Www.espace-etudiant.net - Cours Vibrations Et Ondes Mécaniques - Université de Chlef

7/25/2019 Www.espace-etudiant.net - Cours Vibrations Et Ondes Mcaniques - Universit de Chlef

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Rpublique Algrienne Dmocratique et Populaire

Ministre de lEnseignement suprieur et de La Recherche

Scientifique

Universit :Hassiba BENBOUALI de CHLEF

Facult: Sciences

Dpartement :Physique

Domaine :ST-SM

Polycopie:

Vibrations et Ondes Mcaniques

Rappels de Cours

Problmes poss aux concours dentre aux

Grandes Ecoles Scientifiques

Module: Physique 03

Niveau :2ime Anne Licence

Prsent par:Dr Fouad BOUKLI HACENE

Anne Universitaire: 2012 /2013


2/141

Avant propos

Ce document a t destin aux tudiants de deuxime anne des filiresscientifiques techniques des universits et coles dingnieurs dAlgrie. Il rpond au

programme officiel du module Vibrations et Ondes mcaniques enseigns en

deuxime anne des filires Sciences et techniques et Sciences de la matire.

Ce manuel contient une srie de problmes lis aux phnomnes de vibrations

et de propagation des ondes mcaniques avec un rappel de cours.

Le manuscrit est divis en deux grandes parties, vibrations et ondes mcaniques

rparties en sept chapitres. Le premier porte sur lutilisation du formalise de Lagrange

pour dcrire les oscillations des systmes physiques. Ltude des oscillations linaires

(de faible amplitude) libres des systmes un degr de libert est prsente dans le

chapitre deux. Le troisime chapitre traite le mouvement amorti qui prend en compte

les forces de frottements de viscosit proportionnelles la vitesse du mobile.

La notion de rsonance consacre aux oscillations forces est prsente au

quatrime chapitre. Le cinquime chapitre sur les vibrations aux plusieurs degrs de

libert. Les analogies entre les systmes lectriques et mcaniques sont prsentes les

cinq chapitres.

Le deuxime volet du programme recommande dintroduire linitiation des

phnomnes lis la propagation des ondes mcaniques dans diffrents milieux

matriels. A cet effet nous avons pris le, comme le modle de la corde vibrante.

Dr Fouad BOUKLI HACENE


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Nomenclature

)t(p Coordonnes gnralises

TE Energie totale du systme

cE Energie Cintique du systme

cE Energie Cintique moyenne du systme

pE Energie potentielle su systme

L Lagrangien du systme

S Action du systme

exeF

Forces extrieures appliques au systme

exeM

Moments extrieurs appliqus au systme

0 Pulsation propre du mouvement libre

A Amplitude

Dphasage

0T Priode propre du mouvement libre

k Constante de raideur du ressort

C Constante de torsion

J Moment dinertie

R Rayon dun disque

m Masse dun systme

ix Coordonnes du systme

V

Vitesse du dplacement


4/141

Masse volumique

l Longueur du ressort

0l Longueur du ressort vide

0P Pression du gaz lquilibre

0V Volume du gaz lquilibre

dx Tranche dlment entre les positionsx et x+dx

apC Capacit lectrique

indL Capacit lectrique

q Charge qui circule dans le circuit

)t(u Tension dalimentation

frf

Force de frottement

Coefficient de frottement

Facteur damortissement

Pseudo Pulsation du mouvement faiblement amorti

T Pseudo Priode du mouvement faiblement amorti

)t(f Force extrieure applique au systme

Pulsation Force extrieure applique au systme

)t(pg Solution gnrale du mouvement force

)t(pp Solution particulire

r Pulsation de rsonance du mouvement forc

21, Pulsation de coupure en rgime forc

Bande passante


5/141

Q Facteur de qualit

Z~

Impdance

Masse linique de la corde

Masse surfacique

T Tension de la corde

Tension linaire

E Constante de Young

w Longueur donde

0k Vecteur donde

V Vitesse de propagation

s Coefficient de compressibilit


6/141

DEDICACES

Je ddie ce travail en signe de respect et de reconnaissance : Mes chers parents pour tous les sacrifices qu'ils ont consentis, pour tous

les encouragements ainsi que pour leur soutient moral et matriel qui

m'a permis dachever ce travail.

Je le ddie galement :

Ma trs chre femme et mes chers enfants

Mes chers frres et surs

Mes oncles et tantes

Toute ma famille et mes proches


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Sommaire

Avant propos

Nomenclature

PREMIERE PARTIE : VIBRATIONS

Chapitre 1 :Gnralits sur les oscillations. 1

Chapitre 2 :Mouvement libre un degr de libert. 8

Chapitre 3 :Mouvement amorti un degr de libert. 28

Chapitre 4 :Mouvement forc un degr de libert. 39

Chapitre 5 :Mouvement plusieurs degrs de libert. 61

DEUXIEME PARTIE : ONDES MECANIQUES

Chapitre 6 :Gnralits sur le phnomne de propagation. 105

Chapitre 7: Appli cation: lquation de propagation mcanique dans

diffrents milieux. 116

Rfrences bibliographiques


8/141

1Chapitre 1 : Gnralits sur les oscillations


PARTIE I

VIBRATIONS

Chapitre 1:

Gnralits sur les oscillations


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Rappel thor ique :

La vibration est un phnomne physique oscillatoire dun corps en mouvement

autour de sa position dquilibre.

Parmi les mouvements mcaniques les plus varis, il existe des mouvements qui

se rptent : les battements du cur, le mouvement d'une balanoire, le

mouvement alternatif des pistons d'un moteur explosion. Tous ces

mouvements ont un trait commun : une rptition du mouvement sur un cycle.

Un cycle est une suite ininterrompue de mouvements ou de phnomnes qui se

renouvellent toujours dans le mme ordre. Prenez titre d'exemple le cycle

quatre temps d'un moteur explosion. Un cycle complet comprend quatre

tapes (admission, compression, explosion, chappement) qui se rptent durant

un cycle moteur.

On appelle mouvement priodique un mouvement qui se rpte et dont chaque

cycle se reproduit identiquement. La dure d'un cycle est appele priode.

Un mouvement priodique particulirement intressant dans le domaine de la

mcanique est celui d'un objet qui se dplace de sa position d'quilibre et y

revient en effectuant un mouvement de va-et-vient par rapport cette position. Ce type de mouvement priodique se nomme oscillation ou mouvement

oscillatoire. Les oscillations d'une masse relie un ressort, le mouvement d'un

pendule ou les vibrations d'un instrument corde sont des exemples de

mouvements oscillatoires.

Tout systme mcanique, incluant les machines industrielles les plus

complexes, peut tre reprsent par des modles forms dun ressort, un

amortisseur et une masse. Le corps humain, souvent qualifi de "belle

mcanique", est dcompos la figure 1.1 en plusieurs sous-systmes "masse-

ressort-amortisseur" reprsentant la tte, les paules, la cage thoracique et les

jambes ou les pieds.


10/141



Figure 1.1 : Modlisation masse-ressort-amortisseur de lhomme.

Pour comprendre le phnomne vibratoire, on associe tous les systmes

physiques un systme "masse-ressort" qui constitue un excellent modle

reprsentatif pour tudier les oscillations comme suit, figure 2.1 :

Figure 2.1: Schma masse-ressort

F(t) sappelle la force de rappelle qui est proportionnelle lallongement x(t).

La constantekest appele la constante de raideur.

Il existe deux autres configurations pour le systme masse-ressort, figure 3.1 :


11/141



Figure 3.1 : Trois autres configurations pour le systme masse-ressort

La reprsentation de plusieurs ressorts se prsente en deux cas :

En parallle, figure 4.1 :

Figure 4.1 : Ressorts en parallles

La raideur quivalente est la somme des raideursk1et k2telle que :

21 kkkeq

En srie, figure 5.1 :

Figure 5.1 : Ressorts en sries


12/141



La raideur quivalente pour les constantesk1et k2telle que :

21

111

kkkeq

Un systme physique oscillant est repr par la coordonne gnralisepqui est

dfinit par lcart par rapport la position dquilibre stable.

On dfinit q le nombre de degr de libert par le nombre de mouvements

indpendants dun systme physique qui dtermine le nombre dquations

diffrentielles du mouvement.

Lnergie cintique dun systme mcanique scrit sous la forme :

2

ii1n

c pm2

1

E

Lnergie potentielle dun systme mcanique scrit partir de dveloppement

limit de Taylor sous la forme:

...pp

E

6

1p

p

E

2

1p

p

E)0(EE 30p3

p

3

2

0p2

p

2

0p

p

pp

La valeur p=0 correspond la position dquilibre du systme

caractrise par :

0p

E0p

i

p

Il existe deux types dquilibre :

Equilibre stable, figure 6.1 :

0p

E

0p2

p

2

Figure 6.1: Equilibre stable


13/141



Equilibre instable, figure 7.1 :

0p

E0p2

p

2

Figure 7.1: Equilibre instable

Le mouvement oscillatoire est dit linaire si cet cart est infinitsimal. Ainsi,

lnergie potentielle prend la forme quadratique en fonction de lcart par

rapport la position dquilibre telle que :

2

02

2

2

1p

p

EE p

p

p

La constante2

2

pEp

est appele la constante de rappelle.

Ainsi ; la force de rappelle prend la forme linaire en fonction de lallongement

et oppose au mouvement telle que:

pp

EtF p

p

02

2

)(

Lquation du mouvement pour un systme conservatif peut tre dtermine

par trois mthodes :

Principe de la conservation dnergie totale :

0tan dt

dEteConsEEE TpcT

O TE est appele lnergie totale du systme.

Loi dynamique de Newton :

i1n

ii amF


14/141



O ia

est appele lacclration des composantes du systme.

Mthode de Lagrange :

tetanConsEEL pc

OL est le Lagrangien du systme. Dans ce cas les forces drivent dun

potentiel et le mouvement du systme est conservatif.

Aprs lapplication le principe de moindre action, on obtient lquation

dEuler- Lagrange comme suit :

n,1i0)p

L)

p

L(

dt

d

ii

Lquation du mouvement pour un systme dissipatif (non conservatif) peut

tre dtermine comme suit :

Systme en translation :

n,1iF)p

L)

p

L(

dt

dext

ii

O extF

sont les forces extrieures appliques au systme.

Systme en rotation

n,1iM)p

L)

p

L(

dt

dext

ii

O extM

sont les moments extrieurs appliqus au systme.

Dans ce cas les forces ne drivent pas dun potentiel.


15/141

8


Chapitre 2 :

Mouvement libre un degr de libert


16/141

9


Rappels thor iques:

Un systme isol oscillant un degr de libert est dtermin par la coordonne

gnralisep qui est lcart par rapport lquilibre stable.

On dfinit loscillation harmonique par lquation diffrentielle suivante :

0)t(p)t(p 20

O0est appele la pulsation propre du systme.

On dfinit la priode propreT0comme suit :

0

0

2T

La solution de cette quation diffrentielle est de forme sinusodale tel que :

)tcos(A)t(p 0

OA reprsente lamplitude des oscillations et est le dphasage. Les constantes A et

sont dtermines par les conditions initiales suivantes :

0

0

p)0t(p

p)0t(p

Figure 2.1 : Mouvement sinusodal

Il faut signaler que toutes les oscillations de faible amplitude autour de la

position dquilibre peuvent tre assimiles des mouvements linaires et

lnergie potentielle peut sexprimer sous forme quadratique de la coordonne

gnralisep.

En revanche, au-del dune certaine amplitude loscillation devient non linaire.

Exemples :

Ressort :


17/141

10


Figure 2.2 : Mouvement linaire dun ressort

Le vecteur de position :

ixvixmo

Lnergie cintique :

22c xm

2

1mv

2

1E

Lnergie potentielle pour des petites oscillations, scrit:

2p kx

2

1E

Alors, le Lagrangien du systme est de forme:

22

2

1

2

1kxxmEEL pc

Lquation de mouvement est de forme :

m

kavec0kxxmkx

x

Lxm

x

L0

x

L)

x

L(

dt

d 20

La solution de lquation diffrentielle :

)cos()( 0 tAtx

Pendule simple :


18/141

11


Figure 2.3 : Mouvement linaire dun pendule simple

Le vecteur de position :

2222

sin

cos

cos

sin

lyxv

ly

lxv

ly

lxmo

Lnergie cintique :

22c ml

2

1mv

2

1E

Lnergie potentielle :

cosmglEp

Alors, le Lagrangien du systme scrit :

cos2

1 2 mglmlEEL pc

Lquation de mouvement pour des petites oscillations, est :

sinavec0mglmlsinmgl

Lml

L0

L)

L(

dt

d

La pulsation propre est gale :

m

k2

0

La solution de lquation diffrentielle est de forme :

)cos()( 0 tAtx


19/141

12


Appli cations :

Pr obl me 1:

Soient les systmes mcaniques suivants :

o Une poulie de masse M, de moment dinertie J, et de rayon R, suspendue au

point O par un ressort de raideurk. Le fil inextensible glisse sur la poulie sans

frottement reli par une massem, figure 2.4.

o Un systme de bras rigidement lis et tournant dans le plan de la figure autour

du point fixeO. A lquilibre le brasL3est vertical, figure 2.5.

o Un systme hydraulique de forme U constitu de deux tuyaux cylindriques de

sections S1, S3 relis par un autre cylindre de section S2 et de longueur B qui

contient un liquide de masse volumique. Le systme est quivalent un

ressort de raideur ke et de masse Me. A lquilibre le liquide a la hauteur H,

figure 2.6.


20/141

13


Dans le cas des oscillations linaires, dterminer pour chaque systme :

Le nombre de degr de libert.

Lnergie cintique, lnergie potentielle. En dduire le Lagrangien.

Lquation diffrentielle du mouvement.

La priode propre.

Solutions :


21/141

14


Figure 2.4:

La figure 2.4 est reprsente en tat dquilibre (Figure 2.4a) et en tat de

mouvement (Figure 2.4b). Les paramtres, (X01, X02) et (X1, X2) reprsentent

respectivement les positions des masses M et m en tat dquilibre et enmouvement.

Le nombre de degr de libert :

La longueur du fillest la mme en mouvement et en quilibre tel que:

En quilibre :

)XX(RXDl 010201

En mouvement :

)XX(RXDl 121

Apres lgalit des deux quations, on obtient:

dpendantssontx,xx2x 2112

Le nombre de degr de libert est alors gal 1.

Le Lagrangien est :

Lnergie cintique :

22

21

21c xm

2

1J

2

1xM

2

1E


22/141

15


Lnergie potentielle:

21p kx

2

1E

Le Lagrangien scrit alors :

21

212pc

kx2

1x)

R

Jm2M(

2

1EEL

Lquation diffrentielle est :

0x)

R

Jm4M

k(x0

x

L)

x

L(

dt

d1

2

111

La priode propreT0 :

2

O

R

Jm4M

k2T

Figure 2.5:


On dfinit les dplacements infinitsimaux comme suit :


23/141

16


dpendantssontx,x,xlx,lx,lx 321332211

Le nombre de degr de libert est gal 1

Le Lagrangien :

Lnergie cintique :

2233

2222

2211

2ii

1i

c lm2

1lm

2

1lm

2

1xm

2

1E


cosglmkl2

1kl

2

1E 33

222

221p


cosglm)l(k21lm

21EEL 33

2

2

1i

i

3

1i

2i

2iipc


0)

lm

mglklkl(0

L)

L(

dt

d3

1i

2ii

121

22

La priode propreT0 :

1i

2

ii

1

2

1

2

2

O

lm

mglklkl2T

Figure 2.6:


24/141

17



On a la conservation du volume deau dplac dans le tube en forme U do,

sdpendantesontxxxscoordonnelesxSxSxS 321332211 ,,

Donc le nombre de degr de libert est gal a 1

Le Lagrangien :

Lnergie cintique :


25/141

18


)S

S

S

S

h

B1(hSM

hSm,BSm,hSm

Avec

xM)S

S

S

S

h

B1(hSx

xM2

1xm

2

1E

3

1

2

11e

332211

21e

3

1

2

11

21

21e

3

1i

2iic


On calcule la constante de rappelle partir de lnergie potentielle, on a alors :

)S

S1(ghSkx)

S

S1(ghS)xx(gSPSxkFxk

2

1E

3

11e1

3

1131111e

21ep

Le Lagrangien du systme scrit alors :

21e

21e

1i

2ii

2ii

1i

pc

xk2

1xM

2

1xk

2

1xm

2

1L

EEL


0x)M

k(x 1

e

e1

La pulsation propre0est:

)SS

SS

hB1(hS

)S

S1(ghS

M

k

3

1

2

11

3

11

e

e20

Pr obl me 2:

On modlise le mouvement dun baffe dune radio par un rsonateur dHELMOTZ,

prsent comme un gaz parfait de pression P0, de volume V0 lquilibre thermique,

enferm dans une enceinte relie par un piston de masse mqui oscille sans frottement

suivant laxe Ox comme le montre la figure (2.7)ci-dessous.


26/141

19


Lensemble du systme volue en opration adiabatique.

Dterminer lquation diffrentielle du mouvement en appliquant la loi

fondamentale de la dynamique.

En dduire la pulsation propre du systme et la solution gnrale.

Solutions :

En appliquant la mthode des forces on obtient :

1i

rapixmPS

Ox:SuramFPamF

Puisque lopration est adiabatique, on a:

SxV

PP

V

V

P

PtetanconscPV

0

0

00

Lquation diffrentielle scrit alors :

0x)mV

SP(x

0

2

0

La pulsation propre est :


27/141

20


mV

SP

0

2

02

0

La solution gnrale est :

)tcos(A)t(x 0

Pr obl me 3:

Soient les systmes mcaniques constitus par une tige de masse ngligeable relie par

un ressort de raideurkreprsents dans les figures 2.8 et 2.9 comme suit:

Pour des petites oscillations, dterminer pour le systme de la figure (2.8):

Le Lagrangien.

Lquation diffrentielle du mouvement.

La pulsation propre et la solution gnrale.


28/141


29/141

22


Pr obl me 4:

On considre un flau constitu dune tige mtallique de masse ngligeable, de

longueurlportant deux masses m et M, tournant sans frottement autour de son axe au

point fixeO comme le montre la figure 2.10. A lquilibre la barre est horizontale.

Dterminer:

La condition dquilibre et lallongement du ressort.

Le Lagrangien du systme

Lquation diffrentielle du mouvement, la pulsation propre et la priode

propre.

La solution gnrale avec les conditions initiales suivantes :

0)0t(x et 0*

v)0t(x

Appl ication num rique:m=M=1Kg, k=20N/m

Solutions:

Le lagrangien :

On a les dplacements infinitsimaux comme suit :

dpandantssontx,x4l3x,

4lx 2121


30/141

23


On a donc un seul degr de libert.

Lnergie cintique :

4

l3x,

4

lxavec)l

4

3(M

2

1)l

4

1(m

2

1xM

2

1xm

2

1E 21

2222

21c


22p )

4

l(k

2

1)

4

l(k

2

1E


222

222pc )

4

l(k)mM9(

16

l

2

1L)

4

l(k)l

4

3(M

2

1)l

4

1(m

2

1EEL

Lquation diffrentielle du mouvement :

0M9m

k20

L)

L(

dt

d

La pulsation propre0et la priode propre sont :

M9m

k2

2T

M9m

k2

O

20


)tcos(A)t( 0

Pr obl me 5 :

Soit un disque de masse M, de moment dinertieJli par deux ressorts, lun au centre

O, lautre au point A distant de (R/2) du point O se glissant sans frottement suivant

laxe Ox

comme le montre la figure 2.11:


31/141

24


Etablir le Lagrangien du systme.

Dterminer lquation diffrentielle du mouvement

En dduire la pulsation propre du systme ainsi que la solution gnrale

Solutions :

Le degr de libert :

On a le dplacement infinitsimal comme suitdpendantssont,xRx

Le systme a un seul degr de libert

Le Lagrangien du systme:

Lnergie cintique :

RxavecxM

2

1J

2

1E

22c



32/141

25


22p )

2

Rx(k

2

1)x(k

2

1E

Le Lagrangien du systme scrit alors comme suit :

22

2 kx

4

13

2

1x)

R

JM(

2

1L

Lquation diffrentielle scrit alors :

0x

R

JM

k4

13

x0x

L)

x

L(

dt

d

2

La pulsation propre est :

2

20

R

JM

k

4

13

La solution gnrale scrit alors :

)tcos(A)t(x 0

Pr oblme6 :

Soit un systme lectrique (Lind, Cap) en srie reprsent dans la figure 2.12 commesuit :

A partir des lois du Kirchhoff, tablir lquation diffrentielle du mouvement.

En dduire la pulsation propre du mouvement.

Solutions :

La loi des mailles :

0

C

q

dt

)t(diLjLZavec0

C

q)t(iZ0V

ap

indindL

ap

L

i

i indind

Lquation diffrentielle devient alors :


33/141

26


dt

dq)t(iavec0)t(q

C

1qL

ap

ind

On a lquivalence du systme mcanique-lectricit comme suit:

kc

1)t(x)t(q

mL

0)t(kxxm0)t(qC

1qL

ap

ind

apind

La pulsation propre du mouvement scrit sous la forme:

apind

2

0CL

1

Pr oblmes supplmentair es:

Pr oblme 6:

Soient deux ressorts de mme raideur k ont une longueur vide l0. La figure 2.13

reprsente une masse m relie leurs extrmits peut glisser sans frottement suivant

laxe Ox

Dterminer:

Le Lagrangien du systme. Lquation diffrentielle du mouvement.

La pulsation propre, la priode propre et la solution gnrale.

Pr oblme 7:

On considre un gaz ionis, un plasma, form dions et dlectrons ayant une

charge globale nulle. On ngligera les mouvements des ions beaucoup plus

lourds que les lectrons. On suppose que les lectrons ne se dplacent que


34/141

27


paralllement laxe Ox. Au repos, le plasma est homogne et contient n0,

nombre dlectron par unit de volume. On considre une tranche de plasma dx,

les lectrons situs respectivement en position x et x +dx se dplacent par les

quantitss(x, t)et s(x+dx), la figure 2.14:

En utilisant lquation de poisson, dterminer lquation diffrentielle du

mouvement.

En dduire la pulsation propre du systme.


35/141

28Chapitre 3: Mouvement amorti un degr de libert


Chapitre 3 :

Mouvement amorti un degr de libert


36/141



Rappel th or ique :

En ralit tous les systmes physiques interagissent avec le milieu environnant. Dans

ce chapitre on doit tenir compte linfluence de la force de frottement visqueuse de type

Vffr

sur les oscillations du systme. Ce type de mouvement est appel

mouvement amorti.

On dfinit loscillation amorti comme suit :

0)t(pp2p 20

O est un coefficient positif et est appel facteur damortissement. La rsolution de

cette quation se fait par le changement de variable, lquation devient alors :

0r2r 202

On calcule le discriminent

on obtient alors :

2

0

2'

Il existe trois types de solutions :

Cas o le systme est fortement amorti : 0

La solution de lquation diffrentielle scrit comme suit :

2

0

2

2,1

tr

2

tr

1

r

eAeA)t(p 21

OA1et A2sont coefficients dterminer par les conditions initiales :

)0t(p

)0t(p

On dit que le systme a un mouvement apriodique.

Cas o lamortissement critique : 0


37/141



La solution de lquation est de forme :

rrr

e)AtA()t(p

21

tr

21

OA1et A2sont coefficients dterminer par les conditions initiales :

)0t(p),0t(p

Cas o lamortissement est faible : 0

La solution de lquation diffrentielle est de forme :

22

0

t avec)tcos(Ae)t(p

OA et sont des constantes dterminer par les conditions initiales :

)0t(p

)0t(p

On dfinit la pulsation du systme comme suit:

22

0

On dfinit la priode du systmeTappel pseudo-priode comme suit :


38/141



2T

On dfinit le dcrment logarithmiquequi reprsente la dcroissance de

lamplitude une seule priode du systme comme suit:

)Tt(p

)t(pLn

Il faut signaler que le systme subitune perte dnergie totaledue au travail des

forces de frottement.

0WEdWdt)t(p)t(dE rfTrf2

T


39/141



Appli cations :

Pr obl me 1 :

On dfinit un oscillateur amorti rgi par lquation diffrentielle suivante :

0kxxxm.

Avecmest la masse du corps,kest le coefficient de rappel et xest le dplacement du

corps. On lance le systme avec une vitesse initiale v0=25cm/s.

Donc t=0,x=0 et 0vx

Calculer la priode propre du systme, sachant que : m=150g etk=3.8N/m.

Montrer que si =0.6kg/s, le corps a un mouvement oscillatoire amorti.

Rsoudre dans ce cas lquation diffrentielle.

Calculer le pseudo-priode du mouvement.

Calculer le temps mt au bout duquel la premire amplitude mx est atteinte. En

dduire mx .

Calculer la vitesse dune pseudo-priode.

Solutions :

Lquation du mouvement amorti est de forme :

20

20

..

m

k,2

mavec0xx2x0kxxxm

La priode propre du systme est T0:

s25.1

m

k

2T

s/rad5m

k

O

0

Lquation diffrentielle du mouvement se transforme en :


40/141



21

Avec

021'

0r2r

220

20

2'

20

2

Le corpsm a un mouvement oscillatoire amorti.

La rsolution de cette quation diffrentielle est de forme :

)tcos(Ae)t(x t

En appliquant les conditions initiales :

20cos0x,0t

2avec

vAvx,0t 00

La solution finale sera exprime comme suit :

tsinev

)t(x)tcos(Ae)t(x t0t

La figure 2.1 reprsente le mouvement oscillatoire amorti.

La pseudo-priode :

s37.12

T

Le temps de la premire amplitude mt

Il faut que :


41/141



Arctg

t0dt

)t(dx)tt(x mttm m

Do :

4

Ts25.0tm

Pr obl me 2 :

Soient les systmes mcaniques reprsents dans les figures 2.2 et 2.3 come suit :

Pour des petites oscillations, dterminer pour chaque systme :

Le Lagrangien et lquation diffrentielle du mouvement.

La pulsation propre et la solution gnrale pour un faible amortissement.

Solutions :

Figure 2.2 :

Le Lagrangien:

Lnergie cintique :

222c ml

2

1mv

2

1E


42/141



Lnergie Potentielle :

asinaxaveccosmglkx2

1E 2p

Le Lagrangien scrit :

cosmgl)a(k2

1ml

2

1EEL 222pc


2

220

20

2

2

ext

ml

ka,

m2

02

0ml

ka

mM

L)

L(

dt

d

La solution gnrale est pour un faible amortissement est de forme:

)tcos(Ae)t( t

Figure 2.3:

Le Lagrangien:

Lnergie cintique :

22

c xm2

1

mv2

1

E


22p )x(k

2

1kx

2

1E


22

pc kxxm2

1EEL


m

k2,

m2

0xx2x

0xm

k2x

mxF

L)

L(

dt

d20

20

ext

La solution gnrale pour un faible amortissement est :

)tcos(Ae)t(x t


43/141



Pr obl me 3 :

On considre un systme mcanique amorti, oscillant autour dun axe passant par O

reprsent par une tige mtallique de longueurlde masse ngligeable relie par deuxressorts identiques de constante de raideur kau point l/2 comme le montre la figure

2.4 :


Dterminer lquation diffrentielle du mouvement.

En dduire la pulsation propre du systme.

Rsoudre dans le cas de faible amortissement lquation diffrentielle du

mouvement avec les conditions initiales suivantes :

0)0t(,0)0t(

Solutions :

Le Lagrangien:

Lnergie cintique :

222c ml

2

1mv

2

1E


2

lsin

2

lxavecmglCos)x(k

2

1kx

2

1E 22p

Le Lagrangien scrit :


44/141



cosmgl)2

l(kml

2

1EEL 222pc


2

2

20

20

2

2

ext

ml

mgl2

lk

,m

2

02

0ml

mgl2

lk

mM

L)

L(

dt

d

Pour un faible amortissement la solution scrit sous la forme :

0

0t

A,2

,0,0t

avec)tcos(Ae)t(

Alors, la solution gnrale scrit :

tsine)t( t0

Pr obl me 4:

Soit une boule de massem suspendue une tige de longueurl, de masse ngligeable et

plonge dans un liquide. Cette masse est soumise une force de frottement visqueuse

dont le coefficient de frottement estcomme le montre la figure 2.6 comme suit :


Dterminer lquation du mouvement.

Rsoudre dans le cas de faible amortissement lquation diffrentielle.

Applicati on nu mrique:m=1Kg, l=50cm, g=10m/s. Calculer la valeur maximalequene doit pas atteindre pour que le systme oscille.


45/141



On prend la valeur de gale 10N.s/m, calculer le temps ncessaire pour que

lamplitude diminue de sa valeur.

Solutions :Le Lagrangien du systme:

cosmglml2

1EEL

22

pc


lg,

m2

Avec

02

20

2

0


)tcos(Ae)t( t

La valeur maximale de max :

m/s.N94.8l

gm20 max

2

0

2

Le temps :

s28.04ln

e4

1Ae t)t(


46/141

39Chapitre 4: Mouvement forc un degr de libert


Chapitre 4 :

Mouvement forc un degr de libert


47/141



Rappel th or ique :

On dfinit une oscillation force, tout systme en mouvement sous laction dune force

extrieure. On dfinit lquation du mouvement forc comme suit :

)t(fpp2p 20

O f(t) est appele la fonction excitation extrieure. Cette quation est linaire de

second ordre non homogne coefficients constant.

La solutionp(t)de lquation diffrentielle qui prsente la rponse du systme

laction extrieure, est la somme de deux thermes :

)t(p)t(p)t(p pg

O )t(pg et )t(pp reprsentent respectivement la solution gnrale la solution

particulire.

Il faut signaler quau dbut du mouvement p(t) reprsente le rgime

transitoire. Au fil du temps la solution homogne )t(pg devient ngligeable

devant la solution particulire )t(pp qui dfinitle rgime permanant. Ainsi la

solution totale dans ce cas, est de forme :

)t(p)t(p p

Dans le cas o lexcitation est sinusodale de type :

tj

00 eftcosf)t(f

La solution totale scrit alors comme suit :

)tcos(A)t(p)t(pp

OAreprsente lamplitude de la solution totale etle dphasage.

On cherche la solution de lquation diffrentielle sous forme complexe :

)t(j

p Ae)t(p)t(p

Avec

)t(jAej)t(p

)t(j2Ae)t(p


48/141



Alors lamplitude scrit :

j2

fAe

2

0

2

0j

En module :

22220

2

0

4)(

fA

En Argument :

20

2

2Artg

Ltude des variations du module de lamplitude se fait par :

0

d

Ad

Il existe deux pulsations :

220r 2

0

On appelle r la pulsation de rsonance.On dfinit ainsi :

La largeur de la bande passante :

12

Le facteur de qualitQpour un faible amortissement :

12

rQ


49/141



Appli cations :

Pr obl me 1:

Soit un immeuble Amodlis par le systme physique reprsent par une masse Metun ressort de raideur k subit un mouvement sismique sinusodal damplitude a de

forme tcosaxs comme suit:

Quelle est la rponse du systme. Justifier

Solutions : Le Lagrangien du systme :

Lnergie cintique :

22c xm

2

1mv

2

1E


2sp )xx(k

2

1E

Le Lagrangien du systme scrit alors :

2s

2 )xx(k21xm

21L

Lquation diffrentielle est de forme :

m

k

em

aR)t(x)t(x

tcosm

a)t(x

m

k)t(xF

L)

L(

dt

d

20

tje

20

ext

La solution de cette quation est :)t(j

p Ae)t(x)t(x


50/141



En remplaant dans lquation de mouvement, on dtermine lamplitude de la

rponse comme suit :

2

0

2

m

a

)(A

La rponse du systme est reprsente dans la figure 3.3 :

0lorsque)(A

Limmeuble va seffondrer face au sisme car le systme oscille avec la

pulsation propre. On appelle ce phnomne la rsonance. On se propose dans cecas la de mettre en place un moyen damortir les oscillations extrieurs du

systme qui se traduit par une force de frottement visqueuse.

Pr obl me 2:

Soit le circuit forme par lassociation parallle R, Lind, Capet alimente par une source

de courant sinusodale dlivrant un courant dintensit tcos2i)t(i 0 comme le

montre la figure 4.4 ci-dessous.


51/141



Exprimer la tension complexe u aux bornes de lassociation parallle en

fonction de, i0,et des paramtres du circuit.

On poseapind

2

0CL

1 ,

0

x

et on dfinit le facteur de qualit du circuit

comme suit : 0apRCQ

Exprimer le module de la tension uaux bornes de lassociation parallle

en fonction deR, i0, Qetx.

Montrer que u passe par un maximum maxu pour une valeur de x

dterminer.

Reprsenter sommairementmaxu

u)x(f en fonction de x. Que retrouve t-

on ?

Calculer la largeur de la bande passante.

Solutions :

La tension complexe u du systme est de forme:

qui

quiZ~

)t(u)t(io'd)t(iZ

~)t(u

Soit quiZ~

limpdance complexe quivalente du circuit R.L.C en parallle.


52/141



Avec :

)L

1

C(jR1

)t(Ri)t(uo'd

jL

1jC

R

1

Z~

1

indap

ind

ap

qui

Le module de la tension scrit alors :

22

0

)x

1x(Q1

2Ri)t(u

On constate que :

1xlorsque2Riuu 0max

Le schma de la fonctionmaxu

u)x(f est reprsent dans la figure 3.4

comme suit :

Rsonance1xsi1)x(fAvec

)x

1x(Q1

1

u

u)x(f

22max

La bande passante scrit comme suit :

22

12

)x

1x(Q1

1

2

1avecxxx

Aprs transformation on obtient la largeur relle de la bande passante :


53/141



RC

1o'dx0

Pr obl me 3:

On considre un systme de rception radio modlis par un circuit R, Lind, Capen srie

et aliment par une source de tension sinusodale dintensit tcosu)t(u 0 comme

le montre la figure 4.6 ci-dessous.

Dterminer limpdance totale du systme.

En dduire le module du courant parcourue par le circuit en fonction des

paramtresR, Lind, Capet .

Etudier les variations du module de courant en fonction de

Trouver la frquence de rsonance. En dduire le courant maximum.

Etablir la bande passante et le facteur de qualit en fonction des paramtres du

circuit R, Lind, Capet .

Donner une explication pour le fonctionnement de ce systme.

Solutions : Le circuit est en srie, limpdance totale est :

)C

1L(jRZ

~

ap

ind

Le module du courant est :

2

apind

2

00

)C

1L(R

u

Z~

)t(uI

Les variations du module du courant sont :


54/141



apind

0r

ap

ind

0max0

CL

1o'd0

C

1LPour

R

uI

On appellerpar la pulsation de rsonance.

La figure 4.7 reprsente lallureI0en fonction de

La bande passante et le facteur de qualit sont dfinit :

R

LQ

L

R

0ind0

ind

12

Lapplication technique de ce phnomne est la slection des frquences de

rsonances pour diffrentes stations de radio.

Pr obl me 4:

On dfinit un sismomtre comme un systme physique appel capteur qui comprend

un support et une masse m reli par un ressort et un amortisseur disposs en parallle,

la figure 4.8. La masse, de centre de gravit G, ne peut se dplacer que verticalement.

Le support, le ressort et lamortisseur ont une masse ngligeable.


55/141



Le ressort a une longueur vide let une rigiditk. La constante de frottement est. On

prcise que si, les extrmits A et B dun amortisseur appartenant un systme

mcanique, dcrivent un axeparallle laxe Ox avec des vitesses respectives av et

bv , lamortisseur exercice sur le reste du systme en point Aune force i)vv( ab

et

en pointBune force i)vv( aa

o i

est le vecteur unitaire.

Partie A :

Le support est immobile par rapport au repre (R0).

Calculer labscissex0 du centre dinertie de la masse en quilibre.

Ecrire lquation diffrentielle du mouvement de la masse cart de sa position

dquilibre.

Que devient cette quation quand on posex=x0+X.

On posem

k20 , Cf avec km4f

2

c . Montrer que lquation diffrentielle

scrit sous la forme suivante :

0xxx...


56/141



Calculer* et* en fonction deet 0.

On donne= 0.5, 0=10 rad/s. A linstant initial,X=1 cmet 0X . Dterminer

Xpourt= 0.2s.

Partie B :

On suppose maintenant que le support est solidaire du carter dune machine anim

dun mouvement sinusodale verticale tsinbx1 par rapport au repre (R0),

comme le montre la figure 4.9. On suppose que best positif.

Ecrire lquation de la masse par rapport (R0). Montrer que lquation diffrentielle peut scrire sous la forme suivante :

tsinbCXxAvec

tsinHxxx...

DterminerHetC, que reprsenteX?

Etudier la solution en rgime permanent )tsin(B)t(X avec Bpositif.


57/141



Calculer le rapportb

Bet tan en fonction de et

0 .

Tracer lallure du graphe deBen fonction detel queB=f ().

On suppose que=0.5, montrer que siest suprieur une certaine valeur1,

1b

B est infrieur 10-2. Calculer1.

En dduire une condition pour que lappareil puisse fonctionner en capteur

damplitude.

Solutions :Partie A :Le support est immobile par rapport au repre(R0).

Labscissex0scrit comme suit :

)al(k

mgx 0

Lquation diffrentielle du mouvement est de forme :

0kXXXmAlorsXxXxo'd

xmg))al(x(kxm

La nouvelle quation du mouvement scrit alors :

2

00

2

00

2Avec

0XX2X

La rsolution de cette quation diffrentielle :

22

0

22

0

2

00

2

15.0

)1(

0r2r

La solution est de forme :

2

0

0

t

1

X

BXAAvec

)tsinBtcosA(e)t(X 0


58/141



Le systme a un mouvement amorti.

La valeur deXest :X=0.15m

Partie B :Le support est mobile par rapport au repre (R0). La relation dynamique du mouvement :

tsinbXxxetxXxo'd

)xx(mg))al(xx(kxm

211

11

Lquation

du mouvement devient alors :

bHAvec

tsinbXX2X

2

2200

La solution totale de lquation diffrentielle en rgime permanent est :

)tsin(B)t(X)t(X p

En notation complexe on aura la forme suivante :

)2

t(j

p Be)t(X~

)t(X~

En remplaant dans lquation diffrentielle, on obtient alors :

0

2222

2

Avec

1

2tan

)2()1(

bB

Les

variations deB=f() :

2

1si

21

10

0d

dB2

mm

Ainsi on distingue deux cas :

2

1

Amortissement faible Rsonance

2

1 Amortissement important

On peut en dduire que :


59/141



bB

0B0

Pour=0.5,on aura :

05.7o'd101)1(

si101b

B

2pourb15.1BB

12

21

21

21

12

mmax

On peut conclure que lappareil reproduit les oscillations du carter si la

pulsation est importante. Il fonctionne alors en capteur damplitude.

Pr obl me 5:

On dfinit le modle dun oscillateur harmonique, figure 4.10, reprsente par une

massemplace dans un potentiel lastique du type : 22

1kxEp

Cette masse est soumise une force de frottement visqueuse et dont le coefficient de

frottement est .

Modelibre: Dans le cas des oscillations libres

Dterminer le Lagrangien du systme.

Etablir lquation du mouvement.

En dduire la solution gnrale avec les conditions initiales suivantes :

x(t=0)=0et 0v)0t(x .

M ode for c:On admet que les frottements existent, la masse m effectue des

oscillations forces sous leffet dune force sinusodale : tcosf)t(f 0


60/141



On admet que la vitesse du mobile est de forme : )tcos(v)t(v 0

tablir lquation du mouvement.

Rsoudre lquation diffrentielle en rgime permanent.

Dterminer limpdance mcanique complexe dfinit comme rapport entre la

force applique et la vitesse du mobile.

Comparer le rsultat avec le systme lectrique.

Solutions :Modelibre:

Le lagrangien du systme :

22 kx2

1xm

2

1L

Lquation du mouvement :

m

kavec0xx0kxxm 20

20

La solution gnrale est de forme :

tsinv

)t(x 00

0

M ode forc:

Lquation du mouvement :

m

k

m2

avecm

)t(fxx2x)t(fkxxxm

20

20

Cest une quation diffrentielle inhomogne linaire, dun mouvement force.

La rsolution de cette quation diffrentielle en rgime permanent est :

)t(j

ep AeR)tcos(A)t(x)t(x

SoientAlamplitude de la solution etson argument.

En remplaant dans lquation diffrentielle et aprs le calcul, On obtient

alors :


61/141



20

22220

2

0

2tanet

)2()(

m

f

)(A

Les variations de )(A sont dtermines par :

Rsonance20d

)(dA 22r

En remplaant dans lquation du mouvement, limpdance complexe est crite

comme suit :

)k

m(jZ~

)t(v

)t(fZ~

mcanimcani

Pour le systme lectrique, le rsultat est donn comme suit:

)C

1L(jRZ

~

)t(i

)t(uZ~

apindlectrilectri

On conclue donc les quivalences suivantes :

ap

ind

C

1k

Lm

R

Pr obl me 6:

Lorsquun moteur lectrique fonctionne, il prsente des vibrations naturelles quil est

ncessaire damortir pour viter de les transmettre a son chssis. On prvoit donc un

systme de suspension.

Le moteur est assimile au point matriel m de masse m pouvant se dplacer

paralllement a laxe verticalOz. La suspension le reliant au chssis est modlise par

un ressort de longueur vide l0 et de raideur k en parallle avec un amortisseur

exerant sur le moteur une force de freinage zfr uzf

Le chssis reste fixe dans un rfrencier galilen et on note le champ de pesanteurg


62/141



Mode A : Le moteur ne fonctionne pas et il est immobile.

Dterminer dans ce cas la longueur ldu ressort. On prend la rfrence z=0au

pointm.

M ode B :Le moteur tant toujours arrt, on lcarte de sa position dquilibre et puis

on le laisse voluer librement.


tablir lquation diffrentielle du mouvement vrifie parz(t).

On posem

k20 et

0m2

Donner la forme de la solution gnralez(t)en fonction des paramtres et 0,

on suppose que


63/141



)tcos(V)t(etV)tcos(z)t(z 00 Donner lexpression de la grandeur ieVV 0

Exprimer lamplitude V0en fonction de et des paramtres v, 0etF0/m. Donner lallure deV0().

Appl ication numrique: la pulsation vaut 628 rad/s, le moteur a une masse

m=10kg. On dispose de deux ressorts de raideurs k1=4 106n/m et k2=10

6n/m.

lequel faut il choisir pour raliser la suspension ?

Solutions :

Mode A : En quilibre

La longueur du ressort :

k

mgll0F 0

1i

i

Mode B : En mouvement amorti

Le lagrangien du systme :

22 kz2

1zm

2

1L

Lquation diffrentielle :

0zz2z

m2m

kAvec

0kzzm

2

00

0

2

0

La rsolution de lquation du mouvement :

10j)1()(

0r2r

222

0

2

0

2

0

2

00

2

Le systeme a un mouvement oscillatoire amorti.

La solution est de forme :

)tcos(Ae)t(z t0

lnergie totale du systeme :

0zdt

)t(dE]zkzzm[z

kz2

1)

dt

dz(m

2

1)t(E

2T

22

T


64/141



Le systeme nest conservatif. La diminution dnergie totale est due au travail

des forces de frottement.

M ode C :En mouvement forc

Lquation du mouvement est :

m

)t(Fzz2z

m2m

kAvec

)t(Fkzzm

2

00

0

2

0

La solution de lquation diffrentielle est :

)t(zj)t(zj

)t(z)t(zAvec

eVR)tcos(V)t(V)t(z )t(j0e0

En remplaant dans lquation du mouvement on obtient alors :

tj

2

20

0

0

e

)1(j2

m

F

)t(V

Le module de la vitesse est de forme :

2

2

2022

0

0

0

)1()2(

m

F

)(V

Ltude des variations du module de la vitesse :

0r

max00 V)(V

0d

)(dV

Pour cette pulsation on a le phnomne de rsonance.

Lallure de la courbeV0()est de forme :


65/141



Appl ication num rique:

02

01

01

02

02

0022max

2022r

01

0011max

1011r

)(V

)(V

m2

F)(V

m

k

m2

F)(V

m

k


66/141



Pr oblmes supplmentai res

Pr obl me 7 :

Soit un disque de masse ngligeable enroul par un fil inextensible et non glissant,

comme le montre la figure ci-dessous :

Modelibre:

Dans le cas des oscillations libres

Dterminer le Lagrangien du systme

Etablir lquation diffrentielle du mouvement.

En dduire la pulsation propre

Donner la solution gnrale avec les conditions suivantes :

0)0t( , 0)0t( .

M ode forc:

On admet que les frottements existent, la masse m1 effectue des oscillations forces

sous leffet dune force sinusodale : tcosf)t(f 0

Etablir la nouvelle quation du mouvement.

Dterminer le module de la solution permanente de lquation diffrentielle.


67/141


68/141

61Chapitre 5: Mouvement plusieurs degrs de liberts


Chapitre 5 :

Mouvement plusieurs degrs de libert


69/141



Rappel thor ique

On dfinit les systmes plusieurs degrs de liberts par les systmes qui

ncessitent plusieurs coordonnes indpendantes pour spcifier leurs. Le nombre dedegr de libert dtermine les modes propres.

Il existe deux types de systmes :

Systmes simples plusieurs sous systmes dcoupls comme le montre la

figure 5.1:

Il existe deux degrs de libert, 21 x,x

Le lagrangien du systme scrit alors :

2

1i

2

ii

2

i

2

1i

i xk2

1xm

2

1L

Les deux sous systmes sont indpendants et dcoupls :

1

1202

1

1201

2

2

022

12

011

2222

1111

m

k,

m

kavec

0xx

0xx

0xkxm

0xkxm

Les deux solutions des sous systmes sont indpendantes de formes :

)tcos(B)t(x

)tcos(A)t(x

2022

1011

Systmes complexe plusieurs sous systmes coupls comme le montre la

figure 5.2:


70/141


71/141


72/141


73/141


74/141



0kxkx2xm

0kxkx2xm

122

211

Les pulsations propres :

Les solutions du systme sont de types sinusodaux :

)t(j

2

)t(j

1

p

p

Be)t(x

Ae)t(x

En remplaant les solutions dans le systme diffrentiel, On obtient un

systme linaire symtrique suivant :

0kAB)k2m(

0kBA)k2m(2

p

2

p

Le systme admet des solutions non nulles si seulement si :

0k)k2m(0k2mk

kk2m0det 222p2

p

2p

Les deux pulsations propres sont :

m

k3

m

k

2

p2

2p1

Les solutions gnrales :

)tcos(B)tcos(B)t(x

)tcos(A)tcos(A)t(x

p22p112

p22p111

En appliquant les conditions initiales, on trouve :

t2sint2sinC)t(x

t2

cost2

cosC)t(x

p2p1p2p1

2

p2p1p2p11

Le phnomne tudi est le battement ou modulation damplitude.


75/141



Partie 3 :

Les quations du mouvement scrivent comme suit :

0kxkx2xm

efR)t(fkxkx2xm

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

122

tj0e211

22

11

Les solutions particulires sont :

)t(jp22

)t(j

p11

p

p

Be)t(x)t(x

Ae)t(x)t(x


systme linaire forc suivant :

jj

2p

02p

eBB~

AeA~

Avec

0A~

kB~

)k2m(

fB~

kA~

)k2m(

Les modules des amplitudes sont :

))((

m

kf

k2mk

kk2m

0k

fk2m

B

))((

)mk(

m

f

k2mk

kk2m

k2m0

kf

A

2p2

22p1

2

2

0

2p

2p

02p

2p2

22p1

2

20

2p

2p

2p

0

Les phnomnes tudis sont :

la rsonance


76/141



p2p1quandB

A

anti rsonance.

m

kquand

tetanconsB

0A

Pr obl me 2 :

On considre deux circuits lectriques )C,L,R( apind coupls reprsent par la figure

5.7 comme suit:

Quel est le nombre de degr de libert ?


Donner les quations du mouvement

On nglige les rsistances des deux circuits. On prend les nouvelles grandeurs

physiques tel que: indind2ind1 LLL et apap2ap1 CCC etapind

2

0CL

1 .

Etablir les nouvelles quations diffrentielles du mouvement.

En dduire les pulsations propres du systme en fonction de0.

Donner les solutions gnrales.

Quel est le modle mcanique quivalent ?

Solutions :

Nombre de degr de libert est 2 car les deux courants parcourus dans les deux

circuits sont diffrents.

Le Lagrangien du systme est exprim comme suit :


77/141


78/141



Le systme mcanique quivalent est reprsent par la figure 5.9 comme suit:

Pr oblme 3 :

On a un systme mcanique constitu par trois masses coupls par deux ressorts

identiques de constante de raideurkreprsent dans la figure 5.10 comme suit:


Dterminer les quations diffrentielles du mouvement.

En dduire les pulsations propres ainsi la nature du mouvement.

Donner la matrice de passage.

Donner les solutions gnrales.

Solutions : Le Lagrangien du systme:

232

221

2i

3

1i

i )xx(k2

1)xx(k

2

1xm

2

1L



79/141



0kxkxxm

0kxkxkx2xm2

0kxkxxm

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

233

3122

211

33

22

11


On considre les solutions du systme de type sinusodal :

)t(j

3

)t(j

2

)t(j

1

p

p

p

Ce)t(x

Be)t(x

Ae)t(x


systme linaire suivant :

0kBC)km(

0kCkAB)k2m2(

0kBA)km(

2p

2p

2p


0]k)km)[(km(0det 222p2p

Les pulsations propres sont :

m

k2

0

m

k

2p3

2p2

2p1

La matrice de passage scrit:

000

110

111

P


)tcos(

)tcos(

)tcos(

P

)t(x

)t(x

)t(x

3p3

2p2

1p1

1

2

1


80/141



Pr obl me 4 :

Sur un arbre OOhorizontal et fixe, de masse ngligeable, encastr ses extrmits O

etO, sont fixs trois disques (D1), (D2) et (D3) de centres respectifs O1, O2et O3 et demme moment dinertie J par rapport leur axe commun OO. On dsignera 1(t),

2(t) et3(t), les angles angulaires de rotation de chacun des trois disques par rapport

leur position de repos, figure 5.11 :

Les quatre partisOO1, O1O2, O2O3et O3Ode larbre ont mme constante de torsion C.

On poseraJ

C20 .

Rgi me libr e: Dterminer le Lagrangien de ce systme.

Etablir les quations diffrentielles du second ordre vrifies par les angles

1(t),2(t) et3(t).

En dduire les trois pulsations propres 1p,2p et3pde ce systme en fonction

de0.

Dterminer pour chaque des trois modes propres, les amplitudes angulaires des

disquesD2et D3si lamplitude angulaire du disqueD1estA= 1 radian.

Calculer lnergie mcanique totale ET de cette chane de trois disques, pour

chacun des modes propres, en fonction de C et de lamplitude angulaire 10 du

disqueD1.


81/141



Rgi me for c:

On applique au seul disque (D1) un couple moteur sinusodal de

moment )tcos()t( 0 ,de pulsation rglable et damplitude0.

Etablir en fonction du paramtre 2

0

)(X

, les amplitudes angulairesA1, A2 et

A3de chacun des disques en rgime forc.

Pour quelles valeurs deXce systme est il en rsonance ?

Solutions :

Rgi me libr e:

Le Lagrangien de ce systme.

21

23

232

221

2i

3

1i

C2

1C

2

1)(C

2

1)(C

2

1J

2

1L

Les quations diffrentielles sont :

0)2(

0)2(

0)2(

0

L

)

L

(dt

d

0L

)L

(dt

d

0L

)L

(dt

d

23

2

03

3122

02

212

01

33

22

11



)t(j

3

)t(j

2

)t(j

1

p

p

p

Ce)t(

Be)t(

Ae)t(

En remplaant les solutions dans le systme diffrentiel, On obtient unsystme linaire suivant :

0BC)2(

0CAB)2(

0BA)2(

20

20

2p

20

20

20

2p

20

20

2p



82/141



0])2()2)[(22(0

20

2

02

0det 22022

p20

20

2p

20

2p

20

20

20

2p

20

20

20

2p

Les pulsations propres sont :

22

22

2

0p3

0p2

0p1

Les amplitudes angulaires des disquesD2et D3

32120p3p

32120p2p

2320p1p

2222

2222

02

Lnergie mcanique totaleET :

21

23

232

221

2i

3

1i

T C2

1C

2

1)(C

2

1)(C

2

1J

2

1E

Rgi me for c:

Les amplitudes angulairesA1, A2et A3 :

0)2(

0)2(

)tcos()(CCJ

0L

)L

(dt

d

0L

)L

(dt

d

0L

)L

(dt

d

232

03

3122

02

02111

33

22

11

En rgime forc les solutions sont du type :

tj33

tj22

tj11

eA)t(

eA)t(

eA)t(

En remplaant dans le systme diffrentiel, on obtient le rsultat

suivant :


83/141



)X22)(X22)(X2(

1

CA

)X22)(X22(

1

CA

)X22)(X22)(X2(

)X3)(X1(

CA

03

02

01

Ce systme entre en rsonnance pour les valeurs deXsuivantes :

22X

22X

2X

Pr obl me 5 :On considre trois pendules simples identiques, de masses m, de longueurl, prsents

dans la figure 5.12. Les masses sont relies entre elles par lintermdiaire de deux

ressorts identiques, de raideur k. A lquilibre, les pendules sont verticaux, les trois

masses sont quidistantes sur une mme, et les ressorts ont leur longueur naturelle. Le

systme en mouvement est dfini, linstant t, par les longations angulaires 1, 2, 3

des pendules avec la verticale descendante. On poseram

k20 et

l

g20 .

Dterminer le Lagrangien du systme

Etablir les quations diffrentielles du second ordre vrifies par les longations

angulaires 1(t), 2(t),et 3(t)pour les petites oscillations du systme.

Dterminer les pulsations propres du systme.

Appl ication num rique:m=1kg, k=10N/m ; l=1m, g=10m s-2.


84/141



Dterminer le rapport des amplitudes angulairesA

Bet

A

Cpour chacun des

modes propres de ce systme.

Solutions :

Le Lagrangien du systme:

3

1i

i2

322

212

i

3

1i

2cosmgl)ll(k

2

1)ll(k

2

1ml

2

1L


0)(

0)2(

0)(

0L

)L

(dt

d

0L

)L

(

dt

d

0L

)L

(dt

d

22

032

02

03

32

012

022

02

02

22

012

02

01

33

22

11



)t(j3

)t(j

2

)t(j

1

p

p

p

Ce)t(

Be)t(

Ae)t(


systme linaire suivant :

0BC)(

0CAB)2(

0BA)(

20

20

20

2p

20

20

20

20

2p

20

20

20

2p

Le systme admet des solutions non nulles si seulement

0]3)32()[(

0

0

2

0

0det

20

20

40

2p

20

20

4p

20

20

2p

20

20

2p

20

20

20

20

2p

20

20

20

20

2p

Les pulsations propres sont alors:

s/rad32.63

s/rad46.4

s/rad16.3

p2020p3

p2

02

0p2

p0p1


85/141



Les rapports des amplitudes sont :

1A

C2

A

B3

1A

C0

A

B

1A

C1

A

B

20

20p3

2

0

2

0p2

0p1

Pr obl me 6:

Soit le systme mcanique, constitu de deux pendules simples de longueur l et de

massesm1, m2 reprsents dans la figure 5.13 comme suit :

Etablir le Lagrangien du systme

Donner les quations diffrentielles du mouvement pour les faibles oscillations.

On posel

g20 et

2

1

m

m . Dterminer1pet2p les pulsations propres du

systme en fonction des paramtres et0.

Solutions:

Le Lagrangien du systme :

Lnergie cintique scrit :

2m2

2m1c 21

Vm2

1Vm

2

1E

En calculant les vitesses par rapport au repre fixe :


86/141


87/141



Pr obl me 7:

Un ressort est relie par ses deux extrmits a deux points matriels, B de masse Met P de

masse m, figure 5.14. Ce dernier peut se dplacer sans frottement le long de laxe Ox tandis

que B est fixe lextrmit inferieur dun fil inextensible, de longueur l=OA, de masse

ngligeable, accroche en a un support horizontal et pouvant tourner librement autour de

laxe Az . Le ressort a une masse ngligeable, une raideurket une longueur a vide galement

ngligeable. Il a la possibilit, avecP, dtre gauche ou droite de B. le champ de pesanteur

est de la forme yugg et on suppose que langledfini par lattitude du fil relativement

la verticale reste petit.

Etablir le Lagrangien du systme

Dterminer les quations du mouvement

On posel

g20 ,

m

k21 ,

k22 et 2

1

20

2r

.

Mettre les quations du mouvement en fonction les paramtres 0,1et2.

On cherche une solution de la forme : tj

ppXex

et tj pYel .

Dterminer les modes propres p2p1 et

On nadmet dsormais quem=M.

Exprimer les deux pulsations propres p2p1 et en fonction deret 1.

En dduire la solution gnrale.

Solutions :


cosMgl)lx(k21)l(M

21xm

21L

2p

22p


88/141



Les quations du mouvement :

0lxx

0xl)(l2

1p2

1p

p22

20

22

Les solutions sont de forme :

tjp Xex

et tjYel .

En remplaant les solutions dans le systme diffrentiel, On

obtient un systme linaire symtrique suivant :

0YX)(

0Y)(X2

12

12p

22

20

2p

22


0))((0det 2221

21

2p

22

20

2p


21

20

21p2

21

20

221

20

21

202

p2

21p1

21

20

221

20

21

202

p1

2ravec

1r1r2

4)2(2

1r1r2

4)2(2


)tcos(Y)tcos(Y)t(Y

)tcos(X)tcos(X)t(x

p22p11

p22p11p

Pr obl me 8 :

Parti e A : Rgime libr e

Soient deux circuits )CL( apind identiques de rsistances ngligeables, figure 5.15.

Le couplage par inductance mutuelle M est caractris par le coefficient de

couplageindL

Mk . On posera

apind

20

CL

1 .


89/141



Ecrire les deux quations diffrentielles vrifies par les chargesq1(t) et q2(t)des

condensateurs des circuits (1) et (2).

Dterminer les quations diffrentielles vrifies par la sommeS(t)=q1+q2et la

diffrenceD(t)=q1-q2.

En dduire les pulsations propreset de ce systme coupl, en fonction

des paramtres0et k.

On admet le couplage faible (indL

Mk 1). A linstant t =0 o on ferme

linterrupteur, le condensateur du circuit (1) porte la charge q10 et celui du circuit (2)

est dcharg.

Montrer que la charge du condensateur du circuit (1) volue au cours du temps

suivant la loi:

tcostcosq)t(q 0101

O le paramtresera exprim en fonction de0et k.

En dduire la loi dvolution de la chargeq2(t)du circuit (2).

Quelle est la nature du phnomne tudi ? Commenter.

Par ti e B : Rgime for c:

Le circuit primaire (1), Figure 5.16 est maintenant aliment par un gnrateur

sinusodal de f..m. tel que tsinu)t(u 0 .


90/141



On tudie le circuit coupl en rgime permanent.

Exprimer les chargesq1(t)et q2(t)sous la forme

tcos)(A)t(q 1 et tcos)(B)t(q2

O on dterminera les amplitudesq1()et q2()en fonction deu0,Lind,0et k.

Dterminer la pulsation adanti rsonance pour laquelleq1(a) = 0. En

dduire lamplitudeq2(a).

Tracer lallure des graphesq1()etq2().

Solutions :

Les deux quations diffrentielles :

0dt

diM

dt

diL

C

q2Circuit

0dt

diM

dt

diL

C

q1Circuit

12ind

ap

2

21ind

ap

1

En introduisant le couplage

indL

Mk , on obtient :

0Dk1

D

0Sk1

S

0qkqq2Circuit

0qkqq1Circuit2

0

2

0

12

2

02

21

2

01

Les pulsations propreset sont :

k1et

k1

00

Les lois dvolution des chargesq2(t) et q2(t):


91/141



2

kAvec

tsint

2

ksinq)t(q

tcost2

kcosq)t(q

0

00

12

00

11

0

0

La nature du mouvement : Les battements

Par ti e B : Rgime for c:

Les chargesq1(t)et q2(t) :

0dt

diM

dt

diL

C

q2Circuit

eudt

diM

dt

diL

C

q1Circuit

12ind

ap

2

tj

021

ind

ap

1

En introduisant le couplageindL

Mk , on obtient :

0qkqq2Circuit

e

L

uqkqq1Circuit

12

2

02

tj021

2

01

Les solutions particulires :

tcos)(A)t(q 1 et tcos)(B)t(q2

En remplaant dans le systme diffrentiel, on obtient alors :

0AkB)(2CircuitL

uBkA)(1Circuit

22

0

2

022

0

2

Alors aprs le calcul, on aura :


92/141



222220

2

ind

0

22222

0

22

0

ind

0

)k()(

k

L

u)(B

)k()(L

u)(A

La pulsationadanti rsonance :

2

0ind

0A0A

k

1

L

u)(B

Pr oblme 09 :

Deux pendules simples identiques O1A1 et O2A2 de masse m et de longueur l, sont

coupls par un ressort horizontal de raideurkqui relie les deux masses A1et A2,figure

5.18. A lquilibre, le ressort horizontal a sa longueur naturellel0tel quel0= O1O2.

Les deux pendules sont reprs, linstant t, par leurs longations angulaires 1 et 2

supposes petites par rapport leur position verticale dquilibre. On dsignera g

lacclration de la pesanteur.

M odes propres : Dterminer le Lagrangien du systme.

Etablir les quations diffrentielles couples vrifies par les deux longations

angulaires instantanes1et 2

Exprimer en fonction deg, k, l et m, les deux pulsations propres 1p et 2pde ce

systme.

Appli cation s nu mr iques: Calculer1pet 2psachant que:

m= 100g ; l= 80cm ; k=9.2 N/m et g= 9.8m/s2.


93/141



On lche sans vitesses initiales le systme linstant t=0 dans les conditions initiales

suivantes :1=0et 2=0

En dduire les lois dvolution.1et 2aux instants t0. Quel est le phnomne tudi.

M odes for cs :

La masseA est soumise une force excitatrice horizontale de forme :

)tcos(F)t(F 0

Ecrire les nouvelles quations diffrentielles couples en1et 2.

Exprimer les relations complexes qui concernent les vitesses linairesV1 et V2

des pointsA1et A2en rgime forc.

En dduire limpdance dentre complexe1

e

V~

FZ .

Solutions :


2

1i

i2

212

i

2

1i

2cosmgl)ll(k

2

1ml

2

1L

Les quations diffrentielles couples :

122

211

m

k)

m

k

l

g(

m

k)

m

k

l

g(

Les pulsations propres1pet 2p:


)t(j

2

)t(j

1p

p

Be)t(

Ae)t(

En remplaant les solutions dans le systme diffrentiel, On

obtient un systme linaire symtrique suivant :

0B)m

k

l

g(A

m

k

0Bm

kA)

m

k

l

g(

2p

2p



94/141



0)m

k()

m

k

l

g(0det

222

p


s/rad14m

k2

l

g

s/rad5.3l

g

p22

p2

p12

p1


)tcos(B)tcos(B)t(

)tcos(A)tcos(A)t(

p22p112

p22p111

En appliquant les conditions initiales, on trouve :

t2

t2

Avec

tsintsinc)t(x

tcostcosc)t(x

t2

sint2

sinC)t(x

t2

cost2

cosC)t(x

p1p2p1p2

2

1

p2p1p2p1

2

p2p1p2p1

1

Le phnomne tudi est les battements.

M odes for cs :

Les nouvelles quations diffrentielles couples :

0kl)klmg(ml

tcosFkl)klmg(ml

122

0211

Les relations complexes qui concernent les vitesses linairesV1et V2 :

Les solutions particulires sont :

22

11

lj)t(V~

lj)t(V~


0V~

)m

k

l

g(V

~

m

k

e

m

FjV

~

m

kV~

)

m

k

l

g(

22

1

tj021

2

Limpdance dentre complexe :

)mkl

mg(

mkl

mg

kj

V~

FZ

2

2

2

1

e

Ce systme mcanique fonctionne comme un filtre de frquence puisque son

impdance varie en fonction de la frquence.


95/141



Pr oblme 10:

Soit un pendule de masse m et de longueur l pivote autour de M qui glisse sans

frottement sur le plan horizontal, comme le montre la figure 4.16, comme suit :

Partie A :

Dterminer le Lagrangien du systme ?

En dduire les quations diffrentielles de mouvements.

Dterminer les pulsations propres du systme.

Trouver le rapport damplitude dans les modes normaux.

Donner les solutions gnrales lorsque : M tend vers linfini et l tend vers 0.

Discuter.

Partie B :

On impose au point s un mouvement sinusodal de type tsinaxs comme le montre

la figure 5.20 :


96/141

89Chapitre 5: Mouve

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