Plan du chapitre « Magnétostatique - users.lal.in2p3.fr · champ magnétique uniforme, ... créés par des aimants permanents ou par des courants ... bien du point de vue du champ

Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)

Magnétostatique 1

Plan du chapitre « Magnétostatique »

1.  Action d’un champ magnétique

2.  Magnétostatique du vide 3.  Dipôle magnétique


Magnétostatique 2

  Certains effets magnétiques sont connus depuis l’Antiquité, en particulier l’attraction exercée sur le fer par la magnétite (Aristote)

  Le lien avec l’électricité date du 19ème siècle

  Pour les mêmes raisons qu’en électrostatique, l’action à distance décrivant les effets magnétostatiques a été progressivement remplacée par une action locale, à l’aide du champ magnétique


Magnétostatique 3

  Quelques ordres de grandeur   Etoile à neutron 108 T   Bobine supraconductrice 10 – 50 T   Electroaimant 2 T   Petit barreau aimanté 10-2 T   Espace interstellaire 10-10 T   Blindage magnétique 10-14 T

  On utilise souvent le Gauss : 1 G = 10-4 T

  En France, B terrestre vaut 200 mG (horizontal) et 40 mG (vertical)


Magnétostatique 4


1.  Action d’un champ magnétique 1.  Action d’un champ B sur une charge 2.  Action d’un champ B sur un courant



Magnétostatique 5

Force de Lorentz

  Peut servir de définition à B :   B créé par toutes les charges en mouvement, autres que q

  Le champ B est un pseudo-vecteur, ou vecteur axial

  Le champ E est le champ électrique (et non électrostatique) car cette loi reste valable pour les champs dépendants du temps

  La dimension de B est et son unité est le kg/A/s2 ou Wb/m2 ou T   Le Tesla est l'induction magnétique qui, répartie normalement

et uniformément sur 1 m2, produit à travers cette surface un flux de 1 Wb

€

F = q (

E + v ×

B )

€

B[ ] =M I -1 T - 2


Magnétostatique 6

Application : Visualisation de traces dans une chambre à bulles (1/2)

  Les trajets AB et GF sont sur des états stables. Les transitions BC et FE correspondent à des états métastables dus à des retards aux transitions de phase

  FE correspond à du liquide surchauffé : le liquide existe seul à une pression inférieure à

T < Tc

à la pression d’équilibre liquide-vapeur. Ce liquide est instable et une très faible perturbation fait apparaître des bulles de vapeur dans le liquide

  Principe des chambres à bulles (Glaser, 1952) où des particules chargées provoquent la formation de bulles le long de leurs traces. Il n’y a plus qu’à prendre ensuite une photo !


Magnétostatique 7

Application : Visualisation de traces dans une chambre à bulles (2/2)

Chambre à hydrogène liquide placée dans un champ uniforme

de 1 T

Particule neutre

Cible (e- d’un atome d’hydrogène)

e- éjecté

e- de basse énergie

e+ de basse énergie

Traces observées jusqu’au seuil de détection

(mesurable) : le rayon de courbure des traces diminue


Magnétostatique 8

Application : Mesure de m/q à l’aide d’un spectromètre de masse

On peut déduire de la force de Lorentz une méthode de mesure de m/q

Spectromètre de masse

On peut montrer que (si q > 0) :

€

x =8VB

mq


Magnétostatique 9

Application : Découverte de l’électron

Principe de l’expérience de J.J. Thomson (1897)

L : longueur de la zone de champs croisés y : déviation à la fin de la zone de champs croisés

On montre que :

€

mq

=B2 L2

2 y E

Outre leur signe, J.J. Thomson a montré que ces particules chargées étaient 1000 fois plus légères que l’atome d’hydrogène

en fait 1836 ⇒ « découverte » de l’électron


Magnétostatique 10


1.  Action d’un champ magnétique 1.  Action d’un champ B sur une charge 2.  Action d’un champ B sur un courant



Magnétostatique 11

Action de B sur une distribution volumique de courant

  Pour une distribution volumique de charges ρ constituée d’une seule espèce de charges de vitesse moyenne v, la force qui s’exerce sur un élément de volume dV s’écrit:

  Equation linéaire en fonction de ρ. Donc pour un milieu constitué de plusieurs charges :

€

d F = F v dV avec

F v = ρ

E + v ×

B ( )

Densité volumique de force

€

F v = ρtot

E + J tot ×

B


Magnétostatique 12

Effet Hall (1/3)

  Hall a montré en 1879 que les e- de conduction dans un conducteur métallique étaient déviés par un champ B

  La séparation des charges + et - crée un champ E qui attire les e- vers la droite : apparition d’une tension de Hall VH qui ramène les e- jusqu’à annuler l’effet de la force magnétique

Sans champ B, les porteurs de charges dérivent de bas

en haut

A l’établissement de B, la force magnétique repousse les e - vers

la droite

En régime permanent, les e - de conduction se

déplacent sans s’accumuler sur les

bords du conducteur


Magnétostatique 13

Effet Hall (2/3)

  Quantitativement : conducteur de section d x h parcouru par I

€

⇒ n =B I

VH h e

n : densité volumique de porteurs de charges

€

f m = − e v ×

B et

f e = − e

E avec

E = VH

d

€

I = − e n v d h

€

f m +

f e = 0 ⇒

VHd

= v B

Pour des porteurs de charges > 0

  On déduit le signe de la charge des porteurs du signe de VH


Magnétostatique 14

Effet Hall (3/3)

  Pour de l’Argent avec n ≈ 6,0 1022 cm-3, on a typiquement VH ≈ 10 µV pour d = 10 mm, h = 0,1 mm, I = 10 A et B = 1 T

  Pour des semi-conducteurs avec n ≈ 1,0 1016 cm-3, on peut obtenir VH ≈ 1 mV

  De nos jours, l’effet Hall peut servir :   à mesurer la vitesse de dérive des porteurs de charges (si on

connaît B) : en déplaçant la bande de métal dans B, la tension VH s’annule lorsque sa vitesse est égale (au signe près) à la vitesse des porteurs de charges

  à mesurer B (si on connaît n) : mesure directionnelle des sondes à effet Hall !


Magnétostatique 15

Application : Pompe électromagnétique

  La force magnétique s’exerce également sur les liquides

  On considère un tube isolant avec deux électrodes en regard

  Les porteurs de charge sont soumis à la force magnétique qu’ils transmettent au liquide, le mettant ainsi en mouvement

  Ces méthodes sont à la base de la « propulsion MHD »


Magnétostatique 16

Application : roue de Barlow

  La roue de Barlow est le plus simple des moteurs électriques. Un disque circulaire conducteur de rayon R est plongé dans un champ B uniforme parallèle à l’axe de rotation du disque. Un courant d’intensité I traverse le disque depuis son axe vers un bain de mercure

€

Γ =R2 I B2

  On peut montrer que le disque est soumis à une force qui tend à le faire tourner et que le moment par rapport au centre du disque vaut :


Magnétostatique 17

Action de B sur une distribution surfacique et linéique de courant

  Un élément de surface dS de densité surfacique de courant JS est soumis à la force :

€

d F = F s dS avec

F s =

dqdS v × B = J s × B

Densité surfacique de force

€

d F = dq v ×

B = I d

l × B

Force de Laplace

Action d’un champ B sur un fil parcouru

par un courant

  Un élément dl parcouru par un courant I est soumis à la force :


Magnétostatique 18

Application : balance de Cotton

  Dispositif permettant la mesure absolue de 0.01 T < B < quelques T

  Utilise la force de Laplace pour équilibrer par une masse la force créée par le champ B dans un conducteur

  On peut facilement montrer que la condition d’équilibre permet d’obtenir :

€

B =m gI a

ONOO'

  De nos jours, on utilise plutôt des fluxmètres pour mesurer un champ absolu


Magnétostatique 19

Action d’un champ magnétique sur un circuit fermé

  On considère un circuit indéformable (C) filiforme fermé. Dans un champ magnétique uniforme, la résultante F des forces vaut :

  Le circuit n’est soumis qu’à un couple dont on peut montrer que le moment par rapport à O s’écrit :

€

F = I d

l × B (C)∫ = I d

l (C)∫( )× B = 0

€

Γ = m × B avec m = I

S

Moment dipolaire magnétique du circuit


Magnétostatique 20



2.  Magnétostatique du vide 1.  Biot et Savart 2.  Théorème d’Ampère et équations de Maxwell

3.  Dipôle magnétique


Magnétostatique 21

  La magnétostatique est l’étude des champs magnétiques constants, créés par des aimants permanents ou par des courants constants

  Des charges électriques se déplaçant à vitesse constante créent des courants permanents dont les effets magnétiques entrent dans le cadre de la magnétostatique

  La conservation de la charge impose

  qui exprime le caractère conservatif du flux de J, c’est-à-dire de l’intensité

€

∇ . J = 0


Magnétostatique 22

  On décrira principalement la magnétostatique à l’aide de conducteur parcourus par des courants   La structure du conducteur n’a pas d’influence

  On peut représenter les champs magnétiques par des lignes de champ, en utilisant le même formalisme qu’en électrostatique :   Champ tangent à la ligne de champ   Espacement entre les lignes relié à la valeur du champ


Magnétostatique 23

Problème particulier des aimants permanents

  Les lignes de champ traversent l’aimant et forment des boucles fermées   En dehors du matériau :

magnétostatique   Au sein du matériau : milieux

magnétiques (cours suivant)

€

dm = M dV M : Aimantation

  Hypothèse d’Ampère : on admet que tout élément de volume dV d’un matériau aimanté se comporte comme une boucle de courant aussi bien du point de vue du champ B qu’il créé que des actions mécaniques qu’il subit


Magnétostatique 24

Circuit filiforme parcouru par un courant constant

  1819 : Oersted observe qu’un courant dans un fil dévie l’aiguille d’une boussole aux alentours

  1820 : Biot et Savart établissent la loi expérimentale qui relie B au courant

  Pour une densité volumique de courant, Biot et Savart s’écrit :

€

B (M ) =

µ04π

I d l ×PMPM 3(C)∫

€

µ0 = 4π10 −7 H/m ou N/A2Perméabilité du vide

€

B (M ) =

µ04 π

J (P)× P

M

PM 3 dV(V )∫∫∫

Biot et Savart


Magnétostatique 25

Remarques sur la loi de Biot et Savart

  Biot et Savart n’est pas une loi fondamentale de l’EM

  La loi de Biot et Savart ne dépend que du courant, et est valable quelque soit la vitesse des particules qui créent le courant : très faible dans un conducteur ohmique, mais voisine de c pour le faisceau de protons ultrarelativistes du LHC   Loi phénoménologique valable sur > 10 ordres de grandeur !


Magnétostatique 26

Remarque sur la loi de Biot et Savart

  Ne pas donner de forme différentielle à cette loi : un élément de courant isolé n’existe pas en magnétostatique (au contraire de l’électrostatique où on peut imaginer une charge ponctuelle isolée)

  La forme intégrale n’entraîne pas la forme différentielle :

  Ce n’est pas parce que que

  La loi de Biot et Savart est une loi intégrale !

€

B (M ) =

µ04 π

I d l ×PMPM 3(C)∫ ⇒ d

B (M ) =

µ04 π

I d l ×PMPM 3

€

f (x) dxab∫ = g(x) dxa

b∫

€

f (x) = g(x)


Magnétostatique 27

Faroux

Perez


Magnétostatique 28

Halliday

Attention : ce n’est pas parce que c’est écrit dans un livre que c’est vrai ! Vous devez garder un esprit critique


Magnétostatique 29

  En permutant les indices, on obtient l’expression de la force exercée par (C2) sur (C1) :

  Les forces totales s’exerçant entre deux circuits parcourus par des courants constants obéissent au principe de l’action et de la réaction

  Cette loi est une loi intégrale et n’est pas valable si on considère des portions de circuit !

Interaction entre circuits filiformes

  Biot et Savart permet de calculer le champ créé en M2 par I1 dans (C1) :

€

F 12 = −

µ04 π

I1 I2 d l 1 .d l 2( )(C2 )∫(C1)∫ r 12r123

€

⇒ F 12 = −

F 21


Magnétostatique 30

Interaction entre deux courants parallèles

  Sur une longueur l :

La force est attractive si I1 et I2 sont de même signe, répulsive dans le cas contraire

  Définition de l’ampère : Un ampère correspond à l’intensité nécessaire pour que la force par mètre entre deux fils parallèles espacés de 1 m soit égale à 2,0 10-7 N/m

€

F = µ0

2 πI1 I2 l

d u


Magnétostatique 31

Lignes de champ d’un solénoïde ou d’un aimant permanent

  Orientation du champ d’un solénoïde :   La règle de la main droite indique le

pôle N   Une autre façon de procéder est de

se placer selon l’axe et d’observer le sens de rotation du courant

  Orientées dans le sens N --> S pour un aimant permanent/solénoïde


Magnétostatique 32



2.  Magnétostatique du vide 1.  Biot et Savart 2.  Théorème d’Ampère et équations de Maxwell



Magnétostatique 33

Conservation du flux magnétique

  On pourrait montrer (ne pas le faire) que la loi de Biot et Savart implique que le flux de B à travers toute surface fermée est nul (B est à flux conservatif) :

  Ceci implique qu’il n’existe pas de monopôles magnétiques

€

B .d S (S)∫∫ =

∇ . B dV(V )∫∫∫ = 0 ⇔

∇ . B ≡ 0


Magnétostatique 34

Théorème d’Ampère

  La circulation de B sur un contour fermé quelconque vérifie le théorème d’Ampère:

  Loi reliant le courant total traversant une surface à l’intégrale du champ B sur le contour sur lequel s’appuie la surface

  Permet dans la pratique de déterminer B si le système présente un degré de symétrie suffisant

€

B . d l (C)∫ = µ0 Ienlacé = µ0

J . d S (S)∫∫

Expression intégrale

ou ∇ × B = µ0

J

Expression locale


Magnétostatique 35

  Le théorème d’Ampère n’est rigoureusement valable que pour les phénomènes indépendants du temps   On l’appliquera également dans l’ARQS puisque J est à flux

conservatif


Magnétostatique 36

Les équations de Maxwell de la magnétostatique (courants permanents)

  MΦ : le flux de B est conservatif

  MA : la circulation de B n’est pas conservative en présence de courants

  MF : la circulation de E (permanent) est conservative

  MG : le flux de E n’est pas conservatif en présence de charges libres

€

∇ . E = ρlibre

ε0

€

∇ × B = µ0

J libre

€

∇ × E = 0

€

∇ . B = 0

(MG) (MA) (MF) (MΦ)


Magnétostatique 37

Lignes de champ

  Les lignes de E sont issues des charges « + » et aboutissent sur les charges « - » (MG), se ne sont pas des courbes fermées (MF)

  Les lignes de B ne divergent pas à partir de points sources qui joueraient le rôle de charge magnétique (MΦ), ce sont des courbes fermées qui tournent autour des courants (MA)

€

∇ . E = ρlibre

ε0

€

∇ × B = µ0

J libre

€

∇ × E = 0

€

∇ . B = 0

(MG) (MA) (MF) (MΦ)

  D’où l’invention des termes divergence (E diverge à partir de sa source ρ) et rotationnel (B tourbillonne autour de sa source J)


Magnétostatique 38

Potentiel vecteur

  On peut définir le potentiel vecteur A tel que

  Le flux de B ne dépend que de (C )

  Le potentiel vecteur est un vrai vecteur (vecteur polaire)

€

Stokes ⇒ ∇ × A ( ) .(S)∫∫ n dS =

B .d S (S)∫∫ =

A .d l (C)∫

€

B = ∇ × A


Magnétostatique 39

Jauge de Coulomb

  En considérant un champ scalaire f, le rotationnel du champ vectoriel redonne le même champ magnétique

  Le potentiel vecteur est défini à un gradient près

  On admettra qu’il est possible de définir A par la condition de jauge :

  On a alors :

  On pourra retenir que le potentiel-vecteur d’un champ B uniforme est

€

∇ . A = 0 Jauge de Coulomb

€

Δ A +µ0

J = 0 Analogue à l’équation de

Poisson !

€

ʹ′ A = A + ∇ f

€

A = 1

2B × r


Magnétostatique 40

  Cas général   En imposant le potentiel vecteur nul à l’infini, en plus de la jauge

de Coulomb, on obtient :

  On retrouve Biot et Savart !

  Cas d’un circuit filiforme   On néglige les variations de J sur la section s

du conducteur :

€

A (M ) =

µ04 π

J (P)PM

d3P(D)∫∫∫

Courant réparti en volume

€

B (M ) =

µ04 π

J (P)×

P M

PM 3 d3P(D)∫∫∫


€

Δ A +µ0

J = 0

€

B = ∇ × A

€

I d l = j s d

l

€

A (M ) =

µ04 π

I(P)PM

d l (C)∫

€

B (M ) =

µ04 π

I(P) d l ×P

M

PM 3(C)∫


Magnétostatique 41

  Attention, on n’est pas dans le cas d’une « approximation dipolaire »

  Le point M peut être contenu dans le volume de la distribution de courant - Il n’est pas forcément éloigné

€

A (M ) =

µ04 π

J (P)PM

d3P(D)∫∫∫


€

B (M ) =

µ04 π

J (P)×

P M

PM 3 d3P(D)∫∫∫



Magnétostatique 42

  En résumé, la magnétostatique se traite à l’aide de :   Formulation différentielle en champ

  Formulation différentielle en potentiel

  Formulation intégrée en champ

€

∇ × B = µ0

J

€

∇ . B = 0

€

Δ A +µ0

J = 0

€

B = ∇ × A

€

∇ . A = 0( )

€

B .d l (C)∫ = µ0 I

€

B .d S (S)∫∫ = 0


Magnétostatique 43

Méthodes de calcul du champ B

  Calcul direct :

  Calcul indirect à l’aide du potentiel vecteur :

  Calcul direct à l’aide du théorème d’Ampère :

  Calcul indirect à l’aide du potentiel scalaire magnétique (voir plus loin) :

€

B (M ) =

µ04 π

J (P)×

P M

PM 3 d3P(D)∫∫∫

€

A (M ) =

µ04 π

J (P)PM

d3P(D)∫∫∫ puis B = ∇ × A

€

B .d l (C)∫ = µ0

J .d S (S)∫∫

€

Φm =µ04 π

m . r r3

puis B = −

∇ (Φm )


Magnétostatique 44

Analogie magnétostatique - hydrodynamique

  Au sein d’un fluide, le champ v(r) des vitesses et le champ Ω(r) des tourbillons sont liés par

  Si le fluide est incompressible :

  En magnétostatique :

  La fonction v(Ω) est formellement identique à B(J). On peut donc résoudre certains problèmes par substitution

  Historiquement, Ampère, Maxwell et Faraday disaient que B tourbillonnait autour de sa source

€

∇ × v = 2

Ω

€

∇ . v = 0

€

∇ × B = µ0

J et

∇ . B = 0


Magnétostatique 45

Quelques calculs classiques (1/2)

  Champ du fil infini

  En prenant I = 10 A et R = 10 cm, on obtient B = 2,0 10-5 T

  Il faut réaliser des bobinages pour augmenter le champ

  Champ du solénoïde infini   Très utile dans la pratique

  Champ du solénoïde fini

€

B int = µ0 n I u z et

B ext =

0

€

B = µ0 n I

2cos(α1)− cos(α2 )( )

u z

€

B = µ0 I

2 π r u θ Savoir

refaire ce calcul

M α1 α2

z


Magnétostatique 46

Quelques calculs classiques (2/2)

  Champ sur l’axe d’une spire circulaire

€

B (M ) =

µ0 I2 R

sin3(α) u z

Lignes de champ

Savoir refaire ce

calcul


Magnétostatique 47

Bobines de Helmholtz

  Deux spires de même rayon R, de même axe, distantes de R, parcourues dans le même sens par le même courant

  Champ quasi-uniforme au centre et très tourmenté à l’extérieur (ligne de champ singulière passant par un point double où B = 0)


Magnétostatique 48

Système à quatre bobines

  Encore plus flagrant avec 4 bobines

  Près d’une spire, une ligne de B l’entoure

  Plus loin, une ligne entoure 2 spires

  Encore plus loin, une ligne entoure les 4 spires

  A l’intérieur, on se rapproche du champ d’un solénoïde


Magnétostatique 49


1.  Action d’un champ magnétique 2.  Magnétostatique du vide



Magnétostatique 50

  On appellera dipôle magnétique toute distribution de courants permanents de moment magnétique non nul dont les dimensions sont petites par rapport à la distance à laquelle on étudie le champ

€

Q = ρ dV∫∫∫

€

C =

J dV∫∫∫ = I d

l ∫( )∑ = I d

l ∫( )∑ = 0

  Cette définition ressemble à celle du dipôle électrique, mais attentions aux différences :   Seule une distribution de charge nulle et de moment électrique

dipolaire non nul est assimilable à un dipôle électrique   Toute distribution de courants permanents « vue de loin » est

assimilable à un dipôle  En effet, l’homologue de la charge totale

est Ceci vient du fait qu’il n’existe pas de monopôle magnétique


Magnétostatique 51

  Importance théorique justifiée car :   A grande distance, un circuit localisé se comporte comme un

dipôle   Pas de monopôle magnétique. Les uniques sources du

magnétisme de la matière sont les électrons atomiques   Electrons, protons et neutrons portent un moment magnétique :

description ponctuelle   Modélisation du champ magnétique terrestre (Gauss)

  Quelques ordres de grandeur :   Moment magnétique terrestre 8.0 1022 J/T (ou Am2)   Petit barreau aimanté 5 J/T   Electron 9.3 10-24 J/T   Proton 1.4 10-26 J/T

 Description utilisée sur près de 50 ordres de grandeur !


Magnétostatique 52

Moment magnétique

  Cas d’une spire :   Le moment vaut

  Cas d’une distribution volumique :

  m est indépendant du choix de l’origine (même si sa définition contient r)

€

m = I S = I S n

Am2

€

m = 12

r × J dV(V )∫∫∫


Magnétostatique 53

Lien avec le moment cinétique

  Analogie avec le moment cinétique en O d’une distribution de masse volumique µ(r) et de vitesse v(r)

€

m = 12

r × J dV(V )∫∫∫

€

σ =

r × (µ v ) dV(V )∫∫∫

€

m = γ σ avec γ =q2 m

  On met en rotation un objet à l’intérieur duquel la masse m et la charge q sont distribuées de la même manière : ρ(r)/µ(r) = q/m. Au mouvement des charges correspond J = ρv.

  On obtient :

  Pour un électron, on obtient expérimentalement γ ≈ -e/m au lieu de -e/2m


Magnétostatique 54

Champ et potentiel du dipôle (1/4)

  A grande distance :

  Attention : le potentiel et le champ d’une distribution de moment magnétique nul ne sont pas nuls   Cette expression n’est que le 1er terme du développement en 1/r   Les termes d’ordre supérieurs (termes multipolaires) sont à

prendre en compte si m = 0

€

A ≈ µ0

4 π

m × u rr2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

m Moment dipolaire magnétique de la spire


Magnétostatique 55


  A grande distance :

  Dans le plan défini par m et OM, l’équation des lignes de champ s’obtient par :

€

B = ∇ × A ⇒

B = µ0

4 π3 ( m . u r )

u r − m

r3=

µ0 m cos(θ)2 π r3

u r +µ0 m sin(θ)4 π r3

u θ

€

drµ0 m cos(θ)2 π r3

=r dθ

µ0 m sin(θ)4 π r3

⇒drr

=2 cos(θ)sin(θ)

dθ ⇒ r = C sin2(θ)C > 0

⎧ ⎨ ⎩

€

E (M ) ≈ 1

4 π ε03 ( p . u r )

u r − p

r3

  L’expression du champ à grande distance est analogue à celle du champ E d’un dipôle électrique en remplaçant 1/ε0 par µ0 et p par m :   La topographie des lignes de champ doit être identique à

celle du dipôle électrostatique


Magnétostatique 56


  Doublet de charges -q et +q distantes de a d’axe (Oz) :   Tout plan contenant (Oz) est

un plan de symétrie : E est contenu dans ce plan

  Spire circulaire de rayon a, d’axe (Oz) :

  Tout plan contenant (Oz) est un plan d’antisymétrie : B est contenu dans ce plan

€

p = q a u z

€

m = I π a2 u z = m u z

Lignes du champ E ou du champ B à grande distance

≈ 100 a


Magnétostatique 57


  Attention à ne pas pousser trop loin la comparaison :   Le champ E diverge à partir des charges   Le champ B tourbillonne autour des courants

Electrostatique

€

∇ × E = 0

∇ . E = ρ

ε0

Magnétostatique

€

∇ × B = µ0

J

∇ . B = 0

≈ 10 a ≈ 10 a


Magnétostatique 58

Absence de terme monopolaire dans B

  D’après Biot et Savart :

  Si r >> d, l’approximation la plus forte consiste à remplacer

  On obtient le champ :

  Le 1er terme non nul de B (en 1/r3) est obtenu en faisant une approximation moins forte. Il n’y a pas de terme monopolaire magnétique

M

O P

dP

I

€

B (M ) =

µ04 π

I d P × u PMPM 2(C)∫

(C)

€

u PMPM2

r

par

€

r r3

€

B 0(M ) =

µ04 π

I d P (C)∫( )×

r r3 =

0


Magnétostatique 59

Différence fondamentale entre un doublet de charges et une spire de courant (1/2)

  L’analogie entre les comportements des dipôles électrique et magnétique est si forte qu’historiquement, on a cherché à mettre en évidence de causes similaires pour interpréter les champs   Un dipôle électrique est caractérisé par son moment   Une distribution de courant se comportant comme un dipôle

magnétique doit-elle son existence à un doublet de charges magnétiques ?

€

p = q d

  L’expérience a montré que NON. Il faut utiliser les boucles de courant pour retrouver les propriétés des dipôles magnétiques


Magnétostatique 60

Différence fondamentale entre un doublet de charges et une spire de courant (2/2)

  Différences profondes entre un champ E (dont les lignes de champ partent de la charge + pour aller vers la charge -) et un champ B (dont les lignes de champ se referment sur elles-mêmes)

  Visible dans l’étude des milieux :   La polarisation se traduit par l’existence (à l’échelle

macroscopique) d’un moment dipolaire électrique volumique  Correctement interprétée par le modèle du doublet de

charges à l’échelle microscopique   L’aimantation se traduit par l’existence (à l’échelle

macroscopique) d’un moment dipolaire magnétique volumique  Correctement interprétée par le modèle de la spire de

courant à l’échelle microscopique


Magnétostatique 61

Potentiel scalaire magnétique

  Hors des courants, on aura :

  est le potentiel scalaire magnétique   Permet de pousser plus loin l’analogie avec l’électrostatique   Pratique dans certains cas

  NB : B dérive d’un potentiel donc son rotationnel est nul : on vérifie néanmoins le théorème d’Ampère !

€

∇ × B = 0 ⇒

B = −

∇ (Φm ) avec Φm =

µ04 π

m . r r3

€

Φm


Magnétostatique 62

Effet mécanique subit par une boucle de courant

  On considère un circuit assimilable à une boucle de courant de moment M, plongé dans un champ B

  Si B est uniforme sur le circuit, l’action mécanique se ramène à un couple de moment

qui tend à orienter le moment suivant les lignes du champ B

  Si on tient compte de l’inhomogénéité du champ B, un calcul (délicat) montre que cette fois la résultante des forces n’est pas nulle et vaut

  Analogie complète avec le dipôle électrostatique

€

Γ =

M × B

€

F =

M . ∇ ( ) B


Magnétostatique 63

Champ magnétique terrestre

  Le pôle Nord géomagnétique est équivalent, sur le plan du magnétisme, au pôle Sud d’un aimant

  Gauss a montré que le champ magnétique terrestre pouvait être modélisé par un dipôle placé au centre de la Terre, et incliné par rapport à l’axe géographique

  A la surface de la Terre (RT grand) on utilise le champ du dipôle

  On déduit le moment dipolaire magnétique MT de la Terre de la mesure du champ magnétique terrestre

€

B(RT ,θ) =µ04 π

MTRT3

1+ 3 cos2(Θ)sin6(Θ)

  L’axe magnétique se déplace : la direction indiquée par une boussole s’est déplacée de 35° à Londres entre 1580 et 1820 ! Actuellement, le pôle Sud magnétique se trouve vers les îles Reine-Elisabeth et se rapproche du pôle Nord à 40 km/an


Magnétostatique 64

Bouteilles magnétiques

  Si la vitesse d’une particule chargée comporte une composante parallèle à la direction du champ magnétique, la particule est entraînée selon une trajectoire hélicoïdale suivant la direction du champ

  Si le champ B est plus fort sur les bords, on peut créer un piège magnétique (bouteille magnétique) qui réfléchit les particules chargées vers les zones de champ faible. Les seules particules qui peuvent s’échapper sont celles qui ont une vitesse transverse nulle


Magnétostatique 65

Applications : Aurores boréales (1/2)

  Des particules chargées (e-, p, ions) issues des éruptions solaires interagissent avec les molécules neutres de la haute atmosphère   Ionisation et/ou excitation, puis retour

à l’état fondamental par émission d’un rayonnement dont la longueur d’onde est caractéristique du l’atome (vert pour O2, rose pour N2)

Image numérisée de Dynamic Explorer

(1981) de la lumière UV émise par les

atomes d’O2

Portion de la Terre éclairée par le Soleil


Magnétostatique 66

Applications : Aurores boréales (2/2)

  Pour l’essentiel, le champ B terrestre joue le rôle d’un bouclier, mais une petite fraction des particules est canalisée par les lignes du champ dipolaire terrestre (bouteille magnétique)

Aurore photographiée par le laboratoire de planétologie de

Grenoble

  L’émission aurorale se produira lorsque ces particules rentrent en collision avec les atomes/molécules de l’atmosphère vers 100-300 km   Périmètre ovale centré sur les

pôles magnétiques   Aurores boréales


Magnétostatique 67

Distribution quadrupolaire

  Bobines de Helmholtz en inversant le sens du courant dans une des deux spires de rayon a parcourue par I :   Le moment magnétique total est

nul « Bobines de Holtzhelm »

€

B 1(z) ≈

µ0 I4 π

2 m1z3

1+3 hz

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ u z

€

B 2(z) ≈

µ0 I4 π

2 m2z3

1− 3 hz

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ u z

€

B (z) =

B 1(z)+

B 2(z) ≈

3µ0 I a2 h4 π z4

u z

€

m 1 + m 2 =

0

Sur l’axe (z>>h)

Modélisation de Gemina : système de 2 étoiles à neutrons

2h

Documents

Plan du chapitre « Magnétostatique - users.lal.in2p3.fr · champ magnétique uniforme, ... créés par des aimants permanents ou par des courants ... bien du point de vue du champ