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MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES

A. Bechata

N. de Granrut

Table des matières

Chapitre 1. Bases mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Principaux types de raisonnement 1 – 2. Opérations sur les ensembles 3 – 3. Applica-tions 3 – 4. Relation d’équivalence, relation d’ordre 3 – Exercices 5 – Corrigés 9

Chapitre 2. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1. Écriture cartésienne 19 – 2. Exponentielle d’un imaginaire pur 20 – 3. Écriture expo-nentielle d’un complexe 20 – 4. Racines n-ièmes d’un complexe 21 – 5. Interprétationgéométrique 22 – 6. Exponentielle d’un complexe 22 – Exercices 23 – Corrigés 27

Chapitre 3. Manipulations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1. Symbole somme et produit 41 – 2. Sommes remarquables 42 – Exercices 45 –Corrigés 48

Chapitre 4. Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1. Dérivation 55 – 2. Bijections 56 – 3. Fonctions usuelles 57 – 4. Fonctions trigonomé-triques et réciproques 58 – Exercices 60 – Corrigés 63

Chapitre 5. Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1. Primitives 75 – 2. Équations différentielles linéaires 75 – 3. Résolution des EDL1 76 –4. Résolution des EDL2 à coefficients constants 77 – Exercices 80 – Corrigés 83

Chapitre 6. Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1. Suites usuelles 95 – 2. Limites des suites numériques 96 – 3. Comparaison des suitesusuelles 98 – Exercices 100 – Corrigés 104

Chapitre 7. Limites de fonctions, continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1. Limite 117 – 2. Continuité 118 – 3. Intervalles et continuité 119 – Exercices 121 –Corrigés 125

Chapitre 8. Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

1. Fonctions de classe C n . 137 – 2. Propriétés des fonctions de classe C n 138 – 3. Appli-cations aux suites u n+1 = f (u n ) 140 – Exercices 141 – Corrigés 146

Chapitre 9. Études locales et asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

1. Comparaison des fonctions 161 – 2. Comparaison des suites 163 – 3. Développementslimités 163 – Exercices 165 – Corrigés 169

Chapitre 10. Arithmétique des entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

1. Divisibilité et division euclidienne 185 – 2. PGCD et algorithme d’Euclide 186 –3. Nombres premiers entre eux 187 – 4. Nombres premiers 188 – 5. Congruences 189 –Exercices 190 – Corrigés 194

III

Table des matières

Chapitre 11. Structures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

1. Loi de composition interne 205 – 2. Groupes 205 – 3. Anneaux 207 – 4. Corps 208 –Exercices 209 – Corrigés 213

Chapitre 12. Polynômes et fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

1. Propriétés arithmétiques des polynômes 225 – 2. Racines de polynômes 226 –3. Fractions rationnelles 228 – Exercices 229 – Corrigés 233

Chapitre 13. Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

1. Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels 245 – 2. Familles de vecteurs 246 –3. Applications linéaires 247 – 4. Somme d’un nombre fini de sous-espaces 248 –5. Endomorphismes remarquables 249 – Exercices 250 – Corrigés 254

Chapitre 14. Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

1. Dimension d’un espace vectoriel 265 – 2. Dimension d’un sous-espace 266 – 3. Théo-rème du rang 267 – 4. Forme linéaire et hyperplan 267 – Exercices 269 – Corrigés 273

Chapitre 15. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

1. Calcul matriciel 283 – 2. Matrices d’applications linéaires 286 – 3. Matrices d’endo-morphismes 287 – Exercices 288 – Corrigés 293

Chapitre 16. Échelonnement et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

1. Opérations élémentaires 305 – 2. Systèmes linéaires 308 – Exercices 310 – Corri-gés 313

Chapitre 17. Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

1. Permutation 321 – 2. Déterminant 321 – 3. Développement des déterminants 322 –4. Formes n-linéaires alternées 323 – 5. Caractérisation des bases, isomorphismes etdes inversibles 324 – Exercices 326 – Corrigés 331

Chapitre 18. Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

1. Produit scalaire 345 – 2. Orthogonalité 346 – 3. Bases orthonormales 346 – 4. Projec-tion orthogonale 347 – 5. Groupe orthogonal 348 – Exercices 349 – Corrigés 353

Chapitre 19. Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

1. Intégrale d’une fonction continue par morceaux 365 – 2. Intégration et dérivation 367– 3. Formules de Taylor 367 – Exercices 368 – Corrigés 372

Chapitre 20. Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

1. Généralités 385 – 2. séries à termes positifs 386 – 3. Séries à termes quelconques 388– Exercices 389 – Corrigés 393

Chapitre 21. Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

1. Cardinal 407 – 2. Listes et combinaisons 408 – Exercices 411 – Corrigés 415

IV

Table des matières

Chapitre 22. Probabilités sur un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

1. Espaces probabilisés 427 – 2. Probabilités conditionnelles 429 – Exercices 432 –Corrigés 437

Chapitre 23. Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

1. Loi 451 – 2. Indépendance 452 – 3. Espérance 453 – 4. Variance, écart-type 454 –Exercices 456 – Corrigés 461

Chapitre 24. Problèmes de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

Corrigés 483

V

MÉTHODE

11Chapitre

Structures algébriques

1. Loi de composition interne

Définition 11.1.

Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne sur E toute applica-tion ∗ : E ×E → E , c’est-à-dire que :

∀�

x , y�

∈ E 2, x ∗ y ∈ E .

Si ∗ est une loi de composition interne sur E , on dit :

• que ∗ est associative si : ∀�

x , y , z�

∈ E 3, x ∗�

y ∗ z�

=�

x ∗ y�

∗ z ;• que ∗ est commutative si : ∀

�

x , y�

∈ E 2, x ∗ y = y ∗x ;• que e ∈ E est un élément neutre pour ∗ si : ∀x ∈ E , e ∗x = e = x ∗ e ;• que x ∈ E est inversible pour la loi ∗ s’il existe y ∈ E tel que y ∗x = e = x ∗ y ;• qu’une partie F de E est stable par ∗ si ∀

�

x , y�

∈ F 2, x ∗ y ∈ F.

Exemple

L’addition sur N est une loi de composition interne, elle est associative et 0 estl’élément neutre pour ∗. Par contre, aucun élément deN\{0} ne possède d’inversepar +, car, si n ¾ 1, alors ∀m ∈N, n +m ¾ 1⇒ n +m 6= 0.

2. Groupes

Définition 11.2.

On appelle groupe tout couple (G ,∗) où G est un ensemble non vide et ∗ une loide composition interne sur G . Cette loi ∗ doit être associative, posséder un élémentneutre eG et tout élément de G est inversible. Pour tout x ∈G , on note x−1 sonunique inverse et, pour tout n ∈Z, on définit x n par :

x 0 = eG , x n =

x ∗ · · · ∗x︸︷︷︸

n fois

si n ∈N∗

(x−n )−1 si n ∈Z∗−.

...

205

Maths MPSI

On dit que le groupe (G ,∗) est commutatif si ∗ est une loi commutative. Dans cecas, on note plutôt «+ » la loi ∗ (sauf si cela prête à confusion). L’élément neutre senote 0G , l’inverse de tout élément x ∈G se note −x et, pour tout entier n ∈Z, ondéfinit nx par :

0x = 0G , nx =

x + · · ·+x︸︷︷︸

n fois

si n ∈N∗

− ((−n )x ) si n ∈Z∗−.

Définition 11.3. : Sous-groupe

Soit (G ,∗) un groupe et H un ensemble. On dit que que H est un sous-groupe de(G ,∗) si (H ⊂G et (H ,∗) est un groupe).

Théorème : Caractérisation des sous-groupes

Soit (G ,∗) un groupe et H un ensemble. H est un sous-groupe de (G ,∗) si lesquatre propriétés suivantes sont vérifiées :

H ⊂G ; eG ∈H ; ∀�

x , y�

∈H 2, x ∗ y ∈H , ∀x ∈H , x−1 ∈H .

Théorème : Groupes usuels

Les ensembles suivants sont des groupes commutatifs pour les lois habituellesd’addition et de multiplication dans les nombres.

• (Z,+) ,�

Q,+�

, (R,+) , (C,+) .•�

Q,×�

,�

Q∗+,×�

, (R∗,×) ,�

R∗+,×�

, (C∗,×) .• (U,×) , (Un ,×) où l’on a poséU= {z ∈C, |z |= 1} et Un = {z ∈C, z n = 1} avec

n ∈N∗.

Exemple

Soit n ∈ N, on note nZ = {na , a ∈Z}. Montrons que (nZ,+) est un groupe enprouvant qu’il s’agit d’un sous-groupe de (Z,+) . On a évidemment nZ⊂Z et (Z,+)est un groupe. 0Z = 0 = n0 ∈ nZ . Si x , y ∈ nZ, alors il existe (a ,b ) ∈ Z2 tel quex = na et y = nb , donc :

x + y = n

∈Z︷︸︸︷

(a +b )∈ nZ et −x = n

∈Z︷︸︸︷

(−a )∈ nZ.

Définition 11.4. : Ensemble des permutations

Soit X un ensemble non vide, on noteSX l’ensemble des applications f : X →Xqui sont bijectives. Tout élément deSX s’appelle une permutation de X .

206

CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES

MÉTHODEThéorème : Groupe des permutations

L’ensemble (SX ,◦) (ensemble des permutations de X muni de la composition)est un groupe (non commutatif sauf si X possède un seul élément).

3. Anneaux

Définition 11.5.

On appelle anneau tout triplet (A,+,×) où A est un ensemble non vide,+ et ×deux lois de compositions internes telles que :

• (A,+) est un groupe (d’élément neutre 0A ) ;• × est associative sur A, admet un élément neutre noté 1A et est distributive

par rapport à «+ », c’est-à-dire que :

∀�

x , y , z�

∈ A3, x ×�

y + z�

=�

x × y�

+(x × z ) ,�

y + z�

×x =�

y ×x�

+(z ×x ) .

Si x , y sont deux éléments de A, on dit qu’ils commutent si x × y = y ×x .

Si la loi × est commutative, on dit que l’anneau (A,+,×) est commutatif.

Théorème : Anneaux usuels

Les ensembles (Z,+,×) ,�

Q,+,×�

, (R,+,×) , (C,+,×) sont des anneaux commu-tatifs (pour l’addition et la multiplication usuelle).

Exemple

On note D=§ a

10n, (a , n )∈Z×N

ª

(ensemble des nombres décimaux). Montrons

que (D,+,×) est un anneau commutatif. Si x , y ∈D, il existe (a ,b )∈Z2 et (n , m )∈

N2 tels que x =a

10net y =

b

10m, donc :

x − y =

∈Z︷︸︸︷

a 10m −b 10n

10n+m∈D et x y =

∈Z︷︸︸︷

ab

10n+m∈D.

Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de D. Les lois +et × sont associatives et commutatives sur R, donc sur D. La distributivité de lamultiplication sur l’addition étant vraie surR, elle est encore vraie surD. En outre,on a :

0R = 0=0

100∈D, 1R =

1

100∈D.

Puisque + et × admettent comme éléments neutres respectifs 0R et 1R dans R, etque ces deux éléments sont dansD, on en déduit de+ et× admettent des élémentsneutres dansD. Par conséquent, (D,+,×) est un anneau commutatif.

207

Maths MPSI

Définition 11.6. : Inversibles d’un anneau

Si (A,+,×) est un anneau, on noteUA l’ensemble des inversibles de A pour la loi×, c’est-à-dire :

UA =�

x ∈ A, ∃y ∈ A, x × y = 1A = y ×x

.

Théorème : Groupe des inversibles d’un anneau

Soit (A,+,×) un anneau, alors (UA ,×) est un groupe.

Théorème : Formule du binôme

Soit (A,+,×) un anneau et a ,b ∈ A deux éléments qui commutent, alors, pourtout entier naturel n , on a :

(a +b )n =n∑

k=0

�

n

k

�

a k b n−k .

Théorème : Formule de Bernoulli

Soit (A,+,×) un anneau et a ,b ∈ A deux éléments qui commutent, alors pourtout entier naturel n , on a :

a n −b n = (a −b )n−1∑

k=0

a k b n−1−k .

4. Corps

Définition 11.7.

On appelle corps tout anneau (K ,+,×) commutatif dont tous les éléments diffé-rents de 0A sont inversibles pour la loi ×.

Théorème : Corps usuels

Les ensembles�

Q,+,×�

, (R,+,×) , (C,+,×) sont des corps (pour l’addition et lamultiplication usuelle).

208

ExercicesStructures algébriques

Exercices guidés

Exercice A (10 min.)

Soit (G ,∗) un groupe. On pose :

Z (G ) =�

x ∈G , ∀y ∈G , x ∗ y = y ∗x

.

Montrer que (Z (G ) ,∗) est un groupe.

Exercice B (20 min.)

On note Z2 =§a

b, (a ,b )∈Z×Z∗ avec b un entier impair

ª

.

1) Montrer que (Z2,+,×) est un anneau. Est-ce un corps ?2) Déterminer les inversibles de Z2.

Exercice C (15 min.)

Soit G un sous-groupe de (C∗,×) . On suppose que G =�

g 1, ..., g n

est un ensemblefini formé de n éléments distincts.

1) Soit z ∈G . Montrer que∏

g∈G

�

z g�

=∏

g∈G

g .

2) En déduire que G =Un .

Exercices

Exercice 1 (5 min.)

Soit (G ,∗) un groupe tel que ∀x ∈G , x 2 = eG . Montrer que ∗ est commutative.Indication : On pourra considérer

�

x ∗ y�2 avec x , y ∈G .

Exercice 2 (20 min.)

Soit (G ,∗) un groupe. On note :

FG =�

x ∈G , ∃nx ∈N∗, x nx = eG

.

1) On suppose que (G ,∗) est commutatif. Montrer que (FG ,∗) est un groupe.

209

EXERCICES

Maths MPSI

2) On suppose que G =SR =�

f :R→R bijective

, qui est un groupe pour la com-position.Montrer que (FG ,◦) n’est pas un groupe.Indication : On pourra utiliser les fonctions :

f 1 : x 7→ −x et f 2 : x 7→ 1−x .


Soit (G ,∗) un groupe. Pour tout a ∈G , on note :

Φa :

¨

G → Gx 7→ a ∗x ∗a−1 et IG = {Φa , a ∈G } .

1) Soit (a ,b )∈G 2. Déterminer c ∈G tel que Φa ◦Φb =Φc . En déduire que Φa est unebijection et expliciter (Φa )−1 .

2) Montrer que (IG ,◦) est un groupe et l’expliciter lorsque (G ,∗) est commutatif.


Soit (G ,∗) un groupe fini. On considère une partie H non vide de G , stable par ∗ ettelle que eG ∈H .Montrer que H est un sous-groupe de G .Indication : Pour x ∈H fixé, on pourra montrer que l’application f : y 7→ y ∗x est unebijection de H sur H .


Soit P une partie de R3. On note :

HP =�

σ ∈S{1,2,3}, /∀ (x1,x2,x3)∈ P,�

xσ(1),xσ(2),xσ(3)�

∈ P

.

Montrer que (HP ,◦) est un groupe.Rappelons que S{1,2,3} désigne les permutations (bijections) de l’ensemble {1, 2, 3} .


On note H =¦

x + yp

3,�

x , y�

∈Z2 /x 2−3y 2 = 1©

.1) Justifier que H ⊂R∗.2) Établir que (H ,×) est un sous-groupe de (R∗,×) .


Soit (G ,+) un groupe commutatif. Pour tout élément x de G , on note :

x +A = {x +a , a ∈ A} .

Montrer que H = {x ∈G , A = x +A} est un sous-groupe de G .


Soit j = exp

�

2πi

3

�

, on rappelle que 1+ j + j 2 = 0. On note :

Z�

j�

=¦

a +b j , (a ,b )∈Z2©

.

Montrer que�

Z�

j�

,+,×�

est un anneau commutatif.

210



Soit j = exp

�

2πi

3

�

, on noteZ�

j�

=�

a +b j , (a ,b )∈Z2

. On admet que�

Z�

j�

,+,×�


1) Établir que, si z ∈Z�

j�

, alors |z |2 ∈N.2) Soit z ∈Z

�

j�

. Prouver que |z |= 1 si, et seulement si, z est inversible.3) Démontrer que Z

�

j�

possède un nombre fini d’inversibles et les expliciter.


On note Z�p

2�

=¦

a +bp

2, (a ,b )∈Z2©

. Montrer que�

Z�p

2�

,+,×�

est un anneaucommutatif.


On note Z�p

2�

=¦

a +bp

2, (a ,b )∈Z2©

. On admet que�

Z�p

2�

,+,×�

est un an-neau.

1) Soit z = a+bp

2∈Z�p

2�

avec (a ,b )∈Z2. On suppose que a 2−2b 2 =±1. Montrer

que z est inversible dans Z�p

2�

.

2) Expliciter un élément z 6= ±1 inversible dans Z�p

2�

. En déduire que Z�p

2�

admet une infinité d’éléments inversibles.


On noteZ�p

2�

=¦

a +bp

2, (a ,b )∈Z2©

. On admet que�

Z�p

2�

,+,×�

est un anneaucommutatif.

1) Montrer que, si a +bp

2= 0 avec (a ,b )∈Z2, alors a =b = 0.2) Soit (a ,b , c , d )∈Z2. On pose :

z = a +bp

2, z ′ = c +dp

2, w = a −bp

2, w ′ = c −dp

2.

On suppose que z est inversible dans Z�p

2�

d’inverse z ′.a) Justifier que w est inversible et que son inverse est w ′.b) En déduire que a 2−2b 2 =±1.


On noteQ [i ] =�

a +b i , (a ,b )∈Q2

. Montrer que�

Q [i ] ,+,×�

est un corps.


On noteQ�p

2�

=¦

a +bp

2, (a ,b )∈Q2©

. Montrer que�

Q�p

2�

,+,×�

est un corps.


On noteQ�p

2�

=¦

a +bp

2, (a ,b )∈Q2©

. On admet que�

Q�p

2�

,+,×�

est un corps.

Soit K un corps tel que K ⊂Q�p

2�

.

1) Montrer queQ⊂ K .2) On suppose queQ 6= K . Montrer que K =Q

�p2�

.

211

EXERCICES

Maths MPSI


Soit (A,+,×) un anneau commutatif possédant un nombre fini d’éléments et tel que :

∀�

x , y�

∈ A2, x y = 0⇒ x = 0 ou y = 0.

Montrer que (A,+,×) est un corps.

212

CORRIGÉS

CorrigésStructures algébriques

Corrigés des exercices guidés

Exercice AMontrons qu’il s’agit d’un sous-groupe de (G ,∗) . Il est immédiat que Z (G )⊂G et que(G ,∗) est un groupe. eG ∈Z (G ), car :

∀y ∈G , eG ∗ y = y = y ∗ eG .

Soit x ,x ′ ∈Z (G ) , on a :

∀y ∈ G ,�

x ∗x ′�

∗ y = x ∗�

x ′ ∗ y�

=x ′∈Z (G )

x ∗�

y ∗x ′�

=�

x ∗ y�

∗x ′ =x∈Z (G )

�

y ∗x�

∗x ′ = y ∗�

x ∗x ′�

,

donc x ∗x ′ ∈Z (G ) . En outre, on a :

∀y ∈ G , x ∗ y = y ∗x ⇒x−1∗

eG ∗ y = x−1 ∗ y ∗x

⇔ y = x−1 ∗ y ∗x ⇒∗x−1

y ∗x−1 = x−1 ∗ y ∗�

x ∗x−1�

⇔ y ∗x−1 = x−1 ∗ y ⇒ x−1 ∈Z (G ) ,

ce qui démontre que Z (G ) est un sous-groupe de (G ,∗), donc (Z (G ) ,∗) est un groupe.

Exercice B

1) Soit�

x , y�

∈ Z2, il existe (a , a ′) ∈ Z2, (b ,b ′) ∈ (Z∗)2 tels x =a

b, y =

a ′

b ′et b ,b ′ sont

des entiers impairs. On a :

x − y =

∈Z︷︸︸︷

ab ′−a ′b

bb ′︸︷︷︸

impair

∈Z2, x y =

∈Z︷︸︸︷

a a ′

bb ′︸︷︷︸

impair

∈Z.

Par conséquent,+ et× sont des lois de compositions internes de Z2. Les lois+ et× sontassociatives et commutatives surR, donc sur Z2. La distributivité de la multiplicationsur l’addition étant vraie surR, elle est encore vraie sur Z2. En outre, on a :

0R =0

1∈Z2, 1R =

1

1∈Z2.

Puisque+ et × admettent comme éléments neutres respectifs 0R et 1R dansR, et queces deux éléments sont dans Z2, on en déduit de+ et× admettent des éléments neutres

213

Maths MPSI

dans Z2. Ainsi, (Z2,+,×) est un anneau. Par contre, ce n’est pas un corps. En effet, le

nombre 2 =2

1∈ Z2, mais il n’existe aucun élément x =

a

b∈ Z2 ((a ,b ) ∈ Z×Z∗ avec b

impair) tel que :

2x = 1⇔ 2�a

b

�

= 1⇔ b︸︷︷︸

impair

= 2a︸︷︷︸

pair

ce quiest impossible. Par conséquent, (Z2,+,×) n’est pas un corps.

2) Soit x =a

b∈Z2 ((a ,b )∈Z×Z∗ avec b impair) un élément inversible de Z2, il existe

y =a ′

b ′∈Z2 ((a ′,b ′)∈Z×Z∗ avec b ′ impair) tel que :

x y = 1⇔a a ′

bb ′= 1⇔ a a ′ =bb ′.

Comme bb ′ est un entier impair, on est assuré que a a ′ est un entier impair, donc il estindispensable que a ne soit pas un entier pair (le produit d’un entier pair par un entierest un entier pair).

Réciproquement, si x =a

b∈ Z2 avec (a ,b ) ∈ Z×Z∗ et a ,b des entiers impairs, alors

x 6= 0 et1

x=

b

a∈Z2, car (b , a )∈Z×Z∗ et a est un entier impair.

Par conséquent, les inversibles de Z2 sont exactement les éléments de la formea

bavec

(a ,b )∈Z×Z∗ et a ,b sont des entiers impairs.

Exercice C1) Puisque G est un sous-groupe de (C∗,×) , pour tout b ∈G , z g ∈G . On peut, donc

considérer f :

¨

G → Gg 7→ z g

. Elle est injective, car :

∀�

g , g ′�

∈G 2, f�

g�

= f�

g ′�

⇔ z g = z g ′ ⇔×z−1

g = g ′.

L’application f étant injective entre deux ensembles finis de même cardinal, elle estbijective. On peut alors effectuer le changement de variable h = f

�

g�

⇔ g = f −1 (h), cequi nous donne :

∏

g∈G

�

z g�

=∏

g∈G

f�

g� h= f (g )=

g= f −1(h)

∏

h∈ f −1(G )=G

h =∏

h∈G

h =g=h

∏

g∈G

g .

2) D’après la question précédente et par multiplicativité de∏

, on a :

∏

g∈G

g =∏

g∈G

�

z g�

=

∏

g∈G

z

∏

g∈G

g

= z n

∏

g∈G

g ⇒ z n = 1

(en divisant par∏

g∈G

g qui est non nul). Ceci fournit l’inclusion G ⊂Un . Comme G etUn

sont deux ensembles finis de même cardinal, on en déduit que G =Un .

214

CORRIGÉS


Corrigés des exercices

Exercice 1Pour tout

�

x , y�

∈G 2, on a :�

x y�2 = eG ⇔ x ∗ y ∗x ∗ y = eG

⇒x∗

x 2 ∗ y ∗x ∗ y = x ⇔x 2=eG

y ∗x ∗ y = x

⇒∗y

y ∗x ∗ y 2 = x ∗ y ⇔y 2=eG

y ∗x = x ∗ y .

Exercice 21) Montrons que FG est un sous-groupe de (G ,∗) . On a évidemment FG ⊂G et (G ,∗)

est un groupe. eG ∈ FG , car (eG )1 = eG . Si x , y ∈ FG , il existe�

nx , n y

�

∈ (N∗)2 tel que :¨

x nx = eG

y n y = eG⇒

�

x ∗ y�nx n y =

∗ est commutativex nx n y ∗ y nx n y = (x nx )n y ∗

�

y n y�nx

= (eG )n y ∗ (eG )nx = eG ∗ eG = eG ,

donc x ∗ y ∈ FG . En outre, on a :�

x−1�nx = x−nx = (x nx )−1 = (eG )−1 = eG ,

donc x−1 ∈ FG . Par conséquent, FG est un sous-groupe de (G ,∗), donc (F,∗) est un groupe.2) Il est immédiat que les f 1 et f 2 sont des bijections deR surR, donc appartiennent

àSR. Un calcul direct montre que :

∀x ∈ R,�

f 1�2 (x ) = f 1

�

f 1 (x )�

= f 1 (−x ) =− (−x ) = x

⇒�

f 1�2 = IdR⇒ f 1 ∈ FG .

∀x ∈ R,�

f 2�2 (x ) = f 2

�

f 2 (x )�

= f 2 (1−x ) = 1− (1−x ) = x

⇒�

f 2�2 = IdR⇒ f 2 ∈ FG .

Si l’on pose f 3 = f 2 ◦ f 1, un autre calcul montre que :

∀x ∈R, f 3 (x ) = f 2�

f 1 (x )�

= f 2 (−x ) = 1− (−x ) = x +1.

Une récurrence immédiate montre que :

∀n ∈N∗, ∀x ∈R,�

f 3�n (x ) = x +n 6= x .

Par conséquent, pour tout entier n ∈N∗,�

f 3�n 6= IdR, donc f 3 = f 2 ◦ f 1 /∈ FG , ce entraîne

que (FG ,∗) n’est pas un groupe.

215

Maths MPSI

Exercice 31) Pour tout x ∈G , on a :

(Φa ◦Φb ) (x ) = Φa (Φb (x )) = Φa

�

b ∗x ∗b−1�

= a ∗�

b ∗x ∗b−1�

∗a−1

= (a ∗b ) ∗x ∗�

b−1 ∗a−1�

= (a ∗b ) ∗x ∗ (a ∗b )−1 =Φa∗b (x ) ,

donc :∀ (a ,b )∈G 2, Φa ◦Φb =Φa∗b .

On remarque également que :

ΦeG : x 7→ eG ∗x ∗ (eG )−1 = x ⇒ΦeG = IdG ,

ce qui nous donne pour tout a ∈G :

Φa ◦Φa−1 = Φa∗a−1 =ΦeG = IdG

Φa−1 ◦Φa = Φa−1∗a =ΦeG = IdG

donc Φa est bijective et (Φa )−1 =Φa−1 .2) Montrons que IG est un sous-groupe de (SG ,◦) (ensemble des applications f : G →

G bijectives). D’après la question précédente, on a l’inclusion IG ⊂SG et (SG ,◦) est ungroupe. On a également eSG = IdG =ΦeG ∈ IG . Pour tout

�

f , g�

∈ (IG )2 , il existe a ,b ∈Gtel que f =Φa et g =Φb alors :

f ◦ g =Φa ◦Φb =Φa∗b ∈ IG , f −1 =Φa−1 ∈ IG ,

donc IG est un sous-groupe de (SG ,◦), ce qui démontre que (IG ,◦) est un groupe.Si (G ,∗) est commutatif, on a pour tout a ∈G :

∀x ∈G , Φa (x ) = a ∗x ∗a−1 = a ∗a−1 ∗x = eG ∗x = x ,

donc Φa = Id . Ceci démontre l’inclusion IG ⊂ {IdG } et, comme {IdG } ⊂ IG , on peutaffirmer que IG = {IdG } .

Exercice 4Soit x ∈H , pour tout y ∈H , f

�

y�

= y ∗x ∈H (car H est stable par ∗), donc f : H →H .L’application f est injective, car

∀�

y , y ′�

∈ H 2, f�

y�

= f�

y ′�

⇔ y ∗x = y ′ ∗x

⇒∗x−1

y ∗�

x ∗x−1�

= y ′ ∗�

x ∗x−1�

⇔ y ∗ eG = y ′ ∗ eG ⇔ y = y ′.

Comme H est une partie de G qui est un ensemble fini, alors H est aussi un ensemblefini. L’application f : H → H est une injection entre deux ensembles finis de mêmecardinal, donc elle est bijective. En particulier, il existe y ∈H tel que :

f�

y�

= eG ⇔ y ∗x = eG ⇒∗x−1

y ∗�

x ∗x−1�

= eG ∗x−1⇔ x−1 = y ∈H .

Par conséquent, H est un sous-ensemble non vide de G , il est stable par ∗ et par passageà l’inverse, donc c’est un sous-groupe de (G ,∗) .

216

CORRIGÉS


Exercice 5Il est immédiat que H ⊂S{1,2,3} et

�

S{1,2,3},◦�

est un groupe. eS{1,2,3} = Id{1,2,3} ∈H , car :

∀ (x1,x2,x3)∈ P,�

x Id(1),x Id(2),x Id(3)�

= (x1,x2,x3)∈ P.

Soitσ,σ′ ∈H , alors, pour tout (x1,x2,x3)∈ P, on a :�

xσ(1),xσ(2),xσ(3)�

∈ P

(carσ ∈H ). Commeσ′ ∈H , on en déduit que :�

xσ′(σ(1)),xσ′(σ(2)),xσ′(σ(3))�

∈ P⇔�

x (σ′◦σ)(1),x (σ′◦σ)(2),x (σ′◦σ)(2)�

∈ P

doncσ′ ◦σ ∈H . Comme {1, 2, 3} est un ensemble fini,S{1,2,3} est aussi un ensemble fini.Puisque H est un sous-ensemble non vide deS{1,2,3} contenant eS{1,2,3} et stable par ◦, onen déduit (en utilisant l’exercice 4) que H est un sous-groupe de

�

S{1,2,3},◦�

, donc (H ,◦)est un groupe.

Exercice 6

1) Soit z ∈H , il existe�

x , y�

∈Z2 tel que z = x + yp

3 avec :

x 2−3y 2 = 1⇔�

x +p

3y�

︸︷︷︸

=z

�

x − yp

3�

= 1⇒ z 6= 0⇒H ⊂R∗.

2) D’après la question précédente, on a H ⊂R∗ et (R∗,×) est un groupe. 1 ∈H avec1= 1+0

p3 avec (1, 0)∈Z2 et 12−3.02 = 1. Soit (z , z ′)∈H 2, il existe

�

x ,x ′, y , y ′�

∈Z4 telque :

¨

z = x + yp

3, x 2−3y 2 = 1z ′ = x ′+ y ′

p3, (x ′)2−3

�

y ′�2 = 1

.

On peut, alors écrire :

z z ′ =�

x x ′+3y y ′�

︸︷︷︸

∈Z

+�

x y ′+x ′y�

︸︷︷︸

∈Z

p3

et on a :�

x x ′+3y y ′�2−3

�

x y ′+x ′y�2 =

�

x 2 �x ′�2+6x x ′y y ′+9y 2 �y ′

�2�

−3�

x 2 �y ′�2+2x x ′y y ′+

�

x ′�2 y 2

�

= x 2�

�

x ′�2−3

�

y ′�2�−3

�

�

x ′�2−3

�

y ′�2�y 2

=�

�

x ′�2−3

�

y ′�2��x 2−3y 2

�

= 1×1= 1,

donc z z ′ ∈H . Pour finir, on a :

1

z=

1

x + yp

3=

x − yp

3�

x + yp

3��

x − yp

3� =

x − yp

3

x 2−3y 2= x︸︷︷︸

∈Z

+�

−y�

︸︷︷︸

∈Z

p3

avec x 2−3�

−y 2�

= x 2−3y 2 = 1 donc1

z∈H , ce qui démontre que (H ,×) est un sous-

groupe de (R∗,×) .

217

Maths MPSI

Exercice 7Par définition, on a H ⊂G et (G ,+) est un groupe. 0G ∈H , car :

0A +A = {0A +a , a ∈ A}= {a , a ∈ A}= A.

Soit (h, h ′)∈H 2, donc h +A = A et h ′+A = A, ce qui permet d’écrire :

h +h ′+A =�

h +h ′+a , a ∈ A

=b=h ′+a

{h +b , b ∈ h ′+A︸︷︷︸

=A

}

= {h +b , b ∈ A}= h +A = A,

donc h +h ′ ∈H . En outre, on a :

A = {a , a ∈ A}= {−h +h +a , a ∈ A} =b=h+a

{−h +b , b ∈ h +A︸︷︷︸

=A

}

= {−h +b , b ∈ A}=−h +A,

donc −h ∈H , ce qui démontre que H est un sous-groupe de G .

Exercice 8Soit

�

x , y�

∈�

Z�

j��2 , il existe (a , a ′,b ,b ′) ∈ Z4 tel que x = a +b j , y = a ′+b ′ j , alors

on a :

x − y =�

a −a ′�

︸︷︷︸

∈Z

+�

b −b ′�

︸︷︷︸

∈Z

j ∈Z�

j�

,

x y = a a ′+ab ′ j +b a ′ j +bb ′ j 2 = a a ′+ab ′ j +b a ′ j +bb ′�

−1− j�

= a a ′−bb ′︸︷︷︸

∈Z

+�

ab ′+b a ′−bb ′�

︸︷︷︸

∈Z

j ∈Z�

j�

.

Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de Z�

j�

. Les lois +et × sont associatives et commutatives sur C, donc sur Z

�

j�

. La distributivité de lamultiplication sur l’addition étant vraie surC, elle est encore vraie sur Z

�

j�

. En outre,on a :

0C = 0︸︷︷︸

∈Z

+ 0︸︷︷︸

∈Z

.j ∈Z�

j�

, 1= 1︸︷︷︸

∈Z

+ 0︸︷︷︸

∈Z

.j ∈Z�

j�

.

Puisque+ et× admettent comme éléments neutres respectifs 0C et 1C dansC et que cesdeux éléments sont dans Z

�

j�

, on en déduit de + et× admettent des éléments neutresdans Z

�

j�

. On en déduit que�

Z�

j�

,+,×�


Exercice 91) Soit z ∈Z

�

j�

, il existe (a , a ′)∈Z2 tel que z = a +b j , donc :

|z |2 = z z =�

a +b j�

�

a +b j�

= a 2+ab�

j + j�

+b 2 j j

= a 2+ab 2 cos

�

2π

3

�

+b 2�

�j�

�

2= a 2−ab +b 2.

Ainsi, |z |2 est un entier relatif (comme somme et produit de tels nombres) et un réelpositif (c’est le carré d’un réel), donc c’est un entier naturel.

218

CORRIGÉS


2) Soit z ∈Z�

j�

, il existe (a , a ′)∈Z2 tel que z = a +b j .Implication directe : Supposons que

|z |2 = 1⇔ z z = 1 ⇒z∈C∗

1

z= z = a +b j =

j+j=−1a +b

�

−1− j�

= (a −b )︸︷︷︸

∈Z

+ (−b )︸︷︷︸

∈Z

j ∈Z�

j�

,

donc z est inversible dans Z�

j�

(et son inverse est simplement1

z)

Implication réciproque : Supposons que z soit inversible dans Z�

j�

, alors il existez ′ ∈Z

�

j�

tel que :

z z ′ = 1⇒�

�z z ′�

�

2= 1⇔|z |2

�

�z ′�

�

2= 1.

Comme |z |2 et |z ′|2 sont des entiers naturels dont le produit vaut 1, on a nécessairement :

|z |2 =�

�z ′�

�

2= 1.

3) Soit z ∈ Z�

j�

, il existe (a , a ′) ∈ Z2 tel que z = a +b j . Alors, z est inversible si etseulement si :

|z |2 = 1⇔ a 2−ab +b 2 = 1⇔ (R) : ab = a 2+b 2−1.

Il est opportun de rappeler une majoration célèbre :

∀�

x , y�

∈R2,�

�x y�

�¶1

2

�

x 2+ y 2�

(elle découle du développement�

|x | −�

�y�

�

�2), donc :

a 2+b 2−1= ab ¶ |ab |¶1

2

�

a 2+b 2�

⇒1

2

�

a 2+b 2�

¶ 1

⇔ a 2+b 2 ¶ 2⇒

(

|a |=p

a 2 ¶p

a 2+b 2 ¶p

2

|b |=p

b 2 ¶p

a 2+b 2 ¶p

2⇒¨

|a |¶ 1|b |¶ 1

,

car a et b sont des entiers relatifs. Il n’y a qu’un nombre fini de valeurs possibles pour aet pour b , donc il n’y a qu’un nombre fini d’inversibles de Z

�

j�

. Déterminons les.Premier cas : a = 0. D’après la relation (R) , on a :

b 2 = 1⇔b =±1⇔ z =±j .

Deuxième cas : a = 1. D’après la relation (R) , on a :

b 2 =b ⇔b (b −1) = 0⇔b ∈ {0, 1}⇔ z ∈�

1, 1+ j

.

Troisième cas : a =−1. D’après la relation (R) , on a :

b 2 =−b ⇔b (b +1) = 0⇔b ∈ {0,−1}⇔ z ∈�

−1,−1− j

.

On en déduit que les inversibles de Z�

j�

sont contenus dans l’ensemble

A =�

±1,±j ,±�

1+ j�

et chaque élément de A est un inversible de Z�

j�

(car ils appartiennent à Z�

j�

et leurmodule au carré vaut 1), donc les inversibles de Z

�

j�

forment l’ensemble A.

219

Maths MPSI

Exercice 10Soit

�

x , y�

∈�

Z�p

2��2

, il existe (a , a ′,b ,b ′)∈Z4 tel que :

x = a +bp

2, y = a ′+b ′p

2⇒x − y =

�

a −a ′�

︸︷︷︸

∈Z

+�

b −b ′�

︸︷︷︸

∈Z

p2∈Z

�p2�

,

x y = a a ′+2bb ′︸︷︷︸

∈Z

+�

ab ′+b a ′�

︸︷︷︸

∈Z

p2∈Z

�p2�

.

Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de Z�p

2�

. Les lois +et × sont associatives et commutatives sur R, donc sur Z

�p2�

. La distributivité de la

multiplication sur l’addition étant vraie surR, elle est encore vraie sur Z�p

2�

. En outre,on a :

0R = 0︸︷︷︸

∈Z

+ 0︸︷︷︸

∈Z

.p

2∈Z�p

2�

, 1R = 1︸︷︷︸

∈Z

+ 0︸︷︷︸

∈Z

.p

2∈Z�p

2�

.

Puisque+ et × admettent comme éléments neutres respectifs 0R et 1R dans R et queces deux éléments sont dans Z

�p2�

, on en déduit de+ et × admettent des éléments

neutres dans Z�p

2�

. Ainsi,�

Z�p

2�

,+,×�


Exercice 111) Puisque l’on a :

±1= a 2−2b 2 =�

a +bp

2��

a −bp

2�

⇔ z�

±�

a −bp

2��

︸︷︷︸

=y∈Z[p

2]

= 1,

on en déduit que z est inversible dans Z�p

2�

(car ∃ y ∈Z�p

2�

tel que x y = 1).2) Puisque 12−2×12 =−1, on en déduit que z = 1+

p2∈Z

�p2�

est inversible. Lesinversibles d’un anneau formant un groupe multiplicatif, donc ∀n ∈ N, z n est aussiinversible. Comme z > 1, la suite (z n )n∈N tend vers +∞, donc elle contient une infinitéd’éléments distincts. A fortiori, l’ensemble des inversibles de Z

�p2�

est infini.

Exercice 121) Soit (a ,b )∈Z2 tel que a+b

p2= 0⇔ a =−b

p2. Si b 6= 0, alors on a :

p2=−

a

b∈Q,

ce qui est impossible, donc b = 0, ce qui entraine que a = 0.2) a) Par définition, on a :

z z ′ = 1⇔ (a c +2b d )+ (a d +b c )p

2

⇔ (a c +2b d −1)︸︷︷︸

∈Z

+(a d +b c )︸︷︷︸

∈Z

p2= 0

⇒cf. q1(R)

¨

a c +2b d −1= 0a d +b c = 0

⇒w w ′ = (a c +2b d )︸︷︷︸

=1 d’après (R)

− (a d +b c )︸︷︷︸

=0 d’après (R)

p2= 1,

donc w est inversible dans Z�p

2�

et son inverse est w ′.

220

CORRIGÉS


b) z est inversible dans Z�p

2�

et son inverse est z ′, donc z z ′ = 1. D’après la questionprécédente, on a w w ′ = 1. On peut, alors affirmer que z et w sont non nuls et on a dansR les égalités :

z =1

z ′

w =1

w ′

⇒ z w =1

z ′w ′⇔ a 2−2b 2 =1

c 2−2d 2.

Puisque a 2−2b 2 et c 2−2d 2 sont deux entiers relatifs inverses l’un de l’autre, la seulepossibilité est qu’ils soient égaux et valent±1.

Exercice 13Soit

�

x , y�

∈�

Q [i ]�2, il existe (a ,b , a ′,b ′)∈Q4 tel que x = a + ib et y = a ′+ ib ′, donc :

x − y =�

a −a ′�

︸︷︷︸

∈Q

+ i�

b −b ′�

︸︷︷︸

∈Q

∈Q [i ]

x y =�

a a ′−bb ′�

︸︷︷︸

∈Q

+ i�

ab ′+a ′b�

︸︷︷︸

∈Q

∈Q [i ] .

Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de Q [i ] . Les lois +et × sont associatives et commutatives sur C, donc sur Q [i ] . La distributivité de lamultiplication sur l’addition étant vraie surC, elle est encore vraie surQ [i ] . En outre,on a :

0C = 0= 0︸︷︷︸

∈Q

+ i × 0︸︷︷︸

∈Q

∈Q [i ] , 1C = 1= 1︸︷︷︸

∈Q

+ i 0︸︷︷︸

∈Q

∈Q [i ] .

Puisque+ et× admettent comme éléments neutres respectifs 0C et 1C dansC et que cesdeux éléments sont dansQ [i ] , on en déduit de + et× admettent des éléments neutresdans Q [i ] . Ainsi,

�

Q [i ] ,+,×�

est un anneau commutatif. Soit x ∈ Q [i ]\{0}, il existe(a ,b ) ∈ Q2 tel que x = a + ib. Comme x 6= 0, on est assuré que a 6= 0 ou b 6= 0, donca − ib 6= 0, et on a :

1

x=

1

a + ib=

a − ib

(a + ib ) (a − ib )=� a

a 2+b 2

�

︸︷︷︸

∈Q

− i

�

b

a 2+b 2

�

︸︷︷︸

∈Q

∈Q [i ] .

On a déterminé un élément y =1

x∈Q [i ] tel que x y = 1C, donc tout élément non nul

deQ [i ] admet un inverse dansQ [i ], ce qui démontre que�

Q [i ] ,+,×�

est un corps.

Exercice 14Soit

�

x , y�

∈�

Q�p

2��2

, il existe (a , a ′,b ,b ′)∈Q4 tel que :

x = a +bp

2, y = a ′+b ′p

2⇒x − y =

�

a −a ′�

︸︷︷︸

∈Q

+�

b −b ′�

︸︷︷︸

∈Q

p2∈Q

�p2�

,

x y = a a ′+2bb ′︸︷︷︸

∈Q

+�

ab ′+b a ′�

︸︷︷︸

∈Q

p2∈Q

�p2�

.

221

Maths MPSI

Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de Q�p

2�

. Les lois +et× sont associatives et commutatives surR, donc surQ

�p2�

. La distributivité de la

multiplication sur l’addition étant vraie surR, elle est encore vraie surQ�p

2�

. En outre,on a :

0R = 0︸︷︷︸

∈Z

+ 0︸︷︷︸

∈Z

.p

2∈Q�p

2�

, 1R = 1︸︷︷︸

∈Z

+ 0︸︷︷︸

∈Z

.p

2∈Q�p

2�

.

Puisque+ et × admettent comme éléments neutres respectifs 0R et 1R dans R et queces deux éléments sont dansQ

�p2�

, on en déduit de+ et × admettent des éléments

neutres dans Q�p

2�

. Ainsi,�

Q�p

2�

,+,×�

est un anneau commutatif. En outre, si

x = a +bp

2 6= 0, vérifions que a −bp

2 6= 0. On procède par l’absurde en supposant que

a −bp

2= 0. Si b 6= 0, alors on a :p

2=−a

b∈Q, ce qui est impossible, donc :

b = 0⇒ a =−bp

2= 0⇒ x = a +bp

2= 0,

ce qui est absurde, d’où a −bp

2 6= 0. On peut alors écrire :

1

x=

1

a +bp

2=

a −bp

2�

a +bp

2��

a −bp

2�

=a

a 2−2b 2︸︷︷︸

∈Q

+�

−b

a 2−2b 2

�

︸︷︷︸

∈Q

p2∈Q

�p2�

.

On a déterminé un élément y =1

x∈Q

�p2�

tel que x y = 1R, donc tout élément non nul

deQ�p

2�

admet un inverse dansQ�p

2�

, ce qui démontre que�

Q�p

2�

,+,×�

est uncorps.

Exercice 151)2) Puisque K est un corps inclus dansQ

�p2�

, on a 1K = 1Q = 1∈ K , donc :

∀n ∈Z, n1= n ∈ KK stable⇒

par inverse∀n ∈Z∗,

1

n∈ K

K stable⇒

par produit∀ (n , m )∈Z×Z∗, n ×

1

m=

n

m∈ K ⇒Q⊂ K .

3) D’après l’hypothèse, il existe x ∈ K \Q. Soit (a ,b )∈Q2 tel que x = a +bp

2. Commea ∈Q⊂ K , on a x−a =b

p2∈ K . Si b = 0, alors x = a ∈Q, ce qui est absurde, donc b 6= 0.

Comme bp

2 ∈ K et b ∈ K \{0} , on en déduit que bp

2×1

b=p

2 ∈ K . Par conséquent,

pour tout y ∈Q�p

2�

, il existe (c , d ) ∈Q2 tel que y = c +dp

2. Puisque c , d ∈Q⊂ K etp

2 ∈ K , on en déduit que y = c + dp

2 ∈ K d’où l’inclusion Q�p

2�

⊂ K . L’inclusionréciproque est immédiate, ce qui fournit l’égalité souhaitée.

222

CORRIGÉS


Exercice 16Il suffit de montrer que chaque élément non nul de A possède un inverse dans A. Soit

x ∈ A\{0A} , pour tout y ∈ A, x y ∈ A (car A est un anneau). Par conséquent, on peut

considérer l’application f :

¨

A → Aa 7→ x a

. Elle est injective, car :

∀�

a , a ′�

∈ A2, f (a ) = f�

a ′�

⇔ x a = x a ′⇔ x a −x a ′ = 0⇔ x�

a −a ′�

= 0

par hypothèse⇒

de l’énoncé

x = 0A (impossible)ou

a −a ′ = 0A

⇒ a −a ′ = 0⇔ a = a ′.

Puisque f est une injection entre deux ensembles finis de même cardinal, on peutaffirmer que f est une bijection. Par conséquent, 1A admet un antécédent par f , c’est-à-dire qu’il existe y ∈ A tel que :

f�

y�

= 1A ⇔ x y = 1A .

Comme la loi× est commutative, on a aussi y x = 1A , donc x est inversible dans A, quelque soit x ∈ A\{0A} ce qui démontre que (A,+,×) est un corps.

223

VUIBERT

MATHS MPSIMÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES

SOMMAIRE1. Bases mathématiques – 2. Nombres complexes – 3. Manipulations algébriques – 4. Fonctions usuelles – 5. Équations différentielles – 6. Suites – 7. Limites de fonctions, continuité – 8. Dérivabilité – 9. Études locales et asymptotiques – 10. Arithmétique des entiers – 11. Structures algébriques – 12. Polynômes et fractions rationnelles – 13. Espaces vectoriels – 14. Espaces vectoriels de dimension finie – 15. Matrices – 16. Échelonnement et systèmes linéaires – 17. Déterminants – 18. Espaces euclidiens – 19. Calcul intégral – 20. Séries numériques – 21. Dénombrement – 22. Probabilités sur un univers fini – 23. Variables aléatoires – 24. Problèmes de synthèse

Les auteurs :Abdellah Bechata est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Malherbe à Caen

Nicolas de Granrut est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Franklin Roosevelt à Reims

ISBN : 978-2-311-40216-2

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et réviser efficacement,– de nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner et se mettre en situation

d’épreuve : exercices guidés, exercices d’application et problèmes de synthèse.