ESCE UM AVEIRO
Analyse Numérique
Saiida LAZAAR
ENSA de TangerUniversité AbdelMalek Essaadi, Maroc
Méthodes numériques pour la résolution d’équations différentielles
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Plan
1 Introduction
2 Méthode d’Euler
3 Méthodes à un pas
4 Définitions générales
5 Méthode de Runge Kutta
6 Conclusion
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Introduction
Plan
1 Introduction
2 Méthode d’Euler
3 Méthodes à un pas
4 Définitions générales
5 Méthode de Runge Kutta
6 Conclusion
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Introduction
- Certaines équations différentielles ne peuvent pas être résolues sousforme explicite. Ex. : dy
dt = y2 − t
- Cependant, on peut approximer la solution de ces équations par desméthodes numériques.
- Nous allons nous concentrer sur le problème de Cauchy et nousallons voir des méthodes d’approximation de type Euler, et RungeKutta.
- Par soucis de simplicité, nous allons nous restreindre aux méthodesà un pas.
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Introduction
Problème de Cauchy
HypothèsesSoit I un intervalle de IR non réduit à un point, soit t0 ∈ I.f désigne une fonction continue sur I × IR à valeurs dans IR. Soity0 un réel donné.
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Introduction
Problème de Cauchy
DéfinitionOn appelle problème de Cauchy le problème suivant : Trouver y unefonction continue et dérivable sur I à valeurs réelles telle que :
∀t ∈ I, y′(t) = f (t , y(t)), y(t0) = y0
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Méthode d’Euler
Plan
1 Introduction
2 Méthode d’Euler
3 Méthodes à un pas
4 Définitions générales
5 Méthode de Runge Kutta
6 Conclusion
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Méthode d’Euler
Méthode d’Euler
IntroductionSoit le problème différentiel suivant : trouver y telle que∀t ∈ [t0, t0 + T ] y
′(t) = f (t , y(t)), y(t0) = y0
Nous supposons que f est continue sur [t0, t0 + T ]× IR et vérifie unehypothèse de Lipshitz :
∃L/∀t ∈ [t0, t0 + T ], |f (t , y)− f (t , z)| ≤ L|y − z|, ∀y , z ∈ IR
Nous allons voir que le problème de Cauchy admet une solutionunique qu’on va approcher de façon discrète.
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Méthode d’Euler
Solution du problème de Cauchy
DiscrétisationOn se donne une subdivision de [t0, t0 + T ] soit :
t0 < t1 < ... < tN = (t0 + T )
On pose hn = tn+1 − tn pour n = 0, ...,N − 1 le pas de discrétisation eton note h = maxhn
Solution numériqueSi y désigne la solution du problème de Cauchy, on :
y(tn+1) = y(tn) +
∫ tn+1
tny
′(t)dt = y(tn) +
∫ tn+1
tnf (t , y(t))dt
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Méthode d’Euler
Solution du problème de Cauchy
Schéma d’Euler
La méthode d’Euler s’écrit en remplaçant∫ tn+1
tn f (t , y(t))dt parf (tn, yn).hn dans l’équation précédente.On remarque ici une approximation de l’intégrale par une méthode dequadrature.
Schéma d’Euler explicite et impliciteDans la solution précédente, on change seulement le terme f (., yn), onintroduit tn ou tn+1
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Méthode d’Euler
Solution du problème de Cauchy
Schéma d’Euler explicite
yn+1 = yn + hnf (tn, yn)
Schéma d’Euler implicite
yn+1 = yn + hnf (tn+1, yn+1)
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Méthodes à un pas
Plan
1 Introduction
2 Méthode d’Euler
3 Méthodes à un pas
4 Définitions générales
5 Méthode de Runge Kutta
6 Conclusion
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Méthodes à un pas
Méthodes à un pas
DéfinitionConsidérons le problème de Cauchy avec la condition de Lipshitz et lamême subdivision de l’intervalle I.
Une méthode à un pas s’écrit :{yn+1 = yn + hnΦ(tn, yn,hn),n ≥ 0y0 = η
On suppose que Φ est continue et ne dépend que de f .
Remarque : Φ(t , y ,h) = f (t , y) pour la méthode d’Euler.
ThéorèmeSi la méthode à un pas est stable et consistante, alors elle estconvergente.
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Définitions générales
Plan
1 Introduction
2 Méthode d’Euler
3 Méthodes à un pas
4 Définitions générales
5 Méthode de Runge Kutta
6 Conclusion
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Définitions générales
Consistance, convergence, stabilité
ConsistanceLa méthode à un pas est consistance avec l’équation différentielleinitiale si pour toute solution du problème de Cauchy, on ait :
∑N−1i=0 |y(tn+1)− y(tn)− hnΦ(tn, y(tn),hn)| → 0 quand hn → 0.
Convergencemaxn|y(tn)− yn| → 0.
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Définitions générales
Ordre d’une méthode à un pas
DéfinitionLa méthode à un pas est d’ordre p > 0 s’il existe un réel Kindépendant de y et de Φ tel que :
N−1∑n=0
|y(tn+1)− y(tn)− hnΦ(tn, y(tn),hn)| ≤ Khp
pour toute solution y ∈ Cp+1[t0, t0 + T ¸] de l’équation y′(t) = f (t , y(t))
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Définitions générales
Exemple de méthodes à un pas
Méthode du développement de Taylor
voir les détails au tableau.
*Pour p = 1, on retrouve la méthode d’Euler.
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Méthode de Runge Kutta
Plan
1 Introduction
2 Méthode d’Euler
3 Méthodes à un pas
4 Définitions générales
5 Méthode de Runge Kutta
6 Conclusion
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Méthode de Runge Kutta
Méthode de Runge Kutta
Les méthodes de Runge-Kutta sont des méthodesd’approximation de solutions d’équations différentielles.En 1901, elles ont été nommées en l’honneur des mathématiciensCarl Runge et Martin Wilhelm Kutta.Ces méthodes reposent sur le principe d’itération : Une 1èreestimation de la solution est utilisée pour calculer une secondeplus précise.
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Méthode de Runge Kutta
Méthode de Runge Kutta d’ordre q
Définition
tn,i = tn + cihn
yn,i = yn + hn∑
1≤j<i
aijpn,j
pn,i = f (tn,i , yn,i)tn+1 = tn + hn
yn+1 = yn + hn∑
1≤j<q
bjpn,j
On a toujours :∑
1≤j<i aij = ci ,∑
1≤j<q bj = 1.
**Pour les méthodes d’ordre 2 et 4, voir explications au tableau.
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Conclusion
Plan
1 Introduction
2 Méthode d’Euler
3 Méthodes à un pas
4 Définitions générales
5 Méthode de Runge Kutta
6 Conclusion
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Conclusion
ConclusionNous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analysenumérique.Une introduction à la discrétisation numérique a également étéprésentée.Les schémas numériques présentés ont été illustrés sur unmodèle mathématique régi par une équation de typey
′(t) = f (t , y(t)).
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