Vers des Familles de Situations d’Interaction

Indexées par les compétences algébriques

Brigitte Grugeon Lalina Coulange DIDIREM Paris 7 DIDIREM Paris 7 IUFM d’Amiens IUFM de Créteil

Jean-Michel Gélis Françoise Chenevotot DIDIREM Paris 7 DIDIREM Paris 7 IUFM de Versailles IUFM d’Arras

Axe apprentissageAxe apprentissage

Objectif : Élaborer des situations d’apprentissage EIAH en algèbre

Pour répondre aux difficultés / profils d’élèves dans PEPITEEnvisager des parcours différenciés d’apprentissage

ProblématiqueProblématique

Comment déterminer les situations d’apprentissage et les paramétrer pour les générer automatiquement, en vue de définir des parcours d’apprentissage différenciés, adaptés aux profils d’élèves en algèbre ?

Comment l’articulation entre des résultats de recherche en didactique des mathématiques et en informatique permet-elle d’avancer dans cette recherche ?

Environnement interactif en algèbreEnvironnement interactif en algèbre

PEPITE

PEPISTEREO

Elève

Enseignant Profils d’élève

Situations p/c ou logicielles

AILE AMICO CIME APLUSIX ….

Parcours d’apprentissage

Le domaine de l’algèbre Le domaine de l’algèbre élémentaireélémentaire

dimension objet Objets de l’algèbre : expressions, formules, équations Systèmes de représentation de ces objets,

en particulier, le système de représentation symbolique algébrique en articulation avec d’autres systèmes de représentation

dimension outil, selon les champs de problèmes Outil de résolution via leur modélisation

pour des problèmes arithmétiques formulés en langue naturelle sous forme d’équations

et au-delà, pour des problèmes intra ou extra mathématiques sous forme de relations fonctionnelles entre données et variables

Outil de généralisation et de preuve dans le cadre numérique Outil de calcul dans les cadres algébrique et fonctionnel

Modèle de la compétence algébrique à ce niveau scolaire

Dimensions du savoir algébriqueDimensions du savoir algébrique

Généralisation/ preuve Calcul algébrique

Modélisation fonctionnelle Expressions Equations ...

Modélisation équationnelle

Arithmétique Géométrique …

Dimension outil Dimension objet

Famille de situations Famille de situations d’apprentissage en algèbre d’apprentissage en algèbre

élémentaireélémentaire

Point de vue didactique

- Découpage multidimensionnel du savoir algébrique (Grugeon et al. 2003)

- Problème (ou tâche) fondamental(e) Variables didactiques : expressions algébriques, problèmes arithmétiques(Bardini 2003, Brousseau 1982, Coulange 2001)

- Réponses a didactiques du système aux actions d’élèves(Brousseau 1986)

Point de vue EIAH

(Delozanne et Dubourg 1995, Grugeon et al. 2003)

Un exemple :Un exemple :

Bouchons les trous

« Bouchons les trous » « Bouchons les trous » (René de Cotret)(René de Cotret)

Famille de situations :Famille de situations :« Bouchons les trous »« Bouchons les trous »

Objectif d’apprentissage : Mettre en équation des problèmes

Tâche : Compléter le libellé d’un problème à partir d’une ou

plusieurs équations données ou l’inverse

Paramètres Tâches Interactions (système-élève) associées

ParamètresParamètres

Paramètres : liés aux variables didactiques relatives à l’énoncé via

le canevas Nature du problème donné : relations numériques en jeu dans le

problème, forme écrite plus ou moins congruente avec les équations.

Les équations données : nombre d’équations et d’inconnues, équations de forme plus ou moins congruente avec l’énoncé

Le (ou les) trou(s) : nombre de trous, au sein du problème ou de l’équation, contenu du trou (opérateurs, données numériques, etc.)…

liés aux variables relatives actions et stratégies du système type de suivi, rétroactions logicielles ( analyse a priori) outils mis à disposition (palette de mots ou de chiffres, feuille de

calcul,..)

Prototype CIME : Problèmes de type rapport et différence générés

automatiquement

Énoncé

Il y a de billes dans le sac de Marie que dans celui de

Pierre. Or Marie en a que Pierre.

Combien chaque enfant a-t-il de billes ?

Équations

x = 4 yx - y = 36

Complète l’énoncé, en étudiant les équations

fois moins

plusde

09876

54321

Continuer

Énoncé

Il y a de billes dans le sac de Marie que dans celui de

Pierre. Or Marie en a que Pierre.

Combien chaque enfant a-t-il de billes ?

4 fois plus

Équations

x = 4 yx - y = 36

x désigne le nombre de billes de y désigne le nombre de billes de

Marie

Pierre

Marie

Pierre

36 de moins

Revenir à l’énoncé Continuer

Avec : x désigne le nombre de billes de Marie et y désigne le nombre de billes de Pierre

Énoncé

Il y a de billes dans le sac de Marie que dans celui

de Pierre. Or Marie en a que Pierre.

Combien chaque enfant a-t-il de billes ?

Équations

x = 4 yx - y = 36

4 fois plus

36 de moins

Revenir à l’énoncé

l’énoncé : Il y a quatre fois plus de billes dans le sac de Marie que dans celui de Pierre. Or Marie en a 36 de moins que Pierre. Combien chaque enfant a-t-il de billes ?

se ramène à : x = 4 yy -x = 36

Énoncé

Il y a de billes dans le sac de Marie que dans celui de

Pierre. Or Marie en a que Pierre.

Combien chaque enfant a-t-il de billes ?Équations

x = 4 yx - y = 36

Complète l’énoncé, en étudiant les équations

fois moins

plusde

x désigne le nombre de billes de Marie et y désigne le nombre de billes de Pierre

09876

54321

Continuer

Génération d’une famille de situations Génération d’une famille de situations « Bouchons les trous »« Bouchons les trous »

N fois plusN fois moins

P de plusP de moins xx = = NyNy ou ou x = 1/N yx = 1/N y

xx = = y y + + P P ou ou x = y - Px = y - P

Formulation en langage naturel d’un problème rapport et différence

variables didactiques : relations (implicites-explicites : congruence sémantique), équations

initiales, équations données, trou(s)

Génération de situations et d’interactions, Génération de situations et d’interactions,

liées aux valeurs des variables didactiquesliées aux valeurs des variables didactiques

Énoncé type : Il y a _____ de billes dans le sac de Marie que dans le sac de Pierre.Or Marie en a ______ que Pierre. Combien chaque enfant a-t-il de billes ?

x = 2yx = y + 36

Exacte Fausse pour 1er trouFausse pour 2e trouFausse pour 1er et 2e trou

Réponse 1er trou et 2e trou

Réponse 1er trou et 2e trou Fois, plus, moins, de, Chiffres

x désigne…y désigne…

Nombre de billes de MarieNombre de billes de Pierre

Contradictiondésignation des inconnuesréponse fausse 1er/2e trou et système d’équations

énoncé correspondant

Profil et situations d’interaction adaptéesProfil et situations d’interaction adaptées

Une étude de cas

Une nouvelle modélisation cognitiveUne nouvelle modélisation cognitive

Ancien Pépite : Profil individuel complexe

Description quantitative : traitements maîtrisésDescription qualitative sur 6 composantesDiagramme de flexibilité entre registre

Restructuration des profils : Un Profil =

Un stéréotype +Des caractéristiques personnelles

– leviersleviers– fragilités fragilités – liste des erreursliste des erreurs

Une élève : BlandineUne élève : Blandine

Stéréotype Outil algébrique peu mobilisé et faiblement maîtrisé (9%) Traduction partiellement maîtrisée (55%) Calculs insuffisamment réalisés et parfois non opératoires (37%)

Leviers Interprétation disponible dans le cadre algébrique (55%) Capacités à passer du langage naturel à l’écriture algébrique

Fragilités Erreurs de parenthésage, Usage incorrect des opérateurs (linéarisation et assemblage des termes)

Stratégie pour déterminer les situations d’apprentissage

1. A partir du stéréotype Travailler en priorité la dimension outil (modélisation équationnelle ou fonctionnelle)

2. Caractéristiques propres de l’élève choix de situations d’interaction

Situations adaptées à Blandine (1)Situations adaptées à Blandine (1)

Généralisation/ preuve Calcul algébrique

Modélisation fonctionnelle Expressions Equations ...

Modélisation équationnelle

Arithmétique Géométrique…

…

Appartenance à un stéréotype : faible

maîtrise de l’outil algébrique

Caractéristiques personnelles de l’élève

Mise en équation de problèmes type “partage en parties inégales”

Situations adaptées à Blandine (2)Situations adaptées à Blandine (2)

Caractéristiques personnelles de l’élève

Situations de type « Bouchons les trous »

Mise en équation et résolution de problèmes somme et rapport…

Réussites Langage Algébrique - Trou dans l’équation

Erreurs liées aux opérateursRéussites Langage Algébrique

- Deux problèmes : somme et rapport

Énoncé

Marie a huit fois plus de billes que Pierre. Marie et Pierre ont 72 billes

ensemble. Combien chaque enfant a-t-il de billes ?

Équations

x = x + y = 72

Complète l’équation, en étudiant l’énoncé

x y

)(

09876

54321

Continuer

+

-/

Énoncé

Équations

Complète l’équation, en étudiant l’énoncé

x y

)(

09876

54321

Continuer

+

-/

Le premier tas contient quatre fois plus de cailloux que le deuxième tas. Le

troisième tas a six cailloux de plus que le deuxième tas. Les trois tas

contiennent ensemble 60 cailloux. Combien y a-t-il de cailloux dans chaque

tas?

x = 42

Énoncé

Il y a deux tas de cailloux. Le premier tas contient six fois plus de cailloux

que le deuxième tas. Les deux tas réunis contiennent 42 cailloux.

Combien y a-t-il de cailloux dans chaque tas?

Équations

x = 42

09876

54321

Continuer

x y

)(

+

-/

Complète l’équation, en étudiant l’énoncé