Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Modélisation d’un matériau
viscoélastique par formulation
incrémentale établie en relaxation
Établie par :
Omar Saifouni
Jean François Destrebecq
Rostand Moutou-Pitti
CLUB CAST3M - 2012 1
Plan de la présentation
Comportement viscoélastique ;
Formulations incrémentales ;
Implémentation sous Cast3m ;
Simulation numérique ;
Conclusions & perspectives.
2
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
1. Comportement viscoélastique linéaire
σ0
t t0 t1
σ (t)
t t0 t1
ε (t)
Exp. de fluage Exp. de recouvrance
Expérience de fluage Expérience de relaxation
Certains matériaux son caractérisés par un comportement différé, qui se
manifeste de la manière suivante :
t
dtRt0
,
(Équations
de Boltzmann)
Mise en œuvre numérique
ε0
t t0 t1
σ (t)
t t0 t1
Exp. d’effacement
ε (t)
Exp. de relaxation
Lois de comportement
t
dtJt0
, J : fonct. de fluage
R : fonct. de relaxation
3
2. Résolution d’un problème viscoélastique
Formulation incrémentale en relaxation
R (série de Dirichlet)
Equation linéaire
(thermoélastique équivalent)
librehist ΔσtσΔεEΔσt ~
:
Approximation sur
Incrémenter sur un pas de temps fini
4
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
r Eet : paramètres du modèle rhéologique de Maxwell
Maxwell généralisé
2.1 Fonction de relaxation :
rtt
eEEttR1
000,
E
avec
𝐸0
𝐸1 𝜂1
𝜂𝑟 𝐸𝑟
5
On écrit la fonction de relaxation sous la forme d’une série de Dirichlet :
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
Approche linéaire Approche de Simpson
Approcher déformation
par une forme linéaire
Approcher déformation par
un polynôme de Lagrange
du 2ième degrés
𝜀 𝜏 =∆𝜀
∆𝑡𝑘= constante 𝜀 𝜏 =
8
𝛥𝑡2 𝜀 𝑡 − 𝜀 𝑡 +
𝛥𝜀
2 𝜏 − 𝑡 −
𝛥𝑡
2 +
𝛥𝜀
𝛥𝑡
𝑡 = 𝑡 +𝛥𝑡
2 Avec
Approximation sur
ε
∆t
∆ε
t 6
2.2 Approximation sur la vitesse de déformation :
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
tσtσΔεEΔσtt, librehist ~
:
rt
et
EEE
10 1
~
tσetσ μ
r
μ
Δtαhist μ
1
1
Avec
Module d’élasticité Fictif histoire de chargement
Incrémentale linéaire :
rt
ett
EEE
10 11
44
~
ΔtαΔtα
Etttσetσ
μμ
μ
r
μ
Δtαhist μ 1
2
181
1
Avec
Incrémentale Simpson :
7
2.3 Forme finale :
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
Organigramme du programme
implémenté sous Cast3m
Pas de calcul suivant
Données : Géométrie, Caractéristiques
mécaniques (Maxwell), chargement.
Calcul viscoélastique :
- Matrice de rigidité fictive
- Contrainte histoire thist
- Résolution (MEF)
- Actualisation des variables ttt ,,
Résultats
- Déformations t
- Contraintes t
Fin
Début
8
3.1 Implémentation éléments finis sous Cast3m
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
1ière étape : Par multiplication des pas de temps :
Détermine le plus grand pas de temps ∆t qui sera utilisé pour faire la translation.
Le 1ier pas de temps : calcul Classique, les autres pas de temps : Simpson (∆ti+1=2×∆ti)
2ième étape : Par translation et chevauchement des pas de temps :
Pour une précision souhaitée d’un pas choisi, on continu par translation avec des pas
de temps constant (∆ti+1=∆ti ) selon le schéma suivant :
t0 t1 t2 t3
∆t1
∆t2
∆t3
∆t4
∆t5
∆t6
t4 t5 t6 temps
Par multiplication
Par translation
9
3.2 Choix du pas de temps / Approche de Simpson
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
3.3 Validation de l’approche de Simpson
On calcul la déformation d’une barre en compression sous cast3m par
les deux approches incrémentales (linéaire et Simpson).
Les résultats sont comparés aux résultats analytiques exactes.
Modèle rhéologique proposé est un Zener.
𝐸0
𝐸1 𝜂1
Modèle de Zener
10
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0 10 20 30 40 50Temps/θ
Déformation x 10-06
0,00E+00
5,00E-05
1,00E-04
1,50E-04
2,00E-04
2,50E-04
3,00E-04
3,50E-04
0 10 20 30 40 50
Erreur
Temps/θ
Linéaire
SimpsonCourbes de l’erreur relative
calculée par rapport aux
résultats analytiques exactes.
Courbe de déformation
(courbe de fluage)
11
3.4 Comparaison approches
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
4. Simulation d’une armature d’angle
1 2A L12
Caractéristiques du béton
Classe C25/30
Âge 20 ans
Présentation du modèle
Caractéristiques de l’acier
ν s = 0,3
Es = 210 GPa
νc = 0,2
Ec = 34,6 GPa
12
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
Multimatériaux à
comportement différent
Béton
Viscoélastique Acier
Élastique
13
4.1 Lois de comportement
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
Loi de comportement viscoélastique 3D
et : paramètres du modèle de Maxwell
Maxwell généralisé
adimensionnel
1 1
2 2
r r
0
Tenseur de relaxation isotrope :
R(t,t0) = ρ(t,t0) Ac
rtt
ett1
000,
1
0
r
et
dttt
εRσ 0
,
14
4.2 Béton / Formulation incrémentale : cas 3D isotrope
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
Finalement :
ttt histσΔεAΔσ :
~:,
cAA
r t
t
e
10
1~
tetr
t
μhist
σσ
1
1
Avec
Tenseur d’élasticité Fictif Tenseur d’histoire de chargement
dtt
t
εAσ 0
c ,
15
4.2 Béton / Formulation incrémentale : cas 3D isotrope
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
Identification des paramètres
du modèle de Maxwell
(moindres carrés)
Calcul de r(t,t0) par l’inversion de la
fonction de fluage j(t,t0)
100
dτ,τtr
τ
τ,tj,ttrt,tj
Branche (jour-1)
1 - 0,602
2 0,1 0,177
3 0,01 0,128
4 0,001 0,093
Calcul de la fonction de fluage
j(t,t0) proposée par l’EC2
Courbe de relaxation
c
rtt
Eettr )(,1
00
0
16
4.2 Béton / Identification des paramètres
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
L’épaisseur (e) est donnée par la loi de Faraday qui exprime la vitesse
de pénétration en fonction du courant de corrosion.
Couche d’épaisseur (e) se transforme en oxydes.
coriPr 01163,0
[Pr en mm/an ; icor en µA/cm²]
icor
ttite 01163,0
ti : instant du début de corrosion
e R-e ξe R-e
Oxydes
Avant transformation Après transformation
17
4.3 Armature / Modèle proposé
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
Loi de comportement élastique équivalente de l’armature :
La variation de rayon de la barre est interprétée comme résultant d’une
déformation libre équivalente, soit sur l’intervalle de temps Δt :
:
1Δεcor
R
e 1
corsΔσΔεAΔσ :
corscorΔεAΔσ :
Avec :
1Δεcor
R
R
18
4.3 Armature / Comportement thermo-élastique équivalent
sA : est le tenseur d’élasticité de l’armature
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
État initial État déformé
19
4.4 Résultats / Déformée
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
20
4.4 Résultats / Contraintes principales
Diagramme contraintes principales
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
Le calcul élastique surestime largement la contrainte dans le béton;
La contrainte maximale est atteinte à l’aplomb de l’armature (point A)
Contrainte principale de traction sur le parement (ligne L12)
Age du béton = 25ans
Durée = 5 ans
i cor = 0.2 μA/cm²
ξ = 1.5
Enrobage = 30mm
Barre de diam. 12mm
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 20 40 60 80
σ1 (MPa)
Position (mm)
Elastique
Viscoélastique
A
1 2 L12
A
2 1
Durée = 5 ans
i cor = 0.2
ξ = 1.5
Enrobage = 30mm
Barre Ф12
21
4.4 Résultats / Comparaison calcul élastique
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
4.4 Résultats / Estimation du temps de fissuration
La vitesse d’évolution de la contrainte dépend de l’enrobage.
La fissuration survient lorsque σ = ftcm (2,56 MPa)
La durée de vie (temps de fissuration) augmente avec l’enrobage.
Evolution de la contrainte principale de traction au point A au cours du temps:
calcul viscoélastique (trait continu), calcul élastique (trait discontinu)
1 2
A
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10
σ1 (MPa)
Temps (an)
C = 20 mm
C = 30 mm
C = 50 mm
fctm
TF30 TF20
22
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
Relation entre l’enrobage, le courant de corrosion et le temps de
fissuration pour trois valeurs du coefficient d’expansion ξ
Détermination de l’enrobage à prévoir pour un délai de fissuration souhaité
(durée de vie), sous des conditions de corrosion données (icor et ξ).
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
i cor
(µA
/cm
²)
Temps de Fissuration (an)
ξ = 1.5
10 20 30 40 50 C(mm)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8
i cor
(µA
/cm
²)
Temps de fissuration (an)
ξ = 2.0
10 20 C (mm) 30 40 50 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4
i cor
(µA
/cm
²)
Temps de fissuration (an)
ξ = 3.0
10 20 40 50 C(mm) 30
23
4.4 Résultats / Enrobage à prévoir
Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation
5. Conclusions & Perspectives
La formulation incrémentale proposée basée sur la méthode de
Simpson est plus précise que l’approche incrémentale linéaire ;
La formulation en relaxation donne une loi de comportement
incrémentale exprimée en rigidité ce qui présente l’avantage de ne pas
inverser la matrice de rigidité du système ;
La formulation est généralisée dans le cas tridiminsionnel isotrope ;
La simulation de la barre d’armature enrobée pourra être améliorée
en intégrant une loi d’endommagement incrémentale pour le béton de
contact.
24
Merci pour votre attention