e) Que peut-on en déduire graphiquement ?

Chapter 9

Dérivation

9.1 Définition et règlesSi on considère une fonction numérique f en deux points x et y, rappelons quela quantité (y − x) représente l’écart entre x et y (ou la variation de x à y) etest noté ∆x. De même, la quantité f(y)− f(x) représente la variation de f(x)à f(y) et est noté ∆f(x).

On a vu, dans la séance 6, que le rapport entre ∆f(x) et ∆x s’appelle letaux de variation. Par exemple, si la variable x représente le temps, ce rapportindique de combien a varié la fonction f pendant un intervalle de temps donné: c’est dans ce cas une vitesse de variation.

Le signe du taux de variation indique le sens de croissance de f : s’il estpositif, c’est que f croît lorsqu’on passe de x à y. S’il est négatif, c’est que fdécroît.

9.1.1 Taux de variation instantanéePour augmenter la précision, on peut mesurer la vitesse de variation de plus enplus souvent, autrement dit sur des intervalles ∆x de plus en plus petits. C’estce qui conduit à la notion de dérivée.

On se pose la question de savoir ce que devient le taux de variation lorsquel’intervalle ∆x devient infiniment petit, c’est-à-dire lorsque ∆x → 0. C’est unproblème de limite.

Si la limite existe, on l’appelle la dérivée de f en x.

Définition 9.1.1. La dérivée d’une fonction f en un point x est la limite

lim∆x→0

∆f(x)

∆x

Si cette limite existe, on dit que f est dérivable en x. Sinon la fonction n’estpas dérivable en x.

La dérivée de f en x est notée f ′(x) oudf

dxou

df(x)

dx.

99

100 CHAPTER 9. DÉRIVATION

On a y = x+ ∆x et donc ∆f(x) = f(y)− f(x) = f(x+ ∆x)− f(x).Par conséquent, la définition peut s’écrire sous la forme suivante :

f ′(x) = lim∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x

ou encore, en posant h = ∆x :

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

La dérivée s’interprète comme un taux de variation instantané. On parleaussi de vitesse instantanée. En économie, si une grandeur f dépend d’unegrandeur x, il s’agit de savoir dans quelle proportion la grandeur f réagit auxvariations de la grandeur x.

C’est en un point x qu’on détermine la dérivée de f . Tout dépend du faitque la limite ci-dessus existe ou n’existe pas lorsqu’on se rapproche de x. Ondit que la dérivabilité est une notion locale (comme la notion de continuité vueà la séance 8).

Quand on dit qu’une fonction est dérivable sur un intervalle I, on veut direqu’elle est dérivable en tout point de cet intervalle.

Il se peut qu’il existe seulement une limite à gauche ou une limite à droite.On dit dans ce cas que la fonction est dérivable à gauche (resp. dérivable àdroite).

Propriété 9.1.1. La dérivée d’une fonction constante est toujours nulle.

Ce résultat se comprend intuitivement : si la fonction est constante, elle nevarie pas et donc ses variations sont nulles.

On peut le vérifier directement par le calcul en notant f(x) = c :

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

c− ch

= limh→0

0

h

= limh→0

0

= 0

Exercice

Montrer que la fonction f(x) = x2 est dérivable en tout point x.

Corrigé

9.1. DÉFINITION ET RÈGLES 101

On va calculer directement le rapport de variation et calculer sa limite :

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

x2 + 2hx+ h2 − x2

h

= limh→0

2hx+ h2

h

= limh→0

2x+ h

= 2x

9.1.2 Règles de dérivationIl est très rare qu’on ait à calculer une dérivée sous forme de limite comme dansl’exercice précédent. Il existe en effet des règles de calcul et des formules quipermettent d’obtenir la dérivée directement.

L’exercice précédent a montré que (x2)′ = 2x. De manière générale, pourn’importe quelle puissance n, on a :

(xn)′ = nxn−1

En particulier, on a (x)′ = 1, (x3)′ = 3x2, (x4)′ = 4x3, etc.La formule précédente ne se limite pas aux exposants entiers. On peut aussi

l’appliquer à des exposants négatifs et des exposants fractionnaires.

Exemple 1

Pour n = −1, on obtient(x−1

)′= (−1)x−2, ce qu’on peut réécrire sous la

forme : (1

x

)′= − 1

x2

Exemple 2

Pour n = 12 , on obtient (x1/2)′ = 1

2 x12−1 = 1

2 x− 1

2 , ce qu’on peut réécriresous la forme : (√

x)′

=1

2√x

Exercice

Calculer la dérivée de la fonction 1x2 .


Corrigé

On écrit 1x2 sous la forme x−2 :

(x−2

)′= (−2)x−2−1 = −2x−3 = − 2

x3

Exercice

Calculer la dérivée de la fonction 3√x.

Corrigé

On écrit 3√x sous la forme x

13 :(

x13

)′=

(1

3

)x

13−1 =

(1

3

)x−

23 =

1

3x23

=1

33√x2

Voici comment la dérivation agit sur les opérations usuelles :

• multiplication par un scalaire

(a f)′ = a f ′ pour a ∈ R

• somme de deux fonctions

(f + g)′ = f ′ + g′

• produit de deux fonctions

(f × g)′ = f ′ g + f g′

• quotient de deux fonctions(f

g

)′=f ′ g − f g′

g2

Grâce aux deux premières règles précédentes et à la formule donnant ladérivée de xn, on peut calculer la dérivée de n’importe quel polynôme.

Par exemple :

(x3 − 5x2 + 4x− 1/2)′ = 3x2 − 10x+ 4

Exercice

Calculer la dérivée de f(x) = x√x

Corrigé


On applique la formule de la dérivée d’un produit :(x√x)′

= x′ ×√x+ x×

(√x)′

=√x+ x× 1

2√x

= x+1

2

√x

Exercice

Calculer la dérivée de f(x) =x+ 1√x

Corrigé

On applique la formule de la dérivée d’un quotient :(x+ 1√x

)′=

(x+ 1)′ ×√x− (x+ 1)× (

√x)′

(√x)

2

=

√x− (x+ 1)× 1

2√x

x

=2x− (x+ 1)

2x√x

=x− 1

2x√x

La lettre utilisée pour désigner les variables est arbitraire. On peut écrireaussi bien que ;

d(x2)

dx= 2x ou

d(t2)

dt= 2t ou

d(y2)

dy= 2y

C’est le dénominateur (ici dx ou dt ou dy) qui précise par rapport à quellevariable on dérive.

La situation se complique un peu lorsqu’on compose les fonctions entre elles.Prenons l’exemple de la fonction f(x) = (3x + 1)2 qu’on voudrait dériver parrapport à x.

Si on pose, u = 3x+ 1, la fonction s’écrit simplement u2 et on a évidemment

d(u2)

du= 2u

mais il s’agit ici d’une dérivation par rapport à u (et non pas par rapport à x).Pour obtenir la dérivée de u2 par rapport à x, il faut appliquer la formule

suivante :d(u2)

dx=d(u2)

du× du

dx


On obtient donc :

d(u2)

dx= 2u× d(3x+ 1)

dx= 2u× 3 = 2(3x+ 1)× 3 = 6(3x+ 1)

La formule précédente s’étend au cas de n’importe quelle fonction f ets’appelle la formule de dérivation des fonctions composées. On suppose quef est fonction de u qui est lui-même fonction de x et on veut dériver f parrapport à x :

df

dx=df

du× du

dx

Sous forme condensée, la formule est souvent écrite sous la forme suivante :(f(u)

)′= f ′(u)× u′

ou encore(f ◦ u)′ = (f ′ ◦ u)× u′

Exemple 1

Calculer la dérivée de f(x) = (1 +√x)2

Corrigé

Si on pose u = (1 +√x), on a f(u) = u2. C’est le même modèle que dans

l’exemple précédent et on obtient :

df

dx= 2u× d(1 +

√x)

dx= 2u× 1

2√x

=1 +√x√

x=

1√x

+ 1

Exemple 2

Calculer la dérivée de f(x) =√x2 + 1

Corrigé

Si on pose u = (x2 + 1), on a f(u) =√u. La dérivée de

√u par rapport à u

est1

2√u.

On obtient donc :

df

dx=

1

2√u× u′ =

1

2√u× (x2 + 1)′ =

x√x2 + 1

On peut ainsi calculer la dérivée par rapport à x de l’inverse d’une fonctionu : (

1

u

)′= − u

′

u2

où u est une fonction de x.


De manière générale, pour la puissance d’une fonction, on obtient :

(un)′

= nun−1 u′

Exercice

Calculer la dérivée de f(x) =(x3 − 1

)5.Corrigé

f ′(x) = 5(x3 − 1

)4 × 3x2 = 15x2(x3 − 1

)4

9.1.3 Interprétation graphique

On a vu, dans la séance 6, que le taux de variation s’interprétait comme la pentedu segment joignant les points U et V

Taux de variation

U

V

∆u

∆f(u)

θ

tan(θ) =∆f(u)

∆u

Lorsqu’on fait tendre ∆u vers 0, on obtient la situation suivante :


Taux de variation instantanée

U

V

θ

tan(θ) =df(u)

du

Le point V tend vers le point U et le segment UV tend vers la tangente à lacourbe au point U .

La dérivée de la fonction f en U est donc la pente de la tangente à la courbeen ce point.

On en déduit l’équation générale de la tangente à la courbe d’une fonctionf en un point d’abscisse a :

y = f ′(a)(x− a

)+ f(a)

Cette formule peut aussi s’écrire sous la forme suivante :

y − f(a)

x− a= f ′(a)

9.1.4 Croissance et optimisationLa dérivée est un taux de variation instantané et possède les mêmes propriétésconcernant le sens de variation de la fonction.

CroissanceSur tout intervalle où la dérivée est strictement positive, la fonction est stricte-ment croissante. Sur tout intervalle où la dérivée est strictement négative, lafonction est strictement décroissante

Le tableau des signes de f ′ devient le tableau de variation de f .D’après l’interprétation graphique, un point où la dérivée s’annule est un

point où la tangente à la courbe est horizontale.

9.2. ÉTUDE DE FONCTION 107

Si la dérivée en ce point change de signe, elle change de sens de variation etil s’agit d’un minimum ou d’un maximum.

Il se peut néanmoins que la dérivée s’annule en un point mais ne change pasde signe : le point est alors appelé point d’inflexion.

9.2 Étude de fonction

9.2.1 Plan d’étudeLes résultats précédents guident le plan d’étude d’une fonction. Les étapes sontles suivantes :

1. déterminer le domaine de définition de f ;

2. calculer la dérivée de f ;

3. étudier le signe de f ′ ;

4. en déduire le tableau de variations de f ;

5. tracer la courbe sur le domaine de définition.

9.2.2 Propriétés géométriquesDéfinition 9.2.1. Une fonction f est dite paire si elle vérifie

f(−x) = f(x) pour tout x

Une fonction f est dite impaire si elle vérifie

f(−x) = −f(x) pour tout x

Par exemple, la fonction f(x) = x(x2 + 1) est impaire tandis que la fonctionf(x) = x2

x2+1 est paire.Le graphe d’une fonction paire est toujours symétrique par rapport à l’axe

vertical (l’axe des y) car pour deux abscisses opposées l’une de l’autre les or-données correspondantes sont identiques. Le graphe d’une fonction impaire esttoujours symétrique par rapport à l’origine du repère.

On va vérifier que la dérivée d’une fonction paire (si elle existe !) est impaire.En effet, en appliquant la formule de dérivation des fonctions composées, on peutécrire :

f(−x) = f(x)

⇐⇒(f(−x)

)′=(f(x)

)′⇐⇒ − f ′(−x) = f ′(x)

⇐⇒ f ′(−x) = −f ′(x)

La réciproque est aussi vraie : la dérivée d’une fonction impaire est paire.


Exemple

Vérifiez-le avec la fonction f(x) = x(x2 + 1).En effet, sa dérivée est f ′(x) = 3x2 + 1 qui est paire.La formule de dérivation des fonctions composées permet aussi de calculer

la dérivée de la fonction réciproque f−1 (si elle existe !) d’une fonction f .On part de :

(g ◦ f)′ = (g′ ◦ f)× f ′

On prend g = f−1, autrement dit g ◦ f(x) = g(f(x)

)= f−1(f(x)) = x. On

obtient donc :

(x)′ = (g′ ◦ f)(x)× f ′(x) = g′(f(x)

)× f ′(x) = g′

(y)× f ′(x)

Ici le membre de gauche vaut 1 et donc (à condition que f ′(x) 6= 0), onobtient : (

f−1)′

(y) = g′(y) =1

f ′(x)

Finalement, en écrivant tout en y :

(f−1

)′(y) =

1

f ′(f−1(y)

)

9.3 Dérivée seconde

9.3.1 Définition

Définition 9.3.1. On appelle dérivée seconde d’une fonction f la dérivée de sadérivée f ′.

On doit bien sûr vérifier que la dérivée f ′ est bien dérivable pour pouvoirparler de la dérivée seconde. Lorsqu’elle existe, la dérivée seconde est notée

f ′′(x) oud2f

dx2.

La dérivée seconde s’interprète comme une accélération car c’est la vitessede variation de la vitesse.

9.3.2 Notion de convexité

Définition 9.3.2. Une fonction convexe est une fonction telle que, pour toutintervalle [a, b], la portion de courbe sur cet intervalle se trouve sous le segmentjoignant les points d’abscisses a et b.

9.3. DÉRIVÉE SECONDE 109

a bc

Cette propriété se traduit par la relation suivante, valable pour tout t comprisentre 0 et 1 :

f(t a+ (1− t) b) ≤ t f(a) + (1− t) f(b)

On dit de même qu’une fonction f est concave si la fonction −f est convexe.Dans ce cas, la portion de courbe sur un intervalle [a, b] se trouve au-dessus dusegment joignant les points d’abscisses a et b.

La dérivée seconde permet de déterminer dans quelle région une courbe estconvexe ou concave.

Lorsque la dérivée seconde est positive, la fonction est convexe et lorsqu’elleest négative, la fonction est concave.

Un point d’inflexion est un point où se produit un changement de concavité,autrement dit où la dérivée seconde s’annule et change de signe.

Exemple

Considérons la fonction f(x) = x3 − 8x2 + 17x− 1.On calcule :

f ′(x) = 3x2 − 16x+ 17f ′′(x) = 6x− 16

La fonction est donc convexe pour x > 16/6 = 8/3 et concave sinon. Lepoint d’inflexion est en x = 8/3.


0 1 2 3 4 5 6

05

10

15

20

25

30

Convexité / concavité

x

f(x)

I

8/3

9.4 Exercices

Exercice 50

Calculer les dérivées des fonctions suivantes:

f(x) =1

x2 + 1f(x) =

2x− 1

x+ 1f(x) =

√√x

f(x) =x2 − 1

x2 + 4f(x) =

√x

x+ 1f(x) =

1

x− 1− 1

x+ 1

Exercice 51

Montrer que si a est racine double d’un polynôme P (x) alors il est racinesimple de P ′(x). Généraliser au cas d’une racine d’ordre p.

Exercice 52

Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la dérivée première, construirele tableau de variations et donner une représentation graphique. Quelle est lalimite de f lorsque x −→ ±∞ ?

f(x) =1

|x|f(x) =

√x2 + 1 f(x) = x3 − 6x2 + 9x− 1

f(x) =2x2 − 1

x2 + 1f(x) =

x√x2 + 1

f(x) =

√x2 + 1

x

9.4. EXERCICES 111

Exercice 53

On va étudier la fonction f(x) =4x2 + x+ 1

x.

a) Indiquer son domaine de définition.

b) Quelle est sa limite lorsque x −→ 0 ? (on distinguera les cas où x > 0 etx < 0)

c) Calculer sa dérivée f ′(x) et déterminer le tableau de variation de f .

d) Donner une représentation graphique de f .

e) Quelle est la limite a def(x)

xlorsque x −→ ±∞ ?

f) En prenant le a qui vient d’être trouvé, chercher la limite de f(x) − axlorsque x −→ ±∞. Que peut-on en déduire graphiquement ?

Exercice 54

Déterminer l’équation de la tangente au point d’abscisse x = 1/2 à la courbereprésentative de la fonction f(x) =

√1− x2.

Exercice 55

On considère la fonction définie de la manière suivante :

f(x) =

{x2 − 4x+ 6 si x ≤ 3

a x+ b si x > 3

Déterminer a et b de telle sorte que les deux courbes se raccordent au pointd’abscisse x = 3 avec la même tangente.


Chapter 10

Fonctions usuelles

10.1 Fonction logarithme

10.1.1 Définition

Définition 10.1.1. La fonction logarithme est la fonction définie sur l’intervalle

]0,+∞[ dont la dérivée est la fonction1

xet qui vaut 0 en 1.

On la note en général log(x) ou parfois ln(x) (abréviation de “logarithmenaturel” ou “logarithme népérien”).

On a donc, par définition :

(log(x)

)′=

1

xet log(1) = 0

10.1.2 Propriétés

Le domaine de définition Df du logarithme est l’intervalle ]0,+∞[. Le loga-rithme n’est pas défini pour les valeurs négatives et n’est pas défini non plus en0.

On a vu que sa dérivée est1

xqui est positif sur le domaine Df : le logarithme

est donc une fonction croissante.Puisque log(1) = 0, le logarithme est négatif pour x < 1 et positif pour

x > 1.On a les limites suivantes : lim

x→+∞log(x) = +∞

limx→0+

log(x) = −∞

Voici la graphe de la fonction logarithme :

113

114 CHAPTER 10. FONCTIONS USUELLES

0 2 4 6 8 10

−2

−1

01

2

Fonction logarithme

1

Exercice

Trouver le domaine de définition de la fonction y = log(4x2 − 1).

Corrigé

Il faut que le polynôme 4x2 − 1 soit strictement positif.Il se factorise en:

4x2 − 1 = (2x+ 1)(2x− 1)

Ses racines sont -1/2 et 1/2. On a donc :

Df =]−∞,−1/2[∪ ]1/2,+∞[

On a la relation fondamentale suivante pour deux nombres réels positifs aet b :

log(a b) = log(a) + log(b)

Le logarithme transforme les produits en sommes.En particulier, on en déduit que :

log(a2) = 2 log(a)

et plus généralement :

log(an) = n log(a)

10.1. FONCTION LOGARITHME 115

La formule précédente reste vraie si n est négatif. En particulier :

log

(1

a

)= − log(a)

Le logarithme de l’inverse d’un nombre est parfois appelé son cologarithme (parexemple dans les calculs de pH en chimie).

On peut aussi l’appliquer pour des exposants fractionnaires :

log(apq ) =

p

qlog(a)

Exemple

On a les identités suivantes :log(√a) =

1

2log(a)

log( 3√a) =

1

3log(a)

Par la formule de dérivation des fonctions composées, on obtient la relationsuivante pour une fonction u de la variable x :

(log(|u|))′

=u′

u

Exercice

Calculer la dérivée de la fonction f(x) = log(√x2 + 1

).

Corrigé

On remarque que f(x) =1

2log(x2 + 1

). On a donc :

f ′(x) =1

2

(x2 + 1)′

x2 + 1=

1

2

2x

x2 + 1=

x

x2 + 1

Lorsque, dans un calcul de limite, il y a un conflit entre un logarithme et unpolynôme, c’est le polynôme qui l’emporte.

Exemple

Calculer la limite limx→+∞

1

xlog(x2 + x).


Corrigé

Le polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré. Par conséquent:

limx→+∞

1

xlog(x2 + x) = lim

x→+∞

1

xlog(x2) = lim

x→+∞2

log(x)

x

Ce dernier quotient conduit à une forme indéterminée ∞∞ mais le polynômel’emporte et la limite est finalement 0.

10.2 Fonction exponentielle

10.2.1 Définition

Définition 10.2.1. La fonction exponentielle est la fonction réciproque de lafonction logarithme.

On la note habituellement exp(x) ou ex.Cette fonction existe car la fonction logarithme est continue et monotone

croissante, ce qui assure qu’elle a bien une réciproque.Son domaine de définition est R tout entier (c’est le domaine d’arrivée de la

fonction log).La fonction exponentielle et la fonction logarithme sont réciproques l’une de

l’autre, ce qui conduit aux relations :

log(

exp(x))

= exp(

log(x))

= x

ou encorelog(ex)

= elog(x) = x

10.2.2 Propriétés

Le nombre e dans la notation ex est exp(1) ≈ 2.718.C’est une valeur approchée : avec une plus grande précision, il s’écrit e =

2.718281828459045090796 . . . .Puisque le logarithme est la réciproque de l’exponentielle, on a log(e) = 1.L’espace d’arrivée de la fonction exponentielle est ]0,+∞[, autrement dit

l’exponentielle d’un nombre est toujours strictement positive.La fonction exponentielle est sa propre dérivée :

(ex)′

= ex

Cette dérivée est donc toujours positive et l’exponentielle est une fonctioncroissante.

Voici le graphe de la fonction exponentielle :

10.2. FONCTION EXPONENTIELLE 117

−2 −1 0 1 2

02

46

Fonction exponentielle

1

e

On a les limites suivantes : limx→+∞

exp(x) = +∞

limx→−∞

exp(x) = 0+

On a la relation fondamentale suivante :

exp(a+ b) = exp(a) exp(b)

La fonction exponentielle transforme les sommes en produits.La relation s’écrit aussi :

ea+b = ea eb

En particulier, on en déduit que :(exp(a)

)2= exp(2a)

et plus généralement : (exp(a)

)n= exp(na)

ou encore : (ea)n

= ena

Cette formule est valable avec des exposants négatifs ou fractionnaires.Par la formule de dérivation des fonctions composées, on obtient la relation

suivante pour une fonction u de la variable x :(exp

(u))′

= exp(u)u′


ou encore (eu)′

= eu u′

Exercice

Calculer la dérivée de la fonction f(x) = exp(√x).

Corrigé

On trouve

f ′(x) = exp(√x)×(√x)′

= exp(√x)× 1

2√x

Les graphes des fonctions logarithme et exponentielle sont symétriques parrapport à la 1ère bissectrice :

−2 0 2 4

−2

−1

01

23

4

Fonctions logarithme et exponentielle

0

1

e

1 e

logarithme

exponentielle

Exercice

Calculer la limite limx→+∞

log(ex + 1)

2x.

Corrigé

En +∞, ex + 1 est équivalent à ex. On a donc :

limx→+∞

log(ex + 1)

2x= limx→+∞

log(ex)

2x= limx→+∞

x

2x=

1

2

10.3. FONCTIONS PUISSANCE 119

Lorsque x est très petit, on peut utiliser les équivalents suivants (déjà vusdans la séance 8) : exp(x) ∼

01 + x

log(1 + x) ∼0

x

Exercice


log(2ex − 1)

x.

Corrigé

On a, par équivalents :

limx→0

log(2ex − 1)

x= limx→0

log(2(1 + x)− 1

)x

= limx→0

log(1 + 2x)

x= limx→0

2x

x= 2

10.3 Fonctions puissance

10.3.1 DéfinitionPartons de la formule

log (an) = n log(a)

où a est un nombre réel strictement positif.Si on prend l’exponentielle des deux membres, on obtient :

an = en log(a)

Cette dernière relation permet de généraliser la définition des puissances àn’importe quel nombre réel x. On pose par définition :

ax = ex log(a)

avec a > 0 et x ∈ R.C’est une quantité toujours positive strictement.

Exercice

On considère la fonction f(x) = xx.a) Quel est son domaine de définition ?D’après la définition précédente (en prenant a = x), il faut (et il suffit!) que

x > 0. On a donc Df = R+∗ .

b) Calculer sa dérivée.

On écrit f(x) = xx = ex log(x) et on applique la formule(eu)′

= eu u′.


On a donc :

f ′(x) = ex log(x) ×(x log(x)

)′= ex log(x) ×

(log(x) +

x

x

)= xx

(log(x) + 1

)10.3.2 Base des logarithmesDéfinition 10.3.1. La fonction réciproque de la fonction ax s’appelle le loga-rithme en base a de x.

On note cette fonction loga.En particulier, dans le cas où a = 10, on obtient le logarithme décimal. Le

logarithme décimal d’un nombre x est un nombre y tel que 10y = x.Par exemple log10(100) = 2 et log10(1000) = 3.Le logarithme naturel (népérien) est un logarithme en base e.Les logarithmes en base a sont définis sur ]0,+∞[.Ils vérifient la relation fondamentale :

loga(x y) = loga(x) + loga(y)

On a la relation suivante entre le logarithme en base a et le logarithmenaturel (noté ici ln pour éviter les confusions) :

loga(x) =ln(x)

ln(a)

Par exemple, le logarithme naturel est obtenu en fonction du logarithmedécimal en multipliant par ln(a) ≈ 2.3.

10.4 Fonctions homographiquesDéfinition 10.4.1. Les fonctions homographiques sont les fonctions de la forme

f(x) =ax+ b

cx+ d

Lorsque c 6= 0, le domaine de définition est Df = R\{−dc

}. Si c = 0, la

fonction est un polynôme de degré 1 et est donc définie sur tout R. Dans lasuite, on supposera c 6= 0.

La fonction y =1

xest un cas particulier de fonction homographique.

La dérivée estf ′(x) =

ad− bc(cx+ d)2

Dans le cas particulier où ad − bc = 0, la fonction est donc constante.Autrement, son sens de variation est celui dicté par le signe de la quantitéad− bc.

Le graphe d’une fonction homographique est une hyperbole équilatère, qui

admet pour asymptotes les deux droites d’équation x =−dc

et y =a

c. Ces

10.5. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 121

asymptotes sont orthogonales entre elles et la courbe est constituée de deuxbranches.

Le point d’intersection des deux asymptotes est un centre de symétrie pourle graphe.

Exemple

Représenter graphiquement la fonction homographique y =2x− 1

x− 2.

La dérivée est f ′(x) =−3

(x− 2)2.

−2 0 2 4 6

−4

−2

02

46

8

f(x) =2x − 1

x − 2

Hyperbole

10.5 Fonctions trigonométriques

10.5.1 Définition

Les fonctions cosinus et sinus se définissent sur le cercle de centre 0 et de rayon1, appelé le cercle trigonométrique.

Si on prend un point M quelconque sur ce cercle et qu’on appelle θ sonangle polaire, c’est-à-dire l’angle que fait le rayon OM avec l’axe horizontal,alors l’abscisse et l’ordonnée du point M son respectivement le cosinus et lesinus de l’angle θ.


On a donc : {cos(θ) = xM

sin(θ) = yM

Cercle trigonométrique

0 1

M

cos(θ)

sin(θ)

θ

10.5.2 Propriétés

Les angles sont mesurés à partir de l’axe horizontal en tournant dans le senscontraire des aiguilles d’une montre. En analyse, ils sont mesurés généralementen radians, c’est-à-dire comme des fractions de 2π. L’angle 2π correspond à untour complet du cercle : 2π radians = 360◦.

Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π. On écrit :{cos(θ + 2π) = cos(θ)

sin(θ + 2π) = sin(θ)

Les angles 0, π/6, π/4, π/3 et π/2 sont dits remarquables et les valeurs deleur cosinus et de leur sinus se calculent facilement :


Angles remarquables

Angles 0π

6

π

4

π

3

π

2

sin 0√

3

2

√2

2

1

21

cos 11

2

√2

2

√3

20

On utilise aussi sin(π) = 0 et cos(π) = −1.

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

Fonction cosinus

π 2π− π− 2π

0

Période 2π


−6 −4 −2 0 2 4 6

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

Fonction sinus

π 2π− π− 2π

0

Période 2π

Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur tout R. Elles sont continueset dérivables :

(cos θ

)′= − sin θ(

sin θ)′

= cos θ

Les valeurs de ces fonctions sont comprises entre -1 et 1. On a donc toujoursles inéquations : {

−1 ≤ cos θ ≤ 1

−1 ≤ sin θ ≤ 1⇐⇒

{ ∣∣ cos θ∣∣ ≤ 1∣∣ sin θ∣∣ ≤ 1

10.5.3 Formules

Le théorème de Pythogore conduit à la relation fondamentale suivante :

cos2 θ + sin2 θ = 1

La similitude des courbes suggère qu’il existe des relations simples entre lecosinus et le sinus d’un angle.

Par des considérations géométriques sur le cercle, on obtient les relationssuivantes : {

cos(−θ) = cos θ

sin(−θ) = − sin θ


Cela signifie que la fonction cosinus est paire tandis que la fonction sinus estimpaire.

En décalant d’un angle π, on obtient les relations suivantes :cos(θ + π) = − cos θ

sin(θ + π) = − sin θ

cos(π − θ) = − cos θ

sin(π − θ) = sin θ

En décalant d’un angleπ

2, on obtient les relations suivantes :

cos(θ +

π

2

)= − sin θ

sin(θ +

π

2

)= cos θ

cos(π

2− θ)

= sin θ

sin(π

2− θ)

= cos θ

Les identités qui suivent permettent de calculer le cosinus et le sinus d’unesomme : {

cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b

sin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b

Dans le cas particulier où a = b = θ, on obtient les formules de l’angle double:

cos(2θ) = cos2(θ)− sin2(θ)

= 2 cos2(θ)− 1

= 1− 2 sin2(θ)

sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ)

Une autre fonction trigonométrique importante est la fonction tangente définiecomme le rapport entre le sinus et le cosinus :

tan θ =sin θ

cos θ

Cette fonction n’est pas définie pour les valeurs qui annulent le cosinus, doncpour θ =

π

2+ k π.

La tangente est périodique de période π. C’est une fonction impaire surl’intervalle ]− π

2,π

2[.


On a les limites suivantes :lim

θ→π2

−tan θ = +∞

limθ→−π2 +

tan θ = −∞

−6 −4 −2 0 2 4 6

−10

−5

05

10

Fonction tangente

π

2

3π

2−

π

2−

3π

2

0

Période π

La dérivée de la fonction tangente est :(tan θ

)′= 1 + tan2 θ =

1

cos2 θ

Elle est toujours positive, donc la fonction est croissante sur l’intervalle ]−π

2,π

2[.

La tangente d’une somme peut se calculer selon la formule :

tan(a+ b) =tan a+ tan b

1− tan a tan b

L’inverse de la fonction tangente s’appelle la fonction cotangente. C’est lerapport entre le cosinus et le sinus :

cot θ =cos θ

sin θ

Cette fonction n’est pas définie pour les valeurs qui annulent le sinus, doncpour θ = k π. Elle est périodique de période π.


On a les limites suivantes :

limθ→π−

cot θ = −∞

limθ→0+

cot θ = +∞

La dérivée de la fonction cotangente est :

(cot θ

)′= −1− cot2 θ = − 1

sin2 θ

−6 −4 −2 0 2 4 6

−10

−5

05

10

Fonction cotangente

π 2π− π− 2π 0

Période π

Il y a une interprétation géométrique du cosinus et du sinus dans un trianglerectangle ayant un angla θ comme sur la figure suivante :


A

B

C

a

b

c

θ

En désignant par a, b et c les longueurs des côtés opposés aux sommets A,B et C et par θ l’angle au sommet A, on a les définitions suivantes :

sin θ =a

c

cos θ =b

c

tan θ =a

b

aveca la longueur du côté opposéb la longueur du côté adjacentc la longueur de l’hypoténuse

10.5.4 Fonctions réciproques

La fonction cosinus, si on la restreint à l’intervalle [0, π], admet une fonctionréciproque appelée la fonction arc cosinus et notée arccos.

On a donc l’équivalence, pour un angle θ ∈ [0, π] :

c = cos θ ⇐⇒ θ = arccos c

De la même manière, la fonction arc sinus (notée arcsin) est la réciproquede la fonction sinus restreinte à l’intervalle ]− π

2,π

2[.

s = sin θ ⇐⇒ θ = arcsin s


Enfin, la fonction arc tangente (notée arctan) est la réciproque de la fonctiontangente restreinte à l’intervalle ]− π

2,π

2[.

t = tan θ ⇐⇒ θ = arctan t

Les fonctions arc cosinus et arc sinus sont définies sur l’intervalle [0, 1].

La fonction arc tangente est définie sur R tout entier et prend ses valeursdans l’intervalle ]− π

2,π

2[.

Les trois fonctions sont dérivables :

(arcsinx

)′=

1√1− x2(

arccosx)′

= − 1√1− x2(

arctanx)′

=1

1 + x2

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Fonction arc−cosinus

π 2

π

0 1−1


−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Fonction arc−sinus

π 2

− π 2

0 1−1

−4 −2 0 2 4

−3

−2

−1

01

23

Fonction arc−tangente

π

2

−

π

2

0

Comme les dérivées de arccos et arcsin sont opposées l’une de l’autre, leursomme est nulle. Donc la somme arccos(x)+arcsin(x) est constante. En prenant,par exemple, la valeur en 0, on obtient la relation suivante :

arccos(x) + arcsin(x) =π

2

10.6. EXERCICES 131

La figure suivants montre la forme comprée des graphes des fonctions arccoset arcsin. Les deux courbes se coupent au point d’abscisse qui correspond àl’angle

π

4.

On a aussi les équations fonctionnelles suivantes concernant la fonctionarctan :

arctan1

x+ arctanx =

π

2∀x ∈ R∗+

arctan1

x+ arctanx = −π

2∀x ∈ R∗−

Fonctions arc−sinus et arc−cosinus

π 2

π 4

− π 2

π

0 1−1

2

2

arcsin

arccos

10.6 Exercices

Exercice 56

Déterminer le domaine de définition de la fonction y = log(2−√x).

Exercice 57

Calculer la dérivée de la fonction f(x) = log((x2 + 1)(x− 1)

).

Exercice 58


exp

(− 1

x

).

Exercice 59


Calculer la dérivée de la fonction f(x) = 2x.

Exercice 60


a) limx→+∞

1

x× log(x4 + x2 + 1)

b) limx→0

x log(x)

c) limx→+∞

1

x× log(2x + x)

d) limx→+∞

log(x2 + 1)

log x

Exercice 61

Monter que la composée de deux fonctions homographiques est homographique.

Exercice 62

a) Représenter graphiquement la fonction homographique y =3x− 8

x− 3.

b) Montrer qu’elle possède deux points fixes.

Exercice 63

a) Montrer, en étudiant tan(x) autour de 0, que 0 ≤ x ≤ tan(x).

b) Montrer, en étudiant sin(x) autour de 0, que 0 ≤ sin(x) ≤ x.

c) En déduire que cos(x) <sin(x)

x< 1.

d) Appliquer le théorème des gendarmes pour trouver la limite de sin(x)/xen 0.

Exercice 64

Déterminer la période des fonctions f(x) = cos(2x), f(x) = sin(3x), f(x) =tan(4x).

Exercice 65

En posant t = tan(x/2), démontrer les formules suivantes, dites “de l’angle

10.6. EXERCICES 133

moitié” :

cos(x) =1− t2

1 + t2

sin(x) =2t

1 + t2

tan(x) =2t

1− t2

Exercice 66

Démontrer la relation suivante pour tout x ∈ R∗+ :

arctan1

x+ arctanx =

π

2


Chapter 11

Intégration

11.1 Définitions

11.1.1 Notion de primitiveDéfinition 11.1.1. Si F (x) est une fonction dérivable définie sur un intervalleI et si F ′(x) = f(x), on dit que F est une primitive de f .

Une primitive de f(x) est donc une fonction F (x) dont la dérivée est f(x).Une primitive n’est pas unique mais est définie à une constante additive près

: si F (x) est primitive de f(x), alors F (x) +C l’est aussi, pour tout nombre C.Le nombre C s’appelle la constante d’intégration.

Une primitive est toujours continue (car toute fonction dérivable est con-tinue).

On note usuellementF (x) =

∫f(x) dx

Voici quelques résultats généraux :

• si F (x) est primitive de f(x), alors aF (x) est primitive de a f(x) pourtout scalaire a.

• si F (x) est primitive de f(x), alors1

aF (ax) est primitive de f(ax) pour

tout scalaire a 6= 0.

• si F (x) est primitive de f(x) et G(x) est primitive de g(x), alors F (x) +G(x) est primitive de f(x) + g(x).

Les dérivées des fonctions usuelles permettent de trouver les primitives courantessuivantes :

• (xn)′

= nxn−1 =⇒∫xn dx =

1

n+ 1xn+1 + C

135

136 CHAPTER 11. INTÉGRATION

pour n 6= −1. Cette formule est valable même si n est entier négatif ouentier rationnel. Dans le cas où x > 0, elle est aussi valable pour n réel.

• (log(x)

)′=

1

x=⇒

∫1

xdx = log(x) + C

• (ex)′

= ex =⇒∫ex dx = ex + C

• (sin(x)

)′= cos(x) =⇒

∫cos(x) dx = sin(x) + C

• (cos(x)

)′= − sin(x) =⇒

∫sin(x) dx = − cos(x) + C

• (tan(x)

)′=

1

cos2(x)=⇒

∫1

cos2(x)dx = tan(x) + C

Exercice

Calculer la dérivée de la fonction cotangente cot(x) et en déduire une prim-itive usuelle.

Corrigé

La fonction cotangente est l’inverse de la fonction tangente : cot(x) =cos(x)

sin(x).

On a donc, par la formule de dérivation d’un quotient :

cot′(x) =sin(x)(− sin(x))− cos(x) cos(x)

sin2(x)

= − sin2(x) + cos2(x)

sin2(x)= − 1

sin2(x)

On en déduit que ∫1

sin2(x)dx = − cot(x) + C

• (arctan(x)

)′=

1

1 + x2=⇒

∫1

1 + x2dx = arctan(x) + C

11.1. DÉFINITIONS 137

•

(arcsin(x)

)′=

1√1− x2

=⇒∫

1√1− x2

dx = arcsin(x) + C

•

(arccos(x)

)′= − 1√

1− x2=⇒

∫1√

1− x2dx = − arccos(x) + C

Les deux dernières intégrales ne sont pas contradictoires car on a vu, dansla séance 10, la relation :

arccos(x) + arcsin(x) =π

2

Si F est une primitive de f et que f est définie sur un intervalle, alors touteautre primitive G de f diffère de F par une constante : G(x) = F (x) + C.

Si le domaine de F est l’union de deux intervalles disjoints, on peut prendreune constante d’intégration différente sur chacun des intervalles.

Exemple

La fonction f(x) =1

x2n’est pas définie en 0. Son domaine de définition est

:

Df =]−∞, 0[∪ ]0,∞[

Comme1

xa pour dérivée − 1

x2sur Df , la primitive la plus générale de

1

x2

est :

F (x) =

− 1

x+ C1 si x < 0

− 1

x+ C2 si x > 0

Les formules de dérivations des fonctions composées conduisent aux primi-


tives suivantes, où u et v sont des fonctions de x et a est réel :∫au′ dx = a u+ C∫

(u′ + v′) dx = u+ v + C∫(v′ ◦ u)× u′ dx = (v ◦ u) + C∫

ua × u′ dx =ua+1

a+ 1+ C, ∀ a ∈ R \ {−1}∫

u′

udx = ln |u|+ C∫

eu × u′ dx = eu + C∫sin(u)× u′ dx = − cosu+ C

Exercice

a) Trouver les primitives de la fonction f(x) =1√x.

Corrigé

On applique la formule donnant les primitives de xn en prenant n = −1

2.

On obtient :∫1√x

dx =

∫x−1/2 dx =

1

− 12 + 1

x−12 +1 + C = 2

√x+ C

b) Trouver les primitives de la fonction g(x) =2x√

1 + x2

Si on pose u = 1 + x2, on voit que u′ = 2x. La fonction g(x) peut donc

s’écrireu′√u

= u−1/2 × u′.

On en déduit que :∫g(x) dx =

∫u−1/2 × u′ dx = 2

√u+ C = 2

√1 + x2 + C

c) Trouver les primitives de la fonction h(x) =x

1 + x2


On pose encore u = 1 + x2. La fonction h(x) s’écrit12u′

u=

1

2

u′

u.

On en déduit que : ∫h(x) dx =

1

2

∫u′

udx

=1

2log |u|+ C

=1

2log(1 + x2) + C

= log(√

1 + x2)

+ C

Il existe des fonctions pour lesquelles on ne sait pas écrire la primitive aumoyen des fonctions élémentaires usuelles. Cela ne signifie pas qu’elles n’ontpas de primitive.

Par exemple, on ne sait pas écrire les primitives de∫e−x

2

dx,

∫sinx2 dx,

∫sinx

xdx,

∫1

lnxdx,

∫xx dx.

Leur existence est assurée par le théorème suivant :

Théorème 11.1.1. Toute fonction f continue sur un intervalle admet uneprimitive sur cet intervalle.

Ce théorème fournit une condition suffisante mais ce n’est pas une conditionnécessaire.

11.1.2 Notion d’intégraleDéfinition 11.1.2. Si une fonction f(x) admet une primitive F (x) sur unintervalle I, on appelle intégrale de f entre les bornes a et b la quantité F (b)−F (a), où a ∈ I et b ∈ I.

Cette intégrale est notée ∫ b

a

f(x) dx

Il s’agit d’un nombre et non pas d’une fonction.Il ne dépend pas de la primitive choisie car si on remplace F (x) par G(x) =

F (x) + C, on a

G(b)−G(a) =(F (b) + C

)−(F (a) + C

)= F (b)− F (a)

Exercice

Calculer l’intégrale I =

∫ 1

−1

x2 dx.


Corrigé

Il suffit de trouver une primitive F (x) de la fonction f(x) = x2.

On peut prendre F (x) =1

3x3.

L’intégrale vaut donc :

I = F (1)− F (−1) =1

3(1)3 − 1

3(−1)3 =

2

3

Soient f et g deux fonctions intégrables sur un intervalle I et a, b et c troisréels appartenant à I. On a les propriétés suivantes :

•∫ a

a

f(x) dx = 0

•∫ a

b

f(x) dx = −∫ b

a

f(x) dx

•∫ b

a

f(x) dx+

∫ c

b

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx. Cette propriété s’appelle la rela-

tion de Chasles pour les intégrales.

•∫ b

a

λ f(x) dx = λ

∫ b

a

f(x) dx ∀λ ∈ R,

•∫ b

a

(f(x) + g(x)

)dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx

Ces deux dernières propriétés constituent la linéarité de l’intégrale.Si f(x) ≤ g(x) sur [a, b], alors∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

g(x) dx

On en déduit le résultat suivant :

Théorème 11.1.2 (Inégalité de la moyenne). Si f(x) est continue sur l’intervalle[a, b] (avec a ≤ b) et si, pour tout x de cet intervalle, on a : m ≤ f(x) ≤ M ,alors

m (b− a) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤M (b− a)

Remarque :en mathématiques, la notion d’intégrale est définie de manière beaucoup plus

générale que la définition qui est donnée ici. Dans le cadre le plus général, lanotion d’intégrale ne dépend pas de celle de primitive.

On définit d’autre part différents types d’intégrales : intégrales de Riemann,intégrales de Lebesgue, intégrales stochastiques, etc.

Ces notions seront précisées dans les cours d’analyse et de probabilité. On secontentera dans cette séance des intégrales de fonctions possédant une primitive.


11.1.3 Interprétation graphiqueSi f est une fonction réelle positive et continue définie sur un intervalle [a, b],alors l’intégrale de f sur I est l’aire de la surface délimitée par la courbe représen-tative de f , par les droites verticales d’équation x = a et x = b, et par l’axe desx.

Si on note Sf cette région, on a :

Sf = {(x, y) ∈ R2+ | x ∈ [a, b] et 0 ≤ y ≤ f(x)}

aire de Sf =

∫ b

a

f(t) dt

Si la fonction f était négative sur l’intervalle [a, b], l’intégrale serait négativeet représenterait l’opposé de l’aire de la région délimitée par la courbe de lafonction −f .

Autrement dit, on donne un signe positif à l’aire des surfaces situées au-dessus de l’axe des abscisses et un signe négatif aux portions situées sous cetaxe.

−1 0 1 2 3 4 5

02

46

8

Aire sous la courbe y=f(x)

a b

S

S = ⌠⌡

a

b

f(x)dx

Le théorème fondamental de l’analyse fait le lien entre les notions de primitiveet d’intégrale.

Théorème 11.1.3. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b], alorsla fonction F définie sur [a, b] par l’expression

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt

est une primitive de f(x).


La variable t est dite variable muette d’intégration.Ce théorème affirme que si F (x) =

∫ xaf(t) dt alors F (x) est dérivable et

F ′(x) = f(x).

11.2 Méthodes de calcul

On va voir plusieurs méthodes qui permettent de calculer des primitives ou desintégrales pour des fonctions qui ne font pas partie des types élémentaires usuels.

Il arrive qu’on puisse calculer des intégrales d’une fonction f sans connaîtrel’écriture explicite d’une primitive F .

Les deux techniques principales pour calculer des intégrales sont :

1. le changement de variables ;

2. l’intégration par parties.

11.2.1 Changement de variables

La technique de changement de variable consiste à remplacer la variable d’intégrationx par une variable y qui est une fonction u de x. Le calcul repose sur la formulesuivante (qui provient de la formule de dérivation d’une fonction composée) :∫ b

a

f(u(x)

)u′(x) dx =

∫ u(b)

u(a)

f(y) dy

On suppose ici que le fonction f est continue et que la fonction u est dérivableet que sa dérivée est continue.

Exemple 1


∫ 2

0

x2

x3 + 1dx.

Posons u(x) = x3. On en déduit du = 3x2 dx et par conséquent :

I =

∫ x=2

x=0

x2

x3 + 1dx =

1

3

∫ u=8

u=0

1

u+ 1du

Une primitive de 1u+1 sur R+ est F (u) = log(u+ 1). On obtient donc :

I =1

3

(F (8)− F (0)

)=

1

3

(log(9)− log(1)

)=

2

3log(3)

La technique de changement de variable peut aussi être appliquée pour trou-ver des primitives.

Exemple 2

11.2. MÉTHODES DE CALCUL 143

Trouver une primitive f(x) = x cos(x2 + 2).

Posons u(x) = x2 + 2. On en déduit du = 2xdx et par conséquent :∫x cos(x2 + 2) dx =

1

2

∫2x cos(x2 + 2) dx

=1

2

∫cos(u) du

=1

2sin(u) + C

=1

2sin(x2 + 2) + C

11.2.2 Intégration par partiesLa technique d’intégration par parties repose sur la formule suivante (qui provientde la formule de dérivation d’un produit de deux fonctions) :∫

u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−∫u′(x)v(x) dx

Sous forme plus compacte, on l’écrit comme ceci :∫uv′ = uv −

∫u′v

Dans le cas d’intégrales entre deux bornes a et b, la formule devient :∫ b

a

u(x)v′(x) dx =[u(x)v(x)

]ba−∫ b

a

u′(x)v(x) dx

où l’expression[u(x)v(x)

]bareprésente la différence u(b)v(b)− u(a)v(a).

Exemple 1

Cherchons une primitive de f(x) =log(x)

x2.

On pose u(x) = log(x) et v′(x) =1

x2. On en déduit u′(x) =

1

xet v(x) = − 1

x.

Par conséquent :∫log(x)

x2dx =

∫log(x)

1

x2dx

= log(x)

(− 1

x

)−∫

1

x

(− 1

x

)dx

= − log(x)

x+

∫1

x2dx

= − log(x)

x− 1

x+ C = − log(x) + 1

x+ C


Exemple 2

Cherchons une primitive de f(x) = x ex.

On pose u(x) = x et v′(x) = ex. On en déduit u′(x) = 1 et v(x) = ex.Par conséquent : ∫

x ex dx = x ex −∫

1× ex dx

= x ex − ex + C

= (x− 1) ex + C

Exemple 2

Calculons l’intégrale I =

∫ π

0

cos(x)e−x dx.

On pose u(x) = cos(x) et v′(x) = e−x. On en déduit u′(x) = − sin(x) etv(x) = −e−x.

Par conséquent :

I =[− cos(x) e−x

]π0−∫ π

0

sin(x)× e−x dx

= e−π + 1−∫

sin(x)× e−x dx

= e−π + 1−K

Le dernier terme se calcule lui aussi par intégration par partie :

K =

∫ π

0

sin(x)× e−x dx =[− sin(x) e−x

]π0−∫ π

0

cos(x)× (−e−x) dx

= 0− 0 +

∫cos(x)× e−x dx

= I

En remplaçant dans l’expression trouvée pour I, on obtient :

I = e−π + 1− I =⇒ I =e−π + 1

2

11.2.3 Intégration des fractions rationnellesL’intégration des fractions rationnelles se fait au moyen d’une décomposition enéléments simples.

11.2. MÉTHODES DE CALCUL 145

Exemple 1

Trouver les primitives de f(x) =1

x2 − 1.

On décompose la fraction en éléments simples sous la forme :

1

x2 − 1=

1

2

[1

x− 1− 1

x+ 1

]Par conséquent :∫

1

x2 − 1dx =

1

2

∫dx

x− 1− 1

2

∫dx

x+ 1

=1

2log |x− 1| − 1

2log |x+ 1|+ C

=1

2log

∣∣∣∣x− 1

x+ 1

∣∣∣∣+ C

Exemple 2

Trouver les primitives de f(x) =1

x3 + xavec x > 0.

On décompose la fraction en éléments simples sous la forme :

1

x3 + x=

1

x(x2 + 1)=a

x+bx+ c

x2 + 1

Par identification, on trouve :

1

x3 + x=

1

x− x

x2 + 1

Par conséquent :∫1

x3 + xdx =

∫dx

x−∫

x

x2 + 1dx

= log(x)− 1

2log(x2 + 1) + C

= log

(x√

x2 + 1

)+ C

Exemple 3


∫ 1

0

x2 + x+ 2

x3 + x2 + x+ 1dx.

Le dénominateur se factorise en x3 + x2 + x+ 1 = (x+ 1)(x2 + 1).


On cherche donc une décomposition en éléments simples de la forme :

x2 + x+ 2

x3 + x2 + x+ 1=

a

x+ 1+bx+ c

x2 + 1

Par identification, on trouve :

x2 + x+ 2

x3 + x2 + x+ 1=

1

x+ 1+

1

x2 + 1

L’intégrale vaut donc :

I =

∫ 1

0

x2 + x+ 2

x3 + x2 + x+ 1dx

=

∫ 1

0

1

x+ 1dx+

∫ 1

0

1

x2 + 1dx

=[

log |x+ 1|+ arctan(x)]1

0

= log(2) +π

4

car arctan(0) = 0 et arctan(1) = π4 .

11.2.4 Intégration des fonctions trigonométriques

On calcule les primitives (et les intégrales) de puissances des fonctions trigonométriquespar la technique le linéarisation. Elle consiste à trouver des formules pour ex-primer des fonctions telles que sin2(x) et cos2(x) au moyen de sin(2x) et cos(2x).

Exemple

Cherchons les primitives de cos2(x).On a vu, dans la séance 10, la formule suivante pour calculer le cosinus d’un

angle double :cos(2x) = 2 cos2(x)− 1

En inversant cette formule, on obtient :

cos2(x) =1

2

(1 + cos(2x)

)On en déduit :∫

cos2(x) dx =1

2

∫ (1 + cos(2x)

)dx =

1

2

(x+

1

2sin(2x)

)+ C

11.3. EXERCICES 147

11.2.5 Intégrale des fonctions réciproquesOn suppose que f est une fonction continue d’un intervalle I1 dans un intervalleI2 qui admet une fonction réciproque f−1. Si F désigne une primitive de f ,alors les primitives de f−1 sont de la forme∫

f−1(y) dy = y f−1(y)− F(f−1(y)

)+ C

Exemple 1

Prenons f(x) = ex et donc f−1(y) = log(y).La formule précédente donne :∫

log(y) dy = y ln(y)− y + C

En repassant à la variable x, on trouve que les primitives de la fonction logsont x ln(x)− x+ C.

Exemple 2

Prenons f(x) = tan(x) et donc f−1(y) = arctan(y). La formule donne :∫arctan(y) dy = y arctan(y) + log | cos(arctan(y))|+ C

En effet, une primitive de la fonction tan(x) est F (x) = − log | cos(x)|.En partant de la formule 1 + tan2(x) =

1

cos2(x)et en posant y = tan(x), on

peut vérifier facilement que cos(arctan(y)) = cos(x) =1√

1 + y2.

Les primitives peuvent donc aussi s’écrire :∫arctan(y) dy = y arctan(y)− 1

2log(1 + y2) + C

11.3 Exercices

Exercice 67

Trouver les primitives de la fonction log(x) par intégration par partie.

Exercice 68

Trouver les primitives de la fonction sin2(x) par linéarisation.

Exercice 69


Calculer la surface du triangle de base [0, a] et de hauteur h.

Exercice 70

Calculer l’intégrale de∫ π/2

0

e2x sin(2x) dx au moyen de deux intégrations

par partie.

Exercice 71

Calculer les intégrales suivantes :

a)∫ 1

0

x2 ex dx b)∫ 1

−1

1

x2 − 4dx

c)∫ π/4

0

tan(x) dx d)∫ 1

−1

sin(x) e−x2

dx

Exercice 72

On considère l’intégrale I =

∫ 1

0

√1− x2 dx.

a) Calculer I par changement de variable (poser u = sin(x).

b) En déduire la surface d’un cercle de rayon 1.

Exercice 73

a) Trouver une formule pour exprimer cos(3x) en fonction de cos(x).

b) En déduire les primitives de la fonction cos3(x).

c) Utiliser la même méthode pour trouver les primitives de la fonctionsin3(x).

Exercice 74

Trouver les primitives de la fonction arccos(x) par intégrale des fonctionsréciproques.

Exercice 75

On définit les fonctions sinus et cosinus hyperboliques :

sinh(x) =ex − e−x

2cosh(x) =

ex + e−x

2

a) Démontrer la relation cosh2(x)− sinh2(x) = 1.

b) Calculer les dérivées de ces fonctions.

11.3. EXERCICES 149

c) On pose argsh(x) = log(x+√

1 + x2). Montrer que la fonction argsh(x)

est la réciproque de sinh(x).

d) Calculer la dérivée de argsh. En déduire les primitives de la fonction1√

x2 + 1.


Chapter 12

Exercices de révisions

Exercice 76 - Calcul algébrique


x− 3− 1

x+ 2< 1.

Exercice 77 - Taux de variationa) Quel taux de variation mensuel donnerait un taux semestriel de 10% ?

b) Une grandeur a varié de +2.2%, -1.4%, 1.8% au cours de trois trimestres.De combien doit-elle varier au dernier trimestre pour retrouver sa valeur initiale?

Exercice 78 - Polynômesa) Factoriser le polynôme suivant

P (x) = x4 − x3 + x− 1

b) Étudier le signe du polynôme suivant

Q(x) = x3 − 2x2 − 11x+ 12

Exercice 79 - Somme de puissancesCalculer la somme

Sn = 1− 1

3+

(1

3

)2

−(

1

3

)3

+ ...+

(−1

3


Exercice 80 - Systèmes d’équations linéaires

151

152 CHAPTER 12. EXERCICES DE RÉVISIONS

Résoudre le système 3× 3 suivant :−x− 3y + 2z = 3

2x− 2y − z = 7

x− 5y − 3z = 14

Exercice 81 - Équations de droitesa) Déterminer l’équation de la droite passant par les points A1 = (−2, 9) et

A2 = (2, 1)

b) Montrer que les trois points A1 = (1,−1), A2 = (3,−7) et A3 = (−4, 14)sont alignés.

Exercice 82 - Fractions rationnellesDécomposer en éléments simples la fraction rationnelle suivante :

−6x2 + 2x− 2

x3 − 2x2 − 5x+ 6

Exercice 83 - Domaine réalisableDéterminer la région du plan où l’inéquation suivante est satisfaite :

|2x− y| ≤ 1

Exercice 84 - Fonction réciproqueOn considère la fonction

f(x) = 1 +

√2− 1

x

a) Déterminer son domaine de définition.

b) Admet-elle une fonction réciproque ? Si oui, la calculer.

Exercice 85 - SuitesOn considère l’équation de récurrence

un+1 =3un − 8

2un − 5

a) On pose vn =1


b) En déduire la forme explicite des suites (un) solutions de l’équation.

153

c) Trouver la suite solution correspondant à la valeur initiale u0 = 1.

Exercice 86 - LimitesCalculer les limites suivantes :

a) limx→+∞

√x2 + 3x− 1− x

b) limx→0

cos(x2)− 1

log(1 + 3x4)

Exercice 87 - DérivéesCalculer les dérivées des fonctions suivantes :

a) f(x) = x e−x3

b) f(x) = log

(√x2 − 1

x2 + 1

)

Exercice 88 - Primitives et intégralesa) Trouver, au moyen d’une intégration par parties, les primitives de la

fonction f(x) = x cos(2x).

b) Calculer l’intégrale∫ 1

−1

√1− x2

4dx (indication: on posera x = 2 cos(u)).

154 CHAPTER 12. EXERCICES DE RÉVISIONS

Chapter 13

Solution des exercices

13.1 Solutions du chapitre 1

Corrigé ex. 1 : Inéquation

Il faut trouver toutes les valeurs de x telles que

(x+ 2)2

(x− 1)2< 1

Le numérateur (x − 1)2 étant positif, on peut le faire passer à droite sanschanger le signe de l’inégalité. On obtient :

(x+ 2)2 < (x− 1)2

On développe les carrés :

x2 + 4x+ 4 < x2 − 2x+ 1

En mettant tous les x dans le membre de gauche, on obtient :

6x < −3⇐⇒ x < −1

2



1

x− 1− 1

x+ 1< 1

155

156 CHAPTER 13. SOLUTION DES EXERCICES

Cette expression n’est pas définie pour x = ±1.On commence par la réduire au même dénominateur :

2

(x− 1)(x+ 1)< 1

La quantité au dénominateur est négative si x ∈]−1, 1[ et positive à l’extérieurde cet intervalle. On va distinguer les deux cas.• Si x ∈ ]− 1, 1[On fait passer le dénominateur à droite, ce qui renverse le sens de l’inégalité

puisqu’il est négatif :

2 > (x− 1)(x+ 1)⇐⇒ 2 > x2 − 1⇐⇒ x2 < 3

Cette dernière condition est vérifiée puisque x ∈]− 1, 1[ signifie que x2 < 1.Dans ce cas, l’inégalité est vérifiée.

• Si x 6∈ ]− 1, 1[On fait passer le dénominateur à droite sans changer le sens de l’inégalité

puisqu’il est positif :

2 < (x− 1)(x+ 1)⇐⇒ 2 < x2 − 1⇐⇒ x2 > 3

Ceci implique que soit x >√

3, soit x < −√

3Finalement, l’ensemble des solutions est

]−∞,−√

3[ ∪ ]− 1, 1[ ∪ ]√

3,+∞[



x− 1

x+ 2<x+ 2

x− 1

Pour que ces expressions aient un sens, il faut bien sûr supposer que x 6= −2et x 6= 1.

On va distinguer trois cas :• Si x < −2Les deux dénominateurs sont négatifs. En les changeant de membre, on

change deux fois le sens de l’inégalité et on obtient

(x− 1)2 < (x+ 2)2 ⇐⇒ x2 − 2x+ 1 < x2 + 4x+ 4⇐⇒ 6x > −3⇐⇒ x > −1

2

Cette condition est contradictoire si x < −2. Donc pas de solution dans ce cas.

• Si x ∈ ]− 2, 1[

13.1. SOLUTIONS DU CHAPITRE 1 157

Dans ce cas (x+ 2) est positif mais (x− 1) est négatif. On renverse donc lesens de l’inégalité :

(x− 1)2 > (x+ 2)2 ⇐⇒ x2 − 2x+ 1 > x2 + 4x+ 4⇐⇒ 6x < −3⇐⇒ x < −1

2

Les solutions sont donc dans l’intervalle ]− 2,−1

2[.

• Si x > 1Les deux dénominateurs sont positifs. On les change de membre sans changer

le sens de l’inégalité et on obtient comme dans le premier cas

(x− 1)2 < (x+ 2)2 ⇐⇒ x2 − 2x+ 1 < x2 + 4x+ 4⇐⇒ 6x > −3⇐⇒ x > −1

2

Cette condition est toujours vraie puisque x > 1.Finalement, l’ensemble des solutions est

]− 2, 1[ ∪ ]1,+∞[

Corrigé ex. 4 : Équation

Il faut trouver toutes les valeurs de x telles que (x− 1)(x+ 2) = 2x2 − 8.On pourrait développer et regrouper les x pour arriver à une équation du

second degré mais ici il est plus astucieux de factoriser comme ceci :

(x− 1)(x+ 2) = 2x2 − 8 = 2(x2 − 4) = 2(x− 2)(x+ 2)

Les deux membres ont en commun le terme (x+2) donc une solution est x = −2.Autrement, on peut simplifier par (x+ 2) et il reste :

(x− 1) = 2(x− 2)⇐⇒ x = 3

Il y a finalement deux solutions : -2 et 3.

Corrigé ex. 5 : Identité a4 + 4

Il faut montrer l’identité suivante :

a4 + 4 = (a2 − 2a+ 2)(a2 + 2a+ 2)

On part du membre de gauche et on utilise des identités remarquables :

(a2 − 2a+ 2)(a2 + 2a+ 2) =(

(a2 + 2)− 2a)(

(a2 + 2) + 2a)

=(

(a2 + 2)2 − 4a2)

= a4 + 4a2 + 4− 4a2

= a4 + 4


Corrigé ex. 6 : Identité a4 − b4

Il faut monter que

a4 − b4 = (a+ b)(a3 − a2b+ ab2 − b3)

eta4 − b4 = (a− b)(a3 + a2b+ ab2 + b3)

Il suffit de développer les expressions de droite et d’éliminer les termes quise simplifient deux à deux :

(a+ b)(a3 − a2b+ ab2 − b3) = a3 (a+ b)− a2 b (a+ b) + a b2 (a+ b)− b3 (a+ b)

= a4 + a3b− a3b− a2b2 + a2b2 + ab3 − b3a− b4

= a4 − b4

On procède de même avec l’autre expression :

(a− b)(a3 + a2b+ ab2 + b3) = a3 (a− b) + a2 b (a− b) + a b2 (a− b) + b3 (a− b)= a4 − a3b+ a3b− a2b2 + a2b2 − ab3 + b3a− b4

= a4 − b4

Corrigé ex. 7 : Identité a6 − b6

Il faut monter que

a6 − b6 = (a+ b)(a− b)(a2 + ab+ b2)(a2 − ab+ b2)

On part de l’expression de droite et on applique les identités remarquables :

(a+ b)(a− b)(a2 + ab+ b2)(a2 − ab+ b2) = (a2 − b2)(

(a2 + b2) + ab)(

(a2 + b2)− ab)

= (a2 − b2)(

(a2 + b2)2 − a2b2)

= (a2 − b2)(a4 + a2b2 + b4)

= a6 + a4b2 + a2b4 − b2a4 − a2b4 − b6

= a6 − b6

Corrigé ex. 8 : Identité de Brahmagupta


Il faut monter que

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ad+ bc)2 + (ac− bd)2

Il faut développer chacun des deux membres et les comparer. Le membre degauche conduit à :

(a2 + b2)(c2 + d2) = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2

Le membre de droite conduit à :

a2d2 + 2adbc+ b2c2 + a2c2 − 2acbd+ b2d2 = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2

Les deux membres sont bien identiques.

Cette identité s’interprète en disant que le produit de deux nombres qui sontune somme de deux carrés est lui aussi un nombre qui est la somme de deuxcarrés et la formule indique comment se décompose ce nombre produit.

Prenons l’exemple des nombres 5 et 10. Ils sont bien somme de deux carréspuisque 5 = 22 + 12 et 10 = 32 + 12. Avec la notation de la formule, on a doncici a = 2, b = 1, c = 3, d = 1. On calcule donc les quantités :{

ad+ bc = 5

ac− bd = 5

On constate effectivement que le produit 5× 10 = 50 = 52 + 52.

Remarque: tout nombre entier ne s’écrit pas forcément comme une sommede deux carrés. En revanche, le théorème des quatre carrés de Lagrange stipuleque tout entier positif peut s’exprimer comme la somme de quatre carrés.

Corrigé ex. 9 : Identité de Lagrange

Il faut monter que

(a2 + b2 + c2)(a′2 + b′2 + c′2)= (aa′ + bb′ + cc′)2 + (ab′ − a′b)2 + (bc′ − b′c)2 + (ca′ − c′a)2

Il faut développer chacun des deux membres et les comparer. Le membre degauche conduit à :

(a2 + b2 + c2)(a′2 + b′2 + c′2) =(a2 + b2 + c2

)a′2 +

(a2 + b2 + c2

)b′2 +

(a2 + b2 + c2

)c′2

= a2a′2 + b2a′2 + c2a′2 + a2b′2 + b2b′2 + c2b′2 + a2c′2 + b2c′2 + c2c′2

Dans le membre de droite il faut développer chaque carré, ce qui conduit à :

(aa′ + bb′ + cc′)2 = c2 c′2 + 2 b c b′ c′ + 2 a c a′ c′ + b2 b′2 + 2 a b a′ b′ + a2 a′2

(ab′ − a′b)2 = a2 b′2 − 2 a b a′ b′ + b2 a′2

(bc′ − b′c)2 = b2 c′2 − 2 b c b′ c′ + c2 b′2

(ca′ − c′a)2 = a2 c′2 − 2 a c a′ c′ + c2 a′2


En additionnant membre à membre les expressions de droite, on retrouvel’expression développée du membre de gauche de l’identité car les produits avecquatre termes s’éliminent deux à deux.


Corrigé ex. 10 : Valeur boursière

Pendant une année, une valeur boursière a augmenté chaque mois de 0,5%.Quel est son taux annuel d’accroissement ?

Si on note a le taux annuel, la valeur boursière a été multipliée par (1 + a)au bout d’un an.

Si on compte mensuellement, elle a été multipliée chaque mois par (1 +0, 5/100), donc au bout de douze mois elle a été multipliée par (1 + 0, 5/100)12.

On a donc l’égalité :

1 + a = (1 + 0, 5/100)12 = 1, 00512 = 1, 061678

Par conséquent :a = 0, 061678 ≈ 6, 17%

Corrigé ex. 11 : Taux mensuel

Une grandeur Q augmente de 10% sur une année: calculer, en pourcentage,le taux mensuel qui donnerait le même accroissement.

Si on note m le taux mensuel, la grandeur Q est multipliée par (1 + m)chaque mois et donc par (1 +m)12 au bout de douze mois.

Au taux annuel de 10%, elle a été multipliée par (1 + 10/100).On a donc l’égalité :

(1 +m)12 = 1, 1 =⇒ 1 +m = 1, 1112 = 1, 007974

Par conséquent :m = 0, 007974 ≈ 0, 8%

Corrigé ex. 12 : Quantité triplée

Une quantité à triplé en deux ans.a) Quel est son taux d’accroissement annuel ?


On note a le taux annuel. Au bout de deux ans, elle est multipliée par(1 + a)2. Comme on sait qu’elle a triplé, c’est-à-dire a été multipliée par 3, adonc :

(1 + a)2 = 3 =⇒ 1 + a =√

3 = 1, 732051

Par conséquent :a = 0, 732051 ≈ 73, 21%

b) Quel est son taux d’accroissement semestriel ?

Notons s le taux semestriel. Il y a quatre semestres de croissance au taux s,donc la quantité est multipliée par (1 + s)4.

On a donc l’égalité :

(1 + s)4 = 3 =⇒ 1 + s = 314 =

4√

3 = 1, 316074

Par conséquent :s = 0, 316074 ≈ 31, 61%

Corrigé ex. 13 : Variations irrégulières

Une quantité a varié de 1%, 1,5%, -0,5% et -2% au cours de quatre trimestresconsécutifs.

a) Calculer le taux de variation annuel de cette quantité.

On applique successivement les coefficients multiplicateurs correspondantaux taux. La quantité est multipliée par

(1 + 1/100)× (1 + 1, 5/100)× (1− 0, 5/100)× (1− 2/100)

= 1, 01× 1, 015× 0, 995× 0, 98

= 0, 9996238

= 1− 0, 0003762

Finalement la grandeur a baissé de 0, 0003762 ≈ 0, 04%. C’est une variationtrès faible, de l’ordre de 4 pour dix mille.

b) Quel est le taux de variation trimestriel moyen ?

Si on note t le taux trimestriel, on aura l’égalité :

(1 + t)4 = 0, 9996238 =⇒ 1 + t = 0, 999623814 = 0, 9999059 = 1− 0, 0000941

Par conséquent :t = −0, 0000941

C’est une baisse de l’ordre de 9 pour cent mille.

Corrigé ex. 14 : Compensation d’une baisse


Un capital a perdu un tiers de sa valeur. De quel pourcentage devrait-ilaugmenter pour retrouver sa valeur initiale ?

Ce capital K a été multiplié par 1 − 1

3=

2

3. Il est devenu

2

3K. Si r est le

taux cherché, il doit faire en sorte que, en multipliant par (1 + r), on retrouveK :

2

3K × (1 + r) = K =⇒ 1 + r = 3/2 = 1, 5

Par conséquent :

r = 0, 5 = 50%

Corrigé ex. 15 : Somme de puissances

a) Calculer la somme SN =

N∑k=0

(0, 75)k pour N = 1, 2, 3.

On applique la formule :

1 + x+ x2 + · · ·+ xN =1− xN+1

1− x

avec x = 0, 75 =3

4.

On obtient :

SN =1− (3/4)N+1

1− 3/4= 4

(1− (3/4)N+1

)On trouve :

S1 = 4(1− (3/4)2

)= 4 (1− 9/16) =

28

16= 1, 75

S2 = 4(1− (3/4)3

)= 4 (1− 27/64) =

37

16= 2, 3125

S3 = 4(1− (3/4)4

)= 4 (1− 81/256) =

175

64= 2, 734375

b) À partir de quelle valeur de N cette somme sera-t-elle supérieure ou égaleà 3,75 ?


On pose

4(

1− (3/4)N+1)≥ 3, 75

⇐⇒ 1− (3/4)N+1 ≥ 3, 75

4

⇐⇒ (3/4)N+1 ≤ 1− 3, 75

4=

0, 25

4=

1

16

⇐⇒ (N + 1) log(3/4) ≤ log(1/16)

⇐⇒ N + 1 ≥ log(1/16)

log(3/4)= 9, 637683

Comme N est un nombre entier, on doit donc avoir N+1 = 10, d’où N = 9 .En effet, on peut vérifier que S8 = 3, 699661 et S9 = 3, 774746.

Remarque : attention au sens des inégalités. Comme log(3/4) est négatif, lesens de l’inégalité change lorsque ce terme passe de gauche à droite.


Corrigé ex. 16 : Factorisation de polynômes

Factoriser les polynômes suivants :

• (a) P (x) = 2x2 − 5x+ 2Ce polynôme a pour racine “évidente” 2. On peut donc mettre (x − 2) en

facteur :P (x) = (x− 2)(ax+ b) = ax2 + (−2a+ b)x− 2b

Par identification des termes de même degré, on obtient :a = 2

−2a+ b = −5

−2b = 2

D’où a = 2 et b = −1. La factorisation est finalement :

P (x) = (x− 2) (2x− 1)

• (b) P (x) = x2 − 4x− 32


On peut chercher les racines de ce polynôme. On trouve -4 et 8. La factori-sation est finalement :

P (x) = (x− 8) (x+ 4)

• (c) P (x) = x3 − 4xLe terme x se met évidemment en facteur :

P (x) = x3 − 4x = x(x2 − 4) = x(x+ 2)(x− 2)

La factorisation est finalement :

P (x) = (x− 2) x (x+ 2)

• (d) P (x) = 2x3 + 3x2 − 2x− 3On observe que 1 est une racine évidente, ce qui permet de factoriser (x−1)

:P (x) = (x− 1)(ax2 + bx+ c) = a x3 + (b− a)x2 + (c− b)x− c


b− a = 3

c− b = −2

−c = −3

D’où a = 2, b = 5 et c = 3. On obtient :

P (x) = (x− 1)(2x2 + 5x+ 3)

Ce dernier facteur de degré 2 a −1 comme racine évidente. Il se factorisefacilement en (x+ 1) (2x+ 3).


P (x) = (x− 1) (x+ 1) (2x+ 3)

• (e) P (x) = 3x3 + 8x2 + 3x− 2On observe que −1 est une racine évidente, ce qui permet de factoriser (x+1)

:P (x) = (x+ 1)(ax2 + bx+ c) = a x3 + (a+ b)x2 + (b+ c)x+ c


b+ a = 8

c+ b = 3

c = −2


D’où a = 3, b = 5 et c = −2. On obtient :

P (x) = (x+ 1)(3x2 + 5x− 2)

Ce dernier facteur de degré 2 a −2 comme racine évidente. Il se factorisefacilement en (x+ 2) (3x− 1).


P (x) = (x+ 1) (x+ 2) (3x− 1)

• (f) P (x) = x4 − 1On utilise deux fois l’identité remarquable de (a2 − b2) :

P (x) = x4 − 1 = (x2 + 1)(x2 − 1) = (x2 + 1)(x+ 1)(x− 1)

On ne peut factoriser davantage car le terme (x2 + 1) est irréductible.

Corrigé ex. 17 : Polynômes bicarrés

Trouver les racines des polynômes suivants. Il s’agit de polynômes dits“bicarrés”.

On va poser y = x2 et résoudre en y, puis on endéduira les valeurs de x.

• (a) P (x) = x4 − 5x2 + 4On obtient

P (y) = y2 − 5y + 4

qui a pour racine évidente 1, d’où la factorisation :

P (y) = (y − 1)(y − 4)

Les racines sont : {y = 1 =⇒ x = ±1

y = 4 =⇒ x = ±2

Il y a finalement 4 racines réelles : −2,−1, 1, 2 .

• (b) P (x) = x4 − 13x2 + 36On obtient

P (y) = y2 − 13y + 36

qui a pour racines y = 4 et y = 9.Les racines en x sont donc :{

y = 4 =⇒ x = ±2

y = 9 =⇒ x = ±3


Il y a finalement 4 racines réelles : −3,−2, 2, 3 .

• (c) P (x) = x6 − 11x4 + 19x2 − 9En remplaçant x2 par y, on obtient :

P (y) = y3 − 11y2 + 19y − 9

On observe que y = 1 est racine évidente. On peut donc factoriser :

P (y) = (y − 1)(ay2 + by + c) = a y3 + (b− a) y2 + (c− b) y − c


b− a = −11

c− b = 19

−c = −9

D’où a = 1, b = −10 et c = 9. On obtient :

P (y) = (y − 1)(y2 − 10y + 9)

Ce dernier facteur de degré 2 a 1 comme racine évidente. Il se factorisefacilement en (y − 1) (y − 9).

En définitive :

P (y) = (y − 1)(y − 1)(y − 9) = (y − 1)2 (y − 9)

On a donc y = 1 racine double et y = 9 racine simple. En remplaçantmaintenant y par x2, on obtient :

P (x) = (x2 − 1)2 (x2 − 9) = (x+ 1)2 (x− 1)2 (x+ 3)(x− 3)

On trouve finalement 6 racines en x : -1 et 1 qui sont tous les deux racinesdoubles, -3 et 3 qui sont racines simples.

Corrigé ex. 18 : Facteurs irréductibles

On admet que le polynôme P (x) = 2x4 − x3 + 3x2 − x + 1 a un facteurx2 + 1.

a) Calculons l’autre facteur. On pose :

2x4−x3 +3x2−x+1 = (x2 +1)(ax2 + bx+ c) = a x4 + b x3 +(c+a)x2 + b x+ c

Par identification des termes de même degré, on obtient :

a = 2

b = −1

c+ a = 3

b = −1

c = 1


D’où a = 2, b = −1 et c = 1. On obtient :

P (x) = (x2 + 1)(2x2 − x+ 1)

b) Les facteurs trouvés sont irréductibles car ils ont un discriminant négatif: le discriminant de (x2 + 1) vaut -4 et le discriminant de (2x2−x+ 1) vaut -7.

Ayant un discriminant négatif, ils n’ont pas de racines réelles et ne peuventdonc pas se factoriser.

Corrigé ex. 19 : Somme de nombres Cpn

Montrer que

C0n + C1

n + C2n + · · ·+ Cn−1

n + Cnn = 2n

Il suffit d’utiliser la formule du binôme donnée dans le cours (avec a = x etb = 1) :

(x+ 1)n = xn + C1n x

n−1 + C2n x

n−2 + · · ·+ Cn−1n x+ 1

Si on remplace x par la valeur 1, tous les termes de la forme xk dans lemembre de droite droite valent 1 tandis que le membre de gauche vaut (1+1)n =2n.

Remarque : il faut tenir compte du fait que C0n = Cnn = 1.

Corrigé ex. 20 : Somme alternée de Cpn

a) Montrer que

C06 − C1

6 + C26 − C3

6 + C46 − C5

6 + C66 = 0

La formule permettant de calculer (x+ 1)6 est (d’après la formule encadréedans l’exercice précédent) :

(x+ 1)6 = C06x

6 + C16 x

5 + C26 x

4 + C36 x

3 + C46 x

2 + C56 x

1 + C66 x

0

En prenant la valeur x = −1, on obtient :

(−1+1)6 = C06 (−1)6+C1

6 (−1)5+C26 (−1)4+C3

6 (−1)3+C46 (−1)2+C5

6 (−1)1+C66 (−1)0

autrement dit0 = C0

6 − C16 + C2

6 − C36 + C4

6 − C56 + C6

6

b) Généraliser avec la somme

C0n − C1

n + C2n − C3

n + . . .


On utilise la même technique que dans la première question : on remplacex par -1 dans la formule encadrée de l’exercice précédent :

(−1 + 1)n = C0n(−1)n + C1

n (−1)n−1 + C2n (−1)n−2 + · · ·+ Cn−1

n (−1) + Cnn

Donc finalement :

C0n − C1

n + C2n − C3

n + · · · = 0

Vérifions-le pour n = 3, n = 4 et n = 5 :

1− 3 + 3− 1 = 0

1− 4 + 6− 4 + 1 = 0

1− 5 + 10− 10 + 5− 1 = 0

Dans le cas des n impairs, on voit que les termes se simplifient deux à deux.

Corrigé ex. 21 : Échiquier et grains de blé

Sur un échiquier, on place un grain de blé sur la première case puis on doublechaque fois le nombre de grains sur les cases suivantes (autrement dit, on y met2, puis 4, puis 8, etc. grains de blés).

Cela revient à calculer la somme :

1 + 2 + 22 + 23 + 24 + · · ·+ 263

car il y a 64 cases sur un échiquier.La formule du cours donne la somme des puissances d’un nombre x :

1 + x+ x2 + ...+ xn =xn+1 − 1

x− 1

On l’applique donc avec x = 2 et n = 63, ce qui conduit à une somme égaleà 264 − 1. C’est une quantité énorme :

264 − 1 = 18 446 744 073 709 551 615

de l’ordre de 18× 1018, c’est-à-dire 18 milliards de milliards !

Corrigé ex. 22 : Somme des puissances de 1/2

Calculer la somme

1 +1

2+

(1

2

)2

+ ...+

(1

2

)n


On applique la même formule que dans l’exercice précédent avec x = 1/2.On trouve la somme :

Sn =

(1

2

)n+1

− 1

1

2− 1

=

1−(

1

2

)n+1

1− 1

2

= 2

(1−

(1

2

)n+1)

= 2−(

1

2

)n

Lorsque n augmente indéfiniment, le terme(

1

2

)ntend vers 0 et la somme

Sn tend finalement vers 2.

Corrigé ex. 23 : Somme alternée de puissances de 1/2

Calculer la somme

1− 1

2+

(1

2

)2

−(

1

2

)3

+ ...+

(−1

2

)nOn peut remarquer que cette somme est égale à

1 +

(−1

2

)+

(−1

2

)2

+

(−1

2

)3

+ ...+

(−1

2

)nOn peut donc appliquer la même formule que dans l’exercice précédent en

prenant x = −1/2. On obtient :

Sn =

(−1

2

)n+1

− 1

−1

2− 1

=

1−(−1

2

)n+1

1 +1

2

=2

3

(1−

(−1

2

)n+1)

=2

3+

1

3

(−1

2

)n

Lorsque n augmente indéfiniment, le terme(−1

2

)ntend vers 0 et la somme

Sn tend finalement vers2

3.


Corrigé ex. 24 : Résolution par substitution

On détaille la solution du premier système. Pour les autres les calculs sontanalogues et on indique seulement la solution.

(a)

{2x+ y = 2

−x+ 2y = −6


On extrait y de la première équation :

y = 2− 2x

et on le reporte dans la deuxième :

−x+ 2y = −x+ 2(2− 2x) = −5x+ 4 = −6

On en tire −5x = −10 =⇒ x = 2 et par conséquent y = −2.La solution est (2,−2) .

(b)

{3x+ 2y = −1

2x− 3y = −5

La solution est (1,−1) .

(c)

{5x− y = 3

3x− 2y = −1

La solution est (1, 2) .

(d)

{4x− 2y = 5

2x− y = 1

On remarque que le membre de gauche de la première équation est le doublede celui de la deuxième. Mais le membre de droite de la première équation n’estpas le double de celui de la deuxième. Ce système est donc impossible et il n’ya pas de solutions.

Corrigé ex. 25 : Résolution par élimination


(a)

{−x+ 3y = −10

2x− y = 10

Pour éliminer x entre les deux équations E1 et E2, on calcule la combinaisonlinéaire 2E1 + E2 :

2(−x+ 3y) + (2x− y) = 2(−10) + 10 = −10⇐⇒ 5y = −10⇐⇒ y = −2

On reporte cette valeur de y dans la première équation et on trouve x = 4.



(b)

{2x+ 5y = 14

−x+ 3y = 15

La solution est (−3, 4) .

(c)

{5x+ 7y = −9

3x+ 2y = −1


(d)

{x− 3y = 1/2

2x− 6y = 1

On remarque que la deuxième équation est le double de la première. Cesystème est donc redondant et se ramène à une seule équation :

x− 3y = 1/2⇐⇒ y = x/3− 1/6

Il y a donc une infinité de solutions. Ce sont tous les points de la droited’équation y = x/3− 1/6.

Corrigé ex. 26 : Systèmes 3× 3


(a)

x− 3y + z = 8

2x− y + 2z = 6

x− 2y − 2z = 3

On va procéder par élimination.On élimine z entre les deux premières équations avec la combinaison 2E1−E2

:

2(x− 3y + z)− (2x− y + 2z) = 2× 8− 6⇐⇒ −5y = 10⇐⇒ y = −2

On élimine z entre les deux dernières équations par la combinaison E2 +E3

:

(2x− y+ 2z) + (x− 2y− 2z) = 6 + 3⇐⇒ 3x− 3y = 9⇐⇒ x− y = 3⇐⇒ x = 1


En reportant les valeurs de x et de y dans la première équation, on obtientz = 1.

La solution est (1,−2, 1) .

(b)

x− y = −3

3x− y + 5z = 8

4x− 2y + z = −7

La solution est (−2, 1, 3) .

(c)

−x− 3y + z = 5

−2x− 4y + 2z = 6

3x+ 5y − 2z = −7

La solution est (1,−2, 0) .

(d)

x− y + 2z = 1

2x− 3y + z = −1

−4x+ 7y + z = 2

En essayant de résoudre ce système, on arrive à une impossibilité. Cela estdû au fait que les expressions de gauche sont liées par la relation :

E3 = 2E1 − 3E2

tandis que les valeurs à droite ne vérifient pas cette relation. Ce système n’adonc pas de solutions.

Corrigé ex. 27 : Interpolation avec deux points

(a) A1 = (1,−1) et A2 = (3, 9)

On cherche un polynôme de degré 1 :

P (x) = ax+ b

Le système à vérifier est : {a+ b = −1

3a+ b = 9

On trouve a = 5 et b = −6. La solution est P (x) = 5x− 6 .


(b) A1 = (−2, 10) et A2 = (2,−2)


P (x) = ax+ b

Le système à vérifier est : {−2a+ b = 10

2a+ b = −2

On trouve a = −3 et b = 4. La solution est P (x) = −3x+ 4 .

Corrigé ex. 28 : Interpolation avec trois points

(a) A1 = (−2, 12), A2 = (0, 2) et A3 = (3, 2)


P (x) = ax2 + bx+ c

Le système à vérifier est :4a− 2b+ c = 12

0a+ 0b+ c = 2

9a+ 3b+ c = 2

On trouve a = 1, b = −3 et c = 2. La solution est P (x) = x2 − 3x+ 2 .

(b) A1 = (−3, 2), A2 = (−1, 6) et A3 = (5,−30)


P (x) = ax2 + bx+ c

Le système à vérifier est :9a− 3b+ c = 2

a− b+ c = 6

25a+ 5b+ c = −30

On trouve a = −1, b = −2 et c = 5. La solution est P (x) = −x2 − 2x+ 5 .

(c) A1 = (1, 1), A2 = (3,−3) et A3 = (4,−5)


On cherche a priori un polynôme de degré 2 :

P (x) = ax2 + bx+ c

Le système à vérifier est :a+ b+ c = 1

9a+ 3b+ c = −3

16a+ 4b+ c = −5

On trouve a = 0, b = −2 et c = 3. La solution est P (x) = −2x+ 3 .C’est finalement un polynôme de degré 1 : ceci est dû au fait que les trois

points donnés sont alignés. Il n’est donc pas surprenant de trouver un polynômede degré 1, c’est-à-dire l’équation d’une droite.

Corrigé ex. 29 : Décomposition en éléments simples

(a) F =2x− 22

x2 + 2x− 3

Le dénominateur se factorise en :

x2 + 2x− 3 = (x+ 3)(x− 1)

On cherche donc une décomposition de la forme :

F =a

x+ 3+

b

x− 1

On réduit au même dénominateur et on identifie les numérateurs :

F =a(x− 1) + b(x+ 3)

(x+ 3)(x− 1)

=(a+ b)x− a+ 3b

x2 + 2x− 3

On est conduit au système suivant :{a+ b = 2

−a+ 3b = −22

Les solutions sont : {a = 7

b = −5


La décomposition est finalement :

F =2x− 22

x2 + 2x− 3=

7

x+ 3− 5

x− 1

(b) F =6x2 + 9x+ 4

x3 + 3x2 + 2x


x3 + 3x2 + 2x = x(x+ 1)(x+ 2)


F =a

x+ 2+

b

x+ 1+c

x


F =a x(x+ 1) + b x(x+ 2) + c (x+ 1)(x+ 2)

x(x+ 1)(x+ 2)

=(a+ b+ c) x2 + (a+ 2 b+ 3 c) x+ 2 c

x3 + 3x2 + 2x

On est conduit au système suivant :a+ b+ c = 6

a+ 2 b+ 3 c = 9

2 c = 4

Les solutions sont : a = 5

b = −1

c = 2


F =6x2 + 9x+ 4

x3 + 3x2 + 2x=

5

x+ 2− 1

x+ 1+

2

x

(c) F = − 6x2 − 13x+ 5

x3 − x2 − x+ 1


x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1)(x− 1)2



F =a

x+ 1+

b

x− 1+

c

(x− 1)2


F =a(x− 1)2 + b(x+ 1)(x− 1) + c(x+ 1)

(x+ 1)(x− 1)2

=(a+ b) x2 + (−2 a+ c) x+ a− b+ c

x3 − x2 − x+ 1

On est conduit au système suivant :a+ b = −6

−2 a+ c = 13

a− b+ c = −5

Les solutions sont : a = −6

b = 0

c = 1


F = − 6x2 − 13x+ 5

x3 − x2 − x+ 1= − 6

x+ 1+

1

(x− 1)2

(d) F =4x2 − 2x

x4 − 1


x4 − 1 = (x2 + 1)(x2 − 1) = (x2 + 1)(x+ 1)(x− 1)


F =a x+ b

x2 + 1+

c

x+ 1+

d

x− 1


F =(ax+ b)(x+ 1)(x− 1) + c(x2 + 1)(x− 1) + d(x2 + 1)(x+ 1)

(x2 + 1)(x+ 1)(x− 1)

=(a+ c+ d) x3 + (b− c+ d) x2 + (−a+ c+ d) x− b− c+ d

x4 − 1


On est conduit au système suivant :a+ c+ d = 0

b− c+ d = 4

−a+ c+ d = −2

−b− c+ d = 0

Les solutions sont : a = 1

b = 2

c = −3/2

d = 1/2


F =4x2 − 2x

x4 − 1=

x+ 2

x2 + 1− 3

2 (x+ 1)+

1

2 (x− 1)


Corrigé ex. 30 : Signe des expressions polynomiales

• 10x2 − 3x− 1

On trouve facilement que ce polynôme a deux racines : −1

5et

1

2.

Il se factorise donc de la manière suivante :

P (x) = (2x− 1) (5x+ 1)

On construit le tableau des signes :

x −∞ −1

5

1

2+∞

(2x− 1) − − 0 +

(5x+ 1) − 0 + +

P (x) + 0 − 0 +

• 3x3 − 8x2 + 3x+ 2


Ce polynôme a 1 comme racine “évidente”. On peut donc factoriser le terme(x− 1). On obtient, après identification :

P (x) = (x− 1)(3x2 − 5x− 2)

Le facteur (3x2−5x−2) a deux racines : 2 et -1

3. On peut donc le factoriser

en (x− 2) (3x+ 1).Le tableau de variation est finalement :

x −∞ −1

31 2 +∞

(x− 1) − − 0 + +

(x− 2) − − − 0 +

(3x+ 1) − 0 + + +

P (x) − 0 + 0− 0 +

• x4 + 3x3 + x2 − 3x− 2

On factorise en plusieurs étapes.Ce polynôme a 1 comme racine “évidente”. On peut donc factoriser le terme

(x− 1). On obtient, après identification :

P (x) = (x− 1)(x3 + 4x2 + 5x+ 2)

Le facteur (x3 + 4x2 + 5x+ 2) à son tour possède -1 comme racine évidente.On factorise (x+ 1) comme ceci :

x3 + 4x2 + 5x+ 2 = (x+ 1)(x2 + 3x+ 2)

Le dernier facteur (x2 + 3x+ 2) a encore -1 comme racine évidente. L’autreracine est -2 et on obtient :

x2 + 3x+ 2 = (x+ 1)(x+ 2)

Finalement, on a la décomposition complètre de P (x) :

P (x) = (x− 1) (x+ 1)2

(x+ 2)

Le facteur (x+ 1)2 est toujours positif puisque c’est un carré. Le signe de Pest donc simplement celui de (x− 1)(x+ 2). On peut maintenant écrire tableaude variation :

x −∞ −2 1 +∞

(x− 1) − − 0 +

(x+ 2) − 0 + +

P (x) + 0 − 0 +


• x4 − 2x3 + x2 + 2x− 2

On factorise en plusieurs étapes.Ce polynôme a 1 comme racine “évidente”. On peut donc factoriser le terme

(x− 1). On obtient, après identification :

P (x) = (x− 1)(x3 − x2 + 2)

Le facteur (x3 − x2 + 2) à son tour possède -1 comme racine évidente. Onfactorise (x+ 1) comme ceci :

x3 − x2 + 2 = (x+ 1)(x2 − 2x+ 2)

Le polynôme P se factorise finalement en :

P (x) = (x− 1)(x+ 1)(x2 − 2x+ 2)

Le dernier facteur (x2 − 2x + 2) a un discriminant négatif. Il n’a donc pas deracines et est par conséquent irréductible. Son signe est constant et identique àcelui de son terme de plus haut degré : il est donc toujours positif.

Le signe de P est donc simplement celui de (x−1)(x+1). On peut maintenantécrire tableau de variation :

x −∞ −1 1 +∞

(x− 1) − − 0 +

(x+ 1) − 0 + +

P (x) + 0 − 0 +

Corrigé ex. 31 : Signe des fractions rationnelles

• x

x2 − 1

Le dénominateur (x2− 1) se factorise en (x− 1)(x+ 1). Il faut donc exclureles valeurs -1 et 1 du domaine de définition :

Df = R\{−1, 1}.

La fraction rationnelle F (x) =x

(x− 1)(x+ 1)a le même signe que le produit

du numérateur et du dénominateur x(x− 1)(x+ 1).


Le tableau de variation est finalement :

x −∞ −1 0 1 +∞

x − − 0 + +

(x− 1) − − − 0 +

(x+ 1) − 0 + + +

P (x) − 0 + 0− 0 +

• 3x2 − x− 2

5x2 − 3x− 2

On commence par factoriser le numérateur et le dénominateur. On obtientfacilement : {

3x2 − x− 2 = (x− 1)(3x+ 2)

5x2 − 3x− 2 = (x− 1)(5x+ 2)

Il y a donc un facteur (x− 1) en commun entre le numérateur et le dénom-inateur. Il se simplifie dans le quotient et la fraction fationnelle se réduit à

F (x) =3x+ 2

5x+ 2.

Il faut exclure la valeur −2

5du domaine de définition :

Df = R\{−2

5}.

La fraction rationnelle F (x) a le même signe, sur le domaine de définition,que le produit du numérateur et du dénominateur (3x+ 2)(5x+ 2).


x −∞ −2

3−2

5+∞

(3x+ 2) − + 0 +

(5x+ 2) − 0 − +

F (x) + 0 − 0 +

• x2 + x+ 3

x2 − x+ 3

Le numérateur et le dénominateur de cette fraction rationnelle sont tous lesdeux irréductibles (car leur discriminant est négatif). Ils sont du signe de leur


coefficient de plus haut degré donc positifs. Par conséquent, cette fraction esttoujours positive.

Par ailleurs, le domaine de définition est R tout entier car le dénominateurne s’annule jamais.

• 2x2 + x− 3

2x2 + 7x+ 5

On commence par factoriser le numérateur et le dénominateur. On obtientfacilement : {

2x2 + x− 3 = (x− 1)(2x+ 3)

2x2 + 7x+ 5 = (x+ 1)(2x+ 5)

Il faut exclure les valeurs -1 et −5

2du domaine de définition car elles annulent

le dénominateur :Df = R\{−1,−5

2}.

La fraction rationnelle F (x) a le même signe, sur le domaine de définition,que le produit du numérateur et du dénominateur (x−1)(2x+3)(x+1)(2x+5).


x −∞ −5

2−3

2−1 1 +∞

(x− 1) − − − − 0 +

(2x+ 3) − − 0 + + +

(x+ 1) − − − 0 + +

(2x+ 5) − 0 + + + 0 +

P (x) + 0 − 0 + 0 − 0 +

Corrigé ex. 32 : Inéquations linéaires

On va représenter graphiquement les régions du plan où les inéquations sontsatisfaites.

• x− 2y − 2 ≤ 0On trace la droite frontière d’équation

x− 2y − 2 = 0⇐⇒ y =1

2x− 1

Elle passe par les points A1 = (0,−1) et A2 = (2, 0).À l’origine, l’expression est satisfaite car 0 − 2 × 0 − 2 = −2 < 0. Donc on

doit hachurer la région inférieure, c’est-à-dire celle qui ne contient pas l’origine.


−1 0 1 2 3

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

A1

A2O

x − 2y − 2 < 0

• x+ y > 0

On trace la droite frontière d’équation

x+ y = 0⇐⇒ y = −x

C’est la seconde bissectrice. Pour tester les demi-plans, on ne peut pasutiliser l’origine car elle est sur la droite. On va prendre à la place le point decoordonnées (1, 1). En ce point, l’expression x + y vaut 2 et est positive. Ondoit donc hachurer le demi-plan inférieur, c’est-à-dire celui qui ne contient pasce point.


−1 0 1 2 3

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

A1

A2

O

x + y > 0

(1,1)

• |x− y| ≤ 1

On a l’équivalence suivante :

|x− y| ≤ 1⇐⇒ −1 < x− y < 1

Donc l’expression initiale est équivalente à deux inéquations linéaires :

{x− y > −1

x− y < 1⇐⇒

{−x+ y − 1 < 0

x− y − 1 < 0

On place les deux droites frontières d’équations respectives y = x + 1 ety = x− 1. Elles sont parallèles toutes les deux à la première bissectrice.

L’origine permet de tester le signe des deux inéquations. On verifie qu’ellessont satisfaites à l’origine. On hachure donc les demi-plans qui ne contiennentpas l’origine.


−1 0 1 2

−2

−1

01

2

O

|x−y|<1

Corrigé ex. 33 : Domaines réalisables

Représenter graphiquement les domaines réalisables correspondant aux sys-tèmes d’inéquations suivants :

•

2x+ 3y ≤ 30

x ≥ 0

y ≥ 0

Les deux contraintes x ≥ 0 et y ≥ 0 sont faciles à placer : elles signifientqu’on se limite aux points de coordonnées positives, c’est-à-dire au quadrantsupérieur droit.

Il ne reste qu’à représenter la région dans laquelle x+ 2y − 2 ≤ 0.On place la droite frontière d’équation

2x+ 3y − 30 = 0⇐⇒ y = −2

3x+ 10

Elle passe par les points A1 = (0, 10) et A2 = (15, 0).L’origine ici est dans le demi-plan inférieur à cette droite. En ce point

l’expression vaut2× 0 + 3× 0− 30 = −30 < 0

et est négative. Le demi-plan inférieur est donc la région où l’expression estnégative et, par conséquent, le demi-plan supérieur sera hachuré.


0 5 10 15

−2

02

46

810

12

Domaine réalisable

A1

A2O

•

−2x+ 5y ≤ 18

5x− 2y ≤ 18

x+ y ≥ 5

On doit placer les trois droites suivantes :D1 : −2x+ 5y − 18 = 0

D2 : 5x− 2y − 18 = 0

D3 : x+ y − 5 = 0

On peut vérifier que les intersections de ces droites deux à deux sont :

A1 = D2 ∩D3 =

(4

1

)

A2 = D1 ∩D3 =

(1

4

)

A3 = D1 ∩D2 =

(6

6

)

Il suffit donc de placer ces trois points et de les joindre.L’origine vérifie les deux premières inéquations mais pas la troisième : cela

détermine les régions qu’il faut hachurer.


0 1 2 3 4 5 6

01

23

45

6

Domaine réalisable

A1

A2

A3

O


Corrigé ex. 34 : Domaines de définition

a) f(x) =√−(x+ 3)

Il faut que la quantité −(x+3) soit positive ou nulle, c’est-à-dire que (x+3)soit négative ou nulle et donc que x ≤ −3.

On a donc le domaine :

Df =]−∞,−3]

b) f(x) =

√2x2 − x− 3

2x2 − 3x− 5

On commence par factoriser le numérateur et le dénominateur. On obtient :{2x2 − x− 3 = (x+ 1)(2x− 3)

2x2 − 3x− 5 = (x+ 1)(2x− 5)

Le terme (x+ 1) se simplifie entre le numérateur et le dénominateur.

La condition est donc que2x− 3

2x− 5≥ 0.


On fait un tableau des signes :

x −∞ 3

2

5

2+∞

(2x− 3) − 0 + +

(2x− 5) − − 0 +

P (x) + 0 − 0 +


Df =]−∞, 3

2] ∪ [

5

2,+∞[

c) f(x) =

√x2 + x+ 1

x2 − x+ 1

Ici les polynômes de degré deux au numérateur et au dénominateur sonttous les deux irréductibles car leur discriminant est négatif. Ils ont pour signele signe du coefficient de plus haut degré (coefficient de x2). Ils sont donc tousles deux positifs et la fraction sous le radical est donc toujours positive.

Le domaine de définition est donc l’ensemble R tout entier.

Corrigé ex. 35 : Croissance et taux de variation

Il faut montrer, en utilisant le taux de variation, que la fonction f(x) =x2 − 2x est décroissante sur l’intervalle ] − ∞, 1] et croissante sur l’intervalle[1,+∞[.

Calculons le taux de croissance∆f(u)

∆u:

∆f(u)

∆u=f(v)− f(u)

v − u

=(v2 − 2v)− (u2 − 2u)

v − u

=(v2 − u2)− 2(v − u)

v − u

=(v − u)(v + u)− 2(v − u)

v − u= v + u− 2

Si u et v sont dans l’intervalle ]−∞, 1], ils sont tous les deux inférieurs à 1

et donc leur somme est inférieure à 2 et la quantité∆f(u)

∆u= v+u− 2 est alors

négative. La fonction est donc décroissante sur cet intervalle.


Si u et v sont dans l’intervalle [1,+∞[, ils sont tous les deux supérieurs à

1 et donc leur somme est supérieure à 2 et la quantité∆f(u)

∆u= v + u − 2 est

alors positive. La fonction est donc croissante sur cet intervalle.

Corrigé ex. 36 : Fonctions réciproques

a) f(x) =x− 1

3x− 1

Pour trouver la fonction réciproque, on part de la définition y =x− 1

3x− 1et

on essaie d’“inverser la formule”, c’est-à-dire d’exprimer x en fonction de y.

On écrit :

y =x− 1

3x− 1

⇐⇒ y(3x− 1) = x− 1

⇐⇒ 3xy − y = x− 1

⇐⇒ 3xy − x = y − 1

⇐⇒ x(3y − 1) = y − 1

⇐⇒ x =y − 1

3y − 1

On trouve la même fonction (écrite en y au lieu de x) ! La fonction f estdonc sa propre réciproque.

b) f(x) =3

2+

√1

4+

1

xsur l’ensemble R+.

On part de la définition y =3

2+

√1

4+

1

xet on essaie d’extraire x.

On remarque que, d’après cette formule, y est supérieur à3

2. Compte-tenu

de cela toutes les transformations qui suivent sont des équivalences :


y =3

2+

√1

4+

1

x

⇐⇒ y − 3

2=

√1

4+

1

x

⇐⇒(y − 3

2

)2

=1

4+

1

x

⇐⇒(y − 3

2

)2

− 1

4=

1

x

⇐⇒(y − 3

2− 1

2

)(y − 3

2+

1

2

)=

1

x

⇐⇒ (y − 2)(y − 1) =1

x

Finalement, on inverse les deux termes de la dernière équation et on obtient:

x = f−1(y) =1

(y − 2)(y − 1)

Corrigé ex. 37 : Injectivité et surjectivité

On considère la fonction f(x) =1

x− 1. Elle définie pour tout x différent de

1.a) Pour prouver l’injectivité, on part de : f(u) = f(v).On a :

f(u) = f(v)

⇐⇒ 1

u− 1=

1

v − 1

⇐⇒ u− 1 = v − 1

⇐⇒ u = v

On aboutit à u = v. Autrement dit, si les variables u et v ont même image,elles sont égales : c’est précisément la définition de l’injectivité.

f est donc injective.b) Pour prouver la surjectivité, il faut prendre une valeur y et voir si elle a

toujours au moins un antécédent. On doit donc résoudre l’équation f(x) = y.


On a :

f(x) = y

⇐⇒ 1

x− 1= y

⇐⇒ x− 1 =1

y

⇐⇒ x = 1 +1

y

⇐⇒ x =y + 1

y

Les 3 dernières équations n’ont de sens que si y 6= 0. On trouve donc qu’il ya surjectivité seulement si y 6= 0.

c) La fonction est bijective si elle est à la fois injective et surjective.Compte-tenu des valeurs qui ont été exclue, la fonction f est une bijection

entre les ensembles R\{1} et R\{0}.


Corrigé ex. 38 : Relations de récurrence

Soient (un) et (vn) les suites définies par

un =2n − 2n+ 1

2vn =

2n + 2n− 1

2

a) On calcule

xn = un + vn =(2n − 2n+ 1) + (2n + 2n− 1)

2= 2n

C’est une suite géométrique de raison 2 et de terme initial x0 = 1.b) On calcule

yn = un − vn =(2n − 2n+ 1)− (2n + 2n− 1)

2= −2n+ 1

C’est une suite arithmétique de raison -2 et de terme initial y0 = 1.c) On prend comme valeurs initiales x0 = y0 = 1.La suite xn vérifie la relation xn = 2xn−1.La suite yn vérifie la relation yn = yn−1 + 2.d) On part des formules : {

xn = un + vn

yn = un − vn


En remplaçant dans les relations trouvées à la question précédente, on ob-tient : un + vn = 2(un−1 + vn−1)

un − vn = un−1 − vn−1 + 2

Par élimination (en additionnant puis en soustrayant membre à membre lesdeux équations), on obtient les relations :2un = 3un−1 + vn−1 + 2

2vn = un−1 + 3vn−1 − 2

D’où finalement, un système d’équations linéaires de récurrence :un =

3

2un−1 +

1

2vn−1 + 1

vn =1

2un−1 +

3

2vn−1 − 1

avec u0 = 1 et v0 = 0.

Corrigé ex. 39 : Équation d’ordre 1

Une suite (ut) vérifie l’équation suivante:

ut =1

2ut−1 + t+ 1 (13.1)

a) On part de la valeur initiale u0 = 0. Les quatre termes suivants de lasuite sont :

u1 =1

20 + 1 + 1 = 2

u2 =1

22 + 2 + 1 = 4

u3 =1

24 + 3 + 1 = 6

u4 =1

26 + 4 + 1 = 8

b) Pour montrer que la suite vt = 2t vérifie l’équation de récurrence, il fautla substituer dans cette équation.

On calcule :

vt −1

2vt−12t− 1

22 (t− 1)

= 2t− (t− 1)

= t+ 1


On trouve bien que vt =1

2vt−1 + t+ 1.

c) On écrit que les suites vt et vt vérifient toutes les deux l’équation initiale:

ut =1

2ut−1 + t+ 1

vt =1

2vt−1 + t+ 1

Par soustraction membre à membre, on obtient :

ut − vt =1

2ut−1 −

1

2vt−1

En posant wt = ut − vt, cette dernière relation s’écrit :

wt =1

2wt−1

Par conséquent wt une suite géométrique de raison1

2. Son terme général,

d’après le cours, s’écrit wt = w0 ×(

1

2

)t.

d) Puisque wt = ut − vt, on a ut = vt + wt.En remplaçant par les expressions obtenues aux questions précédentes, on a

finalement :

ut = 2 t+ w0

(1

2

)tPour faire en sorte que u0 = 0, on applique la dernière équation en rem-

plaçant t par 0. On obtient :

u0 = 2× 0 + w0

(1

2

)0

= 0

et, par conséquent,w0 = 0

Dans ce cas, ut = vt.

Corrigé ex. 40 : Suite homographique

un =2un−1 − 1

un−1

a) On pose vn =1

un − 1. On en extrait un en fonction de vn :

un =1

vn+ 1 =

vn + 1

vn


On reporte cette expression de un dans l’équation de récurrence :

vn + 1

vn=

2vn−1 + 1

vn−1− 1

vn−1 + 1

vn−1

=vn−1 + 2

vn−1 + 1

En changeant les dénominateurs de membre, on obtient :

(vn + 1)(vn−1 + 1) = vn(vn−1 + 2)

⇐⇒ vnvn−1 + vn + vn−1 + 1 = vnvn−1 + 2vn

⇐⇒ vn = vn−1 + 1

Cette dernière relation signifie que vn est une suite arithmétique de raison1.

b) On écrit vn sous forme explicite en utilisant la formule du cours :

vn = v0 + n

En reportant dans l’expression de un en fonction de vn, on obtient :

un =1

vn+ 1 =

vn + 1

vn=v0 + n+ 1

v0 + n=

n+ v0 + 1

n+ v0

c) On impose la condition initiale u0 = 2. En appliquant la formule trouvéedans la question précédente pour n = 0, on a :

u0 =0 + v0 + 1

0 + v0= 2

On en déduit facilement que v0 = 1. D’où la solution

un =n+ 2

n+ 1

Corrigé ex. 41 : Somme des entiers

a) On part de la définition un = n2 + n.

un−un−1 = (n2 +n)−((n−1)2 +(n−1)

)= n2 +n−

(n2−2n+1+n−1

)= 2n

b) On peut écrire un sous la forme suivante :

un = (un − un−1) + (un−1 − un−2) + (un−2 − un−3) + · · ·+ (u1 − u0)

D’après la question précédente, chaque parenthèse est la différence de deuxtermes successifs de la suite et on peut donc remplacer :

un = 2n+ 2(n− 1) + 2(n− 2) + · · ·+ 2


C’est la somme des nombres pairs jusqu’à 2n.c) On peut mettre 2 en facteur dans l’expression précédente :

un = 2(n+ (n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 1

)Par conséquent :

n+ (n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 1 =un2

=n2 + n

2=n(n+ 1)

2

Corrigé ex. 42 : Évolution d’un prix

On considère le marché d’un bien de prix pt pour lequel l’offre St et lademande Dt vérifient les relations :{

St = −30 + apt−1

Dt = 70− 2pt

où a est un nombre réel > 0 et t ∈ N.a) On fait l’hypothèse d’un ajustement de l’offre sur la demande, autrement

dit on part de la relation St = Dt.En remplaçant St et Dt par leurs expressions en fonction du prix, on obtient

−30 + apt−1 = 70− 2pt ⇐⇒ pt = −a2pt−1 + 50

b) Un prix d’équilibre pe est une valeur qui vérifie l’équation et reste con-stante quel que soit t. On a donc :

pe = −a2pe + 50

On en tire

pe +a

2pe = 50⇐⇒ pe =

50

1 +a

2

c) On écrit que pt et pe vérifient tous les deux l’équation :pt = −a

2pt−1 + 50

pe = −a2pe + 50

On soustrait membre à membre :

pt − pe = −a2

(pt−1 − pe)


Si on pose wt = pt − pe, la dernière relation devient :

wt = −a2wt−1

d) On déduit de la dernière relation que wt est une suite géométrique deraison −a

2. D’après le cours, son équation explicite s’écrit donc

wt = w0

(−a

2

)te) Puisque wt = pt − pe, on trouve pt = wt + pe et, en remplaçant par les

valeurs trouvées, on obtient

pt = w0

(−a

2

)t+

50

1 +a

2

f) On suppose que a = 0.5 = 12

On trouve

pt = w0

(−1

4

)t+

50

1 +1

4

= w0

(−1

4

)t+ 40

On suppose que le prix initial est p0 = 70. En faisant t = 0 dans l’expressionde pt, on obtient la relation

p0 = w0

(−1

4

)0

+ 40 = w0 + 40 = 70

d’où w0 = 30.Finalement la solution est

pt = 30

(−1

4

)t+ 40


Corrigé ex. 43 : Limites de suites

• limn→+∞

2n

n2


On a affaire ici à une forme indéterminée ∞∞ mais il s’agit d’une fonctionpuissance 2n contre une fonction polynôme n2 : c’est la fonction puissance quil’emporte et la limite est finalement +∞.

• limn→+∞

2n − n2

On a une forme indéterminée∞−∞ mais si on met n2 en facteur on obtient

limn→+∞

n2

(2n

n2− 1

)Le terme entre parenthèses est celui de l’exercice précédent et tend vers +∞.

On a donc une forme∞×∞ qui n’est pas indéterminée : le limite est finalement+∞.

• limn→+∞

(2n4 + 3n2 + 1)

(n2 + 1)(n2 − 1)

On utilise l’équivalence à l’infini de tout polynôme avec son terme de plushaut degré et le résultat sur les produits et quotients d’équivalents :

limn→+∞

(2n4 + 3n2 + 1)

(n2 + 1)(n2 − 1)= limn→+∞

2n4

n2 × n2= 2

La limite est 2.

• limn→+∞

(1

3

)n(2n − 3n)

On développe la parenthèse :

limn→+∞

(1

3

)n(2n − 3n) = lim

n→+∞

(2

3

)n−(3

3

)n= 0− 1 = −1

En effet(2

3

)ntend vers 0 car

2

3< 1.

• limn→+∞

(n2 − 3n+ 4)(1

3

)nOn a affaire ici à une forme indéterminée ∞× 0 mais il s’agit d’une fonction

puissance(1

3

)ncontre une fonction polynôme : c’est la fonction puissance qui

l’emporte et la limite est finalement 0.

• limn→+∞

(1

2

)n(2n − n2)


On développe la parenthèse :

limn→+∞

(1

2

)n(2n − n2) = lim

n→+∞

(2

2

)n−(1

2

)n× n2 = 1− 0 = 1

Dans le deuxième terme, la fonction puissance(1

2

)nl’emporte sur le monôme

n2.

• limn→+∞

√n+ 1−

√n

On a affaire ici à une forme indéterminée ∞ −∞. On doit multiplier aunumérateur et au dénominateur par la quantité conjuguée :

√n+ 1−

√n =

(√n+ 1−

√n)(√n+ 1 +

√n)√

n+ 1 +√n

=(n+ 1)− n√n+ 1 +

√n

=1√

n+ 1 +√n

Le dénominateur de cette expression tend vers l’infini, donc la limite del’inverse est 0.

• limn→+∞

n(√

n2 + 1− n)

On doit multiplier au numérateur et au dénominateur par la quantité con-juguée :

√n2 + 1− n =

(√n2 + 1− n)(

√n2 + 1 + n)√

n2 + 1 + n=

(n2 + 1)− n2

√n2 + 1 + n

=1√

n2 + 1 + n

On a donc n(√n2 + 1− n

)=

n√n2 + 1 + n

.

On procède ensuite par factorisation du terme n2 sous le radical :

limn→+∞

n√n2 + 1 + n

= limn→+∞

n

n

√1 +

1

n2+ n

= limn→+∞

1√1 +

1

n2+ 1

=1√

1 + 0 + 1=

1

2

• limn→+∞

(1 +

1

n

)nCette limite est un grand classique !

On doit passer par la fonction logarithme. Si on note un =(

1 +1

n

)n, on

étudie la limite de vn = log(un) :

limn→+∞

log

((1 +

1

n

)n)= limn→+∞

n log

(1 +

1

n

)


Si n tend vers l’infini, alors1

ntend vers 0 et on utilise l’équivalent du loga-

rithme au voisinage de 0 : log(1 + x) ∼0x. On obtient ici :

limn→+∞

n log

(1 +

1

n

)= limn→+∞

n1

n= 1

On a donc trouvé que limn→+∞ vn = 1. Puisque vn = log(un), on a inverse-ment un = exp(vn) et la limite de un est finalement exp(1) = e1 = e.

C’est un résultat qu’on peut retenir :

limn→+∞

(1 +

1

n

)n= e

Il est une illustration du fait que la forme 1∞ est une forme indéterminée.

• limn→+∞

(−1)n

n2 + (−1)nn

Puisque la quantité (−1)n vaut alternativement -1 et 1, on peut utiliser lethéorème des gendarmes à partir de l’encadrement suivant :

−1

n2 + (−1)nn<

(−1)n

n2 + (−1)nn<

1

n2 + (−1)nn

Le polynôme n2 + (−1)nn est équivalent n2 et tend vers l’infini. Les deuxsuites qui font l’encadrement tendent donc vers 0 et par conséquent la suiteétudiée (prise en sandwich !) tend donc elle aussi vers 0.

Corrigé ex. 44 : Limites de fonctions

• limx→0

x2 + x− 2

x2 − 1

Ici il n’y a aucun problème : le numérateur et le dénominateur sont desfonctions continues (car tout polynôme est continu). Ils tendent vers leur valeur

en 0, c’est-à-dire respectivement -2 et -1. Le quotient tend donc vers−2

−1= 2.

• limx→1

x2 + x− 2

x2 − 1

Le numérateur et le dénominateur tendent vers 0, ce qui conduit à une

forme indéterminée0

0. Mais puisque les deux polynôme s’annulent en 1, on


peut mettre en facteur le terme (x− 1) :

x2 + x− 2

x2 − 1=

(x− 1)(x+ 2)

(x− 1)(x+ 1)=x+ 2

x+ 1

À la limite on trouve donc1 + 2

1 + 1=

3

2.

• limx→1

x2 + 1

x2 − 1

Le numérateur tend vers 2 et le dénominateur tend vers 0. Ce n’est pas uneforme indéterminée mais il faut savoir si le dénominateur tend vers 0+ ou vers0−. Tout dépend de la manière dont x tend vers 1 : par la gauche ou par ladroite. On distingue deux cas :

limx→1+

x2 + 1

x2 − 1=

2

0+= +∞

limx→1−

x2 + 1

x2 − 1=

2

0−= −∞

Il y a donc des limites (infinies) à gauche et à droite distinctes.

• limx→−1

x2 − 2x− 3

x2 + 3x+ 2

Le numérateur et le dénominateur tendent vers 0, ce qui conduit à une

forme indéterminée0

0. Mais puisque les deux polynôme s’annulent en -1, on

peut mettre en facteur le terme (x+ 1) :

x2 − 2x− 3

x2 + 3x+ 2=

(x+ 1)(x− 3)

(x+ 1)(x+ 2)=x− 3

x+ 2

À la limite on trouve donc−1− 3

−1 + 2= −4.

• limx→3

2x+ 1

x− 3

Le numérateur tend vers 7 et le dénominateur tend vers 0. Ce n’est pas uneforme indéterminée mais il faut savoir si le dénominateur tend vers 0+ ou vers0−. Tout dépend de la manière dont x tend vers 3 : par la gauche ou par ladroite. On distingue donc deux cas :

limx→3+

2x+ 1

x− 3=

7

0+= +∞

limx→3−

2x+ 1

x− 3=

7

0−= −∞



• limx→0

log(1 + x2)

1− cos(x)

On se sert ici des équivalents en 0 des fonctions logarithme et cosinus :cos(x) ∼0

1− x2

2log(1 + x) ∼

0x

La limite du quotient est donc :

limx→0

log(1 + x2)

1− cos(x)= limx→0

x2

x2/2= 2

• limx→+∞

√x2 + x+ 1− x

On doit multiplier au numérateur et au dénominateur par la quantité con-juguée :

√x2 + x+ 1−x =

(√x2 + x+ 1− x)(

√x2 + x+ 1 + x)√

x2 + x+ 1 + x=

(x2 + x+ 1)− x2

√x2 + x+ 1 + x

=x+ 1√

x2 + x+ 1 + x

On procède ensuite par factorisation du terme x2 sous le radical :

limx→+∞

x+ 1√x2 + x+ 1 + x

= limx→+∞

x+ 1

x

√1 +

1

x+

1

x2+ x

= limx→+∞

1 +1

x√1 +

1

x+

1

x2+ 1

=1 + 0√

1 + 0 + 0 + 1

=1

2

• limx→−∞

x−√x2 + 1

x+ 1

Il faut remarquer ici qu’on cherche la limite lorsque x tend vers −∞ (et nonpas vers +∞ !). Le numérateur n’est donc pas une forme indéterminée, il tend


vers −∞ et, par conséquent, il n’est pas nécessaire de multiplier par la quantitéconjuguée.

On a quand même, pour le quotient, une forme indéterminée du type ∞∞ .On va factoriser le terme x au numérateur et au dénominateur (attention à lavaleur absolue

√x2 = |x| qui vaut finalement −x puisque x est négatif ) :

limx→−∞

x−√x2 + 1

x+ 1= limx→−∞

x− |x|√

1 +1

x2

x

(1 +

1

x

)

= limx→−∞

x+ x

√1 +

1

x2

x

(1 +

1

x

)

= limx→−∞

1 +

√1 +

1

x2

1 +1

x

=1 +√

1 + 0

1 + 0

= 2

• limx→∞

2x2 − 1

2x2 − 3x+ 1

À l’infini, les deux polynômes sont équivalents à leur terme de plus hautdegré :

limx→∞

2x2 − 1

2x2 − 3x+ 1= limx→∞

2x2

2x2= 1

Ce résultat est valable aussi bien en −∞ et en +∞.

• limx→1

2x2 − 1

2x2 − 3x+ 1

C’est la même fraction rationnelle que dans l’exercice précédente mais cettefois la limite est pour x → 1. Le numérateur tend vers 1 et le dénominateurtend vers 0. Il faut distinguer le cas d’une limite à gauche et d’une limite àdroite.

Le dénominateur se factorise en 2x2 − 3x+ 1 = (x− 1)(2x− 1). Il tend vers0+ si x→ 1+ et vers 0− si x→ 1−.


On distingue les deux cas :limx→1+

2x2 − 1

(x− 1)(2x− 1)=

1

0+= +∞

limx→1−

2x2 − 1

(x− 1)(2x− 1)=

1

0−= −∞


Corrigé ex. 45 : Asymptotes

On considère la fonction f(x) =4x2 + x+ 1

x.

a) Le domaine de définition est R∗ = R\{0} car le dénominateur ne peutpas être nul.

b) On cherche la limite lorsque x −→ 0.Le numérateur tend vers 1. On distingue les deux cas :

limx→0+

4x2 + x+ 1

x=

1

0+= +∞

limx→0−

4x2 + x+ 1

x=

1

0−= −∞

Graphiquement, l’axe vertical est asymptote à la courbe d’équation y = f(x).c) On a

a = limx→∞

f(x)

x= limx→∞

4x2 + x+ 1

x2= limx→∞

4x2

x2= 4

On trouve donc a = 4.d) On cherche maintenant la limite de f(x)−ax = f(x)− 4x lorsque x tend

vers l’infini. On a :

f(x)− 4x =4x2 + x+ 1

x− 4x =

4x2 + x+ 1− 4x2

x=x+ 1

x

La limite de ce dernier quotient est 1.e) On a montré dans la question précédente que

limx→∞

f(x)− 4x = 1

C’est équivalent à dire que

limx→∞

f(x)− (4x+ 1) = 0

On interprète ce résultat graphiquement en disant que les courbes d’équationsrespectives y = f(x) et y = 4x + 1 se rapprochent lorsque x → ±∞. Or


y = 4x + 1 est l’équation d’une droite. On en déduit donc que cette droite estune asymptote à la courbe de la fonction f . On dit que c’est une asymptoteoblique.

Voici le graphe de la fonction f :

−2 −1 0 1 2

−20

−10

010

20

f(x) =4x

2+ x + 1

x

C’est une hyperbole.


Corrigé ex. 46 : Dérivées de fonctions

• f(x) =1

x2 + 1

On applique la formule (un)′

= nun−1 u′ avec n = −1 et u = x2 + 1.On trouve

f ′(x) =−2x

(x2 + 1)2

• f(x) =2x− 1

x+ 1


On applique la formule(f

g

)′=f ′ g − f g′

g2.

On trouve

f ′(x) =3

(x+ 1)2

• f(x) =√√

x

On doit supposer que x > 0.

On écrit√√

x =(x

12

) 12

= x14 .

Par conséquent :

f ′(x) =1

4x

14−1 =

1

4x−

34 =

1

4x34

=1

44√x3

=1

4√√

x3

Finalement

f ′(x) =1

4√√

x3=

1

4(√√

x)3

• f(x) =x2 − 1

x2 + 4

On applique la formule(f

g

)′=f ′ g − f g′

g2.

On trouve

f ′(x) =10x

(x2 + 4)2

• f(x) =

√x

x+ 1

On applique la formule (√u)′ =

u′

2√u

en prenant u =x

x+ 1.

On a u′ =1

(x+ 1)2, d’où :

f ′(x) =

1

(x+ 1)2

2

√x

x+ 1


Finalement :f ′(x) =

1

2(x+ 1)2

√x

x+ 1

Attention : il faut être prudent si on veut simplifier le dénominateur de ladernière expression car il faut tenir compte du signe de x et de x+1 (à faire. . . ).

• f(x) =1

x− 1− 1

x+ 1

On part de f(x) =1

x− 1− 1

x+ 1=

2

x2 − 1.

On trouve finalementf ′(x) =

−4x

(x2 − 1)2

Corrigé ex. 47 : Multiplicité des racines de f ′

Si a est racine double d’un polynôme P (x), l’expression (x − a)2 peut semettre en facteur, autrement dit on peut écrire :

P (x) = (x− a)2Q(x)

avec Q(a) 6= 0.Calculons la dérivée de cette expression :

P ′(x) = 2(x−a)Q(x)+(x−a)2Q′(x) = (x−a)(

2Q(x)+(x−a)Q′(x))

= (x−a)R(x)

où on a posé R(x) = 2Q(x) + (x− a)Q′(x). La dernière expression montre quea est racine de P ′(x).

Le facteur R(x) ne s’annule pas en a puisque R(a) = Q(a) 6= 0. Donc a estracine simple de P ′(x).

Pour généraliser au cas d’une racine d’ordre p, on part de

P (x) = (x− a)pQ(x)

avec Q(a) 6= 0.Par dérivation, on obtient :

P ′(x) = p(x− a)p−1Q(x) + (x− a)pQ′(x)

= (x− a)p−1(pQ(x) + (x− a)Q′(x)

)= (x− a)p−1R(x)


On conclut, comme dans le cas précédent, que a est racine d’ordre p− 1 deP ′(x).

Corrigé ex. 48 : Étude de fonctions

• f(x) =1

|x|

La fonction n’est pas définie en 0. Sa dérivée sur le domaine de définitionest :

f ′(x) =

− 1

x2si x > 0

1

x2si x < 0

Tableau de variation :x −∞ 0 +∞

f ′ + −

f ↗ ↘

Les limites à l’infini sont :

limx−→±∞

f(x) = 0+

Représentation graphique :

−3 −2 −1 0 1 2 3

01

23

4

f(x) =1

x


• f(x) =√x2 + 1

Cette fonction est définie pour tout x. On calcule la dérivée avec la formule

(√u)′ =

u′

2√u

en prenant u = x2 + 1. On obtient :

f ′(x) =x√

x2 + 1


f ′ − 0 +

f ↘ ↗


limx−→±∞

f(x) = +∞


−10 −5 0 5 10

05

10

f(x) = x2 + 1

1

• f(x) = x3 − 6x2 + 9x− 1

Cette fonction est polynomiale, donc elle est définie pour tout x. On calculela dérivée :

f ′(x) = 3x2 − 12x+ 9 = 3(x− 1)(x− 3)


La dérivée s’annule en x = 1 et x = 3.

x −∞ 1 3 +∞

(x− 3) − − 0 +

(x− 1) − 0 + +

f ′(x) + 0 − 0 +

f ↗ ↘ ↗

Les limites à l’infini sont : limx−→−∞

f(x) = −∞

limx−→+∞

f(x) = +∞


−5 0 5 10

−5

05

f(x) = x3

− 6x2

+ 9x − 1

1 3

• f(x) =2x2 − 1

x2 + 1

Cette fonction est définie pour tout x.

On calcule la dérivée par la formule(f

g

)′=f ′ g − f g′

g2. On obtient :

f ′(x) =6x

(x2 + 1)2



f ′ − 0 +

f ↘ ↗


limx−→±∞

f(x) = 2−


−4 −2 0 2 4

−3

−2

−1

01

23

4

f(x) =2x

2− 1

x2 + 1

2

2

• f(x) =x√

x2 + 1

Cette fonction est définie pour tout x.On calcule la dérivée :

f ′(x) =1

(x2 + 1)√x2 + 1

La dérivée est toujours positive donc la fonction est monotone croissante.Comme f est une fonction impaire, son graphe est symétrique par rapport àl’origine.


f(x) = (−1)+

limx−→+∞

f(x) = 1−



−2 −1 0 1 2

−2

−1

01

2

f(x) =x

x2 + 1

• f(x) =

√x2 + 1

x

La fonction n’est pas définie pour x = 0.La dérivée est :

f ′(x) = − 1

x2√x2 + 1

Elle est toujours négative sur le domaine de définition, donc la fonction estmonotone décroissante sur les deux intervalles ]−∞, 0[ et ]0,+∞[.


f(x) = (−1)−

limx−→+∞

f(x) = 1+

Les limites en 0 sont : limx−→0−

f(x) = −∞

limx−→0+

f(x) = +∞



−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

01

23

f(x) =x2 + 1

x

Corrigé ex. 49 : Asymptotes obliques

On va étudier la fonction f(x) =4x2 + x+ 1

x.

a) Le domaine de définition est Df = R\{0}.

b) Les limites en 0 sont : limx−→0−

f(x) = −∞

limx−→0+

f(x) = +∞

c) On calcule la dérivée

f ′(x) =4x2 − 1

x2

Elle s’annule pour x = ±1

2.

Tableau de variation :

x −∞ −1

20

1

2+∞

f ′(x) + 0 − − 0 +

f ↗ ↘ ↘ ↗


d) Représentation graphique :

−2 −1 0 1 2

−2

0−

10

01

02

0

f(x) =4x

2+ x + 1

x

e) On a

limx−→±∞

f(x)

x= limx−→±∞

4x2 + x+ 1

x2= limx−→±∞

(4 +

1

x+

1

x2

)= 4

donc a = 4.

f) On cherche maintenant la limite

limx−→±∞

f(x)− 4x = limx−→±∞

4x2 + x+ 1

x− 4x = lim

x−→±∞

x+ 1

x= 1

On en déduit que la différence f(x) − (4x + 1) tend vers 0, c’est-à-dire quel’écart entre la courbe d’équation y = f(x) et la droite d’équation y = 4x + 1devient de plus en plus proche de 0.

Cela signifie graphiquement que la droite d’équation y = 4x + 1 est uneasymptote oblique à la courbe.

Corrigé ex. 50 : Équation de tangente

L’équation de la tangente au point d’abscisse a est donnée par la formulesuivante :

y = f ′(a)(x− a

)+ f(a)

On a ici f(x) =√

1− x2 et a = 12 . Par conséquent f

(1

2

)=

√3

2.


On calcule la dérivée de f avec la formule (√u)′ =

u′

2√u

:

f ′(x) =−x√

1− x2

Par conséquent f ′(

1

2

)= − 1√

3.

Finalement, l’équation de la tangente est :

y = − 1√3

(x− 1

2

)+

√3

2=−x+ 2√

3

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.5

1.0

f(x) = 1 − x2

1

2

y =− x + 2

3

Corrigé ex. 51 : Fonction par morceaux

On considère la fonction définie de la manière suivante :

f(x) =

{x2 − 4x+ 6 si x ≤ 3

a x+ b si x > 3

On calcule les limites de f et de f ′ à gauche et à droite de x = 3.Pour x ≤ 3, on a f ′(x) = 2x− 4 et donc f(3−) = 3 et f ′(3−) = 2.Pour x > 3, on a f(3+) = 3 a+ b et f ′(3+) = a.Pour avoir les mêmes valeurs à gauche et à droite, on pose :{

3 a+ b = 3

a = 2

d’où finalement a = 2 et b = −3.


−2 0 2 4 6

05

10

15

20

25

3


Corrigé ex. 52 : Domaine de définition

La fonction y = log(2−√x) est définie à condition que x ≥ 0 (à cause de la

racine carrée) et que√x < 2 (à cause du logarithme).

On trouve finalement le domaine de définition suivant :

Df = [0, 4[

Corrigé ex. 53 : Dérivée

On considère la fonction f(x) = log((x2 + 1)(x− 1)

).

On applique la formule de dérivation du logarithme log(u)′ =u′

u.

On a ici u(x) = (x2 + 1)(x− 1) = x3− x2 + x− 1, d’où f ′(x) = 3x2− 2x+ 1et finalement

f ′(x) =3x2 − 2x+ 1

(x2 + 1)(x− 1)


Corrigé ex. 54 : Limite

Pour calculer la limite limx→0

exp

(− 1

x

), on doit distinguer selon que x tend

vers 0 par la gauche ou par la droite.

Lorsque x→ 0+, alors1

xtend vers +∞ et la limite est celle de e−x en +∞,

c’est-à-dire 0+.Lorsque x→ 0−, alors

1

xtend vers −∞ et la limite est celle de e−x en −∞,

c’est-à-dire +∞.

Corrigé ex. 55 : Dérivée d’une fonction puissance

Par définition, la fonction s’écrit :

f(x) = 2x = ex log(2)

On en déduit la dérivée :

f ′(x) = log(2)× ex log(2) = log(2)× 2x

Corrigé ex. 56 : Limites indéterminées

a) On procède par équivalents :

limx→+∞

1

x× log(x4 + x2 + 1) = lim

x→+∞

1

x× log(x4) = lim

x→+∞4

log(x)

x= 0

car le monôme x l’emporte sur le logarithme.

b) limx→0

x log(x)

On a ici une forme indéterminée de la forme 0 × −∞, mais le monôme xl’emporte sur le logarithme et la limite est finalement 0.

c) Par équivalents, on a :

limx→+∞

1

x× log(2x + x) = lim

x→+∞

1

x× log(2x) = lim

x→+∞

1

x× x log(2) = log(2)

d) Encore par équivalents :

limx→+∞

log(x2 + 1)

log x= limx→+∞

log(x2)

log x= limx→+∞

2 log(x)

log x= 2


Corrigé ex. 57 : Composée de fonctions homographiques

Monter que la composée de deux fonctions homographiques est homographique.

On considère deux fonctions homographiques

f(x) =ax+ b

cx+ det g(x) =

px+ q

rx+ s

Calculons la composée f ◦ g :

(f ◦ g)(x) = f(g(x)

)=a g(x) + b

c g(x) + d

=apx+ q

rx+ s+ b

cpx+ q

rx+ s+ d

=a(px+ q) + b(rx+ s)

c(px+ q) + d(rx+ s)

=(ap+ br)x+ aq + bs

(cp+ dr)x+ cq + ds

Cette dernière expression est bien de la formeAx+B

Cx+Dqui caractérise les fonc-

tions homographiques.

Corrigé ex. 58 : Points fixes

a) On considère la fonction homographique f(x) =3x− 8

x− 3.

Sa dérivée est f ′(x) =−1

(x− 3)2.



f(x) =3x − 8

x − 3

0

b) Pour trouver les points fixes, il faut résoudre l’équation f(x) = x.On en déduit

3x− 8

x− 3= x⇒ 3x− 8 = x(x− 3)⇔ x2 − 6x+ 8 = 0

Ce dernier polynôme se factorise en

x2 − 6x+ 8 = (x− 2)(x− 4)

Il y a donc deux racines qui sont x = 2 et x = 4 (les points sont représentés ennoir sur le graphique).

Corrigé ex. 59 : Théorème des gendarmes

a) On considère la fonction f(x) = tan(x).

Sa dérivée est f ′(x) =1

cos2(x)qui est toujours positive (pour les x qui

n’annulent pas le cosinus).La dérivée en 0 vaut f ′(0) = 1. En l’origine, la fonction tan(x) est tangente

à la première bissectrice (de pente 1) et, pour les valeurs positives de x, se situeau-dessus d’elle comme on peut le voir sur le graphique suivant :


0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

y = tan(x)y = x

On en déduit donc la relation 0 ≤ x ≤ tan(x) pour tout x ∈ [0,π

2[.

b) De la même manière que précédemment, on montre que la courbe dusinus sur l’intervalle [0,

π

2[ se trouve sous la première bissectrice. On a donc :

0 ≤ sin(x) ≤ x

c) Sur l’intervalle [0,π

2[, le sinus et le cosinus sont positifs. En utilisant les

encadrements trouvés aux deux questions précédentes et la définition tan(x) =sin(x)

cos(x), on obtient :

cos(x) ≤ sin(x)

x≤ 1

d) On applique le théorème des gendarmes à l’encadrement précédent enfaisant tendre x vers 0+. Le cosinus tend vers 1 et la fonction sin(x)/x est donc“prise en sandwich” entre le cosinus qui tend vers 1 et la borne supérieure 1.

On en déduit que

limx→0+

sin(x)

x= 1

La fonction sinus étant impaire, le résultat reste vrai si x→ 0−. On énoncece résultat en disant que la fonction sinus est équivalente à x au voisinage de 0.

Corrigé ex. 60 : Périodes


On dit qu’une fonction f a pour période T si f(x+ T ) = f(x) pour tout x.La période est le plus petit T non nul qui vérifie cette relation.

Le sinus et le cosinus étant de période 2π, on voit facilement que la fonctionf(x) = cos(2x) a pour période π et la fonction f(x) = sin(3x) a pour période2π

3. Par exemple :

f(x+ π) = cos(2(x+ π)

)= cos(2x+ 2π) = cos(2x) = f(x)

C’est la plus petite valeur possible.La tangente étant de période π, on voit de même que la fonction f(x) =

tan(4x) a pour périodeπ

4.

Corrigé ex. 61

Les formules de l’angle double{cos(2x) = cos2(x)− sin2(x)

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

peuvent s’écrire (en remplaçant x par x/2) sous la forme :{cos(x) = cos2(x/2)− sin2(x/2)

sin(x) = 2 sin(x/2) cos(x/2)

On pose t = tan(x/2) =sin(x/2)

cos(x/2). Calculons 1− t2 et 1 + t2 :

1− t2 = 1− sin2(x/2)

cos2(x/2)=

cos2(x/2)− sin2(x/2)

cos2(x/2)=

cos(x)

cos2(x/2)

1 + t2 = 1 +sin2(x/2)

cos2(x/2)=

cos2(x/2) + sin2(x/2)

cos2(x/2)=

1

cos2(x/2)

En faisant les quotients membre à membre, on obtient :

1− t2

1 + t2= cos(x)

Calculons maintenant le quotient :

2t

1 + t2=

2sin(x/2)

cos(x/2)1

cos2(x/2)

= 2 sin(x/2) cos(x/2) = sin(x)


En faisant le quotient des deux formules obtenues, on trouve :

tan(x) =sin(x)

cos(x)=

2t

1 + t2

1− t2

1 + t2

=2t

1− t2

Finalement, on a obtenu les formules dites “de l’angle moitié” :

cos(x) =1− t2

1 + t2

sin(x) =2t

1 + t2

tan(x) =2t

1− t2

Corrigé ex. 62 : Arc tangente de l’inverse

On pose, pour x ∈ R∗+ :

f(x) = arctan

(1

x

)+ arctan(x)

On va dériver cette fonction. Sachant que la dérivée de la fonction arctan(x)

est1

x2 + 1, la formule de dérivation des fonctions composées donne :

(arctan(u)

)′=

1

u2 + 1u′

On obtient donc :

f ′(x) =1(

1

x

)2

+ 1

×(− 1

x2

)+

1

x2 + 1= 0

Puisque f ′(x) = 0, on en déduit que f(x) = C. Pour trouver la constanteC, il suffit de prendre la valeur de f(x) en n’importe quel point. Par exempleen x = 1, on a arctan(1) =

π

4et on trouve :

C = f(1) = arctan(1) + arctan(1) =π

4+π

4=π

2

On a donc démontré la formule (pour x ∈ R∗+) :

arctan

(1

x

)+ arctanx =

π

2



Corrigé ex. 63 : Primitives du logarithme

On applique la formule d’intégration par parties∫u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−

∫u′(x)v(x) dx

en prenant u(x) = log(x) et v′(x) = 1. On a donc u′(x) =1

xet v(x) = x.

On obtient : ∫log(x)× 1 dx = x log(x)−

∫1

xx dx

= x log(x)−∫

1 dx

= x log(x)− x+ C

Corrigé ex. 64 : Primitives du carré du sinus

On part de la formule du cosinus d’un angle double :

cos(2x) = 1− 2 sin2(x)

En inversant cette formule, on obtient :

sin2(x) =1

2

(1− cos(2x)

)On en déduit : ∫

sin2(x) dx =1

2

∫ (1− cos(2x)

)dx

=1

2

(x− 1

2sin(2x)

)+ C

=1

2x− 1

4sin(2x) + C

Corrigé ex. 65 : Surface de triangle


h

a

On va calculer la surface S du triangle de base [0, a] et de hauteur h aumoyen d’une intégrale.

La courbe représentant les deux côtés obliques du triangle a pour équation :

f(x) =

2h

ax si 0 ≤ x ≤ a/2

−2h

ax+ 2h si a/2 ≤ x ≤ a

On a donc :

S =

∫ a

0

f(x) dx

=

∫ a/2

0

2h

axdx+

∫ a

a/2

(− 2

h

ax+ 2h

)dx

=

[h

ax2

]a/20

+

[−hax2 + 2hx

]aa/2

=h

a

a2

4− 0− h

aa2 + 2ha+

h

a

a2

4− 2h

a

2

=a× h

2

On retrouve la formule connue : “base multipliée par hauteur divisée par 2”.

Corrigé ex. 66 : Double intégration par parties


On pose I =

∫ π/2

0

e2x sin(2x) dx.

Pour appliquer la formule d’intégration par partie, on prend u(x) = sin(2x)et v′(x) = e2x. On en déduit u′(x) = 2 cos(2x) et v(x) = 1

2e2x.

Par conséquent :

I =[

sin(2x)1

2e2x]π/2

0−∫ π/2

0

(2 cos(2x)

)×(

1

2e2x

)dx

= 0− 0−∫ π/2

0

cos(2x)× e2x dx

= −K

Cette dernière intégrale (notéeK) se calcule aussi par partie en posant u(x) =cos(2x) et v′(x) = e2x. On en déduit u′(x) = −2 sin(2x) et v(x) = 1

2e2x. D’où :

K =

∫ π/2

0

cos(2x)× e2x dx

=[

cos(2x)1

2e2x]π/2

0−∫ π/2

0

(− 2 sin(2x)

)×(

1

2e2x

)dx

= −1

2eπ − 1

2+

∫ π/2

0

sin(2x)× e2x dx

= −1

2eπ − 1

2+ I

On a donc finalement :

I = −K = −(−1

2eπ − 1

2+ I

)On en tire la solution

I =eπ + 1

4

Corrigé ex. 67 : Intégrales

•∫ 1

0

x2 ex dx

Cette intégrale se traite par intégration par partie. On pose u(x) = x2 etv′(x) = ex. On en déduit u′(x) = 2x et v(x) = ex.

Par conséquent :∫ 1

0

x2 ex dx =[x2 ex

]10−∫ 1

0

(2x)× (ex) dx

= e− 0− 2

∫ 1

0

x ex dx


L’intégrale dans la dernière expression se traite aussi par intégration parpartie en posant u(x) = x et v′(x) = ex. On en déduit u′(x) = 1 et v(x) = ex.On obtient :

∫ 1

0

x ex dx =[x ex

]10−∫ 1

0

1× (ex) dx

= e− 0−[ex]1

0

= e− (e− 1)

= 1

Finalement, on trouve :

∫ 1

0

x2 ex dx = e− 2

•∫ 1

−1

1

x2 − 4dx

On décompose la fraction rationnelle en éléments simples :

1

x2 − 4=

1

4

[1

x− 2− 1

x+ 2

]

Par conséquent :

∫ 1

−1

1

x2 − 4dx =

1

4

∫ 1

−1

dx

x− 2− 1

4

∫ 1

−1

dx

x+ 2

=1

4

[log |x− 2| − log |x+ 2|

]1−1

= − log(3)

2

•∫ π/4

0

tan(x) dx

On calcule cette intégrale par changement de variable en posant u(x) =cos(x). On en tire du = − sin(x) dx.


Par conséquent : ∫ π/4

0

tan(x) dx =

∫ x=π/4

x=0

sin(x)

cos(x)dx

=

∫ u=√

2/2

u=1

−1

udu

=[− log(|u|)

]√2/2

1

= log(√

2)

=1

2log(2)

•∫ 1

−1

sin(x) e−x2

dx

On ne peut pas trouver de primitive pour la fonction sin(x) e−x2

mais onpeut obtenir la valeur de cette intégrale sans calculs ! En effet, la fonction estimpaire et son graphe est donc symétrique par rapport à l’origine.

Comme on intègre sur un intervalle symétrique (de -1 à 1), la partie del’intégrale de -1 à 0 (en rose sur la figure) est l’exact opposé de celle de 0 à 1 (enbleu sur la figure). Ces deux parties se compensent et l’intégrale vaut finalement0.

f(x) = sin(x)exp(− x2)

0 1

−1


Corrigé ex. 68 : Surface d’un quart de cercle

On considère l’intégrale I =

∫ 1

0

√1− x2 dx.

a) On la calcule par changement de variable.

Posons x = sin(u). On en déduit dx = cos(u) du. Lorsque u varie de 0 àπ/2, le sinus varie de 0 à 1 et par conséquent :

I =

∫ x=1

x=0

√1− x2 dx =

∫ u=π/2

u=0

√1− sin2(u) cos(u) du =

∫ π/2

0

cos2(u) du

On a vu dans le cours qu’une primitive de cos2(u) sur R+ est F (u) =1

2

(u+

1

2sin(2u)

). On obtient donc :

I =1

2

(F (π/2)− F (0)

)= π/4

b) La courbe d’équation y =√

1− x2 est un demi-cercle de rayon 1 car, enélevant au carré :

y2 = 1− x2 =⇒ x2 + y2 = 1

L’équation x2 + y2 = 1 est celle du cercle de centre 0 et de rayon 1 et on aici le demi-cercle supérieur puisque y ≥ 0.

L’intégrale calculée de 0 à 1 correspond à l’aire du quart de cercle situé dansla quadrant supérieur droit. Comme elle vaut

π

4, on en déduit que la surface

totale du cercle est 4× π

4= π.


f(x) = 1 − x2

0

1−1

S =π

4

Corrigé ex. 69 : Linéarisation de fonctions trigonométriques

a) On part des formules connues du sinus et du cosinus de l’angle double :{cos(2x) = 2 cos2(x)− 1

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

On calcule cos(3x) au moyen de la formule (vue en cours) du cosinus d’unesomme :

cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b

On prend ici a = 2x et b = x. D’où :

cos(3x) = cos(2x+ x)

= cos(2x) cos(x)− sin(2x) sin(x)

=(2 cos2(x)− 1

)cos(x)− 2 sin2(x) cos(x)

= 2 cos3(x)− cos(x)− 2(1− cos2(x)

)cos(x)

= 4 cos3(x)− 3 cos(x)

En inversant cette formule, on trouve une expression linéarisée de cos3(x) :

cos3(x) =1

4

(cos(3x) + 3 cos(x)

)


b) On en déduit les primitives de la fonction cos3(x) :∫cos3(x) dx =

1

4

∫ (cos(3x) + 3 cos(x)

)dx

=1

12sin(3x) +

3

4sin(x) + C

c) On utilise la même méthode pour trouver les primitives de la fonctionsin3(x).

La linéarisation conduit à la formule :

sin3(x) =1

4

(3 sin(x)− sin(3x)

)Les primitives sont :∫

sin3(x) dx = −3

4cos(x) +

1

12cos(3x) + C

Corrigé ex. 70 : Primitives de arc cosinus

On applique la formule de l’intégrale des fonctions réciproques :∫f−1(y) dy = y f−1(y)− F

(f−1(y)

)+ C

On prend ici f(x) = cos(x) et par conséquent f−1(y) = arccos(y).On obtient :∫

arccos(y) dy = y arccos(y)−sin(arccos(y))+C = y arccos(y)−√

1− y2 + C

Corrigé ex. 71 : Sinus et cosinus hyperboliques

On définit les fonctions :

sinh(x) =ex − e−x

2cosh(x) =

ex + e−x

2

a) On remplace par les définitions :

cosh2(x)− sinh2(x) =

(ex + e−x

2

)2

−(ex − e−x

2

)2

=(e2x + 2 + e−2x)− (e2x − 2 + e−2x)

4

=4

4= 1


b) La dérivée du sinus hyperbolique est :

(sinh(x)

)′=

(ex + e−x

2

)′=ex − e−x

2= cosh(x)

De la même manière, on trouve que(

cosh(x))′

= sinh(x).

c) On pose argsh(y) = log(y +

√1 + y2

).

On en tireexp

(argsh(y)

)= y +

√1 + y2

D’où

sinh(

argsh(y))

=1

2

((y +

√1 + y2)− (−y +

√1 + y2)

)= y

La fonction argsh(x) est donc la réciproque de sinh(x).

d) On utilise la formule pour la dérivée d’une fonction réciproque, vue dansla séance 9 : (

f−1)′

(y) =1

f ′(f−1(y)

)En prenant pour f la fonction sinh(x), on a f ′(x) = cosh(x) et on obtient :

(argsh

)′(y) =

1

cosh(

argsh(y)) =

1

cosh(x)

Or, par définition d’une fonction réciproque, on a :

argsh(y) = x ⇐⇒ y = sinh(x)

En appliquant la formule démontrée dans la première question, on trouve :

cosh(x) =

√sinh2(x) + 1 =

√y2 + 1

Finalement, on obtient :

(argsh

)′(y) =

1√y2 + 1

En échangeant x et y, on en déduit les primitives de la fonction1√

x2 + 1:

∫1√

x2 + 1dx = argsh(x) + C



Corrigé ex. 72 : Calcul algébrique


x− 3− 1

x+ 2< 1.

Le domaine de définition est Df = R\{−2, 3}.En réduisant au même dénominateur, l’inéquation s’écrit :

5

(x− 3)(x+ 2)< 1

Pour pouvoir passer le dénominateur dans le membre de droite, il faut con-naître son signe : comme c’est un polynôme qui a pour racines -2 et 3, cedénominateur est négatif si x est dans l’intervalle ]− 2, 3[ et positif sinon.

• Si x ∈]− 2, 3[

Le dénominateur est négatif et on obtient :

5 > (x− 3)(x+ 2) ⇐⇒ x2 − x− 11 < 0

Cette dernière expression a pour racines1± 3

√5

2et sera négative entre ces

racines. C’est bien le cas car l’intervalle ] − 2, 3[ est inclus dans l’intervalle]1− 3

√5

2,

1 + 3√

5

2

[.

• Si x 6∈]− 2, 3[

On obtient x2 − x− 11 > 0 qui impose x <1− 3

√5

2ou x >

1 + 3√

5

2.

Finalement, la solution est

x ∈

]−∞, 1− 3

√5

2

[∪]− 2, 3

[∪

]1 + 3

√5

2,+∞

[

Elle est illustrée par le graphique suivant qui représente la courbe de l’expressionde gauche de l’inéquation.


−4 −2 0 2 4 6

−3

−2

−1

01

23

f(x) =1

x − 3−

1

x + 2

1 − 3 5

2

1 + 3 5

2

Corrigé ex. 73 : Taux de variation

a) Quel taux de variation mensuel donnerait un taux semestriel de 10% ?Si r est le taux de variation mensuel et s le taux de variation semestriel, les

coefficients multiplicateurs sont 1 + r et 1 + s et doivent vérifier

(1 + r)6 = 1 + s = 1 + 10/100 ⇐⇒ 1 + r = 1.11/6 = 1.0160

On obtient donc r = 0.0160 = 1.60%.

b) Une grandeur a varié de +2.2%, -1.4%, 1.8% au cours de trois trimestres.De combien doit-elle varier au dernier trimestre pour retrouver sa valeur initiale?

Si r est le taux cherché, on doit avoir

(1 + 2.2/100)× (1− 1.4/100)× (1 + 1.8/100)× (1 + r) = 1

On obtient1.02583× (1 + r) = 1 ⇐⇒ 1 + r = 0.9748

Finalement r = 0.9748− 1 = −0.0252. Il faut un taux négatif de −2.52% pourretrouver la valeur initiale.

Corrigé ex. 74 : Polynômes


a) Factoriser le polynôme suivant

P (x) = x4 − x3 + x− 1

Ce polynôme a pour racine évidente 1. On peut donc factoriser (x− 1). Paridentification, on obtient :

P (x) = (x− 1)(x3 + 1)

Le polynôme x3 + 1 a pour racine évidente -1, ce qui permet de factoriser(x+ 1). On trouve, par identification :

x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1)

L’expression x2 − x + 1 a pour déterminant -3. C’est donc un polynômeirréductible sur R.

Finalement, on obtient

P (x) = (x2 − x+ 1) (x− 1) (x+ 1)

b) Étudier le signe du polynôme suivant

Q(x) = x3 − 2x2 − 11x+ 12

Ce polynôme a pour racine évidente 1. Il se factorise facilement en :

Q(x) = (x− 1) (x+ 3) (x− 4)

On fait un tableau des signes :

x −∞ −3 1 4 +∞

x+ 3 − 0 + + +

x− 1 − − 0 + +

x− 4 − − − 0 +

Q(x) − 0 + 0− 0 +

Corrigé ex. 75 : Somme de puissances

Calculer la somme

Sn = 1− 1

3+

(1

3

)2

−(

1

3

)3

+ ...+

(−1

3

)n


On applique la formule

1 + x+ x2 + · · ·+ xn =1− xn+1

1− x

avec x = −1

3.

On obtient :

Sn =

1−(−1

3

)n+1

1 +1

3

=3

4

(1−

(−1

3

)n+1)

Si n→ +∞, le terme(−1

3

)n+1

tend vers 0 puisque∣∣∣∣−1

3

∣∣∣∣ < 1 et la somme

Sn tend finalement vers3

4.

Corrigé ex. 76 : Systèmes d’équations linéaires

Résoudre le système 3× 3 suivant :−x− 3y + 2z = 3

2x− 2y − z = 7

x− 5y − 3z = 14

On peut résoudre ce système par élimination. En faisant les combinaisonslinéaires 2L1 + L2 et L2 − 2L3, on élimine les x et on obtient le système 2× 2suivant : {

−8y + 3z = 13

8y + 5z = −21

Par addition, on obtient z = −1 et, en remontant les calculs on en tire y = −2puis x = 1.

Il y a une solution unique (1,−2,−1) .

Corrigé ex. 77 : Équations de droites

a) Déterminer l’équation de la droite passant par les points A1 = (−2, 9) etA2 = (2, 1)

Si y = a x+ b est l’équation de la droite cherchée, on doit avoir{−2a+ b = 9

2a+ b = 1


Par soustraction, on obtient −4a = 8, d’où a = −2 et donc b = 5.L’équation de la droite est finalement y = −2x+ 5 .

b) Montrer que les trois A1 = (1,−1), A2 = (3,−7) et A3 = (−4, 14) sontalignés.

On cherche l’équation y = a x + b de la droite passant par les points A1 etA2. On obtient le système suivant :{

a+ b = −1

3a+ b = −7

On trouve facilement a = −3 et b = 2, d’où l’équation y = −3x+ 2.Pour montrer que les trois points sont alignés, il suffit de vérifier que le point

A3 satisfait l’équation de la droite. C’est bien le cas : −3(−4) + 2 = 14.

Corrigé ex. 78 : Fractions rationnelles

Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle suivante :

F (x) =−6x2 + 2x− 2

x3 − 2x2 − 5x+ 6

Le dénominateur se factorise facilement en

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x+ 2)(x− 1)(x− 3)

On cherche donc une décomposition sous la forme suivante :

F (x) =a

x+ 2+

b

x− 1+

c

x− 3

Par réduction au même dénominateur, on obtient :

F (x) =(a+ b+ c) x2 + (−4 a− b+ c) x+ 3 a− 6 b− 2 c

x3 − 2x2 − 5x+ 6

D’où, par identification :a+ b+ c = −6

−4 a− b+ c = 2

3 a− 6 b− 2 c = −2

La résolution de ce système 3× 3 conduit àa = −2

b = 1

c = −5


D’où finalement la décomposition :

F (x) = − 2

x+ 2+

1

x− 1− 5

x− 3

Corrigé ex. 79 : Domaine réalisable

Déterminer la région du plan où l’inéquation suivante est satisfaite :

|2x− y| ≤ 1

Cette inéquation est équivalente à la double inéquation suivante :

−1 ≤ 2x− y ≤ 1

On trace les deux droites d’équations respectives 2x− y = −1 et 2x− y = 1.L’origine satisfait la double inéquation, donc on hachure les régions qui ne

contiennent pas l’origine.On obtient le graphique suivant :

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

O

|2x−y|<1

Corrigé ex. 80 : Fonction réciproque

On considère la fonction

f(x) = 1 +

√2− 1

x


a) Déterminer son domaine de définition.

La fonction f est définie si et seulement si 2 − 1

x≥ 0 et x 6= 0. On en tire

1

x≤ 2 et donc x < 0 ou x ≥ 1

2. Le domaine de définition est finalement

Df =]−∞, 0[∪ [1

2,+∞[

b) Admet-elle une fonction réciproque ? Si oui, la calculer.On pose y = f(x) et on essaie d’extraire x en fonction de y. On obtient :

y = f(x)⇐⇒ y = 1 +

√2− 1

x

⇐⇒ y − 1 =

√2− 1

x

⇐⇒ (y − 1)2 = 2− 1

xet y > 1

⇐⇒ 1

x= 2− (y − 1)2

⇐⇒ x =1

2− (y − 1)2

On obtient donc finalement

f−1(y) =1

2− (y − 1)2=

1

1 + 2y − y2

définie pour y > 1 et y 6= 1 +√

2 (qui annule le dénominateur et qui correspondà la limite de f lorsque x tend vers l’infini).

Corrigé ex. 81 : Suites

On considère l’équation de récurrence

un+1 =3un − 8

2un − 5

a) On pose vn =1



On calcule

vn+1 − vn =1

un+1 − 2− 1

un − 2

=1

3un − 8

2un − 5− 2− 1

un − 2

=2un − 5

−un + 2− 1

un − 2

=2un − 4

−un + 2

= −2

On a donc la relation vn+1 = vn − 2 qui montre que {vn} est une suitearithmétique de raison -2.

b) En déduire la forme explicite des suites (un) solutions de l’équation.On a donc la forme explicite vn = −2n+ v0 et on en tire un :

vn =1

un − 2⇐⇒ − 2n+ v0 =

1

un − 2

⇐⇒ un − 2 =1

−2n+ v0

⇐⇒ un = 2 +1

−2n+ v0

⇐⇒ un =4n− 2v0 − 1

2n− v0

c) Trouver la suite solution correspondant à la valeur initiale u0 = 1.En posant n = 0 dans la formule, on trouve v0 = −1 et, en reportant cette

valeur, on obtient la suite solution un =4n+ 1

2n+ 1.

Corrigé ex. 82 : Limites


a) limx→+∞

√x2 + 3x− 1− x

On multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée decette expression, c’est-à-dire

√x2 + 3x− 1 + x. On obtient

limx→+∞

(√x2 + 3x− 1− x)(

√x2 + 3x− 1 + x)√

x2 + 3x− 1 + x= limx→+∞

x2 + 3x− 1− x2

√x2 + 3x− 1 + x


En +∞, le numérateur est équivalent à 3x et le dénominateur est équivalentà√x2 + x = 2x. On obtient finalement :

limx→+∞

3x

2x=

3

2

b) limx→0

cos(x2)− 1

log(1 + 3x4)

On procède par équivalents en utilisant les relations suivantes vues dans lecours : cos(X) ∼

01− X2

2log(1 +X) ∼

0X

On obtient donc

limx→0

cos(x2)− 1

log(1 + 3x4)= limx→0

1− (x2)2

2− 1

3x4= limx→0

−x4

23x4

= −1

6

Corrigé ex. 83 : Dérivées

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

a) f(x) = x e−x3

On trouve, par dérivation du produit : f ′(x) = e−x3

(1− 3x3).

b) f(x) = log

(√x2 − 1

x2 + 1

)

On suppose que la quantité x2 − 1 est strictement positive.On commence par simplifier le logarithme :

f(x) =1

2log

(x2 − 1

x2 + 1

)=

1

2log(x2 − 1)− 1

2log(x2 + 1)

On obtient donc

f ′(x) =x

x2 − 1− x

x2 + 1=

2x

(x2 − 1)(x2 + 1)=

2x

x4 − 1


Corrigé ex. 84 : Primitives et intégrales

a) Trouver, au moyen d’une intégration par parties, les primitives de lafonction f(x) = x cos(2x).

On applique la formule d’intégration par parties∫u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−

∫u′(x)v(x) dx

en posant u(x) = x et v′(x) = cos(2x). On en déduit u′(x) = 1 et v(x) =1

2sin(2x).

Par conséquent :∫x cos(2x) dx =

1

2x sin(2x)− 1

2

∫sin(2x) dx

=1

2x sin(2x) +

1

4cos(2x) + C

b) Calculer l’intégrale∫ 1

−1

√1− x2

4dx

On pose x = 2 cos(u), ce qui implique que dx = −2 sin(u)du. Lorsque x

varie de -1 à 1, cos(u) varie de −1

2à

1

2et on fait donc varier u de

2π

3àπ

3.

On obtient :∫ 1

−1

√1− x2

4dx =

∫ π3

2π3

√1− cos2(u)

(− 2 sin(u)

)du

= 2

∫ 2π3

π3

sin2(u) du

Cette dernière intégrale (où le signe a été changé en intervertissant lesbornes) se calcule par linéarisation. On a vu, dans un exercice du cours, que :

sin2(u) =1

2

(1− cos(2u)

)Par conséquent : ∫

sin2(u) du =1

2u− 1

4sin(2u) + C


On en déduit que

2

∫ 2π3

π3

sin2(u) du =[u− 1

2sin(2u)

] 2π3

π3

=

[2π

3+

√3

4− π

3+

√3

4

]

=π

3+

√3

2

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