UNIVERSITE D’ANTANANARIVO
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ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTANANARIVO———o0o———
DEPARTEMENT SCIENCES DES MATERIAUX ET METALLURGIE——o0o——
MODELISATION DE L’ ETUDE DES DISTRIBUTIONSDES CONTRAINTES ET DEFORMATION
D’UN VOILE AVEC FLEXION(COQUE DEMIE SPHERIQUE- COQUE DEMIE CYLINDRIQUE)
Présenté par:RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix
2005
MEMOIRE DE FIN D’ETUDES EN VUE DE L’OBTENTION DUDIPLOME D’ETUDES APPROFONDIES
EN SCIENCES DES MATERIAUX——o0o——
UNIVERSITE D’ANTANANARIVO———o0o——–
ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTANANARIVO
———-o0o——— DEPARTEMENT SCIENCES DES MATERIAUX ET METALLURGIE
——-o0o——-MEMOIRE DE FIN D’ETUDES EN VUE DE L’OBTENTION DU
DIPLOME D’ETUDES APPROFONDIESEN SCIENCES DES MATERIAUX
MODELISATION DE L’ ETUDE DES DISTRIBUTIONSDES CONTRAINTES ET DEFORMATION
D’UN VOILE AVEC FLEXION(COQUE DEMIE SPHERIQUE- COQUE DEMIE CYLINDRIQUE)
ELEMENTS FINIS ET MATLAB
MEMBREs DE JURY ———-0———-
Président de JURY : M Ramanantsizehena Pascal Directeur de l’ ESPA Professeur titulaire
Examinateurs:M Ranaivoniarivo Velomanantsoa Gabriely Professeur Responsable Scientifique de la formation en 3e Cycle du Departement SMM M Rakotomaria Etienne Professeur titulaire
M Randrianja Roger Professeur Chef de Département Mines
M Ranarivelo Michel Chef de Departement SMM Maître de Conférence
Rapporteur : M Randriantsimbazafy Andrianirina Maître de ConférenceDate de soutenance : 09 Septembre 2006
2005
Présenté par RANDRIAHARIMINAJean De La Croix
COQUES – Sciences des Matériaux SMM - ESPA
MODELISATION DE L’ETUDE DES DISTRIBUTIONS DES CONTRAINTES ET
DEFORMATIONS D’UN VOILE AVEC FLEXION
(coque demie sphérique et coque demie cylindrique)
REMERCIEMENTS _ AVANT-PROPOS _ PREFACE _ INTRODUCTION
I – DEFINITIONS . Caractéristique de la voile. Caractéristique de la surface
II – HYPOTHESESIII - SCIENCES DES MATERIAUX A UTILISER
- Caractéristique des matériaux constituant le béton- Les contraintes des matériaux- Mise en oeuvre
IV –SYSTEME DE CHARGE - Les forces Résultantes- Les Moments de Flexion et de Torsion- Appuis
V – EQUILIBRE GENERALE OU DE FLEXION . Principe de l’étude
. Equilibre de membraneVI -EQUATIONS GENERALES -Solutions des équations -Conditions limites -Détermination des Constantes d’IntégrationVII – EXEMPLES D’APPLICATIONS :
- Coque sphérique (hémisphérique) .Détermination des tensions de Membrane en tout point de la calotte sphérique .Détermination des constantes d’intégration C et D correspondantes-Coque cylindrique (hémicylindrique) .Détermination des tensions de Membrane en tout point du voile .Détermination des constantes d’intégration C et D correspondantes
VIII- LA METHODE DES ELEMENTS FINIS- Introduction- Etude du modèle- Equilibre de la facette
IX –L’UTILISATION DE L’OUTIL MATLAB - Présentation de Matlab - Les calculs matriciels dans Matlab - Les opérations matricielles dans Matlab - Les sous programmes : . de calculs des différents caractéristiques d’un élément . de montage des graphismes
REMERCIEMENTS
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 1 -
COQUES – Sciences des Matériaux SMM - ESPA
Nous tenons à remercier DIEU, notre créateur et notre sauveur, qui nous a conduit à ce chemin de la clartéde ses mains miraculeuses et pleines de pouvoir .
Nous remercions Monsieur RAPARSON RICHARD, Directeur général de la DINIKA INTERNATIONAL, qui nous a autorisé à poursuivre notre étude jusqu’à ce niveau.
Nous remercions aussi tous les enseignants qui étaient chargés de notre formation durant la période de l’année scolaire : -Monsieur RAMANANTSIZEHENA Pascal : Directeur de l’ESPA , Professeur titulaire à l’ESPA -Monsieur RANAIVONIARIVO Velomanantsoa Gabriely :Professeur Responsable Scientifique de la Formation en 3e Cycle du Département SMM -Monsieur RAKOTOMARIA Etienne : Professeur titulaire à l’ESPA -Monsieur RAKOTONIRINA Solonjatovo Emmanuel Volahanta : Professeur titulaire
-Monsieur RAKOTOMIRAHO Soloniaina : Professeur à l’ESPA
-Monsieur RAKOTONINDRAINY : Professeur à l’ESPA
-Monsieur RANDRIANJA Roger : Professeur Chef de Département Mines à l’ESPA
-Monsieur RANDRIANARY Philippe : Professeur Chef de Département Génie Chimique à l’ESPA
-Monsieur RAZAFIMAHEFA Alexandre : Professeur titulaire à la faculté des sciences
-Monsieur RANARIVELO Michel Dieudonné : Chef département SMM (sciences des matériaux et métallurgie ) à l’ESPA : Maître de Conférence
-Monsieur RANDRIAMANDRANTO Daniel : Maître de Conférence -Monsieur RABE CHRISTIAN : Maître de conférence
-Monsieur RIVONIRINA Rakotoarivelo : Maître de Conférence
-Monsieur RANDRIANTSIMBAZAFY Andrianirina : Maître de Conférence Nous remercions aussi les amis du labo des Maths – Physiques à la faculté des sciences à Ankatso pour leurs aides et conseils pour la réalisation de ce travail. En particulier nos anciens enseignants à la faculté des sciences : - Monsieur RATIARISON Adolphe : Professeur - Monsieur RABEMANOTRONA : Maître de conférence
Nous tenons aussi à remercier les personnels de la scolarité et de la bibliothèque de l’ ESPA de leur aimable collaboration et information.
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 2 -
COQUES – Sciences des Matériaux SMM - ESPA
PREFACE
Dieu est géométrie
Platon
Un Calculateur, ingénieur, ne doit modifier aucune forme donnée par l’architecte pour la
mettre en équation, c’est qu’il n’est pas un chercheur et qu’il utilise ce qu’il sait sans plus, or le danger
est d’affirmer qu’il n’y a que ce que je sais qui existe.
Car toute forme a une expression géométrique et peut se mettre en équation.
La géométrie, comme les mathématiques, est un langage.
Tout ce qui se conçoit peut donc s’exprimer par le dessin ou par le calcul.
On sait que, même ce qui est inconcevable à l’esprit humain, peut se représenter
mathématiquement. C’est bien à cette recherche que nous voulons aboutir.
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COQUES – Sciences des Matériaux SMM - ESPA
AVANT-PROPOS
Les voiles minces ne constituent qu’un cas particulier de la mécanique des milieux
continus et de même leurs exemples d’application comme les coques hémisphériques et
hémicylindriques. Nous présentons ici, sous forme de mémoire, leur théorie générale en quelques pages,
pour ces quelques applications citées ultérieurement seulement, par manque d’intérêt pratique sans doute
dans mon domaine de spécialité. On trouve en effet un système d’équations différentielles sans
solutions évidentes de sorte qu’on est tout naturellement conduit dans un but de simplification, à tenir
compte des particularités géométriques de chaque surface.
Cela explique pourquoi il n’existe toujours pas le livre traitant totalement et efficacement des
voiles minces et pourquoi chaque auteur est conduit à faire un choix :
- certains étudient en détail une surface particulière
- d’autres étudient en détail une méthode approchée en l’appliquant à plusieurs surfaces.
Plusieurs ouvrages s’arrêtent à la formulation des systèmes d’équations différentielles et à
l’étude théorique des solutions.
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 4 -
COQUES – Sciences des Matériaux SMM - ESPA
INTRODUCTION Les propriétés de flexion d’une plaque dépendent, en grande partie, de son épaisseur, en fonction de ses autres dimensions. On ne peut pas traiter la théorie des résistances des matériaux dans les plaques minces ou voiles ou coques. L’étude des plaques minces n’est jusqu’à présent que théorique et les chercheurs ont axé leur recherche dans la méthode appliquée pour les calculs des contraintes et déformations relatives aux plaques minces. La théorie approchée des plaques minces considère le problème des plaques comme un problème d’élasticité à trois dimensions. Cette théorie n’a jusqu’à présent pas été résolue. A Madagascar les recherches concernant les méthodes de calcul des plaques minces ne sont qu’au stade embryonnaire et nous pensons que nous sommes le pionnier de ces chercheurs. Les plaques très minces avec une résistance négligeable à la flexion, se comportent comme des membranes, à l’exception d’une zone étroite près des bords où la flexion peut exister à cause des conditions aux limites imposées aux plaques. Il existe plusieurs méthodes pratiques de résolution des équations différentielles partielles qui relient les contraintes et les déformations.Le but de ces recherches est de pouvoir dimensionner les plaques selon les sollicitations et les charges qui lui sont appliquées. Le problème de méthode de différences finies réside sur le fait que, des fois la convergence des solutions par la méthode itérative est difficile. C’est pour cela que les chercheurs n’ont pas utilisé ces méthodes. Dans notre cas nous allons essayer d’appliquer la méthode des éléments finis pour la résolution des problèmes. En essayant de cerner les problèmes de sollicitations des plaques minces, et en posant les Equations à résoudre nous allons appliquer les principes généraux des modélisations et de discrétisation du problème pour la méthode des éléments finis. La résolution consiste à maîtriser la fameuse matrice de rigidité qui relie les contraintes et déformation des plaques minces. Par la méthode des éléments finis on devrait faire le maillage de la plaque mince. Ensuite on devrait chercher les fonctions polynomiales relatives aux mailles de références. La solution de la méthode des éléments finis réside sur le faite de poser un élément de référence et de considérer toutes les sollicitations sur celui-ci avec les équations. En essayant les solutions approchées par interpolation, on essaie de faire l’assemblage du système. Après avoir appliqué la méthode des éléments finis nous allons essayer de traiter des cas particuliers de problèmes de coques par le logiciel MATLAB. Le principe du logiciel MATLAB consiste à ramener tout problème sous forme d’équations matricielles et de résoudre ces problèmes. Ainsi , en guise de mémoire de fin d’études à l’ESPA pour obtenir le diplôme d’ETUDESAPPROFONDIES (DEA) en Sciences des Matériaux et Métallurgie , nous pensons qu’il est opportun de faire ces études. D’où le présent mémoire intitulé : « Modélisation de l’étude des distribution des contraintes et déformations d’un voile avec flexion ».Nous avons divisé notre étude en trois parties : Première partie :Généralité sur les coques : Dans cette partie , nous établirons , les caractéristiques des coques ,Les caractéristiques des plaques , les équations différentielles y afférentes . Deuxième partie :La méthode des éléments finis : Dans cette partie, nous évoquerons le principe des éléments finis, la discrétisation et la modélisation des coques , nous essaierons d’établir la matrice de rigidité et de faire l’assemblage. Troisième partie :L’outil MATLAB : Dans cette partie , nous évoquerons le principe de l’outil MATLAB.Nous établirons des programmes de quelques cas particuliers des coques.
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COQUES – Sciences des Matériaux SMM - ESPA
CARACTERISTIQUES DES PLAQUES
Les propriétés de flexion d'une plaque dépendent, en grande partie, de son épaisseur en
fonction de ses autres dimensions. Dans l'exposé qui suivra, nous distinguerons trois sortes de plaques:
les plaques minces avec faibles flèches, les plaques minces avec grandes flèches et les plaques épaisses.
Plaques minces avec faibles flèches. — Si les flèches w d'une plaque sont faibles par rapport
à son épaisseur h, on peut alors énoncer une théorie approximative, très satisfaisante, sur la flexion
d'une plaque soumise à des charges transversales, en émettant les hypothèses suivantes :
1. Il n'y a pas de déformation dans le plan moyen d'une plaque. Ce plan reste neutre pendant la
flexion.
2. Les points de la plaque situés initialement sur une normale au plan moyen de la plaque
demeurent sur celle-ci après la flexion.
3. Les contraintes normales suivant une direction transversale à la plaque peuvent être négligées.
En tenant compte de ces hypothèses, toutes les composantes de la contrainte peuvent
s'exprimer par la flèche w de la plaque, qui est une fonction à deux dimensions dans le plan de cette
dernière. Cette fonction doit satisfaire à une équation linéaire aux dérivées partielles, qui, avec les
conditions aux limites, définit complètement w. Ainsi donc, la solution de cette équation donne
toute information nécessaire au calcul des contraintes en n'importe quel point de la plaque.
La seconde hypothèse équivaut à négliger l'effet des efforts tranchants sur la flèche des
plaques. Cette hypothèse est généralement satisfaisante, mais dans certains cas (par exemple, dans le
cas de trous dans une plaque) l'influence du cisaillement devient importante et quelques corrections
doivent être apportées à la théorie des plaques minces.
Si des forces externes viennent s'ajouter aux charges transversales agissant dans le plan
moyen de la plaque, la première hypothèse ne doit plus être prise en considération, et il est
nécessaire de tenir compte de l'effet des contraintes agissant dans le plan moyen de la plaque sur la
flexion de celle-ci. Il suffit pour cela d'introduire quelques termes correctifs dans l'équation aux
dérivées partielles mentionnée plus haut.
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 6 -
COQUES – Sciences des Matériaux SMM - ESPA
Plaques minces avec grandes flèches. — La première hypothèse n'est complètement
satisfaite que si une plaque est fléchie en une surface développable. Dans les autres cas, la flexion d'une
plaque est accompagnée d'une déformation dans le plan moyen mais les calculs montrent que les
contraintes correspondantes dans ce plan moyen sont négligeables si les flèches de la plaque sont petites
par rapport à son épaisseur. Si les flèches ne sont pas petites, ces contraintes supplémentaires doivent
être prises en considération, en résolvant l'équation aux dérivées partielles des plaques. Dans ce cas nous
obtenons des équations non linéaires et la solution du problème devient plus compliquée. Dans le cas de
grandes flèches nous devons aussi faire la distinction entre les bords fixes et les bords libres de se
déplacer dans le plan de la plaque, qui peuvent avoir de grandes conséquences sur la grandeur des
flèches et sur les contraintes de la plaque. Du fait de la courbure du plan moyen déformé de la plaque,
les efforts de traction supplémentaires qui prédominent, agissent en opposition à la charge transversale
initiale; ainsi, la charge donnée est alors transmise en partie par la rigidité à la flexion et en partie par
une action de la membrane de la plaque. Par conséquent, les plaques très minces avec une résistance
négligeable à la flexion, se comportent comme des membranes, à l'exception, peut-être, d'une zone
étroite près des bords où la flexion peut exister à cause des conditions aux limites imposées à la plaque.
Le cas d'une plaque fléchie en une surface développable, en particulier en une surface
cylindrique, peut être considéré comme une exception. Les flèches d'une telle plaque peuvent être de
l'ordre de son épaisseur sans nécessairement produire des contraintes de membrane et sans affecter le
caractère linéaire de la théorie de la flexion. De toute manière, les contraintes de membrane devraient
apparaître dans une telle plaque, si ses bords sont fixes dans son plan et si les flèches sont suffisamment
grandes. Donc, dans les « plaques avec faibles flèches » les forces de membrane produites par les bords
fixes dans le plan de la plaque peuvent être pratiquement négligées.
Plaques épaisses. — Les théories approchées des plaques minces, exposées plus haut, sont
inutilisables dans le cas des plaques de grande épaisseur, spécialement dans le cas de charges très
élevées. On doit alors utiliser la théorie de plaques épaisses. Cette théorie considère le problème des
plaques comme un problème d'élasticité à trois dimensions. Par conséquent, l'analyse de la contrainte se
complique, et jusqu'à présent, le problème n'a été complètement résolu que pour quelques cas
particuliers. Utilisant cette analyse, on peut apporter les corrections nécessaires à la théorie des plaques
minces aux points à charges élevées,
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COQUES – Sciences des Matériaux SMM - ESPA
Les principales hypothèses de la théorie des plaques minces servent de base à la théorie
usuelle des coques minces. De toute manière, il existe une importante différence dans le comportement
des plaques et des coques sous l'action de charges extérieures. L’équilibre statique d’un élément de
plaque soumis à une charge transversale n’est seulement possible que par l’action des moments de
flexion et de torsion, habituellement accompagnés d’efforts tranchants : tandis qu’une coque, en général,
est capable de transmettre la surface de charge par contraintes de « membrane » qui agissent
parallèlement au plan tangent en un point donné de la surface moyenne et sont distribuées uniformément
à travers l'épaisseur de la coque. En règle générale, cette propriété des coques fait qu'elles sont d'une
structure plus rigide et plus économique qu'une plaque placée dans les mêmes conditions de contraintes.
En principe, les forces de membrane sont indépendantes de la flexion et sont entièrement
définies par les conditions de l'équilibre statique. Les méthodes de détermination de ces forces
représentent la théorie dite « théorie des membranes des coques ». De toute manière, les forces
de réaction et de déformation obtenues par l'utilisation de la théorie de la membrane, pour les limites de
la coque, sont habituellement incompatibles avec les conditions aux limites réelles. On doit tenir
compte de la flexion de la coque dans la zone des contours pour faire disparaître cette divergence qui
peut affecter légèrement la valeur des forces de membrane calculées initialement. De toute façon, cette
flexion a habituellement, un caractère très localisé et peut être calculée sur la base des mêmes
hypothèses que celles utilisées dans le cas de faibles flèches des plaques minces. Mais il existe des
problèmes, spécialement ceux concernant la stabilité élastique des coques, dans lesquels la théorie des
faibles flèches peut être abandonnée au profit de la « théorie des grandes flèches ».
Nous utiliserons une théorie plus rigoureuse, semblable à celle des plaques épaisses, si
l'épaisseur d'une coque est directement proportionnelle aux rayons de courbure ou si nous considérons
des contraintes proches de forces concentrées.
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 8 -
COQUES – Sciences des Matériaux SMM - ESPA
COQUES
Voiles mincesI – DEFINITION
Considérons un volume compris entre deux surfaces Σ’ et Σ’’
Appelons Σ la surface située à égale distance de Σ’ et Σ ‘’. C’est à dire la surface moyenne
La normale Mz en une point M de la surface Σ coupe les surface Σ’ et Σ’’ en P’ et P’’
Figure 1
On appelle ce volume : voile mince ou membrane car nous considérons les hypothèses suivantes :
*
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 9 -
COQUES – Sciences des Matériaux SMM - ESPA
II – HYPOTHESES :
• La surface de bissectrice Σ est la surface moyenne
• La longueur P’P’’ est l’épaisseur h de la coque avec 5 cm < h < 20 cm
• h est petite par rapport aux autres dimensions de la coque et par rapport à son rayon de
courbures
Pour analyser les forces internes :
On découpe dans la coque un élément infiniment petit délimité par deux paires de plans adjacents
Perpendiculairement à la surface moyenne de la coque
Cette surface moyenne étant rapportée à un repère rectiligne orthonormé
• On prend les axes des coordonnées x tgtes en O
y
aux fibres des courbures principales de l’axe z Normal à la surface moyenne de la coque
• Les principaux rayons de courbures
- dans le plan x o z :rx
- dans le plan y o z : ry
• Les contraintes agissant sur les faces planes ont :
pour directions les axes des coordonnées
pour composantes
σx , σy
τ xy = τ yz
τ xy
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 10 -
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III- SCIENCES DES MATERIAUX A UTILISER La science des matériaux nous permette d’utiliser, pour ces genres de constructions, des matériaux
modulables, légers, faciles à manipuler tel le BETON ARME coulé dans le coffrage.
On a aussi utilisé, le céramique, le bois, les plastiques, l’amiante-ciment, le verre et même l’argile crue
selon le choix de l’architecte et le pouvoir d’achat du maître de l’ouvrage.
Ce qui nous intéresse ici c’est le BETON ARME qui se prête bien à la construction des voiles et qui est
le plus employé à cet usage dans le bâtiment ou les ouvrages d’art.
Lorsqu’il est exécuté avec soin, sa résistance aux intempéries est presque illimitée, sa fatigue sous
charges, ne crée pas de vieillissement remarquable tant que les conditions aux limites élastiques sont
respectées et il est, le voile, isolé des vibrations ou de nombreuses variations de charges avec changement
de signe ; même dans ce cas le béton armé n’est pas défavorisé par rapport aux autres matériaux.
A – CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX
Constituant le BETON
a) CIMENTS
Le ciment est le LIANT HYDRAULIQUE du B.A .
Tous les ciments employés pour le B.A. conviennent pour la construction des voiles.
Mais il est préférable, par conseils des grands géants des MATERIAUX et VOILE durant les cours
de liant hydraulique, uniquement :
• LES CPA 45 (ciment portland artificiel) qui est dans l’ancienne NORME NFP
15 301 1981 et dans la NOUVELLE NORME EUROPEENNE EN 197-1 et qui
contiennent au moins :
- 95% de Klinker
- 3 à 5 % de Gypse
- Au plus 5 % d’autres additions de constituants secondaires
(généralement sous forme de Filler)
- Et de classe de Résistance CPA 45 qui est sûr d’avoir une résistance moyenne
du mortier de 45 MPa à 28 jours .Ceci aussi est caractérisé par
leur couleur très variable d’une fabrication à une autre.
• LES CPA 55R équivalent des SUPERS 315/400, permettront des décoffrages
rapides mais seront plus onéreux. Leurs vitesses de durcissement permettront à un
moindre degré, l’adaptation aux charges pendant la phase semi plastique précédente
le durcissement définitif puisque la durée de cette phase sera beaucoup plus courte.
Ces ciments sont les seuls employés lorsqu’on est en présence de précontrainte.
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Pour sa classe de RESISTANCE , celle-ci est élevée dès le jeune âge d’où la lettre
R (prise Rapide)
LES CIMENTS ALUMINEUX FONDUS (CA) sont aussi à conseiller dans des
milieux agressifs mais leur emploi demande une grande précaution. C’est un
LIANT HYDRAULIQUE qui résulte de la montée après cuisson jusqu’à fusion
d’un mélange composé principalement :
-d’Alumine )( 32OAl
-Chaux
-Oxyde de Fer
-Silice
Dans des proportions tel que le ciment obtenu renferme au moins 30% d’Alumine
( )32OAl .
Le ciment est un ciment à prise très rapide et c’est aussi un ciment réfractaire.
b) LES ACIERS
Les aciers employés sont les fers à béton du commerce .Etant donné les faibles épaisseurs de paroi ,
les petits diamètres utilisés sont principalement :
Ǿ6 , Ǿ8
Avec limite d’élasticité : 24 kgf/cm2
Limite de rupture : 42kgf/cm2
Allongement de rupture : 20%
Les aciers pour précontraintes sont des tréfilés à haute limite élastique, 140 kgf par mm2 . rupture
pour un allongement de 10 %
c) AGREGATS
Caractéristiques exigées :
Les sables :
- Sables calcaires ou siliceux
Exempts de schistes, ou matières organiques, ils seront lavés
- Les sables très fins sont à rejeter de même les échantillons à trop grosses dimensions
car nous avons un ouvrage de faible épaisseur
- Donc ceux qui nous conviennent donc ce sont les dimensions moyennes : de 0.3 à 1.5 mm
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Les graviers :
Les graviers seront siliceux ou calcaires. Comme les sables, leur résistance sera de 700 à 800
kg/cm3 . on aura intérêt à utiliser les 5/15 et 15/25
dont minima 5
et maxima 25
d) BETONS COURANTS
Le dosage Normal du BA à adopter par m3 est :
Ciment : 350 kg
Sable : 0,400 m3
Gravier : 0,800 m3
Cette proportion de ciment est une moyenne mais celle – ci peut être modifiée en fonction du
granulométrie , car il ne sera pas nécessaire de surcharger en ciment un mélange sable - gravier ,
comportant peu de vide . Cette modification de la proportion en ciment en fonction de la granulométrie
améliorera le coefficient de retrait.
B- LES CONTRAINTES des MATERIAUX
Le taux de résistance du béton dosé à 350 kg :
Cette résistance du Béton à tous les essais expérimentaux doit être respectée suivant l’âge du Béton
même si la Granulométrie de celui-ci ou la proportion en ciment varie.
La résistance mesurée à 28jours sert de base pour les calculs (Recommandations Internationales
CEB-FIP).Toutefois, s’il est nécessaire d’évaluer la résistance à un age différent, on pourra, à défaut de
données expérimentales, utiliser, pour une température comprise entre 15° et 20° et pour un béton
à base de ciment Portland, le tableau suivant sert pour correspondance des Recommandations CEB-FIP
Les contraintes admissibles que nous allons définir, correspondent à des ouvrages où l’on peut tenir
compte de l’adaptation tout en conservant un coefficient de sécurité raisonnable. Il est bien entendu que
pour certains ouvrages de type particulier tels que : réfrigérant, cheminées Voiles etc…cet appel à
l’adaptation n’est possible que dans des limites très étroites .Il y a donc lieu de considéré les valeurs
des contraintes ci-dessous qui sont fondées sur l’expérience tirée du comportement des ouvrages. La
contrainte de compression admissible 'bσ du béton à 28 jours d’âge(résistance nominale) est en
fonction de 5 facteurs sans dimension :
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COQUES – Sciences des Matériaux SMM - ESPA
'28
' ..... σεδγβασ =b
α dépend de la classe du ciment utilisé,donc de la vitesse de durcissement
β dépend de l’efficacité du contrôle exercé sur la qualité du béton mis en œuvre
γ dépend de l’épaisseur de l’ouvrage et des dimensions des granulats
δ dépend de la nature des sollicitations
ε dépend de la forme des sections et de la position de l’axe neutre
Classe 325 1
α Classe 400 0.90
Classe 500 0.833
Contrôle atténué 0.833
β Contrôle stricte 1
γ gCh 4> 1
gCh 4< gCh 4/
δ Compression simple Sollicitation totale pondérée
Ou pour toutes sollicitations 1er genre 2emegenre
non visées par les règles 0.30 x1.5 Tableau 1
Age du Béton (jours) 3 7 14 21 28 90 360
Béton de CPA
normal 0.40 0.65 0.88 0.95 1 1.20 1.35
Béton à haute
résistance initiale 0.55 0.75 1 1.10 1.20 Tableau 2
La Contrainte de traction de référence bσ
La contrainte de traction de référence bσ est une fraction
θγβαρ ...=b de la résistance à la compression à 28 jours d’âge '28σ
'28σρσ bb =
Avec γβα ,, sont des facteurs sans dimension et de mêmes significations et
valeurs que pour la contrainte de compression admissible.
Et pour θ :
'28/1.2018.0 σθ +=
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Résistance à la traction
Age du BETON (jours) 3 7 28 90 360
Ciment Portland normal 0.40 0.70 1 1.05 1.10 Tableau 3
Valeurs pratiques pour les contraintes admissibles
Pour une exécution normale avec un ciment de la classe 325, la résistance à la compression '28σ
en fonction du dosage peut prendre les valeurs suivantes :
Dosage(kg/m3) ( )bars'28σ ( )bars28σ
350 270 23.2
400 300 25 Tableau 4
- à l’écrasement à 90 jours c-à-d en compression de 235 kgf/cm2 au moins
- à la résistance à la traction : 151
de celle-ci soit 16 kgf/cm2.
- La rupture en traction se produit pour un allongement de 100
1 de mm par mètre et 6 kgf/cm2
- ces éprouvettes étant non armé. Et l’armature modifie ce taux à 1
10
Le module d’élasticité ou module d’ YOUNG E = 330000kgf/cm2
Le coefficient de dilatation est 11x10-6 soit :
- un allongement de 1000
11mm pour 1m de longueur
- un élévation de température de 1°. Lorsque des résistances supérieures seront nécessaires, on améliorera la qualité de l’agrégat et
on prendra LES CPA 55R équivalent d’un SUPER CIMENT 315/400 ou 400/500
Ce sera le cas des bétons devant être soumis à une précontrainte.
Mais lors du cas de la précontrainte, nous conviendrons de ne pas faire travailler le béton à plus de
50kg/cm2, lorsque les efforts sont bien connus, pour éviter les flambements locaux ou cloquage et à
un taux moindre lorsqu’il y aura quelque indécision par simple mesure de prudence .
Mais il est certain que lorsqu’une expérimentation suffisante des voiles de formes diverses aura été
réalisée , on pourra ,pour des volumes bien connus atteindre des fatigues très grandes, génératrice
d’importantes économies de matière.
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 15 -
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C- MISE EN OEUVRE 1- Généralités
La mise en œuvre dépend des matériaux employés et elle ne diffère du traditionnel que par les
points suivants, qui sont caractéristiques des voiles :
-Faible épaisseur
-Forme courbe
a) -Matériaux
Tous les matériaux actuellement utilisés sur chantier peuvent servir à la construction
des voiles comme il est indiqué auparavant.
b) - Béton Armé
A première vue le béton armé paraît le plus employé.
Exécuté par coulage à froid, toutes les formes sont possibles, ce n’est qu’une
question de coffrage.
2- Les coffrages
a) - Poids total des bois de coffrages
- On considère le bois de coffrage supporté par une poutre chargée uniformément
et appuis libres
L
hJP2 100=
Avec
cmenportéeLcmenhauteurh
cmeneurLJtotaleechP
arg
arg
====
ceux-ci utilisés pour une fatigue de 2/60 cmkgf≈
- Poteaux
R = taux de travail, en kgf/cm2 pour un rapport bh
( )pilierduépetitbhauteurh cot ; ==
A) ( )imumbh max extrémités libres
B) Extrémités demi – encastrés
C) Extrémités encastrés
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 16 -
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R A B C
80 10 15 20
50 20 30 40
30 30 45 60
20 40 60 80
15 50 75 100 Tableau 5
Exemple : un madrier de 8/22 et 240cm de h , libres aux extrémités pourra supporter :
)
kgfxxRbaP
RAcolonnebh
525030822..
30 308
240
===
=⇒==
b) – Type de coffrage :
Nous avons vu précédemment qu’il existe au moins 3 types de coffrage.
c)- Coffrages continus :
C’est ce qui nous intéressent le plus pour mettre en place tous les matériaux de
consistance plastique à l’emploi,tel le béton, le coffrage sera une réplique exacte de
voile à construire
Le coffrage est divisé en 2 parties :
- l’aire de coulée ou platelage
- la charpente ou support du platelage
d)- Charges :
Les charges sur la charpente seront :
-celle du vent
-celle du poids de la platelage
-celle du béton et de son armature
-et au fur et à mesure de son avancement on pourra avoir une charge excentrée.
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 17 -
IV- LES SYSTEMES DE CHARGES 1- Les forces résultantes :
Par unité de longueur des sections normales sont :
dzryzNx
h
hx 1
2
2
∫+
−
−= σ
dzrzzNy
h
hy∫
+
−
−=
2
2
1σ
dzryzNxy
h
hxy∫
+
−
−=
2
2
1τ
dzrxzNyz
h
hyz∫
+
−
−=
2
2
1τ
dzryzQ
h
hxzx ∫
+
−
−=
2
2
1τ
dzrxzQ
h
hyzy ∫
+
−
−=
2
2
1τ
2- Les Moments de flexion et de Torsion
Par unités de longueur des sections normales
dzryzMx
h
hxz∫
+
−
−=
2
2
1σ
dzrxzMy
h
hyz∫
+
−
−=
2
2
1σ
dzryzMxy
h
hxyz∫
+
−
−=
2
2
1τ
dzrxzMyx
h
hxyz∫
+
−
−=
2
2
1τ
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
V- EQUILIBRE GENERAL OU DE FLEXION
1- Principe de l’étude
Le solide isolé au voisinage du point M est soumis
• d’une part aux forces extérieures que l’on suppose appliquées sur la surface moyenne Σ• d’autre part aux contraintes s’exerçant sur les quatre facettes latérales et traduisant l’action du
reste du voile supprimé
Les paragraphes antécédents :
- les forces résultantes- les Moments de flexion et de la Torsion
avec schémas
Figure 2
Comme les surfaces extrados et intrados sont libres :
On peut dire alors que tout point P’’ ou P’ de ces surfaces :
Les contraintes σ3β = 0, ∀ β
et h petite on admet que
Ρ∀ ε (S), σ3β = 0
Les quantités z et z sont faibles à cause des côtés latéraux de l’élément ayant une forme trapézoïdale
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 19 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
rx ry
due à la courbure de la coque.
Ce qui entraîne que les Forces de cisaillement
N xyne sont pas égales en général
Nyz
τ xy = τ yx
avec h << rx
h << ry
Et aussi, dans notre étude :
On néglige z et z par rapport à l’unité.rx ry
On peut dire donc, en négligeant Mij que les hypothèses de l’équilibre de membrane conduisent uniquement pour toute facette à l’existence de tensions normales et de cisaillements situées dans le plan tangent correspondant et nous appelons :
Ni = Nii (Nx)Nj = Njj (Ny)
jiNjiNij ≠== τ
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 20 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
2- Equilibre de membrane
2-1 Définition
On appelle équilibre de membrane l’équilibre du voile lorsqu’on suppose que pour toute facette les contraintes sont parallèles au plan tangent à la surface Σ et sont conformes suivant l’épaisseur.
Nous avons donc :
σ i 3 = 0
σ i j indépendant de u3 ∀u j
avec : σ i j = λ θ δ i j + µ εij M = σ11 + σ 22 + σ33
θ = ε11 + ε 22 + ε33
On peut, en négligeant les moments Mij, dire que les hypothèses de l’équilibre de membrane conduisent uniquement pour toute facette à l’existence de tensions normales et de cisaillement situées dans le plan tangent correspondant et nous le rappellerons
Ni = NiiNj = Njj
jiNjiNij ≠== τ
• Nous appellerons maintenant équilibre de membrane, l’équilibre du voile lorsque pour toute facette les éléments de réduction se réduisent à des tensions situées dans le plan correspondant au voile ∑
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 21 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
2-2 Hypothèses
• Les hypothèses de l’équilibre de membrane doivent également être satisfaites pour les points M
situés au voisinage des appuis de voile.
Ainsi les réactions d’appuis doivent être situées dans le plan tangent à la surface aux points
correspondants, ce qui suppose l’existence d’une possibilité de glissement suivant les
normales.
• Les conditions imposées aux appuis qui correspondent aux hypothèses de l’équilibre de
membrane ne sont pas toujours satisfaites. On admet alors souvent de maintenir les résultats de
l’équilibre de membrane pour la zone courante du voile et d’envisager les perturbations
apportées localement à la périphérie du voile par la non réalisation des conditions d’appuis.
Cette façon de procéder peut être représentée de façon imagée pour un voile de révolution par
les schémas suivantes :
Figure 3
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 22 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
2-3 Voiles de REVOLUTION
2-3-1 Caractéristique de la voile :
Un tel voile peut être caractérisé par : • Le diamètre Ø de sa base• La flèche f traduisant l’altitude du Sommet par rapport à la base et l’épaisseur h
Figure 4
Les efforts en tout point sont déterminés par la considération de l’équilibre de flexions qui fait intervenir 5 éléments de réductions par facette
1 er cas : f très petit
• on considère l’équilibre de flexion l’effet de membrane est négligeable
2 e cas : f très important
• f > Ø avec h ~ Ø10 200
L’équilibre de membrane est considéré pour déterminer les efforts L’équilibre de flexion permet d’évaluer les efforts secondaires principalement au
voisinage des appuis
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 23 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Ces efforts sont tels que :
. Les charges appliquées qui provoquent instabilité
. La charge critique uniformément répartie - et normale à la surface - et en fonction de l’épaisseur h - et du rayon de courbure minimal de la surface
2 P critique = 2 E h
√3 (1 - σ 2) R
Les résultats expérimentaux conduisent à des valeurs inférieures et on adopte habituellement pour les voiles en béton :
2
P critique = 0,365 E h R
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 24 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Les coques hémi sphérique et hémi cylindrique que nous considérons sont les suivants :
Figure 6 Et nous considérons dans ce qui suit, un élément de chacun des deux milieux continus à étudier,et voir leur équilibre respectif en considérant un point A de l’élément soumis à des efforts de tensions et bien définis dans un repère local ou global .
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 25 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
2-3-2 Caractéristique de la surface
Un point A est tel que :
θ angle repérant le méridien passant par A ϕ angle repérant l’inclinaison de la normale en A à la méridienne / à l’axe de la surface
d θ d ϕ Variations de courbure principale des lignes passant par A
R ϕ R θ Les rayons de courbure principaux
Figure 7
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 26 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Figure 8
VI- EQUATIONS D’EQUILIBRE
Conformément aux hypothèses de l’équilibre de membrane, les actions élastiques sur une facette du petit élément isolé deviennent :
- tension normale - tension de cisaillement
Et les forces extérieures dans le trièdre A, tϕ , tθ, n sont :
FϕFθ
Fn
1- Projections :
1- Projection suivant l’axe A tθ
( ) ϕϕθθ
ϕ
θτϕϕτϕϕ
θτϕϕθθ
θ dRdrFrddRddrdRd
cos
=+∂
∂+∂Ν∂
2- Projection suivant l’axe A tϕ
( ) ϕϕθϕϕϕϕθθϕϕθ
θτ
ϕθϕ dRdrFdRddRddr cos =Ν−
∂∂+
∂Ν∂
3- Projection suivant l’axe A n
ϕϕθϕθϕϕϕϕθθ dRdrFnddrdRd sin sin =Ν+Ν
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 27 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
2- Expressions simplifiées :
En simplifiant par dϕ dθ :
(1)ϕϕθθ
ϕ
θϕϕτϕθϕ
τϕϕθθ
θ dRdrFrdrdRddrdRd
cos
) ( =+∂
∂+∂Ν∂⇔
( ) ϕθϕτϕϕτ
θθϕ RrFrRR cos =
∂∂++
∂Ν∂⇒
(2) ϕϕθϕϕϕϕθθϕϕθθτ
ϕθϕ dRdrFdRddRd
dddr cos ) ( =Ν−+
∂Ν∂⇔
( ) ϕϕ
ϕϕϕ
θτϕϕθ RrFrR
ddR cos =
∂Ν∂++Ν−⇒
(3) ϕϕθϕθϕϕϕϕθθ dRdrFnddrdRd sin sin =Ν+Ν⇔
ϕϕ
ϕϕϕϕθ RrFnd
drR sin sin =Ν+Ν⇒
ϕϕ dd sin = ϕϕ dRds =
ϕcos ds dr =
ϕϕθϕθϕϕϕϕθθ dRdrFnddrdRd sin sin =Ν+Ν
sin ϕθϕθϕϕϕϕθθ ddrFnddrdRd =Ν+Ν
En simplifiant par dθ dφ :
ϕϕϕϕθ RrFnrR sin =Ν+Ν
FnrRr
rRR =Ν+Ν
sin
ϕϕ
ϕϕϕθ
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 28 -
ϕϕϕ
cos Rddr =
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
En simplifiant on obtient :
FnRr
=Ν+Νϕϕϕθ sin
on a aussi :
θ
ϕRr1sin = donc Fn
RR=Ν+Ν
ϕϕ
θθ
compte tenu des relations :
ϕϕ dRds =
ϕcosdsdr =
(1) ( ) ϕϕθθ
ϕ
ϕϕϕτϕθϕ
τϕϕθθ
θ dRdrFrdrdRddrdRd
cos
=+∂
∂+∂Ν∂
( ) ϕθ
ϕτϕϕτ
θθϕ Rr r cos FRR =
∂∂++
∂Ν∂
(2) ( ) ϕϕ
ϕϕϕ
θτϕϕθ Rr r cos R FR =
∂Ν∂+
∂∂+Ν−
En simplifiant par Rφ :
( ) ϕ
ϕϕϕ
θτϕθ rF
R=
∂Ν∂+
∂∂+Ν−
r cos
(2) ( ) ϕ
ϕτϕτ
θθ rFr =
∂∂++
∂Ν∂ cos
ϕϕ
τϕτϕτ
θθ rFrr =
∂∂+
∂∂++
∂Ν∂ cos
ϕϕ dRds = dsRd =ϕϕ
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 29 -
ϕcosdsdr =
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
ϕϕθθ
ϕ
θϕϕτϕθϕ
τϕϕθθ
θ dRdrFr
rddRddrdRd
cos
) ( =+∂
∂+∂Ν∂
1 - on simplifie par dӨdφ
ϕθϕϕτϕ
τθ
θϕ rRFRrR cos ) ( =+∂
∂+∂Ν∂
2 - on simplifie par Rφ
θϕτϕ
τϕθ
θ rFrR
=+∂
∂+∂Ν∂ cos) (1
θϕτϕ
τϕτ
ϕθθ rFrr
R=+
∂∂+
∂∂+
∂Ν∂ cos1
θϕτϕϕ
τϕτ
ϕθθ rFr
RRr =+
∂∂+
∂∂+
∂Ν∂ cos
θϕτϕϕϕ
τϕτ
ϕθθ rFR
RRr =++
∂∂+
∂Ν∂ coscos
θϕτϕττθ
θ rFs
r =++∂∂+
∂Ν∂ coscos
θϕττθ
θ rFs
r =+∂∂+
∂Ν∂ cos2
θτϕτθ
θ rFs
r =∂∂++
∂Ν∂ cos2
ϕϕθϕϕϕϕθθϕϕθθτ
ϕθϕ dRdrFdRddRd
dddr cos ) ( =Ν−+
∂Ν∂
ϕϕθϕϕϕϕθθϕϕθθτθ
ϕϕ dRdrFdRddRd
dddr cos ) ( =Ν−+
∂Ν∂
1) on simplifie par dӨ dφ
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 30 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
ϕϕϕϕθθτϕ
ϕϕ
ϕrRFR
ddRr
d cos ) (1 =Ν−+
∂Ν∂
ϕϕϕϕθθτϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕrRFR
ddRrr
d cos 1 =Ν−+
∂∂Ν+
∂Ν∂
ϕϕϕϕθθτϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕrRFR
ddRRr
d cos cos 1 =Ν−+
Ν+∂Ν∂
ϕϕϕϕθθτϕϕϕϕ
ϕϕ rRFR
ddRRr cos cos =Ν−+Ν+
∂Ν∂
en simplifiant par Rφ :
rFdd
Rr coscos
ϕϕθ
θτϕϕ
ϕϕϕ =Ν−+Ν+
∂Ν∂
Or on a : ϕcosdsdr = ϕϕ dRds = dsRd =ϕϕ d’où on a :
rFdd
sr coscos ϕϕθ
θτϕϕϕ =Ν−+Ν+
∂Ν∂
rFdd
dsdr cos)( ϕ
θτϕθϕϕ =+Ν−Ν+Ν
FnRR
=Ν+Νϕϕ
θθ
ϕθτϕθϕϕ rF
dd
dsdr =+Ν+Ν−Ν )(cos
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 31 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
VII- a Exemples d’ application A - Coupole sphérique
Détermination des Tensions de membrane en tout point d’une calotte sphérique
- Limitée par l’angle φ
- soumise aux charges normales réparties
Fn = p sin φ cos φ avec p = constante
- R = Rφ = RӨ = rayon de calotte
r = R sinφ
ds = R dφ
Figure 9
1-Mise en Equations :
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 32 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
0sincos2 =∂∂++
∂Ν∂
ϕτϕϕτ
θθ
0sin)(cos =∂∂+
∂∂+Ν−Ν
θτ
ϕτϕθϕϕ
θϕϕθ cossinp=Ν+Ν 2-Les solutions générales de ces Equations : Elles sont de la forme : θϕθθ cos)(Ν=N
θϕϕϕ cos)(Ν=N θϕτ sin)(Τ= Les Equations différentielles deviennent :
(1) 0sincos2 =++Ν−ϕ
ϕϕθddTT
(2) ( ) 0sincos =+Ν+Ν−Ν Td
dϕ
ϕϕθϕϕ
(3) ϕϕθ sinp=Ν+Ν
L’Equation (1) donne :
ϕϕϕθ
ddTT sincos2 +=Ν
L’ Equation (3) devient :
ϕϕϕ
ϕϕ sinsincos2 pddTT =Ν++
ϕϕ
ϕϕϕ sinsincos2 pddTTN =++
Toujours de l’équation (3) qui est : ϕϕθ sin p=Ν+Ν
On multiplie les 2 membres par cosφ :
Cos ϕϕϕθϕ cossin)( pNN =+
L’équation (2) est : 0sin)(cos =++− Td
dNNNϕ
ϕϕθϕϕ
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 33 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
On additionne membre à membre :
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ cossinsin cos2 pTd
dNN =++
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ cossinsincos2 pTd
dNN =++
Donc après avoir éliminé NӨ entre les expressions précédentes on a :
ϕϕ
ϕϕϕ sinsincos2 pddTTN =++
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ cossinsincos2 pTd
dNN =++
Nous définissons les variables auxiliaires :
TNFTNF
−=+=
ϕϕ
21
Considérons d’abord TFNTNF
−=+=
11ϕ
ϕ
En remplaçant Nφ alors par son équivalence ce sera :
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
sinsincos2)1(
cossin)1(sincos)1(2
pddTTTF
pTd
TFdTF
=++−
=+−+−
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕ cossinsin1sincos2cos12 pTddT
ddFTF =+−+−
ϕϕ
ϕϕ sinsincos21 pTddTTF =−++
En additionnant membre à membre :
)cos1(sin1sin)cos21(1 ϕϕϕ
ϕϕ +=++ pddFF
En divisant par sinφ :
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 34 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
)cos1(1cot2
sin11
)cos1(sinsin1
sinsin
sincos2
sin11
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕ
+=+
+
+=+
+
pddFgF
pddFF
)cos1(sin
1cot211 ϕϕ
ϕϕ
+=
++ pgFddF
Considérons ensuite :
TFNTNF
−=⇒+=
22
ϕϕ
En remplaçant Nφ par son équivalence on a :
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
cossin)2(sincos)2(2
sinsincos2)2(
pTd
TFdTF
pddTTTF
=++++
=+++
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
cossinsin2sincos2cos22
sinsincos22
pTddT
ddFTF
pddTTTF
=++++
=+++
En retranchant membre à membre :
)cos1(sin2sin)cos21(2 ϕϕϕ
ϕϕ −=−− pd
dFF
En divisant par sinφ :
)cos1(2cot2sin
12
)cos1(sinsin2
sinsin
sincos2
sin12
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕ
−=−
−
−=−
−
pd
dFgF
pd
dFF
)cos1(cot2sin
122 ϕϕϕϕ
−=
−+− pgFddF
)cos1(sin
1cot222 ϕϕ
ϕϕ
−−=
−+⇒ pgFd
dF
D’où :
3- Les équations différentielles à considérer :
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 35 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
)cos1(sin
1cot222
)cos1(sin
1cot211
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
−−=
−+
+=
++
pgFd
dF
pgFddF
dont 4- Les solutions de ces équations sont :
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
2
3
3
2
3
3
sin2
3coscos
sincos12
sin2
cot
3coscos
sincos11
tgDpRF
gCpRF
+
−−=
+
−+−=
C et D étant deux constantes avec :
)(sin
sin)(
)(cos
cos)(
)(cos
cos)(
ϕθ
τθϕτ
ϕϕθ
ϕθϕϕϕ
ϕθθ
θθϕθθ
Τ=⇒Τ=
Ν=⇒Ν=
Ν=⇒Ν=
NN
NN
Et
Τ−Ν=Τ+Ν=
ϕϕ
21
FF
ϕΝ=+⇒ 221 FF
Calcul de Nφ et ϕN
Or ϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
2
3
3 sin2
cot
3coscos
sincos11
gCpRF +
−+−=
E t ϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
2
3
3 sin2
3coscos
sincos12
tgDpRF +
−−=
En additionnant membre à membre :
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 36 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ 2
3
3 sin2
cot
3coscos
sincos1212
gCpRFF +
−+−=+=Ν
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
2
3
3 sin2
3coscos
sincos1 tg
DpR +
−−+
⇒
++
+−−
−=Ν
22cot
sin1
sincos1
sincos1
3coscos2 233
3 ϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕ DtggCpR
++
−−−
−=Ν⇒
22cot
sin1
sincos1cos1
3coscos2 23
3 ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ DtggCpR
−+++
−−=
++
−=
ϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕ
ϕ
33
42
3
23
sin)cos1(
sin)cos1(
3coscos
sin2
22cot
sin1
sincos2
DCpR
DtggCpR
En factorisant ϕ3sin1
dans le second terme entre crochet :
[ ])cos1()cos1(sin
13
coscossin22 3
42
3 ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕ −+++
−−=Ν DCpR
En effectuant on trouve :
[ ]ϕϕ
ϕϕϕ
ϕ cos)()(sin
13
coscossin22 3
42
3 DCDCpR −+++
−−=Ν
−+++
−−=Ν⇒ ϕ
ϕϕϕ
ϕϕ cos
2)(
2)(
sin1
3coscos
sin 3
42
3
DCDCpR
Or θ
ϕϕ
θϕϕϕ
cos
cos)(N
N
=Ν⇒
Ν=
En factorisant ϕ3sin1
on a :
−+
++
−−=Ν ϕϕϕ
ϕϕ cos
223coscos
sin1 4
23
DCDCpR
Donc
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 37 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
−+
++
−−= ϕϕϕ
ϕϕϕ cos
223coscos
sin1
cos
42
3
DCDCpRN
−+
++
−−=⇒ ϕϕϕ
ϕθϕ cos
223coscos
sincos 4
23
DCDCpRN
D’où l’expression de ϕN :
−−
−+
+=⇒
3coscoscos
22sincos 4
23
ϕϕϕϕ
θϕ pRDCDCN
Calcul de τ : En partant toujours de :
TFTF
−Ν=+Ν=
ϕϕ
21
Avec
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
2
3
3
2
3
3
sin2
3coscos
sincos12
sin2
cot
3coscos
sincos11
tgDpRF
gCpRF
+
−−=
+
−+−=
TFTF
−Ν=+Ν=
ϕϕ
21
TFF 221 =−⇒
D’où ++
−+−=
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
2
3
3 sin2
cot
3coscos
sincos12
gCpRT
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
2
3
3 sin2
3coscos
sincos1 tg
DpR −
−−−
L’expression de 2T est alors :
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 38 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
−+
−++
−−=
22cot
sin1
sin)cos1()cos1(
3coscos2 23
3 ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ DtggCpRT
En effectuant on trouve :
−+
−−=
22cot
sin1
sin2
3coscos2 23
3 ϕϕϕϕ
ϕϕ DtggCpRT
−+
−−=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ 223
3
sin2
sin2
cot
sin2
3coscos2
tgD
gCpRT
On sait que :
∗ ϕ
ϕϕ
ϕ
32 sincos1
sin2
cot +=g
∗ ϕ
ϕϕ
ϕ
32 sincos1
sin2 −=
tg
D’où :
−−
++
−−=
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕ 333
3
sincos1
sincos1
sin2
3coscos2 DCpRT
En factorisant ϕ3sin1
dans le deuxième terme entre crochet on a :
[ ])cos1()cos1(sin
1sin
23
coscos2 33
3
ϕϕϕϕ
ϕϕ −−++
−−= DCpRT
En effectuant on trouve :
[ ]ϕϕϕ
ϕϕ cos)()(sin
1sin
23
coscos2 33
3
DCDCpRT ++−+
−−=
++−+
−−=⇒ ϕ
ϕϕϕϕ cos
2)(
2)(
sin1
sin1
3coscos 33
3 DCDCpRT
=
++−+
−− ϕϕϕ
ϕcos
2)(
2)(
3coscos
sin1 3
3
DCDCpR
Or θ
τθϕτ
sin
sin)(
=Τ⇒
Τ=
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 39 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
T =
++−+
−−= ϕϕϕ
ϕθτ cos
2)(
2)(
3coscos
sin1
sin
3
3
DCDCpR
++−+
−−=⇒ ϕϕϕ
ϕθτ cos
2)(
2)(
3coscos
sinsin 3
3
DCDCpR
D’où l’expression de τ :
−−++−=
3coscoscos
2)(
2)(
sinsin 3
3
ϕϕϕϕ
θτ pRDCDC
5- DETERMINATION DES CONSTANTES D’INTEGRATION C ET D :
Les constantes C et D sont déterminées par les conditions aux limites le long du parallèle .Pour se faire, définissons
• La somme des composantes horizontales des charges normales appliquées est égale à la traînée Q :
∫ ∫ ==π ϕ ο θϕθϕϕϕϕ
2
0
0 sin cossincossin dRpdRQ
)coscos32(3
22
οο ϕϕπ +−= Rp
• La somme des composantes verticales de charges appliquées est nulle par antisymétrie nous écrivons que : la somme des projections suivant l’axe θ = 0 des Tensions
τ
pour φ = φ0 est égale à la traînée Q puisque la calotte est en équilibre Nφ
C’est-à-dire :
∫ ∫ =−=π π
οοοοοο θϕθϕϕθθϕϕτ
2
0
2
sin coscossinsin dRNdRQ
( )
−+−+−= 0
40
200
2
02 coscos43
3cos
sin2sin
ϕϕϕ
ϕϕ
π pRDCR
6- CONDITIONS LIMITES
Pour les expressions de Nφ et τ trouvées :
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 40 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
−−−++=
3coscoscos
22sincos 4
23
ϕϕϕϕ
θϕ pRDCDCN
−−++−=
3coscoscos
22sinsin 3
3
ϕϕϕϕ
θτ pRDCDC
Aux conditions limites :
(1)
θτ
θϕ
πϕϕ
sin2
cos2
20
DC
DCN
+=
+=
==
(2) La pression en chaque point de la sphère est radiale (3) Le moment des forces crée par le vent par rapport aux diamètres des sphères
perpendiculaire au plan 0=θ est nul.
∫∫ =+=ππ
θθθθϕ2
22
0
22 0 cos 2
cos a
dDCadaN
DCDC −=⇒=+⇒ 02
La traînée Q à la condition limite :
2
0 0πϕϕθ ===
( )02
0
2
0
2
0
232 coscos32
3 coscossin
2
0
ϕϕπθϕθϕϕπ ππϕ
+−==
∫ ∫
=RpddpRQ
3 2
2Rpπ=
- La somme des projections suivant l’ axe θ = 0 des tensions τ et Nϕ pour 20πϕϕ == était égale à la
traînée Q puisque la calotte est en équilibre donc :
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 41 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
∫ ∫ =−=π π
θϕθϕϕθθτ ϕ2
0
2
00000 sin coscossin dRNdQ
= ( )
−+−+−
04
020
02
02 coscos43
3cos
sin2sin
ϕϕϕ
ϕϕ
π pRDCR
=
−
21 DCRπ
Donc on a :
DCet
DCpR
−=
−=⇒
23
2
pRC
pRD
DDDDpR
3232
22
232
=⇒
−=⇒
−=−=−−=⇒
Donc en général d’après les valeurs de ces constantes on trouve :
( )ϕϕϕ
ϕθϕ 33 coscos32
sincoscos
3+−−= pRN
( )ϕϕϕϕ
θθ 423 cos2sin3cos2
sincos
3−−= pRN
( )ϕϕϕ
θτ 33 coscos32
sinsin
3+−−= pR
D’après ces expressions, on calcule facilement les contraintes dues au vent en tout point de la coque ou de la calotte, abstractions faites de soulèvement donc dans le cas d’une calotte ou demi sphère
• Les forces normales sont nulles, le long du bord de la coque car 02
0=
=πϕN
• Les efforts tranchants τ le long du bord sont différents de 0 ( ≠ 0 )
- Ils sont égaux et opposés à la résultante horizontale de la pression du vent- Le valeur numérique max de (τ ) des forces se développe aux extrémités du diamètre
perpendiculaire au plan θ = 0
où ces forces ( τ ) sont égales à 3
2 pa±
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 42 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
7- Coupole sphérique sous quelques chargements courants
Considérons toujours le coupole sphérique à axe vertical de rayon R ; tout le parallèle ϕ0 (ou τ0) est un bord libre.
Pb : Détermination, dans les hypothèses de l’équilibre de membrane, des TENSIONS en tout point pour les systèmes de charges de résolutions suivantes :
Figure 10
Charge p verticale uniforme par élément de surface unité de la coupole
Charge q verticale uniforme par élément de surface unité du plan horizontal
Charge répartie P1 par unité de longueur de circonférence le long d’une parallèle
compte tenu de la symétrie de révolutions, les lignes isostatiques sont les parallèles et les méridiens donc :τ = 0
RFnNN =+ ϕθ ϕπφϕsin 2 r
N =
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 43 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
CHARGE P
ϕcospFn = ( ) PR ϕϕπφ coscos2 0
2 −=
D’où :
( )
( )ϕ
ϕϕϕ
ϕπϕϕπ
ϕ
sincoscos
sin2coscos2
0
02
−=⇒
−=
pRN
RpR
N
−−=
−=⇒==+⇒
ϕϕϕϕ
ϕϕθϕϕθ
sincoscos
cos
coscos
0pRpR
NpRNpRFnRNN
−−=
ϕϕϕ
ϕθsin
coscoscos 0pRN
Figure 11
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 44 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
CHARGE q
ϕ2cosqFn =
−=
ϕϕ
ϕπφ 20
222
sinsin
1sinRq
ϕπ
ϕϕϕπ
ϕπφϕ
sin2sinsin
1sin
sin 2
20
222
R
Rq
rN
−
==
−=
ϕϕϕϕ 2
02
sinsin
12sinqRN
RFnNN =+ ϕθ
+ −=
−
−=
−−=
−=
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕθ
sin2sin
2sincos
sinsin
12
sincos
sinsin
12sincos
02
2
20
22
20
22
Rq
Rq
qRRq
NFnRN
On a : ϕϕϕϕϕϕ
22
22
sin2coscossincos2cos
+=−=
+ −+⇒ =
ϕϕϕϕϕ
sin2sin
2sinsin2cos 0
22Rq
Figure 12CHARGE REPARTIE P1
0=Fn 0=φ
si 1ϕϕ <
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 45 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
11 sin 2 ϕπφ pR= si 1ϕϕ >
Dans le cas : 1rr <
===+
00
φϕθ
etRFnNN
Dans le cas : 1rr >
=
=−=⇒=+
11 sin 2 sin 2
0
ϕπφϕπ
φϕθϕθ
pRetr
NNNN
ϕϕ
θϕsinsin 1
1pNN =−=
Figure 13
8- APPUIS Coupole sphérique à surface sur appuis en des points isolés localisés
Considérons une surface de révolution reposant le long de son parallèle r = r0
• La réaction est située dans le plan tangent à la surface
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 46 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
• Les forces n’agissent que sur le bord de la coquec-à-d : X = Y = Z = 0
Pb : Détermination, dans les hypothèses de l’équilibre de membrane, des TENSIONS suivants les méridiens et les parallèles
1 ère cas
Nous supposons la surface appuyée tout le long de son parallèle r0
Il en résulte des Tensions : (Nθ)1 = Sθn (ϕ)cos n θ(Nϕ)1 = Sϕn (ϕ)cos n θ(τ)1 = τn (ϕ)sin n θ
qui sont solutions des équations :
( )
( )
=+
=+∂
∂+∂
∂
=−∂∂+
∂∂
0sin
0cos
0cos
10
110
110
ϕθϕ
ϕτθ
θϕ
τ
ϕθθτ
ϕϕ
rNrN
rrNr
rNrNr
en particulier (τ)1 = 0et Ø est la résultante verticale de toutes les charges appliquées à la surface avec :
( )ϕπ
φϕsin2 0
01 r
N =
2 ème cas
Nous supposons la surface non chargée latéralement mais soumise le long de son parallèle r = r0
à des Forces de bordure :
0r0 Nϕ
2
par unité d’angle au centre
0 0Et la Somme r0 Nϕ + r0 Nϕ , dans les 2 cas, dans le long du parallèle r0
2 1par unité d’angle au centre, des Forces caractérisées par le cas de la 2ème figure
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 47 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
• Ces forces correspondent à la répartition des Tensions Nϕ respectant les conditions d’appuis de la surface bord libre de tout effort Nϕ entre les appuis,
Somme des réactions d’appuis égale à Ø :
( ) φϕπϕ =sin 2 010 de
dCNr
Et dans notre cas qui est une coque sphérique avec r1 = r2 et r0 = a sin ϕ
ϕϕ
ϕτ
θϕϕ
θϕ
ntgtC
ntgtC
NN
nn
nn
sin2sin2
cos2sin2
22
22
−=
=−=
Substituant à ϕ l’angle ϕ0 correspondant au bord de la coque sphérique, on obtient les forces normales et de cisaillement distribuées le long du bord afin de créer les forces dans cette coque.
En prenant ϕ0 = π c’est – à - dire que la coque est une demie sphère, on obtient les expressions : 2
( )
( ) θτ
θϕ
πϕ
πϕ
nC
nCN
n
n
sin2
cos2
2
2
2
2
=
=
=
=
Les contraintes produites dans une coque sphérique par les Forces normales et de cisaillement appliquées au bord et respectivement proportionnelle à
cos n θet sin n θ
Et on peut traiter le problème d’une distribution quelconque de forces normales le long du bord ; prenons toujours le cas d’un dôme hémisphérique :
- de rayon a- de son poids propre Q- en appui sur ses bords soit ponctuellement soit continues
* si le dôme repose sur une fondation continue,• Les Forces Nϕ sont uniformément réparties le long du bord
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 48 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
1ère figure
Figure 14* si le dôme se repose sur quatre colonnes identiques,
• Les Forces Nϕ sont réparties comme des réactions
2èrm figure
Figure 15
Avec 2e = angle correspondant à la longueur de circonférence en appuis sur chaque colonne
• En soustrayant la distribution de force de la 1ère figure de la distribution de force de la 2ème figure on obtient la distribution suivante
On obtient la 3eme figure :
Figure 16En poursuivant les calculs dans le cas de sphère, les coefficients Nθn , Nϕn et Tn qui sont fonctions de ϕ sont déterminés à partir des équations d’équilibre.Compte tenu des relations
r = R sin ϕds = R dϕ
On obtient les équations suivantes
Nθn + N ϕ n = 0
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 49 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
(Nθ)2 + (Nϕ)2 = 0
0sincos2
sin
0sinsin
cos2
=Τ+Τ+Ν
=Τ+Ν
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕ
dndnn
nn
n
n
Nous poserons :
nn
nn
nFnF
Τ+Ν=Τ+Ν=
ϕϕ
21
La somme : 2
21221 nFnFnnFnF n+=Ν⇒Ν=+ ϕϕ
La différence : 2
21221 nFnFnnnFnF −=Τ⇒Τ=−
En rapportant ces expressions de Nφn et Tn aux Equations différentielles ci-dessus On obtient :
02
sincot22
01sin
cot21
=
−+
=
++
nFngd
ndF
nFngd
ndF
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
La solution de ces équations est
n
n
tgDnnF
gCnnF
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
2
2
sin22
sin2
cot1
=
=
On a : 2
21 nFnFn +=Ν ϕ 2
21 nFnFn −=Τ
−
=−=Τ
+
=+=Ν
nn
nn
DngCnnFnF
tgDngCnnFnF
22cot
sin21
221
22cot
sin21
221
2
2
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕ
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 50 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Hypothèses :
- coque sans ouverture au Sommet- Nϕ et T sont finies pour ϕ = 0- Ceci exige que Cn = 0
D’où l’on trouve : ( ) θφϕ
φ ntgDnNn
cos2sin2 22
=
et
( ) ( ) θϕθϕ
ϕϕ n
neneNntgDnN
n
cossin2cos2sin2
01
0
02
02 =
=
Or
( )
=n
tgne
neNDn
2
sin2sin20
02
01
ϕ
ϕϕ
Par suite :
( ) ( ) ( )
,......3 ,2 , 2
2sincossinsin
20
00122
dddnavec
tg
tg
nenenNNN
n
=
=−=ϕ
ϕ
θϕ
ϕϕϕ
( )
,...3 ,2 , 2
2sinsinsinsin
20
200
12
dddnavec
tg
tg
nenenN
n
=
−=ϕ
ϕ
θϕ
ϕϕτ
En substituant à ϕ l’angle ϕ0 correspondant au bord de la coque sphérique- on obtient les forces normales
et de cisaillementdistribuées le long du bord afin de créer les forces dans cette coque
le cas ϕ0 = π correspond au coque demi sphère 2
on obtient :
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 51 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
θτ
θϕ
nDn
nDn
sin2
cos2
−=
=Ν
Les tensions en tout point ont pour valeur :
( ) ( )( ) ( )
0 1
221
21
21
==+=
+=+=
τττττ
ϕϕϕθθθ
car
NNNNNN
On constate en particulier τ ≠ 0 le long du parallèle r = r0
Ceci suppose donc qu’il existe une poutre bordant le voile et capable d’équilibrer les efforts de cisaillement
La méthode de calcul précédente permet d’étudier les coupoles sphériques reposant sur certain nombre de piédroits qui peuvent être inclinés ou non.
Figure 17 VII-b Exemples d’Application B - coques cylindriquesDétermination des Tensions de Membranes en tout point d’une coque demie cylindrique MISE EN EQUATIONS :
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 52 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
L’isolation de l’élément de surface dx ds et son équilibre nous donnent les équations différentielles suivantes ; les 3 équations de projections des forces suivant les axes Ax , At, An s’écrivent alors d’après la figure :
0 : =+
∂∂+
∂∂ Fxdxdsdsdx
sdxds
xNxAxaxe τ
0cos2
cos: =+−
∂∂++
∂∂ FtdxdsNtdxddxds
sNtNtddxds
xAtaxe ϕϕτ
0sin2
sin: =+
∂∂++
∂∂ Fndxdsddxds
sNtNtddxds
xaxeAn ϕϕτ
Soit Fxdsdx
Nx =∂+∂ τ Ft
dsNt
dx=∂+∂ τ
FnRNt =
Ces trois équations peuvent s’écrire :
FxdRdx
Nx =∂+∂ϕτ1
FtdRdx
=∂+∂ϕττ 1
FnRNt =
Nous allons étudier une surface cylindrique à génératrice horizontale dont la direction verticale est constituée par un demi cercle de rayon r :
- Cette surface, limitée par deux directrices distantes de l, est soumise à une charge VERTICALE P uniforme par unité de longueur de directrice- On va déterminer les TENSIONS DE MEMBRANE en tout point et nous en
déduisons les conditions d’ appui à réaliser à la périphérie
A est repéré par : - l’abscisse x - l’angle ψ On a de plus : R= - r ds=R dφ= r dψ
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 53 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Figure 18 Les équations différentielles s’écrivent alors :
Fnr
Nt
FtNtrx
Fxrx
Nx
−=
=∂∂+
∂∂
=∂∂+
∂∂
ψτ
ψτ
1
1
Figure 19
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 54 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Figure 20
Pour tout point A : Fx = 0
Ft = psinψ Fn = - pcosψ
SOLUTIONS DES EQUATIONS
La résolution du système d’équations différentielles donne la solution générale :
ψcos rprFnNt =−=
( )
ψτ
ψϕ
ψψ
ψψ
∂∂−=
∂∂
=∂
∂−⇒
−=∂
∂=∂∂⇒
Ntr
Ftx
pNtr
prprNt
1
sin1
sincos
Or ϕsinpFt +=
Et ψψ
sin1 pNtr
=∂∂−
Donc :
ψψψ
ψτ
sin2sinsin
1
ppp
Ntr
Ftx
=+=
∂∂−=
∂∂
xppx
∂=∂⇒=∂∂ sin2sin2 ψτψτ
En intégrant : ∫ ∫ ∂=∂ xp sin2 ψτ
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 55 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
( )ψψτ Cpx +=⇒ sin2 avec ( ) steCC =ψ d’intégration en Fonction de ψ
( )( )
( )ψψψτ
ψψψ
ψτ
'cos2
sin2
Cpx
Cpx
+=∂∂⇒
=∂
+∂=∂∂
On a :
Fxrx
Nx
Fxrx
Nx
+∂∂−=
∂∂⇒
=∂∂+
∂∂
ψτ
ψτ
1
1
Et ( )r
Cxrp
rψψ
ψτ 'cos21 −−=
∂∂−
( )ψψ
ψτ
'1cos20
1
Crr
pxr
Fxx
Nx
−−=
∂∂−=
∂∂⇒
( )ψψ '1cos2 C
rrpx
xNx −−=∂
∂
En intégrant : ( ) xCr
xrpxNx ∂−+∂−=∂ ∫∫ ∫ '1 cos2 ψψ
( ) ( )
( ) ( )ψψψ
ψψψ
DCrx
rpxNx
DCrxx
rpNx
+−−=
+−−=
'cos
'cos2
2
2
2
ψ
ψ
cos
cos
prNt
pFnr
Nt
=⇒
=−=
( )
( ) ( )ψψψ
ψψτψ
DCrx
rpxNx
CpxprNt
+−−=
+==
'cos
sin2cos
2
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 56 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
APPUIS Au niveau du contour bas de l’hémi cylindre les tensions correspondent à la réaction des appuis sur le voile L’action du voile sur ses appuis sont bien les tensions précédentes mais de signes contraires
Figure 21 CONDITIONS LIMITES En considérant le cas où les Tensions sont tous deux nulles aux 2 extrémités c-à-d aux pointsd’abscisses x = l x = 0 à cause de la symétrie c-à-d les valeurs de ces tensions correspondantes à x = 0
( ) ( )( ) 0
0'cos2
0
==
=+−−==
ψ
ψψψ
D
DCrx
rpxNNx
à x = l
( ) ( )
( ) ( ) 0'cos
0'cos0
2
2
=+−−=
=+−−===
ψψψ
ψψψ
DCrl
rpl
DCrx
rpxNlNx
0
( )( ) ψψ
ψψ
cos'
0'cos2
plC
Crl
rpl
=⇒
=−−⇒
En intégrant ceci on trouve :
( ) KplC +−= ψψ sin
Du fait de la symétrie imposée aux 2 extrémités on doit avoir aussi :
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 57 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
( ) ( )ψττ ,00, ≡l
ψ∀
c-à-d :
( ) ( )( ) ( )ψτ
ψψτC
Cpll=
+=0
sin2
DETERMINATION DES CONSTANTES D’INTEGRATION
CplCplpl −+=+−⇒ ψψψ sinsinsin2En résolvant ceci on trouve : C = 0
Et finalement : ( ) ψψ sinplC −=
D’où : En portant ( )ψC dans les expressions de :
NxNt , , τ On trouve : ψcos rpNt =
Et ( )
( ) ( )( ) ( ) ψτ
ψψψψψψτ
sin22sin22sin
sinsin2sin2
lxplxplxplxp
plpxCpx
−=−=−=−=
−=+=
Pour ( ) ( )ψψψ DCrx
rpxNx +−−= 'cos
2
0
Avec ( )
( )( ) 0
cos'sin
=−=⇒
−=
ψψψ
ψψ
DetplC
plC
ψψ
ψψ
coscos
coscos
2
2
plrx
rxp
plrx
rpxNx
+−=
−−−=⇒
( ) ψcosxlrpxNx −=
Donc , finalement, on a :
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 58 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
( )
( ) ψ
ψτψ
cos
sin2cos
xlrpxNx
lxpprNt
−=
−==
Les appuis ont pour rôle d’équilibrer et transmettre les tensions qui ne sont pas nulles au niveaude ces appuis ; à savoir les tensions de cisaillement
( ) ( )
−
2 ,
2 , ,0 πτπτττ l
Il suffit *de prévoir :
- des raidisseurs d’extrémités fonctionnant comme des arcs et reposant sur 4 poteaux pour des toitures et sur des raidisseurs ou semelles filantes pour des tunnels
- des tirants reliant ces poteaux pour les toitures le long des génératrices de rive
• de faire les calculs de ces raidisseurs d’extrémités ou tympan• Les REACTIONS D’APPUIS sur les poteaux ont pour valeur
∫ ∫= =
==2
0
2
0
2sinsin
πψ πψ
ψψψτ drpldrV
longueurlarlongueurdeunitéparecontra
sin int
==
ψτ
4
22cos12
0
rldrplV πψψπψ
=−= ∫=
Figure 22
La demie couronne jouant le rôle de tirant reliant les poteaux aux 2 extrémités transversales de l’hémi cylindre est soumise à une force de traction maximale :
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 59 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
( )∫ ∫==π π
ψψτ0 0
dCdxN
Avec ( ) ψψ sinplC =
( )
( ) ( )
( )2
sin2
22
22
22
0 0
πψψτ
τ
=−=
−=−=−=
−=−== ∫ ∫ ∫ ∫
àxlpavec
xlpxpxplxpxplx
pxdxpldxdxxlpdxNx x
( )
4max
42.
22222
2
plN
plllplllplx
xlpxN
=
==
−⇒=
−=
VERIFICATION D’EQUILIBRE
• Surface latérale du voile rlrl 2 2 ππ =
• Surcharge totale rlp π
( )
ψ
ψψ
ψ
cos44
2
cos42
cos22
cos
22
2
2
−=
−=
−=
−=
rpl
rpl
rpl
rpllll
rlpN
rxlpxNx
l
ψcos4
2
2 rplNx lx
=
=
ψψψψψ
ππ π
dpldrr
pldrNx cos4
cos4
2
0
22
0
2
0
2
∫∫ ∫ ==
[ ] TIRANTledansTRACTIONplpl 4
sin4
220
2
===π
ψ
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 60 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Figure 23
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 61 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
METHODES DES ELEMENTS FINIS
Exposée de la démarche : La méthode consiste à rechercher une solution approchée de la solution exacte défini par morceauxsur des sous domaines du milieu continu V .Les n sous domaines Vi doivent être tels que
n
ijii jiVVetVV
1
=
≠∀Φ==
où les Vi désignent une partition de V.
Des fonctions ou des polynômes sont choisis pour définir ces sous domaines .*D’autres de ces fonctions ou polynômes sont appropriées seulement aux sous domaines : d’où ilssont locaux. Ce sont des fonctions d’interpolation de l’élément Vi
*Et d’autres pourront définir l’ensemble : d’où ils sont globaux et sont aussi obtenus par juxtaposition des fonctions ou polynômes locaux . Ce sont des fonctions d’interpolation du grand domaine V, c ‘est à dire du milieu continu V .
La fonction ou le polynôme de chaque sous domaine Vi est déterminé par un nombre fini de valeursde la fonction ou des valeurs de ses dérivées en des points choisis arbitrairement dans le sous domaineet ces points sont appelés nœuds .
Ces fonctions d’interpolation du sous domaine Vi sont des fonctions qui caractérisent les approximations entre les valeurs des nœuds . Et le sous domaine qui est muni de son interpolationest appelé élément .
Chercher une solution par ELEMENTS FINIS consiste donc à déterminer quelle fonction localeon attribue à chaque sous domaine ou élément : c’est à dire quelle valeur faut il attribuer à chaque élément pour que la fonction globale obtenue par juxtaposition de ces éléments soit proche de la solution du problème .
Des contraintes existent à propos des solutions approchées cherchées lors de la juxtaposition des des fonctions locales .
Parmi les contraintes imposées à ces solutions approchées cherchées, il y a la continuité simple 0C à la frontière entre les sous domaines (entre les éléments).La qualité de la solution approchée dépend donc :
- De la division en sous domaines ou éléments - Du choix des fonctions d’interpolation dans chaque élément ou sous domaine - Des conditions de continuité qu’on impose aux frontières des sous domaines
Quand ces choix sont faits, il reste à chercher une combinaison des fonctions locales qui satisfait approximativement les équations.
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 62 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Figure 24
» n = 20 » [x y z] = sphere (n) ; » z (1 : n/2 + 1 , : ) = 0 ; » surf ( x , y , z)
Discrétisation par éléments finis :
Introduction – ObjectifsLe but est de présenter la méthode des éléments finis pour obtenir les solutions des problèmes d’élasticité linéaire décrits précédemment .Nous poserons des informations sur les aspects théoriques de la méthode sur ceux relatifs à la mise en œuvre ( organisation matricielle et programmation).
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 63 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Aspects généraux de la méthode des élément finis :
La méthode des éléments finis est une technique particulière d’ approximation des fonctions solutions par sous- domaine . Les valeurs de ces fonctions correspondent à certains points ou nœudsde chaque sous domaine . La forme quelconque définie sur le milieu continu est représentée par une forme particulière dite discrétisée qui fait intervenir les inconnues nodales.
Milieu Continu De Approximation Milieu DiscrétiséForme quelconque ⇒ par ⇒ en Ou Eléments finis Eléments Finis particulière
Figure 25
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 64 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
DEMARCHE DES ELEMENTS FINIS
- 1- Représentation du domaine de volume V par éléments finis ou maille de volume Ve : eVV Σ=
Figure 26- 2- Représentation de la géométrie de chaque élément Ve c- à - d la position [ ]x d’un
point de l’élément * les coordonnées des nœuds }{ nx de l’élément Ve n étant le numéro des noeuds * leurs coordonnées paramétriques ληξ ,, pour les nœuds * les fonctions d’interpolation [ ]N en variable paramétrique
Figure 27
- 3- Représentation isoparamétrique de la fonction solution [ ]u sur chaque élément ( )[ ] ( )[ ] }{ nUNu ξξ = [ ] =u fonction solution
}{ nU = Variables nodales caractérisant la fonction solution
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 65 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
- 4-Représentation de la discrétisation : Un élément est caractérisé par sa forme de discrétisation qui possède son caractéristique propre à lui :
Figure 28 comme la quantité We qui s’exprime en fonction de [ ]nU et [ ]*
nU
[ ] } [ ] }{{ nnne fUkUW −= *
[ ] =k matrice élémentaire dite de rigidité
}{ nf = vecteur élémentaire des sollicitations donc propre à un élément seulement L’ensemble des éléments est donc caractérisé par : [ ]k et [ ]F quand on réalise l’assemblage
[ ] } [ ]{{ }∑∑ −== nnne
fUkUWW
W = [ ] } [ ]{( ) FUKU − = 0
[ ] } { }{ FUK =⇒
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 66 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
RESOLUTION PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS
Pour résoudre un problème par la méthode des éléments finis on procède donc par étapes successives :1- On se propose un problème physique sous la forme d’ une équation différentielle ou aux dérivés
partielles à satisfaire en tout point d’un domaine V,avec des conditions aux limites sur le bord .
2- On construit une formulation intégrale du système différentielle à résoudre et de ses conditions aux limites : c’est la formulation variationnelle du problème
3- On divise V en sous domaines : c’est le maillage .Les points intersections des limites des sous domaines ,ou mailles , sont appelés Nœuds.
4- On choisit les fonctions locales c’est à dire à la fois la position des nœuds dans les sous domaines et les polynômes ou autres fonctions qui définissent le sous domaine local par l’aide des valeurs des noeuds et éventuellement des dérivées.
La maille complétée par ces informations est appelée Eléments. 5- On ramène le problème à un problème discret : C’est la discrétisation . En effet , toute solution
approchée est complètement déterminée par les valeurs aux nœuds des éléments .
-Il suffit donc de trouver les valeurs à attribuer aux nœuds pour décrire une solution approchée .6- On résout le problème discret : c’est la résolution
7- On peut alors construire la solution approchée à partir des valeurs trouvées aux nœuds et en déduire d’autres grandeurs : c’est le post-traitement .
8- On visualise et on exploite la solution pour juger de sa qualité numérique et juger si elle satisfaitles caractères du cahier de charges : c’est l’exploitation des résultats.
CHOIX DU MAILLAGE- CHOIX DES NŒUDS- CHOIX DES FONCTIONS LOCALES L’étude des distributions des contraintes et déformations d’un voile avec flexion qui est du milieu continu (coque demi sphérique - coque demi cylindrique ) peut être complétée par l’exposé de méthodes qui sont à la base des programmes de traitement sur ordinateur et la géométrie d’une coque de forme quelconque peut toujours être représentée par un ensemble de facettes planes triangulaires en général .
Et nous allons ,en particulier , étudier plus en détails une de ces méthodes : la méthode de ces élémentsfinis en l’exposant dans le cas des milieux continus subdivisés en éléments finis qui sont des
ELEMENTS TRIANGULAIRES, les seules à pouvoir représenter toutes surfaces sphériques et qui sont à 3 nœuds et de ddl 3 chacun . ELEMENTS QUADRILATERALES pour les surfaces cylindriques qui sont à quatre nœuds
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 67 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
DEFINITION DU MODELELE MAILLAGE L’opération du maillage consiste à diviser le domaine V qui est du milieu continu en sous domaines appelés mailles ou plus précisement éléments :
• DISCRETISATION DU MILIEU CONTINU : Comme nous l’avons toujours considéré auparavant , nous allons prendre donc une surface polyédrique qui est une facette plane triangulaire dont les sommets ont été sélectionnés arbitrairement et qui est un élément maille de la structure en treillis On définit ainsi des surfaces polyédriques inscrites ,circonscrites ou intermédiaires
Figure 29• HYPOTHESES :
- les facettes (mailles) sont libres sur leurs périphéries- les facettes sont connectées par des nœuds communs placés aux sommets- les charges extérieures sont supposées directement appliquées aux nœuds : les forces
nodales pour l’élément triangulaire.• CONSEQUENCES :
- les faces extrados et intrados des facettes sont supposées libres- une facette se trouve ainsi soumise uniquement aux actions des 3 nœuds qui la relient au
reste de la structure - les facettes sont articulées sur les nœuds - les actions des nœuds se réduisent à des forces passant par les sommets.- Les conditions d’ équilibre des facettes ,soumises à trois forces imposent que les 3 forces
soient coplanaires, c-à-d dans le plan de surface.
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 68 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Figure 30• CONCLUSIONS :
- Nous avons ainsi les hypothèses de l’ EQUILIBRE DE MEMBRANE et de flexion- Dans le cas contraire de facettes encastrées sur les nœuds comportent en plus des couples
et on retrouve alors les hypothèses de l’ EQUILIBRE GENERAL de flexion .
ETUDE D’UNE FACETTE DANS SON REPERE
Notre élément est classé dans les BIDIMENSIONNELS ( 2D ) 1-REPERE :
Figure 31* Le repère O, x1, x2, x3 est le repère ou le système de référence local attaché au système* Le système de référence naturel : qui sert à localiser les points par rapport au système considéré.
Par exemple le point M du triangle d’une maille est positionné par rapport aux 3 cotés comme le montre la figure précédente avec
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 69 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Figure 32
<=
<=
<=
=
1
1
1
33
22
11
SSL
SSL
SSL
M 321 SSSS ++=
• Donc dans ce système de référence naturel : les coordonnées d’un point ne dépasse jamais de l’unité .
1321 =++ LLL
• Et la somme des coordonnées d’un point dans un tel repère est toujours égale à 1
31 1 1
àiL i
=+≤≤−
schémas
Figure 33
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 70 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
LES ELEMENTS-LES FONCTIONS D’INTERPOLATION
On choisit arbitrairement des nœuds dans la maille qui devient un élément : (1,2,3)On choisit arbitrairement des fonctions locales destinées à donner une valeur approchée aux nœuds de l’élément .
Les fonctions d’interpolation sur un élément seront construites en deux temps : 1-on construit une fonction d’interpolation sur une maille de référence standard de forme équivalente à la maille réelle 2-on transforme cette fonction d’interpolation pour qu’elle soit appropriée aux mailles réelles. Ce procédé a l’avantage de faire gagner du temps.D’autres logiciels proposent des bibliothèques d’éléments dans lesquels les interpolations dans les mailles de référence sont déjà définies et non plus à être recalculées. *- LES MAILLES DE REFERENCES : Dans un maillage toutes les mailles ont des formes et des dimensions différentes . on trouve des mailles linéiques , des mailles surfaciques et des mailles volumiques de toutes formes et de toutes tailles. Dans le but de d’uniformiser et d’automatiser les calculs , on introduit la notion de maille de référence. Nous allons énumérer ici les mailles les plus utilisées et les plus classiques qui sont , par convention généralement admises. La maille de référence linéique est le segment [ ].1 , 11 −∈x
La maille de référence surfacique triangulaire est le triangle 1 ; 0 ; 0 2121 ≤+≥≥ xxxx
La maille de référence surfacique quadrangulaire est le carré [ ] [ ]1,1;1,1 21 −∈−∈ xx La maille de référence volumique tétraédrique est le tétraèdre 1;0;0;0 321321 ≤++≥≥≥ xxxxxx
La maille de référence volumique pentaédrique est le pentaèdre(prisme à base triangulaire) ]1,1[;1;0;0 32121 −∈≤+≥≥ xxxxx La maille de référence volumique hexaédrique est le cube [ ] [ ] [ ]1;1;1,1;1;1 221 −∈−∈−∈ xxx
Où x1, x2, x3 sont les coordonnées d’un point courant m de la maille de référence
Figure 34
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 71 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
*- INTERPOLATION POLYNOMIALE SUR LES MAILLES DE REFERENCELes fonctions d’interpolations utilisées dans les logiciels sont pratiquement toujours des polynômes. Si la fonction à interpoler est vectorielle ou tensorielle, on interpole de la même manière chacune des composantes. On est donc ramené à des interpolations de fonctions scalaires. Dans la suite, N représente donc soit l’interpolation d’une fonction Scalaire soit l’interpolation d’une composante de fonction vectorielle ou tensorielle.
- Pour les mailles linéiques, N est un polynôme de 1x - Pour les mailles surfaciques, N est un polynôme de 21 xetx
- Pour les mailles volumiques, N est un polynôme de 321 , , xetxx
Rappels sur les bases de polynômes L’espace des polynômes de degré d est un espace vectoriel dont la dimension dépend du degré des polynômes et du nombre de variables. Cet espace possède une base canonique constituée de tous les monômes de degré non négatif inférieur ou égal à d.- La base canonique des polynômes à une variable x1 de degré 3 est constituée des
monômes : { }. , , , 1 31
211 xxx
- La base canonique des polynômes à deux variables x1 et x2 de degré 2 est constituée des monômes : { }21
22
2121 ,,,,,1 xxxxxx
- La base canonique des polynômes à trois variables x1, x2, et x3 de degré 2 est constituée monômes : { }133221
23
22
21321 ,,,,,,,,,1 xxxxxxxxxxxx
Le tableau qui suit donne les dimensions des espaces de polynômes pour des degrés de 1 à 5 pour les polynômes à 1,2 ou 3 variables .
degré 1 variable 2 variables 3variables1 2 3 42 3 6 103 4 10 204 5 15 355 6 21 56
Tableau 6A partir de la base canonique, on peut engendrer une infinité de bases : Si n est la dimension de l’espace de polynômes , toute matrice régulière n x n définit une autre base .Par exemple les 6 polynômes P1, P2, P3, P4, P5, P6 forment une base de l’espace des polynômes de degré 2 à 2 variables :
P1 P11 P12 P13 P14 P15 P16 1
P2 P21 P22 P23 P24 P25 P26 1x
P3 = P31 P32 P33 P34 P35 P36 2x
P4 P41 P42 P43 P44 P45 P46 21x
P5 P51 P52 P53 P54 P55 P56 22x
P6 P61 P62 P63 P64 P65 P66 21xx
En résumé, une interpolation N, sur une maille de référence est caractérisée par :- la dimension de l’espace de référence (linéique, surfacique, volumique) c’est à dire
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 72 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
le nombre de coordonnées dans l’espace de référence. - le choix de n nœuds par leurs coordonnées dans l’espace de référence- le choix de la base
On en déduit la matrice des coefficients des polynômes de base de l’interpolation.Les polynômes Pi (polynômes de base de l’interpolation) sont appelés fonction de forme
Nous considérons alors ici les éléments de référence surfaciques triangle et quadrangle.
1 - ELEMENT TRIANGLE A TROIS NŒUDS
1 2
3( 0 , 1 )
( 0 , 0 ) ( 1 , 0 )
G
3
2
1
x
y
TU
Elément de référence 2D Elément réel 3D
Figure 35
{ }{ }{ }.
;
;
n
n
n
zNz
yNy
xNx
=
=
=
Ce sont les coordonnées d’un point par rapport aux points nodaux Avec
ηξηξ ; ; 1 −−=N N étant une fonction d’interpolation
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 73 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Et
{ }
{ }
{ }
=
=
=
3
2
1
3
2
1
3
2
1
zzz
z
yyy
y
xxx
x
n
n
n
Et les vecteurs de base 21 aeta sont : ηξ dadadx 21 +=
Avec
{ } { }
{ } { }
==
==
31
31
31
2
21
21
21
1
,
,
zyx
a
zyx
a
ξη
ξη
Figure 36 L’élément d’aire est : nddAddaandS 2 21 ηξηξ =∧= Avec 3 2 1 triangleduaireA =
( ) ( ) ( )[ ] 21
221313121
221313121
2213131212 yxyxzxzxzyzyA −+−+−=
Et n la normale au plan du triangle : 2121 aaA
n ∧=
Une base locale en un point du triangle est définie par .,, 21 naaUne intégrale sur l’élément s’écrit :
( ) ( ) ( )∫∫ ∫∫ ∫−−
==ξη
ξηηξ1
0
1
0
1
0
1
0 2 ... 2 ... ... ddAddAdS
eV
Et si 0 ≡z car on est en BIDIMENSIONNEL
On a : [ ]
∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
y
xJ
η
ξ
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 74 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Le déterminant de [ ]J est : 213131212 yxyxAJ −==
La matrice jacobienne est :
[ ]
=
3131
2121
yxyx
J
L’inverse de [ ]J est [ ]
−
−=
2131
2131
21
xxyy
Aj
2 - ELEMENT QUADRANGLE A QUATRE NŒUDS
Fonctions de forme dans l’espace unitaire : Elément de référence (2D) Elément réel (3D)
( - 1 , 1 ) ( 1 , 1 )
( 1 , - 1 )( - 1 , - 1 )
4U3
21
y
x1
2
3
4
G
G
T
Figure 37
1111
≤≤−≤≤−
ηξ
Soit un point P de l’élément défini par ces coordonnées dans l’espace unitaire U :
ηξ
P
Le vecteur de déplacement Ue = ( )
ηξηξ
,(,
vu
de P est donné par la matrice N des fonctions de forme et le
vecteur Xe des degrés de liberté dans l’élément : X Te : [ ]4 4 3 3 2 2 1 1 vuvuvuvu :
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 75 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
( )
=
4
4
3
3
2
2
1
1
4321
4321 0 0 0 0
0 0 0 0 ,
),(
vuvuvuvu
vu
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ηξηξ
Avec ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )11
41,
01,1 , 01,1 , 01,1 , 11,1
11111
1111
++=+++=
=−=−−=−=
ηξηξξ ηηξϕ
ϕϕϕϕ
dcba
Les fonctions de forme sont des fonctions biquadratiques auxquelles on a élevé les termes en 2ξ et .2η
D’une façon générale, en notant ( )ii ηξ , les coordonnées du nœud i (i = 1,4) , on obtient : ( )iii ηξϕ , = ( )iiiN ηξ , . Les fonctions d’interpolation sont notées :
4,1 == iNN i avec ( )ηξϕ ,i = )1)(1(41 ηηξξ iiiN ++=
Où ii ηξ , sont les coordonnées paramétriques du nœud i
Expression de la transformation τ :
La transformation τ permet de passer de l’élément de référence ou espace unitaire U à l’élément réel ou espace géométrique G par les fonctions d’interpolation .En considérant un point P de l’élément / P=
ηξ
dans l’espace U ou l’élément de référence,
ces coordonnées dans l’élément réel ou l’espace G sont telles que , à partir des fonctions de forme N et du vecteur défini par les positions (xi , yi) de chaque nœud i dans l’élément réel :
=
4
4
3
3
2
2
1
1
4321
4321 0 0 0 0
0 0 0 0
yxyxyxyx
yx
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 76 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
{ }
=
4
3
2
1
xxxx
xn ; { }
=
4
3
2
1
yyyy
yn ; { }
=
4
3
2
1
zzzz
zn
Les vecteurs de base 1a et 2a sont :
{ } { }
++−++−++−
==)1()1()1()1()1()1(
41,
3421
3421
3421
1
ηηηηηη
ξχzzyyxx
a { } { }
++−++−++−
==)1()1()1()1()1()1(
41,
3241
3241
3241
2
ξξξξξξ
ηχzzyyxx
a
L’intégrale : ( ) ( )∫ ∫ ∫− −∧=
eVddaadS
1
1
1
121 ... ... ηξ
Si z 0 ≡ , la matrice jacobienne de transformation devient :
[ ]
( )( )
+++−+−
+++−+−
=
)1( )1()1( )1(
1 )1(1 )1(
41
3232
4141
3434
2121
ξξξξ
ηηηη
yxyx
yxyx
J ; ηξ ddJdS =
[ ] ηξ 210det AAAJJ ++==
Avec )(81
423131420 xyxyA −= où 04A est l’aire du quadrilatère
)(81
342121341 xyxyA −= ; )(81
413232412 xyxyA −=
ELEMENTS DKT ET DKQ
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 77 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Les éléments DKT et DKQ ont chacun 3 nœuds et 4 nœuds et 3ddl par nœud : Un élément DKT isocèle rectangle a pour coté l’unité Un élément DKQ carré a pour côté L = 2.
* yixiin wU ββ = i =1,n n=3 pour DKT
n=4 pour DKQ
* Les approximations C0 de ( )( )ηξβ
ηξβ,,
y
x sont telles que :
La ROTATION sβ (dans le plan sz où s est la coordonnée le long des côtés) est Quadratique en s La ROTATION nβ (dans le plan nz où n est la direction normale aux côtés) est Linéaire en s n est dirigé vers l’extérieur de l’élément
{ } { }αββ xnxx PN +=
{ } { }αββ ynyy PN +=
avec niNN i ,1 ==
niiyny ,1 == ββ
et niixnx ,1 == ββ
nnkk 2 ,1 +== αα
( ) nnkCPP kkx 2 ,1 +==
( ) nnkSPP kky 2 ,1 +==
Et k
jik L
xC = ;
k
jik L
yS = ; ( )22
jijik yxL +=
* - INTERPOLATION POLYNOMIALE SUR LES MAILLES DE REFERENCE
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 78 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Les fonctions d’interpolations utilisées dans les logiciels sont pratiquement toujours des polynômes. Si la fonction à interpoler est vectorielle ou tensorielle, on interpole de la même manièrechacune des composantes . On est donc ramené à des interpolations de fonctions scalaires.
Dans la suite N et P représentent donc :
Soit l’interpolation d’une fonction scalaire Soit l’interpolation d’une composante de fonction vectorielle ou tensorielle.
En ce qui nous concerne, car nous considérons des mailles surfaciques de référence :
a)- Pour DKT
* Les fonctions ki PetN sont :
Les valeurs de iN fonctions d’approximation ou d’interpolation sont : ( )3 1 ài =
ηξ
ηξλ
==
−−==
3
2
1 1
NNN
Les valeurs de nnkPk 2 ,1 += , fonctions de forme sont :
( )6 4 àk =
η λξ ηξ λ
444
6
5
4
===
PPP
Les expressions explicites des ROTATIONS
y
x
ββ
en fonction des 9 (ou 12)
variables nodales { }nU
( )( ) { }nniy
iy
iy
i
xi
xi
xi
y
x UNNN
NNN
, 1
321
321
=
=ββ
Avec
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 79 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
mmm
kkk
xi CP
LCP
LN
23
23
1 −=
222 4
343
mmkkixi CPCPNN −−=
mmmkkkxi SCPSCPN
43
43
3 −−=
xi
yi
mmm
kkk
yi
NN
SPL
SPL
N
32
1 23
23
=
−=
223 4
343
mmkkiy
i SPSPNN −−=
mki PPN ,, sont définis antérieurement tandis que les indices k et m sont relatifs aux cotés issus du même sommet i
nœuds sommets côté k (i-j) côté m (i-j) i 1 4(1-2) 6(3-1) DKT 2 5(2-3) 4(1-2) 3 6(3-1) 5(2-3) 1 5(1-2) 8(4-1) 2 6(2-3) 5(1-2) DKQ 3 7(3-4) 6(2-3) 4 8(4-1) 7(3-4) Tableau 7
* La matrice de rigidité [ ]K est définie par :
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 80 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
[ ] [ ] [ ] [ ]∫=eV
T ddJBHBK ηξ
1- Pour déterminer [B] On applique la relation :
[ ]
−++−
+−
−
=
yyxx
yy
xx
NJNJNJNJ
NJNJ
NJNJ
JB
ηξηξ
ηξ
ηξ
12221121
1121
1222
1
Où jiJ sont les termes du Jacobien de la Transformation géométrique/
∑∑
=
=
=
=
niii
niii
yNy
xNx
,1
,1
Les fonctions N sont définies précédemment et les xN ξ signifient « dérivée de xN par rapport à ξ ».
Les termes de [ ]JJetJ det = sont :
DKT DKQ
11J 21x ( )[ ]2134342141 xxxx −++ η
12J 21y ( )[ ]2134342141 yyyy −++ η
21J 31x ( )[ ]4132413241 xxxx −++ ξ
22J 31y ( )[ ]4132413241 yyyy −++ ξ Tableau 8
21122211 JJJJJ −= c’est le déterminant de [ ]J jiij xxx −= Donc d’après les équivalences citées dans le tableau On a :
[ ]
=
3131
2121
yxyx
J [ ]
−
−=
2131
2131
21
xxyy
Aj
Les fonctions d’interpolation sont 1N et 2N : 21 NNN =
Les vecteurs de coordonnées nodales sont :
η
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 81 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
{ }
{ }
{ }
=
=
=
2
1
2
1
2
1
zz
z
yy
y
xx
x
n
n
n
(0,1) 3 η
1221
1221
1221
zzzyyyxxx
−=−=−=
(0,0) 1 2 (1,0) ξ
Figure 38
1 00 10 0
33
22
11
======
yxyxyx
[ ]
−++−
+−
−
=yyxx
yy
xx
NJNJNJNJ
NJNJ
NJNJ
JB
ηξηξ
ηξ
ηξ
12221121
1121
1222 1
Avec
3133122
133121
122112
2122111
101000000
101
yyyyJxxxJyyyJ
xxxxJ
==−=−===−=−===−=−==
==−=−==
[ ]
−++−
+−
−
=
ηξηξ
ηξ
ηξ
,2,3,2,3
,2,3
,2,3
21
vvuu
vv
uu
NyNyNxNx
NxNx
NyNy
AB
[ ]
−++−
+−
−
=⇒yyxx
yy
xx
NNNN
NN
NN
JB
ηξηξ
ηξ
ηξ
0110
10
01 1
+
=yx
y
x
NN
N
N
Jξη
η
ξ
1
et J = J11J22 - J12J21 = x21 y31 - y21 x31 = 1 x 1 - 0 x 0 = 1
donc J =1
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 82 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
et [ ]
+
=yx
y
x
NN
N
N
B
ξη
η
ξ
[ ]
∂∂+
∂∂
∂∂
∂∂
=⇒
ξη
η
ξ
yx
y
x
NN
N
N
B
x = ξ y = η
[ ]
∂∂+
∂∂
∂∂
∂∂
=⇒
xN
yN
yN
xN
B
yx
y
x
D’où quand on a trouvé les Bi on forme B ou directement B et la matrice de rigidité telle que :
2- on forme la transposée de B = B T
La matrice de rigidité est : [ ] [ ] [ ] [ ]∫=eV
T ddJBHBk ηξ dont l’opération est à effectuer
par l’aide du MATLAB que nous verrons au plus tard le sous – programme mais pour la transposée
d’abord :
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 83 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
%transformation des variables x y en objet Syms x y real %citation de la matrice B B = [……. ] %création de la matrice transposée BT = B’ ; %disp BT(présentation de résultat) Les hypothèses considérées pour DKT et DKQ étant :
Les rotations nodales ix β et iy β sont :
( )( ) ixyiy
iyxix
ii
,
,
θωβθωβ−=−=
=−=
Des techniques utilisés consistent à introduire des fonctions bulles pour
y
s
ββ
Avec 7 fonctions iN pour DKT 9 fonctions iN pour DKQ
Les hypothèses considérées sont :
00
==
zy
zx
γγ
c-à-d : Les déformations dues aux CONTRAINTES DE CISAILLEMENT TRANSVERSALES (CCT)
aux nœuds et au centre sont NULLES.
Rappelons que :
Les expressions explicites des rotations
y
x
ββ
en fonctions des
9 (ou 12) variables nodales { }nU étant :
( )( ) { }nniy
iy
iy
i
xi
xi
xi
y
x UNNNNNN
,1
321
321
=
=ββ
{ } { }
{ } { }
+=
+=
αββ
αββ
yyny
xxnx
PN
PN
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 84 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Avec
ijédumilieuknnk
ni
ni
niNN
k
iyny
ixnx
i
cot 2 , 1
, 1
, 1
, 1
+==
==
==
==
αα
ββ
ββ
( )( ) { }nniy
iy
iy
i
xi
xi
xi
y
x UNNNNNN
,1
321
321
=
=ββ
Pour le calcul de [Bi] on procède aux dérivées des yji
xji NetN ci-dessous par rapport à x et y
successivement pour les deux premières lignes et par rapport à y et x encore et considérer la somme de ces deux derniers pour la troisième ligne .
On obtient des matrices Bi de 3x3
Avec
223
32
1
3
222
1
43
43
23
23
43
23
43
43
23
23
mmkkiy
i
xi
yi
mmm
kkk
yi
mmmkkkk
xi
mmkkixi
mmm
kkk
xi
SPSPNN
NN
SPL
SPL
N
SCPSCPL
N
CPCPNN
CPL
CPL
N
−−=
=
−=
−−=
−−=
−=
[ ]
∂∂
+∂
∂
∂∂
∂∂
=⇒
xN
yN
yN
xN
B
yij
xij
yij
xij
i
Avec k
jik L
xC =
k
jik L
yS = ( ) 2
122jijik yxL +=
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 85 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Pour DKT élément de référence (triangle rectangle isocèle) que nous appliquons sur le coque hémi sphérique on aura :
η y ( )
( )
−−==
−−=
yxyPxyP
yxxP
144
14
6
5
4
(0,1) 3
6 5
==
−−=
yNxN
yxN
3
2
1 1
(0,0) 1 4 2 x
Figure 39 (1,0) ξ { }{ }n
yiy
nxix
UN
UN
1
1
=
=
β
β { }nU étant les 9 coordonnées
variables nodales
55355452454141 83 ;
83 ;
43 ;
83 ;
43
83 ;
23
43 ; 0 ;
43 ;
23 PPNPPPPNPPPNPN x
i −−−−−−=
56355652556161 83
43 ;
83 ;
43
23 ;
83 ;
83 ;
43 ;
43 ; 0 ;
23 PPNPPPPNPPPNPN y
i −−−−−−=
D’ après ces valeurs de P4 , P5 , P6 on peut maintenant former la matrice [ ]B telle que :
[ ] [ ] [ ] [ ]∫=eV
T ddJBHBk ηξ
[ ]k étant la matrice de rigidité d’un élément . [ ]H est , puisque le matériau est élastique , homogène et isotrope,PRESENTATION DE L’ELEMENT DKT (Discrete Kirchhoff Triangle)
Figure 40
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 86 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
De la forme : [ ]
−−
=
21 0 0
0 1 0 1
1 2
νν
ν
νEH
Nous avons, dans la relation DEFORMATION et DEPLACEMENTS NODAUX aussi { } [ ] { }nqB =ε 332211 vuvuvuqn =
[ ]
∂∂+
∂∂
∂∂
∂∂
=⇒
xN
yN
yN
xN
B
yx
y
x
Donc le calcul de [ ]B nécessite la dérivation de la fonction de déplacement par rapport aux coordonnées globales des fonctions u et v qui sont exprimées plus facilement à l’aide des coordonnées naturelles Li .
55355452454141 83 ;
83 ;
43 ;
83 ;
43
83 ;
23
43 ; 0 ;
43 ;
23 PPNPPPPNPPPNPN x
i −−−−−−=
56355652556161 83
43 ;
83 ;
43
23 ;
83 ;
83 ;
43 ;
43 ; 0 ;
23 PPNPPPPNPPPNPN y
i −−−−−−=
Dans notre cas on crée directement [B] tel que :
[ ]
∂
∂+
∂
∂
∂
∂∂
∂
=
x
N
yN
y
Nx
N
B
yx
y
x
{ }{ }n
yiy
nxix
UN
UN
1
1
=
=
β
β
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 87 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
LyLx
=
=
−−=
η
ξ
ηξλ 1
55355452454141 83 ;
83 ;
43 ;
83 ;
43
83 ;
23
43 ; 0 ;
43 ;
23 PPNPPPPNPPPNPN x
i −−−−−−=
56355652556161 83
43 ;
83 ;
43
23 ;
83 ;
83 ;
43 ;
43 ; 0 ;
23 PPNPPPPNPPPNPN y
i −−−−−−=
Nous procédons aux calculs des dérivées alors et nous représenterons les résultats sous forme de Tableau après avoir compléter les expressions de y
ixi NetN 11 avec leurs différentes composantes
comme suit :
( )
( )
−−==
−−=
yxyPxyP
yxxP
144
14
6
5
4
==
−−=
yNxN
yxN
3
2
1 1
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 88 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
En remplaçant les Pi par leur équivalence alors on aura :le tableau récapitulatif suivant :
xiN 1 KP ( )yxP ,
xN x
i
∂∂ 1
yN x
i
∂∂ 1
423 P xyxx 666 2 −− ( )yx −− 216 x6−
41 43 PN − xyxyx 3341 2 ++−− yx 364 ++− x31 +−
0
45 23
43 PP −− 2663 xxxy +− xy 1263 +−+ x3
452 43
83 PPN −− 23
232 xxyx ++− xy 6
232 ++− x
23+
583 P xy
23
y23
x23
543 P xy3 y3 x3
53 83 PN − xyy
23− y
23− x
231 −
583 P xy
23
y23
x23
yiN 1 KP ( )yxP ,
yN y
i
∂∂ 1
xN y
i
∂∂ 1
623 P 2666 yxyy −− ( )yx 216 −− y6−
0
61 43 PN − 23341 yxyyx ++−− yx 634 ++− y31 +−
543 P xy3 x3 y3
583 P xy
23
x23
y23
52 83 PN − xyx
23− x
23− y
231 −
56 43
23 PP −− 2636 yxyy ++− yx 1236 ++− y3
583 P xy
23
x23
y23
563 83
43 PPN −− 23
232 yxyy ++− yx 6
232 ++− y
23
Tableau 9
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 89 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Donc N x est :
xyxyyxyxyxyxxxyxyxxyxx
PPNPPPPNPPPNPN x
23 ;
23 ; 3 ;xy
23;
233x2x- ; 366 ; 0 ; 3341 ; 666
83 ;
83 ;
43 ;
83 ;
43
83 ;
23
43 ; 0 ;
43 ;
23
2222
5535545245414
−++++−++−−−−=
−−−−−−=
Calcul des dérivées :
yyyyyxxyyxyxx
N x
23 ;
23 ; 3 ;
23 ;
2362; 1263 ; 0 ; 364 ; 6126 −++−+−++−−−=
∂∂
xxxxxxxxy
N x
23;
231 ; 3;
23 ;
23 ; 3 ; 0 ; 31 ; 6 −+−−=
∂∂
Et N y
2222
5635565255616
3232;
23;636;
23;
23;3;3341;0;666
83
43;
83;
43
23;
83;
83;
43;
43;0;
23
yxyyxyyxyyxyxxyxyyxyyxyxyy
PPNPPPPNPPPNPN y
++−++−−++−−−−=
−−−−−−=
Calcul des dérivées
yxxyxxxxyxyxy
N y
6232 ;
23 ; 1236 ;
23 ;
23 ; 3 ; 634 ; 0 ; 1266 ++−++−−++−−−=
∂∂
yyyyyyyxx
N y
23 ;
23 ; 3 ;
231 ;
23 ; 3 ; 31 ; 0 ; 6 −+−−=
∂∂
xxxxxxxxy
N x
23;
231 ; 3;
23 ;
23 ; 3 ; 0 ; 31 ; 6 −+−−=
∂∂
yyyyyyyxx
N y
23 ;
23 ; 3 ;
231 ;
23 ; 3 ; 31 ; 0 ; 6 −+−−=
∂∂
On forme maintenant la somme de ces deux derniers :
( ) )(23);(
231);(3);(
231);(
23);(3;31;31;6 yxxyyxyxyxyxyxyx
xN
yN yx
+−++−++++−+−+−=∂
∂+∂
∂
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 90 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Figure 41D’où on forme [ ]B :
[ ]
+
=yx
xy
yy
xx
NN
N
N
B
,,
,
,
[ ]
−+−−
+−+−−=+
++−++−−++−−−=
−++−+−++−−−=
=
yyyyyyyy
xxxxxxxxNN
xyxyxxxxyxxyN
yyyyxxyyxyxN
Byx
xy
yy
xx
23 ;
23 ; 3 ;
231 ;
23 ; 3 ; 31 ; 0 ; 6
23 ;
231 ; 3 ;
23;
23 ; 3 ; 0 ; 31 ; 6
2362;
23; 1236 ;
23 ;
23 ; 3 ; 634 ; 0 ; 6126
23 ;
23; 3 y;
23;
2362 ; 1263 ; 0 ; 364 ; 6126
,,
,
,
[ ]
+−++−++++−+−+−=+
++−++−−++−−−=
−++−+−++−−−=
=
)(23 ; )(
231 ; )(3 ; )(
231; )(
23 ; )(3 ; 31; 31 ; )(6
2362;
23; 1236 ;
23 ;
23 ; 3 ; 634 ; 0 ; 6126
23 ;
23; 3 y;
23;
2362 ; 1263 ; 0 ; 364 ; 6126
,,
,
,
yxxyyxyxyxyxyxyxNN
xyxyxxxxyxxyN
yyyyxxyyxyxN
B
yx
xy
yy
xx
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 91 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
[ ]
−−
=
21 0 0
0 1 0 1
1 2
νν
ν
νEH avec E = 33000 kgf/cm3 et ν = 0.3
La matrice [ ]H est une Matrice de 3 x 3 La matrice [ ]TB est une Matrice de 9 x 3 La matrice [ ]B est une Matrice de 3 x 9
[ ] ( )
+++
−−
+++
−+
+++−
++−++++++−
+−−
=
)(23
236y2-
23
)(23-1
23
23
y)3(x 12y 3x6- 3
)(231
23-
23
23
23
2362
y)3(x 3x 1263y31- 6y 3x4- 0
3x1- 0 364 y)6(x- 6x -12y-6 6126
yxxy
yxxy
y
yxxy
yxxyx
xy
yxyx
B T et [ ]
−−
=
21 0 0
0 1 0 1
1 2
νν
ν
νEH
[ ]
+−−++++++−+−=+
++−++−−++−−−=
−++−+−++−−−=
=
(23 ; )(
231 ; )(3 y);-(x
231; )(
23 ; )(3 ;3y 1- ; 31 ; )(6
2362;
23; 1236 ;
23 ;
23 ; 3 ; 634 ; 0 ; 6126
23 ;
23; 3 ;
23 ;
2362 ; 1263 ; 0 ; 364 ; 6126
,,
,
,
yxyxyxyxyxxyxNN
xyxyxxxxyxxyN
yyyyyxxyyxyxN
B
yx
xy
yy
xx
3- Calcul de [k] e matrice de rigidité d’un élément :
Donc le produit matriciel est bien compatible ;de même son intégration est aussi compatible pourla détermination de la Matrice de rigidité [ ]k qui est une matrice de 9 x 9 pour DKT.Tout ceci est effectué dans MATLAB.
[ ] [ ] [ ] [ ]∫=V
Te dydxBHBk [ ] [ ] [ ]∫ ∫=1
0
1
0
dydxBHB t
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 92 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
1- clear all 2- clc 3- E =…. 4- nu =…0.3 ; ( pour notre cas) 5- coef = E / ( 1 – nu^2 ) 6- syms x y real (transformation des variables x et y en objet ) 7- H = coef * [ 1 nu 0 ; nu 1 0 ; 0 0 (1-nu)/2 ] ; 8- B = […(on énumère B qui est en fonction des 2 variables) ] ; 9- [ ] [ ] [ ] ; ' BHBBHB T = 10- k = int ( int ( [ ] [ ] [ ] BHB T , x , 0 , 1 ) , y , 0, 1) ; 11- k = eval ( k ) / 8.9913 ; 12- disp ( k )
Figure 42 Le domaine d’intégration V e est l’élément DKT donc les bornes d’intégration sont, en
considérant le repère de référence , [ ] [ ] [ ]∫ ∫1
0
1
0
dydxBHB T c-à-d : [ ] 1 , 0
Figure 43
Pour l’ensemble, c-à-d pour le Milieu continu entier, ( A ), on aura : [ ] [ ]∑=)( A
ekK qui est une somme
particulière encore à définir. yixiin wU ββ =
( ordre des variables : 3 , 1 =iw iyixi ββ )
{ }{ }n
yiy
nxix
UN
UN
1
1
=
=
β
β et { }nU étant les 9 coordonnées variables nodales
D’où la matrice de rigidité de DKT : [ ] =
10
3Ehk
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 93 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
(isocèle rectangle avec ν = 0.3) 9.203 -1.660 -1660 -4602 -2301 -0.641 -4.602 -0.641 -2.301
-1.660 1.250 0.200 1.837 0.461 -0.152 -0.177 0.152 -0226
-1.660 0.200 1.225 -0.177 -0.226 0.152 1.837 -0.152 0.461
-4.602 1.837 -0.177 5.048 2.204 -0.366 -0.446 1.007 0.097 -2.301 0.461 -0.226 2.204 -1.399 -0.023 0.097 0.343 0.346
-0.641 -0.152 0.152 -0.366 -0.023 0.512 1.007 -0.192 0.343
-4.602 -0.177 1.837 -0.446 0.097 1.007 5.048 -0.366 2.204
-0.641 0.152 -0.152 1.007 0.343 -0.192 -0.366 0.512 -0.023
-2.301 -0.226 0.461 0.097 0.346 0.343 2.204 -0.023 1.399
Elément triangulaire DKT1-Définition du repère localLa surface de référence de l’élément est définie par :
{ }
ηξηξλ ==−−==
=
= ∑=
321
3
1
;;1 NNNZYX
NZYX
xi
i
i
i
ip
Les vecteurs de base a1 et a2 sont :
{ } { }
{ } { }
==
==
31
31
31
,2
21
21
21
,1 ;
ZYX
xa
ZYX
xa
p
p
η
ξ
On peut définir un repère [ ] [ ]nttQ :: 21=
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 94 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
AaatntLat
aaaan 2 : : : 2112
21
11
21
21 =ΛΛ==ΛΛ
=
Où A est l’aire du triangle et ( ) ;....; 122121
221
221
22121 xxxZYXL −=++=
{ } { } { }
−−
−
=
=
−−
−=
xyyx
zxxz
yzzy
tntntntntntn
tZYX
Lt
YXYXXZXZ
ZYZY
An 2
21
21
21
211
21313121
21313121
21313121
;1;21
( )O
[ ( ) ( ) ( ) ] 212
213131212
213131212
213131212 YXYXXZXZZYZYA −++−+−=
Dans le programme , le repère [ ]Q est défini en utilisant la relation
Pour le membrane : { } [ ]{ } [ ] { } globnglobmrunm
yx
y
x
iirun
UBUBvu
vu
e
ivuU
==
+
=
==
,,
,
,
3,1......
654333222111 θθθWVUWVUWVUUglobn = z,w
n y,v
,,,, yxvu sont des variables et coordonnées locales suivant 21 tett 2t 3 1 6 5
nuWnVnUnw
tuWtVtUtvtuWtVtUtu
pzyx
pzyx
pzyx
.
.
.
2222
1111
=++=
=++=
=++=
1t 4 2 x,u
Figure 44Les composantes cartésiennes de nettt , 21 sont définies par ( )O et les coordonnées locales
ii yx , s’obtiennent par , ( un point q dans l’épaisseur est défini par { } { } { }nzxx pq += ),
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 95 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
b)- Pour DKQ élément de référence (carré de coté L=2) que nous appliquons sur le coque hémi cylindrique
η y - Les fonctions de formes sont :
4 7 3(1,1)
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
+−−=−−=
−−+=+−=
−−+=+−=
+−−=−−=
)1(2111
21
)1(2111
21
)1(2111
21
)1(2111
21
2228
2227
2226
2225
xyyxxyP
yxxyyxP
xyyxxyP
yxxyyxP
x ξ 1 5 2 (-1,-1) - Les fonctions d’interpolations sont : Figure 45
( )( ) 4,1 1141 =++= iyyxxN iii
{ }{ }n
yy
nx
x
UN
UN
=
=
β
β { }nU étant les 12 coordonnées
variables nodales
0;43;
43;0;
43;
43;0;
43;
43;0;
43;
43
747737525515 PNPPNPPNPPNPN x −−−−−−=
848636626818 43;0;
43;
43;0;
43;
43;0;
43;
43;0;
43 PNPPNPPNPPNPN y −−−−−−=
On forme maintenant la MATRICE [ ]B qui est un opérateur de déformation :
( ) ( ) 4,1 1 141 =++= iyyxxN iii
Donc :
( ) ( )yyxxN 111 1141 ++= → ( )1;1 11 −=−= yx ⇒ ( ) )1(1
41
1 yxN −−= 4444
1 xyxy+−−=
( ) ( )yyxxN 222 1141 ++= → ( )1;1 22 −== yx ⇒ ( )( )yxN −+= 11
41
2 4444
1 xyxy−+−=
( )( )yyxxN 333 1141 ++= → ( )1;1 33 == yx ⇒ ( )( )yxN ++= 11
41
3 4444
1 xyxy+++=
( ) ( )yyxxN 444 1141 ++= → ( )1;1 44 =−= yx ⇒ ( ) )1( 1
41
4 yxN +−= 4444
1 xyxy−−+=
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 96 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
[ ]k est de la forme :
[ ]10
3Ehk =
Avec [ ] [ ] [ ] [ ]∫=eV
T ddJBHBk ηξ
Et [ ]
−−
=
21 0 0
0 1 0 1
1 2
νν
ν
νEH
PRESENTATION DE L’ELEMENT DKQ (Discrete Kirchhoff Quadrilatéral)
Figure 46
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 97 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
MODE D’ASSEMBLAGE
Nous n’avons jusqu’à présent, considéré que des éléments de référence dont DKT pour le demi coquesphérique et DKQ pour le demi coque cylindrique .Pour chacun de ces coques, nous allons maintenant résoudre le problème d’assemblage.
Pour DKT Par hypothèse, dans tout le milieu continu considéré, c’est à dire le demicoque sphérique, l’élément de référence appliqué est le même . Le milieu continu est aussi constitué de matériaux homogène, isotrope, élastique. Donc les propriétés sont invariantes d’un élément à un autre :
- les fonctions d’interpolation sont les mêmes- les fonctions de forme sont les mêmes - de plus il n’y a pas de force volumique .
Pour cela il suffit d’assembler les matrices de rigidité correspondantes « convenablement ».
L’assemblage convenable des matrices de rigidité revient donc à monter la matrice globale,de même l’obtention du vecteur des efforts à partir du vecteur des efforts élémentaires .
Et on appelle MATRICE GLOBALE la matrice correspondant à l’assemblage de toutes les matricesélémentaires aussi bien de rigidité que des efforts appliqués si ceux-ci en existent , c’est à dire le milieu continu considéré tout entier . Lors de la construction du maillage que sont formés les éléments et les nœuds, un exemple de maillage a été représenté. La numérotation des nœuds peut se faire de façon globale (numérotation relative aux mailles entières ) ou locale (numérotation relative à un élément particulier). La correspondance entre les numérotations locale et globale se fait par la méthode de la matrice de connectivité habituellement notée L . Le numéro global du i ème nœud du j ème élément est L (i,j)
Numérotation globale Numérotation locale Figure 47Dans l’exemple précédent les numéros des nœuds de l’élément 5 sont : L(1,5) = 6 ; L(2,5) = 4 ; L(3,5) = 7
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 98 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
La matrice de rigidité globale s’obtient en faisant la somme, pour chaque nœud (numérotation globale), des termes correspondants dans les matrices élémentaires des éléments connectés au nœud.
Pour l’ensemble, c-à-d pour le Milieu continu entier, ( A ), on aura : [ ] [ ]∑=)( A
ekK .
Avant de montrer le processus d’assemblage pour l’obtention de la MATRICE GLOBALE rappelons d’abord les différentes composantes d’ une matrice de RIGIDITE d’ un élément triangulaire:
En général, l’élément triangulaire est représenté dans le plan c’est à dire en deux dimensionsEt ses nœuds ou ses sommets sont notés i , j , k . Et à chaque nœud les déplacements ont deux composantes chacun :
Figure 48
La matrice de rigidité relative à ceci est :
=
2
1
2
1
2
1
2 2
2 1 1 1
2 2 1 2 2 2
2 1 1 1 2 1 1 1 j
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
2
1
2
1
2
1
k
k
j
j
i
i
kk
kkkk
kjkjjj
kjkjjjj
kikijijiii
kikijijiiiii
k
k
j
j
i
i
xxx
xxx
aaa
aaa
aaaa
aaaaa
aaaaaa
yyy
yyy
pour des nœuds à deux degrés de liberté .
Et l’on peut écrire :
=
k
j
i
kk
jkjj
ikijii
k
j
i
x
xx
a
aa
aaa
y
yy
avec
=
22
1211
pq
pqpqpq a
aaa
Ou bien, en une courte notation de vecteur : mmm xay = avec
=
kk
jkjj
ikijii
m
a
aa
aaa
a
Où ma a des sous- matrices 3 x 3 correspondant aux 3 noeuds i , j , k et chacun des 9 sous- matricessont 2 x 2 et correspond aux deux degrés de liberté de chaque nœud . Le domaine d’intégration V e est l’élément DKT donc les bornes d’intégration sont, en
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 99 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
considérant le repère de référence , [ ] [ ] [ ]∫ ∫1
0
1
0
dydxBHB T c-à-d : [ ] 1 , 0 pour un élément
Figure 49Pour l’assemblage des 2 éléments on aura donc :
Ceci pour extensions à des nœuds à trois degrés de liberté :Par analogie on aura alors : Figure 50 i j k 1 2 3 1 2 3 1 2 3
j
=
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3 3
3 2 2 2
3 1 2 1 1 1
33 2 3 1 3 3 3
32 2 2 1 2 3 2 2 2
3 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 j
3 3 2 3 1 3 33 32 1 3 33
3 2 2 2 1 2 23 22 1 2 23 2 2
3 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
k
k
k
j
j
j
i
i
i
kk
kkkk
kkkkkk
kjkjkjjj
kjkjkjjjjj
kjkjkjjjjjj
kikikijijijiii
kikikijijijiiiii
kikikijijijiiiiiii
k
k
k
j
j
j
i
i
i
xxx
x
x
xxxx
aaa
aaa
aaaa
aaaaa
aaaaaa
aaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaaa
yyy
y
y
yyyy
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 100 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
La structure de la matrice de rigidité est donc pour l’élément V1 : [ R1 ]= i j k 1 2 3 1 2 3 1 2 3 R1
11 R112 R1
13
1 a i i 11 a i i 12 a i i 13 a i j11 a ij 12 a i j 13 a i k11 a ik 12 a i k 13
i 2 a iiI 21 a i i 22 a i i 23 a i j21 a ij 22 a i j 23 a i k21 a ik 22 a i k 23
3 a i i31 a i i32 a i i 33 a i j31 a ij 32 a i j 33 a i k31 a ik 32 a i k 33
R121=R
112
T R1
22 R123
1 aji11 aj i12 a ji13 a j j11 a jj 12 a j j 13 a j k11 a j k 12 a j k 13
j 2 aji 21 ajj 22 ajj 23 a jj 21 a jj 22 a j j 23 a j k21 a jk 22 a j k 23
3 aji 31 aj ij 32 a j j 33 a j j 31 aji32 aji 33 a j k31 a j k 32 a j k 33
R131=R
113
T R1
32 = R123
T R1
33
1 aki31 akj 32 a ki 33 akj11 akj 12 akj13 a k k11 ak k 12 a k k 13 k 2 aki 21 aki22 a ki 23 akj21 akj22 ak j23 ak k 21 a k k 22 a k k 23 3 a ki31 aki 32 ak i 33 akj31 akj 32 akj33 a k k 31 a k k 32 a k k 33
Pour l’élément V2 : [R2] = i j k 1 2 3 1 2 3 1 2 3 R2
44 R243 R2
42
1 a i i 11 a i i 12 a i i 13 a i j11 a ij 12 a i j 13 a i k11 a ik 12 a i k 13
i 2 a iiI 21 a i i 22 a i i 23 a i j21 a ij 22 a i j 23 a i k21 a ik 22 a i k 23
3 a i i31 a i i32 a i i 33 a i j31 a ij 32 a i j 33 a i k31 a ik 32 a i k 33
R234=R
243
T R2
33 R232
1 aji11 aj i12 a ji13 a j j11 a jj 12 a j j 13 a j k11 a j k 12 a j k 13
j 2 aji 21 ajj 22 ajj 23 a jj 21 a jj 22 a j j 23 a j k21 a jk 22 a j k 23
3 aji 31 aj ij 32 a j j 33 a j j 31 aji32 aji 33 a j k31 a j k 32 a j k 33
R224=R2
42 T
R223= R2
32 T
R222
1 ak i 31 aki32 ak i 33 akj11 a kj 12 akj13 a k k11 ak k 12 a k k 13 k 2 ak i 21 ak i22 aki 23 a kj 21 akj22 ak j23 ak k 21 a k k 22 a k k 23 3 a ki31 aki 32 ak i 33 akj31 akj 32 akj33 a k k 31 a k k 32 a k k 33
Figure 51L’assemblage de l’élément 1 et 2 s’effectue alors de la façon suivante : [ R1] U [ R2] = [R]
[ R ] = i j k h 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 R11 = R1
11 R12= R112 R13 = R1
13 R14
1 a i i 11 a i i 12 a i i 13 a i j11 a ij 12 a i j 13 a i k11 a ik 12 a i k 13 0 0 0
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 101 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
i 2 a iiI 21 a i i 22 a i i 23 a i j21 a ij 22 a i j 23 a i k21 a ik 22 a i k 23 0 0 0
3 a i i31 a i i32 a i i 33 a i j31 a ij 32 a i j 33 a i k31 a ik 32 a i k 33 0 0 0
R21= R121=R1
12 R22= R122+ R2
22 R23=R123+R2
23 R24= R224
1 aji11 aj i12 a ji13 a j j11 a jj 12 a j j 13 a j k11 a j k 12 a j k 13
j 2 aji 21 ajj 22 ajj 23 a jj 21 a jj 22 a j j 23 a j k21 a jk 22 a j k 23
3 aji 31 aj ij 32 a j j 33 a j j 31 aji32 aji 33 a j k31 a j k 32 a j k 33
R31=R113
T R3 =R1
32+R232= R23
T R33= R1
33+ R233 R34 = R1
12T=R2
43T
1 ak i31 ak i 32 ak i 33 akj11 a kj 12 akj13 a k k11 ak k 12 a k k 13 k 2 aki21 aki22 a ki 23 akj21 akj22 ak j23 ak k 21 a k k 22 a k k 23 3 a ki31 aki 32 ak i 33 akj31 akj 32 akj33 a k k 31 a k k 32 a k k 33
R41 R42= R224
T R43 = R1
12 =R2
43 R44 = R11=R2
11
1 0 0 0
h 2 0 0 0
3 0 0 0
« C’est la matrice de rigidité globale relative à deux éléments assemblés et on peut généraliser pour le milieu continu ».
Figure 52 Pour l’élément V3 : [R3] est : i j k 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 a i i 11 a i i 12 a i i 13 a i j11 a ij 12 a i j 13 a i k11 a ik 12 a i k 13
i 2 a iiI 21 a i i 22 a i i 23 a i j21 a ij 22 a i j 23 a i k21 a ik 22 a i k 23
3 a i i31 a i i32 a i i 33 a i j31 a ij 32 a i j 33 a i k31 a ik 32 a i k 33
1 aji11 aj i12 a ji13 a j j11 a jj 12 a j j 13 a j k11 a j k 12 a j k 13
j 2 aji 21 ajj 22 ajj 23 a jj 21 a jj 22 a j j 23 a j k21 a jk 22 a j k 23
3 aji 31 aj ij 32 a j j 33 a j j 31 aji32 aji 33 a j k31 a j k 32 a j k 33
1 ak i31 ak i 32 ak i 33 akj11 a kj 12 akj13 a k k11 ak k 12 a k k 13 k 2 aki21 aki22 a ki 23 akj21 akj22 ak j23 ak k 21 a k k 22 a k k 23 3 a ki31 aki 32 ak i 33 akj31 akj 32 akj33 a k k 31 a k k 32 a k k 33
Numériquement on aura les matrices de rigidité de chaque élément :
[ R1] = Figure 53
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 102 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
i j k 1 2 3 1 2 3 1 2 3 R1
11 R112 R1
13 9.203 -1.660 -1660 -4602 -2301 -0.641 -4.602 -0.641 -2.301
-1.660 1.250 0.200 1.837 0.461 -0.152 -0.177 0.152 -0226
-1.660 0.200 1.225 -0.177 -0.226 0.152 1.837 -0.152 0.461
R121=R1
12 T
R122 R1
23
-4.602 1.837 -0.177 5.048 2.204 -0.366 -0.446 1.007 0.097
-2.301 0.461 -0.226 2.204 -1.399 -0.023 0.09-7 0.343 0.346
-0.641 -0.152 0.152 -0.366 -0.023 0.512 1.007 -0.192 0.343
R131=R1
13 T
R132 = R1
23 T
R133
-4.602 -0.177 1.837 -0.446 0.097 1.007 5.048 -0.366 2.204
-0.641 0.152 -0.152 1.007 0.343 -0.192 -0.366 0.512 -0.023
-2.301 -0.226 0.461 0.097 0.346 0.343 2.204 -0.023 1.399
[ R2] =
i j k 1 2 3 1 2 3 1 2 3 R2
44 R243 R2
42 9.203 -1.660 -1660 -4602 -2301 -0.641 -4.602 -0.641 -2.301
-1.660 1.250 0.200 1.837 0.461 -0.152 -0.177 0.152 -0226
-1.660 0.200 1.225 -0.177 -0.226 0.152 1.837 -0.152 0.461
R234=R
243
T R2
33 R232
-4.602 1.837 -0.177 5.048 2.204 -0.366 -0.446 1.007 0.097 -2.301 0.461 -0.226 2.204 -1.399 -0.023 0.09-7 0.343 0.346
-0.641 -0.152 0.152 -0.366 -0.023 0.512 1.007 -0.192 0.343
R224=R2
42 T
R223 = R2
32 T
R222
-4.602 -0.177 1.837 -0.446 0.097 1.007 5.048 -0.366 2.204
-0.641 0.152 -0.152 1.007 0.343 -0.192 -0.366 0.512 -0.023
-2.301 -0.226 0.461 0.097 0.346 0.343 2.204 -0.023 1.399
Et en suivant la formule de combinaison pour l’assemblage on aura
la matrice de rigidité globale [ ] =
10
3EhK
(isocèle rectangle avec ν = 0.3) [ R ] = i j k h 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 R11 = R1
11 R12= R112 R13 = R1
13 R14
1 9.203 -1.660 -1660 -4602 -2301 -0.641 -4.602 -0.641 -2.301 0 0 0
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 103 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
i 2 -1.660 1.250 0.200 1.837 0.461 -0.152 -0.177 0.152 -0226 0 0 0
3 -1.660 0.200 1.225 -0.177 -0.226 0.152 1.837 -0.152 0.461 0 0 0
R21= R121=R1
12 T
R22= R122+ R2
22 R23=R123+ R2
23 R24= R224
1 -4.602 1.837 -0.177 5.048 +5..048 2.204-0.366 -0.366+2.304 -0.446 -0.446 1.007+ 0.097 0.097+ 1.007 -4.602 -0.641 -2.301
j 2 -2.301 0.461 -0.226 2.204-0366 -1.399+0.512 -0.023-0.023 0.097+ 1.007 0.343+ 0.343 0.346 -0.192 -0.177 0.152 -0226
3 -0.641 -0.152 0.152 -0.366+2.204-0.023-0.023 0.512+1.399 1.007 + 0.097-0.192+ 0.346 0.343 + 0.343 1.837 -0.152 0.461
R31=R113
T R32 = R1
32 R33= R133+ R2
33 R34 = R112
T
1 -4.602 -0.177 1.837 -0.446 0.097 1.007 5.048+ 5.048 -0.366+ 2.2042.204 -0.366 -4.602 1.837 -0.177 k 2 -0.641 0.152 -0.152 1.007 0.343 -0.192 -0.366+ 2.204 0.512 -1.399 -0.023 -0.023 -2.301 0.461 -0.226 3 -2.301 -0.226 0.461 0.097 0.346 0.343 2.204 -0.366 -0.023 -0.023 1.399 + 0.512 -0.641 -0.152 0.152
R41 R42= R224
T R43 = R1
12 R44 = R11=R1
11
1 0 0 0 -4.602 -0.177 1.837 -4602 -2301 -0.641 9.203 -1.660 -1660
h 2 0 0 0 -0.641 0.152 -0.152 1.837 0.461 -0.152 -1.660 1.250 0.200
3 0 0 0 -2.301 -0.226 0.461 -0.177 -0.226 0.152 -1.660 0.200 1.225
[ R ] = i j k h 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 R11 = R1
11 R12= R112 R13 = R1
13 R14
1 9.203 -1.660 -1660 -4602 -2301 -0.641 -4.602 -0.641 -2.301 0 0 0
i 2 -1.660 1.250 0.200 1.837 0.461 -0.152 -0.177 0.152 -0226 0 0 0
3 -1.660 0.200 1.225 -0.177 -0.226 0.152 1.837 -0.152 0.461 0 0 0
R21= R121=R1
12 T
R22= R122+ R2
22 R23=R123+ R2
23 R24= R224
1 -4.602 1.837 -0.177 10.096 2.570 1.938 0.892 1.104 1.104 -4.602 -0.641 -2.301
j 2 -2.301 0.461 -0.226 2.570 -0.887 0.046 1.104 0.686 0.154 -0.177 0.152 -0226
3 -0.641 -0.152 0.152 1.838 -0.046 1.742 1.104 0.154 0.686 1.837 -0.152 0.461
R31=R113
T R32 = R1
32 R33= R133+ R2
33 R34 = R112
T
1 -4.602 -0.177 1.837 -0.446 0.097 1.007 10.096 1.838 1.838 -4.602 1.837 -0.177 k 2 -0.641 0.152 -0.152 1.007 0.343 -0.192 1.838 -0.887 -0.046 -2.301 0.461 -0.226 3 -2.301 -0.226 0.461 0.097 0.346 0.343 1.838 -0.046 1.911 -0.641 -0.152 0.152
R41 R42= R224
T R43 = R1
12 R44 = R11=R1
11
1 0 0 0 -4.602 -0.177 1.837 -4602 -2301 -0.641 9.203 -1.660 -1660
h 2 0 0 0 -0.641 0.152 -0.152 1.837 0.461 -0.152 -1.660 1.250 0.200
3 0 0 0 -2.301 -0.226 0.461 -0.177 -0.226 0.152 -1.660 0.200 1.225
C’est une Matrice de 12 x12
Explication de l’assemblage des matrices de rigidité de chaque élément(DKT) : Soit [R1] la matrice de rigidité de l’élément 1 :
R111 R1
12 R113 0 R1
14
1
[ R1] = R121 R1
22 1 R123 2 0 R1
24
1 2
R131 R1
32 R133 0 R1
34 2 3
0 0 0 0 R144
Et [R2] la matrice de rigidité de l’élément 2 :
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 104 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
R244 R2
43 R242 0 R2
41
3
[ R2] = R234 R2
33 R232 0 R2
31
2
R224 2 R2
23 1 R222 0 R2
21 1
0 0 0 0 R211
[ R ] = [ R1] + [ R2] ζ , ζ étant une transformation de rotation d’angle π
R111 R1
12 R113 0
1
[ R ] = R121 R1
22+R222 1 R1
23+R223 2 R2
24 1 2
R131 R1
32 +R232 R1
33+R233 R2
34
2 3
0 R242 R2
43 R244
0 0 0 0 0 R1
11 + R211 R1
12 + R212 R1
31 + R213 R1
14+ R214
R233 R2
32 R231
0 0 R1
21 + R221 R1
22 + R222 R1
23 + R223 R1
24 + R224
[ R] = R223 R2
22 R221
0 0 R1
31 + R231 R1
32 + R232 R1
33 + R233 R1
34 + R234
R213 R2
12 R211
0 R1
41 + R241 R1
42 + R242 R1
43 + R243 R1
44 + R244
0 0 0 0
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 105 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Une transformation par programmation en Matlab est présentée comme suit :
R111 R1
12 R113 R1
33 R132 R1
31
ζ [ R1] = R1
21 R122 R1
23 R1 23 R1
22 R121
R131 R1
32 R133 R1
13 R112 R1
11
ζ G D = fliplr
R113 R1
12 R111 R1
33 R132 R1
31
ζ H B R1
23 R122 R1
21 R123 R1
22 R121
flipud R1
33 R132 R1
21 R113 R1
12 R111
R1 R2
R111 R1
12 R113 0 R1
11 R112 R1
13 0
R10 = R1
21 R122 R1
23 0 R20 = R1
21 R122 R1
23 0
R131 R1
32 R133 0 R1
31 R132 R1
33 0
0 0 0 0 0 0 0 0
R1 = k ;
R2 = k ;
R01 = [ R1 zero(9,3)] ; - R01 = [ R01 ; zero(3,12)] ;
R02 = [ R2 zero(9,3)] ; - R02 = [ R02 ; zero(3,12)] ;
RT02 = fliplr (flipud (R02 )) ; R = R01 + R02 ;
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 106 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Tableau 10
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 107 -
xiN 1 KP ( )yxP ,
xN x
i
∂∂ 1
yN x
i
∂∂ 1
54
3 P ( )yxxy 22183 +−− ( )xyx +−
43 ( )21
83 x+−
51 43 PN −
83
83
44881 22 yxxxyxy
−++−+− xyx43
43 −
83
481 2xx −+
0
543 P− ( )yxxy 221
83 +−−− ( )xyx −
43 ( )21
83 x−
52 43 PN −
83
83
44881 22 yxxxyxy
−+−++− 43
43
441 xyxy
−+−8
388
1 2xx −−
0
743 P− ( )yxxy 221
83 −−+− ( )xyx +
43 ( )21
83 x−−
73 43 PN −
83
83
44881 22 yxxxyxy
++++−− 43
43
441 xyxy
+++8
348
1 2xx ++−
0
743 P ( )yxxy 221
83 −−+ ( )xyx +−
43 ( )21
83 x−
74 43 PN −
83
83
48481 22 yxxxyyx ++−−−− 4
34
344
1 xyxy++−−
83
481 2xx +−−
0y
iN 1 KP ( )yxP ,y
N yi
∂∂ 1
xN y
i
∂∂ 1
843 P ( )221
83 xyyx +−− ( )xyy −−
43 ( )21
83 y+−
0
81 43 PN −
83
83
48481 22 xyyxyxy
−+++−− 43
43
441 xyyx +++−
83
481 2yy
−+
643 P ( )221
83 xyyx −−+ ( )xyy +−
43 ( )21
83 y−
0
62 43 PN −
83
83
48481 22 xyyxyxy
++−−−− 43
43
441 xyyx −−−−
83
481 2yy
+−−
643 P− ( )221
83 xyyx −−+− ( )xyy +
43 ( )21
83 y−−
0
63 43 PN −
83
83
44881 22 xyyxyyx ++++−− 4
34
344
1 xyyx +++8
348
1 2yy++−
843 P− ( )221
83 xyyx +−−− ( )xyy −
43 ( )21
83 y−
0
84 43 PN −
83
83
48481 22 xyyxyxy
−+−++− 43
43
441 xyyx −+−
83
481 2yy
−−
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Les fonctions de forme étant :
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
+−−=−−=
−−+=+−=
−−+=+−=
+−−=−−=
)1(2111
21
)1(2111
21
)1(2111
21
)1(2111
21
2228
2227
2226
2225
xyyxxyP
yxxyyxP
xyyxxyP
yxxyyxP
Et les fonctions d’interpolation :
( )( ) 4,1 1141 =++= iyyxxN iii
( ) ( )yyxxN 111 1141 ++= → ( )1;1 11 −=−= yx ⇒ ( ) )1(1
41
1 yxN −−= 4444
1 xyxy+−−=
( ) ( )yyxxN 222 1141 ++= → ( )1;1 22 −== yx ⇒ ( )( )yxN −+= 11
41
2 4444
1 xyxy−+−=
( )( )yyxxN 333 1141 ++= → ( )1;1 33 == yx ⇒ ( )( )yxN ++= 11
41
3 4444
1 xyxy+++=
( ) ( )yyxxN 444 1141 ++= → ( )1;1 44 =−= yx ⇒ ( ) )1( 1
41
4 yxN +−= 4444
1 xyxy−−+=
Formation de Nx et Ny :
0;43;
43;0;
43;
43;0;
43;
43;0;
43;
43
747737525515 PNPPNPPNPPNPN x −−−−−−=
848636626818 43;0;
43;
43;0;
43;
43;0;
43;
43;0;
43 PNPPNPPNPPNPN y −−−−−−=
D’où N x:xiN 1 = ( )yxxy 221
83 +−− ;
83
83
44881 22 yxxxyxy
−++−+− ; 0 ; ( )yxxy 22183 +−−− ;
83
83
44881 22 yxxxyxy
−+−++− ; 0 ; ( )yxxy 22183 −−+− ;
83
83
44881 22 yxxxyxy
++++−− ; 0 ; ( )yxxy 22183 −−+
; 8
38
34848
1 22 yxxxyyx ++−−−− ; 0
Calcul des dérivées de N x:
xN x
i
∂∂ 1 = ( )xyx +−
43
; xyx43
43 − ; 0 ; ( )xyx −
43
; 4
34
344
1 xyxy−+− ; 0 ; ( )xyx +
43
; 4
34
344
1 xyxy+++
;
;0 ; ( )xyx +−43
; 4
34
344
1 xyxy++−− ; 0
yN x
i
∂∂ 1 = ( )21
83 x+− ;
83
481 2xx −+ ; 0 ; ( )21
83 x− ;
83
881 2xx −− ; 0 ; ( )21
83 x−− ;
83
481 2xx ++− ; 0 ;
( )2183 x− ;
83
481 2xx +−− ; 0
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 108 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Et N y
yiN 1 = ( )221
83 xyyx +−− ; 0 ;
83
83
48481 22 xyyxyxy
−+++−− ; ( )22183 xyyx −−+ ; 0 ;
83
83
48481 22 xyyxyxy
++−−−− ; ( )22183 xyyx −−+− ; 0 ;
83
83
44881 22 xyyxyyx ++++−− ;
( )22183 xyyx +−−− ; 0 ;
83
83
48481 22 xyyxyxy
−+−++−
Les dérivées de N y sont :
y
N yi
∂∂ 1 = ( )xyy −−
43
; 0 ; 4
34
344
1 xyyx +++− ; ( )xyy +−43
; 0 ; 4
34
344
1 xyyx −−−− ; ( )xyy +43
;
0 ; 4
34
344
1 xyyx +++ ; ( )xyy −43
; 0 ; 4
34
344
1 xyyx −+−
x
N yi
∂∂ 1 = ( )21
83 y+− ; 0 ;
83
481 2yy
−+ ; ( )2183 y− ; 0 ;
83
481 2yy
+−− ; ( )2183 y−− ;0 ;
8
348
1 2yy++− ; ( )21
83 y− ; 0 ;
83
481 2yy
−−
Nous assemblons maintenant les composantes de la matrice B :
xN x
i
∂∂ 1 = ( )xyx +−
43
; xyx43
43 − ; 0 ; ( )xyx −
43
; 4
34
344
1 xyxy−+− ; 0 ; ( )xyx +
43
; 4
34
344
1 xyxy+++
;
;0 ; ( )xyx +−43
; 4
34
344
1 xyxy++−− ; 0
yN y
i
∂∂ 1 = ( )xyy −−
43
; 0; 4
34
344
1 xyyx +++− ; ( )xyy +−43
; 0 ; 4
34
344
1 xyyx −−−− ; ( )xyy +43
;
0 ; 4
34
344
1 xyyx +++ ; ( )xyy −43
; 0 ; 4
34
344
1 xyyx −+−
yN x
i
∂∂ 1 +
xN y
i
∂∂ 1 = ( )21
83 x+− ;
83
481 2xx −+ ; 0 ; ( )21
83 x− ;
83
881 2xx −− ; 0 ; ( )21
83 x−− ;
83
481 2xx ++− ; 0 ; ( )21
83 x− ; 8
348
1 2xx +−− ; 0 +
+ ( )2183 y+− ; 0 ;
83
481 2yy
−+ ; ( )2183 y− ; 0 ;
83
481 2yy
+−− ; ( )2183 y−− ; 0 ;
8
348
1 2yy++− ; ( )21
83 y− ; 0 ;
83
481 2yy
−−
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 109 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
D’où la matrice B (3 x12) et on calcule par le Matlab sa transposée :
( )xyx +−43
; xyx43
43 − ; 0 ; ( )xyx −
43
; 4
34
344
1 xyxy−+− ; 0 ; ( )xyx +
43
; 4
34
344
1 xyxy+++ ;
; 0 ; ( )xyx +−43
; 4
34
344
1 xyxy++−− ; 0
( )xyy −−43
; 0; 4
34
344
1 xyyx +++− ; ( )xyy +−43
; 0 ; 4
34
344
1 xyyx −−−− ; ( )xyy +43
;
[ ] =B 0 ; 4
34
344
1 xyyx +++ ; ( )xyy −43
; 0 ; 4
34
344
1 xyyx −+−
( )2183 x+− ;
83
481 2xx −+ ; 0 ; ( )21
83 x− ;
83
881 2xx −− ; 0 ; ( )21
83 x−− ;
83
481 2xx ++− ; 0 ;
( )2183 x− ; 8
348
1 2xx +−− ; 0 + ( )2183 y+− ; 0 ; 8
348
1 2yy−+ ; ( )21
83 y− ; 0 ; 8
348
1 2yy+−− ;
( )2183 y−− ; 0 ; 8
348
1 2yy++− ; ( )21
83 y− ; 0 ; 8
348
1 2yy−−
Le sous programme que nous utilisons pour la détermination de la transposée de [ ]B est :
Clear all clc syms x y real (transformation des variables x y en objet ) [ ] [ ]....=B (on cite les composantes de [B]) [ ] [ ]' BBT = disp ‘ [ ]BT
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 110 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Figure 56Quand on a fini de calculer B alors on calcule la Matrice de rigidité relative à l’élément DKQ qui est :
[ ] [ ] [ ] [ ]∫ ∫− −=
1
1
1
1 dydxBHBk Te
On utilise toujours le fameux bloc opératoire MATLAB en respectant le programme
1 clear all 2 clc 3 E =…. 4 nu =…0.3 ; ( pour notre cas) 5 coef = E / ( 1 – nu^2 ) 6 syms x y real (%transformation des variables x et y en objet ) 7 H = coef * [ 1 nu 0 ; nu 1 0 ; 0 0 (1-nu)/2 ] ; 8 B = [..(%on énumère B qui est en fonction des 2 variables) ] ; 9 [ ] [ ] [ ] ; ' BHBBHB T = 10 k = int ( int ( [ ] [ ] [ ] BHB T , x , -1 , 1 ) , y ,-1, 1 ) ; 11 k = eval ( k ) / 8.9913 ; 12 disp ( k )
Figure 56
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 111 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
( )xyx +−43
; xyx43
43 − ; 0 ; ( )xyx −
43
; 4
34
344
1 xyxy−+− ; 0 ; ( )xyx +
43
; 4
34
344
1 xyxy+++ ;
; 0 ; ( )xyx +−43
; 4
34
344
1 xyxy++−− ; 0
( )xyy −−43
; 0; 4
34
344
1 xyyx +++− ; ( )xyy +−43
; 0 ; 4
34
344
1 xyyx −−−− ; ( )xyy +43
;
[ ] =B 0 ; 4
34
344
1 xyyx +++ ; ( )xyy −43
; 0 ; 4
34
344
1 xyyx −+−
)(83
43 22 yx −+− ;
83
481 2xx −+ ;
83
481 2yy
−+ ; )(83
43 22 yx +− ;
83
881 2xx −− ; )(
83
21 22 yx ++−
)(83
43 22 yx ++− ;
83
481 2xx ++− ;
83
481 2yy
++− ; ( )22
83
43 yx +− ;
83
481 2xx +−− ;
83
481 2yy
−−
)(43 xyx +− )(
43 xyy −− )(
83
43 22 yx −+−
xyx43
43 − 0
83
481 2xx −+
0 4
34
344
1 xyyx +++− 8
348
1 2yy−+
)(43 xyx − )(
43 xyy +− )(
83
43 22 yx +−
4
34
344
1 xyxy−+− 0
83
881 2xx −−
[ ] =TB 0 4
34
344
1 xyyx −−−− )(83
21 22 yx ++−
)(43 xyx + )(
43 xyy + )(
83
43 22 yx ++−
4
34
344
1 xyxy+++ 0
83
481 2xx ++−
0 4
34
344
1 xyyx +++ 8
348
1 2yy++−
- )(43 xyx + )(
43 xyy − )(
83
43 22 yx +−
4
34
344
1 xyxy++−− 0
83
481 2xx +−−
0 4
34
344
1 xyyx −+− 8
348
1 2yy−−
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 112 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 113 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
D’après le résultat de cette opération d’intégrale du produit des trois matrices. HBB ' , on peut se fier alors à la matrice de rigidité [ ]ek trouvée ci dessous pour un élément quadrangle. Cette matrice obtenue, sa forme, est bien la forme d’une matrice de rigidité car elle est symétrique par rapport à la diagonale.
D’où la matrice de rigidité de DKQ [ ] =
10
3Ehk
(carré avec ν = 0.3)
9.286 -2.138 -2.138 -3.791 -1.864 -0.609 -1.703 -0.884 -0.884 -3.791 -0.609 -1.864
-2.138 1.264 0.275 1.864 0.600 0.000 0.884 0.316 0.000 -0.609 0.568 0.000
-2.138 0.275 1.264 -0.609 0.000 0.568 0.884 0.000 0.316 1.864 0.000 0.600
-3.791 1.864 -0.609 9.286 2.138 -2.138 -3.791 0.605 -1.864 -1.703 0.884 -0.884
-1.864 0.600 0.000 2.138 1.264 -0.275 0.609 0.568 0.000 -0.884 0.316 0.000
-0.609 0.000 0.568 -2.138 -0.275 1.264 1.864 0.000 0.600 0.884 0.000 0.316
-1.703 0.884 0.884 -3.791 0.609 1.864 9.286 2.138 2.138 -3.791 1.864 0.609
-0.884 0.316 0.000 0.609 0.568 0.000 2.138 1.264 0.275 -1.864 0.600 0.000
-0.884 0.000 0.316 -1.864 0.000 0.600 2.138 0.275 1.264 0.609 0.000 0.568
-3.791 -0.609 1.864 -1.703 -0.884 0.884 -3.791 -1.864 0.609 9.286 -2.138 2.138
-0.609 0.568 0.000 0.884 0.316 0.000 1.864 0.600 0.000 -2.138 1.264 -0.275
-1.864 0.000 0.600 -0.884 0.000 0.316 0.609 0.000 0.568 2.138 -0.275 1.264
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 114 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
STRUCTURE DE BASE D’UN PROGRAMME DE CALCUL PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS
Il existe plusieurs programmations par la méthode des éléments finis qui dépende des problèmes à étudier ,de la grandeur de ceux-ci et à l’ordinateur à disposition. Mais il existe, quand même,une structure de base commune. 1 – Modules classiques et programme principale :
Les modules typiques d’un tel programme sont : *Entrée des Données *Calcul de la Matrice [ ]( )K du système algébrique *Calcul du second membre [ ]( )F du système algébrique *Résolution du système algébrique …etc..
Ces modules interviennent au niveau de la programmation comme des sous-programmes.Le programme principal est aussi donc composé de sous programmes et d’appels à ceux-ci.
2-Introduction des Données : Préparation des 4 groupes de données fondamentaux pour les opérations dans le déroulement d’un programme d’éléments finis : *Introduction des coordonnées des nœuds du maillage et des caractéristiques des éléments *Propriétés des matériaux pour chaque élément. *Appuis (Sources) *Conditions aux limites.
L’introduction de ces données est assez longue et en général on développe un certain nombre de sous programme.
2-1 Introduction des coordonnées des nœuds du maillage et des caractéristiques des éléments
La Matrice [ ]( )K du système algébrique final est indépendante de la position de l’origine des coordonnées (cette origine sera donc choisie arbitrairement). La façon habituelle d’ introduire les coordonnées ii yx , des points nodaux , est , de le faire dans un ordre séquentiel .
Les caractéristiques de l’élément doivent , d’une part , indiquer les numéros des points nodaux qui lui sont relatifs, d’autre part , attribuer un indice caractérisant les propriétés du matériau le constituant .
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 115 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
2-2 Propriétés des matériaux
Le domaine d’étude est formé de certains nombres de sous domaines parfois.Chacun de ces sous domaines peut être aussi constitué par un matériau différent et subdivisé en un nombre élevé d’éléments finis.
2-3 Les appuis (sources)
Les types d’appuis utilisés sont ceux définis précédemment. *Appuis sur semelles filantes sur les deux bords *Encastrées aux deux extrémités 2-4 Conditions aux limites Voir les CL énumérées auparavant.
Parallèles extrémités (r ≠ 0)
Figure 57
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 116 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
MODELISATION DES CONTRAINTES-DEFORMATION-DEPLACEMENT
Quand on est arrivé à établir la Matrice de RIGIDITE d’un élément, la matrice [B] et sa transposée, alors on est ramené à établir les relations entre : 1° - CONTRAINTE – DEFORMATION une relation qui régit la loi de comportement :
( ){ } [ ] ( ){ } eyxHyx , , e εσ =
[ ] = H Matrice de comportement, d’élasticité, elle contient les propriétés élastiques de l’élément c-à-d des quantités tel que le module d’young et l’élasticité transversale Eet le coefficient de poisson ν . Elle est déterminée à partir de la loi de Hook . La déformation :
[ ] ( ){ }
( )
( )
( )
∂∂
+
∂∂=
∂∂
=
∂∂=
==
xyxv
yyxu
yyxv
xyxu
yx
,),( 2
,
,
,
12
22
11
ε
ε
ε
εε =
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
vu
xy
y
x
0
0
Le déplacement U ou eδ étant
vu
, soit un point quelconque M (x,y) Є Ve
Et u(x,y) =
k
j
i
kujuiu
u
uu
NNN = { }enu UN y k
v(x,y) =
k
j
i
kvjviv
v
vv
NNN = { }env VN M (Ve)
i j
=
k
kk
j
jj
i
ii
vkvjvi
ukujui
vUu
vUu
vUu
NNNNNN
vu
0 0 0
0 0 0 0 Figure 58 x
Par une autre forme on aura :
{ } [ ] [ ] [ ][ ] { }enkji
e UNNNMU )( ==δ où Ni , Nj , Nk sont les fonctions d’interpolation à
chaque nœud
Et enU les paramètres des n points nodaux
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 117 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Alors { } [ ] [ ] [ ] [ ][ ] { }enkji UNNN αε =
[ ] [ ] [ ][ ] { }enkji UNNN ααα=
[ ] [ ] [ ][ ] { }enkji UBBB =
Avec [ ] [ ]ii NB α=
( ){ } [ ]
=⇒
eByx δε ,
( ){ } [ ] [ ]
=⇒
eBHyx δσ ,
{ }eδ = Matrice de déplacements nodaux { }
=vueδ
On prend ici une interpolation linéaire des déplacements sur un élément :
On rappelle que [B] est la suivante :
[ ]
+−−++++++−+−=+
++−++−−++−−−=
−++−+−++−−−=
=
(23 ; )(
231 ; )(3 y);-(x
231; )(
23 ; )(3 ;3y 1- ; 31 ; )(6
2362;
23; 1236 ;
23 ;
23 ; 3 ; 634 ; 0 ; 6126
23 ;
23; 3 ;
23 ;
2362 ; 1263 ; 0 ; 364 ; 6126
,,
,
,
yxyxyxyxyxxyxNN
xyxyxxxxyxxyN
yyyyyxxyyxyxN
B
yx
xy
yy
xx
Et [H] :
[ ]
−−
=
21 0 0
0 1 0 1
1 2
νν
ν
νEH
Et pour {δe} :
{ }
=vueδ
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 118 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Avec Figure 59
[ ]
=
=
6
5
4
3
2
1
1 0 0 0
0 0 0 1),(),(
aaaaaa
yxyx
yxvyxu
U
( )yx, sont les coordonnées d’un point de l’élément considéré . On peut le réécrire comme suit : [ ] ( )[ ] [ ] ee ayxPU , = . Ceci étant toujours relatif à un élément.
On exprime les déplacements d’un élément à partir des déplacements des sommets appelés nœuds. Ces déplacements de nœuds sont appelés variables nodales ou degré de liberté (ddl). Nous noterons [ ] [ ] [ ]..... 321321321 WWWVVVUUUqQ i ==
On peut relier ces ddl aux coefficients des polynômes d’interpolation : ii yaxaaq 3211 ++= pour un nœud i , on écrit de même pour les autres nœuds
[ ]
=
3
2
1
1 1aaa
yxq ii C’est l’équation de déplacement d’un nœud .
Matriciellement on écrit pour les 3 nœuds i,j, k :
[ ]
=
6
5
4
3
2
1
1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1
aaaaaa
yx
yxyx
yx
yxyx
Q
kk
jj
ii
kk
jj
ii
t
Noté : [ ] [ ] [ ]aPQ nt = [ ] [ ] [ ]QPa t
n 1−=⇒ Avec [ ]nP la matrice nodale et [ ] { } e
t Q δ=
Et on a ultérieurement : [ ] ( )[ ] [ ] ee ayxPU , =
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 119 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
En introduisant cette notation dans l’interpolation des déplacements, nous obtenons :
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] et
y
xe
t
et
ne
QNN
QyxN
QPyxPU
),(
),( 1
==
= −
où [ ]),( yxN est la matrice
d’interpolation ou fonction de forme .
De même la déformation [ ]ε peut se décomposer sous la forme suivante :
[ ] ( ){ }
( )
( )
( )
∂∂
+
∂∂=
∂∂=
∂∂=
==
xyxv
yyxu
yyxv
xyxu
yx
,),( 2
,
,
,
12
22
11
ε
ε
ε
εε =
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
yyxv
xyxv
yyxu
xyxu
),(
),(
),(
),(
0 1 1 01 0 0 0
0 0 0 1
=
[ ]
=
6
5
4
3
2
1
1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1
aaaaaa
yx
yxyx
yx
yxyx
Q
kk
jj
ii
kk
jj
ii
t et en rappelant que :
++=++=
yaxaayxvyaxaayxu
654
321
),(),(
C’est à dire :
[ ]
=
=
6
5
4
3
2
1
1 0 0 0
0 0 0 1),(),(
aaaaaa
yxyx
yxvyxu
U et puis [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] et
y
xe
t
et
ne
QNN
QyxN
QPyxPU
),(
),( 1
==
= −
Donc [ ]
=
),(),(
yxvyxu
U [ ] [ ] [ ] et
y
xe
t QNN
QyxN ),(
== ⇒ [ ] e
t
y
xQ
N
N
yxv
yxu
),(
),(
∂∂∂∂
=
∂∂∂∂
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 120 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
[ ] =ε
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
yyxv
xyxv
yyxu
xyxu
),(
),(
),(
),(
0 1 1 01 0 0 00 0 0 1
= [ ] [ ] et
yy
xy
yx
xx
Q
N
N
NN
C
,
,
,
,
= 0 1 1 01 0 0 00 0 0 1
[ ] e
t
yy
xy
yx
xx
Q
N
N
NN
,
,
,
,
= [ ] [ ] et
e QB
Nous rappelons : N x,x c’est la dérivée de Nx par rapport à x
[ ] =ε 0 1 1 01 0 0 00 0 0 1
[ ] e
t
yy
xy
yx
xx
Q
N
N
NN
,
,
,
,
= [ ] =
+++
+++
+++
et
yyxyyxxx
yyxyyxxx
yyxyyxxx
Q
NNNN
NNNN
NNNN
.0.1.1.0
.1.0.0.0
.0.0.0.1
,,,,
,,,,
,,,,
[ ] et
xyyx
yy
xx
Q
NN
NN
+ ,,
,
,
.1.1
.1
.1 = [ ] [ ] e
te QB
[ ] =ε [ ] [ ] et
e QB = [ ] { } eB δ
[ ]B = Matrice déjà formée précédemment par [ ] [ ] [ ] ... 321 BBB par nœud ou directement, estappelée : opérateur de déformation .
D’où l’on forme la contrainte ( ){ }yx,σ par le produit matriciel effectué dans MATLAB des 3 matrices [ ] [ ]{ }eBH δ :
( ){ }yx,σ = [ ] [ ]{ }eBH δ
Rappels : [ ]
∂∂+
∂∂
∂∂∂
∂
=
xN
yN
yNx
N
B
yx
y
x
l’expression de B est déjà trouvée dans chaque cas.
[H] déjà énuméré auparavant De même δe
Avec les fonctions N x et N y , fonctions d’interpolation déjà considérées ultérieurement.
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 121 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
2° - DEPLACEMENT – DEFORMATION :
Dont la déformation est : ( ){ }yx,ε = [ ] { }eB δ
Et le déplacement est : { } [ ] [ ] [ ][ ] { }enkji
e UNNN =δ avec les Ni fonctions d’interpolation
( )
( )
−−==
−−=
yxyPxyP
yxxP
144
14
6
5
4
==
−−=
yNxN
yxN
3
2
1 1
et les { }enU sont des paramètres nodaux ou variables
Avec [ ] [ ] [ ] [ ]∫=eV
T ddJBHBk ηξ
Et [ ]
−−
=
21 0 0
0 1 0 1
1 2
νν
ν
νEH et { }
=
kvu
jvu
ivu
U
k
k
j
j
i
i
en
avec E = module d’Young et ν = 0.3 ( coef. de poisson )
( ){ } [ ]
=⇒
eByx δε , }{ { }
==
kvu
jvu
ivu
U
i
i
en
e
3
3
2
2δ
( ){ } [ ] [ ]
=⇒
eBHyx δσ ,
Donc : { }
=
3
2
1
]]][][[[
3
3
2
2
1
1
321
vu
vu
vu
NNNeδ = [ ][ ][ ] [ ] ] [
]][ ][[
332211
332211
vNvNvNuNuNuN
++++
=
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 122 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Figure 60
Les différentes couleurs sur ce coque montrent les différentes répartitions des contraintes agissant sur ce coque, vue l’expression de la contrainte σ(x,y). De bas vers le haut la couleur s’éclaircit, ce qui montre que, plus on monte, plus la contrainte s’affaiblit.
( ){ } [ ] [ ] [ ] [ ] { }en
eUBHBHyx , =
=⇒ δσ
Un diagramme des contraintes fera partie du thème d’une thèse de troisième cycle dans les programmes à venir.Les détails plus étendus et plus explicités concernant les ELEMENTS FINIS seront présentés plusdavantage dans les années qui suivent et avec leur logiciel approprié , le MATLAB, appliqué plus profondément dans ce sujet.D’autres démonstrations et présentations étaient aussi avancées dans ce mémo du fait que l’on aurait plus de précisions et de solutions à établir et non des répétitions inutiles à la thèse.Aussi des études à distances reçues par télé – chargement ou par Internet seront plus complètes etbeaucoup plus nombreuses pour la réalisation de cette future thèse. Ainsi nous nous résignons donc au peu de choses que nous avons pu présenter dans le livre de mémoire de DEA que nous avons élaboré.
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 123 -
-
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
A la modernisation et le développement de nos recherches s’assemble l’usage des atouts de l’informatique utilisant des différents logiciels capables de traiter des données extrêmementdifficiles. L’un de ces logiciels est le MATLAB que nous présentons ci-joint ses aspects et facultés de traiter les éléments finis .
UTILISATION DE L’OUTIL MATLAB
PRESENTATION DE MATLAB : L’opération sur les matrices de rang assez grand nous afflige des difficultés presque insurmontables et des problèmes irrésolubles surtout à propos des intégrales des produits matriciels, alors nous sommes attirés à utiliser un outil de simulation qui est le MATLAB.Pour obtenir plus de détails sur ce fameux logiciel il faut se référer à la liste de livres et de visiter des Sites web de MathWorks renseignant plus profondément sur ce sujet .On peut aussi utiliser le système d’aides de Matlab.
Matlab est très excellent en calculs numériques et peut effectuer des visualisations graphiques à cause de ses fonctions pré-programmées et directement utilisables par une simple instruction . Matlab est l’amélioration des vieux langages Cobol, Fortran , Pascal,Basic. Matlab peut modifier chacun des éléments d’une matrice sans programmer des boucleset il traite aussi une matrice comme une seule variable. Matlab est donc extrêmement performant quant au traitement des Matrices à cause de ses multiples facultés :
• visualisation rapide des données en toutes dimensions (1D,2D,3D)• tracer des expérimentations• réalisation facile des programmes complexes sans ré-organiser des programmes des
fonctions classiques.
De ces facultés à propos des Matrices traitées dans divers étapes de calculs et d’expérience que vienne son nom MATLAB qui est la composition des mots < Matrix Laboratory >. Matlab a aussi : ---------------------------une interface graphique puissante ---------------------------une multitude d’algorithmes scientifiques très variées---------------------------une possibilité d’accueillir des <boîtes à outils>pour s’enrichir et de multiplier ses capacités .
INTRODUCTION A MATLAB
En résumé MATLAB est un logiciel de calcul numérique, utilisé dans de nombreux domaines d’application . Il est basé sur le calcul matriciel . Matlab est d’ailleurs un raccourci pour « Matrix Laboratory » . Le but de ce document est de présenter le Matlab en introduisant les commandes les plus courantes.
1- L’ACCES
Pour lancer le logiciel Matlab cliquez deux fois sur l’icône ,qui se trouve sur le bureau de l’ordinateur
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 124 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
L’interface graphique de Matlab apparaît alors :
- A droite , la partie où l’on entre les commandes.
Le caractère » signifie que Matlab attend une instruction .
A gauche , en haut, les variables d’environnement ,en bas , les dernières commandes tapées.
intro lance une introduction à Matlab help produit une liste de toutes les commandes demo démonstration donnant une représentation des fonctionnalités de bases de Matlab info information sur la boîte à outils disponibles
2- L’AIDE DANS MATLABMieux vaut apprendre à se repérer tout seul que de demander en permanence à son voisin comment faire .Ne serait-ce qu’au cas où il faudrait utiliser dans l’examen une fonction dont on ne se souvient que vaguement quelle est sa syntaxe…
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 125 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
helpwin ouvre une fenêtre contenant la liste des commandes Matlab ainsi que leurs documentations help donne la liste de toutes les commandes par thèmes help nom décrit la fonction nom.m lookfor nom recherche une instruction à partir du mot clé nom
3- COMMANDES GENERALES3-1 Gestion des fichiers : on peut utiliser la petite fenêtre en haut à droite, ou à défaut
pwd affiche le nom du répertoire courant pour Matlab cd rep change le répertoire courant pour Matlab qui devient rep dir fournit le catalogue d’ un répertoire delete efface des fichiers ou des objets graphiques
3-2 Calculs élémentaires : Dans la partie commande de l’interface,
Addition » 5+8 Résultat : » 13 Pour conserver le résultat, il faut l’assigner dans un objet : » a=5+8 » a Pour ne pas faire afficher le résultat, mettez ; à la fin de la commande : » a=5+8 ; » %instruction direct = interactive direct % ce signe pourcentage indique qu’il s’agit seulement d’un commentaire et non d’une commande » a=7 » b=8 » c=b/a » c=1.1429 3-3 Constantes prédéfinies %variable spéciale : pi , eps , exp(1) » pi ans = 3.14 »eps ans= 2.2204e-016 »exp(1) ans= 2.7183
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 126 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
pi 3.1415… eps 2.2204e-016 Inf nombre infini NaN n’est pas un nombre ; exprime parfois une indétermination Pour obtenir plus de précision on peut demander à Matlab des chiffres décimales un peu plus long en introduisant la commande suivante : » format long » pi ans = 3.141592653558979
» eps ans = 2.220446049250313e-016
» exp(1) ans = 2.71828182845905
4- LES TYPES DE DONNEES
MATLAB traite un seul type d’objet : les matrices ! Les scalaires sont des matrices 1x1,Les vecteurs lignes des matrices 1xn, Les vecteurs colonnes des matrices nx1
MATRICES
Size (A) nombre de lignes et de colonnes de A A ( i , j ) coefficient d’ordre i ,j de A A (i1 : i2, :) lignes i1 à i2 de A A ( i1 : i2, :) = [ ] supprimer les lignes i1 à i2 de A A ( : , j1 :j2 ) colonnes j1 à j2 de A A( : , j1 : j2 ) = [ ] supprimer les colonnes j1 à j2 A( : ) concaténer les vecteurs colonnes de A diag (A) coefficients diagonaux de A
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 127 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
MATRICES PARTICULIERES Zéros (m,n) matrice nulle de taille m,n Ones (m,n) matrice de taille m,n dont tous les coefficients valent 1 eye (n) matrice identité de taille n diag (x) matrice diagonale dont la diagonale est le vecteur x magi c (n) carré magique de taille n rand (m,n) matrice de taille m,n à coefficients i.i.d. de loi uniforme sur [ ]1,0 randn (m,n) matrice de taille m,n à coefficients i.i.d. de loi normale ( )1,0N
LES OPERATIONS MATRICIELLES
A’ transposée de A rank (A) rang de A inv (A) inverse de A expm (A) exponentielle de A det (A) déterminant de A trace (A) trace de A poly(A) polynôme caractéristique de A eig (A) valeurs propres de A [U,D] = eig(A) vecteurs propres et valeurs propres de A + - addition , soustraction * ^ multiplication , puissance (matricielles) ,* , ^ multiplication , puissance terme à terme A\b solution de bAx = b/A solution de bxA = , / division terme à terme
OPERATIONS ENTRE MATRICES
Ce qui nous intéresse le plus ce sont les opérations entre Matrices :%tout d’abord pour afficher un texte : disp(‘text’) a) Multiplications - Le produit matriciel n’est possible que lorsque les dimensions sont cohérentes : bac *= produit matriciel bad *. = produit par élément
b) Divisions- Division matricielle à droite /
- Division matricielle à gauche \
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 128 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
c) %initiation aux vecteurs %définition d’un vecteur v1=[a1 a2 a3 …an] v1 =[1 3 5] v2 =[2 4 6] %produit vectoriel : cross disp ( ‘le produit vecteur de v1 et de v2 est’ ) ceci affiche le résultat cross (v1 , v2) %produit scalaire : dot disp (‘ le produit scalaire de v1 et v2 est’ ) ceci affiche le résultat dot (v1 , v2) ; ce signe point virgule noté à la fin d’un commande n’affiche pas le résultat %pour afficher les variables récemment utilisés : whos
MATRICES CLAIRSEMEES Matrice avec quelques éléments non nuls : SparseLorsque seulement quelques éléments d’ une matrice sont non nuls, on peut la définir comme une sparse matrix. Sa description contient seulement les éléments non nuls . » sparse est utilisé pour créer directement une matrice clairseméeLe gain de place dans le workspace est d’ autant plus significatif que la matrice est grande » full a converti la matrice clairsemée en matrice complète. Graphe pour matrices clairsemées : Spy , gplot » Spy donne un schéma des composantes non nulles de buckyLes matrices clairsemées sont parfois utilisées pour décrire les connections dans les graphes. » gplot permet de dessiner ces connections : » [B, v] = bucky ;
gplot (B,v) ; axis equal Nous ne faisons ici que rappeler les différentes opérations mais les faits et les descriptions sont à faire en application si besoin.
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 129 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Graphiques par programmation en MATLAB
Figure 61 Pour le calcul des intégrales dans la détermination de la matrice de rigidité [k] on procède au sous programme suivant :
» Clear all »Clc E = 33000kgf/cm2
nu =0,3 coef = E /(1-nu^2) »syms x y real (%variables x y à transformer en objet ) H = coef*[ 1 nu 0 ; nu 1 0 ; 0 0 (1-nu)/2 ] B = [ . . . ; … ; …] BTHB =B’HB ; K = int ( int (BTHB , x ,0 , 1 ) y , 0 , 1 ) ; K = eval (k) /8.9913 Disp (k)
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 130 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
La construction de B est réalisée par la dérivation des fonctions d’interpolation et des fonctions de forme combinées ; ceci avant toute opération Nous procédons à une petite programmation qui nous servira de vérification pour le calcul de ces dérivées et transposées .
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 131 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Nous arrivons même ici jusqu’à calculer le produit matriciel B’*H*B et aussi son intégral double pour la matrice de rigidité d’un élément de la coque hémisphérique .
MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 132 -
COQUES – Les Equations SMM - ESPA
PROGRAMMER EN MATLAB
Structure de base d’un programme de calcul basé sur la méthode des éléments fin i s :La multiplicité des programmations par la méthode des éléments finis, liée d’une part à la nature des problèmes à étudier, d’autre part à la dimension de ceux-ci (nombre de variables nodales ) et à l’ordinateur à disposition , mène à des structures de programmes variées.Il existe, néanmoins, une structure de base commune. C’est cette dernière qui sera décrite.
Modules classiques et programme principal : Un programme d’éléments finis a un aspect modulaire. Les modules typiques d’un telprogramme sont les suivants : -Entrée des données. -Calcul de la matrice [ ]( )K du système algébrique. -Calcul du second membre [ ]( )F du système algébrique (si ceci existe) -Résolution du système algébrique -Graphisme ou dessin -Calcul des grandeurs physiques (M t ,F, σ , τ) Ces modules interviennent au niveau de la programmation comme des sous-programmes.Le programme principal est alors composé, principalement, d’un certain nombre d’appels àceux-ci . Introduction des données : Afin de pouvoir effectuer toutes les opérations que constitue le déroulement d’un programme d’éléments finis, il faut préparer quatre groupes de données fondamentaux (en plus des informations diverses de commandes) :
- Introduction des coordonnées des nœuds du maillage - Introduction des caractéristiques des éléments - Propriétés des matériaux pour chaque élément.- Conditions aux limites
Introduction des coordonnées des nœuds du maillage : La matrice [ ]( )K du système algébrique final est indépendant de la position de l’origine des coordonnées (cette origine sera donc choisie arbitrairement). La façon habituelle d’introduire les coordonnées ii yx , des points nodaux, est, de le faire dans un ordre séquentiel.Introduction des caractéristiques des éléments : Les caractéristiques de l’élément doivent , d’une part , indiquer les numéros des points nodaux qui lui sont relatifs , d’autre part, attribuer un indice caractérisant les propriétés du matériau le constituant.Propriétés des matériaux : Fréquemment, le domaine d’étude est formé d’ un certain nombre de sous domaines .Chacun de ces sous domaines est constitué par un matériau différent et subdivisé en un nombre élevé d’éléments finis .Il est alors, judicieux d’attribuer une indice caractérisant lematériau,à chaque élément fini , et de fournir de façons séparées les informations concernant les diverses propriétés des matériaux . Il est ainsi, par exemple, aisé d’opérer à des changements de matériaux. Conditions aux limites : Il est recommandé d’imposer les conditions aux limites par modification du système algébrique juste avant la résolution sans modifier son ordre (sa dimension).Une façon d’introduire les conditions limites c’est de leur affecter des indices à chacun des points nodaux .
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COQUES – Les Equations SMM - ESPA
Figure 62
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COQUES – Les Equations SMM - ESPA
%Formation de la Matrice opérateur [B] 1-clc 2-syms x y real 3-nu = 0.3 4-N( i ) = (1-x-y) ; N( j ) = x ; N( k ) = y ; 5-P4 = 4*x*(1-x-y) ; P5 = 4*x*y ; P6 = 4*y*( 1-x-y) ; 6-Nx = [3*P4 /2 N( 1 )-3*P4 /4 0 … ] 7-Ny = [3*P6 /2 0 N( 1 )-3*P6 /4…] 8-derivxx = diff (Nx , x) ; 9-derivxy = diff (Nx , y) ; 10-derivyx = diff (Ny , x) ; 11-derivyy = diff (Ny , y) ; 12-B = [derivxx ; derivyy ; derivxy + derivyx ] ; 13-BT = B’ 14-disp(B) %transformation des variables x y en objet Syms x y real %citation de la matrice B B = [……. ] %création de la matrice transposée de [B] : BT = B’ ; disp BT(présentation de résultat) %Calcul de [k] 1- clear all 2- clc 3- E = 1…. 4- nu =…0.3 ; ( pour notre cas) 5- coef = E / ( 1 – nu^2 ) 6- syms x y real (%transformation des variables x et y en objet ) 7- H = coef * [ 1 nu 0 ; nu 1 0 ; 0 0 (1-nu)/2 ] ; 8- B = […(on énumère B qui est en fonction des 2 variables) ] ; 9- [ ] [ ] [ ] ; ' BHBBHB T = 10- k = int ( int ( [ ] [ ] [ ] BHB T , x , 0 , 1 ) , y , 0, 1 ) ; 11- k = eval ( k ) ; 12- disp ( k )
% L’ assemblage % k étant la matrice de rigidité
13- R1 = k ; 14- R2 = k ; 15- R01 = [ R1 zero(9,3)] ; 16- R01 = [ R01 ; zero(3,12)] ; 17- R02 = [ R2 zero(9,3)] ; 18- R02 = [ R02 ; zero(3,12)] ; 19- RT02 = fliplr (flipud (R02 )) ; 20- R = R01 + RT02 ;% Pour application à ce sous programme d’assemblage nous prenons comme matrice k une très simple matrice :
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%prenons une matrice k très facile>> k = [1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9]
k =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
>> R1 = k ;>> R2 = k ;>> R01 = [R1 zeros(3 ,1)]
R01 =
1 2 3 0 4 5 6 0 7 8 9 0
>> R01 = [R01 ; zeros(1 ,4)]
R01 =
1 2 3 0 4 5 6 0 7 8 9 0 0 0 0 0> R02 = [R2 zeros(3 ,1)]
R02 =
1 2 3 0 4 5 6 0 7 8 9 0>> R01 = [R02 ; zeros(1 ,4)]
R01 =
1 2 3 0 4 5 6 0 7 8 9 0 0 0 0 0
>> RT02 = fliplr(flipud(R02))
RT02 =
0 9 8 7 0 6 5 4 0 3 2 1
>> R02 = [R02 ; zeros(1 ,4)]
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COQUES – Les Equations SMM - ESPA
R02 =
1 2 3 0 4 5 6 0 7 8 9 0 0 0 0 0
>> RT02 = fliplr(flipud(R02))
RT02 =
0 0 0 0 0 9 8 7 0 6 5 4 0 3 2 1
>> R = R01 + RT02
R =
1 2 3 0 4 14 14 7 7 14 14 4 0 3 2 1
>> 0
D’où nous appliquons notre assemblage de cette façon à notre MATRICE de rigidité élémentaire [ k ] pour former notre matrice globale.
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ORGANIGRAMME relatif à l’application de la méthode des éléments finis pour l’étude d‘un milieu continu discrétisé à traduire en programmation de Matlab .
Lecture du nombre d’études
Appel du sous programmePour la lecture des données
Discrétisation en ElEMENTS FINIS
Appel du sous programme pour le tracé du maillage
Caractéristique de l’ELEMENT FINIAppel du sous programme
Pour la constitution de [ ]eB et [ ]TeB
Appel du sous programmepour le calcul de [k]e
Résolution pour un élément (locale) Appel du sous programme
pour les conditions aux limites
Solution Globale
Appel du sous programmepour l’assemblage
Affichage des Résultats
Figure 63
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COQUES – Les Equations SMM - ESPA
CONCLUSIONEn principe, les coques sont très difficiles à étudier, vu leur structure assez compliquée que ce soit en génie mécanique ou en génie civil. Alors qu’il est très important de déterminer les déformations de ces coques vue les sollicitations qui lui sont appliquées. Après avoir mis en équation le problème avec les sollicitations, nous avons essayé de letraiter par la méthode des éléments finis Ainsi nous avons essayé de discrétiser la coque enplusieurs zones : - Les zones sont appelées mailles - Les sommets des mailles sont appelés nœuds. Après avoir défini les fonctions d’interprétation polynomiales nous avons choisi une maille de référence pour pouvoir calculer la matrice de rigidité . Nous avons traité des problèmes particuliers des coques tout en faisant l’assemblage des mailles du système et en appliquant le logiciel MATLAB. Nous avons présenté des programmes de calcul de quelques cas particuliers dans notre projet futur pour la thèse de DOCTORAT nous allons essayer de traiter le problème de cas général des coques en sortant les courbes des contraintes et déformations pendant l’élaboration de ce mémoire nous avons pu maîtriser les problèmes environnant les coques, la méthode des éléments finis et le logiciel MATLAB. Nous pensons que ce mémoire servira de document de bases pour les futurs chercheurs.L’essentiel est de pouvoir maîtriser la matrice de rigidité qui relie les contraintes et déformations des plaques minces, sur la maille de référence considérée.Par suite, il faut faire l’assemblage de toutes les mailles du système.
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BIBLIOGRAPHIE
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MATLABAlfred A. Manuel -Eléments de Matlab. Département de la physique de la nature condenséeUniversité de Genève ,15 octobre 2004.Steven Dufour – Guide Matlab. Ecole Polytechnique de Montréal mathappl.polymtl.Ca/Steven/ le27 août 2002.
COQUES.Timoshenko S.Woinovsky-Krieger -Théorie des plaques et coquesAndré Coin avec la collaboration de Henri Journet –Cours de voiles Minces.P. Conil –Voile Autoportant.
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TABLE DES MATIERES REMERCIEMENTS........................................................................................................ 02 MEMBRE DE JURY...................................................................................................... 03 PREFACE.......................................................................................................................... 04 AVANT-PROPOS............................................................................................................ 05 INTRODUCTION............................................................................................................... 06 DEFINITIONS................................................................................................................... 09
. Caractéristique de la voile
. Caractéristique de la surface HYPOTHESES.................................................................................................................. 10 SCIENCES DES MATERIAUX A UTILISER..................................................................... 11
- Caractéristique des matériaux constituant le béton a) Ciments.................................................................................................. 11 b) Les Aciers.............................................................................................. 12 c) Agrégats................................................................................................. 12 d) Bétons courants............................................................................. 13 - Les contraintes des matériaux........................................................................... 13- Mise en œuvre................................................................................................. 16
SYSTEME DE CHARGE.................................................................................................... 18- Les forces Résultantes- Les Moments de Flexion et de Torsion
EQUILIBRE GENERALE OU DE FLEXION....................................................................... 19 . Principe de l’étude
. Equilibre de membrane........................................................................................... 21 EQUATIONS GENERALES.............................................................................................. 27 -Solutions des équations -Conditions limites -Détermination des Constantes d’ Intégration
. EXEMPLES D’APPLICATIONS :....................................................................................... 32
-A- Coque sphérique (hémisphérique)...................................................................... 32 .Détermination des tensions de Membrane en tout point de la calotte sphérique .Détermination des constantes d’intégration C et D correspondantes-B -Coque cylindrique (hémicylindrique)................................................................... 53 .Détermination des tensions de Membrane en tout point du voile .Détermination des constantes d’intégration C et D correspondantes
LA METHODE DES ELEMENTS FINIS - Exposé de la démarche...........................................................................................62
- Discrétisation par Eléments finis........................................................................... 63- Aspects généraux de la méthode des Eléments finis...............................................64- Résolution par la méthode des Eléments finis........................................................67- Définition du modèle.............................................................................................. 68- Etude d’une facette dans son repère...................................................................... 69- Les Eléments –les fonctions d’interpolation 1-Eléments triangles à trois nœuds.................................................................73 2-Eléments quadrangles à quatre nœuds........................................................ 75- Eléments DKT et DKQ.......................................................................................... 78
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a) DKT élément de référence.......................................................................79 Coque hémisphérique -matrice de rigidité [k]................................................................................ 81 1-Détermination de [B].................................................................... 81 2-Formation de la transposée de [B] .............................................. 83 3- Calcul de [k]e ...............................................................................92 b) DKQ élément de référence...................................................................... 96 Coque hémicylindrique Mode d’ assemblage ................................................................................... 98-Structure de base d’ un programme de calcul par la méthode des éléments finis.. 114Contrainte - Déformation........................................................................................ 116Déplacement – Déformation....................................................................................120
L’UTILISATION DE L’ OUTIL MATLAB - Présentation de Matlab.................................................................................. 121 - Introduction à MATLAB................................................................. 121 1- L’Accès............................................................................... 121 2- L ‘Aide dans MATLAB.................................................... 122 3- Commandes Générales..................................................... 123 4- Les types de données ...................................................... 124 Matrices - Matrices particulières
- Les opérations Matricielles ................................................................................. 125 Matrices clairsemées....................................................................... 126- Graphiques par programmation en MATLAB ...................................................... 126- Programmer en MATLAB.................................................................................... 129
. de calculs des différents caractéristiques d’un élément . de montage des graphismes
- Organigramme.................................................................................................... 131 - Conclusions......................................................................................................... 132 - Bibliographie 133
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Nom :RANDRIAHARIMINAPrénom : Jean De La Croix
Titre :MODELISATION DE L’ETUDE DES DISTRIBUTIONS DES CONTRAINTES ET DEFORMATION D’UN VOILE AVEC
FLEXIONNombre de pages : 142Nombre de tableaux : 10Nombre de figures : 65 Mots clés : Equations générales, Elément fini , Discrétisation,maille, Triangle quadrangle, Matrice de rigidité , Assemblage,MATLAB,coque. RESUMEL’étude présentée dans ce livre réside sur la résolution du problème des plaques minces ou coques surtout la détermination des contraintes et déformation par la méthode des éléments finis. La méthode des éléments finis est très efficace pour n’importe quelle structure surtout que les calculs et les résolutions sont faits par le logiciel MATLAB.Nous montrons là aussi les différentes caractéristiques des matériaux à utiliser, propres aux voiles minces et aux coques, sciences des matériaux, à savoir le CIMENT, ses composantes,sa composition spéciale, sa classe exigée dans cette construction … son mode d’utilisationdictés dans le cours de LIANT HYDRAULIQUE par les géants des sciences des matériauxmême si l’exposé à propos de l’élément fini n’était qu’un préliminaire, nous considérons suffisant ce que nous avons eu et nous pensons continuer de développer notre étude pour la future thèse.
Rapporteur : Mr.RANDRIANTSIMBAZAFY Andrianirina
SUMMARYThe survey presented in this book especially resides on the resolution of the problem of the thin plates or cockles the determination of the constraints and distortion by the method of the finite elements. The method of the finite elements is very efficient for any structure especially as the calculations and the resolutions are made by the software MATLAB. We also show there the different features of the materials to use, clean to the thin veils and to the cockles, sciences of the materials, to know the CEMENT, its components, its special composition ,its class required in this construction… its fashion of use dictated in the HYDRAULIC BINDER course by the giants of the sciences of the materials even though the exposition about the finite element was only one preliminary, we consider sufficient what we had and we think to continue to develop our analysis for the future thesis.
Keys concept : Finite Element ,Diskretisation ,maille, Triangle, Quadrangle,Stiffness Matrix ,Assemblage , MATLAB, cockle. .