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Des progressions pour l’enseignement de l’algèbre

Brigitte GrugeonIUFM d’Amiens et DIDIREM

Élisabeth DelozanneIUFM de Créteil et LIUM

Stage de Formation PAF http://maths.creteil.iufm.fr/formation_continue/web_mat008

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Plan

Comment analyser les progressions des manuels ?Place de l’algèbrePrise en compte des ruptures mises en évidence (entre arithmétique et algèbre, ..)Choix de critères

Des éléments à prendre en compte pour accompagner les ruptures

à chaque niveau d’enseignemententre deux niveaux d’enseignement

Des pistes pour des progressions

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Plan (suite)

Comment analyser les progressions des manuels ?Des éléments à prendre en compte pour accompagner les ruptures Des pistes pour des progressions

Choix de problèmes pour introduire la résolution formelle d’équationsChoix de problèmes pour des séances de remédiation

Synthèse

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Place de l’algèbre

Retour sur les programmes

L ’organisation des manuels

La place de l’algèbre en liaison avec l’entrée dans le raisonnement mathématique

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Programmes de 6°,5°, 4, 3°, 2nde

Objectif principal des « travaux numériques » :Résolution de problèmes issus de domaines variés (géométrie, gestion de données, autres disciplines, vie courante)

En 6°Intérêt propreContinuité avec l’école élémentaireAssocier à une situation concrète une activité numériqueSaisir le sens des opérations et équations aux programme

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Programmes de 6°,5°, 4, 3°, 2nde

En 5°Problèmes associant situations et activités numériquesRenforcent le sens des opérations numériques et littéralesL’initiation aux écritures littérales se poursuit mais le calcul littéral n’est pas au programme

En 4°La résolution de problèmes nourrit les activités numériques et littéralesNe pas privilégier les exercices de technique pureCalcul littéral introduit avec prudenceVeiller à ce que les élèves puissent donner du sens (ex. utilisation de formules de science et techno)

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buts recherchés par le programme

Développer progressivement la pensée symboliqueComment ?

Amener les élèves à recourir au calcul algébrique

Accompagner  le passage

du langage naturel augmenté du calcul sur des nombres

à la représentation formelle et au calcul sur des expressions littérales pour résoudre des problèmes

Rendre fonctionnelles les écritures littérales pour les élèves

afin qu’ils les mobilisent pour résoudre des problèmes où le recours à l’outil algébrique est nécessaire.

hypothèse

ces ruptures dont la prise en compte est peu marquée sur le plan institutionnel et dans la classe

peuvent être la source d’importantes difficultés chez les élèves.

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Par niveau

5ième 4ième 3ième 2nde

Types deproblèmes

Signed’égalité

Calculalgébrique

Articulationregistres

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Prise en compte des ruptures dans l’enseignement de

l’algèbreDes critères retenus : la prise en compte

du rôle de l’algèbre comme outil de résolution (production d’expressions, généralisation, preuve, modélisation) en liaison avec le statut des lettres et les types de problèmes

du statut du signe d’égalité

des différents aspects de la manipulation formelle (syntaxique, sémantique, technique)

de la nécessaire articulation entre l’écriture algébrique et d’autres modes de représentation

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Outils de travail

Pour réaliser diagnostic puis « remédiation », à chaque exercice on associe :

une liste d’objectifs et une grille descriptive caractérisant le type de solution attendu,

une grille d’analyse permettant de décrire les productions des élèves relatives à chaque exercice compte tenu du type de solution attendu, des démarches et des modalités incorrectes de fonctionnement envisageables.

La grille descriptive précise les compétences algébriques mises en jeu par l’exercice :

l’activité algébrique à réaliser, les lettres et objets à mettre en jeu pour la résolution (ici,

formules ou expressions algébriques ou équations ou fonctions et le statut des lettres associé) ainsi que les transformations à réaliser,

et de plus

le ou les registres de représentation à gérer, le niveau de rationalité algébrique attendu.

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Des pistes pour des progressions

En cinquième, des étapes pour une entrée dans l’algèbre

En quatrième, des étapes pour faire du calcul littéral

Des pistes pour gérer la transition entre la troisième et la seconde

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En 5ième : des étapes pour une entrée dans l’algèbre

Travailler la pratique de l’écriture et du calcul des expressions numériques en liaison avec d’autres registres

Faire résoudre des problèmes aux élèves pour leur faire produire des formules qui expriment de façon générale un calcul ou une

propriété Permettre ainsi aux élèves de découvrir de nouveaux statuts des lettres et de donner du sens aux expressions littérales,

Permettre aux élèves de faire émerger la non-unicité des lettres, la non-unicité des écritures,

Permettre aux élèves d’utiliser les règles d’écriture mathématique (parenthésage, priorité des opérations, ...) et de mettre en évidence les implicites liées aux écritures (syntaxique)

Renforcer l’idée que le symbole « =«  n ’est pas seulement un signe d’annonce de résultat

Amener les élèves à concevoir qu’on peut réécrire des expressions littérales : selon le choix des écritures (sémantique), la résolution d ’un problème peut en être facilitée

Aborder la résolution des équations à partir de la résolution de problèmes

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Exemples de situations

Situations de modélisation conduisant à des formules mathématiques, à des écritures mathématiques généralisant une relation donnée, à des écritures génériques où les lettres apparaissent comme des variables

(situation des carreaux, situation de message , …

Situation de preuve dans le cadre algbrique : une assertion mathématique “n² = 2n” est-elle vraie ?

Situations de modélisation, de message qui permettent de mettre en évidence des règles de formation des expressions algébriques, la non unicité du choix des lettres, de débattre de l’équivalence ou non des formules syntaxiquement proches, …(famille de figures (INRP), périmètre d’un polygone (Dupérret), …)

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Situation des carreaux

But : Amener les élèves à établir une formule permettant le calcul du nombre de carreaux hachurés d’une figure construite sur le modèle ci-contre, quel que soit le nombre de carreaux sur le côté du carré.

Objectif : Passage d’une formulation écrite à une formule mathématique

Enjeu :Activité algébrique attendue : utilisation de l’algèbre pour produire une formule, pour généraliser

Statut des objets en jeu : nombres généralisés

Articulation entre les registres de représentation : des dessins, des écritures numériques, du langage naturel, des écritures littérales

Travail dans le registre des écritures algébriques sur la non unicité des lettres, des écritures, sur les règles d’écriture

Organisation : Différentes phases du scénario envisagées

Modalités de travail prévues

Gestion de la classe envisagée pour faire vivre cette situation

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Stratégies d'introduction de l'algèbre (A partir des travaux anglo-saxons (Bernarz, Kieran, Lee, 1996) et

français)

Quatre perspectives d’introduction de l’algèbreApproche par la généralisation / justificationApproche par la résolution de problèmes /mise en équationApproche par la modélisationApproche fonctionnelle et technologique

Nécessaire complémentarité des approches pour développer une nécessaire flexibilité et adaptabilité dans l’interprétation des lettres et des expressions dans différents modes de représentations pour en faire des usages variés

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Approche par la généralisation / justification

Objectifs : • Engager les élèves dans la construction de la

rationalité algébrique• Faire émerger les nombres généralisés comme

préconcepts des variables• Engager les élèves dans l’utilisation du symbolisme

pour mémoriser propriétés

Difficultés :• Accès à l’utilisation des nombres généralisés, à la

production de formules• Gestion de nécessaires phases de formulation

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Approche par la résolution de problèmes (culturelle)

Objectifs : Engager les élèves dans la mise en équation et la résolution des équationsFaire émerger le concept d’inconnue et de raisonnement algébrique

Difficultés : Nécessaire choix des problèmes en rupture avec l’arithmétiqueAccès au raisonnement algébrique

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Approche par la modélisation

Objectifs : Faire émerger le concept de grandeur, variableEngager dans la production de formules avec du sens

Difficultés : Choix des situations réelles adaptéesAccès à l’utilisation des variables, à la production de formulesGestion de nécessaires phases de formulation

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Approche fonctionnelle et technologique

Objectifs : Faire émerger le concept de variable, négocier la rupture avec l’arithmétique

Engager les élèves dans la flexibilité entre différents modes de représentation : tableau de nombres, représentation graphique, symbolisme algébrique (dans un environnement informatique)

» variable inconnue

Difficultés : Accès à la flexibilité entre modes de représentation, mais semble faciliter l’accès au raisonnement algébrique pour la résolution d’équations

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En 4ième : des étapes pour faire du calcul littéral

Mettre en place des problèmes motivant la transformation d’écritures littérales (situations permettant de travailler les règles de formation, de transformation des écritures)Mettre en place des situations pour faire évoluer le statut de la lettre dans une expression littérale et les jeux d’interprétation dans la transformation d’écritures (classement d’égalités, situation de modélisation, de généralisation)Mettre en place des situations où l’algèbre apparaît comme un outil de preuve

dans le cadre numérique (propriétés des entiers)dans le cadre géométrique

Amener les élèves à concevoir qu’on peut réécrire des expressions littérales : selon le choix des écritures, le changement de registre, la résolution d’un problème peut en être facilitée Négocier le passage d’une démarche arithmétique vers une démarche algébrique pour résoudre une équation

Complémentarité des approches (INRP, Duperret) et choix des situationsDistinction des moments : mise en équation puis résolution (INRP)

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Négocier le passage d’une démarche arithmétique vers une démarche algébrique

pour résoudre une équation

Insister sur la phase de mise en équation, voire la séparer de la résolution.

Utiliser des problèmes se ramenant à une équation du type ax +b = cx +d

Au début, proposer un énoncé conduisant à des relations fonctionnelles : parmi toutes les valeurs possibles, chercher celle pour laquelle deux expressions sont égales.

Proposer une grande variété de problèmes nécessitant l’outil algébrique en dehors d’un aspect algorithmique : reformulation de l’énoncé, transformation de formules, relations mettant en jeu plusieurs variables.

Mettre en scène les problèmes et permettre des essais et un débat sur les procédures utilisées.

Jouer sur des variables didactiques (le domaine numérique) pour faire évoluer les procédures.

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Introduction à la résolution algébrique des équations

Exercice 1 Deux élèves, Alice et Bertrand, ont chacun une calculatrice. Ils

affichent le même nombre sur leur calculatrice. Alice multiplie le nombre affiché par 3, puis ajoute 4 au résultat obtenu. Bertrand, lui, multiplie le nombre affiché par 2, puis ajoute 7 au résultat obtenu.

Quand ils ont terminé, ils s’aperçoivent que leurs calculatrices affichent exactement le même résultat.

Quel nombre ont-ils affiché au départ ?

Objectifs : Faire vivre les limites des démarches arithmétiquesMettre en évidence les règles d’écriture des équations

Ce qui est en jeu :

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Résolution algébrique d’équation (suite)

Ce qui est en jeu

Activité algébrique : Production d’une équation

Gestion des écritures algébriques : Règles d’écriture des équations

Statut des objets :

Double statut du signe d’égalité Double statut des lettres utilisés pour désigner les nombres : variable et inconnue

Double interprétation des objets : d’ordre procédural ou structurel

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Résolution algébrique d’équation (suite)

Analyse a priori : solutions envisageables :Les stratégies possibles

Par essais-erreurs dans le numérique :

Par une mise en équation (après changement de valeur des coefficients) : plusieurs selon le nombre de lettres, le nombre d’équations et le type d’écriture utilisé

1er cas : deux équations

Correct Incorrect Incorrectx x 3 + 4 = y x x 3 = y + 4 = z x x 3 + 4 = y x x 2 + 7 = y x x 2 = y + 7 = z x x 2 + 7 = z

2ème cas : une suite d’égalitésCorrect

x x 3 + 4 = x x 2 + 7 = y

3ème cas : une seule équation

Correct Incorrect Incorrectx x 3 + 4 = x x 2 + 7 ou x x 7 + 9 = y soit x x 3 + 4 =

y... x 3 + 4 = ... x 2 + 7 x x 5 + 11 = y soit x x 2 + 7 = z

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Introduction à la résolution algébrique des équations (suite)

Exercice 2 Les deux carrés (1) et (2) ont le même périmètre.Quelle est la longueur du côté du carré (1).

Ce qui est en jeu Activité algébrique : Production d’une équation

Gestion des écritures algébriques : Règles d’écriture des équations

Statut des objets :Double statut du signe d’égalité Double statut des lettres utilisés pour désigner les nombres : variable et inconnue

Double interprétation des objets : d’ordre procédural ou structurel Articulation entre registres : registre des dessins et celui des écritures algébriques

Analyse a priori

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Exercice 2 (suite)

Analyse a priori : Les stratégies possibles

Par essais-erreurs dans le numérique :

Par une mise en équation : plusieurs selon le nombre de lettres, le nombre d’équations et le type d’écriture utilisé

1er cas : des équations

Correct Incomplet4 L1 = P1 L1 + L2 = 10

4 L2 = P2 P1= P2

L1 + L2 = 10 ou ...

2ème cas : une suite d’égalités

Correct4 L1=P1= 4x(10 -L1 )= P2

3ème cas : une seule équationCorrect Incorrect

4 L1 = 4 x (10 -L2 ) ou 4 L1 = 4 x 10 -L2 ou

4 ... = 4 x (10 - ...) ou 4 L2 = 4 x 10 -L1

4 L2 = 4 x (10 -L1 )

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Introduction à la résolution algébrique des équations (suite)

Exercice 3Un homme a 23 ans de plus que son fils, 31 ans de

moins que son père. La somme des âges des trois personnes est 119 ans. Calculez les âges.

Ce qui est en jeu Actvité algébrique : Production d’une équation

Gestion des écritures algébriques : Règles d’écriture des équations

Statut des objets :Double statut du signe d’égalité Double statut des lettres utilisés pour désigner les nombres : variable et inconnueDouble interprétation des objets : d’ordre procédural ou structurel

Articulation entre registres : registre du langage naturel et celui des écritures algébriques (les représentations ne sont pas congruentes)

Analyse a priori

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Exercice 3 (suite)

Analyse a priori : Les stratégies possiblesPar essais-erreurs dans le numérique :

Par une mise en équation : plusieurs selon le nombre de lettres, le nombre d’équations et le type d’écriture utilisé

x1 âge du fils, x2 âge de l’homme, x3 âge du père

1er cas : des équations

Correct Incomplet x1 = x2 - 23 x1 + x2 + x3 = 119

x3 = x2 + 31 ou ..

x1 + x2 + x3 = 119

2ème cas : une seule équation

Correct Incorrect(x2 -23) +x2 + (x2 + 31) = 119

Travail sur des reformulations internes au registre du langage naturelTravail sur des représentations schématiques pour permettre l’articulation entre les registres.

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Articulation troisième / secondeLes ruptures repérées

Manipulation formelle enfermée dans des exercices non finalisés

Emploi de l’outil algébrique associé le plus souvent à des situations familières guidant la résolution

Grande place laissée à une interprétation des expressions en termes de processus de calcul

Grande place laissée au statut d’inconnue, à la mise en équation de problèmes familiers et à la résolution d’équation

Manipulation formelle engagée dans de nouveaux emplois

Emploi de l ’algèbre lié à des situations plus diversifiées et plus ouvertes

Plus grande place laissée à l’interprétation des expressions (sens) en liaison avec la finalité des exercices

Plus grande place laissée à la production d’expressions et au travail dans le cadre fonctionnel

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Des pistes pour la négociation

Exploiter des profils d’élèves A un niveau local Par rapport à des modalités de fonctionnement

Conception d’exercices adaptés selon le moment de l’apprentissage : Introduction ou Remédiation

– Objectifs d’apprentissage à préciser en liaison avec les programmes et les ruptures repérées

– Gestion pédagogique à définir

A un niveau global Par rapport aux élèves d’une classe

Gestion de l’hétérogénéité d’une classe

Par rapport aux principales ruptures repérées dans l’apprentissage de l’algèbre