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Magnétostatique 1
Plan du chapitre « Magnétostatique »
1. Action d’un champ magnétique
2. Magnétostatique du vide 3. Dipôle magnétique
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Magnétostatique 2
Certains effets magnétiques sont connus depuis l’Antiquité, en particulier l’attraction exercée sur le fer par la magnétite (Aristote)
Le lien avec l’électricité date du 19ème siècle
Pour les mêmes raisons qu’en électrostatique, l’action à distance décrivant les effets magnétostatiques a été progressivement remplacée par une action locale, à l’aide du champ magnétique
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Magnétostatique 3
Quelques ordres de grandeur Etoile à neutron 108 T Bobine supraconductrice 10 – 50 T Electroaimant 2 T Petit barreau aimanté 10-2 T Espace interstellaire 10-10 T Blindage magnétique 10-14 T
On utilise souvent le Gauss : 1 G = 10-4 T
En France, B terrestre vaut 200 mG (horizontal) et 40 mG (vertical)
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Magnétostatique 4
Plan du chapitre « Magnétostatique »
1. Action d’un champ magnétique 1. Action d’un champ B sur une charge 2. Action d’un champ B sur un courant
2. Magnétostatique du vide 3. Dipôle magnétique
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Magnétostatique 5
Force de Lorentz
Peut servir de définition à B : B créé par toutes les charges en mouvement, autres que q
Le champ B est un pseudo-vecteur, ou vecteur axial
Le champ E est le champ électrique (et non électrostatique) car cette loi reste valable pour les champs dépendants du temps
La dimension de B est et son unité est le kg/A/s2 ou Wb/m2 ou T Le Tesla est l'induction magnétique qui, répartie normalement
et uniformément sur 1 m2, produit à travers cette surface un flux de 1 Wb
€
F = q (
E + v ×
B )
€
B[ ] =M I -1 T - 2
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Magnétostatique 6
Application : Visualisation de traces dans une chambre à bulles (1/2)
Les trajets AB et GF sont sur des états stables. Les transitions BC et FE correspondent à des états métastables dus à des retards aux transitions de phase
FE correspond à du liquide surchauffé : le liquide existe seul à une pression inférieure à
T < Tc
à la pression d’équilibre liquide-vapeur. Ce liquide est instable et une très faible perturbation fait apparaître des bulles de vapeur dans le liquide
Principe des chambres à bulles (Glaser, 1952) où des particules chargées provoquent la formation de bulles le long de leurs traces. Il n’y a plus qu’à prendre ensuite une photo !
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Magnétostatique 7
Application : Visualisation de traces dans une chambre à bulles (2/2)
Chambre à hydrogène liquide placée dans un champ uniforme
de 1 T
Particule neutre
Cible (e- d’un atome d’hydrogène)
e- éjecté
e- de basse énergie
e+ de basse énergie
Traces observées jusqu’au seuil de détection
(mesurable) : le rayon de courbure des traces diminue
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Magnétostatique 8
Application : Mesure de m/q à l’aide d’un spectromètre de masse
On peut déduire de la force de Lorentz une méthode de mesure de m/q
Spectromètre de masse
On peut montrer que (si q > 0) :
€
x =8VB
mq
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Magnétostatique 9
Application : Découverte de l’électron
Principe de l’expérience de J.J. Thomson (1897)
L : longueur de la zone de champs croisés y : déviation à la fin de la zone de champs croisés
On montre que :
€
mq
=B2 L2
2 y E
Outre leur signe, J.J. Thomson a montré que ces particules chargées étaient 1000 fois plus légères que l’atome d’hydrogène
en fait 1836 ⇒ « découverte » de l’électron
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Magnétostatique 10
Plan du chapitre « Magnétostatique »
1. Action d’un champ magnétique 1. Action d’un champ B sur une charge 2. Action d’un champ B sur un courant
2. Magnétostatique du vide 3. Dipôle magnétique
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Magnétostatique 11
Action de B sur une distribution volumique de courant
Pour une distribution volumique de charges ρ constituée d’une seule espèce de charges de vitesse moyenne v, la force qui s’exerce sur un élément de volume dV s’écrit:
Equation linéaire en fonction de ρ. Donc pour un milieu constitué de plusieurs charges :
€
d F = F v dV avec
F v = ρ
E + v ×
B ( )
Densité volumique de force
€
F v = ρtot
E + J tot ×
B
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Magnétostatique 12
Effet Hall (1/3)
Hall a montré en 1879 que les e- de conduction dans un conducteur métallique étaient déviés par un champ B
La séparation des charges + et - crée un champ E qui attire les e- vers la droite : apparition d’une tension de Hall VH qui ramène les e- jusqu’à annuler l’effet de la force magnétique
Sans champ B, les porteurs de charges dérivent de bas
en haut
A l’établissement de B, la force magnétique repousse les e - vers
la droite
En régime permanent, les e - de conduction se
déplacent sans s’accumuler sur les
bords du conducteur
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Magnétostatique 13
Effet Hall (2/3)
Quantitativement : conducteur de section d x h parcouru par I
€
⇒ n =B I
VH h e
n : densité volumique de porteurs de charges
€
f m = − e v ×
B et
f e = − e
E avec
E = VH
d
€
I = − e n v d h
€
f m +
f e = 0 ⇒
VHd
= v B
Pour des porteurs de charges > 0
On déduit le signe de la charge des porteurs du signe de VH
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Magnétostatique 14
Effet Hall (3/3)
Pour de l’Argent avec n ≈ 6,0 1022 cm-3, on a typiquement VH ≈ 10 µV pour d = 10 mm, h = 0,1 mm, I = 10 A et B = 1 T
Pour des semi-conducteurs avec n ≈ 1,0 1016 cm-3, on peut obtenir VH ≈ 1 mV
De nos jours, l’effet Hall peut servir : à mesurer la vitesse de dérive des porteurs de charges (si on
connaît B) : en déplaçant la bande de métal dans B, la tension VH s’annule lorsque sa vitesse est égale (au signe près) à la vitesse des porteurs de charges
à mesurer B (si on connaît n) : mesure directionnelle des sondes à effet Hall !
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Magnétostatique 15
Application : Pompe électromagnétique
La force magnétique s’exerce également sur les liquides
On considère un tube isolant avec deux électrodes en regard
Les porteurs de charge sont soumis à la force magnétique qu’ils transmettent au liquide, le mettant ainsi en mouvement
Ces méthodes sont à la base de la « propulsion MHD »
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Magnétostatique 16
Application : roue de Barlow
La roue de Barlow est le plus simple des moteurs électriques. Un disque circulaire conducteur de rayon R est plongé dans un champ B uniforme parallèle à l’axe de rotation du disque. Un courant d’intensité I traverse le disque depuis son axe vers un bain de mercure
€
Γ =R2 I B2
On peut montrer que le disque est soumis à une force qui tend à le faire tourner et que le moment par rapport au centre du disque vaut :
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Magnétostatique 17
Action de B sur une distribution surfacique et linéique de courant
Un élément de surface dS de densité surfacique de courant JS est soumis à la force :
€
d F = F s dS avec
F s =
dqdS v × B = J s × B
Densité surfacique de force
€
d F = dq v ×
B = I d
l × B
Force de Laplace
Action d’un champ B sur un fil parcouru
par un courant
Un élément dl parcouru par un courant I est soumis à la force :
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Magnétostatique 18
Application : balance de Cotton
Dispositif permettant la mesure absolue de 0.01 T < B < quelques T
Utilise la force de Laplace pour équilibrer par une masse la force créée par le champ B dans un conducteur
On peut facilement montrer que la condition d’équilibre permet d’obtenir :
€
B =m gI a
ONOO'
De nos jours, on utilise plutôt des fluxmètres pour mesurer un champ absolu
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Magnétostatique 19
Action d’un champ magnétique sur un circuit fermé
On considère un circuit indéformable (C) filiforme fermé. Dans un champ magnétique uniforme, la résultante F des forces vaut :
Le circuit n’est soumis qu’à un couple dont on peut montrer que le moment par rapport à O s’écrit :
€
F = I d
l × B (C)∫ = I d
l (C)∫( )× B = 0
€
Γ = m × B avec m = I
S
Moment dipolaire magnétique du circuit
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Magnétostatique 20
Plan du chapitre « Magnétostatique »
1. Action d’un champ magnétique
2. Magnétostatique du vide 1. Biot et Savart 2. Théorème d’Ampère et équations de Maxwell
3. Dipôle magnétique
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Magnétostatique 21
La magnétostatique est l’étude des champs magnétiques constants, créés par des aimants permanents ou par des courants constants
Des charges électriques se déplaçant à vitesse constante créent des courants permanents dont les effets magnétiques entrent dans le cadre de la magnétostatique
La conservation de la charge impose
qui exprime le caractère conservatif du flux de J, c’est-à-dire de l’intensité
€
∇ . J = 0
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Magnétostatique 22
On décrira principalement la magnétostatique à l’aide de conducteur parcourus par des courants La structure du conducteur n’a pas d’influence
On peut représenter les champs magnétiques par des lignes de champ, en utilisant le même formalisme qu’en électrostatique : Champ tangent à la ligne de champ Espacement entre les lignes relié à la valeur du champ
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Magnétostatique 23
Problème particulier des aimants permanents
Les lignes de champ traversent l’aimant et forment des boucles fermées En dehors du matériau :
magnétostatique Au sein du matériau : milieux
magnétiques (cours suivant)
€
dm = M dV M : Aimantation
Hypothèse d’Ampère : on admet que tout élément de volume dV d’un matériau aimanté se comporte comme une boucle de courant aussi bien du point de vue du champ B qu’il créé que des actions mécaniques qu’il subit
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Magnétostatique 24
Circuit filiforme parcouru par un courant constant
1819 : Oersted observe qu’un courant dans un fil dévie l’aiguille d’une boussole aux alentours
1820 : Biot et Savart établissent la loi expérimentale qui relie B au courant
Pour une densité volumique de courant, Biot et Savart s’écrit :
€
B (M ) =
µ04π
I d l ×PMPM 3(C)∫
€
µ0 = 4π10 −7 H/m ou N/A2Perméabilité du vide
€
B (M ) =
µ04 π
J (P)× P
M
PM 3 dV(V )∫∫∫
Biot et Savart
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Magnétostatique 25
Remarques sur la loi de Biot et Savart
Biot et Savart n’est pas une loi fondamentale de l’EM
La loi de Biot et Savart ne dépend que du courant, et est valable quelque soit la vitesse des particules qui créent le courant : très faible dans un conducteur ohmique, mais voisine de c pour le faisceau de protons ultrarelativistes du LHC Loi phénoménologique valable sur > 10 ordres de grandeur !
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Magnétostatique 26
Remarque sur la loi de Biot et Savart
Ne pas donner de forme différentielle à cette loi : un élément de courant isolé n’existe pas en magnétostatique (au contraire de l’électrostatique où on peut imaginer une charge ponctuelle isolée)
La forme intégrale n’entraîne pas la forme différentielle :
Ce n’est pas parce que que
La loi de Biot et Savart est une loi intégrale !
€
B (M ) =
µ04 π
I d l ×PMPM 3(C)∫ ⇒ d
B (M ) =
µ04 π
I d l ×PMPM 3
€
f (x) dxab∫ = g(x) dxa
b∫
€
f (x) = g(x)
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Magnétostatique 27
Faroux
Perez
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Magnétostatique 28
Halliday
Attention : ce n’est pas parce que c’est écrit dans un livre que c’est vrai ! Vous devez garder un esprit critique
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Magnétostatique 29
En permutant les indices, on obtient l’expression de la force exercée par (C2) sur (C1) :
Les forces totales s’exerçant entre deux circuits parcourus par des courants constants obéissent au principe de l’action et de la réaction
Cette loi est une loi intégrale et n’est pas valable si on considère des portions de circuit !
Interaction entre circuits filiformes
Biot et Savart permet de calculer le champ créé en M2 par I1 dans (C1) :
€
F 12 = −
µ04 π
I1 I2 d l 1 .d l 2( )(C2 )∫(C1)∫ r 12r123
€
⇒ F 12 = −
F 21
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Magnétostatique 30
Interaction entre deux courants parallèles
Sur une longueur l :
La force est attractive si I1 et I2 sont de même signe, répulsive dans le cas contraire
Définition de l’ampère : Un ampère correspond à l’intensité nécessaire pour que la force par mètre entre deux fils parallèles espacés de 1 m soit égale à 2,0 10-7 N/m
€
F = µ0
2 πI1 I2 l
d u
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Magnétostatique 31
Lignes de champ d’un solénoïde ou d’un aimant permanent
Orientation du champ d’un solénoïde : La règle de la main droite indique le
pôle N Une autre façon de procéder est de
se placer selon l’axe et d’observer le sens de rotation du courant
Orientées dans le sens N --> S pour un aimant permanent/solénoïde
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Magnétostatique 32
Plan du chapitre « Magnétostatique »
1. Action d’un champ magnétique
2. Magnétostatique du vide 1. Biot et Savart 2. Théorème d’Ampère et équations de Maxwell
3. Dipôle magnétique
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Magnétostatique 33
Conservation du flux magnétique
On pourrait montrer (ne pas le faire) que la loi de Biot et Savart implique que le flux de B à travers toute surface fermée est nul (B est à flux conservatif) :
Ceci implique qu’il n’existe pas de monopôles magnétiques
€
B .d S (S)∫∫ =
∇ . B dV(V )∫∫∫ = 0 ⇔
∇ . B ≡ 0
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Magnétostatique 34
Théorème d’Ampère
La circulation de B sur un contour fermé quelconque vérifie le théorème d’Ampère:
Loi reliant le courant total traversant une surface à l’intégrale du champ B sur le contour sur lequel s’appuie la surface
Permet dans la pratique de déterminer B si le système présente un degré de symétrie suffisant
€
B . d l (C)∫ = µ0 Ienlacé = µ0
J . d S (S)∫∫
Expression intégrale
ou ∇ × B = µ0
J
Expression locale
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Magnétostatique 35
Le théorème d’Ampère n’est rigoureusement valable que pour les phénomènes indépendants du temps On l’appliquera également dans l’ARQS puisque J est à flux
conservatif
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Magnétostatique 36
Les équations de Maxwell de la magnétostatique (courants permanents)
MΦ : le flux de B est conservatif
MA : la circulation de B n’est pas conservative en présence de courants
MF : la circulation de E (permanent) est conservative
MG : le flux de E n’est pas conservatif en présence de charges libres
€
∇ . E = ρlibre
ε0
€
∇ × B = µ0
J libre
€
∇ × E = 0
€
∇ . B = 0
(MG) (MA) (MF) (MΦ)
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Magnétostatique 37
Lignes de champ
Les lignes de E sont issues des charges « + » et aboutissent sur les charges « - » (MG), se ne sont pas des courbes fermées (MF)
Les lignes de B ne divergent pas à partir de points sources qui joueraient le rôle de charge magnétique (MΦ), ce sont des courbes fermées qui tournent autour des courants (MA)
€
∇ . E = ρlibre
ε0
€
∇ × B = µ0
J libre
€
∇ × E = 0
€
∇ . B = 0
(MG) (MA) (MF) (MΦ)
D’où l’invention des termes divergence (E diverge à partir de sa source ρ) et rotationnel (B tourbillonne autour de sa source J)
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Magnétostatique 38
Potentiel vecteur
On peut définir le potentiel vecteur A tel que
Le flux de B ne dépend que de (C )
Le potentiel vecteur est un vrai vecteur (vecteur polaire)
€
Stokes ⇒ ∇ × A ( ) .(S)∫∫ n dS =
B .d S (S)∫∫ =
A .d l (C)∫
€
B = ∇ × A
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Magnétostatique 39
Jauge de Coulomb
En considérant un champ scalaire f, le rotationnel du champ vectoriel redonne le même champ magnétique
Le potentiel vecteur est défini à un gradient près
On admettra qu’il est possible de définir A par la condition de jauge :
On a alors :
On pourra retenir que le potentiel-vecteur d’un champ B uniforme est
€
∇ . A = 0 Jauge de Coulomb
€
Δ A +µ0
J = 0 Analogue à l’équation de
Poisson !
€
ʹ′ A = A + ∇ f
€
A = 1
2B × r
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Magnétostatique 40
Cas général En imposant le potentiel vecteur nul à l’infini, en plus de la jauge
de Coulomb, on obtient :
On retrouve Biot et Savart !
Cas d’un circuit filiforme On néglige les variations de J sur la section s
du conducteur :
€
A (M ) =
µ04 π
J (P)PM
d3P(D)∫∫∫
Courant réparti en volume
€
B (M ) =
µ04 π
J (P)×
P M
PM 3 d3P(D)∫∫∫
Courant réparti en volume
€
Δ A +µ0
J = 0
€
B = ∇ × A
€
I d l = j s d
l
€
A (M ) =
µ04 π
I(P)PM
d l (C)∫
€
B (M ) =
µ04 π
I(P) d l ×P
M
PM 3(C)∫
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Magnétostatique 41
Attention, on n’est pas dans le cas d’une « approximation dipolaire »
Le point M peut être contenu dans le volume de la distribution de courant - Il n’est pas forcément éloigné
€
A (M ) =
µ04 π
J (P)PM
d3P(D)∫∫∫
Courant réparti en volume
€
B (M ) =
µ04 π
J (P)×
P M
PM 3 d3P(D)∫∫∫
Courant réparti en volume
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Magnétostatique 42
En résumé, la magnétostatique se traite à l’aide de : Formulation différentielle en champ
Formulation différentielle en potentiel
Formulation intégrée en champ
€
∇ × B = µ0
J
€
∇ . B = 0
€
Δ A +µ0
J = 0
€
B = ∇ × A
€
∇ . A = 0( )
€
B .d l (C)∫ = µ0 I
€
B .d S (S)∫∫ = 0
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Magnétostatique 43
Méthodes de calcul du champ B
Calcul direct :
Calcul indirect à l’aide du potentiel vecteur :
Calcul direct à l’aide du théorème d’Ampère :
Calcul indirect à l’aide du potentiel scalaire magnétique (voir plus loin) :
€
B (M ) =
µ04 π
J (P)×
P M
PM 3 d3P(D)∫∫∫
€
A (M ) =
µ04 π
J (P)PM
d3P(D)∫∫∫ puis B = ∇ × A
€
B .d l (C)∫ = µ0
J .d S (S)∫∫
€
Φm =µ04 π
m . r r3
puis B = −
∇ (Φm )
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Magnétostatique 44
Analogie magnétostatique - hydrodynamique
Au sein d’un fluide, le champ v(r) des vitesses et le champ Ω(r) des tourbillons sont liés par
Si le fluide est incompressible :
En magnétostatique :
La fonction v(Ω) est formellement identique à B(J). On peut donc résoudre certains problèmes par substitution
Historiquement, Ampère, Maxwell et Faraday disaient que B tourbillonnait autour de sa source
€
∇ × v = 2
Ω
€
∇ . v = 0
€
∇ × B = µ0
J et
∇ . B = 0
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Magnétostatique 45
Quelques calculs classiques (1/2)
Champ du fil infini
En prenant I = 10 A et R = 10 cm, on obtient B = 2,0 10-5 T
Il faut réaliser des bobinages pour augmenter le champ
Champ du solénoïde infini Très utile dans la pratique
Champ du solénoïde fini
€
B int = µ0 n I u z et
B ext =
0
€
B = µ0 n I
2cos(α1)− cos(α2 )( )
u z
€
B = µ0 I
2 π r u θ Savoir
refaire ce calcul
M α1 α2
z
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Magnétostatique 46
Quelques calculs classiques (2/2)
Champ sur l’axe d’une spire circulaire
€
B (M ) =
µ0 I2 R
sin3(α) u z
Lignes de champ
Savoir refaire ce
calcul
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Magnétostatique 47
Bobines de Helmholtz
Deux spires de même rayon R, de même axe, distantes de R, parcourues dans le même sens par le même courant
Champ quasi-uniforme au centre et très tourmenté à l’extérieur (ligne de champ singulière passant par un point double où B = 0)
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Magnétostatique 48
Système à quatre bobines
Encore plus flagrant avec 4 bobines
Près d’une spire, une ligne de B l’entoure
Plus loin, une ligne entoure 2 spires
Encore plus loin, une ligne entoure les 4 spires
A l’intérieur, on se rapproche du champ d’un solénoïde
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Magnétostatique 49
Plan du chapitre « Magnétostatique »
1. Action d’un champ magnétique 2. Magnétostatique du vide
3. Dipôle magnétique
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Magnétostatique 50
On appellera dipôle magnétique toute distribution de courants permanents de moment magnétique non nul dont les dimensions sont petites par rapport à la distance à laquelle on étudie le champ
€
Q = ρ dV∫∫∫
€
C =
J dV∫∫∫ = I d
l ∫( )∑ = I d
l ∫( )∑ = 0
Cette définition ressemble à celle du dipôle électrique, mais attentions aux différences : Seule une distribution de charge nulle et de moment électrique
dipolaire non nul est assimilable à un dipôle électrique Toute distribution de courants permanents « vue de loin » est
assimilable à un dipôle En effet, l’homologue de la charge totale
est Ceci vient du fait qu’il n’existe pas de monopôle magnétique
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Magnétostatique 51
Importance théorique justifiée car : A grande distance, un circuit localisé se comporte comme un
dipôle Pas de monopôle magnétique. Les uniques sources du
magnétisme de la matière sont les électrons atomiques Electrons, protons et neutrons portent un moment magnétique :
description ponctuelle Modélisation du champ magnétique terrestre (Gauss)
Quelques ordres de grandeur : Moment magnétique terrestre 8.0 1022 J/T (ou Am2) Petit barreau aimanté 5 J/T Electron 9.3 10-24 J/T Proton 1.4 10-26 J/T
Description utilisée sur près de 50 ordres de grandeur !
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Magnétostatique 52
Moment magnétique
Cas d’une spire : Le moment vaut
Cas d’une distribution volumique :
m est indépendant du choix de l’origine (même si sa définition contient r)
€
m = I S = I S n
Am2
€
m = 12
r × J dV(V )∫∫∫
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Magnétostatique 53
Lien avec le moment cinétique
Analogie avec le moment cinétique en O d’une distribution de masse volumique µ(r) et de vitesse v(r)
€
m = 12
r × J dV(V )∫∫∫
€
σ =
r × (µ v ) dV(V )∫∫∫
€
m = γ σ avec γ =q2 m
On met en rotation un objet à l’intérieur duquel la masse m et la charge q sont distribuées de la même manière : ρ(r)/µ(r) = q/m. Au mouvement des charges correspond J = ρv.
On obtient :
Pour un électron, on obtient expérimentalement γ ≈ -e/m au lieu de -e/2m
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Magnétostatique 54
Champ et potentiel du dipôle (1/4)
A grande distance :
Attention : le potentiel et le champ d’une distribution de moment magnétique nul ne sont pas nuls Cette expression n’est que le 1er terme du développement en 1/r Les termes d’ordre supérieurs (termes multipolaires) sont à
prendre en compte si m = 0
€
A ≈ µ0
4 π
m × u rr2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
m Moment dipolaire magnétique de la spire
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Magnétostatique 55
Champ et potentiel du dipôle (2/4)
A grande distance :
Dans le plan défini par m et OM, l’équation des lignes de champ s’obtient par :
€
B = ∇ × A ⇒
B = µ0
4 π3 ( m . u r )
u r − m
r3=
µ0 m cos(θ)2 π r3
u r +µ0 m sin(θ)4 π r3
u θ
€
drµ0 m cos(θ)2 π r3
=r dθ
µ0 m sin(θ)4 π r3
⇒drr
=2 cos(θ)sin(θ)
dθ ⇒ r = C sin2(θ)C > 0
⎧ ⎨ ⎩
€
E (M ) ≈ 1
4 π ε03 ( p . u r )
u r − p
r3
L’expression du champ à grande distance est analogue à celle du champ E d’un dipôle électrique en remplaçant 1/ε0 par µ0 et p par m : La topographie des lignes de champ doit être identique à
celle du dipôle électrostatique
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Magnétostatique 56
Champ et potentiel du dipôle (3/4)
Doublet de charges -q et +q distantes de a d’axe (Oz) : Tout plan contenant (Oz) est
un plan de symétrie : E est contenu dans ce plan
Spire circulaire de rayon a, d’axe (Oz) :
Tout plan contenant (Oz) est un plan d’antisymétrie : B est contenu dans ce plan
€
p = q a u z
€
m = I π a2 u z = m u z
Lignes du champ E ou du champ B à grande distance
≈ 100 a
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Magnétostatique 57
Champ et potentiel du dipôle (4/4)
Attention à ne pas pousser trop loin la comparaison : Le champ E diverge à partir des charges Le champ B tourbillonne autour des courants
Electrostatique
€
∇ × E = 0
∇ . E = ρ
ε0
Magnétostatique
€
∇ × B = µ0
J
∇ . B = 0
≈ 10 a ≈ 10 a
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Magnétostatique 58
Absence de terme monopolaire dans B
D’après Biot et Savart :
Si r >> d, l’approximation la plus forte consiste à remplacer
On obtient le champ :
Le 1er terme non nul de B (en 1/r3) est obtenu en faisant une approximation moins forte. Il n’y a pas de terme monopolaire magnétique
M
O P
dP
I
€
B (M ) =
µ04 π
I d P × u PMPM 2(C)∫
(C)
€
u PMPM2
r
par
€
r r3
€
B 0(M ) =
µ04 π
I d P (C)∫( )×
r r3 =
0
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Magnétostatique 59
Différence fondamentale entre un doublet de charges et une spire de courant (1/2)
L’analogie entre les comportements des dipôles électrique et magnétique est si forte qu’historiquement, on a cherché à mettre en évidence de causes similaires pour interpréter les champs Un dipôle électrique est caractérisé par son moment Une distribution de courant se comportant comme un dipôle
magnétique doit-elle son existence à un doublet de charges magnétiques ?
€
p = q d
L’expérience a montré que NON. Il faut utiliser les boucles de courant pour retrouver les propriétés des dipôles magnétiques
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Magnétostatique 60
Différence fondamentale entre un doublet de charges et une spire de courant (2/2)
Différences profondes entre un champ E (dont les lignes de champ partent de la charge + pour aller vers la charge -) et un champ B (dont les lignes de champ se referment sur elles-mêmes)
Visible dans l’étude des milieux : La polarisation se traduit par l’existence (à l’échelle
macroscopique) d’un moment dipolaire électrique volumique Correctement interprétée par le modèle du doublet de
charges à l’échelle microscopique L’aimantation se traduit par l’existence (à l’échelle
macroscopique) d’un moment dipolaire magnétique volumique Correctement interprétée par le modèle de la spire de
courant à l’échelle microscopique
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Magnétostatique 61
Potentiel scalaire magnétique
Hors des courants, on aura :
est le potentiel scalaire magnétique Permet de pousser plus loin l’analogie avec l’électrostatique Pratique dans certains cas
NB : B dérive d’un potentiel donc son rotationnel est nul : on vérifie néanmoins le théorème d’Ampère !
€
∇ × B = 0 ⇒
B = −
∇ (Φm ) avec Φm =
µ04 π
m . r r3
€
Φm
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Magnétostatique 62
Effet mécanique subit par une boucle de courant
On considère un circuit assimilable à une boucle de courant de moment M, plongé dans un champ B
Si B est uniforme sur le circuit, l’action mécanique se ramène à un couple de moment
qui tend à orienter le moment suivant les lignes du champ B
Si on tient compte de l’inhomogénéité du champ B, un calcul (délicat) montre que cette fois la résultante des forces n’est pas nulle et vaut
Analogie complète avec le dipôle électrostatique
€
Γ =
M × B
€
F =
M . ∇ ( ) B
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Magnétostatique 63
Champ magnétique terrestre
Le pôle Nord géomagnétique est équivalent, sur le plan du magnétisme, au pôle Sud d’un aimant
Gauss a montré que le champ magnétique terrestre pouvait être modélisé par un dipôle placé au centre de la Terre, et incliné par rapport à l’axe géographique
A la surface de la Terre (RT grand) on utilise le champ du dipôle
On déduit le moment dipolaire magnétique MT de la Terre de la mesure du champ magnétique terrestre
€
B(RT ,θ) =µ04 π
MTRT3
1+ 3 cos2(Θ)sin6(Θ)
L’axe magnétique se déplace : la direction indiquée par une boussole s’est déplacée de 35° à Londres entre 1580 et 1820 ! Actuellement, le pôle Sud magnétique se trouve vers les îles Reine-Elisabeth et se rapproche du pôle Nord à 40 km/an
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Magnétostatique 64
Bouteilles magnétiques
Si la vitesse d’une particule chargée comporte une composante parallèle à la direction du champ magnétique, la particule est entraînée selon une trajectoire hélicoïdale suivant la direction du champ
Si le champ B est plus fort sur les bords, on peut créer un piège magnétique (bouteille magnétique) qui réfléchit les particules chargées vers les zones de champ faible. Les seules particules qui peuvent s’échapper sont celles qui ont une vitesse transverse nulle
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Magnétostatique 65
Applications : Aurores boréales (1/2)
Des particules chargées (e-, p, ions) issues des éruptions solaires interagissent avec les molécules neutres de la haute atmosphère Ionisation et/ou excitation, puis retour
à l’état fondamental par émission d’un rayonnement dont la longueur d’onde est caractéristique du l’atome (vert pour O2, rose pour N2)
Image numérisée de Dynamic Explorer
(1981) de la lumière UV émise par les
atomes d’O2
Portion de la Terre éclairée par le Soleil
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Magnétostatique 66
Applications : Aurores boréales (2/2)
Pour l’essentiel, le champ B terrestre joue le rôle d’un bouclier, mais une petite fraction des particules est canalisée par les lignes du champ dipolaire terrestre (bouteille magnétique)
Aurore photographiée par le laboratoire de planétologie de
Grenoble
L’émission aurorale se produira lorsque ces particules rentrent en collision avec les atomes/molécules de l’atmosphère vers 100-300 km Périmètre ovale centré sur les
pôles magnétiques Aurores boréales
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Magnétostatique 67
Distribution quadrupolaire
Bobines de Helmholtz en inversant le sens du courant dans une des deux spires de rayon a parcourue par I : Le moment magnétique total est
nul « Bobines de Holtzhelm »
€
B 1(z) ≈
µ0 I4 π
2 m1z3
1+3 hz
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ u z
€
B 2(z) ≈
µ0 I4 π
2 m2z3
1− 3 hz
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ u z
€
B (z) =
B 1(z)+
B 2(z) ≈
3µ0 I a2 h4 π z4
u z
€
m 1 + m 2 =
0
Sur l’axe (z>>h)
Modélisation de Gemina : système de 2 étoiles à neutrons
2h