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MATHSMPSI
VUIBERT
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Tout le programme
MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES
A. Bechata
N. de Granrut
Table des matières
Chapitre 1. Bases mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Principaux types de raisonnement 1 – 2. Opérations sur les ensembles 3 – 3. Applica-tions 3 – 4. Relation d’équivalence, relation d’ordre 3 – Exercices 5 – Corrigés 9
Chapitre 2. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1. Écriture cartésienne 19 – 2. Exponentielle d’un imaginaire pur 20 – 3. Écriture expo-nentielle d’un complexe 20 – 4. Racines n-ièmes d’un complexe 21 – 5. Interprétationgéométrique 22 – 6. Exponentielle d’un complexe 22 – Exercices 23 – Corrigés 27
Chapitre 3. Manipulations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1. Symbole somme et produit 41 – 2. Sommes remarquables 42 – Exercices 45 –Corrigés 48
Chapitre 4. Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1. Dérivation 55 – 2. Bijections 56 – 3. Fonctions usuelles 57 – 4. Fonctions trigonomé-triques et réciproques 58 – Exercices 60 – Corrigés 63
Chapitre 5. Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1. Primitives 75 – 2. Équations différentielles linéaires 75 – 3. Résolution des EDL1 76 –4. Résolution des EDL2 à coefficients constants 77 – Exercices 80 – Corrigés 83
Chapitre 6. Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1. Suites usuelles 95 – 2. Limites des suites numériques 96 – 3. Comparaison des suitesusuelles 98 – Exercices 100 – Corrigés 104
Chapitre 7. Limites de fonctions, continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1. Limite 117 – 2. Continuité 118 – 3. Intervalles et continuité 119 – Exercices 121 –Corrigés 125
Chapitre 8. Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1. Fonctions de classe C n . 137 – 2. Propriétés des fonctions de classe C n 138 – 3. Appli-cations aux suites u n+1 = f (u n ) 140 – Exercices 141 – Corrigés 146
Chapitre 9. Études locales et asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
1. Comparaison des fonctions 161 – 2. Comparaison des suites 163 – 3. Développementslimités 163 – Exercices 165 – Corrigés 169
Chapitre 10. Arithmétique des entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
1. Divisibilité et division euclidienne 185 – 2. PGCD et algorithme d’Euclide 186 –3. Nombres premiers entre eux 187 – 4. Nombres premiers 188 – 5. Congruences 189 –Exercices 190 – Corrigés 194
III
Table des matières
Chapitre 11. Structures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
1. Loi de composition interne 205 – 2. Groupes 205 – 3. Anneaux 207 – 4. Corps 208 –Exercices 209 – Corrigés 213
Chapitre 12. Polynômes et fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
1. Propriétés arithmétiques des polynômes 225 – 2. Racines de polynômes 226 –3. Fractions rationnelles 228 – Exercices 229 – Corrigés 233
Chapitre 13. Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
1. Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels 245 – 2. Familles de vecteurs 246 –3. Applications linéaires 247 – 4. Somme d’un nombre fini de sous-espaces 248 –5. Endomorphismes remarquables 249 – Exercices 250 – Corrigés 254
Chapitre 14. Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
1. Dimension d’un espace vectoriel 265 – 2. Dimension d’un sous-espace 266 – 3. Théo-rème du rang 267 – 4. Forme linéaire et hyperplan 267 – Exercices 269 – Corrigés 273
Chapitre 15. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
1. Calcul matriciel 283 – 2. Matrices d’applications linéaires 286 – 3. Matrices d’endo-morphismes 287 – Exercices 288 – Corrigés 293
Chapitre 16. Échelonnement et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
1. Opérations élémentaires 305 – 2. Systèmes linéaires 308 – Exercices 310 – Corri-gés 313
Chapitre 17. Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
1. Permutation 321 – 2. Déterminant 321 – 3. Développement des déterminants 322 –4. Formes n-linéaires alternées 323 – 5. Caractérisation des bases, isomorphismes etdes inversibles 324 – Exercices 326 – Corrigés 331
Chapitre 18. Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
1. Produit scalaire 345 – 2. Orthogonalité 346 – 3. Bases orthonormales 346 – 4. Projec-tion orthogonale 347 – 5. Groupe orthogonal 348 – Exercices 349 – Corrigés 353
Chapitre 19. Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
1. Intégrale d’une fonction continue par morceaux 365 – 2. Intégration et dérivation 367– 3. Formules de Taylor 367 – Exercices 368 – Corrigés 372
Chapitre 20. Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
1. Généralités 385 – 2. séries à termes positifs 386 – 3. Séries à termes quelconques 388– Exercices 389 – Corrigés 393
Chapitre 21. Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
1. Cardinal 407 – 2. Listes et combinaisons 408 – Exercices 411 – Corrigés 415
IV
Table des matières
Chapitre 22. Probabilités sur un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
1. Espaces probabilisés 427 – 2. Probabilités conditionnelles 429 – Exercices 432 –Corrigés 437
Chapitre 23. Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
1. Loi 451 – 2. Indépendance 452 – 3. Espérance 453 – 4. Variance, écart-type 454 –Exercices 456 – Corrigés 461
Chapitre 24. Problèmes de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
Corrigés 483
V
MÉTHODE
11Chapitre
Structures algébriques
1. Loi de composition interne
Définition 11.1.
Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne sur E toute applica-tion ∗ : E ×E → E , c’est-à-dire que :
∀�
x , y�
∈ E 2, x ∗ y ∈ E .
Si ∗ est une loi de composition interne sur E , on dit :
• que ∗ est associative si : ∀�
x , y , z�
∈ E 3, x ∗�
y ∗ z�
=�
x ∗ y�
∗ z ;• que ∗ est commutative si : ∀
�
x , y�
∈ E 2, x ∗ y = y ∗x ;• que e ∈ E est un élément neutre pour ∗ si : ∀x ∈ E , e ∗x = e = x ∗ e ;• que x ∈ E est inversible pour la loi ∗ s’il existe y ∈ E tel que y ∗x = e = x ∗ y ;• qu’une partie F de E est stable par ∗ si ∀
�
x , y�
∈ F 2, x ∗ y ∈ F.
Exemple
L’addition sur N est une loi de composition interne, elle est associative et 0 estl’élément neutre pour ∗. Par contre, aucun élément deN\{0} ne possède d’inversepar +, car, si n ¾ 1, alors ∀m ∈N, n +m ¾ 1⇒ n +m 6= 0.
2. Groupes
Définition 11.2.
On appelle groupe tout couple (G ,∗) où G est un ensemble non vide et ∗ une loide composition interne sur G . Cette loi ∗ doit être associative, posséder un élémentneutre eG et tout élément de G est inversible. Pour tout x ∈G , on note x−1 sonunique inverse et, pour tout n ∈Z, on définit x n par :
x 0 = eG , x n =
x ∗ · · · ∗x︸ ︷︷ ︸
n fois
si n ∈N∗
(x−n )−1 si n ∈Z∗−.
...
205
Maths MPSI
On dit que le groupe (G ,∗) est commutatif si ∗ est une loi commutative. Dans cecas, on note plutôt «+ » la loi ∗ (sauf si cela prête à confusion). L’élément neutre senote 0G , l’inverse de tout élément x ∈G se note −x et, pour tout entier n ∈Z, ondéfinit nx par :
0x = 0G , nx =
x + · · ·+x︸ ︷︷ ︸
n fois
si n ∈N∗
− ((−n )x ) si n ∈Z∗−.
Définition 11.3. : Sous-groupe
Soit (G ,∗) un groupe et H un ensemble. On dit que que H est un sous-groupe de(G ,∗) si (H ⊂G et (H ,∗) est un groupe).
Théorème : Caractérisation des sous-groupes
Soit (G ,∗) un groupe et H un ensemble. H est un sous-groupe de (G ,∗) si lesquatre propriétés suivantes sont vérifiées :
H ⊂G ; eG ∈H ; ∀�
x , y�
∈H 2, x ∗ y ∈H , ∀x ∈H , x−1 ∈H .
Théorème : Groupes usuels
Les ensembles suivants sont des groupes commutatifs pour les lois habituellesd’addition et de multiplication dans les nombres.
• (Z,+) ,�
Q,+�
, (R,+) , (C,+) .•�
Q,�
,�
Q∗+,×�
, (R∗,×) ,�
R∗+,×�
, (C∗,×) .• (U,×) , (Un ,×) où l’on a poséU= {z ∈C, |z |= 1} et Un = {z ∈C, z n = 1} avec
n ∈N∗.
Exemple
Soit n ∈ N, on note nZ = {na , a ∈Z}. Montrons que (nZ,+) est un groupe enprouvant qu’il s’agit d’un sous-groupe de (Z,+) . On a évidemment nZ⊂Z et (Z,+)est un groupe. 0Z = 0 = n0 ∈ nZ . Si x , y ∈ nZ, alors il existe (a ,b ) ∈ Z2 tel quex = na et y = nb , donc :
x + y = n
∈Z︷ ︸︸ ︷
(a +b )∈ nZ et −x = n
∈Z︷︸︸︷
(−a )∈ nZ.
Définition 11.4. : Ensemble des permutations
Soit X un ensemble non vide, on noteSX l’ensemble des applications f : X →Xqui sont bijectives. Tout élément deSX s’appelle une permutation de X .
206
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
MÉTHODEThéorème : Groupe des permutations
L’ensemble (SX ,◦) (ensemble des permutations de X muni de la composition)est un groupe (non commutatif sauf si X possède un seul élément).
3. Anneaux
Définition 11.5.
On appelle anneau tout triplet (A,+,×) où A est un ensemble non vide,+ et ×deux lois de compositions internes telles que :
• (A,+) est un groupe (d’élément neutre 0A ) ;• × est associative sur A, admet un élément neutre noté 1A et est distributive
par rapport à «+ », c’est-à-dire que :
∀�
x , y , z�
∈ A3, x ×�
y + z�
=�
x × y�
+(x × z ) ,�
y + z�
×x =�
y ×x�
+(z ×x ) .
Si x , y sont deux éléments de A, on dit qu’ils commutent si x × y = y ×x .
Si la loi × est commutative, on dit que l’anneau (A,+,×) est commutatif.
Théorème : Anneaux usuels
Les ensembles (Z,+,×) ,�
Q,+,�
, (R,+,×) , (C,+,×) sont des anneaux commu-tatifs (pour l’addition et la multiplication usuelle).
Exemple
On note D=§ a
10n, (a , n )∈Z×N
ª
(ensemble des nombres décimaux). Montrons
que (D,+,×) est un anneau commutatif. Si x , y ∈D, il existe (a ,b )∈Z2 et (n , m )∈
N2 tels que x =a
10net y =
b
10m, donc :
x − y =
∈Z︷ ︸︸ ︷
a 10m −b 10n
10n+m∈D et x y =
∈Z︷︸︸︷
ab
10n+m∈D.
Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de D. Les lois +et × sont associatives et commutatives sur R, donc sur D. La distributivité de lamultiplication sur l’addition étant vraie surR, elle est encore vraie surD. En outre,on a :
0R = 0=0
100∈D, 1R =
1
100∈D.
Puisque + et × admettent comme éléments neutres respectifs 0R et 1R dans R, etque ces deux éléments sont dansD, on en déduit de+ et× admettent des élémentsneutres dansD. Par conséquent, (D,+,×) est un anneau commutatif.
207
Maths MPSI
Définition 11.6. : Inversibles d’un anneau
Si (A,+,×) est un anneau, on noteUA l’ensemble des inversibles de A pour la loi×, c’est-à-dire :
UA =�
x ∈ A, ∃y ∈ A, x × y = 1A = y ×x
.
Théorème : Groupe des inversibles d’un anneau
Soit (A,+,×) un anneau, alors (UA ,×) est un groupe.
Théorème : Formule du binôme
Soit (A,+,×) un anneau et a ,b ∈ A deux éléments qui commutent, alors, pourtout entier naturel n , on a :
(a +b )n =n∑
k=0
�
n
k
�
a k b n−k .
Théorème : Formule de Bernoulli
Soit (A,+,×) un anneau et a ,b ∈ A deux éléments qui commutent, alors pourtout entier naturel n , on a :
a n −b n = (a −b )n−1∑
k=0
a k b n−1−k .
4. Corps
Définition 11.7.
On appelle corps tout anneau (K ,+,×) commutatif dont tous les éléments diffé-rents de 0A sont inversibles pour la loi ×.
Théorème : Corps usuels
Les ensembles�
Q,+,�
, (R,+,×) , (C,+,×) sont des corps (pour l’addition et lamultiplication usuelle).
208
ExercicesStructures algébriques
Exercices guidés
Exercice A (10 min.)
Soit (G ,∗) un groupe. On pose :
Z (G ) =�
x ∈G , ∀y ∈G , x ∗ y = y ∗x
.
Montrer que (Z (G ) ,∗) est un groupe.
Exercice B (20 min.)
On note Z2 =§a
b, (a ,b )∈Z×Z∗ avec b un entier impair
ª
.
1) Montrer que (Z2,+,×) est un anneau. Est-ce un corps ?2) Déterminer les inversibles de Z2.
Exercice C (15 min.)
Soit G un sous-groupe de (C∗,×) . On suppose que G =�
g 1, ..., g n
est un ensemblefini formé de n éléments distincts.
1) Soit z ∈G . Montrer que∏
g∈G
�
z g�
=∏
g∈G
g .
2) En déduire que G =Un .
Exercices
Exercice 1 (5 min.)
Soit (G ,∗) un groupe tel que ∀x ∈G , x 2 = eG . Montrer que ∗ est commutative.Indication : On pourra considérer
�
x ∗ y�2 avec x , y ∈G .
Exercice 2 (20 min.)
Soit (G ,∗) un groupe. On note :
FG =�
x ∈G , ∃nx ∈N∗, x nx = eG
.
1) On suppose que (G ,∗) est commutatif. Montrer que (FG ,∗) est un groupe.
209
EXERCICES
Maths MPSI
2) On suppose que G =SR =�
f :R→R bijective
, qui est un groupe pour la com-position.Montrer que (FG ,◦) n’est pas un groupe.Indication : On pourra utiliser les fonctions :
f 1 : x 7→ −x et f 2 : x 7→ 1−x .
Exercice 3 (20 min.)
Soit (G ,∗) un groupe. Pour tout a ∈G , on note :
Φa :
¨
G → Gx 7→ a ∗x ∗a−1 et IG = {Φa , a ∈G } .
1) Soit (a ,b )∈G 2. Déterminer c ∈G tel que Φa ◦Φb =Φc . En déduire que Φa est unebijection et expliciter (Φa )−1 .
2) Montrer que (IG ,◦) est un groupe et l’expliciter lorsque (G ,∗) est commutatif.
Exercice 4 (10 min.)
Soit (G ,∗) un groupe fini. On considère une partie H non vide de G , stable par ∗ ettelle que eG ∈H .Montrer que H est un sous-groupe de G .Indication : Pour x ∈H fixé, on pourra montrer que l’application f : y 7→ y ∗x est unebijection de H sur H .
Exercice 5 (10 min.)
Soit P une partie de R3. On note :
HP =�
σ ∈S{1,2,3}, /∀ (x1,x2,x3)∈ P,�
xσ(1),xσ(2),xσ(3)�
∈ P
.
Montrer que (HP ,◦) est un groupe.Rappelons que S{1,2,3} désigne les permutations (bijections) de l’ensemble {1, 2, 3} .
Exercice 6 (15 min.)
On note H =¦
x + yp
3,�
x , y�
∈Z2 /x 2−3y 2 = 1©
.1) Justifier que H ⊂R∗.2) Établir que (H ,×) est un sous-groupe de (R∗,×) .
Exercice 7 (10 min.)
Soit (G ,+) un groupe commutatif. Pour tout élément x de G , on note :
x +A = {x +a , a ∈ A} .
Montrer que H = {x ∈G , A = x +A} est un sous-groupe de G .
Exercice 8 (20 min.)
Soit j = exp
�
2πi
3
�
, on rappelle que 1+ j + j 2 = 0. On note :
Z�
j�
=¦
a +b j , (a ,b )∈Z2©
.
Montrer que�
Z�
j�
,+,�
est un anneau commutatif.
210
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
Exercice 9 (30 min.)
Soit j = exp
�
2πi
3
�
, on noteZ�
j�
=�
a +b j , (a ,b )∈Z2
. On admet que�
Z�
j�
,+,�
est un anneau commutatif.
1) Établir que, si z ∈Z�
j�
, alors |z |2 ∈N.2) Soit z ∈Z
�
j�
. Prouver que |z |= 1 si, et seulement si, z est inversible.3) Démontrer que Z
�
j�
possède un nombre fini d’inversibles et les expliciter.
Exercice 10 (10 min.)
On note Z�p
2�
=¦
a +bp
2, (a ,b )∈Z2©
. Montrer que�
Z�p
2�
,+,�
est un anneaucommutatif.
Exercice 11 (10 min.)
On note Z�p
2�
=¦
a +bp
2, (a ,b )∈Z2©
. On admet que�
Z�p
2�
,+,�
est un an-neau.
1) Soit z = a+bp
2∈Z�p
2�
avec (a ,b )∈Z2. On suppose que a 2−2b 2 =±1. Montrer
que z est inversible dans Z�p
2�
.
2) Expliciter un élément z 6= ±1 inversible dans Z�p
2�
. En déduire que Z�p
2�
admet une infinité d’éléments inversibles.
Exercice 12 (15 min.)
On noteZ�p
2�
=¦
a +bp
2, (a ,b )∈Z2©
. On admet que�
Z�p
2�
,+,�
est un anneaucommutatif.
1) Montrer que, si a +bp
2= 0 avec (a ,b )∈Z2, alors a =b = 0.2) Soit (a ,b , c , d )∈Z2. On pose :
z = a +bp
2, z ′ = c +dp
2, w = a −bp
2, w ′ = c −dp
2.
On suppose que z est inversible dans Z�p
2�
d’inverse z ′.a) Justifier que w est inversible et que son inverse est w ′.b) En déduire que a 2−2b 2 =±1.
Exercice 13 (15 min.)
On noteQ [i ] =�
a +b i , (a ,b )∈Q2
. Montrer que�
Q [i ] ,+,�
est un corps.
Exercice 14 (15 min.)
On noteQ�p
2�
=¦
a +bp
2, (a ,b )∈Q2©
. Montrer que�
Q�p
2�
,+,�
est un corps.
Exercice 15 (15 min.)
On noteQ�p
2�
=¦
a +bp
2, (a ,b )∈Q2©
. On admet que�
Q�p
2�
,+,�
est un corps.
Soit K un corps tel que K ⊂Q�p
2�
.
1) Montrer queQ⊂ K .2) On suppose queQ 6= K . Montrer que K =Q
�p2�
.
211
EXERCICES
Maths MPSI
Exercice 16 (10 min.)
Soit (A,+,×) un anneau commutatif possédant un nombre fini d’éléments et tel que :
∀�
x , y�
∈ A2, x y = 0⇒ x = 0 ou y = 0.
Montrer que (A,+,×) est un corps.
212
CORRIGÉS
CorrigésStructures algébriques
Corrigés des exercices guidés
Exercice AMontrons qu’il s’agit d’un sous-groupe de (G ,∗) . Il est immédiat que Z (G )⊂G et que(G ,∗) est un groupe. eG ∈Z (G ), car :
∀y ∈G , eG ∗ y = y = y ∗ eG .
Soit x ,x ′ ∈Z (G ) , on a :
∀y ∈ G ,�
x ∗x ′�
∗ y = x ∗�
x ′ ∗ y�
=x ′∈Z (G )
x ∗�
y ∗x ′�
=�
x ∗ y�
∗x ′ =x∈Z (G )
�
y ∗x�
∗x ′ = y ∗�
x ∗x ′�
,
donc x ∗x ′ ∈Z (G ) . En outre, on a :
∀y ∈ G , x ∗ y = y ∗x ⇒x−1∗
eG ∗ y = x−1 ∗ y ∗x
⇔ y = x−1 ∗ y ∗x ⇒∗x−1
y ∗x−1 = x−1 ∗ y ∗�
x ∗x−1�
⇔ y ∗x−1 = x−1 ∗ y ⇒ x−1 ∈Z (G ) ,
ce qui démontre que Z (G ) est un sous-groupe de (G ,∗), donc (Z (G ) ,∗) est un groupe.
Exercice B
1) Soit�
x , y�
∈ Z2, il existe (a , a ′) ∈ Z2, (b ,b ′) ∈ (Z∗)2 tels x =a
b, y =
a ′
b ′et b ,b ′ sont
des entiers impairs. On a :
x − y =
∈Z︷ ︸︸ ︷
ab ′−a ′b
bb ′︸︷︷︸
impair
∈Z2, x y =
∈Z︷︸︸︷
a a ′
bb ′︸︷︷︸
impair
∈Z.
Par conséquent,+ et× sont des lois de compositions internes de Z2. Les lois+ et× sontassociatives et commutatives surR, donc sur Z2. La distributivité de la multiplicationsur l’addition étant vraie surR, elle est encore vraie sur Z2. En outre, on a :
0R =0
1∈Z2, 1R =
1
1∈Z2.
Puisque+ et × admettent comme éléments neutres respectifs 0R et 1R dansR, et queces deux éléments sont dans Z2, on en déduit de+ et× admettent des éléments neutres
213
Maths MPSI
dans Z2. Ainsi, (Z2,+,×) est un anneau. Par contre, ce n’est pas un corps. En effet, le
nombre 2 =2
1∈ Z2, mais il n’existe aucun élément x =
a
b∈ Z2 ((a ,b ) ∈ Z×Z∗ avec b
impair) tel que :
2x = 1⇔ 2�a
b
�
= 1⇔ b︸︷︷︸
impair
= 2a︸︷︷︸
pair
ce quiest impossible. Par conséquent, (Z2,+,×) n’est pas un corps.
2) Soit x =a
b∈Z2 ((a ,b )∈Z×Z∗ avec b impair) un élément inversible de Z2, il existe
y =a ′
b ′∈Z2 ((a ′,b ′)∈Z×Z∗ avec b ′ impair) tel que :
x y = 1⇔a a ′
bb ′= 1⇔ a a ′ =bb ′.
Comme bb ′ est un entier impair, on est assuré que a a ′ est un entier impair, donc il estindispensable que a ne soit pas un entier pair (le produit d’un entier pair par un entierest un entier pair).
Réciproquement, si x =a
b∈ Z2 avec (a ,b ) ∈ Z×Z∗ et a ,b des entiers impairs, alors
x 6= 0 et1
x=
b
a∈Z2, car (b , a )∈Z×Z∗ et a est un entier impair.
Par conséquent, les inversibles de Z2 sont exactement les éléments de la formea
bavec
(a ,b )∈Z×Z∗ et a ,b sont des entiers impairs.
Exercice C1) Puisque G est un sous-groupe de (C∗,×) , pour tout b ∈G , z g ∈G . On peut, donc
considérer f :
¨
G → Gg 7→ z g
. Elle est injective, car :
∀�
g , g ′�
∈G 2, f�
g�
= f�
g ′�
⇔ z g = z g ′ ⇔×z−1
g = g ′.
L’application f étant injective entre deux ensembles finis de même cardinal, elle estbijective. On peut alors effectuer le changement de variable h = f
�
g�
⇔ g = f −1 (h), cequi nous donne :
∏
g∈G
�
z g�
=∏
g∈G
f�
g� h= f (g )=
g= f −1(h)
∏
h∈ f −1(G )=G
h =∏
h∈G
h =g=h
∏
g∈G
g .
2) D’après la question précédente et par multiplicativité de∏
, on a :
∏
g∈G
g =∏
g∈G
�
z g�
=
∏
g∈G
z
∏
g∈G
g
= z n
∏
g∈G
g ⇒ z n = 1
(en divisant par∏
g∈G
g qui est non nul). Ceci fournit l’inclusion G ⊂Un . Comme G etUn
sont deux ensembles finis de même cardinal, on en déduit que G =Un .
214
CORRIGÉS
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
Corrigés des exercices
Exercice 1Pour tout
�
x , y�
∈G 2, on a :�
x y�2 = eG ⇔ x ∗ y ∗x ∗ y = eG
⇒x∗
x 2 ∗ y ∗x ∗ y = x ⇔x 2=eG
y ∗x ∗ y = x
⇒∗y
y ∗x ∗ y 2 = x ∗ y ⇔y 2=eG
y ∗x = x ∗ y .
Exercice 21) Montrons que FG est un sous-groupe de (G ,∗) . On a évidemment FG ⊂G et (G ,∗)
est un groupe. eG ∈ FG , car (eG )1 = eG . Si x , y ∈ FG , il existe�
nx , n y
�
∈ (N∗)2 tel que :¨
x nx = eG
y n y = eG⇒
�
x ∗ y�nx n y =
∗ est commutativex nx n y ∗ y nx n y = (x nx )n y ∗
�
y n y�nx
= (eG )n y ∗ (eG )nx = eG ∗ eG = eG ,
donc x ∗ y ∈ FG . En outre, on a :�
x−1�nx = x−nx = (x nx )−1 = (eG )−1 = eG ,
donc x−1 ∈ FG . Par conséquent, FG est un sous-groupe de (G ,∗), donc (F,∗) est un groupe.2) Il est immédiat que les f 1 et f 2 sont des bijections deR surR, donc appartiennent
àSR. Un calcul direct montre que :
∀x ∈ R,�
f 1�2 (x ) = f 1
�
f 1 (x )�
= f 1 (−x ) =− (−x ) = x
⇒�
f 1�2 = IdR⇒ f 1 ∈ FG .
∀x ∈ R,�
f 2�2 (x ) = f 2
�
f 2 (x )�
= f 2 (1−x ) = 1− (1−x ) = x
⇒�
f 2�2 = IdR⇒ f 2 ∈ FG .
Si l’on pose f 3 = f 2 ◦ f 1, un autre calcul montre que :
∀x ∈R, f 3 (x ) = f 2�
f 1 (x )�
= f 2 (−x ) = 1− (−x ) = x +1.
Une récurrence immédiate montre que :
∀n ∈N∗, ∀x ∈R,�
f 3�n (x ) = x +n 6= x .
Par conséquent, pour tout entier n ∈N∗,�
f 3�n 6= IdR, donc f 3 = f 2 ◦ f 1 /∈ FG , ce entraîne
que (FG ,∗) n’est pas un groupe.
215
Maths MPSI
Exercice 31) Pour tout x ∈G , on a :
(Φa ◦Φb ) (x ) = Φa (Φb (x )) = Φa
�
b ∗x ∗b−1�
= a ∗�
b ∗x ∗b−1�
∗a−1
= (a ∗b ) ∗x ∗�
b−1 ∗a−1�
= (a ∗b ) ∗x ∗ (a ∗b )−1 =Φa∗b (x ) ,
donc :∀ (a ,b )∈G 2, Φa ◦Φb =Φa∗b .
On remarque également que :
ΦeG : x 7→ eG ∗x ∗ (eG )−1 = x ⇒ΦeG = IdG ,
ce qui nous donne pour tout a ∈G :
Φa ◦Φa−1 = Φa∗a−1 =ΦeG = IdG
Φa−1 ◦Φa = Φa−1∗a =ΦeG = IdG
donc Φa est bijective et (Φa )−1 =Φa−1 .2) Montrons que IG est un sous-groupe de (SG ,◦) (ensemble des applications f : G →
G bijectives). D’après la question précédente, on a l’inclusion IG ⊂SG et (SG ,◦) est ungroupe. On a également eSG = IdG =ΦeG ∈ IG . Pour tout
�
f , g�
∈ (IG )2 , il existe a ,b ∈Gtel que f =Φa et g =Φb alors :
f ◦ g =Φa ◦Φb =Φa∗b ∈ IG , f −1 =Φa−1 ∈ IG ,
donc IG est un sous-groupe de (SG ,◦), ce qui démontre que (IG ,◦) est un groupe.Si (G ,∗) est commutatif, on a pour tout a ∈G :
∀x ∈G , Φa (x ) = a ∗x ∗a−1 = a ∗a−1 ∗x = eG ∗x = x ,
donc Φa = Id . Ceci démontre l’inclusion IG ⊂ {IdG } et, comme {IdG } ⊂ IG , on peutaffirmer que IG = {IdG } .
Exercice 4Soit x ∈H , pour tout y ∈H , f
�
y�
= y ∗x ∈H (car H est stable par ∗), donc f : H →H .L’application f est injective, car
∀�
y , y ′�
∈ H 2, f�
y�
= f�
y ′�
⇔ y ∗x = y ′ ∗x
⇒∗x−1
y ∗�
x ∗x−1�
= y ′ ∗�
x ∗x−1�
⇔ y ∗ eG = y ′ ∗ eG ⇔ y = y ′.
Comme H est une partie de G qui est un ensemble fini, alors H est aussi un ensemblefini. L’application f : H → H est une injection entre deux ensembles finis de mêmecardinal, donc elle est bijective. En particulier, il existe y ∈H tel que :
f�
y�
= eG ⇔ y ∗x = eG ⇒∗x−1
y ∗�
x ∗x−1�
= eG ∗x−1⇔ x−1 = y ∈H .
Par conséquent, H est un sous-ensemble non vide de G , il est stable par ∗ et par passageà l’inverse, donc c’est un sous-groupe de (G ,∗) .
216
CORRIGÉS
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
Exercice 5Il est immédiat que H ⊂S{1,2,3} et
�
S{1,2,3},◦�
est un groupe. eS{1,2,3} = Id{1,2,3} ∈H , car :
∀ (x1,x2,x3)∈ P,�
x Id(1),x Id(2),x Id(3)�
= (x1,x2,x3)∈ P.
Soitσ,σ′ ∈H , alors, pour tout (x1,x2,x3)∈ P, on a :�
xσ(1),xσ(2),xσ(3)�
∈ P
(carσ ∈H ). Commeσ′ ∈H , on en déduit que :�
xσ′(σ(1)),xσ′(σ(2)),xσ′(σ(3))�
∈ P⇔�
x (σ′◦σ)(1),x (σ′◦σ)(2),x (σ′◦σ)(2)�
∈ P
doncσ′ ◦σ ∈H . Comme {1, 2, 3} est un ensemble fini,S{1,2,3} est aussi un ensemble fini.Puisque H est un sous-ensemble non vide deS{1,2,3} contenant eS{1,2,3} et stable par ◦, onen déduit (en utilisant l’exercice 4) que H est un sous-groupe de
�
S{1,2,3},◦�
, donc (H ,◦)est un groupe.
Exercice 6
1) Soit z ∈H , il existe�
x , y�
∈Z2 tel que z = x + yp
3 avec :
x 2−3y 2 = 1⇔�
x +p
3y�
︸ ︷︷ ︸
=z
�
x − yp
3�
= 1⇒ z 6= 0⇒H ⊂R∗.
2) D’après la question précédente, on a H ⊂R∗ et (R∗,×) est un groupe. 1 ∈H avec1= 1+0
p3 avec (1, 0)∈Z2 et 12−3.02 = 1. Soit (z , z ′)∈H 2, il existe
�
x ,x ′, y , y ′�
∈Z4 telque :
¨
z = x + yp
3, x 2−3y 2 = 1z ′ = x ′+ y ′
p3, (x ′)2−3
�
y ′�2 = 1
.
On peut, alors écrire :
z z ′ =�
x x ′+3y y ′�
︸ ︷︷ ︸
∈Z
+�
x y ′+x ′y�
︸ ︷︷ ︸
∈Z
p3
et on a :�
x x ′+3y y ′�2−3
�
x y ′+x ′y�2 =
�
x 2 �x ′�2+6x x ′y y ′+9y 2 �y ′
�2�
−3�
x 2 �y ′�2+2x x ′y y ′+
�
x ′�2 y 2
�
= x 2�
�
x ′�2−3
�
y ′�2�−3
�
�
x ′�2−3
�
y ′�2�y 2
=�
�
x ′�2−3
�
y ′�2��x 2−3y 2
�
= 1×1= 1,
donc z z ′ ∈H . Pour finir, on a :
1
z=
1
x + yp
3=
x − yp
3�
x + yp
3��
x − yp
3� =
x − yp
3
x 2−3y 2= x︸︷︷︸
∈Z
+�
−y�
︸︷︷︸
∈Z
p3
avec x 2−3�
−y 2�
= x 2−3y 2 = 1 donc1
z∈H , ce qui démontre que (H ,×) est un sous-
groupe de (R∗,×) .
217
Maths MPSI
Exercice 7Par définition, on a H ⊂G et (G ,+) est un groupe. 0G ∈H , car :
0A +A = {0A +a , a ∈ A}= {a , a ∈ A}= A.
Soit (h, h ′)∈H 2, donc h +A = A et h ′+A = A, ce qui permet d’écrire :
h +h ′+A =�
h +h ′+a , a ∈ A
=b=h ′+a
{h +b , b ∈ h ′+A︸ ︷︷ ︸
=A
}
= {h +b , b ∈ A}= h +A = A,
donc h +h ′ ∈H . En outre, on a :
A = {a , a ∈ A}= {−h +h +a , a ∈ A} =b=h+a
{−h +b , b ∈ h +A︸ ︷︷ ︸
=A
}
= {−h +b , b ∈ A}=−h +A,
donc −h ∈H , ce qui démontre que H est un sous-groupe de G .
Exercice 8Soit
�
x , y�
∈�
Z�
j��2 , il existe (a , a ′,b ,b ′) ∈ Z4 tel que x = a +b j , y = a ′+b ′ j , alors
on a :
x − y =�
a −a ′�
︸ ︷︷ ︸
∈Z
+�
b −b ′�
︸ ︷︷ ︸
∈Z
j ∈Z�
j�
,
x y = a a ′+ab ′ j +b a ′ j +bb ′ j 2 = a a ′+ab ′ j +b a ′ j +bb ′�
−1− j�
= a a ′−bb ′︸ ︷︷ ︸
∈Z
+�
ab ′+b a ′−bb ′�
︸ ︷︷ ︸
∈Z
j ∈Z�
j�
.
Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de Z�
j�
. Les lois +et × sont associatives et commutatives sur C, donc sur Z
�
j�
. La distributivité de lamultiplication sur l’addition étant vraie surC, elle est encore vraie sur Z
�
j�
. En outre,on a :
0C = 0︸︷︷︸
∈Z
+ 0︸︷︷︸
∈Z
.j ∈Z�
j�
, 1= 1︸︷︷︸
∈Z
+ 0︸︷︷︸
∈Z
.j ∈Z�
j�
.
Puisque+ et× admettent comme éléments neutres respectifs 0C et 1C dansC et que cesdeux éléments sont dans Z
�
j�
, on en déduit de + et× admettent des éléments neutresdans Z
�
j�
. On en déduit que�
Z�
j�
,+,�
est un anneau commutatif.
Exercice 91) Soit z ∈Z
�
j�
, il existe (a , a ′)∈Z2 tel que z = a +b j , donc :
|z |2 = z z =�
a +b j�
�
a +b j�
= a 2+ab�
j + j�
+b 2 j j
= a 2+ab 2 cos
�
2π
3
�
+b 2�
�j�
�
2= a 2−ab +b 2.
Ainsi, |z |2 est un entier relatif (comme somme et produit de tels nombres) et un réelpositif (c’est le carré d’un réel), donc c’est un entier naturel.
218
CORRIGÉS
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
2) Soit z ∈Z�
j�
, il existe (a , a ′)∈Z2 tel que z = a +b j .Implication directe : Supposons que
|z |2 = 1⇔ z z = 1 ⇒z∈C∗
1
z= z = a +b j =
j+j=−1a +b
�
−1− j�
= (a −b )︸ ︷︷ ︸
∈Z
+ (−b )︸︷︷︸
∈Z
j ∈Z�
j�
,
donc z est inversible dans Z�
j�
(et son inverse est simplement1
z)
Implication réciproque : Supposons que z soit inversible dans Z�
j�
, alors il existez ′ ∈Z
�
j�
tel que :
z z ′ = 1⇒�
�z z ′�
�
2= 1⇔|z |2
�
�z ′�
�
2= 1.
Comme |z |2 et |z ′|2 sont des entiers naturels dont le produit vaut 1, on a nécessairement :
|z |2 =�
�z ′�
�
2= 1.
3) Soit z ∈ Z�
j�
, il existe (a , a ′) ∈ Z2 tel que z = a +b j . Alors, z est inversible si etseulement si :
|z |2 = 1⇔ a 2−ab +b 2 = 1⇔ (R) : ab = a 2+b 2−1.
Il est opportun de rappeler une majoration célèbre :
∀�
x , y�
∈R2,�
�x y�
�¶1
2
�
x 2+ y 2�
(elle découle du développement�
|x | −�
�y�
�
�2), donc :
a 2+b 2−1= ab ¶ |ab |¶1
2
�
a 2+b 2�
⇒1
2
�
a 2+b 2�
¶ 1
⇔ a 2+b 2 ¶ 2⇒
(
|a |=p
a 2 ¶p
a 2+b 2 ¶p
2
|b |=p
b 2 ¶p
a 2+b 2 ¶p
2⇒¨
|a |¶ 1|b |¶ 1
,
car a et b sont des entiers relatifs. Il n’y a qu’un nombre fini de valeurs possibles pour aet pour b , donc il n’y a qu’un nombre fini d’inversibles de Z
�
j�
. Déterminons les.Premier cas : a = 0. D’après la relation (R) , on a :
b 2 = 1⇔b =±1⇔ z =±j .
Deuxième cas : a = 1. D’après la relation (R) , on a :
b 2 =b ⇔b (b −1) = 0⇔b ∈ {0, 1}⇔ z ∈�
1, 1+ j
.
Troisième cas : a =−1. D’après la relation (R) , on a :
b 2 =−b ⇔b (b +1) = 0⇔b ∈ {0,−1}⇔ z ∈�
−1,−1− j
.
On en déduit que les inversibles de Z�
j�
sont contenus dans l’ensemble
A =�
±1,±j ,±�
1+ j�
et chaque élément de A est un inversible de Z�
j�
(car ils appartiennent à Z�
j�
et leurmodule au carré vaut 1), donc les inversibles de Z
�
j�
forment l’ensemble A.
219
Maths MPSI
Exercice 10Soit
�
x , y�
∈�
Z�p
2��2
, il existe (a , a ′,b ,b ′)∈Z4 tel que :
x = a +bp
2, y = a ′+b ′p
2⇒x − y =
�
a −a ′�
︸ ︷︷ ︸
∈Z
+�
b −b ′�
︸ ︷︷ ︸
∈Z
p2∈Z
�p2�
,
x y = a a ′+2bb ′︸ ︷︷ ︸
∈Z
+�
ab ′+b a ′�
︸ ︷︷ ︸
∈Z
p2∈Z
�p2�
.
Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de Z�p
2�
. Les lois +et × sont associatives et commutatives sur R, donc sur Z
�p2�
. La distributivité de la
multiplication sur l’addition étant vraie surR, elle est encore vraie sur Z�p
2�
. En outre,on a :
0R = 0︸︷︷︸
∈Z
+ 0︸︷︷︸
∈Z
.p
2∈Z�p
2�
, 1R = 1︸︷︷︸
∈Z
+ 0︸︷︷︸
∈Z
.p
2∈Z�p
2�
.
Puisque+ et × admettent comme éléments neutres respectifs 0R et 1R dans R et queces deux éléments sont dans Z
�p2�
, on en déduit de+ et × admettent des éléments
neutres dans Z�p
2�
. Ainsi,�
Z�p
2�
,+,�
est un anneau commutatif.
Exercice 111) Puisque l’on a :
±1= a 2−2b 2 =�
a +bp
2��
a −bp
2�
⇔ z�
±�
a −bp
2��
︸ ︷︷ ︸
=y∈Z[p
2]
= 1,
on en déduit que z est inversible dans Z�p
2�
(car ∃ y ∈Z�p
2�
tel que x y = 1).2) Puisque 12−2×12 =−1, on en déduit que z = 1+
p2∈Z
�p2�
est inversible. Lesinversibles d’un anneau formant un groupe multiplicatif, donc ∀n ∈ N, z n est aussiinversible. Comme z > 1, la suite (z n )n∈N tend vers +∞, donc elle contient une infinitéd’éléments distincts. A fortiori, l’ensemble des inversibles de Z
�p2�
est infini.
Exercice 121) Soit (a ,b )∈Z2 tel que a+b
p2= 0⇔ a =−b
p2. Si b 6= 0, alors on a :
p2=−
a
b∈Q,
ce qui est impossible, donc b = 0, ce qui entraine que a = 0.2) a) Par définition, on a :
z z ′ = 1⇔ (a c +2b d )+ (a d +b c )p
2
⇔ (a c +2b d −1)︸ ︷︷ ︸
∈Z
+(a d +b c )︸ ︷︷ ︸
∈Z
p2= 0
⇒cf. q1(R)
¨
a c +2b d −1= 0a d +b c = 0
⇒w w ′ = (a c +2b d )︸ ︷︷ ︸
=1 d’après (R)
− (a d +b c )︸ ︷︷ ︸
=0 d’après (R)
p2= 1,
donc w est inversible dans Z�p
2�
et son inverse est w ′.
220
CORRIGÉS
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
b) z est inversible dans Z�p
2�
et son inverse est z ′, donc z z ′ = 1. D’après la questionprécédente, on a w w ′ = 1. On peut, alors affirmer que z et w sont non nuls et on a dansR les égalités :
z =1
z ′
w =1
w ′
⇒ z w =1
z ′w ′⇔ a 2−2b 2 =1
c 2−2d 2.
Puisque a 2−2b 2 et c 2−2d 2 sont deux entiers relatifs inverses l’un de l’autre, la seulepossibilité est qu’ils soient égaux et valent±1.
Exercice 13Soit
�
x , y�
∈�
Q [i ]�2, il existe (a ,b , a ′,b ′)∈Q4 tel que x = a + ib et y = a ′+ ib ′, donc :
x − y =�
a −a ′�
︸ ︷︷ ︸
∈Q
+ i�
b −b ′�
︸ ︷︷ ︸
∈Q
∈Q [i ]
x y =�
a a ′−bb ′�
︸ ︷︷ ︸
∈Q
+ i�
ab ′+a ′b�
︸ ︷︷ ︸
∈Q
∈Q [i ] .
Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de Q [i ] . Les lois +et × sont associatives et commutatives sur C, donc sur Q [i ] . La distributivité de lamultiplication sur l’addition étant vraie surC, elle est encore vraie surQ [i ] . En outre,on a :
0C = 0= 0︸︷︷︸
∈Q
+ i × 0︸︷︷︸
∈Q
∈Q [i ] , 1C = 1= 1︸︷︷︸
∈Q
+ i 0︸︷︷︸
∈Q
∈Q [i ] .
Puisque+ et× admettent comme éléments neutres respectifs 0C et 1C dansC et que cesdeux éléments sont dansQ [i ] , on en déduit de + et× admettent des éléments neutresdans Q [i ] . Ainsi,
�
Q [i ] ,+,�
est un anneau commutatif. Soit x ∈ Q [i ]\{0}, il existe(a ,b ) ∈ Q2 tel que x = a + ib. Comme x 6= 0, on est assuré que a 6= 0 ou b 6= 0, donca − ib 6= 0, et on a :
1
x=
1
a + ib=
a − ib
(a + ib ) (a − ib )=� a
a 2+b 2
�
︸ ︷︷ ︸
∈Q
− i
�
b
a 2+b 2
�
︸ ︷︷ ︸
∈Q
∈Q [i ] .
On a déterminé un élément y =1
x∈Q [i ] tel que x y = 1C, donc tout élément non nul
deQ [i ] admet un inverse dansQ [i ], ce qui démontre que�
Q [i ] ,+,�
est un corps.
Exercice 14Soit
�
x , y�
∈�
Q�p
2��2
, il existe (a , a ′,b ,b ′)∈Q4 tel que :
x = a +bp
2, y = a ′+b ′p
2⇒x − y =
�
a −a ′�
︸ ︷︷ ︸
∈Q
+�
b −b ′�
︸ ︷︷ ︸
∈Q
p2∈Q
�p2�
,
x y = a a ′+2bb ′︸ ︷︷ ︸
∈Q
+�
ab ′+b a ′�
︸ ︷︷ ︸
∈Q
p2∈Q
�p2�
.
221
Maths MPSI
Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de Q�p
2�
. Les lois +et× sont associatives et commutatives surR, donc surQ
�p2�
. La distributivité de la
multiplication sur l’addition étant vraie surR, elle est encore vraie surQ�p
2�
. En outre,on a :
0R = 0︸︷︷︸
∈Z
+ 0︸︷︷︸
∈Z
.p
2∈Q�p
2�
, 1R = 1︸︷︷︸
∈Z
+ 0︸︷︷︸
∈Z
.p
2∈Q�p
2�
.
Puisque+ et × admettent comme éléments neutres respectifs 0R et 1R dans R et queces deux éléments sont dansQ
�p2�
, on en déduit de+ et × admettent des éléments
neutres dans Q�p
2�
. Ainsi,�
Q�p
2�
,+,�
est un anneau commutatif. En outre, si
x = a +bp
2 6= 0, vérifions que a −bp
2 6= 0. On procède par l’absurde en supposant que
a −bp
2= 0. Si b 6= 0, alors on a :p
2=−a
b∈Q, ce qui est impossible, donc :
b = 0⇒ a =−bp
2= 0⇒ x = a +bp
2= 0,
ce qui est absurde, d’où a −bp
2 6= 0. On peut alors écrire :
1
x=
1
a +bp
2=
a −bp
2�
a +bp
2��
a −bp
2�
=a
a 2−2b 2︸ ︷︷ ︸
∈Q
+�
−b
a 2−2b 2
�
︸ ︷︷ ︸
∈Q
p2∈Q
�p2�
.
On a déterminé un élément y =1
x∈Q
�p2�
tel que x y = 1R, donc tout élément non nul
deQ�p
2�
admet un inverse dansQ�p
2�
, ce qui démontre que�
Q�p
2�
,+,�
est uncorps.
Exercice 151)2) Puisque K est un corps inclus dansQ
�p2�
, on a 1K = 1Q = 1∈ K , donc :
∀n ∈Z, n1= n ∈ KK stable⇒
par inverse∀n ∈Z∗,
1
n∈ K
K stable⇒
par produit∀ (n , m )∈Z×Z∗, n ×
1
m=
n
m∈ K ⇒Q⊂ K .
3) D’après l’hypothèse, il existe x ∈ K \Q. Soit (a ,b )∈Q2 tel que x = a +bp
2. Commea ∈Q⊂ K , on a x−a =b
p2∈ K . Si b = 0, alors x = a ∈Q, ce qui est absurde, donc b 6= 0.
Comme bp
2 ∈ K et b ∈ K \{0} , on en déduit que bp
2×1
b=p
2 ∈ K . Par conséquent,
pour tout y ∈Q�p
2�
, il existe (c , d ) ∈Q2 tel que y = c +dp
2. Puisque c , d ∈Q⊂ K etp
2 ∈ K , on en déduit que y = c + dp
2 ∈ K d’où l’inclusion Q�p
2�
⊂ K . L’inclusionréciproque est immédiate, ce qui fournit l’égalité souhaitée.
222
CORRIGÉS
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
Exercice 16Il suffit de montrer que chaque élément non nul de A possède un inverse dans A. Soit
x ∈ A\{0A} , pour tout y ∈ A, x y ∈ A (car A est un anneau). Par conséquent, on peut
considérer l’application f :
¨
A → Aa 7→ x a
. Elle est injective, car :
∀�
a , a ′�
∈ A2, f (a ) = f�
a ′�
⇔ x a = x a ′⇔ x a −x a ′ = 0⇔ x�
a −a ′�
= 0
par hypothèse⇒
de l’énoncé
x = 0A (impossible)ou
a −a ′ = 0A
⇒ a −a ′ = 0⇔ a = a ′.
Puisque f est une injection entre deux ensembles finis de même cardinal, on peutaffirmer que f est une bijection. Par conséquent, 1A admet un antécédent par f , c’est-à-dire qu’il existe y ∈ A tel que :
f�
y�
= 1A ⇔ x y = 1A .
Comme la loi× est commutative, on a aussi y x = 1A , donc x est inversible dans A, quelque soit x ∈ A\{0A} ce qui démontre que (A,+,×) est un corps.
223
VUIBERT
MATHS MPSIMÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES
SOMMAIRE1. Bases mathématiques – 2. Nombres complexes – 3. Manipulations algébriques – 4. Fonctions usuelles – 5. Équations différentielles – 6. Suites – 7. Limites de fonctions, continuité – 8. Dérivabilité – 9. Études locales et asymptotiques – 10. Arithmétique des entiers – 11. Structures algébriques – 12. Polynômes et fractions rationnelles – 13. Espaces vectoriels – 14. Espaces vectoriels de dimension finie – 15. Matrices – 16. Échelonnement et systèmes linéaires – 17. Déterminants – 18. Espaces euclidiens – 19. Calcul intégral – 20. Séries numériques – 21. Dénombrement – 22. Probabilités sur un univers fini – 23. Variables aléatoires – 24. Problèmes de synthèse
Les auteurs :Abdellah Bechata est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Malherbe à Caen
Nicolas de Granrut est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Franklin Roosevelt à Reims
ISBN : 978-2-311-40216-2
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et réviser efficacement,– de nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner et se mettre en situation
d’épreuve : exercices guidés, exercices d’application et problèmes de synthèse.
![1.Un rang de données multicolores 2. Deux permutations des n premiers entiers 3. b permutations des k premiers entiers 4. Choix de n points dans [0,1]](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/551d9db4497959293b8d9110/1un-rang-de-donnees-multicolores-2-deux-permutations-des-n-premiers-entiers-3-b-permutations-des-k-premiers-entiers-4-choix-de-n-points-dans-01.jpg)
