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http://mathemitec.free.fr/index.php
Seconde : Chapitre IV : Exercices corrigs sur Les vecteurs
Fiche dexercices corrigs Vecteurs
Exercice 1 :
On se place dans un repre (O ;
i ,
j ).
Soient les points A(- 72 ; 2), B(-2 ; 5), C(5 ;
132), D(3 ;
52).
1. Dterminer les coordonnes des vecteurs
AB et
CD.
2. En dduire que le quadrilatre ABCD est un trapze.
3. On dfinit le point I par lgalit :
IA = 34
ID .
Montrer que les coordonnes de I sont (-23 ; 12).
4. Les points I, B et C sont-ils aligns ? 5. J et K tant les
milieux respectifs de [AB] et [CD], dterminer les coordonnes de
J et K. Dmontrer alors que les points I, J et K sont aligns.
Exercice 2 :
ABC est un triangle.
1. Placer les points D, E et F tels que :
AD = 32
AB + 32
AC ;
BE = - 12
CB
et F est le milieu de [AC].
2. Exprimer, en justifiant, le vecteur
AB en fonction de
FE .
3. a) Exprimer le vecteur
AE en fonction de
AB et
AC. b) En dduire un rel k tel que
AD = k
AE. c) Que peut-on alors conclure ?
4. a) Placer le point M tel que :
MA 3
MB =
0 b) Placer le point G symtrique de F par rapport C.
Montrer que
GA = 32
CA puis que
GD = 32
AB.
c) En dduire la nature du quadrilatre AMDG.
Exercice 3 :
ABC est un triangle
1. Placer les points H et G vrifiant les relations suivantes
:
AH = - 34
AB + 12
AC et
BG = - 74
AB + 32
BC
2. On choisit le repre (A ;
AB,
AC)
a) Donner les coordonnes des points A, B et C dans ce repre. b)
Dterminer les coordonnes des points H et G dans ce repre.
3. Les points A, G et H sont-ils aligns ?
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Seconde : Chapitre IV : Exercices corrigs sur Les vecteurs
Correction
Exercice 1:
Dans un repre (O ;
i ,
j ), A(-72 ; 2), B(-2 ;5), C(5 ;
132) et D(3 ;
52).
1.
AB
xB xA
yB yA
AB
-2
-72
5 2
AB
3
2
3 et
CD
3 5
52
132
CD
-2
-4
2. xy xy = 32 (-4) (-2) 3 = -6 + 6 = 0.
Donc
AB et
CD sont colinaires et les droites (AB) et (CD) sont parallles.
En conclusion, ABCD est un trapze.
3. I(xI ; yI)
IA
-
72 xI
2 yI
et
ID
3 xI
52 yI
. Lgalit
IA = 34
ID nous donne :
- 72 xI =
34(3 xI) cest dire -
72 xI =
94 34 xI
2 yI = 34
5
2 yI cest dire 2 yI =
158 34 yI
La premire galit donne : 14 xI = -
72 94 = -
234 donc xI = -23
La deuxime galit donne : 14 yI = 2
158 =
18 donc yI = -
12 et I(-23 ; -
12)
4.
IB
-2 (-23)
5 12
IB
21
92
et
IC
5 (-23)
132 12
IC
28
6
xy xy = 21 6 28 92 = 126 126 = 0
Donc
IB et
IC sont colinaires et les points I, B et C sont aligns.
5. a) J est le milieu de [AB], do xJ =
xA + xB2
=
-72 2
2 = -
114
yJ = yA + yB
2 =
2 + 52
= 72
et J(-114 ; 72).
K est le milieu de [CD], do
xK = xC + xD
2 =
5 + 32
= 4
yK = yC + yD
2 =
132 +
52
2 =
92
donc K(4 ; 92).
b)
IJ
- 11
4 (-23)
72 12
IJ
81
4
3 et
IK
4 (-23)
92 12
IK
27
4
or xy xy = 814 4 27 3 = 81 81 = 0
Donc
IJ et
IK sont colinaires et les points I ,J et K sont aligns.
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Exercice 2 :
1. 2. Dans le triangle ABC, E est le milieu de [BC] F est le
milieu de [AC] Donc daprs le thorme des milieux,
AB = 2
FE . 3. a)
AE =
AB +
BE daprs la relation de Chasles
=
AB 12
CB =
AB 12
CA 12
AB = 12
AB + 12
AC
b) 3
AE = 3 12
AB + 3 12
AC = 32
AB + 32
AC do
AD = 3
AE.
c) Les vecteurs
AD et
AE sont alors colinaires et les points A, D et E sont aligns. 4.
a)
MA 3
MB =
0 nous donne
MA 3
MA 3
AB =
0
on a alors -2
MA = 3
AB et
AM = 32
AB (ceci nous permet alors de placer le point M).
b) G est le symtrique de F par rapport C, do C est le milieu de
[FG] et
CG =
FC.
GC =
CF = 12
CA do
GA =
GC +
CA = 12
CA +
CA = 32
CA.
GD =
GA +
AD = 32
CA + 32
AB + 32
AC = 32
AB + 32(
CA +
AC) = 32
AB.
c) On a alors
GD = 32
AB et
AM = 32
AB
do
GD =
AM et le quadrilatre AMDG est un paralllogramme. Exercice 3
:
1. 2. Dans le repre (A ;
AB,
AC) a) A(0 ; 0) B(1 ; 0) et C(0 ; 1)
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b)
AH = - 34
AB + 12
AC
et
AB
1
0 ;
AC
0
1 do
AH
-3
4
12
et H(-34 ; 12) car A est lorigine
du repre
BG = - 74
AB + 32
BC
BC
0 1
1 0
BC
-1
1 do
BG
-7
4 32
0 + 32
BG
-13
4
32
et
BG
xG 1
yG
do xG 1 = -134 ce qui donne xG = -
94 et yG =
32 . Donc G(-
94 ; 32).
3. A tant lorigine du repre (A ;
AB,
AC)
AG
-9
4
32
et
AH
-3
4
12
xy xy = -94 12
-34 32 = -
98 +
98 = 0
Donc les vecteurs
AG et
AH sont colinaires et les points A, G et H sont aligns.
